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第十章 数项级数
§1 级数问题的提出
1．证明：若微分方程0=+'+''xy y y x 有多项式解
n n x a x a x a a y ++++=Λ2210，
则必有),,2,1(0n i a i Λ==．
证明 由多项式解n
n x a x a x a a y ++++=Λ2210得
1232132-++++='n n x na x a x a a y Λ， 22432)1(1262--++++=''n n x a n n x a x a a y Λ.
从而 1
34232)1(1262--++++=''n n x a n n x a x a x a y x Λ， 且 1
11232210+---++++++=n n n n n n x a x a x a x a x a x a xy Λ.
将上述结果代入微分方程0=+'+''xy y y x ，得
342231201)16()9()4(x a a x a a x a a a ++++++
0)(11122=++++++---n n n n n n n x a x a x a n a Λ.
比较系数得递推公式如下：
?
?????
???
??===+=+=+=--.
0,0,
0,09,04,0122
31201n n n n a a a n a a a a a a Λ
Λ 由此解得0210=====n a a a a Λ，因而),,2,1,0(0n i a i Λ==．
2．试确定系数ΛΛ,,,,10n a a a ，使
n n n
x a
∑∞
=0
满足勒让德方程
0)1(2)1(2=++'-''-y l l y x y x .
解 设n
n n
x a
y ∑∞
==
，则1
1
-∞
=∑='n n n x
na y ，22
)1(-∞
=∑-=
''n n n
x a
n n y ，故
∑∑∑∞
=∞
=-∞
=----=--=''-2
22
2
2
22
)1()1()1()1()1(n n n n n n n n n x a n n x
a n n x
a n n x y x ，
∑∑∞
=∞
=--=-='-11
1
222n n n n n n x na x
na x y x ，
∑∑∞
=∞
=+=+=+0
)1()1()1(n n n n n
n x a l l x a l l y l l .
将上述结果代入勒让德方程0)1(2)1(2
=++'-''-y l l y x y x ，得
y l l y x y x )1(2)1(02++'-''-=
∑∑∑∑∞
=∞=∞=∞
=-++----=0
1
2
22
)1(2)1()1(n n n n n
n n n
n n n n x a l l x na x a n n x
a n n
∑∑∑∑∞
=∞
=∞
=∞
=+++---++=0
1
2
2)1(2)1()1)(2(n n n n n
n n n
n n n
n x a l l x na x a n n x a n n .
比较系数，得递推公式如下：
?
??
???
??
???=+++++-=+++--=++-=++-=++++-.
,0)1)(2()1)((,
0)1()))(1((,012)3)(2(,
06)2)(1(,02)1(21
1423120ΛΛΛ
Λn n n n a n n a n l n l na n a n l n l a a l l a a l l a a l l 由此解得
?????
??
????????
???????
??
?++++-+-+--=???++--=?+--=?+--=-++++-+--=??++-=?+--=+-=+Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ,
)!12()2()4)(2)(1()32)(12()1(,
2345)4)(2)(1)(3(45)4)(3(,
23)2)(1(,)!2()12()3)(1()42)(22()1(,
234)3)(1()2(34)3)(2(,2
)1(1121351
3020
2402
a k k l l l l k l k l a a l l l l a l l a a l l a a k k l l l l k l k l a a l l l l a l l a a l l a k k k k
从而可以得到
??
????-+++-+--+=∑∞=1200)!2()12()1()42)(22()1(k k k x k k l l l k l k l a a y ΛΛ
??
?
???+++-+-+--++∑∞=+11211)!12()2()2)(1()32)(12()1(k k k x k k l l l k l k l a x a ΛΛ.
其中10,a a 取任何常数．
§2 数项级数的收敛性及其基本性质
1．求下列级数的和： （1）
∑∞
=+-1
)15)(45(1
n n n ； （2）
∑∞
=-12
1
41
n n
；
（3）∑∞
=---1
1
1
2)1(n n n ； （4）
∑∞
=-1
21
2n n
n ； （5）
1,sin 1
<∑∞
=r nx r
n n
；
（6）
1,cos 1
<∑∞
=r nx r
n n
．
解（1）由于
??
?
??+--=+-15145151)15)(45(1n n n n ，故
)
15)(45(11161611+-++?+?=
n n S n Λ ??? ??+--++-+-=1514511116161151n n Λ )(5
1151151∞→→??? ??+-=n n ， 所以级数的和5
1=
S . （2）由于
??
?
??+--=
-121121211
41
2n n n ，故
)(2
1
121121121121513131121∞→→??? ??+-=??? ??+--++-+-=
n n n n S n Λ.
所以级数的和2
1
=
S . （3）32
2111212)1(1
111
1=??
? ??--=
???
?
?-=--∞
=∞
=--∑∑n n n n n ．
（4）12221222121111-=??? ??-=-∑∑∑∑∞
=∞=∞=∞
=n n
n n
n n n n n
n n ，因此欲求原级数的和，只需计算级数∑∞
=122n n n 即可．对级数∑∞
=122n n n ，设其部分和n n n S 2226242232++++=Λ，则 14322
222226242221++-++++=n n n n
n S Λ， 故
14322
22222222212121+-+++++=-=n n n n n n S S S Λ 14322
22121212
1
21+-??? ??+++++=n n
n
Λ
1
12
222
11211212
1+---??
?? ????? ??-+=n n n . 从而221
lim =∞→n n S ，即4lim =∞→n n S ，因此原级数31412
221211=-=-=-∑∑∞=∞
=n n n n n n ． （5）由于级数的部分和kx r
S n
k k
n sin 1
∑==
，故
[]x k x k r x kx r
xS r n
k k n
k k n )1sin()1sin(cos sin 2cos 21111
-++==∑∑=+=+
x k r x k r
n
k k n
k k )1sin()1sin(1
111
-++=∑∑=+=+
kx r
r
kx r n k k
n k k sin sin 1
2
1
2
∑∑-=+=+=
)sin ()sin )1sin((21nx r S r x r x n r S n n n n -+-++=+，
从中解得
x
r r x
n r nx r x r S n n n cos 21)1sin(sin sin 212-++-+=++.
又由于当∞→n 时，0)1sin(,0sin 1122→≤+→≤++++n n n n r x n r r nx r ，故
x
r r x
r S n n cos 21sin lim 2
-+=
∞
→， 因此
x
r r x
r nx r n n cos 21sin sin 21
-+=
∑∞
=．
（6）级数的部分和kx r
S n
k k
n cos 1
∑==
，从而
[]x k x k r x kx r
xS r n
k k n
k k n )1cos()1cos(cos cos 2cos 21111
-++==∑∑=+=+
x k r x k r
n
k k n
k k )1cos()1cos(1
111
-++=∑∑=+=+
kx r
r
kx r n k k
n k k cos cos 1
2
1
2
∑∑-=+=+=
)cos 1()cos )1cos((21nx r S r x r x n r S n n n n -++-++=+，
从中解得
x r r r x r x r r r x n r nx r x r S n n n n n cos 21cos cos 21)1cos(cos cos lim lim 22
2212-+-=-+-+-+=++∞→∞→. 因此x r r r x r nx r n n
cos 21cos cos 2
2
1
-+-=∑∞
=． 2．讨论下列级数的敛散性： （1）
∑∞
=-1
12n n n
； （2）
∑∞
=??
? ??+
1312
1
n n
n
； （3）
∑∞=+11
2cos
n n π
；
（4）
∑∞
=+-1
)13)(23(1
n n n ； （5）
∑
∞
=+++1
)
1()1(1
n n n n n ．
解（1）由于通项
)(02
1
12∞→≠→-n n n ，故原级数发散． （2）由于∑∑∞=∞
=??? ??=112121n n
n n ，∑∑∞=∞=??
?
??=113131n n
n n 均收敛，故原级数收敛．
（3）由于通项)(010cos 1
2cos ∞→≠=→+n n π
，故原级数发散．
（4）由于
??
?
??+--=+-13123131)13)(23(1n n n n ，
从而部分和
)
13)(23(1741411+-++?+?=
n n S n Λ ??
? ??+--++-+-=131231714141131n n Λ
)(3
1131131∞→→??? ??+-=n n ， 因而原级数收敛．
（5）由于
????
??+-=+-+=
+++11111)1()1(1
n n n n n
n n n n n ，
从而∞→n 时， 11
111
113
1212111→+-
=+-
+
+-+-=
n n n S n Λ，
故原级数收敛．
3．证明定理．
定理 若级数
∑∞=1
n n u ,∑∞
=1
n n
v
收敛，则级数
)(1n n n
v u
±∑∞
=也收敛，且
∑∑∑∞
=∞
=∞
=±=±1
1
1)(n n n n n n n
v u v u
.
证明 设∑∑==='=
n
k k n
n
k k
n v S u
S 1
1
,，则由已知条件知，存在有限数s s ',，使得 s v S s u S n
k k n n
n n
k k n n n '=='==∑∑=∞
→∞
→=∞
→∞
→1
1
lim lim ,lim lim ， 设级数
)(1
n n n
v u
±∑∞
=的部分和数列为n μ，则
)()(1
1
1
∞→'±→'±=±=±=∑∑∑===n s s S S v u v u n
n n
k k n
k k n
k k k n μ， 所以
)(1
n n n
v u
±∑∞
=也收敛，且∑∑∑∞
=∞=∞=±=±1
1
1
)(n n n n n n n v u v u ．
4．设级数
∑∞
=1
n n
u
各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级数
∑∞
=1
n n
U
，即
ΛΛ,2,1,0,1211=+++=++++n u u u U n n n k k k n ，
其中ΛΛ<<<<<<=+12100,0n n k k k k k k ，若
∑∞
=1
n n
U
收敛，证明原来的级数也收敛．
证明 设∑∑====
n
k k n n
k k
n U u
S 1
1
,σ，则
n n
k k n U U U U +++==∑=Λ211
σ
)()(21112121k k k k u u u u u u +++++++=++ΛΛ n n n n k k k k S u u u =+++++++--)(2111ΛΛ.
由于
∑∞
=1
n n
U
收敛，故}{n σ有界，即{n k S }有界，即存在0>M ，使得N n ∈?，都有M S n k ≤.
又由于
∑∞
=1n n
u
是正项级数，故M S S n k n ≤≤，而且{n S }单调上升，由单调有界原理可知，
原级数∑∞
=1
n n
u
收敛．
§3 正项级数
1．判别下列级数的收敛性： （1）
∑
∞
=+12
1n n
n ；
（2）
∑∞
=--1
1
22)12(1
n n n ； （3）
∑∞
=--11
2n n n
n ； （4）
∑∞
=12
sin
n n
π
；
（5）
)1(11
1
>+∑∞
=a a n n
； （6）
∑∞
=1
1
n n
n
n
；
（7）n
n n ∑∞
=??
?
??+1121；
（8）
[]
∑∞
=+1
)1ln(1
n n
n ；
（9）∑∞
=-+1
2)1(2n n
n
； （10）
∑∞
=13sin
2n n
n π
；
（11）
∑∞
=-+1
5sin ))1(3(n n
n n π
；
（12）
∑∞
=1
1
!2
sin n n
n ； （13）
∑∞
=??? ??-11cos 1n n n ； （14）
∑∞=1
1cos n n ； （15）
∑∞
=???? ?
?+111ln 1n n n ； （16）
∑∞
=+1
2
)
1ln(n n n ； （17）
∑∞=1
1arcsin 1sin n n n ； （18）
∑∞
=1
2
arctan n n
n π
；
（19）∑∞
=???
? ??-+1111n n ； （20）∑∞
=???
?????-???
??+122111n n ．
解（1）
∑
∞
=+1
2
1n n
n ．由于111
lim
2=+∞
→n
n
n n ，而∑∞
=11n n 发散，所以级数∑∞=+121n n
n 发
散．
（2）
∑∞
=--1
1
22)12(1
n n n ．对任意正整数n ，都成立关系式
n
n n n 212122
2
212)12(1≤≤---， 而级数
∑∞
=1
222
n n 收敛，由比较判别法知，原级数收敛． （3）∑∞
=--112n n n n ．由于02112lim ≠=--∞→n n n n ，所以级数∑∞
=--11
2n n n
n 发散．
（4）
∑∞
=12
sin n n
π
．由于ππ
=∞
→n n n 2
12sin
lim
，而∑∞=121n n
收敛，故∑∞
=12sin n n π收敛． （5）∑∞
=+111n n a ．由于1>a ，故n n
n a a a ??? ??=<+1111，而∑∞
=??
?
??11n n
a 收敛，由比较判别法知，级数
∑∞
=+111
n n
a
收敛． （6）∑∞
=11
n n n n ．由于11lim 11
lim ==∞→∞→n n n n n n
n n ，而∑∞=11n n 发散，故∑∞
=11n n n
n 发散．
（7）n
n n ∑∞
=??
? ??+1121．由于10121lim 121lim <=+=??? ??+∞→∞→n n n n n n ，故级数n
n n ∑∞
=???
?
?+1121收敛．
（8）
[]
∑∞
=+1)1ln(1
n n
n ．由于10)1ln(1
lim )1ln(1lim <=+=???
? ??+∞→∞→n n n n n
n ，故原级数收敛．
（9）∑∞
=-+1
2)1(2n n
n
． 方法1因为∑∑∑∞=∞=-∞
=-+=-+11112)1(212)1(2n n n n n n n
n ，而∑∞
=-112
1
n n 和∑∞=-12)1(n n n 均收敛，故∑∞
=-+1
2)1(2n n
n
收敛． 方法2 由于n n n 232)1(2≤-+对一切n 都成立，而∑∞
=1
23
n n 收敛，故∑∞=-+12)1(2n n
n 收敛．
（10）
∑∞
=1
3
sin
2
n n
n
π
．由于ππ
π
=?=??
? ??∞
→∞
→n
n n n n n
n n n 3
123sin
2lim 323sin
2lim
，而∑∞
=??? ??132n n
收敛，故
原级数收敛．
（11）
∑∞
=-+1
5sin
))1(3(n n
n
n π
．由于4)1(3≤-+n
，因此，若
∑∞
=1
5sin 4n n
n π
收敛，则
原级数收敛.考虑级数
∑∞
=1
5sin
4
n n
n
π
，由于ππ
π
=?=??
? ??∞→∞
→n
n n
n n n n
n n 5145sin
4lim 545sin
4lim
，且∑∞
=???
??154n n
收敛，故
∑∞
=1
5
sin
4n n
n π
收敛，因而原级数收敛．
（12）∑∞
=1
1
!2
sin n n
n ．由于!1!2sin n n n ≤，而∑∞
=1!1n n 收敛，因而原级数收敛．
（13）∑∞=??? ??-11cos 1n n n ．由于21121sin 2lim 11cos 1lim
2
2==??? ??-∞→∞→n n n n n n n ，而∑∞
=11n n
发散，因而原级数发散．
（14）
∑∞
=1
1cos n n ．由于011
cos lim ≠=∞→n n ，由级数收敛的必要条件知，原级数发散． （15）∑∞
=???? ??+111ln 1n n n ．由于1111ln lim 111ln 1lim 2
3
=????
??+=???? ??+∞→∞→n
n n n n n n ，而∑∞=1231n n 收敛，故原级数收敛．
（16）∑∞=+12)1ln(n n n ．由于0)1ln(lim 1)1ln(1
lim 2
3
2=+=+∞→∞→n n n n n n n ，而级数∑∞=1
231n n 收敛，故原级数收敛．
（17）∑∞=11arcsin 1sin n n n ．由于111arcsin 1sin lim
2
=∞→n n n n ，而级数∑∞
=121n n
收敛，故原级数收敛．
（18）
∑∞
=1
2
arctan n n
n π
．由于极限ππ
=∞
→n n n n n 2
2arctan
lim
，而对于级数∑∞
=12n n
n ，根据1212lim <=∞
→n
n n n ，故由根式判别法知，级数∑∞
=12
n n
n 收敛，因而原级数收敛． （19）∑∞
=???
? ??-+1111n n ．对通项进行分子有理化可得 )
1(21)1(2111211111111111+>+=+>++=++=-+n n n n
n n n n n n n ， 由于
∑∞
=+1
)1(21
n n 发散，故原级数发散．
（20）∑∞
=???
?????-??? ??+122111n n ．由于422212111n n n +=-???
??+，而级数∑∑∞=∞=14121,2n n n n 均
收敛，因而原级数收敛．
2．判别下列级数的敛散性：
（1）∑∞
=1!
n n
n n ；
（2）
∑∞
=1
2ln n n
n
n ； （3）∑∞
=12!n n n
n n ；
（4）∑∞
=13!n n n
n
n ；
（5）∑∞
=1!n n n
n
e n ；
（6）
∑
∞
=?
?? ?
?
+121n n
n n n ；
（7）
2
12312n
n n n ∑∞
=??
? ??-+； （8）
∑
∞
=++1
2
12)
3(n n n
n n n ；
（9）)0()1()1)(
1(12≥+++∑∞
=x x x x x n n
n
Λ； （10）
Λ+??????+????+??+10
7419753741753415313． 解（1）∑∞=1!n n n n ．由于11lim !
)!1()1(lim 1
>=??
?
??+=++∞→+∞→e n n n n n n n n n n n ，所以∑∞
=1!n n n n 发散． （2）
∑
∞
=12
ln n n
n
n ．由于 121ln 1ln 1lim 21lim ln )1ln(21lim 2ln 2)1ln()1(lim 1<=?
????
? ??
++?+=??? ??++=++∞→∞→∞→+∞→n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n ， 根据达朗贝尔判别法知，原级数收敛．
（3）∑∞=12!n n n n n ．由于121lim 22!)1(2)!1(lim 11
<=??
?
??+=++∞→++∞→e n n n n n n n n n n n n n ，故∑∞
=12!n n n n n 收敛． （4）∑∞=13!n n n n n ．由于131lim 33!)1(3)!1(lim 11
>=??
?
??+=++∞→++∞→e n n n n n n n n n
n n n n ，故∑∞
=13!n n n n n 发散． （5）∑∞
=1!n n n
n
e n ．这个级数不能用达朗贝尔判别法和柯西判别法判别，也不能用拉阿比
判别法判别，但由斯特林公式可知
)10(2!12<
?
??=θπθ
n
n e e n n n ，
因而πππθ
θ
n e n n
e e e n n n
e n n n n n n
n n
222!1212>=???
??=
，通项的极限不为0，由级数收敛的必要条件知原级数∑∞
=1!n n n
n
e n 发散．
（6）∑∞
=??? ??+121n n n n n ．因为101)(lim 1lim 22
<=+=??? ??+∞→∞→n n n n n n n n n n n ，故∑∞
=??
? ??+12
1n n n n n 收敛． （7）
∑∞
=??
?
??-+12
2312n n n n ．由于13
2
2312lim
2312lim 2
<=-+=??
?
??-+∞→∞→n n n n n n n n ，由柯西判别法知，原级数收敛．
（8）
∑
∞
=++1
2
12)
3(n n n
n n n ．由于
)(031)
3()
3(2
2
22
12∞→→+=
+++n n
n n n n n n n n n n n
，因此，如果级数
∑
∞
=+1
2
2)
3(n n n n n n 收敛，则原级数也收敛.考虑级数
∑
∞
=+1
2
2)
3(n n n
n n n ，由于
13
13lim
)
3(lim 2
2
2<=
+=+∞
→∞
→n
n n
n n n n n
n n n ，故它收敛，因而原级数也收敛．
（9）)0()1()1)(
1(12≥+++∑∞
=x x x x x n n
n
Λ．当0=x 时，级数显然收敛；当0>x 时，由于
?????>=<<=+=+++++++∞→++∞→.1,0,1,2
1,
10,1lim )
1()1)(1()
1()1)(1(lim 121
21
x x x x x x x x x x x x x x n n n n n n n ΛΛ 因而∑∞
=+++12)1()1)(
1(n n
n
x x x x Λ收敛，因此原级数对一切0≥x 收敛． （10）Λ+??????+????+??+10
7419753741753415313．级数的一般项)23(741)12(753-??+??=n n u n ΛΛ，
由于
13
21332lim )
23(741)12(753)
13(741)
32(753lim lim
1<=++=-??+??+??+??=∞→∞→+∞→n n n n n n u u n n n
n n ΛΛΛΛ， 因而原级数收敛．
3．判别级数的敛散性：
（1）
∑∞
=1ln 1
n n
n
；
（2）
∑∞
=1
ln )(ln 1
n n
n ； （3）
∑∞
=1ln 2
1
n n
；
（4）
∑∞
=1ln 3
1
n n
；
（5）
∑∞
=13
1
n n
；
（6）
∑∞
=13
n n
n
；
（7）
∑∞
=1
ln n p n n
（p 是任意实数）； （8）
∑∞
=2ln 1
n p
n
n （p 是任意实数）． 解（1）
∑∞
=1
ln 1
n n
n
．当9≥n 时2ln >n ，故当9≥n 时
2ln 1
1n n n <，而∑∞
=121n n
收敛，由比较判别法知，原级数收敛．
（2）
∑∞
=1
ln )(ln 1n n n ．由于)
ln(ln ln 1
)(ln 1n n n n =，且)()ln(ln ∞→+∞→n n ，故存在N ，当N n >时2)ln(ln >n ，从而2)
ln(ln n n n >，即当N n >时，2
ln )
(ln n n n
>，而级数∑
∞
=12
1
n n
收敛，故原级数收敛．
（3）
∑∞
=1
ln 2
1
n n
．
方法1 由于
n n n u u n n n n n n n n n n
n 112lim 12lim 12121lim 1lim 11ln 11ln )1ln(ln 1
-=???? ??-=?
????
? ??-=???? ??-?
?? ??+∞→??? ??+∞→+∞→+∞→， 该极限为
型极限，由L ＇hospital 法则得 12ln 11112ln 2lim
11
2
lim
22111ln 11ln <=-??? ??-+?
?=-??
? ??+∞
→??
? ??+∞
→n
n n
n n n n n ， 由Raabe 判别法知，原级数发散．
方法2 由于n e
n
n
= ，所以 n n 1 21ln >，而级数∑∞ =11n n 发散，由比较判别法知，原级数 ∑∞ =1 ln 2 1 n n 发散. （4） ∑∞ =1 ln 3 1 n n ．由于13ln 13lim 1lim )11ln(1>=??? ? ??-=???? ??-+∞→+∞→n n n n n n u u n ，由Raabe 判别法知，原级数收敛． 一般地，对 )0(1 1 ln >∑∞ =a a n n ，当e a ≤<0时，对一切N n ∈，n e a n n = 所以 n a n 1 1ln ≥，从而∑∞ =1ln 1n n a 发散；当e a >时，由于1ln 1lim 1>=??? ? ??-+∞→a u u n n n n ，由Raabe 判别法知，级数 ∑∞ =1ln 1 n n a 收敛． （5） ∑∞ =1 3 1 n n ．由于+∞=∞→n n n ln lim ，所以存在0>N ，当N n >时，有3 ln 2 ln >n n ， 即n n ln 23ln >，从而2 3n n >，故 21 3 1n n <，而∑∞=121n n 收敛，故∑∞ =131n n 收敛． （6） ∑∞ =1 3 n n n ．由于+∞=∞→n n n ln lim ，所以存在0>N ，当N n >时，有3 ln 3 ln >n n ， 即n n ln 33ln >，从而3 3n n >，故 21 3 n n n <，而∑∞=121n n 收敛，故∑∞ =13n n n 收敛． （7）∑∞ =1ln n p n n （p 是任意实数）．由于当3>n 时，p p n n n ln 1<，所以若∑∞ =11n p n 发散， 则原级数必发散，而1≤p 时∑∞ =11n p n 发散，因而1≤p 时，原级数∑∞ =1ln n p n n 发散． 当1>p 时，由于 212111 1 1 )1(11)1(1ln 11ln 11ln ln p x p x x p tdt p dt t t dt t t p p x p x p x p -+---=-=?=--+--??? ， 因而211 ) 1(1 ln ln lim p dx x x dt t t p x p x -==?? ∞+∞→，利用柯西积分判别法知，原级数收敛． （8）∑∞ =2ln 1n p n n （p 是任意实数）．当1>p 时，由于p p n n n 1 ln 1<且∑∞=21n p n 收敛， 故原级数收敛；当1=p 时，由于 )2ln(ln )ln(ln ln ln 1ln 1 22-==??x t d t dt t t x x ， 因而+∞==??∞+∞→dx x x dt t t x x 22ln 1 ln 1lim ，由柯西积分判别法知，原级数发散；当1 由于n n n n p ln 1 ln 1> ，而∑∞ =2 ln 1n n n 就是前面1=p 时的级数，已证得它发散，因而原级数发散． 4．利用Taylor 公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： （1）∑∞ =??? ? ??????? ??+-111n p n n e ； （2）∑∞ =????? ?3cos 1ln n p n π； （3） ∑∞ =+--+11 1 ln )1(n p n n n n ； （4） ∑∞ =++-+1 42)( n b n n a n ． 解（1）∑∞ =??? ???????? ??+-111n p n n e ．令x x x f ??? ??+=11)(，则??? ??+=x x x f 11ln )(ln ，从而 ??????+-??? ??+??? ? ?+=????? ??????? +-+??? ??+='1111ln 1111111ln )()(2x x x x x x x x f x f x ， 因此 ????????????????+-??? ??+??? ??+=-? ?? ???+-??? ??+??? ??+-=??? ??+-∞→∞→∞→1111ln 11lim 11111ln 11lim 1 11lim 22 00 n n n n n n n n n n e n n n n n n ?? ??????????????+-??? ??++-??? ? ? + =∞ →1113121111lim 3322n n n n n n n n n ο ????? ?????????????? ??++-+??? ??+=∞ →332213121)1(111lim n n n n n n n n n ο 22113121)1(11lim 2e e n n n n n n n n =?=?? ??? ????????? ????? ??++-+??? ? ?+=∞ →ο. 该极限为有限数，因而n n e ??? ? ?+-11与n 1是同阶无穷小量，由于∑∞ =11n p n 当1>p 时收敛， 1≤p 时发散，因而原级数∑∞ =??? ? ??????? ??+-111n p n n e 当1>p 时收敛，1≤p 时发散． （2）∑∞ =??? ?? ?3cos 1ln n p n π．由于 ??? ??+===n n n n ππππ22tan 1ln 21sec ln 21sec ln cos 1ln ??? ? ????? ??+-=n n n πππ22 22tan 2)(tan tan 21ο， 故21cos 1ln lim 22ππ=??? ?? ?∞→n n n ，这是一个有限数，从而n π cos 1ln 与21 n 是同阶无穷小量，因此原级数∑∞ =??????3cos 1ln n p n π与∑∞=121n p n 的收敛性一致，所以当12>p 即21 >p 时，原级数收敛，而当12≤p 即2 1 ≤p 时，原级数发散． （3） ∑∞ =+--+1 11ln )1( n p n n n n ．由于0)1(>-+p n n ，01 1ln <+-n n ，故原级数是负项级数，又由于 ??? ??-+???? ??++=+---+121ln 1111ln )1()1(n n n n n n n p p ???? ? ???? ??-+-??? ? ??++=111211n n n n p ο， 故11ln )1(+--+n n n n p 与12 1 +p n 是同阶无穷小量，因而当112>+p ，即0>p 时，原级 数收敛，0≤p 时，原级数发散． （4） ∑∞ =++-+1 42)( n b n n a n ．因为 4 2 242 )(b n n a n b n n a n b n n a n ++++++-+= ++-+ ) )(()12(2 4 2 2b n n a n b n n a n b a n a ++++++++-+-= ， 因而当21= a 时，上式与231n 是同阶无穷小量，故原级数收敛；当2 1 ≠a 时，上式与2 11n 是同阶无穷小量，故原级数发散． 5．讨论下列级数的收敛性： （1） ∑∞ =2 )(ln 1 n p n n ； （2） ∑∞ =??2 ln ln ln 1 n n n n ； （3） )0(ln ln ) (ln 1 21>∑∞ =+σσ n n n n ； （4） ∑∞ =2 )ln (ln ) (ln 1 n q p n n n ． 解（1） ∑∞ =2) (ln 1n p n n ．令函数p x x x f )(ln 1 )(=，则该函数在),2[+∞非负、连续且单 调下降． 当1=p 时，由于+∞=-==∞ →∞→∞→??))2ln(ln )(ln(ln lim ln ln 1lim ln 1 lim 22x t d t dt t t x x x x x ，因 而原级数发散． 当1≠p 时，由于 ?? ?-∞→∞ →∞ →==x p x x p x x x t d t dt t t dt t f 222 ln )(ln lim )(ln 1lim )(lim () p p x x p --∞→--=11)2(ln )(ln 11 lim ??? ??>-<∞+=-. 1, 1 )2(ln ,1,1p p p p 因而由柯西积分判别法知，当1 p 时级数收敛． 综上可知，级数 ∑∞ =2 ) (ln 1 n p n n 在1>p 时收敛，在1≤p 时发散． （2） ∑∞ =??2ln ln ln 1n n n n ．根据级数通项n u ，可令函数x x x x f ln ln ln 1 )(??=，则)2(),(≥=n n f u n 且)(x f 在),2[+∞非负、连续且单调下降，由于 ??? ∞→∞→∞ →==x x x x x x t d t t d t t dt t f 222 ln ln ln ln 1 lim ln ln ln ln 1lim )(lim []+∞=-=∞ →2ln ln ln ln ln ln lim x x . 由柯西积分判别法知，原级数发散． （3） )0(ln ln ) (ln 1 2 1>∑∞ =+σσ n n n n ．由于+∞=∞ →n n ln ln lim ，故当n 充分大时， 1ln ln >n ，因而 σ σ++≤11)(ln 1 ln ln )(ln 1n n n n n ，由（1）知∑∞ =+21) (ln 1n n n σ收敛，从而原级数收敛． （4） ∑∞ =2 )ln (ln ) (ln 1 n q p n n n ． 当1=p 时，由于 ?? ∞+∞+=22 )ln(ln )ln (ln 1)ln (ln ln 1x d x dx x x x q q ，故1>q 时级数收 第一章 定量分析的误差和数据处理 1-2 下列情况，将造成哪类误差？如何改进？ （1） 天平两臂不等长，属于系统误差。可对天平进行校正或者更换天平。 （2）测定天然水硬度时，所用蒸馏水中含Ca 2+。属于系统误差。可更换蒸馏水，或作空白试验，扣 除蒸馏水中Ca 2+对测定的影响。 1-3 填空 （1） 若只作两次平行测定，则精密度应用相对相差表示。 （2）对照试验的目的是检验测定中有无系统误差，空白试验的目的是判断测定中的系统误差是否因试剂、 蒸馏水不纯等所致。 （3）F 检验的目的是检验两组测定结果的精密度有无显著性差异。 （4）为检验测定结果与标准值间是否存在显著性差异，应用t 检验。 （5）对一样品做六次平行测定，已知d 1~d 6分别为0、+0.0003、-0.0002、-0.0001、+0.0002，则d 6为-0.0002。 （提示：一组平行测定，各单次测定结果偏差的代数和为0） 1－4解：%3.0mL 50.6mL 02.01r ±=±= E %08.0mL 65.25mL 02.02r ±=±= E 上述计算说明为减小滴定管的体积误差，应适当增大取液的体积。 1- 5解： 纯FeSO 4·7H 2O 试剂中w (Fe)的理论值是： %09.20mol g 0.278mol 55.85g O)H 7FeSO (Fe)(Fe)(-124=??=?=M M w %06.20%4 05 .2004.2003.2010.20=+++= x d i 分别为：0.04%,-0.03%,-0.02%,-0.01% %03.0%4 01 .002.003.004.0=+++= =d 平均偏差 %2.0% 06.20%03.0=== x d d r %03.0%09.20%06.20-=-=-=T x Ea %2.0% 06.20%03.0-=-== x Ea E r %03.01 401.002.003.004.02 222=-+++=S 一、 选择题 1、用同一NaOH 滴定相同浓度和体积的两种弱一元酸，则a K Θ 较大的弱一元酸（B ） A 消耗NaOH 多；B 突跃范围大；C 计量点pH 较低；D 指示剂变色不敏锐。 2、滴定分析要求相对误差±0.1%，万分之一的分析天平绝对误差为±0.0001g ，则一般至少称取试样质量为（B ） A0.1g ；B0.2g ；C0.3g ；D0.4g. 3、以HCl 溶液滴定某碱样，滴定管的初读数为0.25±0.01ml ，终读数为32.25±0.01ml ，则用去HCl 溶液的准确体积为（D ） A32.0ml ；B32.00ml ；C32.00±0.01ml ；D32.00±0.02ml 。 4、指示剂的变色范围越窄，则（A ） A 滴定越准确； B 选择指示剂越多； C 变色敏锐； D 滴定越不准确。 5、溶液pH 降低，EDTA 的配位能力会（B ） A 升高；B 降低；C 不变；D 无法确定。 6、用KMnO 4法测定Ca 2+离子，所采用的滴定方式是（B ）法 A 直接滴定法；B 间接滴定法；C 返滴定法；D 置换滴定法。 7、不同波长的电磁波，具有不同的能量，其波长与能量的关系为（B ） A 波长愈长，能量愈大；B 波长愈长，能量愈小；C 波长无能量无关。 8、在酸性条件下，莫尔法测Cl -，其测定结果（B ） A 偏低；B 偏高；C 正好；D 无法确定。 9、下列有关配体酸效应叙述正确的是（B ） A 酸效应系数越大，配合物稳定性越大；B 酸效应系数越小，配合物稳定性越大；CpH 越高，酸效应系数越大。 10、酸性介质中，用草酸钠标定高锰酸钾溶液，滴入高锰酸钾的速度为（B ） A 同酸碱滴定一样，快速进行；B 开始几滴要慢，以后逐渐加快； C 始终缓慢；D 开始快，然后逐渐加快，最后稍慢。 11、酸碱滴定中，选择指示剂可不考虑的因素是（D ） ApH 突跃范围；B 要求的误差范围；C 指示剂的变色范围；D 指示剂的结构。 12在硫酸—磷酸介质中，用17221.06 1 -?== L mol O Cr K c 的K 2Cr 2O 7滴定121.0)(-+?≈L m o l Fe c 硫酸亚铁溶液，其计量点电势为0.86V ，对此滴定最适合的指示剂 为（C ） A 邻二氮菲亚铁V 06.1=' Θ ?； B 二苯胺V 76.0=' Θ ? ； C 二苯胺磺酸钠V 84.0=' Θ ?； D 亚甲基蓝V 36.0=' Θ ? 13、在1mol·L -1HCl 介质中，用FeCl 3(V Fe Fe 77.023/=+ +Θ ?)滴定SnCl 2(V Sn Sn 14.024/=++Θ?) 终点电势为（D ） 《定量分析简明教程》 第三章习题答案 3-1 EDTA 在水溶液中是六元弱酸（H 6Y 2+），其p K a1~p K a6分别为0.9、1.6、2.07、2.75、6.24、10.34、则 Y 4-的pK b3为： p K b3=p K w －p K a4=14－2.75=11.25 3-2解： 99.010 8.110 108.1/)H ()Ac (5 7 5 - =?+?= += ---Θ + a a K c c K x x (HAc) = 1－0.99 = 0.01 c (Ac －) = 0.99?0.1mol·L －1 = 0.099 mol·L － 1 c (HAc) = 0.01?0.1mol·L －1 = 0.001 mol·L －1 3-3 (1) H 3PO 4 的PBE ：c (H +)=c (H 2PO 4－)+2c ([HPO 42－]+3c ([PO 43－]+c (OH － ) (2) Na 2HPO 4的PBE ：c (H +)+c (H 2PO 4－)+2c ([H 3PO 4]= c ([PO 43－]+c (OH － ) (3) Na 2S 的PBE ：c (OH -)=c (HS － )+2c (H 2S)+c (H +) (4) NH 4H 2PO 4的PBE ：c (H +)=c (NH 3)+2c (PO 43－)+c (HPO 42－) +c (OH － ) － c (H 3PO 4) (5) Na 2C 2O 4的PBE ：c (OH －)=c (HC 2O 4－ )+2c (H 2C 2O 4)+c (H +) (6) NH 4Ac 的PBE ：c (H +)+c (HAc)=c ( NH 3) +c (OH － ) (7) HCl+HAc 的PBE ：c (H +)=c (OH －)+c (HCl)+ c (Ac － ) (8) NaOH+NH 3的PBE ：c (OH － )=c (NH 4+)+c (H +)+c (NaOH) 3-4解： 一元弱酸HA 与HB 混合溶液的PBE ：c (H +)=c (A －)+c (B －)+c (OH － ) （1） 将有关平衡关系式代入质子等衡式中得到计算c (H +)的精确式： w /H B )()HB (/HA)()HA (/)H (/)H (/)H (/(HB))HB (/)H (/HA)()HA (/)H (K c c K c c K c c c c K c c c c K c c c c K c c w +?+?= + ?+ ?=Θ Θ Θ + Θ + Θ + Θ Θ + Θ Θ + (1) 由PBE ：c (H +)=c (A － )+c (B － )+c (OH － ) ，若忽略c (OH － ),则：c (H +)=c (A － )+c (B － )，计算c (H +)的近似公式为： Θ Θ + ?+?= c c K c c K c /H B )()HB (/HA)()HA ()H ( (2) 再若{c (HA)/c }/K Ha ，{c (HB)/ c }/K HB 均较大，则c eq (HA)≈c 0(HA)， c eq (HB)≈c 0(HB)，计算[H +]的近似公式为： )H B ()H B ()H A ()H A ()H (00c K c K c ?+?= + 3-5计算下列溶液的pH 值： (1),c (H 3PO 4)= 0.20mol ?L － 1 因为K a1/K a2>10，(c /c )/K a2>102.44，∴只考虑H 3PO 4的第一步解离 又因为(c /c )?K a1>10-12.61, (c /c )/K a1=29<102.81，∴用近似式计算： 034 .02 2 .010 9.64)10 9.6(10 9.62 /4/)H (3 23 3 1211=???+?+?-= ++-= ---Θ Θ + c c K K K c c a a a pH=1.47 (3) c (Na 3PO 4)=0.1mol ?L － 1 Na 3PO 4 K b1=2.1?10－2， K b2=1.6?10－7 , K b3=1.4?10－ 12 因为K b1 /K b2>10，(c /c )/ K b2>102.44，∴只考虑Na 3PO 4的第一步解离 又因为(c /c )?K b1>10－ 12.61，(c /c )/K b1<102.81，∴用近似式计算： 0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]内的近似根，要求误差不 超过10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]内有唯一个实根；使用 二分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]内有唯一实根. 由二分法的误差估计式211*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k . 两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥ k ，因此取7=k ，即至少需二分 0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71，718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=-K x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=-K x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=-K x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171.205 .0||222=<-= x x e r ε； %0184.0718 .20005 .0||333=<-= x x e r ε。 评 （1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字； （2）近似数的所有数字并非都是有效数字. 2．（p.12，题9）设72.21=x ，71828.22=x ，0718.03=x 均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。 【解】 005.01=ε，31 1 11084.172.2005 .0-?≈< = x r εε； 000005.02=ε，622 21084.171828 .2000005 .0-?≈< =x r εε； 00005.03=ε，43 3 31096.60718 .000005 .0-?≈< = x r εε； 评 经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位. 3．（p.12，题10）已知42.11=x ，0184.02-=x ，4 310184-?=x 的绝对误差限均为 教材和参考书 教材： 《数学分析》（第二版），陈纪修，於崇华，金路编 高等教育出版社, 上册：2004年6月，下册：2004年10月 参考书： （1）《数学分析习题全解指南》，陈纪修，徐惠平，周渊，金路，邱维元高等教育出版社, 上册：2005年7月，下册：2005年11月 （2）《高等数学引论》（第一卷），华罗庚著 科学出版社（1964） （3）《微积分学教程》，菲赫金哥尔兹编，北京大学高等数学教研室译，人民教育出版社（1954） （4）《数学分析习题集》，吉米多维奇编，李荣译 高等教育出版社（1958） （5）《数学分析原理》，卢丁著，赵慈庚，蒋铎译 高等教育出版社（1979） （6）《数学分析》，陈传璋等编 高等教育出版社（1978） （7）《数学分析》（上、下册），欧阳光中，朱学炎，秦曾复编， 上海科学技术出版社（1983） （8）《数学分析》（第一、二、三卷），秦曾复，朱学炎编， 高等教育出版社（1991） （9）《数学分析新讲》（第一、二、三册），张竹生编， 北京大学出版社（1990） （10）《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋等编 高等教育出版社（1999） （11）《数学分析》（第三版，上、下册），华东师范大学数学系， 高等教育出版社（2002） （12）《数学分析教程》常庚哲，史济怀编， 江苏教育出版社（1998） （13）《数学分析解题指南》林源渠，方企勤编， 北京大学出版社（2003） （14）《数学分析中的典型问题与方法》裴礼文编， 高等教育出版社（1993） 复旦大学数学分析全套视频教程全程录像,ASF播放格式，国家级精品课程，三学期视频全程 教师简介: 陈纪修-基本信息 博士生导师教授 姓名：陈纪修 比较详细的数值分析课后习题答案 0.1算法 1、 （p.11，题1）用二分法求方程013 =--x x 在[1,2]的近似根，要求误差不超过 10-3. 【解】 由二分法的误差估计式31 1*102 1 2||-++=≤=-≤ -εk k k a b x x ，得到100021≥+k .两端取自然对数得96.812ln 10 ln 3≈-≥ k ，因此取9=k ，即至少需 2、（p.11，题2） 证明方程210)(-+=x e x f x 在区间[0,1]有唯一个实根；使用二 分法求这一实根，要求误差不超过2102 1 -?。 【解】 由于210)(-+=x e x f x ，则)(x f 在区间[0,1]上连续，且 012010)0(0<-=-?+=e f ，082110)1(1>+=-?+=e e f ，即0)1()0(+=x e x f ，即)(x f 在区间[0,1]上是单调的，故)(x f 在区间[0,1]有唯一实根. 由二分法的误差估计式21 1*1021 2 12||-++?=≤=-≤-εk k k a b x x ，得到1002≥k .两端取自然对数得6438.63219.322 ln 10 ln 2=?≈≥ k ，因此取7=k ，即至少需二分 0.2误差 1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值7.21=x ，71.22=x ，x 2=2.71， 718.23=x 各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。 【解】有效数字： 因为111021 05.001828.0||-?= <=- x e ，所以7.21=x 有两位有效数字； 因为1 2102105.000828.0||-?=<=- x e ，所以71.22=x 亦有两位有效数字； 因为3 3102 10005.000028.0||-?=<=- x e ，所以718.23=x 有四位有效数字； %85.17.205 .0||111=<-= x x e r ε； %85.171 .205 .0||222=<-= x x e r ε； 《定量分析简明教程》 第二章习题答案 2-2 （6） 答：分析纯NaCl 试剂若不作任何处理就用以 标定AgNO 3溶液的浓度，结果会偏高，原因是NaCl 易吸湿，使用前应在500~600?C 条件下干燥。如不作上述处理，则NaCl 因吸湿，称取的NaCl 含有水分，标定时消耗AgNO 3体积偏小，标定结果则偏高。 H 2C 2O 4?2H 2O 长期保存于干燥器中，标定NaOH 浓度时，标定结果会偏低。因H 2C 2O 4?2H 2O 试剂较稳定，一般温度下不会风化，只需室温下干燥即可。若将H 2C 2O 4?2H 2O 长期保存于干燥器中，则会失去结晶水，标定时消耗NaOH 体积偏大，标定结果则偏低。 2-3 （1） H 2C 2O 4?2H 2O 和KHC 2O 4? H 2C 2O 4?2H 2O 两种物质分别和NaOH 作用时， －△n (H 2C 2O 4?2H 2O):－△n (NaOH)=1:2 ； －△n (NaOH): －△n (KHC 2O 4? H 2C 2O 4?2H 2O)=3:1 。 （2）测定明矾中的钾时，先将钾沉淀为KB(C 6H 5)4，滤出的沉淀溶解于标准EDTA —Hg(II )溶液中，在以已知浓度的Zn 2+标准溶液滴定释放出来的 EDTA ： KB(C 6H 5)4+4HgY 2-+3H 2O+5H +=4Hg(C 6H 5)++4H 2Y 2-+H 3BO 3+K + H 2Y 2-+Zn 2+=ZnY 2-+2H + K +与Zn 2+的物质的量之比为1:4 。 2-4解： m (NaOH)=c (NaOH)v (NaOH)M (NaOH)=0.1mol ·L -1?0.500L ?40g ·mol -1=2g 1-1-142424242L mol 8.17mol g 9895%L 1840)SO (H )SO H ()SO H )SO H (?=???==?g M w c （浓ρ c (H 2SO 4稀)v (SO 4稀)=c (H 2SO 4浓) V (H 2SO 4浓) 0.2mol ?L -1?0.500L=17.8mol ?L -1? V (H 2SO 4浓) V (H 2SO 4浓)=5.6mL 2-5解： 2HCl+Na 2CO 3=2NaCl+H 2O+CO 2 －△n (Na 2CO 3)=－(1/2)△n (HCl) S s m M V c w m V T w V m T ) CO Na ((HCl)HCl)(2 1)CO Na (%30.58g 2500.0mL 00.25mL g 005830.0HCl)(HCl)/CO Na ()CO Na (mL g 005830.0mL 1mol 106.0g L 001.0L mol 1100.021HCl)()CO Na (HCl)/CO Na (32321-32321 -1-13232==??==?=?????==?或： 第六章 不定积分 在不定积分的计算中，有很多方法是机械性的：有很多固定的模式和方法，还有一些常用的公式。在本章里使用的积分公式除了课本161页给出的10个常用公式外，还有6个很有用的式子，罗列如下： 22 22 2211.ln ;212.arctan ;3.arcsin ; 4.ln ; 5.ln ; 26.arcsin . 2dx x a C x a a x a dx x C x a a a x C a x C a x C a x C a -=+-+=++=+=+=+=+? ? 这六个公式在答案中的使用次数很大，使用的时候没有进行说明，敬请读者仔细甄别。当然答案计算过程中不免有不少错误，敬请原谅并修改。 第一节 不定积分的概念 1.求下列不定积分： 33 5 3 64642 2112111(1)(. 4643*4646 x x dx x x x C x x x C +-=+-+=+-+? 3341 (2)(5)(5)(5)(5). 4 x dx x d x x C -=---=--+?? 11421131 3333222223 (3)(32)63.34dx x x x x dx x x x x C --=+++=++++?? 2242 4242 422 311111(4)()()(1)1111 arctan . 3 dx x x dx dx dx dx x x dx x x x x x x x x x x C ------=+=+=-+++++=-+++?????? 22 233(5)(3)33arctan .11x dx dx x x C x x =-=-+++?? 113 2222 (6)().3x x dx x C -=+=+? (7)(2sin 4cos )2cos 4sin .x x dx x x C -=--+? 22 1 (8)(3sec )(3)3tan .cos x dx dx x x C x -=- =-+?? 222 22sin 3cos 1 (9)(tan 3)(2)tan 2.cos cos x x x dx dx dx x x C x x ++==+=++??? 22222sin 3cos (10)3tan .cos cos x x dx dx x x C x x +-==-+?? 2 22sin tan 11 cos (11)(cos ).cos cos cos cos sin 22 x x x dx dx d x C x x x x x ==-=+-??? 22cos 2cos sin (12)(cos sin )sin cos . cos sin cos sin x x x dx dx x x dx x x C x x x x -==+=-+--??? 2221 (13)tan .1cos 21cos sin 2cos 2 dx dx dx x C x x x x ===+++-? ?? 22 252(14)(51)(52*51)5. 2ln 5ln 5x x x x x dx dx x C +=++=+++?? 121(15)(2()). 35ln 2ln 335 x x x x x x e e dx C +-=--+? (16)(1( . x x x x e dx e dx e C -=-=-?? 221 (17)(cos sin 2arctan arcsin . 14 x dx x x x C x - =--++? 1 137 2 4 4 44(18). 7x x dx x dx x C ===+ ?? 2 12(19)2312.ln12 x x x x dx dx C ==+?? 3 (20)sin )sin )arcsin cos .2 x dx x dx x x C +=+= -+?? 数学分析第三版答案下册 【篇一：2015年下学期数学分析(上)试卷a参考答案】> 一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、126； 2、2； 3、1?x?x2???xn?o(xn)； 4、arcsinx?c （或?arccos x?c）；5、2. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、c; 2、a； 3、a； 4、d； 5、b 三、求极限（每小题5分，共10分） 1??1、lim1?2? 2、limxlnx ?n??x?0 ?n? ? n 1?? ?lim?1?2?n??n?? 1 n n2? 1n 1 lnx（3分） ?lim?li?? x?0x?011 ?2 xx （3分） (?x)?0 （2分）?lime?1（2分） ?lim? n?? x?0 3n2 ?3 。四、利用数列极限的??n定义证明：lim2（10分） n??n?3 证明：当n?3时，有（1分） 3n299 （3分） ?3??22 n?3n?3n 993n2 因此，对任给的??0，只要??，即n?便有2 ?3?? （3分） n?n?3 3n2x{3,}，当n?n便有2故，对任给的??0，取n?ma（2 分） ?3??成立。 ?n?3 9 3n2 ?3（1分）即得证lim2 n??n?3 五、证明不等式：arctanb?arctana?b?a，其中a?b。（10分） 证明：设f(x)?arctanx，根据拉格朗日中值定理有（3分） f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)? 1 (b?a),2 1?? (a???b) （3分） 所以有 f(b)?f(a)?(b?a) （2分） bn?arctaan?b?a （2分）即 arcta 六、求函数的一阶导数：y?xsinx。（10分） 解：两边取对数，有： lny?sinxlnx （4分） 两边求一次导数，有： y??xsinx(cosxlnx? y?sinx （4分） ?cosxlnx? yx sinx )（2分） x 七、求不定积分：?x2e?xdx。（10分）解： 2?x2?x xedx?xde = （2分） ?? = ?x2e?x?2?xe?xdx （2分） = ?x2e?x?2?xde?x（2分） = ?x2e?x?2xe?x?2?e?xdx （2分） =?e?x(x2?2x?2)?c （2分） 15 八、求函数f(x)?|2x3?9x2?12x|在闭区间[?,]上的最大值与最小值。（10 42 第二章 函数 §1 函数概念 1．证明下列不等式： (1) y x y x -≥-； (2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121； (3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ ． 证明（1）由 y y x y y x x +-≤+-=)(，得到 y x y x -≤-， 在该式中用x 与y 互换，得到 x y x y -≤-，即 y x y x --≥-， 由此即得，y x y x -≥-． （2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立． 假设当k n =时，不等式成立，即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121，则当 1+=k n 时，有 1 211211 21121121)()(+++++++++=++++≤++++≤++++=++++k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 有数学归纳法原理，原不等式成立． （3）n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ ． 2．求证 b b a a b a b a ++ +≤ +++111． 证明 由不等式 b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得， )1()()1(b a b a b a b a +++≤+++， 即 b b a a b a b b a a b a b a b a b a ++ +≤ +++ ++= +++≤ +++111111． 第一章 系统误差的性质：由固定原因造成的，有单向性特征，通过数理统计的方法不能除去。 系统误差的来源：仪器、试剂、实验方法、实验操作 系统误差的解决办法：针对仪器的要校准仪器；针对试剂的要做空白试验，因实验方法而带来系统误差的要改进实验方法或重新选定实验方法。 随机误差具有偶然性，随机性，也是必然存在的，随机误差只能通过多次平行实验来减小随机误差 在没有系统误差的情况下，无限次平行测定结果的平均值等于真值。 在没有系统误差的情况下，无限次平行测定结果的随机误差遵循正态分布规律，有限次的采用 n ts x ± =μ 来处理。 为了检验两组数据之间的精密度是否有显著性差异，用F 检验 为了检验平均值和真值或标准值之间是否显著性差异，用t 检验。 为了考察两组数据之间显著性差异，先用F 检验，后用t 检验。F 检验不合格就不用t 检验，只有F 检验合格了才可以进行t 检验。 处理数据要注意四舍六入五成双 计算平均值时要注意可疑值的取舍，取舍有两种方法，Q 值检验法和4d 法。会计算标准偏差 以及置信区间。 第二章 酸碱滴定法 要会计算溶液酸碱度，针对具体情况选用不同的公式；一元酸、二元酸、一元碱、二元碱、两性物质等 要会写质子平衡方程，这是计算pH 值的基础。 要会运用平衡常数，在分析化学中，几乎所有的问题都可以用平衡常数来解决，分布系数是由平衡平常推导而来的，更为方便一些。 会计算滴定曲线化学计量点前、后及化学计量点时溶液的pH 值。首先要会判断化学计量点前、后及化学计量点时溶液的性质，然后采取相应的公式计算。并且要了解pH 的变化方向。 酸碱指示剂的变色原理，变色点及变色范围公式要记牢：1±=HIn pK pH 要知道其根本依据依然是平衡常数 不只酸碱指示剂其它类型的指示剂的变色点、变色范围也是都有其相应公式的，例如：氧化还原反应的氧化还反应类型指示剂、配位滴定的金属指示剂的变色点及变色范围，要按照对照模式来学习其它类型的指示剂的变色点及变色原理，如果都弄明白就OK 了 在这章中关于计算就是要会计算酸碱度还有一个重要的应用混合碱滴定，求其两种成分。 在整个分析化学中重要的是滴定误差的分析，要会判断是正误差还是负误差，正误差就是过量了，负误差就是不足量。 指示剂的选择，要考虑滴定突跃，因为指示剂变色范围要在滴定突跃范围之内，并且要考虑好滴定曲线的变化趋势及指示剂的颜色如何变化，最后判断大致在哪个具体的点变色，如果低于计量点则是负误差，高于计量点则正误差。必须会判断。 影响滴定突跃的因素：酸碱、沉淀、配位、氧化还原 第三章沉淀滴定法 重点掌握指示剂的变色原理及以莫尔法沉淀滴定时要注意的几点。介质酸度控制在中性或弱碱性的原因，以及沉淀吸附的现象、还有在滴定过程中指示剂用多了或用少了会产生什么样的误差、溶液是酸性或是碱性会产生什么样的后果造成什么样的误差。 第四章配位滴定法 了解EDTA 的结构及具体化学名称 第二章 函数 §1 函数概念 1．证明下列不等式： (1) y x y x -≥-； (2) n n x x x x x x +++≤+++ 2121； (3) )(2121n n x x x x x x x x +++-≥++++ ． 证明（1）由 y y x y y x x +-≤+-=)(，得到 y x y x -≤-， 在该式中用x 与y 互换，得到 x y x y -≤-，即 y x y x --≥-， 由此即得，y x y x -≥-． （2）当2,1=n 时，不等式分别为212111,x x x x x x +≤+≤，显然成立． 假设当k n =时，不等式成立，即 k k x x x x x x +++≤+++ 2121，则当1+=k n 时，有 有数学归纳法原理，原不等式成立． （3）n n n x x x x x x x x x x x x +++-≥++++=++++ 212121)( )(21n x x x x +++-≥ ． 2．求证 b b a a b a b a +++≤+++111． 证明 由不等式 b a b a +≤+，两边加上)(b a b a ++后分别提取公因式得， )1()()1(b a b a b a b a +++≤+++， 即 b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++111111． 3．求证 2 2),max (b a b a b a -++=； 2 2),min(b a b a b a --+=． 证明 若b a ≥，则由于b a b a -=-，故有 22),max (b a b a a b a -++==，2 2),min(b a b a b b a --+==， 若b a <，则由于)(b a b a --=-，故亦有 22),max (b a b a b b a -++==，2 2),min(b a b a a b a --+==， 因此两等式均成立． 4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ，试求此三角形的面积)(θs ，并求其定义域． 解 θθs i n 2 1)(ab s =，定义域为开区间),0(π． 5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域． 解 设内接圆柱高为x ，则地面半径为42 2 x r r -='，因而体积 )4(2 2 2x r x x r V -='=ππ， 定义域为开区间)2,0(r ． 6．某公共汽车路线全长为km 20，票价规定如下：乘坐km 5以下（包括km 5）者收费1元；超过km 5但在km 15以下（包括km 15）者收费2元；其余收费2元5角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形． 解 设路程为x ，票价为y ，则 函数图形见右图． 7．一脉冲发生器产生一个三角波．若记它随时间t 的变化规律为)(t f ，且三个角分别有对应关系0)0(=f ，20)10(=f ，0)20(=f ，求)200()(≤≤t t f ，并作出函数的图形． 解 ? ??≤<-≤≤=．2010,240,100,2)(t t t t t f 函数图形如右图所示． 8．判别下列函数的奇偶性： 1、根据化学反应的分类,滴定分析法可分为________、________、________、________、四种滴定法。 2、标定HCl溶液的浓度时，可用Na2CO3或硼砂为基准物质，若Na2CO3吸水，则标定结果__________；若硼砂结晶水部分失去，则标定结果__________；（以上两项填无影响、偏高、偏低）若两者均保存妥当，不存在上述问题，则选__________作为基准物好，原因为 _________________________________。 3、称取纯的K2Cr2O75.8836g，配制成1000ｍL溶液，则此溶液的c﹙K2Cr2O7﹚为_______mol/L；C ﹙1/6 K2Cr2O7﹚为_________mol/L；ＴK2Cr2O7/Fe为___________g/ｍL；ＴK2Cr2O7/Fe2O3为 __________g/ｍL；ＴK2Cr2O7//Fe3O4______________g/ｍL。 4、滴定管在装标准溶液前需要用该溶液洗涤________次,其目的________。 5、配制标准溶液的方法一般有________、________两种。 6、滴定方式有________、________、________、________四种。 7、常用于标定HCl溶液浓度的基准物质有____________和___________；常用于标定NaOH溶液浓度的基准物质有__________和___________。 8、碱滴定法测定Na2B4O7·10H2O，B，B2O3，NaBO2·H2O四种物质，它们均按反应式 B4O72-+2H+ +5H2O =4H3BO3进行反应，被测物与间的物质的量之比分别为____________、 ____________、___________、____________。 1. 酸碱滴定法、配位滴定法、氧化还原滴定法、沉淀滴定法。 2.偏高、偏低、硼砂、盐酸与两者均按1/2计量比进行反应，硼砂的摩尔质量大称量时相对误差小。 3.0.02000 mol/L，0.1200 mol/L，6.702*10-3g/mL，9.582*10-3g/mL， 9.260*10-3 g/mL。 4.3；除去内壁残留的水分,确保标准溶液的浓度。 5.直接法和标定法。 6. 直接滴定法、返滴定法、置换滴定法、间接滴定法。 7.碳酸钠和硼砂，二水合草酸和邻苯二甲酸氢钾。 8.1:2 ， 2:1 ， 1:1 ， 2:1 。 返回 1、使用碱式滴定管正确的操作是（） A、左手捏于稍低于玻璃珠近旁 B、左手捏于稍高于玻璃珠近旁 C、右手捏于稍低于玻璃珠近旁 D、右手捏于稍高于玻璃珠近旁 2、酸式滴定管尖部出口被润滑油酯堵塞，快速有效的处理方法是（） A、热水中浸泡并用力下抖 B、用细铁丝通并用水冲洗 C、装满水利用水柱的压力压出 D、用洗耳球对吸 3、如发现容量瓶漏水，则应（） 《定量分析简明教程》第五章习题答案 5-8答： （1）白云石是一种碳酸盐岩石，主要成分为碳酸钙和碳酸镁，其比例约为 1 1 。采用配位滴定法测定白云石中钙镁含量，是将试样经盐酸溶解 后，调节pH=10,用EDTA滴定Ca2+,Mg2+总量，原因是：pH=10时，由于 lg K f(CaY)-lg K f(MgY)<6,Mg2+的干扰严重，lg K f(CaY)<8,故第一化学计 (H)=,lg K f(MgY)= 故可测钙镁含量。 量点附近无明显pCa突跃，但lg Y （2）若另取一份试液，调节pH>12，可用EDTA单独滴定Ca2+ ，原因是：此 沉淀，Mg2+ 被掩蔽，故可单独滴定Ca2+。 时形成Mg(OH) 2 （3）若另取一份试液，调节pH=8，用EDTA滴定，Ca2+,Mg2+均不能被准确测定。原因是：pH=8时，由于Mg2+的干扰，使得 lg K f(CaY)<8, 不能分 步滴定Ca2+，且lg K f(MgY)<8,，故Ca2+,Mg2+均不能被准确测定。 5-9 (1) 5-10下列有关酸效应的叙述正确的是：（2） （1）酸效应系数愈大，配合物稳定性愈大； （2）酸效应系数愈小，配合物稳定性愈大； （3）pH值愈高，酸效应系数愈大； （4）酸效应系数愈大，配位滴定的pM突跃范围愈大。 5-11 EDTA是乙二胺四乙酸简称，它的与金属离子形成螯合物时，螯合比一般为11。 5-12 计算EDTA二钠盐水溶液pH值的近似公式是pH=(1/2)(p K a4+p K a5) (=。 （EDTA相当于六元酸） 5-13 PAR在溶液中存在下列平衡，它与金属离子形成的配合物颜色显红色： HIn- pK= H+ +In— 第一章 定量分析的误差和数据处理 1-2 下列情况，将造成哪类误差？如何改进？ （1） 天平两臂不等长，属于系统误差。可对天平进行校正或者更换天平。 （2）测定天然水硬度时，所用蒸馏水中含Ca 2+。属于系统误差。可更换蒸馏水，或作空 白试验，扣除蒸馏水中Ca 2+对测定的影响。 1-3 填空 （1） 若只作两次平行测定，则精密度应用相对相差表示。 （2）对照试验的目的是检验测定中有无系统误差，空白试验的目的是判断测定中的系统误 差是否因试剂、蒸馏水不纯等所致。 （3）F 检验的目的是检验两组测定结果的精密度有无显著性差异。 （4）为检验测定结果与标准值间是否存在显著性差异，应用t 检验。 （5）对一样品做六次平行测定，已知d 1~d 6分别为0、+0.0003、-0.0002、-0.0001、+0.0002， 则d 6为-0.0002。（提示：一组平行测定，各单次测定结果偏差的代数和为0） 1－4解：%3.0mL 50.6mL 02.01r ±=±=E %08.0mL 65.25mL 02.02r ±=±= E 上述计算说明为减小滴定管的体积误差，应适当增大取液的体积。 1- 5解： 纯FeSO 4·7H 2O 试剂中w (Fe)的理论值是： %09.20mol g 0.278mol 55.85g O)H 7FeSO (Fe)(Fe)(1 --124=??=?=M M w %06.20%4 05 .2004.2003.2010.20=+++= x d i 分别为：0.04%,-0.03%,-0.02%,-0.01% %03.0%4 01 .002.003.004.0=+++= =d 平均偏差 %2.0% 06.20%03.0=== x d d r %03.0%09.20%06.20-=-=-=T x Ea %2.0% 06.20%03.0-=-== x Ea E r 第一章 定量分析的误差和数据处理 1-2 下列情况，将造成哪类误差？如何改进？ （1） 天平两臂不等长，属于系统误差。可对天平进行校正或者更换天平。 （2）测定天然水硬度时，所用蒸馏水中含Ca 2+。属于系统误差。可更换蒸馏水，或作空白试验，扣 除蒸馏水中Ca 2+对测定的影响。 1-3 填空 （1） 若只作两次平行测定，则精密度应用相对相差表示。 （2）对照试验的目的是检验测定中有无系统误差，空白试验的目的是判断测定中的系统误差是否因试剂、蒸馏水不纯等所致。 （3）F 检验的目的是检验两组测定结果的精密度有无显著性差异。 （4）为检验测定结果与标准值间是否存在显著性差异，应用t 检验。 （5）对一样品做六次平行测定，已知d 1~d 6分别为0、+0.0003、-0.0002、-0.0001、+0.0002，则d 6为-0.0002。 （提示：一组平行测定，各单次测定结果偏差的代数和为0） 1－4解：%3.0mL 50.6mL 02.01r ±=±= E %08.0mL 65.25mL 02.02r ±=±=E 上述计算说明为减小滴定管的体积误差，应适当增大取液的体积。 1- 5解： 纯FeSO 4·7H 2O 试剂中w (Fe)的理论值是： %09.20mol g 0.278mol 55.85g O)H 7FeSO (Fe)(Fe)(1 --1 24=??=?=M M w %06.20%405.2004.2003.2010.20=+++= x d i 分别为：0.04%,-0.03%,-0.02%,-0.01% %03.0%401 .002.003.004.0=+++==d 平均偏差 %2.0%06.20% 03.0===x d d r %03.0%09.20%06.20-=-=-=T x Ea %2.0%06.20% 03.0-=-==x Ea E r %03.01401.002.003.004.02 222=-+++=S %2.0%06.20% 03.0===x S 变异系数 6解： 1- 7解： ①用Q 值检验法： ∴12.47应保留 ②用4d 检验法： % 90.242% 93.24%87.24=+=x % 60.0%05.25% 05.25%90.24-=-=相对误差% 2.0%90.24% 87.24%93.24=-=相对相差73 .04.033.1247.1242.1247.12=<=--=表计Q Q % 37.12%442 .1238.1234.1233.12=+++=x % 03.0%405 .001.003.004.0=+++=d % 12.04=d定量分析简明教程赵士铎答案
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