8．直线ax ＋by ＋c ＝0(a ≠0)的倾斜角为α，则直线ax －by ＋c ＝0(a ≠0)的倾斜角为__________．
答案 π－α
9．过点(1,3)作直线l ，若经过点(a,0)和(0，b )，且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的l 的条数为________．
答案 2
解析 解法一 由题意1a ＋3b ＝1?(a －1)(b －3)＝3.
有两个解????? a ＝2b ＝6或?????
a ＝4
b ＝4
解法二 利用斜率相等知3－b 1＝31－a
?(a －1)(b －3)＝3.
以下同解法一．
10．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋23上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则α的
取值范围是________
答案 [0，π2)∪[3π4，π)
解析 设P (x ，y )，y ′＝3x 2－1，
∴tan α＝3x 2－1∈[－1，＋∞)．
∴0≤α<π2或3π4≤α<π.
11．过点P (1,2)，在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程为______________． 答案 y ＝2x 或x ＋y －3＝0
解析 设所求直线l 在x 轴，y 轴上的截距均为a ，
若a ＝0，即l 过点(0,0)和(1,2)，∴l 方程为y ＝2x ；
若a ≠0，设l 方程为x ＋y ＝a ，则a ＝1＋2＝3，
∴l 方程为x ＋y －3＝0.
12．直线x ＋a 2y －a ＝0(a >0)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，a 的值为________．
答案 2
解析 方程可化为x a ＋y 1a
＝1，因为a >0，所以截距之和t ＝a ＋1a ≥2，当且仅
当a ＝1a ，即a ＝1时取等号，故a 的值为2.
评析 本题考查直线的方程、截距以及由基本不等式求最值等数学基础知识，属于目前高考选择题中典型的小综合题．
三、解答题
13．一束光线从点P (0,1)出发，射到x 轴上一点A ，经x 轴反射，反射光线过点Q (2,3)，求点A 的坐标．
解析 Q (2,3)关于x 轴的对称点为Q ′(2，－3)
则P 、A 、Q ′三点共线，设A (x 0,0)
则－1x 0＝1－(－3)0－2
，∴x 0＝12，即 A (12，0) 14．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．
解析 K AC ＝－2，K AB ＝23
∴AC ：y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0
AB ：y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0
由????? 2x ＋y －3＝03x ＋2y －3＝0
得C (3，－3) 由?????
2x －3y ＋1＝0x －2y ＝0
得B (－2，－1)
∴BC：2x＋5y＋9＝0.
15．已知实数x，y满足2x＋y＝8(2≤x≤3)，试求
2y
2x－5
(x≠
5
2)的取值范围．
解析
如图，设P(x，y)．
∵2x＋y＝8，且2≤x≤3，∴P(x，y)在线段AB上移动．
易得A(2,4)，B(3,2)，因2y
2x－5＝y
x－
5
2
的几何意义是直线MP的斜率，且M(5
2
，
0)．
∵k MA＝－8，k MB＝4，
由图象知，k MP≤－8或k MP≥4，
∴2y
2x－5
的取值范围是(－∞，－8]∪[4，＋∞)．
高考数学难点突破_难点21__直线方程及其应用
难点21直线方程及其应用 直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程 的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容 ?应达到熟练掌握、灵 活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问 题不难，但 将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的 ?难点磁场 (★★★★★)已知 |a|v 1,|b|v 1,|c|v 1,求证:abc+2 >a+b+c. ?案例探究 ［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费， 他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为 a (90°W av 180° )镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 a m, b m,(a > b).问学生距离镜框下缘多远 看画的效果最佳？ 命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的 综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目 知识依托：三角函 数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值 错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求 解；二是把问题进一步转化成求 tanACB 的最大值.如果坐标系选择不当， 或选择求sinACB 的最大值. 都将使问题变得复杂起来. 技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使/ ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三 角函数值. 解：建立如图所示的直角坐标系， AO 为镜框边，AB 为画的宽度, 下边缘上的一点，在 x 轴的正半轴上找一点 C(x,0)(x >0),欲使看画的 最佳，应使/ ACB 取得最大值. 由三角函数的定义知： A 、B 两点坐标分别为(acos a ,asin a 卜 (bcos a ,bsin a ),于是直线 AC 、BC 的斜率分别为： asina k AC =ta nxCA= , acosa -x (a —b) xsina _ (a —b) sina a b-(a b)x cos ： x 2 辿 x-(a b) cos ： x 由于/ ACB 为锐角，且x > 0,则tanACB w —(已一小驯〉,当且仅当 辿=x ，即x= ? ab 时, 2 Jab —(a + b)co 弊 x 等号成立，此时/ ACB 取最大值，对应的点为 C(、ab ,0),因此，学生距离镜框下缘 .ab cm 处时, 视角最大，即看画效果最佳 . ［例2］预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多， 但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的 1.5倍，问桌、椅各买多少才行？ 命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用，本题主要考 查找出约束条件与目标函数、准确地描画可行域，再利用图形直观求得满足题设的最优解，属★★ ★★★级题目. 知识依托：约束条件，目标函数，可行域，最优解 k BC =ta nxCB = bsin -■ bcos.- —x 于是 tanACB = k BC - k AC 1 ' k BC k AC O 为 效果
高考数学必背知识点：直线方程
高考数学必背知识点：直线方程数学是学习其他学科的基础。小编准备了高考数学必背知识点，希望你喜欢。 一、直线方程. 1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是. 注：①当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在. ②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定. 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：. 注：若是一直线的方程，则这条直线的方程是，但若则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.①当为定植，变化时，它们表示过定点(0，)的直线束.②当为定值，变化时，它们表示一组平行直线. 3. ⑴两条直线平行： ∥两条直线平行的条件是：①和是两条不重合的直线.?②在
和的斜率都存在的前提下得到的.?因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. (一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则∥，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且) 推论：如果两条直线的倾斜角为则∥. ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在.?②，且的斜率不存在或，且的斜率不存在.?(即是垂直的充要条件) 4. 直线的交角： ⑴直线到的角(方向角);直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时. ⑵两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有. 5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内) 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有. 注： 1.?两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：. 特例：点P(x,y)到原点O的距离： 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技
艺术生高考数学专题讲义：考点37 直线及其方程
考点三十七 直线及其方程 知识梳理 1．直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率 (1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π 2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率 通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. (2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1 . (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系 每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下： 3．直线方程的五种形式 4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.
5．线段的中点坐标公式 若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则??? x ＝x 1＋x 2 2y ＝y 1 ＋y 2 2 ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 典例剖析 题型一 直线的倾斜角和斜率 例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________． 答案 56π 解析 斜率k ＝ －1－33－(－3) ＝－3 3， 又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝5 6 π. 变式训练 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π 4，则y ＝__________． 答案 －3 解析 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋4 2＝y ＋2， 得y ＋2＝tan 3π 4＝－1.∴y ＝－3. 解题要点 求斜率的常见方法： 1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率． 2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1 x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率． 3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－a b 求斜率． 题型二 直线方程的求解 例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程； (2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程． 解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2 －2－2， 即x ＋2y －4＝0.
高中数学直线方程公式
直线方程公式 1.斜率公式 ①若直线的倾斜角为α（00≤α＜1800）, 则k=tan α (α2 π≠) ②若直线过点111(,)P x y 和222(,)P x y 两点. 则21 21 y y k x x -= - 解题时，要从斜率存在与不存在两个方面分类讨论。点P 1（x 1,y 1），P 2（x 2,y 2）的中点P 0（x 0,y 0），则x 0=（x 1+ x 2）/2，y 0=（y 1+ y 2）/2。 2.方向向量坐标 ： ()()k y y x x x x p p x x ,1,11 1 2 1 2 1 22 1 1 2=---= - 3.两条直线的平行和垂直 【1】两直线平行的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1∥l 2充要条件是k 1=k 2,且b 1≠b 2。 （2）若l 1：x=x 1， l 2：x=x 2，则l 1∥l 2充要条件是x 1≠x 2。 （3）不重合的两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1∥l 2充要条件是α1=α2。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1∥l 2 充要条件是A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0（或A 1C 2-A 2C 1≠0）。11112222 ||A B C l l A B C ? =≠。 【2】两直线垂直的判断 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，则l 1⊥l 2充要条件是k 1·k 2=-1。 （2）若l 1的斜率不存在，则l 1⊥l 2充要条件是l 2的斜率为零。 （3）两条直线l 1、l 2倾斜角分别为α1、α2，则l 1⊥l 2充要条件是21a -a =900。 （4）l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零，则l 1⊥l 2 充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 【3】两直线相交的判断 （1）两直线方程组成的方程组有唯一解是两直线相交的充要条件。 （2）两直线斜率存在时，斜率不等是两直线相交的充要条件。 （3）两直线倾斜角不相等是两直线相交的充要条件。 （4）直线l 1：A 1x+B 1y+C 1=0， l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则A 1B 2-A 2B 1≠0是两直线相交的充要条件。
最新高考数学直线和圆的方程专题复习(专题训练)
专题六、解析几何（一） 直线和圆 1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或 2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y =的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =； （2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0； （3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0； 3.圆的方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=或() 2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 无xy 。
4.直线与圆相交： （1）利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02 =++c bx ax ，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：12l x =-= a k a c a k ? +=--+=2 2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可， 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外： 如定点()00,P x y ，圆：()()2 2 2 x a y b r -+-=，[()()2 2 2 00x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上： 若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2 x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为： ?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。 点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。 （3）若点P ()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=外，即()()22 200x a y b r -+->， 过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为： 200))(())((r b y b y a x a x =--+--。 6.两圆公共弦所在直线方程： 圆1C ：2 2 1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2 2 2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题： （1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。 （2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。
考点40 直线方程——2021年高考数学专题复习真题练习
考点40 直线方程 【题组一 斜率与倾斜角】 1的倾斜角为 。 10y -+= 2．直线与直线的夹角为______________. 1:210l x y -+=2:210l x y ++= 3．已知直线过点且与以，为端点的线段有公共点，则直线倾斜角的取值范l (1,0)P (2,1)A (4,3)B -AB l 围为_______． 【题组二 直线方程】 1．过点（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 2．“直线在坐标轴上截距相等”是“”的（ ） :21l y kx k =+-1k =-A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【题组三 直线的位置关系】 1．设a ∈R ，则“a ＝3”是“直线ax +2y +3a ＝0和直线3x +（a ﹣1）y ＝a ﹣7平行”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．已知m 为实数，直线，，若，则实数m 的值( ) 1:10l mx y +-=()23220l m x my -+-=： 12l l //A ．2 B ．1 C ．1或2 D ．0或 13 3．已知直线，直线，且∥，若均为正数，则的最小:3210p x y -+=:(1)0q ax b y +-=p q ,a b 23a b +值是（ ） A ． B ． C ．8 D ．24 25383 4．是“直线与直线相互垂直”的（ ）. 14 a =(1)310a x ay +++=(1)(1)30a x a y -++-=A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【题组四 距离问题】 1．直线与直线之间的距离是______． 110l x y -+=：250l x y -+=： 2．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ） P 22ln 0x y --=P 4410x y ++= A B C D ． ln 2)-ln 2)+1ln 2)2+1(1ln 2)2 +
高考数学试题分类汇编直线的方程
2008年高考数学试题分类汇编：直线的方程 【考点阐述】 直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离． 【考试要求】 （1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程． （2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系． 【考题分类】 （一）选择题（共3题） 1.（全国Ⅱ卷理11）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A ．3 B ．2 C ．13- D ．12- 【答案】A 【解析】1,02:11-==-+k y x l ，71,047:22= =--k y x l ，设底边为kx y l =:3 由题意，3l 到1l 所成的角等于2l 到3l 所成的角于是有 371711112211+-=-+?+-=+-k k k k k k k k k k k 再将A 、B 、C 、D 代入验证得正确答案是A 【高考考点】两直线成角的概念及公式 【备考提示】本题是由教材的一个例题改编而成。（人教版P49例7） 2.（全国Ⅱ卷文3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 【答案】D 【解析】5215 2=+-=d 【高考考点】点到直线的距离公式 3.（四川卷理4文6）直线3y x =绕原点逆时针旋转0 90，再向右平移１个单位，所得到的直线为( )
2015高考数学一轮题组训练：9-1直线的方程
第九篇 解析几何 第1讲 直线的方程 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为________． 解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为α∈[0，π)，所以α＝π 3. 答案 π 3 2．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－3 4.则直线l 的方程为________． 解析 由点斜式，得y －5＝－3 4(x ＋2)， 即3x ＋4y －14＝0. 答案 3x ＋4y －14＝0 3．(2014·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析 ∵k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3. 由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案 4 4．(2014·泰州模拟)直线3x －4y ＋k ＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k ＝________. 解析 令x ＝0，得y ＝k 4；令y ＝0，得x ＝－k 3. 则有k 4－k 3＝2，所以k ＝－24. 答案 －24 5．若直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1在x 轴上的截距为1，则实数m ＝________.
解析 由题意可知2m 2 ＋m －3≠0，即m ≠1且m ≠－3 2，在x 轴上截距为 4m －12m 2 ＋m －3＝1，即2m 2－3m －2＝0，解得m ＝2或－1 2. 答案 2或－1 2 6．(2014·佛山调研)直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足________． ①ab >0，bc <0；②ab >0，bc >0；③ab <0，bc >0；④ab <0，bc <0. 解析 由题意，令x ＝0，y ＝－c b >0；令y ＝0，x ＝－c a >0.即bc <0，ac <0，从而a b ＞0. 答案 ① 7．(2014·淮阳模拟)直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________． 解析 设直线的斜率为k ，如图，过定点A 的直线经过点B 时，直线l 在x 轴上的截距为3，此时k ＝－1；过定点A 的直线经过点C 时，直线l 在x 轴的截距为－3，此时k ＝1 2，满足条件的直线l 的斜率范围是(－∞，－1)∪? ?? ??12，＋∞. 答案 (－∞，－1)∪? ?? ??12，＋∞ 8．一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________． 解析 设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2 b ＝1.
历年高考数学真题精选34 直线与方程
历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题34 直线与方程（学生版） 一．选择题（共5小题） 1．（2018?北京）在平面直角坐标系中，记d 为点(cos ,sin )P θθ到直线20x my --=的距离．当 θ、m 变化时，d 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．（2014?四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB +的取值范围是( ) A ．[5，25] B ．[10，25] C ．[10，45] D ．[25，45] 3．（2013?全国）斜率为(0)k k >的直线沿x 轴的正方向平移5个单位，平移后的直线与原直线之间的距离为4，则(k = ) A ．53 B ． 43 C ． 34 D ．35 4．（2013?湖南）在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 边上异于AB 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P （如图），若光线QR 经过ABC ?的重心，则AP 等于( ) A ．2 B ．1 C ．8 3 D ． 43 5．（2013?新课标Ⅱ）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC ?分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．21 (1)2 - C ．21(1]3- D ．11[,)32 二．填空题（共6小题） 6．（2020?上海）已知直线1:1l x ay +=，2:1l ax y +=，若12//l l ，则11与2l 的距离为 ． 7．（2015?全国）点(3,1)-关于直线0x y +=的对称点为 ． 8．（2014?四川）设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线
高考数学一轮复习重点直线的方程
第1讲 直线的方程 一、选择题 1．直线3x －y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角为 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 解析 直线的斜率为k ＝tan α＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°. 答案 B 2．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程是 ( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0 解析 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0. 答案 D 3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是 ( ) A.??????0，π4 B.?????? 3π4，π C.??? ???0，π4∪? ????π2，π D.??????π4，π2∪???? ??3π4，π 解析 ∵直线的斜率k ＝－1a 2 ＋1 ，∴－1≤k ＜0，则倾斜角的范围是?????? 3π4，π. 答案 B 4．(2017·南昌一中期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是 ( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0
C ．2x ＋3y －2＝0 D ．2x ＋3y －1＝0 解析 因为抛物线y 2 ＝2x 的焦点坐标为? ???? 12，0，直线3x －2y ＋5＝0的斜率为 32，所以所求直线l 的方程为y ＝ 32? ????x －12，化为一般式，得6x －4y －3＝0. 答案 A 5．(2016·广州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为 ( ) A.13 B ．－13 C ．－32 D.23 解析 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有??? a ＋7＝2， b ＋1＝－2，解得 a ＝－5， b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5 ＝－1 3. 答案 B 6．(2017·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是 ( ) 解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0.选项B 符合． 答案 B 7．(2016·衡水一模)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为 ( ) A ．y ＝3x ＋2 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝3x ＋12 D ．y ＝－3x ＋2
高中数学直线方程练习题
1．已知点 (1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 2．若 1 (2,3),(3,2),(,)2 A B C m --三点共线 则m 的值为（ ） Ａ．21 Ｂ．21 - Ｃ．2- Ｄ．2 3．直线x a y b 221-=在y 轴上的截距是（ ） A ． b B ．2b - C ．b 2 D ．±b 4．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) > 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．与,,a b θ的值有关 6．两直线330x y + -=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ） A ．4 B C D 7．已知点 (2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的 斜率k 的取值范围是（ ） A ．3 4 k ≥ B ． 324k ≤≤ C ．324 k k ≥≤或 D ．2k ≤ 二、填空题 " 1．方程 1=+y x 所表示的图形的面积为_________。 2．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________。
3．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则2 2b a +的最小值为 4．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)m n 重合，则n m +的值是___________________。 ５．设),0(为常数k k k b a ≠=+，则直线1=+by ax 恒过定点 ． 三、解答题 1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。 2．一直线被两直线0653:,064:21 =--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点 分别为(0,0)，(0,1)时，求此直线方程。 2． — 3． 把函数 ()y f x =在x a =及x b =之间的一段图象近似地看作直线，设 a c b ≤≤， 证明： ()f c 的近似值是：()()()[]f a c a b a f b f a + ---． 4．直线 3 1y x =- +和x 轴，y 轴分别交于点,A B ，在线段AB 为边在第一象限内作等边△ABC ，如果在第一象限内有一点1 (,)2 P m 使得△ABP 和△ABC 的面积相等， 求m 的值。
高中数学直线方程练习题
1．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 2．若1(2,3),(3,2),(,)2 A B C m --三点共线 则m 的值为（ ） Ａ．21 Ｂ．2 1- Ｃ．2- Ｄ．2 3．直线x a y b 221-=在y 轴上的截距是（ ） A ．b B ．2b - C ．b 2 D ．±b 4．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（ ） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) 5．直线cos sin 0x y a θ θ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．与,,a b θ的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（ ） A ．4 B C D 7．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的 斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥ B ．324k ≤≤ C ．324k k ≥≤或 D ．2k ≤ 二、填空题 1．方程1=+y x 所表示的图形的面积为_________。 2．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是____________。 3．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为
m n重合，则4．将一张坐标纸折叠一次，使点(0,2)与点(4,0)重合，且点(7,3)与点(,)
高考数学-直线方程
第1讲直线与方程 一. 教学目标 1.理解并掌握常见空间几何体的结构特征以及面积、体积公式 2.理解并掌握三视图的概念，能够熟练利用三视图原图形的表面积或体积 3.理解并掌握斜二测画法 二.知识梳理 一、倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 补充： 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角
（2）．已知斜率k 的范围，求倾斜角α的范围时，若k 为正数，则α的范围为(0,)2 π 的子集，且k=tan α为增 函数；若k 为负数，则α的范围为( ,)2 π π的子集，且k=tan α为增函数。若k 的范围有正有负，则可所范围按大于 等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。 2、利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 二、两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有l 1∥l 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121k k l l =-?⊥ 注：两条直线 12 ,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直， 反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12 ,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时， 12 l l 与互相垂直。 三、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 )(11x x k y y -=- ),(11y x 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的 直线 斜截式 b kx y += k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的 直线
高三数学高考复习：直线的方程
直线的方程 1.经过圆x 2+2x +y 2=0的圆心C ，且与直线x +y=0垂直的直线方程是 . 2.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A （0，a ），B （b ,0），C （c ,0），点P （0,p ）在线段AO 上（异于端点），设a ，b ，c ，p 均为非零实数，直线BP ，CP 分别交AC ，AB 于点E ，F ，一同学已正确算的OE 的方程：,01111=??? ? ??-+??? ??-y a p x c b 请你求OF 的方程：（ ▲ ）011=??? ? ??-+y a p x 3.过点)1,4(-A 和双曲线116 92 2=-y x 右焦点的直线方程为 . 4．过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 （ ） A ．0=x . B ．1=y . C ．01=-+y x . D ．01=+-y x . 5、已知圆的方程为.08622=--+y x y x 设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别 为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （A ）106 （B ）206 （C ）306 （D ）406
高考真题答案与解析 数 学（理） 直线的方程 1．答案：10x y -+= 【解析】 圆心C （-1，0），所求直线的斜率为1，故填10x y -+=. 2．答案：11c b - 【解析】画草图，由对称性可猜想填 11c b -．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得 11110x y c b p a ????-+-= ? ????? ，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程． 3．答案：5y x =- 【解析】双曲线116 92 2=-y x 的右焦点为(5,0),过(4,-1)和(5,0)两点的直线方程为5y x =-. 4．答案：C 【解析】被圆截得的最长弦是直径，于是所求直线过圆心（1，0）及点)1,0(P ，故直线方程是01=-+y x 。 5．答案：B 【解析】圆的标准方程为：25)4()3(22=-+-y x ，最长弦是过点（3，5）直径AC=10，最短弦是以点（3，5）为中点的弦BD ，圆心到直线BD 的距离为1，BD=641252=-，且BD AC ⊥，四边形ABCD 的面积为6202 1=?BD AC 。
【数学】高考数学难点归纳21 直线方程及其应用
难点21 直线方程及其应用 直线是最简单的几何图形，是解析几何最基础的部分，本章的基本概念；基本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的判定都是解析几何重要的基础内容.应达到熟练掌握、灵活运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的. ●难点磁场 (★★★★★)已知|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证：abc +2＞a +b +c .●案例探究 ［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？ 命题意图：本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目. 知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值. 错解分析：解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tan ACB 的最大值.如果坐标系选择不当，或选择求sin ACB 的最大值.都将使问题变得复杂起来. 技巧与方法：欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值. 解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最佳，应使∠ACB 取得最大值. 由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、(b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为： k AC =tan xCA = x a a -αα cos sin , . cos sin tan x b b xCB k BC -==αα 于是tan ACB =AC BC AC BC k k k k ?+-1α α ααcos )(sin )(cos )(sin )(2?+-+?-= ++-?-=b a x x ab b a x x b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,则tan ACB ≤ α αcos )(2sin )(b a ab b a +-?-,当且仅当 x ab =x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生距离镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最佳. ［例2］预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌、椅各买多少才行？ 命题意图：利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用， 本题
高考数学复习题库 直线的方程
高考数学复习题库直线的方程 直线的方程 一.选择题 1.已知直线l的倾斜角α满足条件sinα＋cosα＝，则l的斜率为( ) A. B. C.－ D.－解析α必为钝角，且sinα的绝对值大，故选C. 答案 C 2.经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y ＝( ). A.－1 B.－3 C.0 D.2 解析由＝＝y＋2，得：y＋2＝tan ＝－ 1.∴y＝－ 3. 答案 B 3. 若PQ是圆的弦，PQ的中点是（1,2）,则直线PQ的方程是（） A. B. C. D. 答案 B 4.若直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1在x轴上的截距为1，则实数m是( ) A.1 B.2 C.－ D.2或－解析令y＝0则(2m2＋m－3)x＝4m－1，∴x＝＝ 1.∴m＝2或－. 答案 D 5.设直线l的方程为x＋ycos θ＋3＝0(θ∈R)，则直线l的倾斜角α的范围是( ). A.[0，π)
B. C. D.∪ 解析 (直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x＋3＝0，其倾斜角为；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k＝－. ∵cos θ∈[－1,1]且c os θ≠0，∴k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞). ∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，又 α∈[0，π)，∴α∈∪. 综上知，倾斜角的范围是. 答案 C 【点评】 本题也可以用筛选法.取α＝，即cos θ＝0成立，排除 B.D，再取α＝0，斜率tan α＝－＝0不成立，排除A. 6.若直线ax＋by＋c＝0经过第一. 二.三象限，则有( ). A.ab＞0，bc＞0 B.ab＞0，bc＜0 C.ab＜0，bc＞0 D.ab＜0，bc＜0 解析数形结合可知－＞0，－＞0，即ab＜0，bc＜0. 答案 D 7.已知点A(1,3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( ). A.k≥ B.k≤－2 C.k≥或k≤－2 D.－2≤k≤ 解析 (数形结合法)由已知直线l恒过定点 P(2,1)，如右图. 若l与线AB相交，则kPA≤k≤kPB，∵kPA＝－2，kPB＝，∴－2≤k≤. 答案 D 【点评】 本题采用数形结合法，即通过图形观察过点P的直线l的斜率与直线PA.PB的斜率大小. 二.填空题 8.若A(－2,3)，B(3，－2)，C(，m)三点共线，则m的值为________. 解析由kAB＝kBC，即＝，得m＝. 答案
直线与方程-高考理科数学试题
（四十） 直线与方程 [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系 1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 解析：选D 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33 ，所以α＝5π 6 . 2．三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( ) A ．k ∈R B ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0 C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10 D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠1 解析：选C 由l 1∥l 3得k ＝5；由l 2∥l 3得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.故若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10.故选C. 3．(2018·山东省实验中学月考)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C 的位置关系是________． 解析：由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－ sin A a ，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·b sin B ＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直． 答案：垂直 4．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________． 解析：设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)， 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2 k <3， 解得k <－1或k >1 2 .
