椭圆训练题一
1．过椭圆 x2 a2
?
y2 b2
?1
(a
?b
? 0) 的左焦点 F1 作
x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2 为右焦点，若
∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（ ）．
A. 5
B. 3
C. 1
D. 1
2
3
2
3
2．设 P 是椭圆
上的一点，F1、F2 是焦点，若∠F1PF2=30°，则△PF1F2 的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.16
3．设点 是椭圆 x 2
P
a2
?
y2 b2
? 1(a
?b
? 0) 上一点， F1, F2 分别是椭圆的左、右焦点， I
为
?PF1F2 的内心，若 S?IPF1 ? S?IPF2 ? 2S?IF1F2 ，则该椭圆的离心率是（ ）
A． 1 4
B． 2 2
C． 1 2
D． 3 2
4．已知椭圆方程
，椭圆上点 M 到该椭圆一个焦点 F1 的距离是 2，N 是 MF1 的中点，
O 是椭圆的中心，那么线段 ON 的长是（ ） A.2 B.4 C.8 D.
5．从一块短轴长为 2b 的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是
? ? 3b2 ,4b2 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
? A. ?
?
3 2
,1????
B.
?
? ?
5, 3
3?
2
? ?
C. ???? 0,
5?
3
? ?
D. ???? 0,
3?
2
? ?
6．已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 1 ，它的长轴长等于圆 x2 ? y2 ? 2x ?15 ? 0 的半径， 2
则椭圆的标准方程是（ ）
A． x2 ? y2 ? 1 16 12
B． x2 ? y2 ? 1 4
C． x2 ? y2 ? 1 16 4
D． x2 ? y2 ? 1 43
答案第 1 页，总 22 页
7．已知
x2 a2
＋
y2 b2
＝1（a＞b＞0），M，N
是椭圆的左、右顶点，P
是椭圆上任意一点，且直线
PM、PN 的斜率分别为 k1 ，k2（ k1 k2 ≠0），若｜ k1 ｜＋｜ k2 ｜的最小值为 1，则椭圆的离心
率为（ ）
A． 1 2
B． 2 2
C． 3 2
D． 3 3
8．已知椭圆的两个焦点为 F1(? 5, 0) ，F2 ( 5,0) ，P 是此椭圆上的一点，且 PF1 ? PF2 ， | PF1 | ? | PF2 |? 2 ，则该椭圆的方程是
x2 ? y2 ?1 6
B． x 2 ? y 2 ? 1 4
C． x2 ? y 2 ? 1 6
D． x2 ? y 2 ? 1 4
9．已知椭圆 C： x2 ? y2 ? 1，点 M 与 C 的焦点不重合．若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 43
A， B，线段 MN 的中点在 C 上，则| AN | ? | BN |? （ ）
A．4
B．8
C．12
D．16
10．过点 M（1，1）作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C： + =1（a＞b＞0）相交于 A，B，若
M 是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知动点
P(x,
y)
在椭圆
x2
?
y2
? 1上,若
A 点坐标为 (3,0)
,|
uuuur AM
uuuur |? 1 ,且 PM
uuuur ? AM
?
0,
25 16
uuuur 则 | PM | 的最小值是（ )
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
12．设 F1，F2 分别是椭圆 x2 ＋y2＝1 的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点，且 4
PF1⊥PF2，则点 P 的横坐标为( )
A．1
B. 8
3
C．2 2
D. 2 6 3
13．设 F1 ，F2 分别是椭圆
x2 a2
?
y2 b2
? 1? a
? b ? 0? 的左、右焦点，过 F2 的直线交椭圆于 P ，Q
两点，若 ?F1PQ ? 60? ， PF1 ? PQ ，则椭圆的离心率为（
）
答案第 2 页，总 22 页
1
2
23
3
A.
B.
C.
D.
3
3
3
3
14．椭圆 C
的两个焦点分别是
F1 ,
F2
，若 C
上的点
P
满足 |
PF1
|?
3 2
|
F1 F2
| ，则椭圆 C
的
离心率 e 的取值范围是（ ）
A． e ? 1 2
B． e ? 1 4
C． 1 ? e ? 1
4
2
D． 0 ? e ? 1 或 1 ? e ? 1 42
15．已知椭圆 x2 ? y2 ? 1 ，则以点 M(?1,1) 为中点的弦所在直线方程为(
)．
43
A． 3x ? 4y ? 7 ? 0
B． 3x ? 4y ?1 ? 0
C． 4x ?3y ? 7 ? 0
D． 4x ? 3y ?1 ? 0
16．过点 M(－2,0)的直线 l 与椭圆 x2＋2y2＝2 交于 P1，P2，线段 P1P2 的中点为 P．设直线 l
的斜率为 k1(k1≠0)，直线 OP(O 为坐标原点)的斜率为 k2，则 k1k2 等于( )
A．－2
B．2
C．－ 1 2
D． 1 2
17．已知椭圆 C： x2 ＋ y2 ＝1(b>0)，直线 l：y＝mx＋1，若对任意的 m∈R，直线 l 与椭 4 b2
圆 C 恒有公共点，则实数 b 的取值范围是( )
A．[1,4)
B．[1，＋∞)
C．[1,4)∪(4，＋∞)
D．(4，＋∞)
18．直线 L： x ? y ? 1与椭圆 E： x 2 ? y 2 ? 1 相交于 A，B 两点，该椭圆上存在点 P，使
43
16 9
得
△ PAB 的面积等于 3，则这样的点 P 共有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
19．椭圆 x2 a2
? y2 b2
?1
(a ? b ? 0) 的一个焦点为 F1 ，若椭圆上存在一个点 P ，满足以椭圆
短轴为直径的圆与线段 PF1 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )
A． 2 2
B． 2 3
C． 5 9
D． 5 3
20．已知对 k ? R ，直线 y ? kx ?1 ? 0 与椭圆 x2 ? y2 ? 1 恒有公共点，则实数 m 的取值范 5m
围是（ ） A．(0, 1)
B．(0,5)
C．[1,5)
D．[1,5)∪(5，＋∞)
21．设椭圆的方程为 x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
? b ? 0) 右焦点为 F(c, 0)(c ? 0) ，方程 ax2
? bx ? c ? 0
答案第 3 页，总 22 页
的两实根分别为 x1, x2 ，则 P(x1, x2 ) （ ） A.必在圆 x2 ? y2 ? 2 内
B.必在圆 x2 ? y2 ? 2 外
C.必在圆 x2 ? y2 ? 1外
D.必在圆 x2 ? y2 ? 1与圆 x2 ? y2 ? 2 形成的圆环之间
22．椭圆 C :
x2 a2
?
y2 b2
?1
(a
? b ? 0) 的左、右焦点为 F1, F2 ，过 F1 作直线 l 交
C
于
A，B
两
点，若 ?ABF2 是等腰直角三角形，且 ?AF2B ? 900 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A． 2 ? 2 B．1? 2 C． 2 ?1 D． 2
2
2
23．椭圆 x2 a2
?
y2 b2
? 1(a ? b ? 0) 的两顶点为 A(a, 0), B(0,b) ，且左焦点为
F， ?FAB 是以
角 B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率 e 为 （ ）
A、 3 ?1 2
B、 5 ?1 2
C、 1 ? 5 4
D、 3 ? 1 4
24．已知焦点在
x
轴的椭圆 C
:
x2 3
?
y2 b2
?1
(b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，直线 AB 过
uuuur uuuur 右焦点 F2 ，和椭圆交于 A, B 两点，且满足 AF2 ? 3F2B ， ?F1AB ? 600 ，则椭圆 C 的标
准方程为（ ）
A． x2 ? y2 ? 1 32
B． x2 ? 3y2 ? 1 32
C． x2 ? 2 y2 ? 1 D． x2 ? y2 ? 1
3
3
25．椭圆 x2 a2
?
y2 b2
?1
(a ? b ? 0) 的一个焦点为 F1 ，若椭圆上存在一个点 P ，满足以椭圆
短轴为直径的圆与线段 PF1 相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为( )
A． 5 3
B． 2 3
C． 5 9
D． 2 2
26．已知椭圆
C
的方程为 x2 16
?
y2 m2
? 1(m＞0)，如果直线 y＝
2 x 与椭圆的一个交点 M 在 x 2
答案第 4 页，总 22 页
轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为( )
A．2
B．2 2
C．8
D．2 3
27．椭圆
=1 的焦点为 F1 和 F2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在 y 轴上，那么
|PF1|是|PF2|的（ ）
A．7 倍
B．5 倍
C．4 倍
D．3 倍
28．过椭圆
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a>b>0)左焦点 F
斜率为
1
的直线交椭圆于
A，B
uuur uuur 两点，向量 OA ? OB
与向量 a=(3，-l)共线，则该椭圆的离心率为
A． 3 3
B． 6 3
C． 3 4
D． 2 3
29．已知直线
与椭圆
相交于 、 两点，若椭圆的离心
率为 ，焦距为 2，则线段 的长是( )
A.
B.
C.
D.
30．直线 y＝kx＋1，当 k 变化时，此直线被椭圆
截得的最大弦长等于( )
A.4
B.
C.
D.
31．设
分别是椭圆：
与该椭圆相交于 P， 两点，且
A.
B.
C.
的左、右焦点，过 倾斜角为 的直线
.则该椭圆的离心率为（
）
D.
32．椭圆 轴正半轴交于
，且
的右焦点为 ，椭圆 与 轴正半轴交于 点，与 ，则椭圆 的方程为( )
答案第 5 页，总 22 页
A.
B.
C.
D.
33．已知点
F1、F2
分别是椭圆
x a
2 2
?
y2 b2
? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点，A、B 是以 O（O
为坐标原点）为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F2AB 是正三角 形，则此椭圆的离心率为（ ）
A． 3
B． 3 2
C． 2 ? 1
D． 3 ?1
34．若点 O 和点 F 分别为椭圆
的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则
的最大值为（
）
A．2
B．3
C．6
D．8
35．已知椭圆
C1
:
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x2 ?
y2
? b2 ，若在椭圆 C1 上存在点
P，
使得由点 P 所作的圆 C2 的两条切线互相垂直，则椭圆 C1 的离心率的取值范围是（
）
A．[ 1 ,1) 2
B．[ 2 , 3 ] C．[ 2 ,1) D．[ 3 ,1)
22
2
2
36．过椭圆的一个焦点
F2
作垂直于实轴的弦
PQ ，
F1 是另一焦点，若∠
PF1Q
?
? 2
，则椭
圆的离心率 e 等于（ ）
A． 2 ?1
B． 2 2
C．1 ? 2
D．1 ? 2 2
37．已知椭圆 C :
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?b
? 0) 的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A, B 两点,
连接 AF, BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ? 4 ,则椭圆 C 的离心率 e= 5
A． 5 7
B． 4 5
C． 4 7
D． 5 6
38．已知
P
是椭圆
x2 25
?
y2 b2
? 1 , (0 ? b ? 5) 上除顶点外的一点，
F1 是椭圆的左焦点，若
答案第 6 页，总 22 页
uuur uuur | OP ? OF1 |? 8, 则点 P 到该椭圆左焦点的距离为（ ）
A. 6
B. 4
C .2
D. 5 2
39．已知点 A（0，1）是椭圆 x2 ? 4 y2 ? 4 上的一点，P 点是椭圆上的动点，
则弦 AP 长度的最大值为（ ）
A. 2 3
B.2
C. 4 3
D.4
3
3
40．若点 O 和点 F 分别为椭圆 x2 ? y2 ? 1的中心和右焦点，点 P 为椭圆上的任意一点，则 2
uuur uuur OP ? FP 的最小值为（ ）
A． 2 ? 2
B．- 1 2
C． 2 ? 2
D．1
41．已知动点
P(x ，y)
在椭圆
C
:
x2 25
?
y2 16
?1
上，
F
为椭圆
C
的右焦点，若点
M
满足
uuur
uuur uuur
uuuur
| MF |? 1且 MP ? MF ? 0 ，则| PM | 的最小值为（ ）
12 A． 3 B． 3 C． 5 D．1
42．已知 P 是椭圆 x 2
25
?
y2 9
uuur uuuur
?
1
上的点，F1
,
F2
分别是椭圆的左、右焦点，若
|
uuPurF1 PF1 |
? ?
PuFuu2ur | PF2
|
?
1 2
，
则 ?PF1F2 的面积为(
)
A． 3 3
B． 2 3
C． 3
D． 3 3
43．过椭圆
C
:
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 的斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点 B ，
且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F ，若 1 ? k ? 1 , 则椭圆离心率的取值范围是（ ）
3
2
A． (1 , 4) B． ( 2 ,1) C． (1 , 2) D． (0, 1 )
49
3
23
2
44．已知椭圆 x2 a2
?
y2 b2
?1
(a
?b
? 0) , A 是椭圆长轴的一个端点, B 是椭圆短轴的一个端点,
F 为椭圆的一个焦点.若 AB ? BF ,则该椭圆的离心率为 （ ）
答案第 7 页，总 22 页
A． 5 ?1 B． 5 ?1
2
2
C． 5 ?1 D． 5 ?1
4
4
答案第 8 页，总 22 页
1．B 【解析】
参考答案
试题分析：由题意得点
P
的坐标为 (?c, b2 a
)或(?c,?
b2 a
) ，因为 ?F1PF2
?
60 0
所以 2c ? b2 a
3 ，即 2ac ?
3b 2 ?
3(a 2 ? c 2 ) ，所以
3e2 ? 2e ?
3?0
解得 e ? 3 或e ? ? 3 （舍去），答案为 B 3
考点：椭圆的简单性质 2．B 【解析】 试题分析：根据椭圆方程算出椭圆的焦点坐标为 F1（﹣3，0）、F2（3，0）．由椭圆的定义 |PF1|+|PF2|=10，△PF1F2 中用余弦定理得到|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cos30°=36，两式联 解可得|PF1|?|PF2|=64（2﹣ ），最后根据三角形面积公式即可算出△PF1F2 的面积．
解：∵椭圆方程为
，
∴a2=25，b2=16，得 a=5 且 b=4，c=
=3，
因此，椭圆的焦点坐标为 F1（﹣3，0）、F2（3，0）． 根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=10 ∵△PF1F2 中，∠F1PF2=30°， ∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|?|PF2|cos30°=4c2=36， 可得（|PF1|+|PF2|）2=36+（2+ ）|PF1|?|PF2|=100
因此，|PF1|?|PF2|=
=64（2﹣ ），
可得△PF1F2 的面积为 S= ?|PF1|?|PF2|sin30°=
故选：B 点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点所张的角为 30 度，求焦点三角形的面积．着重考查 了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题． 3．C 【解析】
试 题 分 析 ： 解 ： 设 ?PF1F2 的 内 切 圆 半 径 为 r ， 则 由 S?IPF1 ? SIPF2 ? 2SIF1F2 ， 得
1 2
PF1
?r
?
1 2
PF2
?r
?
2?
1 2
F1F2
?r
，即
PF1
?
PF2
?
2F1F2
，即 2a
?
2?2c ，
? 椭圆的离心率为 e ? c ? 1 ，故答案为 C. a2
答案第 9 页，总 22 页
考点：椭圆的简单几何性质. 4．B 【解析】 试题分析：根据椭圆的方程算出 a=5，再由椭圆的定义，可以算出|MF2|=10﹣|MF1|=8．因此，
在△MF1F2 中利用中位线定理，得到|ON|= |MF2|=4．
解：∵椭圆方程为
，
∴a2=25，可得 a=5 ∵△MF1F2 中，N、O 分别为 MF1 和 MF1F2 的中点
∴|ON|= |MF2|
∵点 M 在椭圆
上，可得|MF1|+|MF2|=2a=10
∴|MF2|=10﹣|MF1|=8，
由此可得|ON|= |MF2|=
=4
故选：B
点评：本题给出椭圆一条焦半径长为 2，求它的中点到原点的距离，着重考查了三角形中位 线定理、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题． 5．B 【解析】
试题分析：设椭圆的标准方程为
x2 a2
?
y2 b2
=1，
在第一象限内取点（x，y），设 x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜ ? ）， 2
则椭圆的内接矩形长为 2acosθ，宽为 2bsinθ，内接矩形面积为 2acosθ?2bsinθ=2absin2θ≤2ab， 由已知得：3b2≤2ab≤4b2，3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2， 即，9（a2-c2）≤4a2≤16（a2-c2），整理得 5a2≤9c2 且 12 a2 ≥16 c2，
∴
5?c? 3a
3 2
，即
e∈
?
? ?
5, 3
3 2
?
? ?
，故选
B.
考点：椭圆的基本性质，离心率.
答案第 10 页，总 22 页
6．D 【解析】
试题分析：圆配方得 ?x ?1?2 ? y2 ? 16 ，半径 r ? 4，因此 2a ? 4 ，得 a ? 2 ，离心率 e ? c ? 1 ，
a2 得c ?1
?b2 ? 3 ，由于焦点在 x 轴上，因此椭圆的方程是 x2 ? y2 ? 1． 43
考点：椭圆的标准方程．
7．C
【解析】
试题分析：设
P?a cos?,bsin? ? ?
M
?a,0?, 则N ??
a,0?? k1
?
b sin ? a cos? ?
a
, k2
?
b sin ? a cos? ?
a
? k1 ? k2 ?
b sin? a cos? ? a
?
b sin? a cos? ? a
?
bsin? ?1? cos? ?? bsin? ?1? cos? ? a?1? cos? ??1? cos? ?
?
2b a sin?
?
2b a
，
由题意可得： 2b ? 1所以 e ? 3 .
a
2
考点：椭圆的性质. 8．A 【解析】
试题分析：设椭圆的方程为： x2 ? y2 ? 1?a ? b ? 0? ，由题意可得： c ? 5 ，又因为
a2 b2
? ? PF1 ? PF2 ，| PF1 | ? | PF2 |? 2 ，所以 F1 F2 2 ? PF1 2 ? PF2 2 ? PF1 ? PF2 2 ? 2 PF1 PF2 ，
即
? ? 4c2 ? PF1 ? PF2 2 ? 4 ，所以 PF1 ? PF2 ? 2 6 ，即 a ? 6 ，所以椭圆的方程为：
x2 ? y2 ?1． 6
考点：椭圆的定义及性质． 9．B． 【解析】
试题分析：如图，设 MN 的中点为 P ，由题意可知，PF1 ，PF2 分别为 ?AMN ，?BMN 的
中位线，
∴| AN | ? | BN |? 2(| PF1 | ? | PF2 |) ? 2? 4 ? 8 ．
答案第 11 页，总 22 页
考点：椭圆的性质． 10．A 【解析】
试题分析：设
A（x1，y1），B（x2，y2），则
? ?? ? ? ??
x12 a2
x22 a2
? ?
y12 b2
y22 b2
?1 ?1
,
∵ 过点 M（1，1）作斜率为﹣ 的直线与椭圆 C： + =1（a＞b＞0）相交于 A，B，若
M
是线段
AB
的中点，∴两式相减可得
2 a2
?
? ??
?
1 2
? ??
2 b2
?0
,
?a ?
2b,?c ?
a2 ? b2 ? b,?e ? c ?
2
.故选 A.
a2
考点：直线与圆锥曲线的综合问题 11．B 【解析】
uuuur uuuur
试题分析：A 点为椭圆的右焦点，由于 PM ? AM ? 0 ，? PM ? AM .当 PA 最小时，PM
最小，
PA 的最小值为 a ? c ? 5 ?3 ? 2 ，此时 PM ? 4 ?1 ? 3 .
考点：椭圆的性质. 12．D 【解析】
试 题 分 析 ： 由 已 知 得 F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) ， 且 设 P(m, n) ， 则 有 ：
PF1 ? (? 3 ? m,?n),PF2 ? ( 3 ? m,?n)
由
PF1
⊥
PF2
得
(? 3 ? m)( 3 ? m) ? n2 ? 0 ? m2 ? n2 ? 3 ? 0 ① 且 m2 ? n2 ? 1 ? n2 ? 1 ? m2 代 入
4
4
答案第 12 页，总 22 页
①得： m2 ? 8 (m ? 0) ? m ? 2 6 ；故选 D．
3
3
考点：１．椭圆的性质；２．向量的数量积． 13．D 【解析】
试题分析：由条件 PF1 ? PQ ，则 PQ ? x 轴，而 ?F1PQ ? 600 ，∴ ?F1PQ 为等边三角形，
而周长为 4a，
∴等边三角形的边长为
4a 3
，焦点在直角三角形
?PF1F2
中，
|
PF1
|?
4a 3
，|
PF2
|?
2a 3
，
| F1F2 |? 2c ，
∴ ( 4a )2 3
? ( 2a)2 3
? (2c)2 ，即 a2
? 3c2 ，∴ e2
?
c2 a2
?
1 ，∴ e 3
?
3
.
3
考点：椭圆的标准方程及其几何性质. 14．C. 【解析】
试题分析：设椭圆的方程为 x 2 a2
?
y2 b2
? 1(a ? b ? 0) ， P(x0 , y0 ) ， F1, F2 分别为其左右焦
点，由椭圆的第二定义或焦半径公式知 PF1
? ex0 ? a ，F1F2
? 2c .由| PF1 |?
3 2
|
F1
F2
|得
ex0 ? a ? 2c ，即 x0
?
2c ? e
a
，再由
x0
?
2c ? a e
? a 即可求出离心率的取值范围.
考点：椭圆的几何性质；椭圆的第二定义. 15．A 【解析】 试题分析：设弦的两端点为 A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆得
? ?? ? ?
x12 4 x22
?? 4
? ?
y12 3 y22 3
?1
，
?1
两式相减得 (x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ，整理得 y1 ? y2 ? 3
4
3
x1 ? x2 4
∴弦所在的直线的斜率为 3 ，其方程为 y-2= 3 （x+1），整理得 3x ? 4y ? 7 ? 0 ．故选 A．
4
4
考点：椭圆中点弦问题;直线方程的求法．
16．C
【解析】设 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x0，y0)，则 x12＋2y12＝2，x22＋2y22＝2，两式作差得
答案第 13 页，总 22 页
? ? x12－x22＋2(y12－y22)＝0，故 k1＝ y1 ? y2 ＝－ x1 ? x2 ＝－ x0 ，又 k2＝ y0 ，∴k1k2＝
x1 ? x2
2 y1 ? y2
2 y0
x0
－1 ． 2
17．C
【解析】直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要 b≥1 且 b≠4．
18．B
【解析】
试题分析：设
P1(4 cos?,3sin? )(0
?
?
?
? 2
)
，即点
P1
在第一象限的椭圆上，考虑四边形
P1AOB 的面积 S ，
S
?
S?OAP1
?
S?OBP1
?
1 ? 4?3?sin? 2
?
1 ?3? 4? cos? 2
?
6(sin?
? cos? )
?
6
2 sin(? ? ? ) 4
，
所以 SMax ? 6
2
，因为
S?OAB
?
1 2
?
4?3
?
6
为定值，
所以 S?P1AB 的最大值为 6 2 ? 6 ? 3 ，
所以点 P 不可能在直线 AB 的上方，显然在直线 AB 的下方有两个点 P .
故选 B.
考点：直 线 与 圆 锥 曲 线 的 关 系 . 19．D 【解析】 试题分析：画出如下示意图．可知 0M 为△PF1F2 的中位线，∴PF2=2OM=2b，∴PF1=2a-PF2=2a-2b， 又∵M 为 PF1 的中点，∴MF1=a-b，∴在 Rt△OMF1 中，由 OM2+MF12=OF12,可得(a-b)2+b2=c2=a2-b2．可
得 2a=3b，进而可得离心率 e= c ? 5 ． a3
答案第 14 页，总 22 页
考点：椭圆与圆综合问题． 20．D 【解析】 试题分析：由于直线 y=kx+1 恒过点 M（0，1）
要使直线 y=kx+1 与椭圆 x2 ? y2 ? 1 恒有公共点，则只要 M（0，1）在椭圆的内部或在椭圆 5m
上
?
? m?0
从而有
?? ?
m?0
，解可得 m≥1 且 m≠5，故选 D．
? ?
x2
?
y2
?1
?? 5 m
考点：直线与椭圆的相交关系的应用，直线恒过定点，直线与圆锥曲线的关系．
21． D
【解析】由韦达定理
x1
?
x2
?
?
b a
，
x1
?
x2
?
?
c a
所以 x12
?
x22
? (x1 ? x2 )2
? 2x1 ? x2
?
b2 a2
?
2c a
?
b2
? 2ac a2
?
a2
? 2ac ? c2 a2
?
?(e ?1)2
?2
因为 0 ? e ?1，所以1 ? ?(e ?1)2 ? 2 ? 2 ，即1 ? x12 ? x22 ? 2
故 P(x1, x2 ) 必在圆 x2 ? y2 ? 1与圆 x2 ? y2 ? 2 形成的圆环之间
故选 D
考点：椭圆的离心率；点与圆的位置关系. 22．C 【解析】
试题分析：由题意得， b2 ? 2c ，∴ a2 ? c2 ? 2ac ，∴1? e2 ? 2e ，∴ e2 ? 2e ?1 ? 0 ， a
∴ e ? ?2 ? 2 2 ? ?1? 2 ，∴ e ? ?1? 2 . 2
答案第 15 页，总 22 页
考点：椭圆的标准方程及性质. 23．B 【解析】
试题分析：依题意可知点 F（-c，0）直线 AB 斜率为 b ? 0 ? ? b ，直线 BF 的斜率为 0?a a
0 ? b ? ? b ，∵∠FBA=90°，∴（ ? b ）?（ ? b ） b2 ? a2 ? c2 ? ?1 整理得
c?0 c
a
c ac ac
c2 ? ac ? a2 ? 0，即 ( c )2 ? c ?1 ? 0 ，即 e2-e-1=0,解得 e= 5 ?1 或 5 ?1 ∵e＜
aa
2
2
1,∴e= 5 ?1 ，故选 B． 2
考点：椭圆的离心率. 24．A
【解析】如图所示，设 BF2 ? x, 则 AF2 ? 3x ，由椭圆的定义，得 AF1 ? 2 3 ? 3x ，
BF1 ? 2 3 ? x ， 在 ?AF1B 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ，
(2 3 ? x)2 ? (2 3 ? 3x)2 ? (4x)2 ? 2 ? (2 3 ? 3x) ? (4x) cos 600 ， 解 得 x ? 4 3 ， 在 9
?AF1F2
中，由余弦定理得，4c2
?
(2 3)2 3
?
(4 3)2 3
?
2?
23 3
?
43 3
cos 600 ，解得 c
?1，
故 b2 ? a2 ? c2 ? 2 ，故椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1． 32
y
A
3x
F1
O
F2
x
x
B
【命题意图】本题考查椭圆的标准方程、向量共线、余弦定理等基础知识，试题综合性较高， 意在考查学生逻辑思维能力、综合解决问题的能力．
答案第 16 页，总 22 页
25．A 【解析】 试题分析：记线段 PF1 的中点为 M，椭圆中心为 O，连接 OM，PF2 则有|PF2|=2|OM|，
2a ? 2 c2 ? b2 ? 2b， a ? 2c2 ? a2 ? a2 ? c2，1? 2e2 ?1 ? 1? e2 ， 解 得
e2 ? 5，e ? 5 ．故选 A．
9
3
考点：圆与圆锥曲线的综合． 26．B
【解析】根据已知条件 c＝ 16 ? m2 ，则点( 16 ? m2 ， 2 2
16 ? m2
)在椭圆 x2 16
?
y2 m2
?1
(m＞0)上，
∴ 16 ? m2 16
?
16 ? m2 2m2
=1，可得
m＝2
2.
27．A 【解析】由题设知 F1（﹣3，0），F2（3，0）， ∵线段 PF1 的中点在 y 轴上，
∴P（3，b），把 P（3，b）代入椭圆
=1，得
．
∴|P F1|=
，|P F2|=
．
．
故选 A．
28． B uuur uuur
【解析】设椭圆的左焦点为 F (?c, 0) ，A(x1, y1), B(x2, y2 ) ，则 OA ? OB ? (x1 ? x2, y1 ? y2) ，
直 线 AB 的 方 程 为 y ? x ? c ， 代 人 椭 圆 方 程 并 整 理 得 ：
(a2 ? b2 )x2 ? 2a2cx ? a2c2 ? a2b2 ? 0 .
由韦达定理得， x1
?
x2
?
?
2a2c a2 ? b2
，所以，
y1
?
y2
?
x1 ?
x2
? 2c
?
2b2c a2 ? b2
，
uuur uuur ur 根据 OA ? OB 与? ? (3, ?1) 共线得， x1 ? x2 ? 3( y1 ? y2 ) ? 0 ，
即?
2a2c a2 ? b2
? 3?
2b2c a2 ? b2
?
0 ， b2 a2
?
1,e ? 3
1?
b2 a2
?
6 ，故选 B . 3
答案第 17 页，总 22 页
考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，共线向量. 29．B
【解析】
,
, ,
，
则
..选 B
30．B
【解析】直线 y＝kx＋1 恒过点(0,1)，该点恰巧是椭圆
的上顶点，椭圆的长轴长
为 4，短轴长为 2，而直线不经过椭圆的长轴和短轴，因此排除 A、C；将直线 y＝kx＋1 绕 点(0,1)旋转，与椭圆有无数条弦，其中必有最大弦长，因此排除 D.选 B. 31．B
【解析】直线 斜率为 1，设直线 的方程为
，其中
.
设
，则 两点坐标满足方程组
化简得
，则
，
因为，所以
.
得
，故
，
所以椭圆的离心率
32．C 【解析】
，
，选 B.
答案第 18 页，总 22 页
，
，
，选 C.
33．D 【解析】
试题分析：因为
?F2
AB
是正三角形，可知点
A
的坐标为
(?
1 2
c,
3 c) ，代入椭圆方程化简 2
即可求出该椭圆的离心率为 3 ?1.
考点：椭圆的离心率的求法. 34．C
【解析】设
，则
即
，又因为
，
，
又
，∴
，所以
．
35．C 【解析】
试题分析：椭圆上长轴端点向圆外两条切线 PA,PB，则两切线形成的角 ?APB 最小，若椭
圆 C1 上 存 在 点 P 令 切 线 互 相 垂 直 ， 则 只 需 ?APB ? 900 ， 即 ? ? ?APO ? 450 ， ∴
sin ? ? b ? sin 450 ? 2 ，解得 a2 ? 2c2 ，
a
2
∴ e2 ? 1 ，即 e ? 2 ，而 0 ? e ?1，∴ 2 ? e ? 1，即 e ?[ 2 ,1) .
2
2
2
2
答案第 19 页，总 22 页
考点：椭圆与圆的标准方程及其性质. 36．A 【解析】
试题分析：
PF2
b2 ?
a
?
F1F2
? 2c,?a2 ? c2
? 2ac ? e2 ? 2e ? 1，解之得 e ?
2 ?1.
考点：椭圆 37．A 【解析】 试题分析：由已知条件，利用余弦定理求出|AF|，设 F′为椭圆的右焦点，连接 BF′，AF′．根 据对称性可得四边形 AFBF′是矩形，由此能求出离心率 e． 考点：（1）余弦定理；（2）椭圆的几何性质． 38．C 【解析】
试题分析：取 PF1 的中点 M ,连接 OM, OP ? OF1 ? 2OM ,? OM ? 4 , ?F1PF2 中，OM
是中位线，所以 PF2 的长等于 8， PF1 ? PF2 ? 2a ? 10 ,解得 PF1 ? 2,故选 C.
考点：椭圆的定义，方程 39．C 【解析】 试 题 分 析 ： 设 x=2cos α ， y=sin α ， 则 弦 AP=
?2 cos? ?2 + ?sin? -1?2 =
-3
? ??
sin
?
+
1 3
?2 ??
+ 16 3
?
43 3
.
考点：（1）椭圆；（2）三角函数. 40．B 【解析】
试题分析：由题意，F（1，0），设点
P（ x0 , y0 ），则有
x02 2
?
y02
? 1 ，解得 y02
?1?
x02 2
，
答案第 20 页，总 22 页
椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为．
由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，，有， 故其方程为． （2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4 已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即．
从知垂直焦点所在的对称轴，所以在xx，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或． 例5 已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积． 解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得． 故． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点，
（教师版）椭圆标准方程典型例题 例1已知椭圆的一个焦点为（0，2）求的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由，根据关系可求出的值． 解：方程变形为．因为焦点在轴上，所以，解得． 又，所以，适合．故． 例2已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设 条件，运用待定系数法， 求出参数和（或和）的值，即可求得椭圆的标准方程．解：当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，代入得，，故椭圆的方程为． 当焦点在轴上时，设其方程为． 由椭圆过点，知．又，联立解得，，故椭圆的方程为． 例3 的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹． 分析：（1）由已知可得，再利用椭圆定义求解． （2）由的轨迹方程、坐标的关系，利用代入法求的轨迹方程． 解：（1）以所在的直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．设点坐标为，由，知点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因，， 有， 故其方程为． （2）设，，则．① 由题意有代入①，得的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）． 例4已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方 程． 解：设两焦点为、，且，．从椭圆定义知．即． 从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，， 可求出，，从而． ∴所求椭圆方程为或．
例5已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，，．求：的面积（用、、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用求面积．解：如图，设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限． 由余弦定理知：·．① 由椭圆定义知：②，则得． 故． 例6 已知动圆过定点，且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆和定圆内切于点．动点到两定点， 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径， 即．∴点的轨迹是以，为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为的椭圆的方程：． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标
椭圆知识点及经典例题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中 222b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中 222b a c -=； 3.椭圆的参数方程)(sin cos 为参数??? ? ??==b y a x 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和 222b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ， )0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质
（1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把 y 换成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是 以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。 ②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分 别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率： ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。 ②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< 椭圆 1．椭圆的两种定义 (1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在． (2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的 ，定直线l 是 ，常数e 是 ． 2．椭圆的标准方程 (1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是： 12 22 2=+ b y a x ，其中( > >0，且 =2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12 22 2=+ b x a y ， 其中a ，b 满足： ．（3）焦点在哪个轴上如何判断 3．椭圆的几何性质(对 12 22 2=+b y a x ,a > b >0进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ． (4) 离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ； e 越接近 0，椭圆越接近于 ． (5) 焦半径公式：设21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，),(00y x P 是椭圆上一点，则 =1PF ，122PF a PF -== 。 4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）：(1) 定义：r 1＋r 2＝2a (2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c ) 2 (3) 面积：21F PF S ?＝2 1 r 1r 2 sin θ＝2 1·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)基础过关 椭圆练习题 一、选择题 1.椭圆2x m +2 4 y =1的焦距为2，则m 的值为（ ） A .5 B .3 C .5或3 D .8 2.设椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 的离心率为e=12,右焦点为F （c ,0)，方程ax 2+bx -c =0的两 个实根分别为x 1和x 2,则点P （x 1,x 2)（ ） A .必在圆x 2+y 2=2内 B .必在圆x 2+y 2=2上 C .必在圆x 2+y 2=2外 D .以上三种情形都有可能 3．在椭圆)0( 122 22>>=+b a b y a x 上取三点，其横坐标满足1322x x x +=，三点与某一焦 点的连线段长分别为123,,r r r ，则123,,r r r 满足（ ） A ．123,,r r r 成等差数列 B ． 123 112 r r r += C ．123,,r r r 成等比数列 D ．以上结论全不对 4．椭圆22 1 4x y m +=的离心率e 满足方程2 2520x x -+=，则m 的所有可能值的积为 （ ） A ．3 B ． 316 C ．16 D ．-16 5．已知c 是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的半焦距,则a c b +的取值范围是 ( ) A (1, +∞) B ),2(∞+ C )2, 1( D ]2,1( 6. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为ο 60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为 （ ） A ． 32 B. 22 C. 21 D. 3 2 7.过原点的直线l 与曲线C:13 22 =+y x 相交,若直线l 被曲线C 所截得的线段长不大于6,则直线l 的倾斜角α的取值范围是 ( ) A 656παπ≤≤ B 326παπ<< C 323παπ≤≤ D. 434παπ≤≤ 8.椭圆)10(,2 222<<=+a a y x a 上离顶点A(0,a )最远点为(0,)a -成立的充要条件为 ( ) 椭圆典型题型归纳 题型一. 定义及其应用 例1.已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程； 练习： 1.6=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 2.10=对应的图形是（ ） A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆 4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是 5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的 另一个焦点2F 构成的2ABF ?的周长等于 ； 6.设圆22 (1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ； 题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线 例1.方程22 11625 x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹； （二）分情况求椭圆的方程 例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程； （三）用待定系数法求方程 例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程； 例4.求经过点(2,3)-且与椭圆22 9436x y +=有共同焦点的椭圆方程； 注：一般地，与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆可设其方程为22 2221()x y k b a k b k +=>-++； （四）定义法求轨迹方程； 例5.在ABC ?中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >> 圆锥曲线与方程--椭圆 知识点 一?椭圆及其标准方程 1椭圆的定义：平面内与两定点Fι, F2距离的和等于常数2a ■ F1F21J的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P∣∣PF ι∣+∣PF 2∣=2a，2a>∣F1F2∣=2c}; 这里两个定点F i, F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。 (2a = F1F2时为线段F i F2, 2a C RF?无轨迹)。 2 2 2 2?标准方程：c= a- b 2 2 χ+y _ 1 ①焦点在X轴上：盲TT = 1( a> b> 0);焦点F(± C, 0) a b 2 2 y X ②焦点在y轴上：—2 = 1(a>b>0)；焦点F (0, ±C) a b 注意：①在两种标准方程中，总有a> b> 0,并且椭圆的焦点总在长轴上； 2 2 ②两种标准方程可用一般形式表示：X y =1或者mχ2+ny2=1 m n 二?椭圆的简单几何性质： 1. 范围 2 2 (1)椭圆X- y- =1 (a> b> 0)横坐标-a ≤x≤a ,纵坐标-b ≤X≤b a2b2 2 2 (2)椭圆-y2x2 =1 (a>b>0) 横坐标-b ≤X≤b,纵坐标-a ≤x≤a a2b2 2. 对称性 椭圆关于X轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称 中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点 (1)椭圆的顶点：A (-a , 0), A (a, 0), B (0, -b), B- (0, b) (2)线段AA, BB分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b, a和b分别叫做椭 圆的长半轴长和短半轴长。 4 .离心率 (1) 我们把椭圆的焦距与长轴长的比 2c ,即E 称为椭圆的离心率, 2a a e = O 是圆； e 越接近于O (e 越小)，椭圆就越接近于圆 e 越接近于1 ( e 越大)，椭圆越扁； 注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关 小结一：基本元素 (1) 基本量：a 、b 、c 、e 、(共四个量)， 特征三角形 (2) 基本点：顶点、焦点、中心(共七个点) (3) 基本线：对称轴(共两条线) 5 ?椭圆的的内外部 2 2 x 2 y 2 亠 —x o + y o W 1 (1) 点 P(X O , Y O )在椭圆-2 -每=1(a b - 0)的内部 J 2 U2 1 a b a b 2 2 x 2 y 2 亠 X O * y O 彳 (2) 点 P(x 0, y 0)在椭圆-2 =1(a b 0)的外部 2 TT 1. a b a b 6. 几何性质 (1) 点P 在椭圆上， 最大角? F 1PF 2 max =∕F 1 B 2F 2, (2) 最大距离，最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系 (1) 位置关系的判定：联立方程组求根的判别式； (2) 弦长公式： ________________________ (3) 中点弦问题：韦达定理法、点差法 记作 e ( 0 < e < 1), 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率2 1=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由2 1= e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21= e ，得4191=-k ，即4 5-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ???-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例4 已知1cos sin 2 2=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在y 轴上的椭圆，求α的取值范围． 分析：依据已知条件确定α的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出α的取值范围． 解：方程可化为1cos 1sin 122=+ααy x ．因为焦点在y 轴上，所以0sin 1cos 1>>-αα． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4 3,2( ππα∈． 说明：(1)由椭圆的标准方程知 0sin 1>α，0cos 1>-α ，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α sin 12=b ． (3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0 例5 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322 =+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P 满足的关系式． 解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点， 即定点()03， -A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为7342 2=-=b 的椭圆的方程：17162 2=+y x ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13 42 2=+y x ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得 2=a ，3=b ，∴1=c ，2 1= e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知： 椭圆练习题1 A组基础过关 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2012·厦门模拟)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于 ( )． A.1 2 B. 2 2 C. 2 D. 3 2 解析由题意得2a＝22b?a＝2b，又a2＝b2＋c2 ?b＝c?a＝2c?e＝ 2 2 . 答案B 2．(2012·长沙调研)中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )． A.x2 81 ＋ y2 72 ＝1 B. x2 81 ＋ y2 9 ＝1 C. x2 81 ＋ y2 45 ＝1 D.x2 81＋ y2 36 ＝1 解析 依题意知：2a ＝18，∴a ＝9,2c ＝1 3×2a ，∴c ＝3， ∴b 2 ＝a 2 －c 2 ＝81－9＝72，∴椭圆方程为x 2 81 ＋ y 2 72 ＝1. 答案 A 3．(2012·长春模拟)椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )． A. 32 B.34 C.22 D.23 解析 先将 x 2＋4y 2＝1 化为标准方程x 21＋y 214 ＝1，则a ＝1，b ＝12，c ＝a 2－b 2＝3 2 . 离心率e ＝c a ＝3 2. 答案 A 4．(2012·佛山月考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2 ＝1的左、右焦点，P 是第一象 限内该椭圆上的一点，且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( )． A ．1 B.83 C ．2 2 D.26 3 解析 由题意知，点P 即为圆x 2＋y 2＝3与椭圆x 24 ＋y 2＝1在第一象限的交点， 解方程组???? ? x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2 ＝1，得点P 的横坐标为 26 3 . 答案 D 5．(2011·惠州模拟)已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 3 2 ，且椭圆G 上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为( )． 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331-= e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点， OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，211 1a x y M M +=-=， 41 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF = -12 ，∴115 4 5x ex a AF -=-=． 同理2545x CF -=．∵BF CF AF 2=+，且5 9 =BF ， ∴51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ，即821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ??+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得() 212 2 21024x x y y x --=- 初步圆锥曲线 感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点1 3, 22?? ? ??? ,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐标为30,3? ? - ? ??? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 （1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题：教材P .37 A 组.T3 T4 B 组 T2 练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 3 ，则动点P 的轨迹方程是____ 练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________ 总结：求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程：若直线方程未给出，应先假设. （1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x -=-； （2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 直线为x my t =+。【反斜截式，1 m k = 】不含垂直于y 轴的情况（水平线） 例题：圆C 的方程为：.0222=-+y x （1）若直线过点）（4,0且与圆C 相交于A,B 两点，且2=AB ,求直线方程. （2）若直线过点）（3,1且与圆C 相切，求直线方程. （3）若直线过点） （0,4且与圆C 相切，求直线方程. 附加：4)4(3:22=-+-y x C ）（. 若直线过点）（0,1且与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ S ?最大时的直线方程. 椭 圆 1、椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离c 2叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有 21||||2MF MF a +=. 注意：212F F a >表示椭圆；212F F a =表示线段21F F ；212F F a <没有轨迹； 2、椭圆标准方程 椭圆方程为12 2 222=-+c a y a x ，设2 2c a b -=，则化为()012222>>=+b a b y a x 这就是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程,这里焦点分别是1F ()0,c -，2F ()0,c ，且22c a b -=. 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的 标准方程()22 2210y x a b a b +=>>． 椭圆标准方程：22 221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上） 或122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：（1）以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-； （2）要分清焦点的位置，只要看2x 和2y 的分母的大小，“谁大焦点在谁上” 椭圆练习题 一.选择题： １.已知椭圆 上的一点P ，到椭圆一个焦点的距离为３，则P 到另一焦点距离为（ D ） A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ ２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ C ） A. B. C. D. ３.与椭圆9x 2 +4y 2 =36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是( B ) A ４．椭圆的一个焦点是，那么等于（ A ） A. B. C. D. ５．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( B ) A. B. C. D. ６．椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ B ） A. B . C . D . ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2| 的等差中项，则该椭圆方程是（ C ）。 A ＋＝1 B ＋＝1 C ＋＝1 D ＋＝1 ８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为( C ) (A)450 (B)600 (C)900 (D)120 ９．椭圆 上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为（ A ） A. 4 B . 2 C. 8 D . 116 252 2=+y x 22143x y +=22134x y +=2214x y +=22 14 y x +=5185 8014520125201 20 252222222 2=+=+=+=+y x D y x C y x B y x 2 2 55x ky -=(0,2)k 1-1512 21(4,0)F -2(4,0)F 12PF F 221169x y +=221259x y +=2212516x y +=22 1254 x y +=16x 29y 216x 212y 24x 23y 23x 24 y 222 1259 x y +=2 3 【直线与椭圆】典例精讲 已知直线:1l y kx =+与椭圆2 2 :14y C x +=相交于两点,A B . （1）若AB 的中点的横坐标等于 14，求k 的值； （2）若AB 的中点在直线14x = 上，求k 的值； （3）若AB 的中点在直线12y = 上，求k 的值； （4）若AB 的中点的横坐标大于 15 ，求k 的取值范围； （5）求AB 的中点横坐标的取值范围； （6）求A B x x 的取值范围； （7）若AB 的中点在圆2212 x y +=上，求k 的值； （8）若AB 的中点与短轴右顶点的连线斜率为1-，求k 的值； （9）若0OA OB =,求k 的值； （10）设点(2,0)N ,若0NA NB =，求k 的值； （11）设点(2,0)N ,若ABN 为直角三角形，是否与（13）同解，为什么？ （12）设1(,0)2 P ，若PA PB =,求k 的值； （13）设过AB 的中点且与l 垂直的直线为m ，求直线m 与x 轴交点横坐标的取值范围； （14）设直线l 与y 轴交于点M ，若2AM MB =,求k 的值； （15）若AB 求k的值； （16）求OAB面积的最大值及此时k的值； 1. 如图，,A B 是椭圆2 2:13 x W y +=的两个顶点，过点A 的直线与椭圆W 交于另一点C . （Ⅰ）当AC 的斜率为3 1时，求线段AC 的长； （Ⅱ）设D 是AC 的中点，且以AB 为直径的圆恰过点D . 求直线AC 的斜率. 2. 已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C . （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围； （Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程. 3. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的长轴长为22，离心率22=e ，过右焦点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求△POQ 的面积；（Ⅲ）若以OP ，OQ 为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l 的方程。 x y O A B C D 特别解析：椭圆经典例题分类 题型一 .椭圆定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02， A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：1142 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 例2 已知椭圆 19822=++y k x 的离心率2 1 =e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12 -=k c ．由2 1 =e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92 =a ，82 +=k b ，得k c -=12 ． 由21= e ，得4191=-k ，即4 5-=k ． ∴满足条件的4=k 或4 5 -=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论． 例3 已知方程 1352 2-=-+-k y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由?? ? ??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53< 椭圆练习题(经典归纳)标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 初步圆锥曲线 感受：已知圆O 以坐标原点为圆心且过点12? ?? ,,M N 为平面上关于原点对称的两点,已知N 的坐 标为0,? ?? ,过N 作直线交圆于,A B 两点 （1）求圆O 的方程; （2）求ABM ?面积的取值范围 二. 曲线方程和方程曲线 （1）曲线上点的坐标都是方程的解； （2）方程的解为坐标的点都在曲线上. 三. 轨迹方程 例题：教材 A 组.T3 T4 B 组 T2 练习1.设一动点P 到直线:3l x =的距离到它到点()1,0A 的距离之比为3 ，则动点P 的轨迹方程是____ 练习2.已知两定点的坐标分别为()()1,0,2,0A B -，动点满足条件2MBA MAB ∠=∠，则动点M 的轨迹方程为___________ 总结：求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 四. 设直线方程 设直线方程：若直线方程未给出，应先假设. （1）若已知直线过点00(,)x y ，则假设方程为00()y y k x x ； （2）若已知直线恒过y 轴上一点()t ，0，则假设方程为t kx y +=； （3）若仅仅知道是直线，则假设方程为b kx y += 【注】以上三种假设方式都要注意斜率是否存在的讨论； （4）若已知直线恒过x 轴上一点(,0)t ，且水平线不满足条件（斜率为0），可以假设 椭圆标准方程典型例题(参考答案) 例1 已知椭圆0632 2 =-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 解：方程变形为 1262 2=+m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2 262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03， P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b y a x ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为1922=+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为()0122 22>>=+b a b x a y ． 由椭圆过点()03， P ，知10922=+b a ．又 b a 3=，联立解得812=a ，92 =b ，故椭圆的方程为198122=+x y ． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则 ()0136 1002 2≠'='+'y y x ． ① 由题意有??? ????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． 例4 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为354和3 5 2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541= PF ，3 5 22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F PF Rt ?中，2 1 sin 12 21==∠PF PF F PF ， 椭圆标准方程典型例题 例1 已知椭圆06322=-+m y mx 的一个焦点为（0，2）求m 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由2=c ，根据关系222c b a +=可求出m 的值． 解：方程变形为 126 2 2 =+ m y x ．因为焦点在y 轴上，所以62>m ，解得3>m ． 又2=c ，所以2262=-m ，5=m 适合．故5=m ． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2a 和2b ）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在x 轴上时，设其方程为()012 22 2>>=+ b a b y a x ． 由椭圆过点()03，P ，知 1092 2 =+ b a ．又b a 3=，代入得12=b ，92 =a ，故椭圆的方程为 19 2 2 =+y x ． 当焦点在y 轴上时，设其方程为 ()012 22 2>>=+ b a b x a y ． 由椭圆过点()03，P ，知 1092 2 =+ b a ．又b a 3=，联立解得812=a ，92 =b ，故椭圆的方程为 19 81 2 2 =+ x y ． 例3 ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹． 分析：（1）由已知可得20=+GB GC ，再利用椭圆定义求解． （2）由G 的轨迹方程G 、A 坐标的关系，利用代入法求A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ， 知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ，有6=b ， 故其方程为 ()0136 100 2 2 ≠=+ y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则 ()0136 100 2 2 ≠'=' + ' y y x ． ① 由题意有??? ? ?? ? ='='3 3y y x x ， 代入①，得A 的轨迹方程为 ()01324 900 2 2 ≠=+ y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． 《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为()02，A ， 其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+ y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116 42 2=+ y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：3 1 222??=c a c ∴223a c =， ∴3 331- = e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点， M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为1222 =+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴22 2112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4 1 12=== a x y k M M OM ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆19252 2=+y x 上不同三点()11y x A ，，?? ? ??594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的 距离成等差数列． （1）求证821=+x x ； （2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知： a c x c a AF =-12 ， ∴ 115 4 5x ex a AF -=-=． 同理 25 4 5x CF - =． ∵ BF CF AF 2=+，且5 9= BF ， ∴ 51854554521=??? ??-+??? ? ? -x x ， 即 821=+x x ． （2）因为线段AC 的中点为??? ? ?+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为 ()422 12 121---= +- x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 () 2122 21024x x y y x --=-椭圆经典例题讲解
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