椭圆经典精讲
1、基本概念、基本图形、基本性质 题1、
题面：集合}12|),{(}4|),{(2
2
2
2
=+==+=y x y x B y x y x A 与的关系可表述为（ ）.
A.A B A =I
B.A B ?
C.B A ?
D.A ∩B = ? 答案：D.
变式一
题面：
设双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，左，右顶点为M ，N ，若△PF 1F 2的一个顶点P 在双曲线上，则△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2的切点的位置是( )
A ．在线段MN 的内部
B ．在线段F 1M 的内部或NF 2内部
C ．点N 或点M
D ．以上三种情况都有可能 答案：C. 详解：
若P 在右支上，并设内切圆与PF 1，PF 2的切点分别为A ，B ，则|NF 1|－|NF 2|＝|PF 1|－|PF 2|＝(|P A |＋|AF 1|)－(|PB |＋|BF 2|)＝|AF 1|－|BF 2|. 所以N 为切点，同理P 在左支上时，M 为切点．
变式二
题面：
若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4
没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋
y 2
4
＝1的交点个数为( )
A ．至多1个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
答案：B. 详解：
由题意得
4
m 2＋n 2
＞2，即m 2＋n 2＜4，则点(m ，n )在以原点为圆心，以2为半径的圆内，此圆在椭圆x 29＋y 2
4＝1的内部．
题2、
题面：如图，倾斜圆柱形容器，液面的边界近似一个椭圆。 若容器底面与桌面成角为60o
，则这个椭圆的离心率是 。
答案：
解题步骤： 由图，短轴就是内径2r ，长轴为4r ，
即：2,,a r b r c ===，
2
e =.
变式一
题面：
已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是
以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )
A.
3－1
2
B.5－1
2 C.1＋54
D.
3＋1
4
答案：B. 详解：
由题意得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±5
2.
又e ＞0，故所求的椭圆的离心率为5－1
2
.
变式二
题面：
60o
4r
2r
(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为
直线x ＝3a
2
上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )
A.12
B.23
C.34
D.45
答案：C. 详解：
由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2????32a －c ＝2c ，∴3a ＝4c ，∴e ＝34.
题3、
题面：椭圆22143
x y +=与圆 22
(1)1x y -+=的公共点个数是 。
答案：1.
变式一
题面：
已知椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2
b 22
＝1(a 2＞b 2＞0)的焦点相同且
a 1＞a 2.给出如下四个结论：
①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 21－a 22＝b 21－b 2
2；③a 1a 2＞b 1
b 2
；④a 1－a 2＜b 1
－b 2.
其中，所有正确结论的序号是( ) A ．②③④ B ．①③④ C ．①②④
D ．①②③
答案：C. 详解：
由已知条件可得a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21－a 22＝b 21－b 2
2，而a 1＞a 2，可知两椭圆无公共点，即①正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，知②正确；由a 21－b 21＝a 22－b 22，可得a 21＋b 22＝b 2
1＋
a 22，则a 1
b 2，a 2b 1的大小关系不确定，a 1a 2＞b 1b 2不正确，即③不正确；∵a 1＞b 1＞0，a 2＞b 2
＞0，∴a 1＋a 2＞b 1＋b 2＞0，而又由(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＝(b 1＋b 2)(b 1－b 2)，可得a 1－a 2＜b 1－b 2，即④正确．综上可得，正确的结论序号为①②④.
变式二
题面：
设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝1
2，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )
A ．必在圆x 2＋y 2＝2内
B ．必在圆x 2＋y 2＝2上
C ．必在圆x 2＋y 2＝2外
D ．以上三种情形都有可能
答案：A, 详解：
由已知得e ＝c a ＝12，则c ＝a 2.又x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a ，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2
－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ca a 2＝b 2＋a 2a 2<2a 2
a 2＝2，因此点P (x 1，x 2)必在圆x 2＋y 2＝2内．
2、关注几何（甚至就是平面几何） 题4、
题面：设AB 是经过椭圆01:22
22>>=+b a b
y a x C ，中心的弦，F 是椭圆的一个焦点，
则△ABF 的面积最大值为 .
答案：
变式一
题面：
(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________． 答案：3. 详解：
由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即
1
m 2＋n 2
＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ????1m ，0，B ????0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.
变式二
题面：
已知椭圆方程为y 22＋x 2
＝1，斜率为k (k ≠0)的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于
P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点M (0，m )．
(1)求m 的取值范围； (2)求△MPQ 面积的最大值． 答案：
(1) 0 2. (2) 36 16 . 详解： (1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 由???? ? y ＝kx ＋1，y 22＋x 2＝1， 可得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1x 2＝－1k 2＋2. 可得y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝ 4k 2＋2 . 设线段PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为? ?? ? ?－k k 2＋2，2k 2＋2， 由题意有k MN ·k ＝－1，可得m －2k 2 ＋2 k k 2＋2·k ＝－1，可得 m ＝1 k 2＋2 ， 又k ≠0，所以0 2. (2)设椭圆的焦点为F ， 则S △MPQ ＝1 2·|FM |·|x 1－x 2|＝2m 1－m 3， 所以△MPQ 的面积为2m 1－m 3(0 12 )． 设f (m )＝m (1－m )3，则f ′(m )＝(1－m )2(1－4m )． 可知f (m )在区间????0，14上单调递增，在区间????14，1 2上单调递减． 所以，当m ＝1 4时，f (m )有最大值f ????14＝27256. 即当m ＝14时，△MPQ 的面积有最大值3616. 题5、 题面：过椭圆2 214x y +=的中心作直线l 与椭圆交于,P Q 两点，设椭圆的右焦点为2F ， 当22π 3PF Q ∠=时，求2PF Q ?的面积. . 变式一 题面： 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 225＋y 2 9＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为________． 答案：9. 详解： ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4， ∴??? |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 解得|PF 1||PF 2|＝18， ∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝1 2×18＝9. 变式二 题面： (2012·安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. (1)求椭圆C 的离心率； (2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． (1) e ＝12 . (2) a ＝10，b ＝5 3. 详解： (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝1 2. (2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2， 直线AB 的方程为y ＝－3(x －c )． 将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ???? 85 c ，－335c ， 所以|AB |＝1＋3·????85c －0＝165 c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2 ＝403，解得a ＝10，b ＝ 5 3. 法二：设|AB |＝t . 因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a . 由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2 ＝403知， a ＝10，b ＝5 3. 题6、 题面：过椭圆C ：14 82 2=+y x 上一点),(00y x P 向圆O ：422=+y x 引两条切线P A 、PB ，（A ，B 为切点），若PA PB ⊥ ，则P 点的坐标是 . 答案：(±. 解题步骤： ①连接OA ，OB ；（几何思考的意识、辅助线添加习惯）； ②标注三个垂直符号；（把初中的习惯恢复起来） ③看出是矩形； ④进一步明确是正方形； ⑤||OP =a =； ⑥椭圆上到中心的距离等于半长轴的点只有长轴端点。 题面： 设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2 ＝1的左、右焦点，P 是第一象限内该椭圆上的一点， 且PF 1⊥PF 2，则点P 的横坐标为( ) A ．1 B.83 C ．2 2 D.263 答案：D. 详解： 由题意知，点P 即为圆 x 2＋y 2＝3 与椭圆x 24 ＋y 2 ＝1在第一象限的交点，解方程组 ????? x 2＋y 2＝3，x 24＋y 2＝1，得点P 的横坐标为263. 变式二 题面： 已知圆2 2 :230(0)M x y mx m ++-=<的半径为2，椭圆22 2:13 x y C a +=的左焦点为 (,0)F c -，若垂直于x 轴且经过F 点的直线与圆M 相切，则a 的值为（ ） A ． 3 4 B ．1 C ．2 D ．4 答案：C. 详解： 由题意得234m +=，即21m =（m<0）∴1m =-,则圆心M 的坐标为（1,0） ∵直线l 与圆M 相切∴1c =，即有24a =，∴2a =
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