l
m
β
α
α
b
a
N
M
C
B A
D A 1
B 1
C 1
D 1α
D
C
B
A
立体几何（三）
线面位置关系的八大定理
一、直线与平面平行的判定定理：
文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行
图形语言： 符号语言：
//a b a b αα??
?
????
?//a α 作用：线线平行?线面平行
典例：在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,A B CC 的中点，
求证：//MN ABCD 平面
二、直线与平面平行的性质定理：
文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直
线就和交线平行。
图形语言：
符号语言：//l l m α
βαβ??
????=?
?//l m
作用：线面平行?线线平行
典例：如图，//,//,,AB AC BD C D ααα∈∈，求证：AC BD =
B
1
A
b a F
E γ
βαD
C
B A
文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：
//a b a b A a b αααβββ
??????
=??????
∥∥ 作用：线线平行? 面面平行
典例：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点,D E 分别是BC 与11B C 的中点， 求证：平面1//A EB 平面1ADC
四、平面与平面平行的性质定理:
文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言:
符号语言:////a a b b αβαγβγ?
?
?=????=?
作用: 面面平行?线线平行
典例：如图，////αβγ，直线a 与b 分别交,,αβγ于点,,A B C 和点,
,D
E F ， 求证：AB DE
BC EF
=
n
m
A
α
a
α
b
a
F
E
P
D C
B
A 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 图形语言： 符号语言： ,a m
a n a m n A m n ααα⊥?
?⊥?
?⊥??=?????
作用：线线垂直?线面垂直
典例：已知四棱锥,P ABCD PD -⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，且PD CD =，
,E F 分别为,PB PC 的中点，
求证：（1）AC ⊥平面PBD （2）PA AB ⊥（3）PC ⊥平面ADFE
六、直线与平面垂直的性质定理：
文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言：
//a a b b αα⊥?
??⊥?
作用：线面垂直?线线平行
B
A l β
αa
β
α
C C
B
A
P
文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言：
符号表示：a a ααββ⊥?
?⊥???
注：线面垂直?面面垂直
典例：如图，在四面体S ABC -中，SA SB SC a ===
0090,60ASC ASB BSC ∠=∠=∠=
求证：平面ASC ⊥平面ABC
八、平面与平面垂直的性质定理： 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一
个平面
图形语言：
符号语言：l AB AB AB l
αβαββα⊥?
?=?
?⊥???
?⊥?
作用：面面垂直?线面垂直
典例：如图，PA ABC ⊥平面，PAB PBC ⊥平面平面，求证：BC PAB ⊥平面
线面位置关系的八大定理 、直线与平面平行的判定定理: 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言： a u a b u o alia a//b 作用：线线平行=线面平行 二、直线与平面平行的性质定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行。 图形语言： I//： 符号语言：I u E l //m a o P = m 作用：线面平行=线线平行 、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 图形语言： 符号语言： a u a b u a aPlb = Au a//P a// P b/厂 作用：线线平行=面面平行四、平面与平面平行的性质定理： 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交图形语言: ?// P 符号语言：「二a = a//b Y =b“ 作用：面面平行=线线平行,那么所得的两条交线平行
图形语言： 符号语言： a 丄m a 丄n :a _ ： m 「n 二 A m 二二，n 二： 作用：线线垂直=线面垂直 a / * 六、直线与平面垂直的性质定理: 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言： a - :■ 匕 a//b b -:- 作用：线面垂直=线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理: 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言： 一 a 丄a 〕 任 符号表示： _ ■ a u Pj 注：线面垂直 =?面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理: 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另 个平面 图形语言： 符号语言: a 1 P l AB : AB _丨 作用：面面垂直=线面垂直 五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,
点线面的位置关系 （1）四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβα β∈∈?=∈且。 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 （2）空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。 （易知：夹角范围090θ<≤?） 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形） 2.位置关系：???? ??? ?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （3）空间中直线与平面之间的位置关系
C B A l 3 l 2 l 1 第六讲 立体几何之点线面之间的位置关系 考试要求： 1、 熟练掌握点、线、面的概念； 2、 掌握点、线、面的位置关系，以及判定和证明过程； 3、 掌握点、线、面垂直、平行的性质 知识网络： 知识要点： 1、公理 （1）公理 1：对直线 a 和平面α，若点 A 、B ∈a , A 、B ∈α，则 （2）公理 2：若两个平面α、β有一个公共点P ，则α、β有且只有一条过点P 的公共直线 a （3）公理 3： 不共线的三点可确定一个平面 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等． 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 例1、已知直线1l 、2l 和3l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线1l 、2l 和3l 在同一平面上. 空间图形的关系 空间基本关系与公理 平行关系 垂直关系 公理 点、线、面的位置关系 判定 性质 应用 应用 性质 判定
例2、三个平面将空间分成k个部分,求k的可能取值. 分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论，按条件可将三个平面位置情况分为5种: （1）三个平面相互平行 （2）两个平面相互平行且与第三个平面相交 （3）三个平面两两相交且交线重合 （4）三个平面两两相交且交线平行 （5）三个平面两两相交且交线共点 例3、已知棱长为a的正方体中，M、N分别为CD、AD中点。 求证：四边形是梯形。 例4、如图，A是平面BCD外的一点,G H分别是, ABC ACD ??的重心， 求证：// GH BD． 例5、如图，已知不共面的直线,, a b c相交于O点，, M P是直线a上的两点，,N Q分别是,b c上的一点求证：MN和PQ是异面直线 例6、已知正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 的棱长为a，则棱A 1 B 1 N M H G D C B A α c b a Q P N M O A1 C1 D1
专题08立体几何 第二十讲空间点线面的位置关系 2019年 1.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD， M是线段ED的中点，则 A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 2.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点. （1）证明：MN∥平C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离． 3.（2019全国II文7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
4.（2019北京文13）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 5.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ． 6.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1. （1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1； （2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．
立体几何中的定理、公理和常用结论 一、定理 1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l?α． 2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． P∈α，P∈α?α∩β＝l，且P∈l． 3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面． 4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a?α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．） 5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c． 8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 若a?／α，b?α，a∥b，则a∥α． 9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 若a∥α，a?β，α?β＝b，则a∥b． 10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直． 若m?α，n?α，m?n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α． 11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α． 12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 若a?α，b?α，a?b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β． 14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b． 15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β． 16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 若l⊥α，l?β，则α⊥β． 17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β． 18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
立体几何空间点线面关系题1 / 10 立体几何空间点线面关系题 1、（08天津）：设,a b 是两条直线，,a b 是两个平面，则a b ^的一个充分条件是（ ）。 A 、,//,a b a b a b ^^ B 、,,//a b a b a b ^^ C 、,,//a b a b a b 蘜 D 、,//,a b a b a b 蘜 2、（08安徽）已知,m n 是两条不同的直线，,,a b g 是三个不同的平面，下列命题正确的是 （ ） A 、//,//,m//n m n a a 若则 B 、,//a g b g a b ^^若，则 C 、//,//,//m m a b a b 若则 D 、,,//m n m n a a ^^若则 3、（08江西）设直线m 与平面a 相交但不垂直，则下列说法正确的是（ ） A 、在平面a 内有且只有一条直线与直线m 垂直 B 、过直线m 有且只有一个平面与平面a 垂直 C 、与直线m 垂直的直线不可能与平面a 平行 D 、与直线m 平行的平面不可能与平面a 垂直 4、（08湖南）已知直线m,n 和平面,a b 满足,,m n m a a b ^^^，则（ ） A 、n b ^ B 、//n b b ì或n C 、n a ^ D 、//n a a ì或n 5、对于两条不相交的空间直线,a b ,必存在平面a ，使得（ ） A 、,a b a a 烫 B 、,//a b a a ì C 、,a b a a ^^ D 、,a b a a 蘜 6、平面//a b 的一个充分条件是（ ） A 、存在一条直线,//,//a a a a b B 、存在一条直线,,//a a a a b ì C 、存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b a b b a 烫 D 、存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b a b b a 烫 7、（07浙江）：若P 是两条异面直线,l m 外任意一点，则（ ）
立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用： ① 用来验证直线在平面内； ② 用来说明平面是无限延展的。 公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） 符号语言：P l P l αβαβ∈?=∈I I 且 作用：① 用来证明两个平面是相交关系； ② 用来证明多点共线，多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号语言：,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 符号语言：A a A a a αα??∈?有且只有一个平面，使， 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 符号语言：a b P a b ααα?=???有且只有一个平面，使， 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 符号语言：//a b a b ααα???有且只有一个平面，使， 公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 作用：用来证明线线平行。 二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行（平行公理）。（1） 符号语言：//////a b a c c b ???? 图形语言： 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么 这条直线和这个平面平行。（2） 符号语言：////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言： 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和 这个平面相交，那么这条直线和交线平行。（3） 符号语言：////a b a a b βαβα ? ? ????=? I 图形语言： 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行.（4）
同步练习 第I 卷（选择题） 1.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是（ ）. A 、若m ∥,n α∥α,则m ∥n B 、若,αγβγ⊥⊥,则α∥β C 、若n ∥,n α∥β,则α∥β D 、若,m n αα⊥⊥,则m ∥n 2.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （ ） A ．//,//m n αα，则//m n B ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．//,//m n m α，则//n α D ．,αγβγ⊥⊥，则//αβ 3.已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若α∥β，m ∥α，则m ∥β B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ⊥α C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 4.已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面， 则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，m α?，则l m ⊥ B ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ C ．若l ∥α，m α?，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ B ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ C ．若l α//，m α?，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m // 6.设b a ,表示直线，γβα,,表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥a 且b a ⊥，则α//b B ．若αγ⊥且βγ⊥，则βα// C ．若α//a 且β//a ，则βα// D ．若αγ//且βγ//，则βα// 7.关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α?，则//a α B ．若//a α，b α?，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b 8.给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面 垂直”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分非必要 C ．必要非充分 D ．既非充分又非必要 9.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中为真命题的个数（ ） ①若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ ②若αβ⊥,m α?,m β⊥,则//m α ③若m β⊥,m α?,则αβ⊥ ④若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥ A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
立体几何线面关系的常见规律 规律一：线线平行与线线垂直的判定 1、直线与直线平行的判定方法： 公理4：平行与同一条直线的两条直线互相平行 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直与同一个平面，那么这两条直线平行 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两交线平行 2、直线与直线垂直的判定方法： 利用直线与平面垂直的定义来判定：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就与平面内的任意一条直线垂直 例题1：(2012·南通调研)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B ＝A1D，AB＝AD.求证： (1)AA1⊥BD； (2)BB1∥DD1. 证明(1)取BD的中点M，连结AM，A1M.因为A1D＝A1B，AD＝AB，所以BD ⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM，A1M?平面A1AM， 所以BD⊥平面A1AM. 因为AA1?平面A1AM，所以AA1⊥BD. (2)因为AA1∥CC1，AA1?平面D1DCC1，CC1?平面D1DCC1，所以AA1∥平面 D1DCC1. 又AA1?平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.
同理可得AA 1∥BB 1，所以BB 1∥DD 1. 例题2：（13泰州期末）在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=AC= 3 BC ,点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE=4DE,点M 是线段SD 上一点，求证：BC ⊥AM 方法小结： （1）要证明线线垂直有两条思路：第一条：把其中一条直线平移，使得两条直线在同一个平面，然后用平面几何的知识证明垂直即可；第二条：通过证明线面垂直证明。即证明其中一条直线垂直另一个直线所在的平面。第二条思路用的较多，要熟练，第一条用的较少，但也不能忘 （2）证明线线垂直也主要有两条思路，第一条：证明其中一条直线平行另一条直线所的平面，在用线面平行的性质；第二条：先证明两条直线所在的平面平行，再证明这两条直线为第三个平面与两平行平面所交的交线，即运用面面平行的性质定理。面面平行与线面平行的性质定理在证明过程中容易被学生忽视，所以教学过程中应引起重视 同步练习1：在如图所示的多面体中，11//AA BB ，11CC AC CC BC ⊥⊥，． （1）求证：1CC AB ⊥； A 1A
l m β α α b a 线面位置关系的八大定理 一、直线与平面平行的判定定理： 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 图形语言： 符号语言： //a b a b αα?? ? ???? ?//a α 作用：线线平行?线面平行 二、直线与平面平行的性质定理： | 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行。 图形语言： 符号语言：//l l m α βαβ?? ????=? ?//l m 作用：线面平行?线线平行 三、平面与平面平行的判定定理 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 图形语言： 符号语言： ~ //a b a b A a b α ααβββ ?????? =?????? ∥∥ 作用：线线平行? 面面平行 四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言: 符号语言:////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 作用: 面面平行?线线平行 |
n m A α a α b a B A l β αa β α 五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 图形语言： 符号语言： ,a m a n a m n A m n ααα⊥? ?⊥? ?⊥??=????? 【 作用：线线垂直?线面垂直 六、直线与平面垂直的性质定理： 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言： //a a b b αα⊥? ??⊥? 作用：线面垂直?线线平行 ? 七、平面与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言： 符号表示：a a ααββ⊥? ?⊥??? 注：线面垂直?面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理： 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一 个平面 图形语言： 符号语言：l AB AB AB l αβαββα⊥? ?=? ?⊥??? ?⊥? 作用：面面垂直?线面垂直
1.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是 A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【考点】空间位置关系判断 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 2.【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ） A ．11A E DC ⊥ B ．1A E BD ⊥ C ．11A E BC ⊥ D ．1A E AC ⊥ 【答案】C 【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立，D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.
【考点】线线位置关系 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.学~ 3.【2014高考广东卷.文.9】若空间中四条直线两两不同的直线...,满足12l l ⊥,23//l l ,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( ) A .14l l ⊥ B .14//l l C ..既不平行也不垂直 D ..的位置关系不确定 【答案】D 【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定,属于中等题. 【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于中等题．解题时一定要注意选“正确”还是选“错误”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理． 4.【2016高考山东文数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面相交”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析： “直线和直线相交”?“平面α和平面β相交”，但“平面α和平面β相交”?“直线和直线相交”，所以“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A ．
点线面的位置关系 （１）四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。 符号语言:,,P P l P l αβα β∈∈?=∈且。 公理4:（平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 (2)空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把 a '与 b '所成的角(或直角)叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角范围 090θ<≤?） 公理4：(平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言://,////a l b l a b ?且。 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。(注意:会画两个角互补的图形) 2.位置关系：???? ??? ?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （3）空间中直线与平面之间的位置关系
立体几何线面关系 一、柱、锥、球图形画法、基本性质、表面积及体积公式 概念基本性质表面积
二、线面关系及判定 1、线线平行的判断： （1）、平行于同一直线的两直线平行。 （2）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （3）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （4）、垂直于同一平面的两直线平行。 2、线线垂直的判断： （1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直那么它和这条斜线的射影垂直。 （3）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断： （1）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （2）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 4、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 5、面面平行的判断： （1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。 6、面面垂直的判断： （1）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
关键点：需要借助一个经过已知直线 的平面，接着找交线。 内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 符号语言：a I b A a// b// 关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。 四、面面平行的性质定理：面面平行 线线平行、面面平行 线面平行 文字语言:如果两个平行平面 冋时和第三 个平面相交,那么所得的两条 交线平行? 文字语言:如果两个平面平行，那么其中 符号语言: 亠 一个平面内的 任意一条直线平行于另一个 // 平面. a a//b 符号语言 : // ,a a// b 丨v 关键点：找第三个平面与已知平面都相 关键：只要是其中一个平面内的直线就行 交，则交线平行 立体几何的八大定理 、线面平行的判定定理： 线线平行 线面平行 文字语言：如果平面 外的一条直线与平面 内的一条直线平行，则这条直线与平面平行 符号语言：b all a//b 关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理： 线面平行 线线平行 文字语言：如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行. 1 〃 符号语言: I I l/m 三、面面平行的判定定理: 线面平行 面面平行 文字语言：如果一个平面 //
五、线面垂直的判定定理： 线线垂直 线面垂直 文字语言：如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 符号语言: 六、线面垂直的性质定理： 线面垂直 线线垂直 文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的 任意一条直线. 、亠 l 符号语 言: a 关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出 七、平面与平面垂直的判定定理： 线面垂直 面面垂直 文字语言：如果一个平面 经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直） 符号表示: 八、平面与平面垂直的性质定理： 面面垂直 线面垂直 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另 个平面? 符号语言： 1 1 AB AB AB I 关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。 关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直 关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直 a
常州知典教育一对一教案 学生: 年级: 学科:数学授课时间: 月日授课老师:赵鹏飞课题空间立体几何点线面判断与证明 教学目标(通过本节课学生需掌握的知识点及达到程度) 掌握空间立体几何中的点线面之间的关系,平行,相交,垂直,异面,重合等等,以及证明面面垂直,面面平行等方法与步骤,了解关于几何体中一些基本的计算与比值。 本节课考点 及单元测试 中所占分值 比例 15% 学生薄弱点,需重点讲解内容证明时对判断的方法出现错误思维,导致证明失分,使用性质时没有给出应有的条件导致扣分,计算的失误使得自己失分。 课前检查上次作业完成情况: 优□良□中□差□建议: 教学过程﹃讲义部分﹄ 考向1空间中点、线、面位置关系的判断 1.平面的基本性质的应用 (1)公理1:证明“点在面内”或“线在面内”. (2)公理2及三个推论:证明两个平面重合,用来确定一个平面或证明“点线共面”. (3)公理3:确定两个面的交线,尤其就是画截面图或补体时用到,证明“三点共线”“三线共点”. 要证明“点共线”可将线瞧作两个平面的交线,只要证明这些点都就是这两个平面的公共点,根据公理3可知这些点在交线上,因此共线. 2.空间中点、线、面之间的位置关系 直线与直线直线与平面平面与平面平行关系
相交关系 独有关系 (1)已知m,n表示两条不同直线,α表示平面,下列说法正确的就是() A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m⊥α,n?α,则m⊥n C.若m⊥α,m⊥n,则n∥α D.若m∥α,m⊥n,则n⊥α (2)下列命题正确的就是() A.若两条直线与同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 【解析】(1)对于选项A,m与n还可以相交或异面; 对于选项C,还可以就是n?α; 对于选项D,还可以就是n∥α或n?α或n与α相交. (2)对于命题A,这两条直线可以相交或为异面直线, ∴A错误;对于命题B,这两个平面可以相交,∴B错误;对于命题D,这两个平面还可能相交,∴D错误;而由线面平行的性质定理可证C正确.故选C、【答案】(1)B(2)C 【点拨】解题(1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断,注意空间位置关系的各种可能情况.解题(2)时要注意充分利用正方体(或长方体)模型辅助空间想象. 解决空间位置关系问题的方法 (1)解决空间中点、线、面位置关系的问题,首先要明确空间位置关系的定义,然后通过转化的方法,把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决.
立体几何的点线面的关系 [键入文字] 课题教学目标立体几何的点线面的关系证明题目的方法教学内容立体几何热身训练：1.若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c 的位置关系是. 2.给出下列命题：①若平面?内的直线a与平面?内的直线b为异面直线，直线c是?与?的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一定存在平面?和异面直线a、b同时平行. 其中正确命题的序号是. 3.已知a，b 是异面直线，直线c∥直线a,则c与b的位置关系. ①一定是异面直线③不可能是平行直线②一定是相交直线④不可能是相交直线 4.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有. ①过点P有且仅有一条直
线与l、m都平行②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有条. 6.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 7.如图所示，在三棱锥C—ABD 中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是. 8.已知a、b为不垂直的异面直线,?是一个平面，则a、b在?上的射影可能是①两条平行直线；③同一条直线；②两条互相垂直的直线； ④一条直线及其外一点. 则在上面的结论中，正确结论的编号是. 9.下列命题中，正确命题的个数是. ①若直线l上有无数个点不在平面?内，则l∥?;②若直线l与平面?平行，则l与平面?内的
立体几何常考定理总结(八大定理) 一、线面平行的判定定理：线线平行线面平行文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行、符号语言：关键点：在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理：线面平行线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行、符号语言：关键点：需要借助一个经过已知直线的平面，接着找交线。 三、面面平行的判定定理：线面平行面面平行文字语言：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行、符号语言：关键点：在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。 四、面面平行的性质定理: 面面平行线线平行、面面平行线面平行文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行、符号语言:关键点：找第三个平面与已知平面都相交，则交线平行文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面、符号语言:关键：只要是其中一个平面内的直线就行 五、线面垂直的判定定理：线线垂直线面垂直文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂
直于这个平面、符号语言：关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直六、线面垂直的性质定理：线面垂直线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意一条直线、符号语言：关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直面面垂直文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直、（如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面、符号语言：关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。 一、线线、线面和面面的位置关系两直线位置关系线面位置关系面面的位置关系 二、有关平行的证明线∥线⑴线∥线线∥线（都是直线）⑵线∥面线∥线（相交平面）⑶面∥面线∥线（平行平面）⑷同垂直于一个平面线∥线（线面垂直）线∥面⑴线∥线线∥面⑵面∥面线∥面面∥面线∥面面∥面线⊥线线⊥线线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面 四、三种角的范围异面直线所成角直线与平面所成角二面角
实用标准文案 高中立体几何证明平行的专题( 基本方法 ) 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线 线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2) 利用三角形中位线的性质。 (3) 利用平行四边形的性质。 (4)利用对应线段成比例。 (5) 利用面面平行，等等。 (1)通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥 P－ ABCD的底面是平行四边形，点 E、F 分别为棱 AB、 PD 的中点．求 证： AF∥平面 PCE； 分析：取 PC的中点 G，连 EG.，FG，则易证 AEGF是平行四边形P F E A D B C （第 1 题图） 2、如图，已知直角梯形ABCD中， AB∥ CD，AB⊥ BC，AB＝ 1，BC＝ 2， CD＝ 1＋ 3 ， 过 A 作 AE⊥ CD，垂足为E， G、 F 分别为 AD、CE 的中点，现将△A DE沿 AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC⊥面 CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD； 分析：取DB的中点 H，连 GH,HC则易证 FGHC是平行四边形 D D E F C G F C G E A B A B 3、已知直三棱柱ABC－ A B C 中， D, E, F 分别为 AA, CC , AB 的中点， 1 1 1 1 1 M为 BE的中点 , AC ⊥ BE. 求证： （Ⅰ） C1D⊥BC；（Ⅱ） C1D∥平面 B1FM. C1 分析：连 EA，易证 C1EAD是平行四边形，于是MF//EA B1 E A 1 M D
实用标准文案 4、如图所示 , 四棱锥 P 底面是直角梯形, ABCD BA AD ,CD AD , CD=2AB,E为PC的中 点, 证 明: EB //平面PAD ; 分析 : ：取 PD的中点 F，连 EF,AF 则易证 ABEF是平行四边形 (2)利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD 、 CD 、 BD 、 BC 的中点，求证：AM ∥平面 EFG 。 A 分析：连 MD交 GF于 H，易证 EH是△ AMD的中位 线 E B G D M F C 6、如图， ABCD是正方形， O是正方形的中心， E 是 PC的 中点。求证： PA ∥平面 BDE 7．如图，三棱柱ABC— A1B1C1中， D 为 AC的中点 . 求证： AB1// 面 BDC1； 分析：连B1C 交 BC1于点 E，易证 ED是 △ B1AC的中位线 8、如图，平面ABEF 平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD都是直角梯形， BADFAB 900 , BC // 1 AD ，BE// 1 AF ， G, H 分别为 FA, FD 的中点2 2 （Ⅰ）证明：四边形BCHG 是平行四边形；（Ⅱ） C , D , F , E 四点是否共面？为什么？
高中立体几何公理及推论及定理总汇表 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。（1）判定直线在平面内的依据 （2 ）判定点在平面内的方法 公理2 :如果两个平面有一个公共点，那它还有其它公共点，这些公共点的集合是一条直线（1）判定两个平面相交的依据 （2）判定若干个点在两个相交平面的交线上 公理3 :经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。（2）判定若干个点共面的依据 推论1 :经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。的依据 （2）判断若干个平面重合的依据 （3）判断几何图形是平面图形的依据（1）确定一个平面的依 据 （1）判定若干条直线共 面 推论2 :经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论3 :经过两条平行线，有且仅有一个平面。 立体几何直线与平面 空间二直线平行直线 公理4 :平行于同一直线的两条直线互相平行等角定理： 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 并且方向相同，那么这两个角相异面直线 空间直线和平面位置关系 （1）直线在平面内一一有无数个公共点 （2 ）直线和平面相交一一有且只有一个公共点 （3 ）直线和平面平行一一没有公共点 立体几何直线与平面 直线与平面所成的角 （1 ）平面的斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线与平面所成的角 （2）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角 （3）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是00的角 三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条 斜线垂直
三垂线逆定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直 空间两个平面两个平面平行判定 性质 （1 ）如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行 （2）垂直于同一直线的两个平面平行 （1）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 （3 ）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 相交的两平面二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的线，这两个半平面叫二面角的面 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分另作垂直棱的两条射线, 两条射线所成的角叫二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 两平面垂直判定 性质 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 （1）若二平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 （2）如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内 立体几何多面体、棱柱、棱锥 多面体 定义由若干个多边形所围成的几何体叫做多面体。 棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱。 直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱。 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。 棱锥正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。 球 到一定点距离等于定长或小于定长的点的集合。 欧拉定理 简单多面体的顶点数V,棱数E及面数F间有关系：V+F-E=2