中考专题复习全等三角形 知识点总结 一、全等图形、全等三角形： 1.全等图形：能够完全的两个图形就是全等图形。 2.全等图形的性质：全等多边形的、分别相等。 3.全等三角形：三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等。同样，如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等。 说明：全等三角形对应边上的高，中线相等，对应角的平分线相等；全等三角形的周长，面积也都相等。 这里要注意：（1）周长相等的两个三角形，不一定全等；（2）面积相等的两个三角形，也不一定全等。 二、全等三角形的判定： 1.一般三角形全等的判定 （1）三边对应相等的两个三角形全等（“边边边”或“”）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(“边角边”或“”)。 （3）两个角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等(“角边角”或“”)。 （4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(“角角边”或“”)。 2.直角三角形全等的判定 利用一般三角形全等的判定都能证明直角三角形全等． 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(“斜边、直角边”或“”)． 注意：两边一对角(SSA)和三角(AAA)对应相等的两个三角形不一定全等。3.性质 1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。 2、全等三角形的对应边上的高对应相等。 3、全等三角形的对应角平分线相等。 4、全等三角形的对应中线相等。 5、全等三角形面积相等。 6、全等三角形周长相等。 (以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 三、角平分线的性质及判定： 性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等。 判定定理：到角的两边距离相等的点在该角的角平分线上。 四、证明两三角形全等或利用它证明线段或角相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、
全等三角形解题方法、思路和技巧汇总 一、全等三角形的性质与判定。 五种判定方法：SSS，SAS，AAS，ASA，HL，其中HL是边边角（SSA的特例）。全等三角形的对应边相等，对应角相等，一句话，凡是对应的，都相等。 二、寻找全等三角形常用方法 1、直接从结论入手 一般会有以下几种要求证的方向： ●线段相等 ●角相等 ●度数 ●线段或者线段的和、差、倍、分关系 根据题目要求证的方向，找到要证明的相关量分别在哪两个三角形中，然后再围绕这两个三角形进行研究。 2、从已知条件入手 把所有能标注在图上的已经条件标注出来，注意用不同的标示进行区分，比如第一组相等的线段用一条短竖，第二组相等的线段用两条短竖，再比如第一组相等的角用一个小圆弧，第二组相等的角就用两个小圆弧等。 然后通过已知条件找到相关的两个三角形，再进行分析。 记住一句话：“充分利用已知条件” 3、把已经条件和结论综合起来考虑 找到所有的已知条件和隐藏条件，结合结论，找出可能全等的两个三角形，再进行分析。 4、如果上述方法都确定行不通，就考虑添加辅助线来构造全等三角形。 三、构造全等三角形的一般方法 1、题目中出现角平分线 （1）通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形 （2）在角平分线的某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，构造全等三角形。 （3）在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形 2、题目中出现中点或者中线（中位线） （1）倍长中线法，把中线延长至二倍位置 （2）过中点作某一条边的平行线 3、题目中出现等腰或者等边三角形 （1）找中点，倍长中线 （2）过顶点作底边的垂线 （3）过某已知点作一条边的平行线 （4）三线合一 4、题目中出现三条线段之间的关系 通常用截长补短法，在某条线段上截取一段线段，使之与特定的线段相等，或者将某条线段延长，使之与特定线段相等。这种方法，在证明多条线段的和、差、
全等三角形的性质及判定（讲义） ? 课前预习 1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合 吗，为什么？ ①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形； ③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图． ? 知识点睛 1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做 三角形．三角形可用符号“________”表示． 2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号 “_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________． ? 精讲精练 1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对 应角∠B =∠DEF ，_________，__________． F E D C B A A C B 1 2 O 第1题图 第2题图 2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________， 对应角∠1=∠2，____________，____________． 3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． 4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________， 对应角_______________，_______________， ______________． E D C B A
初中数学—全等三角形解题方法、思路及技巧汇总 全等三角形是初中数学中非常重要的内容，今天我们就把初二数学中，与全等三角形相关的方法、思路及技巧都来整理一下。 一、全等三角形的性质与判定。 五种判定方法：SSS，SAS，AAS，ASA，HL，其中HL是边边角（SSA的特例）。全等三角形的对应边相等，对应角相等，一句话，凡是对应的，都相等。 二、寻找全等三角形常用方法 1、直接从结论入手 一般会有以下几种要求证的方向： ?线段相等 ?角相等 ?度数 ?线段或者线段的和、差、倍、分关系 然后根据题目要求证的方向，找到要证明的相关量分别在哪两个三角形中，再围绕这两个三角形进行研究。 2、从已知条件入手 把所有能标注在图上的已经条件标注出来，注意用不同的标示进行区分，比如第一组相等的线段用一条短竖，第二组相等的线段用两条短竖，再比如第一组相等的角用一个小圆弧，第二组相等的角就用两个小圆弧等。
然后通过已知条件找到相关的两个三角形，再进行分析。记住一句话：“充分利用已知条件”。 3、把已经条件和结论综合起来考虑 找到所有的已知条件和隐藏条件，结合结论，找出可能全等的两个三角形，再进行分析。 4、如果上述方法都确定行不通，就考虑添加辅助线来构造全等三角形。 三、构造全等三角形的一般方法 1、题目中出现角平分线 （1）通过角平分线上的某个已知点，向两边作垂线，这是利用角平分线的性质定理或者逆定理来构造的全等三角形 （2）在角平分线的某个已知点，作角平分线的垂线和两边相交，构造全等三角形。 （3）在该角的两边，距离角的顶点相等长度的位置上截取两点，分别连接这两点与角平分线上的某已知点，构造全等三角形 2、题目中出现中点或者中线（中位线） （1）倍长中线法，把中线延长至二倍位置 （2）过中点作某一条边的平行线 3、题目中出现等腰或者等边三角形
板块 考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 全等三角形的性质及判 定 会识别全等三角形 掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题 会运用全等三角形的性 质和判定解决有关问题 全等三角形的认识与性质 全等图形： 能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形． 相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等． 如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”． 知识点睛 中考要求 第一讲 全等三角形的 性质及判定
A' B' C' D' E' E D C B A 全等三角形： 能够完全重合的三角形就是全等三角形． 全等三角形的对应边相等，对应角分别相等； 反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等． 全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”． 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 重、难点
全等三角形判定与性质专题训练 一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ
3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL
5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：( ) A 、带①去， B 、带②去 C 、带③去 D 、①②③都带去
二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF
2016暑假作业(七) 全等三角形解答题答案 参考答案与试题解析 一．解答题（共28小题） 1．（2012?邵阳）如图所示，AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：AD∥BC． 【解答】证明：∵AC、BD交于点O， ∴∠AOD=∠COB， 在△AOD和△COB中， ∵ ∴△AOD≌△COB（SAS） ∴∠A=∠C， ∴AD∥BC．2．（2016?重庆校级模拟）如图，A、C、F、B在同一直线上，AC=BF，AE=BD，且AE∥BD．求证：EF∥CD． 【解答】证明：∵AE∥BD， ∴∠A=∠B， ∵AC=BF， ∴AC+CF=BF+CF， ∴BC=AF， 在△EAF和△DBC中 ∵， ∴△EAF≌△DBC（SAS）， ∴∠EFA=∠BCD， ∴EF∥CD．
3．（2015?于洪区一模）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB=AC，∠BAC=90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为垂直，线段CF、BD的数量关系为相等； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由； （2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由． 【解答】证明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠B=∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD． ②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度． ∵∠BAC=90°， ∴∠DAF=∠BAC， ∴∠DAB=∠FAC， 又∵AB=AC， ∴△DAB≌△FAC， ∴CF=BD，∠ACF=∠ABD． ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴∠ACF=45°， ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度． 即CF⊥BD． （2）当∠ACB=45°时，CF⊥BD（如图）．
全等三角形的性质及判定（习题） ? 例题示范 例1：已知：如图，C 为AB 中点，CD =BE ，CD ∥BE ． 求证：△ACD ≌△CBE ． 【思路分析】 ① 读题标注： A B C D E ② 梳理思路： 要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，CD =BE ； 根据条件C 为AB 中点，得AC =CB ； 这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的 夹角． 由条件CD ∥BE ，得∠ACD =∠B ． 发现两边及其夹角相等，因此由SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】 先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应． 证明：如图 ∵C 为AB 中点 ∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B 在△ACD 和△CBE 中 AC CB ACD B CD BE =?? ∠=∠??=? （已证）（已证） （已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ） ? 巩固练习 1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论： ①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． E D C B A
其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 E D B A 2 1 F E D C B A 第1题图 第2题图 2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使△ABC ≌△DEF ， 还需要添加一组条件， 这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________． 3. 如图，D 是线段AB 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的一对全等三角 形是_______________，理由是_________． H G F E D C B A E C B A 第3题图 第4题图 4. 如图，AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一组条件， 这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________． 5. 如图，将两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，使AA'，BB'可以绕着中点O 自由旋转，这样就做成了一个测量工具，A'B'的长等于内槽宽AB ．其中判定△OAB ≌△OA'B'的理由是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．SSS D ．AAS
全等三角形的判定专题练习 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，问BE =CF 吗？说明理由。 2．已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，问AE ∥CF 吗？ 3．已知AB =CD ，BE =DF ，AE =CF ，问AB ∥CD 吗？ 4．已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，问AB ∥CD 吗？说明理由。 5．已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，问ABD ≌⊿ACE .吗？为什么？ 6．已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，问AF =CE 吗？说明理由。 7．已知BE =CF ，AB =CD ， ∠B =∠C .问AF =DE 吗？ 8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，问EB ∥DF 吗？说明理由。 9．已知，M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，问∠C =∠D 吗？说明理由。 A B C D F E C B D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A C D B E F B A D F E C
10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，问AB =CD 吗？说明理由。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC =AD 吗？说明理由。 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，问AE =DF 吗？说明理由。 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，问BM =ME 吗？说明理由。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么？ 15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，问AB ∥DE 吗？说明理由。 16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，问∠3=∠4吗？ 17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，问⊿ABC ≌⊿DEF 吗？说明理由。 A C D B 1 2 3 4 A C D E F 1 2 A B C E H D A C M E F B D A B C E F D A B C E D F A D E B C 1 2 3 4 D C F E A B
“三步曲”证全等 牢记判定定理：SSS SAS ASA AAS HL 一看图形：全等三角形的基本图形大致有以下几种①平移型；②对称型；③旋转型（复杂图形可分离 出基本图形） 二看条件： （一）应先看有无隐含条件（如对顶角、公共边、公共角、某些角的和差，某些线段的和差。） 1、利用公共边（或公共角）相等 例1：如图1，AB DC =，AC DB =，△ABC ≌△DCB 全等吗？为什么？ 练习1：已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。求证：EB=ED 。 D A E C B
2、利用对顶角相等 例2：如图2，已知AC 与BD 交于点O ，∠A=∠C ，且AD ＝CB ，你能说明BO=DO 吗？ 练习2：已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。求证：∠ACE=∠BDF 。 3、利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等 例3：如图，AB=DC ，BF=CE ，AE=DF ，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由． 练习3：已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。求证：BE ＝CD 。 A E D C B A B C D E F O
4、利用平行线的性质得出同位角、内错角相等 例4：如图4，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ，∠AEB ＝110°，求∠DFC 的度数． 练习4：如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。 （二）再分析显性条件，如果条件不够，应确定还需什么条件，然后证明该条件。基本思路：1.已知两角――任一边；2.已知两边――找夹角或第三边；3.已知一角与邻边――找另一角或另一邻边；4.已知一角与对边――找另一角。 例1：如图，已知点E C ，在线段BF 上，BE=CF ，AB ∥DE ，∠ACB=∠F ． 求证：ABC DEF △≌△． 例2：如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的点E 处，则∠BDC 的度数为 ． 例3：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在同一条直线上，连接DC ． （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ． 图1 图2 C E B F D A E
全等三角形的判定方法SAS 专题练习 1.如图，AB=AC ，AD=AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( ) A.∠1=∠2 B.∠B=∠C C.∠D=∠E D.∠BAE=∠CAD 2.能判定△ABC ≌△A ′B ′C ′的条件是（ ） A ．AB=A ′ B ′，AC=A ′ C ′，∠C=∠C ′ B. AB=A ′B ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C ′ C. AC=A ′C ′， ∠A=∠A ′，BC=B ′C D. AC=A ′C ′， ∠C=∠C ′，BC=B ′C 3.如图，AB 与CD 交于点O ，OA=OC ，OD=OB ，∠AOD= ， 根据_________可得到△AOD ≌△COB ，从而可以得到AD=_________． 4.如图，已知BD=CD ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△ACD ， 则还需添加的条件是 。 5.如图，AD=BC ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△BAC ， 则还需添加的条件是 6.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ， 请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． 解：∵AD 平分∠BAC ， ∴∠________=∠_________(角平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中， ∵ ∴△ABD ≌△ACD （ ） 7.如图，AC 与BD 相交于点O ，已知OA=OC ，OB=OD ， 求证:△AOB ≌△COD 证明：在△AOB 和△COD 中 ∵
∴△AOB≌△COD( ) 8.已知：如图，AB=CB，∠1=∠2 △ABD 和△CBD 全等吗？ 9.已知：如图，AB=AC，AD=AE ，∠1 =∠2 。试说明：△ABD ≌△ACE 。 10.已知：如图，△ABC中， AD⊥BC 于D，AD=BD， DC=DE，∠C=50°。求∠ EBD的度数。
造全等三角形解题的技巧 全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。 友情提示：证明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt△）。 一、见角平分线试折叠，构造全等三角形 例1 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC。 求证：∠B：∠C=2：1。 证法一：在线段AC上截取AE=AB，连接DE。 在△ABD和△AED中 ∵AE=AB，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD△AED。∴DE=DB，∠B=∠AED。 ∵AB+BD=AC，∴AE+DE=AC。 又∵AE+CE=AC，∴DE=CE。∴∠C=∠EDC。 ∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED=2∠C，即∠B=2∠C。∴∠B：∠C=2：1。 证法二：延长AB到F，使BF=BD，连接DF。∴∠F=∠BDF。 ∵∠ABC=∠F+∠BDF，∴∠ABC=2∠F。 ∵AB+BD=AC，∴AB+BF=AC，即AF=AC。 在△ADF和△ADC中， ∵AF=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADF△ADC。∴∠F=∠C。 又∵∠ABC=2∠F，∴∠ABC=2∠C，即∠ABC：∠C=2：1。 点评：见到角平分线时，既可把△ABD沿AD折叠变成△AED，也可把△ACD沿AD折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。
练习：如图3，△ABC中，AN平分∠BAC，CN⊥AN于点N，M为BC中点，若AC=6，AB=10，求MN的长。 图3 提示：延长CN交于AB于点D。则△ACN△ADN，∴AD=AC=6。 又AB=10，则BD=4。可证为△BCD的中位线。 ∴。 点评：本题相当于把△ACN沿AN折叠成△AND。 二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形 例2 如图4，AD为△ABC中BC上的中线，BF分别交AC、AD于点F、E，且AF=EF，求证：BE=AC。 图4 证明：延长AD到G，使DG=AD，连接BG。 ∵AD为BC上的中线，∴BD=CD， 在△ACD和△GBD中， ∵AD=DG，∠ADC=∠BDG，BD=CD，∴△ACD△GBD。∴AC=BG，∠CAD=∠G。 ∵AF=EF，∴∠CAD=∠AEF。∴∠G=∠AEF=∠BEG，∴BE=BG， ∵AC=BG，∴BE=AC。 点评：见中线AD，将其延长一倍，构造△GBD，则△ACD△GBD。 例3 如图5，两个全等的含有、角的三角极ADE和ABC如图放置，E、A、C三点在同一直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC 图5 试判断△EMC的形状，并说明理由。 解析：△EMC为等腰直角三角形。
全等三角形的性质及判定 1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等． （2）全等三角形的对应边上的高相等， 对应边上的中线相等， 对应角的平分线相等． （3）全等三角形的周长、面积相等． 3、全等三角形判定方法： （1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ） （2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ） （3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ） 专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等 例题1：下列说法，正确的是（ ） A.全等图形的面积相等 B.面积相等的两个图形是全等形 C.形状相同的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形 例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠=. 【仿练1】如图2，已知ABC ADE ???，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是. 【仿练2】如图 3，ABC ADE ???，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= . 、 图4 E D C B A 图2 图3 M D N B C 图1
三角形全等的判定一（SSS ） 相关几何语言考点 ∵AE=CF ∵CM 是△的中线 ∴_____________( ) ∴____________________ ∴__________（） 或 ∵AC=EF ∴____________________ ∴__________（） AB=AB （ ） 在△ABC 和△DEF 中 ∵?? ? ??___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） 例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？ 例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ． 求证△ACD ≌△CBE ． B F E C A F E D C B A C M B A B A
全等三角形判定的条件组合（二）(人教版) 一、单选题(共7道，每道14分) 1.已知：如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，要使△ADE≌△CBE，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.AE=CE；SAS B.DE=BE；SAS C.∠D=∠B；AAS D.∠A=∠C；ASA 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定
2.已知：如图，∠ADB=∠ADC，要使△ABD≌△ACD，需添加一个条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.BD=CD；SAS B.AB=AC；SAS C.∠B=∠C；ASA D.∠BAD=∠CAD；AAS 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 3.已知：如图，点D在AB上，点E在AC上，且∠B=∠C，要使△ABE≌△ACD，需添加一个
条件，则添加的条件以及相应的判定定理正确的是( ) A.AB=AC；AAS B.AE=AD；AAS C.BE=CD；ASA D.∠AEB=∠ADC；AAS 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 4.已知：如图，在△ABC和△ADE中，已知∠BAC=∠DAE，要使△ABC≌△ADE，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( ) ①AC=AE，AB=AD，SAS；②AC=AE，BC=DE，SAS； ③∠B=∠D，BC=DE，AAS；④∠C=∠E，AC=AE，ASA；
⑤∠B=∠D，AC=AE，ASA. A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②⑤ 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：全等三角形的判定 5.已知：如图，在△ABC和△DEC中，AB=DE，要使△ABC≌△DEC，需添加两个条件，则下列添加的条件以及相应的判定定理正确的有( ) ①BC=EC，∠B=∠E，SAS；②BC=EC，AC=DC，SSS； ③∠B=∠E，∠ACB=∠DCE，ASA；④∠A=∠D，∠B=∠E，AAS．
卓尔教育教师教学辅导教案编号： 授课教师日期时间 学生年级科目 课题全等三角形的性质和判定 教学目标1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 教学重难点 三角形判定的应用 课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□ 建议：___________________________________________________ 教学过程 【要点梳理】 要点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 要点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边；
全等三角形的证明 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 专题1、常见辅助线的做法 典型例题 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种：
全等三角形的性质和判定 要点一、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点二、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF ，AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角. 要点三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. （ 要点四、全等三角形的判定 （SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ） 全等三角形判定一（SSS ，SAS ） 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. 要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C . 要点二、全等三角形判定2——“边角边” 《 1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝'' A B，∠A＝∠'A，AC ＝'' A C，则△ABC ≌△''' A B C. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ ABC与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【典型例题】 类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 1、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M 为PQ的中点． 求证：RM平分∠PRQ． ） 证明：∵M为PQ的中点（已知）， ∴PM＝QM 在△RPM和△RQM中， () (), , RP RQ PM QM RM RM ?= ? = ? ?= ? 已知 公共边 ∴△RPM≌△RQM（SSS）． ∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）． 即RM平分∠PRQ.
全等三角形判定 一、选择题： 1.如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全 一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 2.方格纸中,每个小格顶点叫做一个格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图,在4×4的 方格纸中,有两个格点三角形△ABC、△DEF,下列说法中成立的是（） A．∠BCA=∠EDF B．∠BCA=∠EFD C.∠BAC=∠EFD D．这两个三角形中，没有相等的角 3.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（） A．△ABD和△C DB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等 C.∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC 4.下列判断中错误 的是（） ．． A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D．有一边对应相等的两个等边三角形全等 5.使两个直角三角形全等的条件是（） A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条边对应相等 6.如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED， BC=BE，则∠ACB等于（） A．∠EDB B．∠BED C．∠AFB D．2∠ABF 7.在△ABC和△A/B/C/中,已知∠A=∠A/,AB=A/B/,在下面判断中错误的是( ) A．若添加条件AC=A/C/,则△ABC≌△△A/B/C/
B.若添加条件BC=B/C/,则△ABC≌△△A/B/C/ C.若添加条件∠B=∠B/,则△ABC≌△△A/B/C/ D.若添加条件∠C=∠C/,则△ABC≌△△A/B/C/ 8.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF （） A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F 9.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是（） A．4cm B．6cm C．8cm D．9cm 10.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰 好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 11.如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG 分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（） A．a2B．a2C．a2D．a2
全等三角形经典例题 典型例题： 知识点一：全等三角形判定1 例1：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD ＝CB ；（2）AE ＝CF ；（3）DF ＝BE ；（4）AD ∥BC 。请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。 思路分析： 1）题意分析：本题一方面考查证明题的条件和结论的关系，另一方面考查全等三角形判定1中的三边对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定1：三边对应相等的两个三角形全等。首先确定命题的条件为三边对应相等，而四个论断中有且只有三个条件与边有关，因此应把论断中的（1）（2）（3）作为条件，来证明论断（4）。在证明全等之前，要先证明三边分别对应相等。 ; 解答过程： 已知：如图，在△AFD 和△EBC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AD ＝CB ，AE ＝CF ，DF ＝BE 。求证：AD ∥BC 。 证明：∵AE ＝CF ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ∴AF ＝CE 在△AFD 和△CEB 中， ∵ & ∴△AFD ≌△EBC （SSS ） ∴∠A ＝∠C ∴AD ∥BC 解题后的思考：在运用全等三角形判定1判断三角形全等时，一定要找准三边的对应关系，然后给出证明。 小结：本例题一方面考查了命题的书写与证明，另一方面通过本题的严格证明锻炼学生的逻辑思维能力，进一步规范了三角形全等证明题的书写。 知识点二：全等三角形判定2 AD CB AF CE DF BE =??=? ?=?
例2：已知：如图，是和的平分线，。 * 求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）。 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2中的对应关系。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先证明两边及夹角分别对应相等。 解答过程：证明：（1）∵OP 是和的平分线， ∴∠AOP ＝∠COP ，∠BOP ＝∠DOP ∴∠AOP －∠BOP ＝∠COP －∠DOP < ∴∠AOB ＝∠COD 在△OAB 和△OCD 中， ∵ ∴△OAB ≌△OCD （SAS ） （2）由（1）知△OAB ≌△OCD ∴AB ＝CD 解题后的思考：在判断三角形全等时，一定要根据全等三角形判定2，找准对应边和对应角。 . 例3：已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，求证：AD ∥BC ，AD ＝BC 思路分析： 1）题意分析：本题主要考查全等三角形判定2的应用。 2）解题思路：根据全等三角形判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。在证明三角形全等之前，要先将用于证明三角形全等的条件准备好。即如何由已知条件证明出两边和一角相等，以及如何用上AB ∥CD 这个条件。 解答过程： 连接BD ∵ AB ∥CD 、 OP AOC ∠BOD ∠OA OC OB OD ==，AB CD =AOC ∠BOD ∠OA OC AOB COD OB OD =?? ∠=∠??= ?