第三章 力学量的算符表示
1．如果算符α?、β?满足条件1????=-αββα
， 求证：βαββα?2????22=-，
233?3????βαββα=-，
1?????-=-n n n n βαββα
[证] 利用条件1????=-αββα，以β?左乘之得
βαββαβ??????2=- 则有 βαβββα????)1??(2=-- 最后得 βαββα?2????22=-。
再以β?
左乘上式得
222?2)????(?βαββαβ=-， 即232?2?????βαββαβ=- 则有 233?3????βαββα=-
最后得
233?3??βαββα=-
应用数学归纳法可以证明 1?????-=-n n n n βαββα：
先设
211?)1(???----=-n n n n βαββα 成立，
以β?
左乘上式得
11?)1(?????---=-n n n n βαββαβ 则有 11?)1(???)1??(---=--n n n n βαβββα
最后得 1?????-=-n n n n βαββα
2．证明
{}+
++ )???()???(2
1
2
1n
n
M M M L L L
{}
++=++-+++-+)???()???(11
11
M M M L L L
m m
n n
[证] 应用+
+
+
++A B B A ??
)??( 及
++++=+B A B A
??)??(，
则 ====+-+-++-++ )???(??)???(?)???(21112121n n n n n n L L L L L L L L L L L L
+++-+=1
21
????L L L L
n n
同理可证
++-++=1121???)???(M M M M M M m m m 则 {
}{}
++=+++++)???()???()???()???(21212121m n m n M M M L L L M M M L L L
{
} ++=++-+++-+)???()???(1
111M M M L L L
m m n n
3．若算符L
e ?满足
+++++=!?!2??12?n L L L e n L
，
求证：
++++=-))?,?(,?(,?(!31))?,?(,?(!21)?,?(???
?a
L L L a L L a L a e a e L L
其中， L a a L a L ????)?,?(-≡
[证] 方法一：把L
e ?直接展开，比较系数法。
???? ??+-+++-???? ??+++++=- !?)1(!2??1!?!2??1?22??n L L L a n L L L e a e n n n L
L
3
3222??!31??!31)???(!22??!22?!21?!2?)????(?L a a L L a L L a L a a L L a a L a
-+--++-+=
+-+L a L L a L ?
??!21???!2122 而 L a a L a L ????)?,?(-=
[][]{}
L L a L a L L a L a L L L a a L L a L L ????????????!21)????(,?!21)?,?(,?!21+--=-=
L a L L a a L ?
??!22??!21??!2122-+=
[][]
)???2????(,?!31))?,?(?(,?!3122
L a L L a a
L L a L L L -+=
L a L L a L L a a L ?
??!21???!21??!31??!31233-+-=
…………
因此，把L L e a
e ?
?
?-展开式的L ?的同次幂的系数合并之后，我们容易得到： ++++=-)))?,?(,?(?(!31))?,?(,?(!21)?,?(???
?a
L L L a L L a L a e a e L L
方法二：定义算符 L S L S e a e s a
?
??)(?-= 其中S 是辅助参数。则算符)(?s a
对S 的微商给出 ))(?,?(????)(?
???s a L L e a e e a
e L ds s da L S L S L S L S =-=-- )))(?,?(,?()(?,?)(?22s a L L ds s a d L ds s a d =??? ??=
…………
)))(?,?(,?(,?(?()(??
s a L L L L ds s a d L
n n n 个=
取1=S ，得L
L e a e a
???)1(?-=
将)1(?a
展开为麦克劳林级数
+++=22)0(?!21)0(?)0(?)1(?ds a d ds a
d a a
按定义，a a
?)0(?=，所以我们最后得到 ++++=-)))?,?(,?(,?(!31))?,?(,?(!21)?,?(???
?a
L L L a L L a L a e a e L L
4．如果G F ?
,?都是厄密算符，但F G G F
????≠，向： （1）F G G F
????-是否厄密算符？ （2）)?
??(F G G F i -是否厄密算符？ [解] 利用厄密算符具有的性质
C C ??=+ 及 +++=A B B A ??)??(
（1）令F G G F C
????-= 则 )????(????????)??()??(?F G G F G F F G G F F G F G G F C --=-=-=-=+++++++
当 G F G F
????≠时，+≠C C ??，故F G G F ????-不是厄密算符。 （2）因i i -=+
，故
]????[)]????([)????()]????([F G G F i F G G F i F G G F i F G G F i -=---=-=-+++
因此
)????(F G G F
i -是厄密算符。
例如，x 和x p
?都是厄密算符，且x p p x x x ??≠，所以)??(x p p x x x 不是厄密算符，事实上 i x p p
x x x =-??显然不可能是厄密的。 但是在 z x y y x L i L L L L ?
???? =-中，把它改写为
z y x x y L L L L L i ?)????( =-，显然左方是厄密算符。
5．如果G F ?,?都是厄密算符，而算符G i F K ???+=±，求证： K K ?
?=+
±。
[证] K G i F G i F G i F K ?????)??
(?==±=+=++++±+±。
6．试证明力学量2p 所对应的算符是2
??? ???i ，并进一步用数学归纳法证明力学量n
p 所对应
的算符是n
i ?
?? ??? 。
[证] 先证明一维情况，按定义
?=dp
t p C p t p C p x x x x ),(),(2*2
而 dx e t x t p C Et x p i
x x )(*2/1*
),()2(1),(-'?'= ψπ，
dx e t x t p C Et x p i
x x )(2/1),()2(1),(--?=
ψπ，
?''=∴
-'x dpdxd e t x p e t x p x p i
x x p i x
x x
),(),(212*2ψψπ 利用恒等式
x p i
x p i x p i
x
x x x e dx d e dx d i e p ----=??? ??-=2
2
2222
2
故
???'??
????-'=-'x x p i x p i x dp x d dx t x e dx d e t x P x x ),(),(21222*2ψψπ
由于：
??---+∞-∞-=-ψ
ψψd e dx
d
t x e dx d dx t x e dx d x p i x p i x p i x x x 2222
2),(),(????-∞-∞??==---dx x e x e dx dx d e dx d x p i x p i x p i x x x 2
2
2
22
ψψψ
???? ????=-dx
x i e x p i
x ψ2
故 ???'??? ????'=-'x
x x p i
x
dp x dxd t x x i e t x p x ),(),(21
2
)(*2
ψψπ
????? ????=-dx t x x i dp e t p C x x p i
x x ),(),(212
*ψπ
??=??? ????=dx t x p
t x dx t x x i t x x ),(?),(),(),(2
*2
*ψψψψ
2
2
??
?? ????→∴x i p x
同理
2
2
??
??? ????→y i p y 2
2??
?? ????→z i p z
故
2
2?
?? ???→i p 对于n
p ?，可先设
1
1
?--??? ???→n n i p 成立，然后写出n
p 的表示式，进行一次分部积分后，
不难得出
n
n
i p
??? ???→ ?
7．求：??
???=-x x y x L P P L
?????=-y x x y L P P L ?????=-z
x x
z L P P L
并由此推出x L ?、y L ?、z L ?分别与z y p p ?,?的对易关系。
[解] y z x p z p y L ???-=，y x y p x p z L ???-=，x y z p y p x L ???-=
且 0)?,(,0)?,(,0)?,(,)?,(===-=x z x x p z p y p y i p
x
0)?,(=y p
z 以及 z y x p p p ?,?,?之间均可对易。 故 )??(??)??(????y z x x y z x x x x p z p y p p p z p y L p p L ---=-
0)????()????(=---=y x x y z x x z p p p p z p p p p
y )??(??)??(????z x x x z x y x x y p x p z p p p x p z L p p L ---=-
z z z x x p i p p x p p x x p x p
z ??i ?)??()??(22
-==---=
同理 y y z x x z p i p i L p p L ?????? =-
=-
同理可证，对于z y p p ?,?分别有
z x y y x p i L p p L ????? =-，0????=-y y y y L p p L ，x z y y z p i L p p L ????? -=-
及 y x z z x p i L p p L ????? -=-，x y z z y p i L p p L ????? -=-，0????=-z z z z L p p L
一般地，我们可以将上述各式合并写为：
k ijk x z j i p i L p p L ?????∈=- 其中k j i ,,为循环指标，而
??
?
??=≠≠-≠≠=∈时当为逆序循环时
且当为顺序循环时且当j i ，k j i k j i ，k j i k j i ijk 0,,,1,,,,1
8．求 ??
?=-x x L x x L
???=-y y L x x L ???=-z z L x x L
并由此推出z y
x
L L L
?,?,?分别与
z y ,的对易关系。
[解] 0)??()??(??=---=-y z y z x x p z p y x x p z p y L x x L
)??()??(??z x z x y y p x p z x x p x p z L x x L ---=- z i p p x p x x p
z z z x x =---=)??()??(2 )??()??(??x y x y z
z p y p x x x p y p x L x x L ---=-
y i x p p
x y x x =-=)??( 同理可证：
z i L y y L x x =-?? 0??=-y y L y y L ，x i L y y L z z -=-?? y i L z z L x x -=-??
x i L z z L y y =-??，
0??=-z
z L z z L
一般地，可以把上面的式子合并为
xk i L x x L ijk i j j i ∈=- ??
9．一维谐振子处于基态
2
2
1
2
2)(x e
x απ
αψ-
=
，
其中
μω
α=
求
?)()(22=?p x ?? [解] 2
2
2
2
)()(x x x x x -=-=?。
利用第二章第3题的结果，我们知道)(x ψ是已归一化了的，故
??∞
∞-∞∞--=
?===22222
*2
212122ααπαπαπαψψαdx e x dx x x x ??∞∞--∞∞-===02
2*dx xe dx x x x
απαψψ
222221)(α?=
-=∴
x x x
同理，2
2
2
)(p p p -=?
注意到一维情况下，只须考虑x p ，因此
dx
e x
e i dx x i p x x x 2
2
*
2
22
2ααπαψψ-
∞∞
--
∞
∞
-??
?=??=??
)(22
2=-=?∞∞
--dx x e i x
απαα
dx
e x e
p x
x
x
2
2
22
2
22
22
2ααπ
α
-
∞
∞
--
??-=?
dx
xe dx d e x x ?∞∞--
-???????????? ?
?--=2222222
2αααπ
α dx e x e e x x x ?∞∞----????????--=2222
22
3222222ααααπα
??-∞∞
----=dx
e x dx e x x 2
22222523ααπ
απ
α
221222
22523 ααπαπααππα=
?-?=
2)()(2
22
22
2 α??=
-==∴
x x
x p p p p
最后得
4221)()(2222
2
2 =?=?αα??p x 讨论：①通过上面的计算看到，在一维谐振子的特殊情况下，其结论与测不准关系
4)()(2
2
2
≥
?x p x ??
一致。
②0=p 的结论，可以从动量几率分布函数得出，利用第二章第3题的结果，处于基态的一维谐振子的动量几率分布函数为
2212
11
),(p e
t p C --=
απ，
它是p 的偶函数，0=∴p ，这从物理上看是很清楚的。这种对称性（坐标空间和动
量空间）是一维谐振子的主要特征之一。
③2p 也可以从动量空间中求平均而得到。
在以x 为自变量的表示式中，一维谐振子的薛定谔方程为
0)(212222
22=??? ??-+x x E dx d ψμωμψ ，
令
ωλαμω
ξ
E
x x 2,=
==
代入上式可得
0)(2=-+''ψξλψ
在以p 为自变量的表示式中，考虑到算符
p i x
??
→ ?，故薛定谔方程为
0)(22)(22222=????
??-+p c p E dp p c d μμω 同理可令
ωλμωβξ E
p p 2,1=
==，于是有 0)()()
(22
2=-+p c dp p c d ξλ
显然)(p c 的解只须在)(x ψ中以p β代替x α即得：
)
(2!)(2
2
12
2p H e
n p C n p n
n βπββ-
=
∴
?
???
??=
-
μωπ
μωμωp H e
n n p
n 22
2!1
而
αμω
μωβ11
1
=?=
=
故
??=
=
=
=-221)()(2
22
202
02
2
2 αβπβ
βdp e
p dp p c p p c p p
和上面得出的结果一致。
10．一维运动的粒子处在
??
?≤≥=-0,
00
,)(x x Axe x x 当当λψ ， )0(>λ 求 ?)()(2
2=?p x ??
[解]由第二章第1题知归一化系数为2
/32λ
=A
λλλψψλ23
834430232*=
?
===??∞
-dx e x A dx x x x 2
530242
2*23434λλλψψλ=?===??∞-dx e x A dx x x x 2
2222243
493)(λλλ?=-=-=∴x x x 在上面的计算中利用了积分公式
10
)2(!
+∞
-=
?n x n n dx e x λλ
??∞--==02*)(dx xe dx d xe i A dx p p x x λλψψ
dx
xe e xe i A x x x )(02λλλλ--∞
--?=? ??????-?=-?=?∞-3202212)2(!2)2(1)(λλλλλi A dx x x e i A x
4141222=??????-?=λλi A
dx xe e dx d xe A dx xe dx d xe A p x x x x x )()( 022022
222λλλλλλ--∞
-∞----=-=??
dx
xe e xe A x x x )2(20
2
2λλλλλ--∞-+--=?
??????-?=-=?∞
33
220
22222
2)2(2)2(12)2(λλλλλλλ
A dx x x e A x
2
2232241
441 λλλλ=?=?=e A 22222)( λ?=-=∴
p p p
最后得
22
22224343)()( =?=
?λλ??p x
讨论：①
443)()(2
22
2
>
=?p x ??，满足测不佳关系。 ②用
?=dp
p pc p c p )()(*及
dp
p c p p c p )()(2*2?=求得的结果也和上面的结果一
致。
显然，在已知)(x ψ的情况下，把p 用算符?
??
???i 代替，直接用坐标几率分布函数表
计算p 或2
p ，比先由)(x ψ求动量几率分布函数)(p c ，再由)(p c
来p 或2p 简单得多，由此可见，力学量用算符表示，非但有深刻的物理意义，而且也给计
算带来方便。
③在第四章将看到，一个力学量，不管用p 作自变数，还是用x 或其它量作自变数，计算出来的平均值都相同。从物理上看来，这也是明显的，因为平均值正是实验测量的值，它不应当和计算方法有关。
11．求粒子处在态lm Y 时角动量的x 分量和角动量y 分量的平均值y x L L ,；并证明：
2
2
22
2
)(2)()(m l l L L y x --== ??
[解]（1）先证明两个普遍的关系：
1,)1)(()??(±+±±=±m l lm y x Y m l m l Y L i L
可以用两种方法来证明。
（a ）从角动量算符L ?
所满足的对易关系出发： L i L L ??? =?
或 ???????=-=--=-z x y y x x y z z y y z x x z L i L L L L L i L L L L L L L L L ???????????????
由一式与二式乘i 后相加减可得：
)??(?)??()??(?y x z y x y x z L i L L L i L L i L L ±±=±-± 或
)?)(??()??(? ±±=±z
y
x
y
x
z
L L i L L i L L
用算符)?
?(?y x z L i L L ±对lm Y 运算得：
lm y x lm z y x lm y x z Y L i L m Y L L i L Y L i L L )??()1()?)(??()??(?±±=±±=±
另外，注意到2?L
和z y x L L L ?,?,?均可对易，故有： 22?)??()??(?L L i L L i L L
y
x
y
x
±=±
所以
lm y x lm y x lm y x Y L i L l l Y L L i L Y L i L L )??()1(?)??()??(?222±+=±=±
从上面二式可见lm y x Y L i L )??(±既是z L ?的本征函数，本征值为 )1(±m ，又是2?L
的本征函数，本征值为2)1( +l l ，亦即lm y x Y L i L )?
?(±，具有1,±m l Y 的形式。
令 1,)?
?(±±=±m l lm y x Y C Y L i L 它的共轭复式是1)??(****±=±±lm lm y x Y C Y L i L
二式相乘，对?θ,积分，再注意到m l Y ,的正交性，得：
?±±=Ωd Y L i L Y L i L C lm
y x lm y x **2
)??()??( Ωd Y L i L L i L Y lm
y x y x lm )??()??(*±±=+?
)??(??)??(y x y x y x L i L i L L L i L
=±=±++++ Ωd Y L i L L i L
Y C lm
y x y x lm
)??)(??(*2
±±=±∴
?
[]
Ω
d Y L L L L i L L
Y lm x y y x y
x
lm
?-++=)????(??22*
?-=Ωd Y L L L
Y lm
z z
lm
)???(22
*
{}
[]222)1)(()1( +±=-+=m l m l m m l l
1,)1)(()??(±+±=±∴m l lm y x Y m l m l Y L i L
（b ）用直接求微分的方法证明
????
????+??=??θθ?cos sin ?ctg i L x
????????-??-=??θθ?sin cos ?ctg i L y
????????+??=+∴?θθ?ictg e L i L i y
x ?? ????????+??-=--?θθ?ictg e L i L i y
x ??
而 ?θπim m
l lm e P m l l m l Y )(cos
)!(4)12()!(++-=；
其中 )(cos )(cos sin )(cos θθθθl m
m
m
m
l
p d d p =
故 ???=+-)(c o s )(c o s c o s s i n )??(1θθθθl m
m m lm y x p d d m y L i L
???+-++))(cos )(cos sin sin )(cos )(cos sin 11im p d d ictg p d d l
m m m
l m m m
θθθθθθθθ
)!(4)12()!()1(m l l m l e m i ++-+π?
)!1(4)12()!1()1)(()??(+++--++--=+∴m l l m l m l m l Y L i L lm
y x π
1,)1(111
)1)(()(cos )(cos sin
+++++++--=m l m i l m m m Y m l m l e p d d ?
θθθ
同样，对y x L i L ?
?-也有
?
??--=-+++-11
11)(cos sin )(cos )(cos cos sin )??(m m m l m
m m lm y x d d p d d m Y L i L θθθθθθ )!(4)12()!())((cos )(cos sin )(cos )1(m l l m l e im p d d ictg p m i l m
m m
l ++-?
??+-πθθθθθ? ?????
?-+++-+-+=
++-)(cos )(cos sin sin )!1(4)12()!1()
1)((1
1
21θθθθπl m m m p d d m l l m l m l m l
?θθθ)1()(cos )(cos cos 2-?
?????-m i l m
m
e p d d m
[{
)
1)((sin )!1(4)
12()!1()1)((1+-+--+++-+-+=
-m l m l m l l m l m l m l m θπ
1
,)1(11
)1)(()(cos )(cos ----+-+-=??
?????m l m i l m m Y m l m l e p d d ?θθ
其中 )(cos )(cos cos 2)(cos )(cos sin 112
θθθθθθl m
m
l m m p d d m p d d -++
)
()1)(()(2)()1(1111
2ξξξξξξξξl m m l m m l m m p d d m l m l p d d m p d d --+++-+-=--=
可证明如下：
因为勒襄德多项式)()(cos ξθl l p p =满足方程
0)1()1(2=++??????-l l p l l d dp d d ξξξ
对上式求微商1-m 次后得到
0)1()1(1112=++??????---m l m m m d p d l l d dp d d ξξξξ
或 0)1()1(2)1(1111111
2=++--------++l m m m m m
l m l m m p d d l l p d d m m d p d m p d d ξξξξξξ
故有l
m m m
l m l m m p d d m l m l d p d m p d d 11
112
)1)((2)1(--+++-+-=--ζξξξξ
（2）现在来求x L 和y L
注意到lm Y 的正交性，亦即
?=0
sin *
?θθd d Y Y lm lm
令
?θθd d Y L i L Y iL L lm
y x lm y x sin )??(*+=-?
[
]
?=++--=+0
sin )1)((1,*
?θθd d Y m l m l Y m l lm
同理可知 0=+y x iL L 故 00
==y x L L
（3）
??? ??-++=lm y x lm y x x lm x Y L i L Y L i L L Y L )??(21)??(21??2 ??????+-+-++--=-+1,1
,)1)((2)1)((2?m l m l x Y m l m l Y m l m l L
?
?????++-++-++++-=+lm m l Y m l m l Y m l m l m l m l )1)((21)1)(2(21)1)((22,2
??????+--+++-+--++-2,2)2)(1(21)1)((21)1)((2m l lm Y m l m l Y m l m l m l m l
注意到lm Y 的正交性，得：
[])1)(()1)((4sin ?2
2
*2
+-++++-==?m l m l m l m l d d Y L
Y L lm
x lm x ?θθ
)(222
2m l l -+=
同理可证： )
(22222
m l l L y -+=
故 )(2)(222
22m l l L L L x x x -+=
-= ? )(2)(222
22m l l L L L y
y y -+=-= ?
方法三：在固定z 轴不变的情况下，进行坐标旋转，把原来的y 轴变为x 轴，仍然保持右旋坐标，这时θ角不变，唯一的改变是?变为?'，注意到x 和y 的对称性，不难由y
x L L ?
,?在球坐标中的算符表示式看出
2
2y x L L = []
)
(2)1(21)(212222
222222m l l m l l L L L L z y
x
-+=-+=-==∴
而 0==y x L L
)
(2)(22
2222
m l l L L L x
x
x -+=-=∴ ? )
(2)(2222
22m l l L L L y y y -+=-= ?
讨论：①为了证明0;0==y x
L L ，我们还可以用下面两种简并方法：
（a ）设),(?θlm Y 为z L ?
的本征态，则有
),(),(??θ?θlm lm z Y m Y L = 而
x
y
z z
y L i L L L L
????? =-
故{}{
}
??-=-=
ΩΩψd Y L L Y d Y L L i L L L L i L lm y z lm lm z y lm y z z y x ????1????1** {}
??-=ΩΩd Y L Y L d Y L Y m i lm y lm z lm y lm ?)?(?1** {
}
0??1**=-=??ΩΩd Y L Y m d Y L Y m i lm y lm lm y lm 同理，因为y z x x z L i L L L L ?
???? =-，可以证明
0=y L
（b ）利用本章第12题的结论来证明0,0==y x L L
令 x y y L C L B L A ??,??,?? ===
则显然B A ?,?都是厄密算符，B A ?
,?的对易关系为：
C i A B B A
?????=- 就是角动量分量之间所必须满足的对易关系
x y z z y L i L L L L ????? =-
利用12题的结论
4)()(22
2
C B A ≥
???得出
4)()()(2
2
2
x z y L L ≥
??? 由于态),(?θlm Y 是z L ?
的本征态，在本片态中测量力学量z L 有确定值，即力学量z L 在
),(?θlm Y 态在平均平方偏差2)(z L ?必须为零。故有
0)(2=z L ?
要保证不等式4)()()(2
22
2
x z y L L L ≥???成立，考虑到2
)(x L 为非负的数，所以必须是
0=x L 。
同理，只须利用y z x x z L i L L L L ?
???? =-，也可以证明0=y L
②在方法三中，不从物理上考虑，直接从对易关系出发，也很容易证明
22y x L L = 注意到 y z z y x L L L L L i ?
????-=
即 )
????(1?y z z y x L L L L i L -=
左乘 x L ?得：)??????(1?2y z x z y x x L L L L L L i L -= []
??-=ΩΩd Y L L L Y d Y L L L Y i L lm y z x lm lm z y x lm x ??????1**2 [
]
ΩΩd Y L L L Y d Y L L Y m i lm y z x lm lm y x lm ??-=?????1**
利用 )
????(1?z x x z y L L L L i L -= 右乘y L ?得：)??????(1?2y z x y x z y L L L L L L i L -= []
??-=∴ΩΩd Y L L L Y d Y L L L Y i L lm y z x lm lm y x z lm y ??????1**2 []
??-=ΩΩd Y L L L Y d Y L L Y L i lm y z x lm lm y x lm z ?????)?(1** [
]
??-=ΩΩd Y L L L Y d Y L L Y m i lm y z x lm lm y x lm ?????1** 比较 2
x L 和2y L 可见，
22y x L L =。 再利用0==y x L L ，按照方法三的讨论，很容易证明。
)
(2)()(22
22
2
m l l L L y x -+== ??
12．若B A ?
,?都是厄密算符，且C i A B B A
?????=-，证明： 4)()(2
2
2
C B A ≥
??? [证] C i A B B A ?
????=-
C i A B B A ?????=-∴????
引入积分
[][]
?++=τψ?λ?ψ?λ?λd B i A
B i A J )??()??()(*
其中λ为实参数，显然 0)(≥λJ
{}
?≥-++=0)????(??)(222*ψτ????λ?λ?ψλA B B A i B A
J
0)(222≥++∴B ic i A ?λλ?
这是关于λ的二次三项式，要它大于零，其判别式必须小于或等于零，即 0)()(4222≤?-B A C ??
故
4)()(22C B A ≥
?2
?? B ．若M L K
???=，且1????=-L M M L ，证明，若?为K ?的本征函数，对应的本征值为λ，则?L u ?=也是K ?的本征函数，对应的本征值为1-λ；?υM ?=也是K
?的本征函数，对应的本征值为1+λ。
[解] 依题意 λ??=K ?
则 ?????L K L M L L L M L L K u K ?
??)1??(???????-=-===
u L L L )1(?)1(??-=-=-=λ?λ?λ?
故u 是K
?的本征函数，对应的本征值为1-λ， ?????υK M M M L M M M L M K K ????)??1(?????+=+===
υλ?λλ??)1(?)1(??+=+=+=M M M 故υ也是K
?的本征函数，对应的本征值为1+λ。
14．证明狄拉克δ函数的下述性质：
（1）)()
(x dx x d x
δδ-=；
（2）)()(1
x a ax δδ-=；
（3）
)()()(b a dx b x x a -=--?δδδ
[证]（1）方法一：
????-=-==dx x dx x x x x xd dx dx x d x
)()()()()
(δδδδδ )()(x dx x d x δδ-=∴
方法二：
[]???-==)()()()()()()
()
(x xf d x x x xf x d x xf dx dx x d x xf δδδδ
???-='--=dx
x f x dx x f x x dx x f x )()()()()()(δδδ
左右二端相比较可得：
()x dx x d x
δδ-=)
(
（2）???===')0(1
)()(1)()()(1)()(f a dy y a y f a ax d ax x f a dx ax x f δδδ 上面令ax y =。
而 ?=)0(1
)()(1f a dx x x f a δ
故 )
(1
)(x a ax δδ=
（3） 令)()(x a x f -=δ则
??-===-=--)()()()()()(b a b x x f dx b x x f dx b x x a δδδδ
注意：δ函数在运算时还有其他重要性质，例如：
)()()()(a x a f a x x f -=-δδ
[]
)()(21
)(22a x a x a a x ++-=-δδδ 0)(=x x δ
等等。用相似的方法也可以证明。
15．利用测不准关系估计氢原子基态能量。
[解] 若电子的质量为μ，电子离核的距离为r ，则氢原子的平均能量为
r e p E 2
22-
=μ
式中p 是电子的动量。
利用测不准关系
≈≥
?2r p ??
对氢原子的基态，由于其对称性，
故
，而电子和核的距离在数量级内，其误差不会大于本身，即
所以得到
若在能量表示式中，以
代替
，由于
，故
基态的能量最小，故
故
对类氢原子则有
z 为原子序数。
上述结果和用精确方法求得的氢原子基态能量相符，这里的，就是第一玻尔轨道。
16．设体系处在
态中，求：
（1）力学量的可能值和平均值； （2）力学量的本征值； （3）力学量和的可能值。 [解]（1）因为和
都是
的本征函数。对应于态，
的本征值为；对应于
态，
的本征值为。因此，对态
来说，
的可能值是0，。
力学量
的平均值为
（2）因为和也都是的本征函数，对应的本征值是
，
故
故对应于态，的本征值为，平均值也是。
（3）根据教材§26的讨论，和不再是力学
量和的本征函数。并且，对于来说，和的可能值均为；对于来说，和的可能值也是。因此对于态来说，和的可能值仍是。
17．设体系处在某一状态，在该状态中测量力学量得到的值是，测量力学量得到的值是，求测量力学量和可能得到的值。
[解]设体系所处的状态为，由于力学量和能同时测量，所以必是和的共同本征函数，且具有球谐函数的形式。
，故
，故
因此态就是态。
把按的本征函数，展开。因为不随坐标选择而变，因此在系中，仍为1，而可能取。故在态可能测得的值为。同理在态测量的可能值也是。
18．荷电为的粒子在恒定磁场中运动，让明粒子速度分量之间的对易关系是：
[证]按定义：
而
与无关，故算符和对易，则有
考虑到：
事实上，在有磁场存在的情况下，广义动量为，这一结论从物理上看是显然的。同理，只须轮换脚标，不难得出其余两式
可把上三式合写为
讨论：下面求荷电为的粒子在恒定磁场中的能量。为此，可令的方向沿轴方向，亦即
利用上面的结果，有
体系的哈密顿为：
令
则
由于哈密顿算符可以分离变量，因此，根据第二章第8题，第9题等的结论，哈密顿算符的本征值就是的本征值和的本征值之和。
现在我们来求算符的本征值，这里要指出，由于和不可对易，它们满足对易关系式
因此绝不能得出哈密顿算符的本征值是连续谱，本征函数是平面波的结论。
引进代换
其中
则：
而对易关系
把和线性谐振子的哈密顿算符振子比较，而
式中令
线性谐振子的定态薛定谔方程为
即
亦即算符的本征值为
利用对易关系，易得
其对易关系与的对易关系一致。因此算符的本征值也是
的本征值是
对于，考虑到和；都对易，因此的本征值是连续谱为。
总起来，我们最后得到：哈密顿算符的本征值为：
19．证明：
[证]方法一：
因为势能和对易，故上式中含势能部分消去，可得：
利用教材中的公式（28—15）和（28—16）：
容易证明
于是得：
方法二：
20．如果体系的哈密顿算符不显含时间，证明对于具有分立能谱的状态，动量的平均值为零。
137 第5章 力学量的算符表示 §5.1 算符及其运算规则 在第二章中，已经引入了算符的概念，动量算符和哈密顿量算符分别为 ?-= i ?p (5.1.1) )(2?22 r V m H +?-= (5.1.2) 在量子力学中，算符表示对它后面的波函数的一种运算或者操作，上述的动量算符与哈密顿算符皆表示对其后面的波函数的微商运算，本 章的后面将引入的宇称算符π ?则表示对其后面的波函数的一种操作，即把波函数中的坐标变量改变一个符号。由算符化规则可知，物理上可观测的力学量（例如，坐标、动量、角动量和能量等）与相应的算符相对应，并要求相应的算符为线性厄米特算符，力学量的取值情况由相应算符满足的本征方程的解来决定。 §5.1.1 算符及其运算规则 1、线性算符
138 满足下列运算规则 22112211??)(?ψψψψA c A c c c A +=+ (5.1.3) 的算符A ?，称之为线性算符，其中，21,c c 是两个任意复常数，21,ψψ是两个任意的波函数。在量子力学中，可观测量对应的算符都是线性算符，这是状态叠加原理所要求的。如无特殊声明，下面所涉及到的算符皆为线性算符。 2 、单位算符 若对任意的波函数ψ，算符I ?满足 ψψ=I ? (5.1.4) 则称I ?为单位算符。 3、 算符之和 若对任意的波函数ψ，下式 ψψψB A B A ??)??(+=+ (5.1.5) 总是成立，则称算符B A ??+为算符A ?与算符B ?之和。算符的加法运算满足交换律和结合律，即 A B B A ????+=+ (5.1.6) C B A C B A ?)??()??(?++=++ (5.1.7) 4、 算符之积 两个算符A ?和B ?之积记为)??(B A ，对任意的波函数ψ，算符)??(B A 的作用定义为下列运算 )?(?)??(ψψB A B A = (5.1.8)
第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态） [证] 由厄米算符的定义 **??()F d F d ψψτψψτ=?? 厄米算符?F 的平均值 *?F F d ψψτ=? **?[()]F d ψψτ=? * * *?[ ]F d ψψτ=? **?[()]F d ψψτ=? ** ?[ ]F d ψψτ=? * F = 即厄米算符的平均值都是实数 2. 判断下列等式是否正确 （1）???H T U =+ （2）H T U =+ （3）H E T U ==+ [解]：（1）（2）正确 （3）错误 因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。 3. 设()x ψ归一化，{}k ?是?F 的本征函数，且 ()()k k k x c x ψ? =∑ （1）试推导k C 表示式 （2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2 k k k F c F =∑ （3）说明2 k c 的物理意义。 [解]：（1）给()x ψ左乘* ()m x ?再对x 积分 * *()()()()m m k k k x x dx x c x dx ? ??τ?=??* ()()k m k k c x x dx ??=∑? 因()x ψ是?F 的本函，所以()x ψ具有正交归一性
**()()()()m k m k k k k k x x dx c x x dx c mk c ?ψ??δ===∑∑?? ()m k = *()()k m c x x dx ?ψ∴=? （2）k ?是?F 的本征函数，设其本征值为k F 则 ?k k k F F ??= **??m k m k k k F F dx F c dx ψψψ?==∑?? * *()m m k k k k c x F c dx ? ?=∑∑? **m k k m k x mk c c F d ??=∑? *m k k mk mk c c F δ=∑ 2 k k k c F = ∑ 即 2 k k k F c F = ∑ （3）2 k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2 k c 。 4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中 （1） 势能的平均值221 2 U x μω= （2） 动能的平均值2 2p T μ = （3） 动量的几率分布。 解：(1) ? ∞ ∞ --==dx e x x U x 2 22 2222121απ αμωμω μωμωαμωαπαπ αμω ?==?= 2 2 222241212121221 ω 4 1 = （ 2 210 2n ax n n x e dx a ∞ -+= ?
第3章 力学量用算符表达 习题3.1 下列函数哪些是算符22 dx d 的本征函数，其本征值是什么？ ①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin + 解：①2)(222 =x dx d ∴ 2 x 不是22 dx d 的本征函数。 ② x x e e dx d =22 ∴ x e 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为1。 ③x x dx d x dx d sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 ④x x dx d x dx d cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 ⑤) cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x x x x x dx d x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22 dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。 3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπ αψ2 2 022),(-- =，求： (1)势能的平均值222 1 x V μω= ； (2)动能的平均值μ 22 p T =.
解：(1) ? ∞ ∞ --== dx e x x V x 2 222222121α π αμωμω μωμωαμωα παπαμω ?==?= 2 2 222241212121221 ω 41= (2) ?∞∞ -==dx x p x p T )(?)(2122 *2ψψμμ ?∞∞ ----=dx e dx d e x x 2 22 221 2 22 21 )(21αα μ πα ?∞ ∞ ---= dx e x x 2 2)1(22222αααμ πα ][22 22 22222??∞∞ --∞∞---= dx e x dx e x x ααααμ πα ]2[23222απ ααπαμ πα?-= μω μαμαπαμπ α? ===442222222 ω 4 1 = 或 ωωω 4 1 4121=-= -=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。 ① 2 22 4dx d x ； ② []2 ； ③ ∑=N k 1 解：①2 2 2 4dx d x 是线性算符 φ ???φ?22 22222122 2 2122221222 44 )(4)(4)(4 dx d x c dx d x c c dx d x c dx d x c c dx d x ?+?=+=+ ②[]2 不是线性算符
第三章力学量和算符 内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数。用波函数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现。 §3.1 力学量算符的引入 §3.2 算符的运算规则 §3.3 厄米算符的本征值和本征函数 §3.4 连续谱本征函数 §3.5 量子力学中力学量的测量 §3.6 不确定关系 §3.7 守恒与对称 在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既然一切力学量的平均值原则上可由给出，而且这些平均值就是在所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。 力学量的平均值
对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2 (,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是: ()2 * (,)(,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞ ∞ -∞ -∞ = =?? 坐标r 的函数()f r 的平均值是： ()()() *(,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞ -∞ =? 现在讨论动量的平均值。显然，P 的平均值P 不能简单的写成 2(,)P r t Pdr ψ∞ -∞ = ?，因为2 (,)r t dr ψ只表示在 r r dr →+中的概率而不代表在 P P dP →+中找到粒子的概率。要计算P ，应该先找到在t 时刻，在P P dP →+中找 到粒子的概率2 (,)C P t dP ，这相当于对(,)r t ψ作傅里叶变化，而(,)C r t 有公式 给出。动量p 的平均值可表示为 但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)r t ψ 计算动量平均值的方法。由（3.1.4）式得 利用公式 可以得到 记动量算符为 ?p i =-? 则 ()* ?(,)(,) 3.1.9p r t p r t dr ψ ψ∞ -∞ = ? 从而有 ()()()* ?(,)(,) 3.1.10f p r t f p r t dr ψψ∞ -∞ = ? 例如：动能的平均值是 角动量L 的平均值是
第三章 力学量和算符 内容简介：在上一章中，我们系统地介绍了波动力学，它的着眼点是波函数 。用波函数描述粒子的运动状态。本章将介绍量子力学的另一种表述，它的着眼点是力学量和力学量的测量，并证实了量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。 § 3.1 力学量算符的引入 § 3.2 算符的运算规则 § 3.3 厄米算符的本征值和本征函数 § 3.4 连续谱本征函数 § 3.5 量子力学中力学量的测量 § 3.6 不确定关系 § 3.7 守恒与对称 在量子力学中。微观粒子的运动状态用波函数描述。一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态。在本章中我们将看到：所谓“确定”，是在能给出概率以及能求得平均值意义下说的。一般说来。当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值、均以一定的概率出现。当给定描述这一运动状态的波函数 后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。既然一切力学量的平均值原则上可由 给出，而且这些平均值就是在 所描述的状态下相应的力学量的观测结果，在这种意义下认为，波函数描写了粒子的运动状态。 力学量的平均值 对以波函数(,)r t ψ描述的状态，按照波函数的统计解释，2 (,)r t ψ表示在t 时刻在 r r d r →+中找到粒子的几率，因此坐标的平均值显然是: ()2 *(,) (,)(,) 3.1.1r r t rdr r t r r t dr ψψψ∞ ∞ -∞ -∞ = =?? 坐标r 的函数()f r 的平均值是： ()()()* (,)(,) 3.1.2f r r t f r r t dr ψψ∞ -∞ =? 现在讨论动量的平均值。显然，P 的平均值P 不能简单的写成 2(,)P r t Pdr ψ∞ -∞ = ?，因为2 (,)r t dr ψ只表示在 r r dr →+中的概率而不代表在 P P dP →+中找到粒子的概率。要计算P ，应该先找到在t 时刻，在P P dP →+中找 到粒子的概率2 (,)C P t dP ，这相当于对(,)r t ψ作傅里叶变化，而(,)C r t 有公式 给出。动量p 的平均值可表示为 但前述做法比较麻烦，下面我们将介绍一种直接从(,)r t ψ
第三章 算符和力学量算符 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为： ?Fu v = （） ? F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx =，22xu v =3 v =， (,) x t ?∞ -∞ ，(,)x i p x h x e dx C p t -=，则d dx ，x dx ∞ -∞ ，x i p x h e -?都是算符。 1．算符的一般运算 （1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 （3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符 （1）单位算符 对于任意涵数u ，若?I u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符 对于任意函数u 与v ，若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称?F 为反线性算符。 （3）逆算符 对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=，111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符，a 为常数。
第三章 表示力学量的算符 第一部分；基本思想与基本概念题目 1. 举例说明算符与它表示力学量之间的关系。 2. 如何理解力学量完全集？ 3. 守恒量有哪些特征？ 4. 量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？ 5. 如何构造力学量算符？ 6. 若ψ1与ψ2是力学量F 属于同一本征值λ的两个不同本征函数，则ψ＝C 1ψ1＋C 2ψ2（C 1，C 2是任意常数）是否仍是F 的本征函数。 7. 设[?，?]＝0，则力学量?和?是否一定可同时确定？ 8. 设[?，?]≠0，则力学量?和?是否一定不可同时确定？ 9. 试述│C n │2的物理意义。 10. 对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？ 11. 对氢原子n ，l ，m 这三个量子数分别决定哪些力学量？ 12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值的状态？举例说明。 13. t ＝0时，粒子处于力学量F 的 本征态，则在t 时刻它是否处于该本征态？ 14. 2?L 的本征态是否一定是 ?z L 的本征态？举例说明。 15. ?z L 的本征态是否一定是2?L 的本征态？ 16. 当氢原子处于ψnlm （r ，θ，φ）＝R nl （r ）Y lm （θ，φ）态时，哪
些力学量可同时确定，其值分别是多少？ 17. 若[?，?]＝0，则粒子是否一定处于A 和B 两力学量的共同本征态？ 第二部分：基本技能训练题 1. 证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态） 2. 判断下列等式是否正确 12???() () E H T U (3) H E T U H T U =+==+==+ 3. 设ψ（x ）归一化，｛?k ｝是 ?F 的本征函数，且 ()()k k k x C x ψ?=∑ （1） 试推导C k 的表达式。 （2） 求证力学量在ψ（x ）态的平均值 2 k k k F C F =∑。 （3） 说明|C k |2的物理意义。 4. 一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中 （1） 势能的平均值221 2 U x μω= （2） 动能的平均值2 2p T μ = （3） 动量的几率分布。 5. 氢原子处于 (,,)r a r ψθ?- = 态，求 （1） r 的平均值。 （2） －e 2/r 的平均值
力学量算符之间的对易关系 讨论微观态ψ中某一力学量F 时，总是以∧ F 的本征质谱作为力学量F 的可能值。若我们同时观测状态ψ中的一组不同力学量 ,, G F ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。主要内容有： 一个关系：力学量算符之间的对易关系 三个定理?? ? ??力学量守恒定理不确定关系逆定理）共同本征态定理（包括 1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 （1）算符之和：算符∧ F 与∧ G 之和∧ ∧+G F 定义为 ψψψ∧ ∧∧∧+=+G F G F )( （1） ψ为任意函数。一般∧ ∧ ∧ ∧ +=+F G G F ，例如粒子的哈密顿算符)()(22 r U T r U p H +=+=∧∧∧ μ 是 动能算符∧ T 与势能算符)(r U 之和。 （2）算符之积：算符∧ F 与∧ G 之积定义为 )()(ψψ∧ ∧∧∧=G F G F （2） 显然，算符之积对函数的作用有先后作用次序问题，一般不能颠倒，即∧ ∧∧ ∧≠F G G F 常记为 ∧ ∧ ∧ ∧≠-0F G G F （3） n 个相同算符∧F 的积定义为算符∧ F 的n 次幂 例如 dx d F =∧ ，则 222dx d F =∧，n n n dx d F =∧ 。 为了运算上的方便，引入量子括号 ∧ ∧∧∧∧∧-=??????F G G F G F , （5） 若 0,≠?? ? ???∧∧G F （6） 称算符∧F 与∧G 是不对易的（不能交换位臵），即∧ ∧∧∧≠F G G F 。
若 0,=?? ? ???∧∧G F （7） 称算符∧F 与∧G 是对易的，即∧ ∧∧∧=F G G F 。 下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。 ?????????+=+=+=+-=∧∧∧∧∧∧∧ ∧∧∧ ∧∧∧∧∧∧ ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧ ∧) 11(],[],[],[)10(],[],[],[)9(] ,[],[],[)8(],[],[G M F M G F M G F M G F M F G M G F M F G F M G F F G G F 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子，相互对易 []0],[0],[0 ,===x z z y y x （12） 动量算符是微分算符，因为 x y y x ???= ???2 2 ，则 0,0,0 ,=?? ? ???=?? ? ???=?? ? ???∧∧∧∧∧∧x z z y y x p p p p p p （13） 坐标算符与动量算符：设ψ为任意函数 ?? ??? ?? --=??-=??-=∧∧ψ ψψψψψx x i i x x i x p x x i p x x x )( 比较后可得 ψψψ i x p p x x x =-∧ ∧，即 i p x x =??? ???∧, （14a ） 但是 0,0 ,=?? ? ???=?? ? ???∧∧z y p x p x （14b ） 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为 ij j i i p x δ =?? ? ???∧ , (14c) 其中 ),,()3,2,1(z y x i x i ≡== ),,()3,2,1(∧ ∧∧∧≡=z y x j p p p j p ※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由 此导出。 1.3 角动量算符的对易关系
算符即运算规则算符即运算规则。。它作用在一个函数ψ(x)(x)上即是对上即是对ψ(x)(x)进行某进行某 种运算种运算，，得到另一个函数?(x) §1.7 1.7 量子力学中的力学量和算符量子力学中的力学量和算符 例： )()(?x x F ?ψ=)()(?x xf x f x =)()(?x f x f I =dx d D = ?1、定义
2、乘法与对易 算符的乘法一般不服从交换律: )?(??ψψB A B A ≡A B B A ????≠例如:
则算符的对易式可记为则算符的对易式可记为：：若对任意若对任意ΨΨ，都有： 则称 和 对易: 引入记号: ψψA B B A ????=A ?B ?]?,?[????B A A B B A ≡?0]?,?[=B A I x D ?]?,?[=h i p x x =]?,?[易证:
可定义算符的可定义算符的n n 次方为： A A A A n ???????=可定义算符的多项式和算符的函数可定义算符的多项式和算符的函数。。例如：
3、线性算符 设C 1, C 2为常数为常数，，若算符满足： 则称其为线性算符则称其为线性算符。。 量子力学态叠加原理要求力学量算符必须是线性算符 例如例如，，下列算符为线性算符下列算符为线性算符：： 2 2112211??)(?Ψ+Ψ=Ψ+ΨF C F C C C F x p H y x x ?,?,,2 ??? ??
算符的本征值方程:4、本征函数本征函数、、本征值 λ为算符 的本征值的本征值，，为算符 的本征值为λ的本征函数的本征函数。。 例如，e 2x 是微商算符的本征函数： )()(?x x F λψψ=)(x ψF ?F ?F ?
波函数和薛定谔方程-力学量算符1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得
（2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。 ③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单 色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。
在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而， 粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法
根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展 开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分， 得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函 数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1）
自主学习01 教材内容 第三章力学量与算符 知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节 第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测
重点难点
通过本章的学习，应使学生掌握量子力学中的力学量用算符表示的基本原理， 表示力学量的算符，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的关系，两力学量同时有确定值的条件，不确定性关系，力学量平均值随时间的变化，守恒定律，掌握力学量随时间的演化规律。 §3.1 力学量的平均值，力学量用算符表示 [本节要求] 理解力学量的平均值的概念，掌握力学量的算符表示 [重点难点] 力学量的算符表示 [本节内容] 粒子处于波函数 )(r ψ所描述的状态下,虽然不是所有的力学量都有确定的观测值,但它们都有确定 的几率分布,因而有确定的平均值. 粒子处于归一化状态 )(r ψ,其位置坐标的几率密度为ψψ*.这样,位置坐标的平均值为 ()()()()x d r r r x d r r r r 33 ψψ ψψ ??* * == (1) 波长是用以刻画波动在空间变化快慢的,是属于整个波动的量.因此,“空间某一点的波长”的提法是没有意义的.再根据德布罗意关系式p=h/λ,“微观粒子在空间某点的动量”的提法也是没有意义的.因此, 不能像求位置的平均值那样求动量的平均值.按前面所述,给定波函数)(r ψ后,测得粒子的动量在p 到p d p +之间的几率为 p d p 3 2 )( ?,其中 x d e r p r p i 32 3)() 2(1)( ?-?∞ -∞ += ψπ? (2) 其逆变换为 ()()()p d r p i e p r 32 321 ?∞+∞ -?= ?πψ (3)
第四章：力学量用算符表示 [1]设[])(,,q f ih p q =是q 的可微函数，证明下述各式：[一维算符] （1）[ ] .2)(,2 hipf q f p q = （证明）根据题给的对易式及[];0)(,=q f q []qf p f qp fq p f qp f p q 2222 2 ,-=-= f ih qp p qppf f pq p qppf )()(--=-= hipf pf hi pq qp 2)(=+-= （2）)(])(,[pf fq ih p q pf q += （证明）同前一论题 )(],[hi qp pf qpfp pfpq qpfp pfp q --=-= hipf pqfp qpfp hipf pfpq qpfp +-=+-= )()(pf fp hi hipf fp pq qp +=+-= （3）ihfp p q f q 2])(,[2 = [证明]同前一题论据： fppq fqpp fppq qfpp fp q -=-=],[2 hifp fpqp fqpp hi qp fp fqpp +-=--=)( hifp hifp p pq qp f 2)(=+-= （4）i f p i h q f p p 22 )](,[= [证明]根据题给对易式外，另外应用对易式 i f i h q f p = )](,[ dq df f i ≡)( )(],[2222fp pf p fp p f p f p p -=-= 物83-309蒋 ~80~
i f p i h f p p 22],[= = （5）p pf i h p q pf p i = ])(,[ （证明）论据同（4）： p fp pf p pfp fp p pfp p )(],[22-=-= p pf i h i = （6）2 2 ])(,[p f i h p q f p i = （证明）论据同（4）： 2 2222)(],[p f i h p fp pf fp pfp fp p i = -=-= (2)证明以下诸式成立： (1) (证明)根据坐标分角动量对易式 为了求证 该矢量关系式，计算等号左方的矢量算符的x 分量。 以及 看到 由于轮换对称性，得到特征的公式。 ~81~
姓 名:__刘 珺__ 学 号:_06 专业班级:_2009级物理学二班 摘 要：由于微观粒子具有波粒二象性，所以在计算中必须采用新的方式来表示微观粒子的力学量——算符。本文简单叙述关于力学量算符的基本理论并详细说明了两种基本的力学量算符。 关键字：力学量算符；对易；本征值；动量算符；角动量算符 1. 引言 1923年，法国物理学家德布罗意于提出微观粒子具有波粒二象性的假说。 德布罗意认为：正如光具有波粒二象性一样，实体的微粒(如电子、原子等)也具有这种性质，即既具有粒子性也具有波动性。这一假说不久就为实验所证实。 由于观粒子具有波粒二象性，微观粒子所遵循的运动规律就不同于宏观物体的运动规律，描述微观粒子运动规律的量子力学也就不同于描述宏观物体运动规律的经典力学。 量子力学与经典力学的差别首先表现在对粒子的状态和力学量的描述及其变化规律上。在量子力学中，粒子的状态用波函数描述，它是坐标和时间的复函数。当微观粒子处于某一状态时，它的力学量(如坐标、动量、角动量、能量等)一般不具有确定的数值，而具有一系列可能值，每个可能值以一定的几率出现。当粒子所处的状态确定时，力学量具有某一可能值的几率也就完全确定。在描述力学量时，便引入了力学量算符。2. 力学量算符基本概念 算符及其运算规则 （一）算符的定义： 算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。 我们通常用上方加“∧”的字母来表示算符，例如： i x dx d P F ,3,,,, ,∧ ∧ 。算符作 用在一个函数u 上，使之变成另一个新的函数v ，例如：v dx du v u F ==∧ , ，dx d 是 微商算符。 （二）算符的运算规则： 1.算符相等：如果u u Q P ∧ ∧ =，则Q P ∧ ∧ =。
第三章 力学量的算符表示 1．如果算符α?、β?满足条件1????=-αββα ， 求证：βαββα?2????22=-， 233?3????βαββα=-， 1?????-=-n n n n βαββα [证] 利用条件1????=-αββα，以β?左乘之得 βαββαβ??????2=- 则有 βαβββα????)1??(2=-- 最后得 βαββα?2????22=-。 再以β? 左乘上式得 222?2)????(?βαββαβ=-， 即232?2?????βαββαβ=- 则有 233?3????βαββα=- 最后得 233?3??βαββα=- 应用数学归纳法可以证明 1?????-=-n n n n βαββα： 先设 211?)1(???----=-n n n n βαββα 成立， 以β? 左乘上式得 11?)1(?????---=-n n n n βαββαβ 则有 11?)1(???)1??(---=--n n n n βαβββα 最后得 1?????-=-n n n n βαββα 2．证明 {}+ ++ )???()???(2 1 2 1n n M M M L L L {} ++=++-+++-+)???()???(11 11 M M M L L L m m n n [证] 应用+ + + ++A B B A ?? )??( 及 ++++=+B A B A ??)??(， 则 ====+-+-++-++ )???(??)???(?)???(21112121n n n n n n L L L L L L L L L L L L +++-+=1 21 ????L L L L n n 同理可证 ++-++=1121???)???(M M M M M M m m m 则 { }{} ++=+++++)???()???()???()???(21212121m n m n M M M L L L M M M L L L { } ++=++-+++-+)???()???(1 111M M M L L L m m n n 3．若算符L e ?满足
波函数和薛定谔方程-力学量算符 1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得 （2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。
③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。 在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而，粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法
根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即 这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲 授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1） . 其中应用及 （2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数
关于力学量算符本征函数的正交归一性 一、余雷，力学量算符本征函数的正交归一性，贵州师范大学学报(自然科学版)，1998年第16卷第1期 量子力学中关于力学量的基本假设要求： 设某力学量用算符A ?表示，则 n n n a A ??=?（分立谱） （1） a a a A ??=?（连续谱） （2） 1 力学量用线性厄米算符表示； 2 表示力学量算符的本征函数构成完全集，即任一波函数ψ可用力学量算符A ?的本征函数n ?或a ?展开： n n n c ?ψ∑= （3） da a c a ?=?ψ)( （4） 3 几率描述： 在（3）或（4）的ψ态中测力学量A 所得的值必在（1）的n a 或（2）的a 之内。若ψ、n ?、a ?均是归一化的，则在（1）中测得A 的值为n a 的几率为2 n c ；在（4）中测A 得的值在da a a +→内的几率为da a c 2)( 同一力学量算符的线性无关的本征函数的归一化系数一般不同。 例如，一维线性谐振子的能量算符的本征函数的归一化系数n N 与量子数n 有关；轨道角动量平方算符、轨道角动量第三个分量算符的共同本征函数的归一化系数与量子数 和m 有关；当然，也有例外，如一维无限深势阱能量算符的本征函数 ?????<+>=a x a x a n A a x x n n )(2sin 0)(πψ
其归一化系数a A n 1=，所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 又如，轨道角动量第三个分量算符的本征函数??ψim m m e A =)(的归一化系数为π 21=m A ，也是所有线性无关的本征函数的归一化系数相同；再有，动量分量算符的所有线性无关的本征函数的归一化系数相同。 ● 力学量算符线性无关的本征函数并不全部正交 力学量算符是厄米算符，厄米算符具有属于不同本征值的本征函数正交的重要性质，而对于同一本征值的多个线性无关的本征函数（有简并情况）并不一定正交。此时，对属于同一本征值的多个线性无关的本征函数，可以把它们线性叠加为个数相同的线性无关且相互正交的本征函数。正交化方法很多，常用的方法是选择一组力学量，这组力学量算符间两两对易，它们的本征值能对简并的本征函数分类，此时，正交性问题自动得到解决。 ● 力学量算符本征函数的正交归一性是力学量几率描述假设的要求 几率描述假设要求力学量算符的本征函数正交 几率描述假设要求力学量算符的本征函数是归一化的