初中数学试卷
金戈铁骑整理制作
蚂蚁爬行的最短路径
正方体
4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ）
A ．A ?P ?
B B ．A ?Q ?B
C ．A ?R ?B
D ．A ?S ?
B
解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ．
2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 .
解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB=
51222=+．
8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 .
第6题
第7题
A
B
12
1
解：将正方体展开，连接M 、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3， MD 1=
1323222
12=+=+DD MD ．
5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ）
解：如图，AB= ()101212
2=++．故选C ．
9
．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为
1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 2.5秒钟．
解：因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
（1）展开前面右面由勾股定理得AB= = cm ；
（2）展开底面右面由勾股定理得AB=
=5cm ；
所以最短路径长为5cm ，用时最少：5÷2=2.5秒．
长方体
10．（2009?恩施州）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是 。
A
B A 1B 1D C
D 1C 12
1
4
解：将长方体展开，连接A 、B ，根据两点之间线段最短，AB=
=25．
11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为 .
解：正面和上面沿A 1B 1展开如图，连接AC 1，△ABC 1是直角三角形， ∴AC 1=()534214222
22
12=+=++=+BC AB
18
．（2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm 和4cm ，高为5cm ．若一只蚂蚁从P 点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q 点，则蚂奴爬行的最短路径长为 cm ．
解：
∵PA=2×（4+2）=12，QA=5 ∴PQ=13．
故答案为：13．
19．如图，一块长方体砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ，CD 上的点B 距地面的高BD=8cm ，
地面上A 处的一只蚂蚁到B 处吃食，需要爬行的最短路径是多少？
解：如图1，在砖的侧面展开图2上，连接AB ， 则AB 的长即为A 处到B 处的最短路程．
解：在Rt △ABD 中，
因为AD=AN+ND=5+10=15，BD=8， 所以AB 2=AD 2+BD 2=152+82=289=172． 所以AB=17cm ．
故蚂蚁爬行的最短路径为17cm ．
49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm.
(1)在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从D 处爬到C 处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？
(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?
12．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A 点爬到B 点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。
解：由题意得， 路径一：
AB=
= ；
路径二：
AB= =5； 路径三：
AB=
=
； A
B
C D
.
128
30
∵＞5，
∴5米为最短路径．
13．如图，直四棱柱侧棱长为4cm，底面是长为5cm宽为3cm的长方形．一只蚂蚁从顶点A出发沿棱柱的表面爬到顶点B．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
解：（1）AB的长就为最短路线．
然后根据若蚂蚁沿侧面爬行，则经过的路程为（cm）；
若蚂蚁沿侧面和底面爬行，则经过的路程为（cm），
或（cm）所以蚂蚁经过的最短路程是cm．
（2）5cm+4cm+5cm+4cm+3cm+4cm+5cm=30cm，最长路程是30cm．
15．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，8cm，4cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是。
解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cm，
则所走的最短线段是=6 cm；
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10cm和8cm，
所以走的最短线段是= cm；
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是14cm和4cm，
所以走的最短线段是=2 cm；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
51．圆柱形坡璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇
充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。
16．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、2cm．A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为cm
解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20cm，宽为（2+3）×3cm，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xcm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故答案为25．
17．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B 是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是cm。
解：将台阶展开，如下图，
因为AC=3×3+1×3=12，BC=5，
所以AB2=AC2+BC2=169，
所以AB=13（cm），
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
答：蚂蚁爬行的最短线路为13cm．
圆柱
21．有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离.
第2题
A B
5
12
解：AC 的长就是蚂蚁爬行的最短距离．C ，D 分别是BE ，AF 的中点． AF=2π?5=10π．AD=5π． AC=
22CD AD +≈16cm ．
故答案为：16cm ．
22．有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为 . 解：AB=1312522=+m
23．如图，一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高AA 1的端点A 到达A 1，若圆柱底面半径为π
6
，高为5，则蚂蚁爬行的最短距离为
．
解：因为圆柱底面圆的周长为2π×
π
6
=12，高为5， 所以将侧面展开为一长为12，宽为5的矩形， 根据勾股定理，对角线长为 =13．
故蚂蚁爬行的最短距离为13．
24．如图，一圆柱体的底面周长为24cm ，高AB 为9cm ，BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，则蚂蚁爬行的最短路程是
第3题
解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24cm ，则AD=24×2
1=12cm ．
又因为CD=AB=9cm ，所以AC=
=15cm ．
故蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程是15cm ． 故答案为：15．
25．（2006?荆州）有一圆柱体高为10cm ，底面圆的半径为4cm ，AA 1，BB 1为相对的两条母线．在AA 1上有一个蜘蛛Q ，QA=3cm ；在BB 1上有一只苍蝇P ，PB 1=2cm ，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇，最短的路径是 cm ．（结果用带π和根号的式子表示）
解：QA=3，PB 1=2，
即可把PQ 放到一个直角边是4π和5的直角三角形中， 根据勾股定理得：
QP=
最短路线问题通常是以“平面内连结两点的线中,线段最短”为原则引申出来的.人们在生产、生活实践中,常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题.下面简单谈一下初中数学中遇到的最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。 Ⅰ.求三点距离相等时，一点到两点的距离最短设计方案
例1．为改善白银市民吃水质量，市政府决定从新建的A 水厂向B 、C 供水站供水。已知A 、B 、C 之间的距离相等，为了节约成本降低造价，请你设计一种最优方案，使铺设的输水管道最短，在图中用实线画出你所设计方案的线路图。
解析：可根据三点所构成的三角形形状及三线合一的性质，可求最短路线及设计图。
（1） 可设计AB+AC 路径；
（2） 可设计AD+BD+CD 路径；
（3） 可设计AE+EB+EC 路径。
通过计算比较验证等确定最优化的设计方案为（3）
Ⅱ。求一点，使它与其余两点之和最小的方案设计
例2．为了改善农民生活水平，提高生产，如图，A、B是两个农场，直线m是一条小河，现准备在河岸某处修建一提灌点，准备给两农场浇水，如何修建，使得提灌点与两农场的距离之和最小，请你在图中画出设计方案图。
解析：两点之间线段最短，可利用轴对称性质，从而可将求两条线段之和的最小值问题转化为求一条线段长的问题。
应用：已知三角形ABC中，∠A＝20度，AB＝AC＝20cm，M、N分别为AB、AC上两点，
求BN＋MN＋MC的最小值。
Ⅲ。求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计
例3．已知圆形花坛以及花坛外一居民区，要在花坛与居民区之间修建一条小道在圆形花坛上选择一点，使其与居民区之间的距离最小。
解析：在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。
应用:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？
关于立体图形表面的最短路径问题,又称“绕线问题”是几何中很富趣味性的一类向题.它牵涉的知识面广,沟通了平面几何、立体几何以及平面三角的联系,能训练学生的空间想象能力。而且,也很富有技巧性.在此讨论几个问题,仅供参考。
Ⅰ。在圆柱中，可将其侧面展开求出最短路程
Ⅱ。在长方体（正方体）中，求最短路程
例5．在长方体盒子的A点有一昆虫，在B点有它最喜欢吃的食物，沿盒子表面爬行，如何爬行使得所爬路程最短，如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c.则最短路程为多少.
解析：将其中含有一点的面展开，与含另一点的面在同一平面内即可，主要可以分为三种情形：
（1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，可得其路程为：s1=
（2）将前表面展开与上表面在同一平面内，可得其路程为：s2=
（3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，可得其路程为：s3=
然后比较s1、s2、s3的大小，即可得到最短路程.
应用：一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体和蜘蛛相对的顶点C1处。蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，它应沿着怎样的路线爬行，才能在最短的时间内捉住苍蝇？
Ⅲ。在圆锥中，求最短路径问题
例6．在某杂技表演中，有一形似圆锥的道具，杂技演员从A点出发，在其表面绕一周又回到A点，如果绕行所走的路程最短，画出设计方案图。
解析：将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案
应用：如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，
绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是______（结果保留根式）
路程最短问题在中学教学中是个难点，本文结合中学数学中常见的几类最短路程问题，用实例从知识的趣味性、实际生活中的应用等方面探讨了最短路线的简单应用。从中望能给学生培养空间想象能力及动手动脑探究数学问题的思想。学会“转化的思想”的解决问题的方法，今后我们在数学教学与解决数学问题时，也应从这些方面去考虑，找出问题的实质，达到解决问题的目的。充分去体会数学中的有趣知识，从兴趣出发学到有用的数学。
勾股定理的应用（1）--蚂蚁爬行最短路线问题 班别：_____________姓名：_________________学号：_________ 1、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程( 取3)是( ) A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定 2、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少? 3、一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． （Ⅰ）如图 1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A 沿表面爬行到顶点B ，怎样爬行路线最短？说出你的理由． （Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm 的正方体的顶点A 沿最短路线爬行到顶点C ，那么爬行的最短距离d 的长度应是下面选项中的（ ） （A ）1cm ＜l ＜3cm??? （B ）2cm?????? （C ）3cm 这样的最短路径有 _________条． （Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm ，宽DF=2cm ，高AB=1.5cm 的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A 沿表面爬行到顶点E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明） A B
4、如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________。若从A 点开始绕4个侧面两圈爬到B 点，最短路径长为____________。 5、一个圆柱体元件，底面半径为3，现要在其侧面绕线圈。 （1）若从A 点出发，绕侧面1圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。（结果保留π） （2）若从A 点出发，绕侧面5圈到达B 点，线圈的长度最小为____________。（结果保留π） B A 6m 3m 1m
蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻．解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的 最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB即为最短路线． AB= 5 1 22 2= +． 3．（2006?茂名）如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是cm ． 解：由题意得，从点A沿其表面爬到点B的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4．第6题
A B 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（ ） A ．A ?P ? B B ．A ?Q ?B C ．A ?R ?B D ．A ?S ?B 解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ． 5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） 解：如图，AB= ()101212 2=++．故选C ． A B 1 6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ）
1.如图，有一个圆柱的高为6cm，底面周长为16cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点处的食物，则沿着圆柱的 表面需要爬行的最短路程是 10cm． 解：将圆柱体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短， ∵圆柱的高为6cm，底面周长为16cm， ∴AD=8cm，BD=6cm， ∴AB=√82+62 =10cm． 故答案为：10． 2.如图圆柱的底面半径为6㎝,高为l0cm,蚂蚁在圆柱表面爬行,从点A到点B的最短路程是多少厘米?(保留小数点后一位) 展开图成直角三角形，∠AOB=90°OB=3.14×6=18.84cm，OA=10cm。求AB ∴AB=√（OA2+OB2）=21.3cm 总结：最短路程=√底面圆周长一半的平方+圆柱高的平方 3.一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬到顶点B，怎样爬行路线最短？如果要爬行到顶点C呢？说明你的理由。
A 到 B 最短距离为其对角线，为根号2倍的边长 A到C 可以将其想象成展开的平面，最短距离为这两个平面的对角线，为根号5倍的边长 如图： 向左转|向右转
3.一只蚂蚁在立方体的表面积爬行． （Ⅰ）如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．（Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的（） （A）1cm＜l＜3cm （B）2cm （C）3cm 这样的最短路径有 6条． （Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm，宽DF=2cm，高AB=1.5cm的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明） 考点：． 分析：（I）根据线段的性质：两点之间线段最短，求出即可； （II）根据图形可得出最短路径为√5 ，进而得出答案即可； （Ⅲ）将立方体采用两种不同的展开方式得出最短路径即可． 解答：解：（I）如图1所示，沿线段AB爬行即可，根据两点之间线段最短； （II）如图2所示：1cm＜l＜3cm， 故选A， 路线有6条，如图2所示：
人教版八年级下册数学课本知识点归纳 第十六章 分式 一、分式; 1. 分式：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 (分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零 ) 2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除)以一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示如下： （C ≠0） 其中A,B,C 是整式 3．最简公分母：取各分母的所有因式的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母 4．通分：分子和分母同乘最简公分母，不改变分式值，把几个整式化成相同分母的分式。这个过程叫通分。（分母为多项式时要分解因式） 5．约分：约去分子和分母的公因式，不改变分式值，这个过程叫约分。 二、分式的运算; 1．分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2．分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 上述法则可以用式子表示： 3分式乘方法则：一般地，当n 为正整数时 这就是说， 分式乘方要把分子、分母分别乘方 4．分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。 上述法则可用以下式子表示：,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±= ±=±= 5．整数指数幂; C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷=bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=?;n n n b a b a =)(
1．任何一个不等于0的数的0次幂等于1， 即)0(10≠=a a ； 当n 为正整数时，n n a a 1 =- （ )0≠a ，也就是说a n (a≠0)是a -n 的倒数。 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=?； （2）幂的乘方：mn n m a a =)(; （3）积的乘方： n n n b a ab =)(； （4）同底数的幂的除法：n m n m a a a -=÷( a ≠0)； （5）商的乘方：n n n b a b a =)(( n 是正整数)；( b ≠0) 三、分式方程; 1. 分式方程：分母中含未知数的方程叫分式方程。 (解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。) 2．解分式方程的步骤 ：(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根。 3．分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 四、列方程应用题: 1．列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答。 2．应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有五种： (1)行程问题：基本公式：路程=速度×时间 而行程问题中又分相遇问题、追及问题． (2)数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． (3)工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．
蚂蚁爬行的最短路径问题 I?专题精讲： 当蚂蚁在一个几何体的表面上爬行时，通常情况下都会考虑将其展开成一个平面，运用勾股定理计算其最短路程，也就是运用“化曲为平”或“化折为直”的思想来解决问题 n.典型例题剖析： 一?两点之间，线段最短与勾股定理相结合 台阶问题 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm, 3cm和1cm, A和B是这个台 阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物?请你想一想，这只蚂蚁从 的最短距离_____________ 2. 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m 的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为_______________ . 3. 葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？ 通过阅读以上信息，解决下列问题： （1 ）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm, 则它爬行一圈的路程是多少？ （2）如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？ B点, 最短线路是 1.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm, A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行A点出发，沿着台阶面爬到 A 圆柱（锥）问题 第1题
4. 如图，底面半径为1,母线长为4的 圆锥，一只小蚂蚁若从 A 点出发，绕侧面一周又回到 A 点，它爬行的最短路线长是 ______________ . 5.如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为 的表面爬行，它要想吃到母线 AC 的中点P 处的食物，那么它爬行的最短路程是 6.已知0为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线， 侧面爬行到点A ，另一只小蚂 蚁绕着圆锥侧面爬行到点 所示?若沿0A 剪开，则得到 的圆锥侧面展开图为 2.如图，一只小虫沿边长为 1的正方体的表面从点 的路径是最短的，则 AC 的长为 _______________ . 3.正方体盒子的棱长为 2 ,BC 的中点为M ，—只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 C 为0B 中点，一只小蚂蚁从点 C 开始沿圆锥 B ,它们所爬行的最短路线的痕迹如右图 ( ) (长)方体问题 如图，边长为 1. 距离是 1的正方体中，一只蚂蚁从顶点 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的最短 2cm ，假若点B 有一蚂蚁只能沿圆锥 A 出发，经过3个面爬到点 B ?如果它运动 R 第5题 A. B. C. D. 第2题
第十六章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3（a≥0，b≥0）； a≥0，b>0）a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0） （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）
蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（1）否，0+5-3+10-8-9+12-10=-3，故没有回到0； （2）（|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10|）×2=114粒 2. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是 . 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知，线段AB 即为最短路线． AB = 51222=+． 3．（2006?茂名）如图，点A 、B 分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是 cm ． 解：由题意得，从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是两个棱长的长，即2+2=4． 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A 点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短 第6题
路线是（ ） A ．A ?P ? B B ．A ?Q ?B C ．A ?R ?B D ．A ?S ?B 解：根据两点之间线段最短可知选A ． 故选A ． 5．如图，点A 的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A 沿其表面爬到点B 的最短路程是（ ） 解：如图，AB = ()101212 2=++．故选C ． 6． 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为（ ） 解：展开正方体的点M 所在的面， ∵BC 的中点为M ， 所以MC = 2 1 BC =1， 在直角三角形中AM = = ． 7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。 解：将盒子展开，如图所示： AB =CD =DF +FC = 21EF + 21GF =21×20+2 1 ×20=20cm ． 故选C ．
第五讲最短路径 一、知识点 二、课前练习 1、如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5．如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为______( 取3) [ 2、如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( ) A.7 cm B.5 cm C.8 cm D.10 cm 3、在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明） 4、某大型农场拟在公路L旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、B的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益．请你在图中标明加工厂所在的位置C，使A、B两地到加工厂C的运输路程之和最短．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 5、如图，△ABC的边AB、AC上分别有定点M、N，请在BC边上找一点P，使得△PMN的周长最短．（写出作法，保留作图痕迹） 6、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB＝7米，一个行人P在马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B的距离之差最大时，这个差等于________米． 7、如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？ 8、如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M，N,使△AMN 周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数. 三、例题讲解 1、如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，求蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少 2、如图,在等腰Rt△ABC中，AC=BC=4，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，求EC+ED 的最小值 3、如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD平分∠CAB，N点是AB上的一定点，M是AD上一动点，要使MB+MN最小，请找点M的位置，并求出MB+MN最小值. 4、如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C是坐标轴上一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，求点C的坐标 5、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，0 ），（4，0），点C的坐标为（m，3 m）（m为非负数），求CA＋CB的最小值 三、练习
义务教育课程标准人教版 数学教案 九年级下册 科任老师
二次根式 16.1 二次根式(1) 一、学习目标 1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 二、学习重点、难点 重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。 三、学习过程 （一）复习引入： （1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的_____________; x 是a 的________, 记为______, a 一定是______________数。 （2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________； 正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______； 式子)0(0≥≥a a 的意义是 _______- 。 （二）提出问题 1、式子a 表示什么意义? 2、什么叫做二次根式？ 3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？ 4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？ 5、如何确定一个二次根式有无意义？ （三）自主学习 自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题： 1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34，5-，)0(3≥a a ，12+x 2、计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 根据计算结果，你能得出结论： ，其中0≥a , )0()(2≥=a a a 的意义是 。 3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数 a 才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母a 必须满足 , 才有意义。 2 )3(________ )(2=a 4
《蚂蚁爬行的最短路程问题》教学设计 伊旗四中徐晓梅 新课标指出:”数学教育不仅要使学生获得数学知识，用数学知识去解决实际问题，而且更重要的是：使学生认识到，数学就在我们身边。”本节课正是体现“生活数学化，数学生活化”的典型例子，下来我从教材分析、学习目标、教法学法、教学过程几个方面阐述我的教学设计。 一、教材分析 1．教材地位和作用 本节人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》第一节内容，是在学生学 习了勾股定理的基础上进行的，是对勾股定理在生活中应用广泛性的初步认识。 本节课既注重了知识的前后联系，也体现了知识的实用性、趣味性和创新性特点。 在这些具体问题的解决过程中，需要经历立体几何图形的抽象过程，需要借助观 察、操作等实践活动，这些都有助于发展学生的分析问题、解决问题能力和应用 意识； 2．学情分析 学生学习了勾股定理，并且掌握了“丰富的图形世界”中“展开与折叠”的 相关知识。同时，八年级的学生已经初步具备了合作，探究学习的意识和能力。 二、教学目标分析 本节课就只用勾股定理解决立体图形表面距离问题。我确定的课堂教学目标如下： （一）学科核心素养培育目标： 通过对蚂蚁爬行的最短路径问题的探索，培育学生探索精神和最优化思想； 通过在圆柱体和长方体等问题中的运用，培育数学建模、演绎推理和合理转化分类讨论思想等数学思想和数学素养；通过最短路径问题的再探索，发展学生批判性思维和发散性思维，进而提升学生的思维品质. （二）学习目标： 1．知识与技能目标 能运用勾股定理解决实际生活中简单的立体图形表面的距离问题。 2．过程与方法目标 在探索蚂蚁爬行的最短路径的过程中，学会观察图形，提高分析问题、解决 问题的能力及渗透数学建模的思想。 3．情感与态度目标 (1)通过有趣的问题提高学习数学的兴趣． (2)在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性． （三）教学重难点 本着课程标准，在吃透教材、了解学情的基础上，我确定了如下的教学重难 点。 重点：探索、发现将立体图形转化为平面图形解决问题。 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理，解决实际问题
人教版初中数学八下 全册教案
第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1．了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200， s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60 千米所用时间 v -2060小时，所以 v +20100= v -2060. 3. 以上的式子v +20100， v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分 数有什么相同点和不同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解
出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．．满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 20 9y +, 54-m , 2 38y y -， 9 1-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 3. 当x 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) 七、课后练习 1.列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是正是？哪些是分式？ (1）甲每小时做x 个零件，则他8小时做零件 个，做80个零件需 小时. （2）轮船在静水中每小时走a 千米，水流的速度是b 千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时. (3)x 与y 的差于4的商是 . 2．当x 取何值时，分式 无意义？ 1-m m 3 2 +-m m 1 12 +-m m 4 522 --x x x x 235 -+2 3 +x x x 57+x x 3217-x x x --2 2 1 2 31 2 -+x x
最短路径问题―――蚂蚁爬行的最短路径 最短路径问题旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径 确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题 确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题 确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 而蚂蚁爬行的最短路径是指蚂蚁在平面图形或在几何体中爬行，求其爬行的最短路程。 1．一只蚂蚁从原点0出发来回爬行，爬行的各段路程依次为：+5，-3，+10，-8，-9，+12，-10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻，则蚂蚁一
共得到多少粒芝麻． 2．如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是 . 3．如图，点A、B分别是棱长为2的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是 cm 4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B 点处，它爬行的最短路线是（） A．A?P?B B．A?Q?B C．A?R?B D．A?S?B 5．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M 点的最短距离为（）
1A B A 1B 1D C D 1 C 124 7．如图，点A 和点B 分别是棱长为20cm 的正方体盒子上相邻面的两个 中心，一只蚂蚁在盒子表面由A 处向B 处爬行，所走最短路程是 cm 。 8. 正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从A 点爬行到M 点的最短距离为 . 9．如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm ，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm ，则它从下底面点A 沿表面爬行至侧面的B 点，最少要用 秒钟． 第9题 第10题 第11题 第12题 10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为
第十六章 分式 16．1分式 16.1.1从分数到分式 一、 教学目标 1． 了解分式、有理式的概念. 2．理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件；能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 二、重点、难点 1．重点：理解分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 2．难点：能熟练地求出分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、课堂引入 1．让学生填写P4[思考]，学生自己依次填出：7 10，a s ，33 200，s v . 2．学生看P3的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用实践，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 请同学们跟着教师一起设未知数，列方程. 设江水的流速为x 千米/时. 轮船顺流航行100千米所用的时间为v +20100小时，逆流航行60千米所用时间v -2060小时， 所以v +20100=v -2060. 3. 以上的式子v +20100，v -2060，a s ，s v ，有什么共同点？它们与分数有什么相同点和不 同点？ 五、例题讲解 P5例1. 当x 为何值时，分式有意义. [分析]已知分式有意义，就可以知道分式的分母不为零，进一步解 出字母x 的取值范围. [提问]如果题目为：当x 为何值时，分式无意义.你知道怎么解题吗？这样可以使学生一题二用，也可以让学生更全面地感受到分式及有关概念. (补充)例2. 当m 为何值时，分式的值为0？ （1） （2） (3) [分析] 分式的值为0时，必须同时．． 满足两个条件：○1分母不能为零；○2分子为零，这样求出的m 的解集中的公共部分，就是这类题目的解. [答案] （1）m=0 （2）m=2 （3）m=1 六、随堂练习 1．判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？ 9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x 2. 当x 取何值时，下列分式有意义？ （1） （2） （3） 1-m m 3 2 +-m m 11 2+-m m 45 22--x x x x 235 -+2 3 +x
蚂蚁爬行最短路程问题的拓展 教科书有这样一个问题：有一个圆柱，它的高等于12 cm ，底面半径等于3 cm ．在圆行柱的底面 A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？ 直觉判断，不难发现，蚂蚁应该沿着侧面爬行。那么，在侧面上如何爬行，所走的路程最短呢？由于侧面是弯曲的，为此可以试图将弯曲的侧面展呈一个平面，如下图： A B A B 在课堂上，相信大家已经比较过多种爬行路 径，如(1)A →A ′→B ；(2)A →B ′→B ；(3)A → D →B ；(4)A →B.当然也得出了沿着直线段AB 爬行最近。 现在的问题是，对于任意的圆柱，上面的爬 行路线是否都最短呢？ 我们不妨看一个具体的： 问题1 在高为1，底面半径为4的圆柱形实木块．．．的． 下底面的A 点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 相对的B 点处的食物，如图所示，这只蚂蚁需要爬行的最短路程是多少？ A B 如果还是沿着侧面爬行，不难算出最短爬行距离是22)4(1π+≈12.6 m ，由于这个圆 柱“矮而胖”，如果从上底面沿直径爬过去，可以省得绕侧面爬行那样绕过一段大肚子，可能反而行程可能会少一些，当然，这只是感觉，需要具体计算一下。不难算出从A 点直接向上爬再沿着直径爬到B 点的行程是1＋4×2＝9 m ，确实比沿着侧面爬行短一些。 反思 实际上，这和我们的直觉是一致的。不妨用一个最为极端的圆柱为例加以说明，如果这个圆柱特别矮，以致于接近一个硬币或者接近一个平面上的圆，显然沿着直径走比沿着侧面（圆周）走要近一些。 当然，研究不要局限于此，我们需要进一步思考：什么情况下蚂蚁沿着侧面爬行路程最近（姑且称为线路1），什么情况下蚂蚁先竖直爬到地面上再沿着直径爬行（姑且称为线路 2）路程最近？ 为了研究的方便，不妨设圆柱的高为h ，底面半径为r ，则沿线路1的最短行程是22)(r h π+,沿线路2的行程是h+2r;不难得出： （1）当时，两条线路行程相同；（2）当时，线路1行程短一些；（3）当时，线路2行程短一些。
初二数学最短路径问题家庭作业_题型归纳 一、精心选一选 1.在平面直角坐标系中有两点，要在轴上找一点，使它到的距离之和最小，现有如下四种方案，其中正确的是() A. B. C. D. 考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想. 答案：D. 解析：利用轴对称的性质，把y轴同侧的两点转化为y轴异侧的两点，根据“两点之间，线段最短”，找到点C的位置，故选D. 2.如图，在等边△ABC中，边BC的高AD=4，点P是高AD上的一个动点，E是边AC的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PC的最小值，则这个最小值是() A.4 B.5 C.6 D.8 考查目的：本题主要考查等边三角形的性质及利用轴对称解决最短的线段和问题. 答案：A. 解析：根据等边三角形的性质可知点B是点C关于AD的对称点，PE+PC的最小值就是BE 的长，即等边△ABC的高，故选A. 3.如图，正方形ABCD的边长为8，△BCE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为() A.4 B.6 C.8 D.10
考查目的：本题主要考查利用轴对称解决简单的路径问题，体现了转化的思想. 答案：C. 解析：由题意知，点B是点D关于AC的对称点，因此，PD+PE的和可以转化为PB+PE的和.因为PB+PE的和的最小值BE，即为8，故选C. 二、细心填一填 4.两点的所有连线中，最短. 考查目的：本题主要考查“两点之间，线段最短”的基本事实. 答案：线段. 解析：根据基本事实“两点之间，线段最短”即可得出答案. 5.连接直线外一点与直线上各点所有连线中，最短. 考查目的：本题主要考查连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短的基础知识.答案：垂线段. 解析：连接直线外一点与直线上各点所有连线中，垂线段最短. 6.如图，四边形ABCD中，△BAD=120°，△B=△D=90°，在BC，CD上分别找一点F，使△AEF周长最小，此时△AEF+△AFE的度数为. 考查目的：本题主要考查利用轴对称解决较复杂的路径问题.分别作点A关于CD、BC的对称点，画出基本图形是解题的关键. 答案：120°. 解析：如下图，分别作点A关于CD、BC的对称点A1，A2，连接A1A2，分别交CD、BC于点F，E，即此时△AEF周长最小.由对称可知△A1=△DAF，△A2=△BAE，因为△A1+△A2=180°-△BAD=60°，所以△DAF+△DAF=△A1+△A2=60°，所以△EAF =60°，所以△AEF+△AFE=180°-△EAF=120°.
C. A? R? B D. A? S? B 1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离 3. 正方体盒子的棱长为2, BC的中点为M，—只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为 _________________ . 4. 如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其 5.如图所示一棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3X3个小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁 每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟. 长方体 10. （2009?恩施州）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要 沿着长方体的表面从点 问怎样走路线最短？最短路线长为 12. （2011?荆州）如图，长方体的底面边长分别为2cm和 4cm，高为5cm .若一只蚂蚁从P点开始经过4 个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为cm. 13. 如图，一块长方体砖宽AN=5cm，长ND=10cm，CD上的点B距地面的高BD=8cm，地面上A处的一只蚂蚁到 B处吃食，需要爬行的最短路径是多少？ 14. 如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12cm ,8cm,30cm. （1）在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？ ⑵此长方体盒子（有盖）能放入木棒的最大长度是多少？ 15?如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂 蚁爬行的最短路径为____________ 米。 S 学习好资料欢迎下载 勾股定理--最短距离问题蚂蚁爬行的最短路径 正方体 1如图，一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是__________ A. A? P? B 是 ____________ A? Q? B 第3题 O A爬到点B，需要爬行的最短距离是 15 16 14 17
第十六章 二次根式 1．二次根式：一般地，式子)0a (,a ≥叫做二次根式. 注意：（1）若0a ≥这个条件不成立，则 a 不是二次根式； （2）a 是一个重要的非负数，即；a ≥0. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3．重要公式：（1）)0a (a )a (2≥=,（2）?? ?<-≥==) 0a (a ) 0a (a a a 2 ；注意使用)0a ()a (a 2≥=. (3)积的算术平方根：)0b ,0a (b a ab ≥≥?=，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积；注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求. 4．二次根式的乘法法则： )0b ,0a (ab b a ≥≥=?. 5．二次根式比较大小的方法： （1）利用近似值比大小； （2）把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小； （3）分别平方，然后比大小. 6．商的算术平方根：)0b ,0a (b a b a >≥=，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 7．二次根式的除法法则： （1） )0b ,0a (b a b a >≥= ； （2）)0b ,0a (b a b a >≥÷=÷； （3）分母有理化：化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式. 8．常用分母有理化因式： a a 与，b a b a +-与， b n a m b n a m -+与，它们也叫互为有理化因式.
9．最简二次根式： （1）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式， ②被开方数中不含能开的尽的因数或因式； （2）最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2，且不含分母； （3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式； （4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10．二次根式化简题的几种类型：（1）明显条件题；（2）隐含条件题；（3）讨论条件题. 11．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. 12．二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都适用； （2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简，例如：化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等. 第十七章勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2。 2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a, b, c满足a2＋b2=c2。，那么这个三角形是直角三角形。 3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质 （1）、直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 1AB 可表示如下：∠C=90°?BC= 2
初二数学最短路径问题 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： -①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．-②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． -③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径． 【问题原型】．“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．】【十二个基本问题
】1作法图形【问题原理 A A 两点之间线段最短．P l．交点即为P连AB，与l l PA+PB 最小值为AB．B B，使上求一点P在直线l 值最小．PA+PB 【问题2】“将军饮马”作法图形原理 A A B＇B关于作B l 的对称点两点之间线段最短．B
l l PA+PB 最小值为 A B P．＇．连A B ＇，与l 交点即为 P，使P在直线l 上求一点B' PA+PB 值最小． 3】作法图形原理【问题 P'l 1l 1 分别作点P 关于两直线的两点之间线段最短．M P PM +MN +PN 的最小值为对称点P＇和P＇，连P＇P＇，P l l l 、上2．M，P＇＇＇的长．N与两直线交点即为线段P 分别求点在直线l212N M 、N，使△PMN的周长P'' 最小． 4】作法【问题图形原理 l 1l1Q' Q关于直线分别作点Q 、P Q两点之间线段最短．MP l 、l P＇Q＇和的对称点21P周长的最小四边形PQMN l2＇，与两直线交点即Q连＇P值为线段P＇P＇＇的长．l 2、l l 上分别求点在直线．，N为M21N ，使四边形N 、M PQMN P' 的周长最小． 【问题5】“造桥选址”作法图形原理范文
蚂蚁爬行的最短路径 1．一只蚂蚁从原点 0 出发来回爬行，爬行的各段路程依次为： +5，-3，+10，-8 ，-9，+12， -10． 回答下列问题： （1）蚂蚁最后是否回到出发点 0； （2）在爬行过程中，如果每爬一个单位长度奖励 2 粒芝麻，则蚂蚁一共得到多少粒芝麻． 解：（ 1）否， 0+5-3+10-8-9+12-10=-3 ，故没有回到 0； （2）（ |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-9|+|+12|+|-10| ）×2=114 粒 2. 如图，边长为 1 的正方体中，一只蚂蚁从顶点 A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点 B 的 最短距离是 . 3．（2006?茂名）如图，点 A 、B 分别是棱长为 2 的正方体左、右两侧面的中心，一蚂蚁从 点 A 沿其表面爬到点 B 的最短路程是 cm 解：如图将正方体展开，根据“两点之间，线段最短”知， 线段 AB= 22 12 5 ． AB 即为最短路线． B 的最短路程是两个棱长的长，即 2+2=4．
4．如图，一只蚂蚁从正方体的底面 A 点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短 路线是（） A．A? P? B B ．A? Q? B C ．A? R? B D ．A? S? B 解：根据两点之间线段最短可知选A． 故选A． 5．如图，点 A 的正方体左侧面的中心，点 B 是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2， 蚂蚁从点A沿其表面爬到点 B 的最短路程是（） 解：如图，AB= 1 2 2 12 10 ．故选C． 6．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从 A 点爬行到M点的最短距离为（） 解：展开正方体的点M所在的面，