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初中数学竞赛高斯函数[x](含答案)

11．高斯函数[x]

A 卷

1．如果x 为任意实数，用[x]表示不大于x 的最大整数，例如：[-7] = 7，[-3.1] = -4，[3]=1，则满足等式[x]-3=0的x 的范围是____________。

2．若[x]=5，[y]= -3，[z]=-1,mj [x – y – z ]可以取值的个数是（）

A ．3;

B ．4;

C ．5;

D ．6

3．设[x]表示不超过x 的最大整数，若M=][

,][x N x =，其中x ≥1，则一定有（） A ．M>N; B ．M=N; C ．M

4．给出下面三个命题：

（1）[x + 1] = [x] + 1;

（2）[x + y] = [x] + [y]

（3）[x ·y] = [x] · [y]

其中正确命题的个数是（）

A ．0;

B ．3;

C ．1;

D ．2

5．[x]表示取数x 的整数部分，若)4

][4][(u x u x y +-+= 且当x = 1,8,11,14时，y = 1；

x = 2,5,12,15时，y=2；

x = 3,5,9,16时，y=3；

x = 4,7,10,13时，y=0，则表达式中u 等于（）

A ．42+x

B ．41+x

C ．4x

D ．4

1-x 6．实数a,b 满足关系式b =[a] + [a-2] – 1和b = [a] + 1的值一定是（）

A ．大于9而小于10;

B ．大于或等于9而小于10

C ．大于9而小于或等于10;

D ．整数

7．设x 表示不超过x 的最大整数，对任意实数x ，下面式子正确的是（）

A ．[x] = |x|;

B ．[x]≥2x ;

C ．[x]>-x;

D ．[x] > x – 1

8．记号[x]表示不超过x 的最大整数，设n 是自然数，且222]1)1([)1(+++-++n n n n I

A ．I>0

B ．I<0

C ．I=0

D ．当n 取不同的值时，以上三种情况都可能出现。

9．设x ≥0，求证：][

]][[x x =

10．记[a]为不大于a 的最大整数，{a} = a – [a]，

求证：如果{x} + {y} = 1，则[x + y] = [x] + [y] + 1

B 卷

1．如果a 为任意实数，用[a]表示不大于a 的最大整数，例如[-5] = -5，[-2,3] = -3，[3]=1，设x 、y 满足方程?

??=+--=-16]2[32][2y x y x 则[x+y]=__________。 2．若x = 29 + 173,则2x - x[x]=________。

3．已知方程[

143-x ]=x – 3，那么满足方程的x 是__________。 4．方程2x - 8[x] + 7 = 0的所有解的平方和等于_____________。

5．[a]表示不大于a 的最大整数，那么方程[3x + 1] = 2x -

21的所有根的和是____________。 6．方程1}{][][][23-=++x x x x 的解是_____________。

7．设,}731{,]731[

b a =-=-求ab a )171(2++的值。

8．求证：[zx]≥[x] + .2]

2[x

9．解方程：3][3=-x x 。

10．若x ≥1, y >0，求证：][]

[][x y x y ≥。

答案

A 卷

1．3≤x <4

2．A

3．D

4．C

5．D

提示：若 u =

2+x ，则当x = 2时，u = 1, [u] = 1，因而1])41[41(4=-=y ，与题设x = 2时y = 2矛盾。所以A 错；同理，令x=3知B 错；令x =2知C 错，故D 正确。

6．B

7．D

8．A

提示：因为n 是正整数，所以有等式2222)1()]2)(1[(])1()1([+=++=+++n n n n n 成

立。所以0)1()1(22>=+-++=n n n n I 故选A

9．对任意x ≥0，总存在这样的非负整数，使得44)1(+<≤a x a 。由此得1+<≤

a x a ，从而a x =][。别一方面22)1(+<=a x a 在（1）

、（2）、（3）式中取整数部分，得22)1(][+<≤a x a ，开平方，有.1][+<≤a x a

因为a 是整数，所以a x =]][[

由（2）、（4）知原等式成立。

10．x + y = [x] + [y] + {x}{y} = [x] + [y] + 1,由于[x] + [y] + 1是整数，所以 [x + y] = [x] + [y] + 1。

B 卷

1．14

2．26

3．由原方程可知，x 必为整数再根据[a]≤a < [a] + 1有

841)3(14

33≤

5．设x = n + a （n 为整数，0≤a <1），代入原方程得 [3n + 3a + 1] 2n + 2a -

21，3n + 1 + [3a] = 2n + 2a - 21, ∴n + [3a] = 2a - 2

1 (※)

于是2a -

1是整数， ∵0≤a <1 ∴2123223<-≤-a ，因此只有2a - 2

3=0, 当2a - 32=0,即a = 43时，代入(※)式，n + [4

9]=0, ∴ n = -2. 于是得4

321+-=x 。当2a - 32 = -1时，a = 41代入(※)式，n + [4

3] = -1, ∴ n = -1. 于是得4112+-=x ， 2)411()432(21-=+-++-=+x x 故意抽有根的和是-2。

6．x = -1.

7．∵2

17,2,2172273731

-==∴-+=+=-b a ， ∴10)17)(71(4)71(2=-++=++ab a

8．设x = n + a （n 为整数，0≤a<1），则原不等式等价于)10(2]2[][]2[<≤+≥a a a a 分成0≤a<21和2

1≤a<1两种情况讨论，不难证明上面这个不等式成立。 9．由于{x} = x – [x]，所以可把方程3x - [x] = 3写成3x - x = 3 – {x}，

因为0≤{x}<1，所以2<3x - x ≤3.

易证，当x ≥2或x ≤1时，都不能使上面的不等式成立。

故必须1

10．设][x y =t (t ≥0，是整数)，则

][][,,y tx y tx t x y ≤∴≤≥，但.]

[][][],[][][x y t x y

y tx x t ≤=∴≤≤

初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)

初中数学竞赛重要定理、公式及结论代数篇【乘法公式】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2 ?ab+b2)=a3±b3 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4） (a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- … ＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n 公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时 a n- b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。重要公式（欧拉公式） (a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc 【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式： f(x)=g(x)q(x)-r(x) 其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。当r(x)=0时，就是f(x)能被g(x)整除。【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。【素数和合数】2是最小的素数，也是唯一的一个既是偶数又是素数的数．

《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题

《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题 11（2008）、已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数c bx ax y ++=23，其图象经过点（－5,2），且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值12,y y ，3y ，都有123y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由。解：存在满足条件的二次函数。因为222122(1)21(1)0y y x x x x x -=-+=-+-=--≤，所以，当自变量x 取任意实数时，12y y ≤均成立。由已知，二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点（－5,2），得 2552a b c -+= ① 当1x =时，有122y y ==，3y a b c =++ 由于对于自变量x 取任实数时，132y y y ≤≤均成立，所以有2≤a b c ++≤2，故 2a b c ++= ② 由①，②，得4b a =，25c a =-，所以234(25).y ax ax a =++- ……5分当13y y ≤时，有224(25)x ax ax a ≤++-，即2(42)(25)0ax a x a +-+-≥ 所以，二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故 20 (42)4(25)0a a a a ??---≤? 即2 0,(31)0, a a ??-≤? 所以1 3a = 当23y y ≤时，有224(25)1ax ax a x ++-≤+，即2(1)4(51)0a x ax a --+-≥，所以，二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故 210,(4)4(1)(51)0,a a a a -??----≤?即2 1,(31)0,a a ??-≤?所以13a = 综上，141 ,4,25333 a b a c a ====-=

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2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .