2012年高考数学一轮复习精品学案
2012年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）
数列概念及等差数列
一．【课标要求】
1．数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数；
2．通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式；
3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体会等差数列与一次函数的关系.二．【命题走向】
数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高.
预测2012年高考：
1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题；
2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题.三．【要点精讲】
1．数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；
数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式.
例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a =
1
n
（n N +∈）。说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a =
(1)n -=1,21
()1,2n k k Z n k -=-?∈?
+=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……
（3）数列的函数特征与图象表示：序号：1 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集
的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值
(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立
点。
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列.
（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n
a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式.2．等差数列
（1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列
的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或
1(1)n n a a d n +-=≥。
（2）等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；
说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。
（3）等差中项的概念：
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2a b A += a ，A ，b 成等差数列?2
a b A +=。
（4）等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+。四．【典例解析】题型1：数列概念
(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等于
A. -1
B. 1
C. 3
D.7
【解析】∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-∴204(204)1a a d =+-?=.选B 。
【答案】B
2.根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，3，5，7……；
（2）2212-，2313-，2414-，2515
-；
（3）11*2-
，12*3，13*4-，1
4*5
。
解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2(1)11n n +-+； （3）n a = (1)(1)
n
n n -+。
点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对
应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。
例2．数列{}n a 中，已知21
()3
n n n a n N ++-=
∈，（1）写出10a ，1n a +，2n a ； （2）2
793
是否是数列中的项？若是，是第几
项？
解析：（1）∵21()3n n n a n N ++-=∈，∴10a 210101109
33
+-==，1
n a +()()2
2
11131
3
3
n n n
n +++-++=
=，2n a ()2
22421
13
3
n n n n +-+-==；
（2）令279321
3
n n +-=，解方程得15,16n n ==-或，
∵n N +∈，∴15n =， 即2
793
为该数列的第15项。
点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属.题型2：数列的递推公式
例3．如图,一粒子在区域
{}(,)|0,0x y x y ≥≥上运动,在第一秒内它从原点运动到点1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x 轴、y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。
（1）设粒子从原点到达点n n n A B C 、、时，
所经过的时间分别为n n n a 、b 、c ，试写出
}n n n a {}、{b }、{c 的通相公式；
（2）求粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间；
（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标。
解析：(1) 由图形可设12(1,0),(2,0),,(,0)n A A A n ，当粒子从原点到达n A 时，明显有
13,a = 211,
a a =+ 3111234,a a a =+=+? 431,
a a =+5332054,a a a =+=+? 651,
a a =+… … 2123(21)4,n n a a n --=+-? 2211,
n n a a -=+ ∴2114[35(21)]n a a n -=++++- ＝241n -, 222114n n a a n -=+=。
221212(21)441n n b a n n n --=--=-+,
2222244n n b a n n n =+?=+。
222121(21)42(21)(21)n n c b n n n n n --=+-=-=-+-,2222242(2)(2)n n c a n n n n n =+=+=+,
即2n c n n =+。
（2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P 时所需的时间是到达点44C 所
经过得时间44c 再加（44－16）＝28秒，
所以24444282008t =++=秒。
（3）由2n c n n =+≤2004
，解得112
n -≤≤
，取最大得n=44，经计算，得44c ＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点44C ，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）。
点评：从起始项入手，逐步展开解题思维。由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在。
例4．（1）已知数列{}n a 适合：11a =，1n a +22
n
n a a =+，写出前五项并写出其通项公式；
（2）用上面的数列{}n a ，通过等式1n n n b a a +=-构造新数列{}n b ，写出n b ，并写出{}n b 的前5项.
解：（1）11a = ，223a =，324a =，425a =，526a =，……，2
1
n a n =+； （2）22212(1)(2)
n b n n n n =
-=++++，
113b =，216b =，3110b =，4115b =，51
21
b =．
点评：会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项。题型例5届十二校联考第一次考试
每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
(1)设数列{}n a 是公方差为p 的等方差数列，求n a 和1n a -(2 )n n N ≥∈，的关系式； (2)若数列{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列； (3) 设数列{}n a 是首项为2，公方差为2的等方差数列，若将12310a a a a ，，，，这种顺
序的排列作为某种密码，求这种密码的个数．
(1)解：由等方差数列的定义可知：22
1n n a a p --=(2
)n n N ≥∈，………………5分(2)证法一：∵{}n a 是等差数列，设公差为d ，则11n n n n a a a a d -+-=-=
又{}n a 是等方差数列，∴2222
11n n n n a a a a -+-=-………………………………7分
∴ 1111()()()()n n n n n n n n a a a a a a a a --+++-=+-
即211()20n n n n d a a a a d -++--=-=， …………………………………10分 ∴0d =，即{}n a 是常数列．…………………………………………………11分
证法二：∵{}n a 是等差数列，设公差为d ，则1n n a a d --=……○1
又{}n a 是等方差数列，设公方差为p ，则221n n a a p --=……○
2…………7分 ○
1代入○2得，220+-=n d da p ……○3 同理有，2120-+-=n d da p ……○4
两式相减得：即212()20n n d a a d --==，…………………………………10分 ∴0d =，即{}n a 是常数列．………………………………………………11分证法三：（接证法二○1、○2）
由○1、○2得出：若0d =，则{}n a 是常数列 …………………8分
若0d ≠， 则22n d p a d
=
+ 是常数, ∴0d =，矛盾…………10分∴ {}n a 是常数列． …………………11分
(3)依题意， 22
12n n a a --=(2
)n n N ≥∈，，214a =，2
42(1)22n a n n =+-=+
∴n a ，或n a = ……………………………13分 即该密码的第一个数确定的方法数是1，其余每个数都有“正”或“负”两种
确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是92512=种，
故，这种密码共512种．…………………………………………………16分
。
点评：解决此类问题的思路是先将实际问题转化为数列模型来处理。
例6．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白（_____）内.
答案：140 85
解析：从题目所给数据规律可以看到：收缩压是等差数列.舒张压的数据变化也很有规律：随着年龄的变化，舒张压分别增加了3毫米、2毫米，…照此规律，60岁时的收缩压和舒张压分别为140；85.
点评：本题以实际问题为背景，考查了如何把实际生活中的问题转化为数学问题的能力.它不需要技能、技巧及繁杂的计算，需要有一定的数学意识，有效地把数学过程实施为数学思维活动。题型4：等差数列的概念
例7．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
答案：B ；
解法一：a n =???≥-==????≥-=-)2( 12)
1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n
∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数，
1
21
21-+=
+n n a a n n ≠常数
∴{a n }是等差数列，但不是等比数列.
解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。
点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式a n =S n －S n －1的推理能力.但不要忽略a 1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活.
例8．设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2
132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），证明：
}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…）
证明： 1必要性：设数列}{n a 是公差为1d 的等差数列，则：
--=-+++)(311n n n n a a b b )(2+-n n a a =--+)(1n n a a )(23++-n n a a =1d -1d =0， ∴1+≤n n b b （n =1,2,3,…）成立；
又2)(11+-=-++n n n n a a c c )(12++-n n a a )(323++-+n n a a =61d （常数）（n =1,2,3,…）
∴数列}{n c 为等差数列。
2充分性：设数列}{n c 是公差为2d 的等差数列，且1+≤n n b b （n =1,2,3,…），
∵2132++++=n n n n a a a c ……① ∴432232++++++=n n n n a a a c ……②
①－②得：
)(22++-=-n n n n a a c c )(231++-+n n a a )(342++-+n n a a =2132++++n n n b b b ∵+-=-++)(12n n n n c c c c 2212)(d c c n n -=-++
∴2132++++n n n b b b 22d -=……③
从而有32132+++++n n n b b b 22d -=……④ ④－③得：0)(3)(2)(23121=-+-+-+++++n n n n n n b b b b b b ……⑤ ∵0)(1≥-+n n b b ，012≥-++n n b b ，023≥-++n n b b ， ∴由⑤得：01=-+n n b b （n =1,2,3,…），
由此，不妨设3d b n =（n =1,2,3,…），则2+-n n a a 3d =（常数） 故312132432d a a a a a c n n n n n n -+=++=+++……⑥
从而3211324d a a c n n n -+=+++31524d a a n n -+=+……⑦ ⑦－⑥得：3112)(2d a a c c n n n n --=-++， 故311)(21d c c a a n n n n +-=
-++322
1
d d +=（常数）（n =1,2,3,…）， ∴数列}{n a 为等差数列。
综上所述：}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1
+≤n n b b （n =1,2,3,…）。
证法二：
令A n = a n+1- a n ，由b n ≤b n+1知a n - a n+2≤a n+1- a n+3。 从而a n+1- a n ≥a n+3 - a n+2,即A n ≥A n+2（n=1,2,3,…）
由c n = a n + 2a n+1 + 3a n+2, c n+1 = 4a n+1 + 2a n+2 - 3 a n+3得 c n+1-c n =( a n+1- a n+2(a n+2- a n+1)+3(a n+3 - a n+2)，即 A n +2A n+1+3A n+2=d 2. ⑥ 由此得
A n+2+2A n+3+3A n+2=d 2. ⑦ ⑥-⑦得
(A n -A n+2)+2(A n+1- A n+3)+3(A n+2- A n+4)=0 ⑧ 因为A n -A n+2≥0，A n+1- A n+3≥0，A n+2- A n+4≥0, 所以由⑧得A n -A n+2=0(n=1,2,3,…)。 于是由⑥得
4A n +2A n+1=A n+1+2A n+2+3A n+2=d 2, ⑨ 从而
2A n +4A n+1=4A n+1+2A n+2=d 2 ⑩ 由⑨和⑩得4A n +2A n+1=2A n +4A n+1,故A n+1= A n ,即 a n+2- a n+1= a n+1- a n (n=1,2,3,…)， 所以数列{a n }是等差数列。
点评：该题考察判断等差数列的方法，我们要讲平时积累的方法巧妙应用，有些结论可以起到事半功倍的效果. 题型5：等差数列通项公式
例9．（2009天津卷文）已知等差数列}{n a 的公差d 不为0，设121-+++=n n n q a q a a S
*1121,0,)1(N n q q a q a a T n n n n ∈≠-++-=--
（Ⅰ）若15,1,131===S a q ,求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若3211,,,S S S d a 且=成等比数列，求q 的值。 （Ⅲ）若*
2
222,1)1(2)1(1,1N n q
q dq T q S q q n n n
∈--=+--±≠）证明（
（1）解：由题设，15,1,1,)2()(3121113===++++=S a q q d a q d a a S 将 代入解得4=d ，所以34-=n a n *N n ∈
（2）解：当32123211,,,32,2,,S S S dq dq d S dq d S d S d a ++=+===成等比数列，
所以312
2S S S =，即)32222
dq dq d d dq d ++=+（）（，注意到0≠d ，整理得2-=q
（3）证明：由题设，可得1-=n n q b ，则
12223212-+++=n n n q a q a q a a S ① 12223212---+-=n n n q a q a q a a T ②
①-②得，
)(212234222-+++=-n n n n q a q a q a T S
①+②得，
)(2221223122--+++=+n n n n q a q a q a T S ③
③式两边同乘以 q ，得)(2)(221223122--+++=+n n n n q a q a q a T S q 所以2
21
23
221)
1(2)(2)1()1(q
q dq q
q q d T q S q n n n n --=+++=+--- （3）证明：n l k l k l k b a a b a a b a a c c n n )()()(212121
211-+-+-=-
=1
1122111)()()(--++-+-n n n q
db l k q db l k db l k 因为0,01≠≠b d ，所以
122111
2
1)()()(--++-+-=-n n n q l k q l k l k db c c 若n n l k ≠，取i=n ，
若n n l k =，取i 满足i i l k ≠，且j j l k =，n j i ≤≤+1 由（1）（2）及题设知，n i ≤<1，且
122111
2
1)()()(--++-+-=-n n n q l k q l k l k db c c ①
当i i l k <时，1-≤-i i l k ，由n q ≥，1,2,1,1-=-≤-i i q l k i i
即111-≤-q l k ， ),1()(22-≤-q q q l k 2211)1()(-----≤-i i i i q q q l k
所以111)1()1()1()1(111
2121-=----=--++-+-≤-----i i i i q q
q q q q q q q q db c c
因此021≠-c c ②
当i i l k >时，同理可得
,11
2
1-≤-db c c 因此021≠-c c 综上，21c c ≠
【考点定位】本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n 项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力.
例10．已知等比数列}{n x 的各项为不等于1的正数，数列}{n y 满足
)1,0(2l o g ≠>=a a a y n x n ，设12,1863==y y 。 （1）求数列}{n y 的前多少项和最大，最大值为多少？
（2）试判断是否存在自然数M ，使当M n >时，1>n x 恒成立？若存在，求出相应的M ，若不存在，请说明理由；
（3）令),13(log 1N n n x a n x n n ∈>=+，试判断数列}{n a 的增减性？ 解：（1）由已知得：n a n x y log 2= 设等比数列{x n }的公比为q (q ≠1)
由q x x a x x y y a n
n n a n a n n log 2log 2)log (log 21
11==-=-+++得}{n y 为等差数列，设公差为d
∵12,1863==y y ，∴d =－2；
∴n d n y y n 224)3(3-=-+=
设前k 项为最大，则12110
1≤≤????≥≤+k y y k k 012=y
∴前11项和前12项和为最大，其和为132 (2)x n =a 12-n ,n ∈N * ； 若x n ＞1，则a 12-n ＞1 当1>a 时，n ＜12，显然不成立 ；
当1210>< ∴存在M =12，13，14，…， 当M n >时，1>n x (3)a n =12 11 log log ) 1(12121--==+--+n n a x n n a n x n ∵0) 12)(11(1 121111101<---=-----= -+n n n n n n a a n n ∴n n a a <+1∴ 13>n 时数列{a n }为递减数列 点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律. 题型6：等差数列的前n 项和公式 例11．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 （2）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A.1 B.2 C.4 D.6 （3））设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若36S S ＝13，则612 S S ＝（ ） A ． 310 B ．13 C ．1 8 D ．19 解析：（1）答案：A 设这个数列有n 项 ∵???? ????? -+=-+=-=' ?+=-d n n n a S d nd a S S S d a S n n n 2)1(6332 233113313 ∴???? ??? =-+=-+=+3902 )1(146)2(3334)(3111d n n n a n d a d a ∴n ＝13 （2）答案：B 前三项和为12，∴a 1＋a 2＋a 3＝12，∴a 2＝ 3 3 S ＝4 a 1·a 2·a 3＝48，∵a 2＝4，∴a 1·a 3＝12，a 1＋a 3＝8， 把a 1，a 3作为方程的两根且a 1＜a 3， ∴x 2－8x ＋12＝0，x 1＝6，x 2＝2，∴a 1＝2，a 3＝6，∴选B. （3）答案为A ； 点评：本题考查了数列等差数列的前n 项和公式的运用和考生分析问题、解决问题的能力. 例12．（1）设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7， S 15＝75，T n 为数列｛ n S n ｝的前n 项和，求T n 。 （2）已知数列｛b n ｝是等差数列，b 1=1，b 1+b 2+…+b 10=100. （Ⅰ）求数列｛b n ｝的通项b n ； （Ⅱ）设数列｛a n ｝的通项a n =l g （1+ n b 1），记S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，试比较S n 与2 1 l gb n +1的大小，并证明你的结论。 解析：（1）设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则 S n =na 1＋ 2 1 n （n －1）d ．∴S 7＝7，S 15＝75， ∴???=+=+,7510515,721711d a d a 即???=+=+, 57,1311d a d a 解得a 1＝－2，d ＝1．∴ n S n ＝a 1＋21（n －1）d ＝－2＋21 （n －1）。 ∵ 2 1 11=-++n S n S n n ， ∴数列｛ n S n ｝是等差数列，其首项为－2，公差为21， ∴T n ＝ 41n 2－4 9 n ． （2）（Ⅰ）设数列｛b n ｝的公差为d ，由题意得??? ??=-+=.1002 ) 110(1010, 111d b b 解得?? ?==. 2, 11d b ∴b n =2n －1. （Ⅱ）由b n =2n －1，知 S n =l g （1+1）+l g （1+31）+…+l g （1+ 1 21 -n ） =l g ［（1+1）（1+31 ） (1) 1 21 -n ）］， 2 1 l gb n +1=l g 12+n . 因此要比较S n 与21 l gb n +1的大小，可先比较（1+1）（1+31）…（1+1 21-n ）与12+n 的大小. 取n =1，有（1+1）＞112+?， 取n =2，有（1+1）（1+3 1 ）＞122+?，…… 由此推测（1+1）（1+31 ） (1) 1 21 -n ）＞12+n . ① 若①式成立，则由对数函数性质可断定：S n ＞2 1 l gb n +1。 下面用数学归纳法证明①式。 （i ）当n =1时已验证①式成立。 （ii ）假设当n =k （k ≥1）时，①式成立，即（1+1）（1+31 ）…（1+1 21 -k ）＞12+k . 那么，当n =k +1时，（1+1）（1+31）…（1+1 21-k ）［1+1)1(21 -+k ］＞12+k ·（1+ 121+k ）=1 21 2++k k （2k +2）。 ∵［ 1 21 2++k k （2k +2）］2－（32+k ）2 ＝01 2112)384(48422>+=+++-++k k k k k k ， ∴.1)1(232)22(1 21 2++=+>+=+k k k k k . 因而 .1)1(2)1 211)(1211()311)(11(++>++-+ ++k k k 这就是说①式当n =k +1时也成立. 由（i ），（ii ）知①式对任何正整数n 都成立. 由此证得：S n ＞ 2 1 l gb n +1。 评述：本题主要考查等差数列的求和公式的求解和应用，对一些综合性的问题要先理清思路再行求解. 题型7：等差数列的性质及变形公式 例13．（1）设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错．误．的是（ ） A.d ＜0 B.a 7＝0 C.S 9＞S 5 D.S 6与S 7均为S n 的最大值 （2）等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ） A.130 B.170 C.210 D.260 解析：（1）答案：C ； 由S 5 由S 7>S 8，得a 8<0，而C 选项S 9>S 5，即a 6+a 7+a 8+a 9>0?2（a 7+a 8）>0， 由题设a 7=0，a 8<0，显然C 选项是错误的。 （2）答案：C 解法一：由题意得方程组???????=-+=-+100 2 )12(22302)1(11d m m ma d m m ma ， 视m 为已知数，解得212)2(10,40m m a m d +== ， ∴210402)13(3)2(1032)13(332 2113=-++=-+ =m m m m m m d m ma ma S m 。 解法二：设前m 项的和为b 1，第m +1到2m 项之和为b 2，第2m +1到3m 项之和为b 3，则b 1，b 2，b 3也成等差数列。 于是b 1=30，b 2=100－30=70，公差d =70－30=40。 ∴b 3=b 2+d =70+40=110 ∴前3m 项之和S 3m =b 1+b 2+b 3=210. 解法三：取m =1，则a 1=S 1=30，a 2=S 2－S 1=70，从而d =a 2－a 1=40。 于是a 3=a 2+d =70+40=110.∴S 3=a 1+a 2+a 3=210。 点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m ，题给数列前3m 项的和是与m 无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。 例14．在XOY 平面上有一点列P 1（a 1，b 1），P 2（a 2，b 2），…，P n （a n ，b n ），…，对每个自然数n ，点P n 位于函数y =2000（ 10 a ）x （0＜a ＜10＝的图象上，且点P n 、点（n ，0）与点（n +1，0）构成一个以P n 为顶点的等腰三角形。 （Ⅰ）求点P n 的纵坐标b n 的表达式； （Ⅱ）若对每个自然数n ，以b n ，b n ＋1，b n ＋2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围； （Ⅲ）（理）设B n ＝b 1，b 2…b n （n ∈N ）.若a 取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，求数列｛B n ｝的最大项的项数. （文）设c n ＝l g （b n ）（n ∈N ）.若a 取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列｛c n ｝前多少项的和最大?试说明理由。 解析：.解：（Ⅰ）由题意，a n ＝n ＋21 ，∴b n ＝2000（10 a ）21+n 。 （Ⅱ）∵函数y =2000（ 10 a ）x （0＜a ＜10）递减， ∴对每个自然数n ，有b n ＞b n ＋1＞b n ＋2 则以b n ，b n ＋1，b n ＋2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n ＋2＋b n ＋1＞b n ， 即（ 10a ）2＋（10 a －1）＞0， 解得a ＜－5（1＋5）或a ＞5（5－1）， ∴5（5－1）＜a ＜10． （Ⅲ）（理）∵5（5－1）＜a ＜10， ∴a =7，b n ＝2000（10 7 ）21 +n 。 数列｛b n ｝是一个递减的正数数列.对每个自然数n ≥2，B n ＝b n B n －1。 于是当bn ≥1时，B n ≥B n －1，当b n ＜1时，B n ＜B n －1， 因此，数列｛B n ｝的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n ＋1＜1。 由b n ＝2000（10 7 ）21+n ≥1，得n ≤20.8，∴n =20。 （文）∵5（5－1）＜a ＜10，∴a =7，b n ＝2000（107 ）21+n 。 于是c n ＝l g ［2000（10 7）21+n ］＝3＋l g 2（n ＋21 ）l g 0.7 数列｛c n ｝是一个递减的等差数列. 因此，当且仅当c n ≥0，且c n ＋1＜0时，数列｛c n ｝的前n 项的和最大。 由c n ＝3＋l g 2＋（n ＋ 2 1 ）l g 0．7≥0， 得n ≤20.8，∴n =20。 点评：本题主要考查函数的解析式，函数的性质，解不等式，等差、等比数列的有关知识，及等价转化，数形结合等数学思想方法. 五．【思维总结】 1．数列的知识要点： （1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集N （或它的有限子集｛1，2，3，…，n ，…｝）上的函数f （n ），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值：f （1），f （2），f （3），…，f （n ），…。数列的图象是由一群孤立的点构成的。 （2）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式；③一个数列还可以用递推公式来表示；④在数列｛a n ｝中，前n 项和S n 与通项公式a n 的关系， 是本讲内容一个重点，要认真掌握之。即a n ＝?? ?≥-=-) 2()1(1 1 n S S n S n n 。特别要注意 的是，若a 1 适合由a n ＝S n －S n －1（n ≥2）可得到的表达式，则a n 不必表达成分段形式，可化统一为一个式子. 2．等差数列的知识要点： （1）等差数列定义a n ＋1－a n ＝d （常数）（n ∈N ），这是证明一个数列是等差数列的依据，要防止仅由前若干项，如a 3－a 2＝a 2－a 1＝d （常数）就说｛a n ｝是等差数列这样的错误，判断一个数列是否是等差数列。还可由a n ＋a n ＋2＝2 a n ＋1 即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n 来判断。 （2）等差数列的通项为a n ＝a 1＋（n －1）d ．可整理成a n ＝a n ＋（a 1－d ），当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合. （3）对于A 是a 、b 的等差中项，可以表示成2 A ＝a ＋b 。 （4）等差数列的前n 项和公式S n ＝21n a a +·n －na 1＋2 ) 1(-n n d ，可以整理 成S n ＝2 d n 2＋n d a )2(1-。当d ≠0时是n 的一个常数项为0的二次式。 （5）等差数列的判定方法： ①定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列； ②等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 3．等差数列的性质： （1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是AP ， 如：1a ，3a ， 5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-， n m a a d n m -= -()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则 m n p q a a a a +=+； 5．说明：设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共 有2n 项，则①S 奇-S 偶nd =； ② 1 n n S a S a +=奇偶； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 偶-S 奇n a a ==中；②1 S n S n =-奇偶。 6．（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；（2）n S 最值的求法：① 若已知n S ，可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??≤?或1 00n n a a +≤??≥?。 专题三 数 列 第1讲 等差数列与等比数列 等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式 等差数列：a n ＝a 1＋(n －1)d ； 等比数列：a n ＝a 1·q n － 1. 求和公式 等差数列：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1） 2d ； 等比数列：S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1)． 性质 1．(2018·贵阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11 S 5＝( ) A.11 5 B.522 C.1110 D.225 解析：选D.S 11S 5＝11 2（a 1＋a 11） 52（a 1＋a 5 ）＝11a 65a 3＝22 5 .故选D. 2．(2018·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－3 2a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3) ＝－10.故选B. 3．(2018·郑州模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为 ( ) A ．－3 B ．1 C ．－3或1 D ．1或3 解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1，由S n ＋2 ＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n ，3a 1n ＝2a 1－3恒成立，则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1， 所以S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，S n ＋2＝a 1（1－q n ＋ 2）1－q ， 代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成 立，则有?????4－q 2 ＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得?????a 1＝1，q ＝2或? ????a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3，故选C. 4．(2018·南宁模拟)在等比数列{a n }中，a 2a 6＝16，a 4＋a 8＝8，则a 20 a 10 ＝________． 解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2a 6＝16得a 21q 6＝16，所以a 1q 3 ＝± 4.由a 4＋a 8＝8，得a 1q 3(1＋q 4)＝8，即1＋q 4＝±2，所以q 2＝1.于是a 20 a 10 ＝q 10＝1. 法二：由等比数列的性质，得a 24＝a 2a 6＝16，所以a 4＝±4，又a 4＋a 8＝8， 等差数列的概念教案 【教学目标】 知识与技能：1、理解等差数列的定义，能根据定义判断一个数列是否为等差数列； 2、了解公差的概念，会求一个给定等差数列的首项与公差； 3、理解等差中项的 概念，会利用等差中项解决相应的简单的等差数列问题。 过程与方法：1、通过对情景问题的分析理解和归纳概括，了解等差数列的简单产生过程； 2、通过解决基本等差数列问题的过程，加深对等差数列概念、公差、等差中项的理解； 情感态度与价值观：1、通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察能力、分析探索能力激发学生积极思考，追求新知的创新意识； 2、通过解决等差数列概念的基本问题，培养学生分析问题解决问题的能力，提高学生的运算能力。 【教学重点】1、理解等差数列的定义，理解等差中项的概念；2、了解公差的概念，根据给定的等差数列求公差。 【教学难点】探索等差数列定义的形成过程。 【教学方法】情境教学法、自主探究法、讲练结合法 【教学用具】黑板电子白板 【教学课型】新授课 【教学设想】本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生分析出等差数列的特点，从而引出等差数列的定义，进一步引导学生通过定义来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，真正体现课堂教学中学生的主体作用。 【教学准备】1、教师认真备课、制作课件、布置预习内容； 2、学生认真阅读课本内容，标出关键词以及不理解的地方，完成预习内容，做好上课准备。【教学过程】 教学环节学习内容 学生 活动 教师 活动 设计意 图 课前预 习 阅读书本P7-9内容，在等差数列定义中的关 键词下面用彩笔画线 自主 完成 抽查 反馈 了解预 习效果 活动一 创设 情境 、 导入 新课 （5分钟） 在 现实生活中，我们会遇到下面的特殊数列。 情境1:我们经常这样数数，从0开始，每隔5 数一 次，可以得到数列：0,5,,,,，…。 情境2: 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会 上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置 了7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列 （单位：kg）: 48，53, 63。 情境3:水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的 生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂 鱼。如果一个水库的水位为18m，自然放水每天水 位降低2.5m，最低降至5.5m。那么从开始放水算 起，至V可以进行清理工作的那天，水库每天的水 位组成数列（单位：m）： 18，15.5，，，，5.5。 独立 思考 并完 成这 三个 数列 引导 学生 分析 比较 每个 数列 的特 占 通过 具体 问题 引出 等比 数列 的定 义 活动二 数学建构、引入概念（5分钟）观察：上面三个数列有什么共同特点？ 思考：1、等差数列的定义是怎样的？ 2、定义中有哪些关键词？ 3、公差用什么子母表示？ 4、等差数列的定乂如何用符号语言表示？ 结合 课本 定义 独立 思考 后回 答 板书 定义 及注 意点 用彩 色粉 笔画 出关 键词 引导 学生 理解 概念， 让学 生经 历观 察、猜 测、抽 象、概 括、的 思维 过程 活动三 例题精讲 、 探究 知新（10分钟） 例1:下列数列是否为等差数列？若是，写出其首项 及公差。 (1)2, 5, 8, 11，14; (2)1, 1, 1, 1, 1; (3)1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0,……； (4)-3, -2, -1, 1, 2, 3。 例2:求下列等差数列中的未知项。 (1)3, a , 5; (2)3, b , c, -9; 独立 思考 后完 成 巡视 并记 录存 在的 问题 个别 指导 集体 反馈 通过 具体 的例 子， 加深 学生 对等 差数 列概 念的 认识 等差数列的概念教学设计 一、情景导学 多媒体展示：生活中涉及到的实例。 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 师生互动：通过多媒体举例让学生分析研究，并给出回答，教师归纳总结。 设计意图：创设问题情境，激发学生学习兴趣，导入新课。 二、教学重点与难点 重点：理解等差数列的概念. 难点：掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用. 三、探究学习 探究点1：等差数列的定义 请看下面的一些数列： 鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22,22.5,23,23.5,24,24.5,…；① 某月星期日的日期为 2,9,16,23,30；② 一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度（单位：cm)为 89,83,77,71,65,59,53,47. ③ 思考：上面几个数列有什么共同的特点？ 师生互动： 小组合作探究，共同得出结论： 对于数列①，从第2项起每一项与前一项的差都等于0.5； 对于数列②，从第2项起每一项与前一项的差都等于7； 对于数列③，从第2项起每一项与前一项的差都等于-6. 这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数. 设计意图：激发学生的探究欲望，使学生主动学习。 定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示. 你能用递推公式描述等差数列的定义吗？ 思考1：当公差d=0时，{an}是什么数列？ 提示：仍是等差数列. 思考2：将有穷等差数列{an}的所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？如果不是，请说明理由. 提示：是等差数列,公差与原数列的公差互为相反数. 思考3：如果说“一个数列从第2项起,相邻两项的差是同一个常数”,那么这个数列是等差数列吗? 提示：这个数列不一定是等差数列,等差数列中的“差”是有顺序的,必须是“从第2项起,每一项与前一项的差”.而“相邻两项的差”,这里的“相邻”可能是后一项减去前一项,也可能是前一项减去后一项,如数列2,1,2,3,4,5相邻两项的差是同一个常数1,但此数列不是等差数列. 师生互动：通过三个问题，让学生去思考，加深对定义的理解和掌握。 设计意图：引导学生主动参与、自主进行问题的分析探究。 例1.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n-5,这个数列是等差数列吗? 解:因为当n≥2时, a n -a n-1 =3n-5-[3(n-1)-5]=3, 所以数列{a n }是等差数列,且公差为3. 师生互动：引导学生，思考让写出完整的步骤。 设计意图：让学生掌握知识，规范步骤。 【变式练习1】 判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a 1 和公差d, 如果不是，说明理由。 （1）1，3，5，7，… 一、等差数列选择题 1．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足() 12n n n S +=，则数列11n n a a +?????? 的前10项的和为（ ） A ． 89 B ． 910 C ．10 11 D ． 1112 2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161 B ．155 C ．141 D ．139 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 5．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（ ） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足 122527 n n a a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ） A ．6- B ．2- C ．1- D ．0 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且62 10S S ，则34a a +=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 8．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则1223 910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 9 19 9．题目文件丢失！ 10．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划. §等差数列（第二课时） 教学目标： 1、进一步了解等差数列的项数与序号之间的规律； 2、理解等差数列的性质； 3、掌握等差数列的性质及其应用。 教学难点：等差数列的灵活应用 预习案 自主学习：等差数列的常用性质： 1.若数列{a n }是公差为d 的等差数列： (1)d>0时，{a n }是 ；d<0时，{a n }是 ；d=0时，{a n } （2）等差数列的通项公式：n a = 通项公式的推广：n m a a =+ ()* ,N n m ∈ 结论：若数列{n a }的通项公式为q pn a n +=的形式，p,q 为公差的等差数列。 （3）多项关系：若q p n m +=+，()*,,,N q p n m ∈则m n a a += 2、等差数列的性质： （1）若数列{n a }是公差为d 的等差数列，则下列数列： ①{c+a n }(c 为任一常数)是公差为______的等差数列； ②{c a n }(c 为任一常数) 是公差为______的等差数列； (2) 若数列{n a }、{}分别是公差为d 1和d 2的等差数列，则数列{n n pa qb + } (pq 是常数)是公差为________的等差数列。 （3）若{a n }为等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是 ，公差为 ; a m ，a m+k ，a m+2k ，a m+3k ，…，成 ，公差为 ; 合作探究： 问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 的数列的图象，这个图象有什么特点 （2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么据此说说等差数列q pn a n +=的图象与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系 第 1 页 共 13 页 2022年高考数学总复习：等差数列及其前n 项和 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项 由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2 d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋????a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值 在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 知识拓展 等差数列的四种判断方法 (1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)?{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)?{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)?{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)?{a n }是等差数列． 等差数列的性质 民和高级中学 刘永宏 【教学目标】 知识目标： （1）理解和掌握等差数列性质，能选择更方便，快捷的解题方法。 （2）会用等差数列性质的解决一些相关问题。 能力目标： 学生在教师指导下，提高观察，发现规律的能力、提高学生分析探索能力。 情感目标: （1）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。 （2）体验从特殊到一般认知规律。 【 教学重点和难点】 教学重点：等差数列的性质。 教学难点：能在实际应用中找出题目所用的性质。 【教学方法和学法指导】 教学方法：本节课采用“问题——探究”教学模式。 学法指导：以学生活动为主，引导学生在合作交流的基础上，充分调动学生学习的积极性和主动性。结合本课的实际需要，作如下指导：利用有个别到一般，进行归纳，猜想、在证明的思路学习本节知识，有助于加强对本节知识的理解和掌握。 【学案设计】 一、学前探究 1、在 数列{}n a 中，若1n n a a d +-=则数列为______ 3、在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，_____当m=n ，则____ 4、已知{n a } 、{n b }均为等差数列，p,q 为常数，则数列{n n pa qb +}，则数列为____ 二、学后测评 1、在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为______ 2、等差数列{}n a 中， 3737a a +=，则2468a a a a +++=______ 3、已知{}n a 为等差数列，5109,29a a ==求公差及通项 4、 2、在等差数列{}n a 中， ()n m a a n m d =+-，所以d=_____ {}.____),2(511,311=≥=-=-n n n n a n a a a a 则中，已知数列 2、2．1等差数列（一） 【学习要求】 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式； 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 【知识方法提炼】 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母d 表示。 2.等差数列通项公式：1n a a =+ * ();d n N ∈ 3. 等差中项：由三个数,,a A b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A 叫做a 与b 的等差中项，A = 。 4.判断一个数列为等差数列的方法： （1）定义法：{}*1().)n n n a a d a +-=∈?常数（n N 为等差数列。 （2）等差中项法：{}122(*)n n n n a a a n N a ++=+∈?为等差数列。 （3）通项法：n a 为n 的一次函数{}n a ?为等差数列。 【随堂检测】 A 组 1、数列3，7，13，21，31，…的通项公式是 （ ） A 、41n a n =- B 、322n a n n n =-++ C 、21n a n n =++ D 、不存在 A 、0 B 、37 C 、100 D 、－37 2、等差数列8，5，2，…的第20项为___________。 3、在等差数列中已知1612,27,a a d ===则___________。 4、在等差数列中已知13 d =-，718,a a ==则____________。 5、如果等差数列{a n }的第5项为5，第10项为－5，那么此数列的第一个负数项是第___项. 6、已知等差数列的第10项为23，第25项为－22，则此数列的通项公式为__________. 7、若数列{a n },已知a 1=2,a n+1=a n +2(n ≥1),求数列{a n }的通项公式__________. B 组 1、等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a = 23n -. 一、等差数列选择题 1．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ． 1 2 尺布 B ． 5 18 尺布 C ． 16 31 尺布 D ． 16 29 尺布 2．定义 12n n p p p ++ +为n 个正数12,, ,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前 n 项的“均倒数”为 12n ，又2n n a b =，则 1223910 111 b b b b b b +++ =（ ） A ． 8 17 B ． 1021 C ． 1123 D ． 919 3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n - B ．n C ．21n - D ．2n 4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列 5．等差数列{}n a 中，12318192024,78a a a a a a ++=-++=，则此数列的前20项和等于（ ） A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 6．已知数列{}n a 的前n 项和2 21n S n n =+-，则13525a a a a +++ +=（ ） A ．350 B ．351 C ．674 D ．675 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 8．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n n S a b n =---?+，*n N ∈，则 存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ） A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 C ．· n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．· n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 9．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15， 等差数列的概念及通项公式 【学习目标】 1. 准确理解等差数列、等差中项的概念，掌握等差数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解 决等差数列的相关问题 2. 通项对等差数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生 对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力 3?激情参与、惜时高效，禾U 用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值 【重点】：等差数列的概念及等差数列通项公式的推导和应用 【难点】：对等差数列中“等差”特征的理解、把握和应用 【学法指导】 1.阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等差数列通项公式的求法 ； 2.完成教材助读设置的问题，然后结 合课本的基础知识和例题，完成预习自测； 3.将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑” 一、知识温故 1?数列有几种表示方法？ 2?数列的项与项数有什么关系？ 3函数与数列之间有什么关系？ 教材助读 1?一般地，如果一个数列从第 ________ 项起，每一项与它的前一项的差等于 ____________ 常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ___________ ，公差通常用字母 ___________________________ 表示。 2.由三个数a 、A 、b 组成的 ___________ 数列可以看成最简单的等差数列。这时 A 叫做a 与b 的等差数列即 3. 如果数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，则a 2 a 1 a 5 a 1 4.通项公式为a n =an+b （a,b 为常数）的数列都是等差数列吗？反之，成立吗? ,a 3 a 1 a 4 a 1 1. 等差数列a 2d , a ,a 2d ?' A . a n a (n 1)d B. C . a n a 2(n 2)d D. 2.已知数列｛, a n } 的通项公式为 a n A . 2 B. 3 C. 2 3. 已知a 1 b - 1 ?的通项公式是（ a (n 3)d a 2nd 2n ，则它的公差为（ D. 3 ，则a 与b 的等差中项为 【预习自测】 a n a n 2．2 等差数列 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 （三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： （放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举重项目共设置了7个级别。其中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金×（1+利率×寸期）.例如，按活期 学案七 等差数列的性质 一、教学目标： 知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。 过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。 二、教学重点、难点： 重点：等差数列的性质及推导。 难点：等差数列的性质及应用。 三、新课探究与讲解： 1、复习： ①若数列{}n a 为等差数列，且公差为d ，则通项公式为： ②a ，A ，b 组成了一个等差数列，那么A = 2、等差数列的常见性质探究： （1）、若数列 {}n a 为等差数列，且公差为d ，则此数列具有以下性质： ①()d m n a a m n -+=； ② m n a a n a a d m n n --=--=11； ③若q p n m +=+（*,,,N q p n m ∈），则q p n m a a a a +=+； ④m n m n n a a a +-+=2。 （2）、等差数列的其它性质探究： ①{}n a 为有穷等差数列，按序等距离之和构成等差数列； 即{}n 12n n a a a ++++构成等差数列。 ②下标成等差数列且公差为m 的项() *2,,,,N m k a a a m k m k k ∈++ 组成公差为md 的等差数列。 ③若数列 {}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}{}b ka b a n n n +±,（b k ,为非零常数）也为等差数 列。 ④m 个等差数列，它们的各对应项之和构成一个新的等差数列，且公差为原来m 个等差数列的公差之和。 §2.2第1 课时 等差数列的概念 教学目标 （1）能准确叙述等差数列的定义； （2）能用定义判断数列是否为等差数列； （3）会求等差数列的公差及通项公式。 教学重点，难点 等差数列的定义及等差数列的通项公式。 教学过程 一．问题情境 1．情境：观察下列数列：： 4，5，6，7，8，9，10，……； ① 3，0，3-，6-，……， ② 第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 ③ 某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为： 0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,++?+? ④ 如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ， …… 12个月，所得的本利和依次为 100001000016.5,1000016.52,1000016.512++?+? ， ⑤ 2．问题：上面这些数列有何共同特征？ 二．学生活动 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3-； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于4； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于0.1； 对于数列⑤，从第2项起，每一项与前一项的差都等于16.5； 规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。 三．建构数学 1．等差数列定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥． 思考： 等差数列导学案及练习题 [学习目标] 1．理解等差数列的意义． 2．会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单问题． 3．掌握等差中项的概念，深化认识并能运用． [自主学习] 探究一等差数列的概念 问题1 我们先看下面几组数列：(1)3, 4, 5, 6, 7，…； (2)6, 3, 0，－3，－6，…； (3)1.1,2.2,3.3,4.4,5.5，…； (4)－1，－1，－1，－1，－1，…. 观察上述数列，我们发现这几组数列的共同特点是 . 问题2 判断下列数列是否为等差数列，如果是，指出首项a1和公差d；如果不是，请说明理由： (1)4, 7, 10, 13, 16，…； (2)31, 25, 19, 13, 7，…； (3)0, 0, 0, 0, 0，…； (4)a，a－b，a－2b，…； (5)1,2,5,8,11，…. 总结如下： 从第项起，每一项与的是（又称），我们称这样 的数列为等差数列. ⑴当公差时，是什么数列？ (2)如何判断一个数列是否为等差数列？ ⑶将有穷等差数列所有项倒序排列，所成数列仍是等差数列吗？如果是，公差是什么？ 探究点二等差数列的通项公式 问题如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，你能用两种方法求其通项吗？ 等差数列的通项公式为 探究点三等差中项 如果三个数x，A，y组成等差数列，那么叫做和的，试用x，y表示A. 探究若数列{an}满足：an＋1＝，求证：{an}是等差数列． 例1已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式． (1)a3＝5，a7＝13； (2)前三项为：a,2a－1,3－a. 跟踪训练1 若{an}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. 例2已知1a，1b，1成等差数列，求证：b＋a，a＋b，a＋b也成等差数列． 跟踪训练2 已知a，b，成等差数列，那么a2(b＋)，b2(＋ 一、等差数列选择题 1．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60 B ．11 C ．50 D ．55 2．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（ ） A ．200 B ．100 C ．90 D ．80 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10- B ．8 C ．12 D ．14 4．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若454a a +=，则8S =（ ） A ．16 B ．-16 C ．4 D ．-4 5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45 B ．50 C ．60 D ．80 6．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231 n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ） A ． 13 15 B ． 2335 C ． 1117 D ． 49 7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921 a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21 B ．20 C ．19 D ．19或20 8．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．64 9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2 6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且 77b a =，则3810b b b =（ ) A ．1 B ．8 C ．4 D ．2 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11 2 a = ，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ?? ???? 的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．21 4 a =- B ． 648 211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为 712 D ．1121 n n n n n T T T n n +-= ++ 11．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之 《等差数列》教学设计 一．教材分析 本节内容是《普通高中课程标准实验教科书》（人民教育出版社A版教材）高中数学必修五第二章第二节——等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。 本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 二．教学目标 知识目标： （1）理解并掌握等差数列的概念； （2）能用定义判断一个数列是否为等差数列； （3）了解等差数列的通项公式，等差中项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，会应用等差中项公式，并能在解题中灵活应用它们；（4）初步引入"数学建模"的思想方法并能运用。 能力目标： （1）培养学生观察、分析、归纳、推理的能力； （2）在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力； （3）通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 情感目标： （1）通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；（2）通过对等差数列的研究，使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 三、教学重点、难点 重点：①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式，等差中项公式的推导过程及应用。 难点： ①理解等差数列"等差"的特点及通项公式的含义。 ②如何推导出等差数列的通项公式。 四．教学策略和手段 数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。 教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。多媒体的运用使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注 总 课 题 等差数列 总课时 第 9 课时 分 课 题 等差数列的概念 分课时 第 1 课时 教学目标 体会等差数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型，理解等差数列的概 念；会求等差数列中的未知项． 重点难点 理解等差数列的概念． 1．回顾本章第1.2节开始我们遇到的数列①，②，再考察下面的问题： 第23届到第29届奥运会举行的年份依次为 ,2008200420001996199219881984，，，，，， 某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费2.0元，以后每分钟收话费1.0元，那么通话费按从小到大的次序依次为 ，，，，30.10.220.10.20.10.20.2?+?++ 如果1年期储蓄的月利率为‰65.1，那么将10000元分别存1个月，2个月， 3个月，……，12个月，所得的本利和依次为 125.161000025.16100005.1610000?+?++，，， ． 上面这些数列有什么共同的特点？ 2．等差数列的概念： 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示。 例题剖析 例1 判断下列数列是否为等差数列： （1）1，1，1，1，1； （2）4，7，10，13，16； （3）3-，2-，1-，1，2，3． 例2 求出下列等差数列中的未知项： （1）3，a ，5； （2）3，b ，c ，9-． （1）在等差数列{}n a 中，是否有)2(2 11≥+=+-n a a a n n n ？ 例3 （2）在数列{}n a 中，如果对于任意的正整数)2(≥n n ，都有211+-+= n n n a a a ， 那么数列{}n a 一定是等差数列吗？ 巩固练习 1．判断下列数列是否为等差数列： （1）1-，1-，1-，1-，1-； （2）1， 21，31，41； （3）1，0，1，0，1，0； （4）2，4，6，8，10，12； （5）7，12，17，22，27． 2．目前男子举重比赛共有10个级别，除108公斤以上级别外，其余的9个级别从轻到重依次为（单位：kg ）：54，59，64，70，76，83，91，99，108，这个数列是等差数列吗？ 课堂小结 运用等差数列的概念，解决一些简单的问题． 等差数列的性质 民和高级中学 刘永宏 【教学目标】 知识目标： （1） 理解和掌握等差数列性质，能选择更方便，快捷的解题方法。 （2） 会用等差数列性质的解决一些相关问题。 能力目标： 学生在教师指导下，提高观察，发现规律的能力、提高学生分析探索能力。 情感目标： （1） 通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与 他人合作交流的意识。 （2） 体验从特殊到一般认知规律。 【教学重点和难点】 教学重点：等差数列的性质。 教学难点：能在实际应用中找出题目所用的性质。 【教学方法和学法指导】 教学方法：本节课采用“问题一一探究”教学模式。 学法指导：以学生活动为主，引导学生在合作交流的基础上，充分调动学生学习的 积极性和主动性。结合本课的实际需要，作如下指导：利用有个别到一般，进行归 纳，猜想、在证明的思路学习本节知识，有助于加强对本节知识的理解和掌握。 【学案设计】 一、学前探究 1、 在数列a n 中，若a n i a n d 则数列为 ___________________ 2、 在等差数列a n 中，a n a m （n m ）d ，所以d= _______________ 3、 在等差数列 a n 中，若m+n=p+q 贝U ， _____ 当 m=n 则 _____ 4、已知｛a .｝、｛6｝均为等差数列，p,q 为常数，则数列｛ pa . qg ｝，则数列为 、学后测评 1、在等差数列a n 中，a i a 9 10，则的值为 ______________________ 3、已知a n 为等差数列，a 5 9,Q O 29求公差及通项 2、等差数列 ｛a n ｝ 中，a3 a 7 37 ，则 a a 4 a 6 a 8 4 已知数列a n 中，a 1 【教学过程】 3, a n0， 又S 6=S 7，∴a 1+a 2+…+a 6=a 1+a 2+…+a 6+a 7，∴a 7=0，等差数列与等比数列学案
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