数学（理科）试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．）
1.已知集合{}x
x
x
M≥
=2，{}R
x
y
y
N x∈
+
=
=,1
3，则=
?N
M（）
A. {}1>x x
B.{}1≥x x
C. {}1
0>
≤x
x
x或D.{}1
0≤
≤x
x
2．已知复数z满足i
z
i3
2
)
3
1(-
=
+（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3. 已知数列{}n a满足15
1
=
a，
3
43
2
=
a，且
2
1
2
+
+
+
=
n
n
n
a
a
a．若0
1
<
?
+
k
k
a
a，则正整数=
k（）
A.21
B.22
C.23
D.24
4. 设点P是双曲线1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
)0
,0
(>
>b
a上的一点，
2
1
,F
F分别是双曲线的左、右焦
点，已知0
2
1
90
=
∠PF
F,且
2
1
2PF
PF=，则双曲线的离心率为（）
A.2
B.3
C.2
D.5
5．一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz
O-中的坐标分别是)1,0,1(,
)0,1,1(,)1,1,0(，)0,0,0(，则该四面体的正视图的面积不可能为（）
A．
2
3
B．3C．
4
15
D．
8
7
6.公元263年前后，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的
边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了
割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的
近似值3.14，这就是著名的徽率．上图是某学生根据刘徽的割圆术
开始
结束
输出
是
否
设计的程序框图，则输出的n 值为
（参考数据：732.13=，1305.05.7sin ,2588.015sin ==
） A. 48
B. 36
C.24
D.12
7．设A 是由x 轴，直线a x =)10(≤ x y =围成的曲边三角形区域，集合 {}10,10),(≤≤≤≤=Ωy x y x ，若向区域Ω上随机投一点P ，点P 落在区域A 内的概率 为 64 1 ，则实数a 的值是( ) A. 161 B. 81 C. 41 D. 2 1 重合，则ω的值可能是（ ） A. 23 B.21 C. 31 D. 3 2 9. 设点),(y x P 在不等式组?? ???≤-+≤-≥03020y x y x x 表示的平面区域上，则122 2+-+=x y x z 的 最小值为（ ） 10．对于平面向量 ,，给出下列四个命题： 命题1p ：若0>?b a ，则a 与b 的夹角为锐角； 命题2p ：= ”是“a ∥b ”的充要条件； 命题3p ：当,为非零向量时，“= + =+”的必要不充分条件； 命题4p =+，则+≥. 其中的真命题是 （ ） A ．31,p p B. 42,p p C. 21,p p D. 43,p p 11．已知函数2 y x =的图象在点( )2 00 ,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的 图象相切，则0x 必满足（ ） A ．0102x << B ．01 2 x <<1 C ．2220< 12.已知抛物线px y 22 =)0(>p 的焦点为F ，点B A ,在此抛物线上，且090=∠AFB ，弦AB 的中点M 在其准线上的射影为M ',则 AB M M '的最大值为（ ） .A 2 2 .B 23 .C 1 .D 3 第Ⅱ卷（非选择题 满分90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．） 13．已知函数?? ?+=-, 3),1()(x x f x f 22 >≤x x ，则=)2(log 3f ______. 14.5)12)((x x x a x -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为______. 15．已知在直角梯形ABCD 中，AD CD AD AB ⊥⊥,,222===CD AD AB ,将直角梯形ABCD 沿AC 折叠成三棱锥ABC D -，当三棱锥ABC D -的体积取最大值时，其外接球的体积为__________． 16．用n a 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有9,3,1，则99=a ； 10的因数有10,5,2,1，则510=a ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则=-1 2 2016 S ______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分） 如图，正三角形ABC 的边长为2，F E D ,,分别在三边 CA BC AB ,,上，且D 为AB 的中点．090=∠EDF ， θ=∠BDE )900(00<<θ． A B C D M P （Ⅰ）当2 3 tan = ∠DEF 时，求角θ的大小； （Ⅱ）求DEF ?的面积S 的最小值以及使得S 取最小值时θ的值． 18．（本小题满分12分） 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100位顾客的相关数据，如下表所示： 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数（人） x 30 25 y 10 结算时间（分钟/人） 1 5.1 2 5.2 3 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55％． （Ⅰ）确定y x ,的值，并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望； （Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过5.2分钟的概率．（注：将频率视为概率） 19. （本小题满分12分） 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是60ADC ∠= 的菱形，侧面PDC 是边长为2的正三角形，且与底面垂直, M 为PB 的中点． （Ⅰ）求证：PA ⊥平面CDM ； （Ⅱ）求二面角D MC B --的余弦值． 20．（本小题满分12分） 已知椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a 过点)23,1(Q ，且离心率21=e ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）椭圆C 长轴两端点分别为B A ,，点P 为椭圆上异于B A ,的动点，直线l ：4=x 与直线PB PA ,分别交于N M ,两点，又点)0,7(E ，过N M E ,,三点的圆是否过x 轴上不同于 点E 的定点？若经过，求出定点坐标；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分12分） 设函数x e x f --=1)(. （Ⅰ）证明：当1->x 时，)(x f ≥1 +x x ； （Ⅱ）设当x ≥0时，)(x f ≤ 1 +ax x 成立，求实数a 的取值范围. 2016届高三 数学（理科）参考答案 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C D B A D A D B D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．181 ； 14． 40 ； 15． 3 4π ； 16． 3142016-． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解 答须写在答题卡上的指定区域内．） 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）在BDE ?中，由正弦定理得 ) 60sin(23 )120sin(60sin 0 00θθ+=-=BD DE ， 在ADF ?中，由正弦定理得 ) 30sin(23 )30sin(60sin 000θθ+= +=AD DF ． 由23tan ==∠DE DF DEF 得23 ) 30sin()60sin(0 0=++θθ， 整理得3tan =θ，所以060=θ． …… 6分 （Ⅱ）= ?= DF DE S 2 1 )30sin()60sin(8300θθ++ ) sin 3)(cos sin cos 3(23 θθθθ++= 3 22sin 43+= θ． ∴当045=θ时，S 取得最小值为 2 3 363 243-= +． …… 12分 ．（本小题满分12分） A B C D M P （Ⅰ）由已知得 551025=++y ，4530=+x ，所以20,15==y x ． 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得 203)1(= =X P , 10 3)5.1(==X P , 41)2(==X P , 51)5.2(==X P , 101 )3(= =X P ， 所以X 的分布列为 X 1 5.1 2 5.2 3 P 320 310 4 1 15 110 X 的数学期望为 33111 ()1 1.52 2.53 1.920104510 E X =? +?+?+?+?=． …… 6分 （Ⅱ）记A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过5.2分钟”， (1,2)i X i =为该顾客前面第i 位顾客的结算时间，则 )15.1()5.11()11()(212121==+==+===X X P X X P X X P A P 且且且 80 9 203103103203203203= ?+?+?= ． 故该顾客结算前的等候时间不超过5.2分钟的概率为9 80 ．………12分 19．（本小题满分12分） （Ⅰ）法一：作PO CD ⊥于O ,连接OA 由侧面PDC 与底面ABCD 垂直，则PO ⊥面ABCD 所以PO CD ⊥，又由060ADC ∠=,1,2DO AD ==, 则0 90DOA ∠=,即OA CD ⊥ 所以⊥CD 平面POA ,所以 PA CD ⊥ 取PA 的中点N ,连接MN ON ,由M 为PB 的中点， 则四边形MNOC 为平行四边形， 所以CM ∥ON ,又在POA ?中,3= =OA OP , N 为PA 中点，所以PA ON ⊥, 所以CM PA ⊥,有由CM DC C ?= 所以PA ⊥面CDM …………6分 法二：作PO CD ⊥于O ,连接OA 由侧面PDC 与底面ABCD 垂直，则PO ⊥面ABCD 所以PO OA ⊥且PO OC ⊥, 又由060ADC ∠=,1,2DO AD ==, 则090DOA ∠=,即OA CD ⊥ 分别以OP OC OA ,,所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 由已知(0,-1,0),(0,1,0)P A B D C M ， 3(3,0,-3),(0,2,0),( ,0,PA DC CM === 所以0,0PA CM PA DC ?=?=， 所以,PA CM PA DC ⊥⊥ 又由CM DC C ?=，所以PA ⊥面CDM ………………6分 （Ⅱ）设面MCB 的法向量为)1,,(1y x n = 由33 ( ,0,),CB (3,1,0)CM == ???-=-=??? ? ??=+=+310 30232 3y x y x x ， )1,3,1(1--=∴n 由（Ⅰ）知PA ⊥面CDM ，取面CDM 的法向量为 2(3,0,-n = 所以5 10- =， 设二面角D MC B --大小为θ， 由θ为钝角得cos 5 θ=- ……………………12分 20．（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由???? ????? +==+==2222 21491 21c b a b a a c e ，解得3,2==b a ， 故椭圆C 的方程为13 42 2=+y x ． ……………………5分 （Ⅱ）设点),(00y x P ，直线PB PA ,的斜率分别为21,k k ，则4 3 21-=?k k ． 又PA ：)2(1+=x k y ，令4=x 得)6,4(1k M ， PB ：)2(2-=x k y ，令4=x 得)2,4(2k N ， 则1)3 2()36(21-=-?- =?k k k k EN EM ，过N M E ,,三点的圆的直径为MN , 设圆过定点)0,(m R ，则 1464621-=-?-= ?m k m k k k RN RM ，解得1=m 或7=m （舍）． 故过N M E ,,三点的圆是以MN 为直径的圆过x 轴上不同于点E 的定点)0,1(R ． ……………………12分 21. （本小题满分12分） 22. （本小题满分10分） （Ⅰ）不等式3)(≤x f 可化为 ?????≤--+--<3)23()21(21x x x 或?????≤--+<≤-3)23()21(2321x x x 或?? ???≤-++≥3 )23 ()21(23x x x ， 解得211-<≤-x 或2321<≤-x 或22 3 ≤≤x ， 故不等式的解集为{} 21≤≤-x x ． （Ⅱ）2)23()21()(=--+ ≥x x x f （当21-≤x 或2 3 ≥x 时取等号）， 不等式a x f -< 121)(的解集为空集等价于212 1 ≤-a ，解得53≤≤-a ． 故实数a 的取值范围是[]5,3-． 高三数学第一次月考试题（文科） 一、选择题（四个选项中只选一项，每小题5分，共60分） 1. 设集合V={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，5}，则A ?（CuB ）= （ ） A. {2} B. {2，3} C. {3} D.{1，3} 2. 已知P 是r 的充分不必要条件，S 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的 （ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 与曲线11 -=x y 关于位点对称的曲线为 （ ） A.x y +=11 B. x y +-=11 C. x y -=11 D. x y --=11 4. 若x x x f 1 )(-=则方程x x f =)4(的根是 （ ） A. 21 B. 2 1- C. 2 D. 2- 5. 等差数列{n a }中,24321-=++a a a ,78201918=++a a a ，则此数列前20项和等于 （ ） A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 6. 若不等式2+ax ＜6的解集为(－1，2)，则实数a 等于 （ ） A. 8 B. 2 C. －4 D.－8 7. 函数y=sin ))(6 ( )3 (R X x COS x ∈++-π π 的最小值等于 （ ） A. 5- B. 3- C. 2- D. 1- 8. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 5本不同的书，全部分给4名学生，每名学生至少1本不同分法的种数为 （ ） A. 480 B. 240 C. 120 D. 96 10. 椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P 则||2PF = （ ） A. 2 3 B.3 C. 2 7 D.4 11. 已知点A(1，2)、B （3，1）则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ） A. 524=+y x B. 524=-y x C. 52=+y x D. 52=-y x 12. 四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ，则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是 （ ） A. 27 1 B. 16 1 C. 9 1 D. 8 1 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. )1()2(210-+x x 的展开式中x 的系数为__________。（用数字作答） 14. 设x 、y 满足约束条件，?????≥≤≤+o y x y y x 1则y x z +=2的最大值是__________。 15. 某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样 银川一中2020届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确 的是（ ） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是高三数学第一次月考试题(文科)
宁夏银川一中高三第四次月考数学理试题含答案
高三数学第一次月考数学(理)试题