11（2），12,14,18 习题 2-1 判断下列说法是否正确： （1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； T （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；T （3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之， 当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；F （4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优 解； （5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全 部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。 （7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； （8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行()?????≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪一顶点。 ()??? ??≥≤+≤++=0,8259 43.510max 12 1212121x x x x x x st x x z ()??? ??≥≤+≤++=0,242615 53.2max 22 121212 1x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题： 5 43212520202410max x x x x x z ++++=
建筑材料的基本性质练习题 姓名成绩 一、名词解释（每小题4分，共12分） 1．材料的孔隙率： 2．堆积密度： 3．材料的比强度： 二、填空题（每空1分，共16分） 1．材料的吸湿性是指材料在（）的性质。材料的吸湿性大小用（）表示，吸水性大小用（）表示， 2．材料的抗冻性以材料在吸水饱和状态下所能抵抗的（）来表示。 3．水可以在材料表面展开，即材料表面可以被水浸润，这种性质称为（）。 4．材料地表观密度是指材料在（）状态下单位体积的质量。 5．材料的密度是指材料在（）状态下单位体积的质量； 6. 材料的耐水性是指材料在长期（）作用下，（）不显著降低的性 质，材料的耐水性可以用（）系数表示，其值=（）。 7．同种材料的孔隙率越小，其强度越高。孔隙率越大，材料的导热系数越（），其材料的绝热性越（） 8．抗渗性是指材料抵抗（）渗透性质，材料的抗渗性的好坏主要与材料（）和（）有关 三、单项选择题（每小题1分，共10分） 1．孔隙率增大，材料的________降低。 A、密度 B、表观密度 C、憎水性 D、抗冻性 2．材料在水中吸收水分的性质称为________。 A、吸水性 B、吸湿性 C、耐水性 D、渗透性 3．含水率为10%的湿砂220g，其中水的质量为________。 A、19.8g B、22g C、20g D、20.2g 4．材料的孔隙率增大时，其性质保持不变的是________。 A、表观密度 B、堆积密度 C、密度 D、强度 5．当材料的润湿边角θ为________时，称为憎水性材料。 A、>90° B、≤90° C、0° 6当材料的软化系数为________时，可以认为是耐水材料。 A、>0.85 B、<0.85 C、=0.75 7．颗粒材料的密度为ρ，表观密度为ρ0，堆积密度为ρ0′，则存在下列关系________。 A、ρ>ρ0′>ρ0 B、ρ0>ρ>ρ0′ C、ρ>ρ0>ρ0′ 8．含水率表示________ A 耐水性B吸水性 C 吸湿性D抗渗性 9．下列材料不是亲水性材料的是________ A 陶器B石材 C 木材D沥青 10 当孔隙率一定时，下列构造________吸水率大。 A 封闭大孔B封闭小孔C开口贯通大孔D开口贯通微孔 四、多项选择题（每小题4分，共8分） 1．下列性质属于力学性质的有________。 A、强度 B、硬度 C、弹性 D、脆性 2．下列材料中，属于复合材料的是________。 A、钢筋混凝土 B、沥青混凝土 C、建筑石油沥青 D、建筑塑料 五、是非判断题（每小题1分，共8分） 1.软化系数越大的材料，其耐水性能越差。( )
利用修正单纯形法解线性规划问题一软件示意：
二代码说明： Dim A(1 To 3, 1 To 6) As Double '矩阵A Dim a1(1 To 3) As Double '矩阵A的第一列向量 Dim a2(1 To 3) As Double '矩阵A的第二列向量 Dim a3(1 To 3) As Double '矩阵A的第三列向量 Dim a4(1 To 3) As Double '矩阵A的第四列向量 Dim a5(1 To 3) As Double '矩阵A的第五列向量 Dim a6(1 To 3) As Double '矩阵A的第六列向量 Dim B_(1 To 3, 1 To 3) As Double '基矩阵B的逆矩阵 Dim XB(1 To 3) As Double '基本可行解 Dim b(1 To 3) As Double '右端向量b Dim C(1 To 6) As Double '检验数 Dim CB(1 To 3) As Double '基本可行解对应的检验数 Dim π(1 To 3) As Double '单纯形乘子矢量 Dim r(1 To 6) As Double '检验矢量r Dim r_min As Double '检验矢量最小值 Dim k_sign As Integer '检验矢量最小值对应的位置 Dim Y(1 To 3, 0 To 6) As Double '矩阵y Dim just_vector(1 To 3) As Double Dim liji_min As Double '用于判断离基变量所用值 Dim r_sign As Integer '用于记录离基变量对应的位置 Dim main_yuan As Double '用于存放主元 Dim Erk(1 To 3, 1 To 3) As Double Dim Exchange_B(1 To 3, 1 To 3) '在矩阵Erk与矩阵B_进行乘法运算时，作为矩阵B_的替换矩阵
第二章材料的基本性质试题 一、单项选择题 1、材料的耐水性可用软化系数表示，软化系数是（） A.吸水率与含水率之比 B、材料饱水抗压强度与干燥抗压强度之比 C、材料受冻后的抗压强度与受冻前抗压强度之比 D、材料饱水弹性模量与干燥弹性模量之比 2、已知普通砖的密度为2.5g/cm3，表观密度为1800kg/cm3，则该砖的密实度为 ( ). A、0.85; B、0.73; C、 0.72 ; D、0.65 3、含水率为5％的砂220kg，将其干燥后的重量是（）kg。 A、209 B、209.5 C、210 D、211 4、当材料的润湿边角。为（）时，称为憎水性材料。 A、>90° B、<90° C、＝0° D、≥90° 5、用于吸声的材料，要求其具有（）孔隙的多孔结构材料，吸声效果最好。 A、大孔 B、内部连通而表面封死 C、封闭小孔 D、开口细孔 6、通常，材料的软化系数为（）时，可以认为是耐水的材料。 A、≥0.85 B、<0.85 C、>0.85 D、0.95 7、颗粒材料的密度为ρ，表观密度为，堆积密度为，则存在下列关系( ) A、ρ >> B 、>ρ> C、ρ>> D、 >ρ> 8、当材料的润湿边角为( )时，称为亲水性材料。 A、>90° B、<90° C、≤90° D、≥90° 9、材料在绝对密实状态下的体积为V，开口孔隙体积为V K，闭口孔隙体积为V B ，材料 在干燥状态下的质量为m,则材料的表观密度为ρ‘( )。 A、 m/V B、m/(V+V k ) C、m/(V+V k +V B ) D、m/(V+V B ) 10、将一批混凝土试件，经养护至此28天后分别测得其养护状态下的平均抗压强度为23Mpa，干燥状态下的平均抗压强度为25Mpa，吸水饱和状态下的平均抗压强度为22Mpa，则其软化系数为（）。 A、0.92 B、0.88 C、0.96 D、0.13 11、在100g含水率为3%的湿砂中，其中水的质量为（）。 A、3.0g B、2.5g C、3.3g D、2.9g 12、下列概念中，（）表明材料的耐水性。 A、质量吸水率 B、体积吸水率 C、孔隙水饱和系数 D、软化系数13、密度是指材料在（）单位体积的质量。 A、自然状态 B、绝对体积近似值 C、绝对密实状态 D、松散状态 14、经常位于水中或受潮严重的重要结构物的材料，其软化系数不宜小于（）。 A、0.75-0.80 B、0.70-0.85 C、0.85-0.90 D、0.90-0.95 15、某材料吸水饱和后的质量为20Kg，烘干到恒重时，质量为16Kg，则材料的（）。 A、质量吸水率为25% B、质量吸水率为20% C、体积吸水率为25% D、体积吸水率为20% 16、材料吸水后将材料的（）提高。 A、耐久性 B、强度和导热系数 C、密度 D、体积密度和导热系数 17、软化系数表明材料的（）。 A、抗渗性 B、抗冻性 C、耐水性 D、吸湿性 18、如材料的质量已知，求其体积密度时，测定的体积应为（）。 A、材料的密实体积 B、材料的密实体积与开口孔隙体积 C、材料的密实体积与闭口孔隙体积 D、材料的密实体积与开口及闭口体积 19、对于某一种材料来说，无论环境怎样变化，其（）都是一定值。 A、体积密度 B、密度 C、导热系数 D、平衡含水率 20、当材料的润湿边角θ为( )时，称为憎水性材料。 A、>90° B、≤90° C、0° 21、当材料的软化系数为( )时，可以认为是耐水材料。 A、>0.85 B、<0.85 C、≥0.85 D、≤0.85 22、材料的吸湿性用（）表示 A. 吸水率 B. 含水率 C .抗渗系数 D .软化系数 23、材料的吸水性用（）来表示。 A. 吸水率 B. 含水率 C .抗渗系数 D .软化系数 24、原材料品质完全相同的4组混凝土试件，它们的表观密度分别为2360、2400、2440及2480kg/m3，通常其强度最高的是表观密度为（）kg/m3的那一组。 A、2360 B、2400 C、2440 D、2480 25、材料在自然状态下，单位体积的质量称之为（）。 A、密度 B、相对密度 C、表观密度 D、堆积密度 26、材料吸水后，将使材料的（）提高。 A、耐久性 B、强度 C、保温 D、导热系数 27、亲水性材料的润湿边角θ（）。
线性规划的解 课本题中出现的线性规划都有唯一的最优解，其实线性规划的解有许多不同的情况，除了有唯一的最优解的情况外，还有 （1）无可行解，从而无最优解．这就是约束条件不等式组无解的情况． （2）有无穷多个最优解 例2,4max y x z -= ?? ???≥≤+≤-,1,2553, 34x y x y x 我们用图解法求解． 由于目标函数等高线和可行域的边界线34-=-y x 平行，沿着 目标函数值增加方向平行移动目标函数的等高线，最终停留在直线 34-=-y x 上，所以线段AB 上的所有点都是最优解． 线性规划如果有最优解，只会是有唯一最优解或者有无穷多个最优解这两种情况，不会出现其他情况，这就是下面的命题． 命题 1 如果线性规划有两个不同的最优解21,P P ，那么对任意10<<λ， ()211P P P λλ-+=是最优解． 这个命题的证明可以在任何一本线性规划的书中找到，这里就不再证明了．事实上证明是平凡的，只要注意到P 在线段21P P 上，利用线性性质，读者就可以自己证明． （3）有可行解，无最优解． 例3 y 2x maxz += ?? ???≥≥-≥-,00 , 34y x y x 我们用图解法求解． 从图中可以看出随着目标函数等高线的移动，目标函数值会越 来越大，没有上界．有的书上称之为无界解． 无界解的情况只会出现在可行域是开区域的时候．如果可行域 是闭区域，就一定是有界的，于是有 命题2 如果统性规划可行域是闭区域，那么一定有最优解． 只要注意到线性函数是连续函数，上面的命题就是“有界闭区 域上连续函数可以达到最大值或最小值”这一定理的一个推理． 从上面的例子中我们可以看出，如果有最优解，那么就有可行域的顶点是最优
不等式及线性规划问题（讲义） 知识点睛 一、 不等式的基本性质 性质1：a b b a >?< 性质2：a b b c a c >>?>， 性质3：a b a c b c >?+>+ 性质4：a b >，0c >ac bc ?>；a b >，0c -1- 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则2 1,x x 应满足 （目标函数）2134max x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量， （1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 x c x T min s.t. ?? ? ??≤≤=?≤ub x lb beq x Aeq b Ax 其中c 和x 为n 维列向量，A 、Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq 为适当维数的列向量。 线性规划最优解的几种可能情况： 1.有唯一的最优解（可行域为封闭的有界区域、可行域为非封闭的无界区域） 2.有一个以上的最优解（可行域为封闭的有界区域、可行域为非封闭的无界区域） 3.无界解（目标函数无界，即虽有可行解，但在可行域中，目标函数可以无限增大或无限 减小） 4.无可行解（可行域为空集） Min型与Max型单纯形表的唯一区别： 检验数反号 Min型单纯形表中 -当检验数均大于等于零时为最优； -令负检验数中最小的对应变量为换入变量。 Max型单纯形表中 -当检验数均小于等于零时为最优； -令正的检验数中最大的对应变量为换入变量。 ①②②③④⑤⑤⑥⑴⑵⑵⑶ 解的几种情况在单纯形表上的体现（Max型）： 1）唯一最优解判别：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线性规划具有唯一最优解。2）多重最优解判别：最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解（或无穷多最优解）。 3）无界解判别：某个检验数大于零且换入变量对应的列中所有的分量皆非正，则线性规划具有无界解。 4）无可行解的判断：当用大M单纯形法计算得到最优解并基变量中还存在非零人工变量时，则表明原问题无可行解。 5）退化解的判别：存在某个基变量为零的基本可行解。 4.2 对偶问题的基本性质 1.对称性对偶问题的对偶是原问题。 2.弱对偶性若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解，则存在 求目标函数最大化时，在单纯形表中： ①如果检验数均非正，而b列中有负值，这时使用 对偶单纯形法； ②如果所有bi ≥0, 检验数有正值，使用 单纯形法: ③如果b列中有负值，且检验数中有正值，这时必须引入 人工变量，建立新的单纯形表，重新计算 使用单纯形法解线性规划问题 要求：目标函数为：123min 3z x x x =-- 约束条件为： 123123 1312321142321,,0 x x x x x x x x x x x -+≤??-++≥?? -+=??≥? 用单纯形法列表求解，写出计算过程。 解： 1） 将线性规划问题标准化如下： 目标函数为：123max max()3f z x x x =-=-++ s.t.： 123412356 1371234567211 42321,,,,,,0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=??-++-+=??-++=??≥? 2） 找出初始基变量，为x 4、x 6、x 7，做出单纯形表如下： 表一：最初的单纯形表 变量 基变量 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x 4 1 -2 1 1 0 0 0 11 x 6 -4 1 2 0 -1 1 0 3 x 7 -2 0 1 0 0 0 1 1 -f -3 1 1 3） 换入变量有两种取法，第一种取为x 2，相应的换出变量为x 6，进行第一次迭代。迭代后新的单纯形表为： 表二：第一种换入换出变量取法迭代后的单纯形表 变量 基变量 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x 4 -7 5 1 -2 2 3 x2-4120-1103 x7-20100011 -f10-101-10-3 由于x1和x5对应的系数不是0就是负数，所以此时用单纯形法得不到最优解。 表一中也可以把换入变量取为x3，相应的换出变量为x7，进行一次迭代后的单纯形表为： 表三：第二种换入换出变量取法迭代后的单纯形表 变量 基变量x1x2x3x4x5x6x7 b i x43-20100-110 x60100-11-21 x3-20100011 -f-110000-1-1 4）表三中，取换入变量为x2，换出变量为x6，进行第二次迭代。之后的单纯形 表为： 表四：第二次迭代后的单纯形表 变量 基变量x1x2x3x4x5x6x7 b i x43001-22-512 x20100-11-21 x3-20100011 -f-10001-11-2 5）表四中，取换入变量为x7，换出变量为x3，进行第三次迭代。之后的单纯形 表为： 表五：第三次迭代后的单纯形表 变量 基变量x1x2x3x4x5x6x7 b i x4-7051-22017 x2-4120-1103 x7-20100011 -f10-101-10-3可以看出，此时x1，x5对应的系数全部非零即负，故迭代结束，没有最优解。 结论： 综上所述，本线性规划问题，使用单纯形法得不到最优解。 2015年高考数学 三角函数篇 线性规划问题命题规律揭秘和解题技巧传播 经典回顾 1、设，若三点共线，则 b a 11+的最小值是（ ） A ．223+ B ．24 C ．6 D ． 【答案】A 【解析】 试题分析：，，∵三点共线，∴，即， ∵，∴，当且仅当时取等号． 考点：基本不等式． 2、如果实数x y ，满足22(2)3x y -+=，那么y x 的最大值是（ ） A ．33 B ．32 C ．3 D ．12 【答案】C 【解析】 试题分析：令 t x y =，即直线0=-y tx 与圆3)2(22=+-y x 有公共点，则圆心到直线的距离 3122≤+=t t d ，解得33≤≤-t ，即 x y 的最大值为3． 考点：直线与圆的位置关系． 截距式 3、若满足约束条件， 则目标函数的最大值为 ． 【答案】6 【解析】 0,0,(1,2),(,1),(,0)a b A B a C b >>---,,A B C 92 (1,1)AB a =-(1,2)AC b =--,,A B C 2(1)10a b -++=21a b +=0,0a b >>111122(2)()332322b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+?=+221b a ==-,x y +20020x y x y x y -≤??-≥??+≥? z 2x y =+ 试题分析：不等式组表示的区域如图阴影部分所示： 当直线经过点时，取得最大值6． 故答案为6． 考点：线性规划． 4、O 为坐标原点，点M 的坐标为(1,1)，若点(,)N x y 的坐标满足224200x y x y y ?+≤?-≥??≥?，则OM ON ?的最大值为（ ） A.2 B.22 C. D. 【答案】A. 【解析】 试题分析：如图，画出不等式组所表示的区域，作出直线l ：0=+y x ，令，平移l ，从而可知，令m y x =+，m y x =+与圆422=+y x 相切时，z 有最大值，而2222 =?=m m ，即22max =z . +20020x y x y x y -≤??-≥??+≥? 20x y z +-=(4,2)B -z 323z OM ON x y =?=+ 简单线性规划问题的几种简单解法 依不拉音。司马义（吐鲁番市三堡中学，838009） “简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。 简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。简单线性规划问题的标准型为： 1112220(0)0(0),(),0(0) m m m A x B y C A x B y C m N z Ax By A x B y C +++≥≤??++≥≤?∈=+???++≥≤?L 约束条件 目标函数 ， 下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。 1. 图解法 第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。 ⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c 不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。 ⑵B 判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C ＞0（＜０）表示的区域在直 线Ax+By+C ＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C ＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的下方。（即若B 与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；若B 与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方） 用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。 第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这 个可以用下面的两种办法解决。 ⑴y 轴上的截距法：若b >0，直线y a b x z b =- +所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，便是z 取得最大值（最小值）的点；若b <0，直线y a b x z b =-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，是z 取得最小值（最小值）的点（提醒：截距不是距离，截距可以取正负）。 例1．设x,y 满足约束条件x y y x y +≤≤≥???? ?10,,,求z x y =+2的最大值、最小值。 解：如图1作出可行域，因为y 的系数1大于0，目标函数z x y =+2表示直线 y x z =-+2在y 轴上的截距， 当直线过A （1，0）时，截距值最大z max =?+=2102，当直线过点O （0，0）时，截距值最小min 2000z =?+=。 习题 2-1 判断下列说法是否正确： （1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题； （3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之， 当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解； （4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优 解； （5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全 部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。 （7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； （8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ??? ?? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束43214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z ()??? ??≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 解：(1)令''' 444 x x x =-，增加松弛变量5x ，剩余变量6x ，则该问题的标准形式如下所示： ''' 12344''' 12344''' 123445''' 123446'''1234456max 342554222214..232 ,,,,,,0 z x x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x =-+-+-?-+-+-=?+-+-+=??-++-+-=??≥? (2)令' z z =-，'11x x =-，''' 333x x x =-，增加松弛变量4x ，则该问题的标准 形式如下所示： 用電腦解線性規劃問題 撰寫學生 : 張馨云 指導老師 : 吳秉鋒 主任 摘要： 線性規畫所研究的問題主要有兩類:1.一項任務確定後，如何統籌安排，盡量做到用最少的人力、物力資源去完成這一任務；2.有一定數量的人力物力資源，如何安排使用它們，使得完成任務最多。總之，就是尋求整個問題的某個整體指標最優的問題。應用在運輸問題、生產的組織與計劃問題、合理下料問題、配料問題、佈局問題等。線性規劃最基本的理論和方法是：圖上作法和單純形法,但如果要計算較複雜的問題,例如要算報表之類的問題,用圖上作法或單純形法會花很多時間,所以可使用excel解決此類問題,便可很快速算出所要的答案。 關鍵字：線性規劃、試算表、excel 壹、專題動機 在一次機緣下問了一題有關線性規劃的問題,老師告訴我這種問題可以使用電腦一下子就算出來,比親手算的速度快好幾倍,在好奇心的驅使下,變想要一探究竟,產生莫大的興趣。 貳、專題目標 有了這個技巧,以後要算報表.最佳工讀生值班表.投資理財最有效的投資組合等這種要算最大利潤或最小成本之類的問題,就可以很有效率的算出來,對生活有很大的幫助。 参、所遇問題與其解決方法 剛開始很多有關線性規劃的問題,不知道如何解,加上用excel解線性規畫是我第一次的經驗,過程許多都看不懂,但經過老師的指導後,終於恍然大悟。 肆、相關研究及討論 一、介紹線性規劃 在數學中，線性規劃問題是目標函數和約束條件都是線性的最優化問題。線性規劃是最優化問題中重要的領域之一。很多運籌學中的實際問題都可以用線性規劃問題來表述。線性規劃的某些特殊情況，例如網路流問題和多商品流量問題，都被認為很重要，以致產生出對其專門的演算法的大量研究。同樣地，在微觀經濟學和商業管理領域，線性規劃被大量應用地於收入極大化或生產過程的成本極小化。喬治．丹齊格被認爲是線性規劃之父。線性規劃理論所能解決的管理問題，其中有關的未知數，應變數與自變數之間，係呈線性關係。問題中的應變數，通常表示求取某項經濟上的目標，例如利潤、成本、產量、容量的極大值或極小值。問題中的自變數乃是各種可運用經濟資源的數量，自變數又受到這些有限經濟資源的限制。 二、線性規劃的標準型: 描述線性規劃問題的常用和最直觀形式是標準型。標準型包括以下三個部分： 1.一個需要極大化的線性函數,例如:c1x1+c2x2 第2章建筑材料的基本性质 （共34题答对20题及以上为合格） 1．材料化学组成的不同是造成其性能各异的主要原因，研究材料的化学组成通常需研究（A）A．材料的元素组成和矿物组成 B．材料的物理性质和化学性质 C．材料的颗粒大小和分子式 D．材料的元素数量和种类 2．矿物组成和元素组成是造成材料性能各异主要原因，其中材料的矿物组成主要是指（A）A．元素组成相同，但分子团组成形式各异的现象 B．元素组成不同，但分子团组成形式各异的现象 C．元素组成相同，分子团组成形式也相同的现象 D．元素组成不同，分子团组成形式相同的现象 3．材料的微观结构主要是指（A） A．材料在原子、离子、分子层次上的组成形式 B．组成物质的微观粒子在空间的排列有确定的几何位置关系 C．材料的构造 D．组成物质的微观粒子在空间的排列呈无序浑沌状态 4．建筑钢材的微观结构形式是（A） A．晶体结构B．玻璃体结构C．胶体结构D．纤维体结构 5．下列建筑材料的构造属于致密状构造的是（B） A．木材B．玻璃C．石膏制品D．加气混凝土 6．下列关于材料构造说法有误的一项是（D） A．致密状构造完全没有或基本没有孔隙 B．材料在宏观可见层次上的组成形式称为构造 C．多孔状构造材料一般为轻质材料 D．胶合板、复合木地板、纸面石膏板、夹层玻璃都是纤维状构造 7．材料实体内部和实体间常常部分被空气所占据，一般称材料实体内部被空气所占据的空间为（ B ） A．间隙B．孔隙C．孔隙D．缝隙 8．用来说明材料孔隙状况的三个指标分别是（D） A．孔隙面积、孔隙大小、孔隙率B．孔隙个数、孔隙大小、孔隙率C．孔隙连通性、孔隙大小、孔隙面积D．孔隙率、孔隙连通性和孔隙直径 9．材料在绝对密实状态下，单位体积的质量称为（B） A．表观密度B．密度C．体积密度D．堆积密度 10．材料的密室度指的是（B） A．在材料的体积内，孔隙体积所占的比例 B．材料的体积内，被固体物质充满的程度 C．散粒状材料在其堆积体积中，被颗粒实体体积填充的程度 D．散粒材料的堆积体积内，颗粒之间的空隙体积所占的比例 11．亲水材料的润湿角一般小于( A ) A．900B．1200C．1500D．1800 12．材料的吸水性是指( C ) A．指材料抵抗压力水或其他液体渗透的性质 B．材料在水中吸收水分达饱和的能力 C．材料在长期饱和水的作用下，不破坏、强度也不显著降低的性质 D．指材料在潮湿空气中吸收水分的能力 13．材料传导热量的能力称为( D ) A．比热B．热容C．导电性D．导热性 14．下列关于耐燃性和耐火性说法有误的一项是( B) A．耐燃性是指材料在火焰和高温作用下可否燃烧的性质 B．耐火的材料不一定耐燃，耐燃的一般都耐火 C．耐火性是材料在火焰和高温作用下，保持其不破坏、性能不明显下降的能力D．钢材虽为重要的建筑结构材料，但其耐火性却较差，使用时须进行特殊的耐火处理 15. 材料在外力作用下抵抗破坏的能力称为( B ) A．刚度B．强度C．韧性D．脆性 16．下列关于材料实验及材料强度实验说法有误的一项是( B ) A．一般情况下，大试件的强度往往小于小试件的强度 B．一般情况，试件温度越高，所测强度值越高 C．强度等级是材料按强度的分级 -1- 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G . B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则2 1,x x 应满足 （目标函数）2134max x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量， （1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性 函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 x c x T min s.t. ?? ? ??≤≤=?≤ub x lb beq x Aeq b Ax 其中c 和x 为n 维列向量，A 、Aeq 为适当维数的矩阵，b 、beq 为适当维数的列向量。 第三节 使用Excel 求解线性规划问题 利用单纯形法手工计算线性规划问题是很麻烦的。office 软件是一目前常用的软件，我们可以利用office 软件中的Excel 工作表来求解本书中的所有线性规划问题。对于大型线性规划问题，需要应用专业软件，如Matlab ，Lindo ，lingo 等，这些软件的使用这里我们不作介绍，有需要的，自己阅读有关文献资料。 用Excel 工作表求解线性规划问题，我们需要先设计一个工作表，将线性规划问题中的有关数据填入该工作表中。所需的工作表可按下列步骤操作： 步骤1 确定目标函数系数存放单元格，并在这些单元格中输入目标函数系数。 步骤2 确定决策变量存放单元格，并任意输入一组数据。 步骤3 确定约束条件中左端项系数存放单元格，并输入约束条件左端项系数。 步骤4 在约束条件左端项系数存放单元格右边的单元格中输入约束条件左端项的计算公式，计算出约束条件左端项对应于目前决策变量的函数值。 步骤5 在步骤4的数据右边输入约束条件中右端项（即常数项）。 步骤6 确定目标函数值存放单元格，并在该单元格中输入目标函数值的计算公式。 例 建立如下线性规划问题的Excell 工作表： 12 121 21212max 1502102310034120..55150,0 z x x x x x x s t x x x x =++≤??+≤??+≤??≥? 解：下表是按照上述步骤建立的线性规划问题的Excell 工作表。 其中： D4=B2*B4+C2*C4, D5=B2*B5+C2*C5 , D6=B2*B6+C2*C6, C7= B2*B1+C2*C1 。 建立了Excel 工作表后，就可以利用其中的规划求解功能求相应的线性规划问题的解。求解步骤如下： 步骤1 单击[工具]菜单中的[规划求解]命令。 步骤2 弹出[规划求解参数]对话框，在其中输入参数。置目标单元格文本框中输入目标单元格；[等于]框架中选中[最大值＼最小值］单选按钮。 步骤3 设置可变单元格区域，按Ctrl 键，用鼠标进行选取，或在每选一个连续区域后，在其后输入逗号“，”。 步骤4 单击[约束］框架中的[添加]按钮。 步骤5 在弹出的[添加约束]对话框个输入约束条件． 步骤6 单击[添加]按钮、完成一个约束条件的添加。重复第5步，直到添加完所有条件 步骤7 单击[确定]按钮，返回到[规划求解参数]对话框，完成条件输入的[规划 运筹学 线性规划基本性质 线形规划基本性质目录 线性规划（概论） 线性规划问题:生产计划问题 例1.1 生产计划问题（资源利用问题）例1.1生产计划问题分析 例1.1生产计划问题模型 例1.1生产计划问题表格描述 例1 .2 营养配餐问题 各种食物的营养成分表 各种食物的营养成分表（转置） 例1 .2 营养配餐问题求解 用于成功决策的实例 线形规划的一般模型:特点 线形规划的一般模型:数学模型线性规划问题隐含的假定 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定 线形规划的图解法 线形规划解的可能结果 线形规划的标准形式1 线形规划的标准形式2 非标准型LP的标准化:目标函数 非标准型LP的标准化:约束函数1 非标准型LP的标准化:约束函数2 非标准型LP的标准化:决策变量 线形规划解的概念：可行解 线形规划解的概念：最优解 线形规划解的概念：基本解 线形规划解的概念：最优基本解 线形规划的应用模型 生产计划问题 生产计划问题：表格分析 生产计划问题：模型 产品配套问题 产品配套问题：工时分析 产品配套问题：配套分析 产品配套问题：模型 结束放映 线性规划（概论） 线形规划是研究解决有限资源最佳分配的运筹学方法，即如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有利的利用，以便最充分地发挥资源的效能去获得最佳经济效益。 线性规划问题:生产计划问题 1、如何合理使用有限的人力、物力和资 金，实现最好的经济效益。 2、如何合理使用有限的人力、物力和资 金，以达到最经济的方式，完成生产 计划的要求。 例1.1 生产计划问题（资源利用问题） 胜利家具厂生产桌子和椅子两种家具。桌子售价50元/张，椅子销售价格30元/把，生产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一张桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一把椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？ 第二章 线性规划 主要内容：1、线性规划问题及数学模型 2、线性规划问题的解及其性质 3、图解法 4、单纯形法 5、大M 法和两阶段法 重点与难点：线性规划数学模型的建立：一般形成转化为标准型的方法：单纯形法的求 解步骤。 要 求：理解本章内容，掌握本章重点与难点问题；深刻理解线性规划问题的基本概 念、基本性质，熟练掌握其求解技巧；培养解决实际问题的能力。 §1 线性规划的数学模型及解的性质 一、数学模型（一般形式） 例 1 已知某市有三种不同体系的建筑应予修建，其耗用资源数量及可用的资源限量如 解：设三种体系的建筑面积依次为1x ,2x ,3x 万平方米，则目标函数为 321m a x x x x z ++= 约束条件为 ?? ?? ???????=≥≤++≤≤++≤++≤++3,2,104005.335.41470021015000180190110200025301211000 1221371053211321321321j x x x x x x x x x x x x x x j 例2 某工厂要安排生产甲、乙两种产品。已知： 解：设 21,x x 分别为甲、乙两种产品的生产量： 则目标函数为 21127max x x z += 约束条件为??? ??? ?=≥≤+≤+≤+2,1,03001032005436049112121j x x x x x x x j 从以上两例可以看出，它们都属于一类优化问题。它们的共同特征： ①每一个问题都有一组决策变量（n x x x 21,）表示某一方案；这组决策变量的值就代表 一个具体方案。一般这些变量的取值是非负的。 ②存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或不等式来表示。 ③都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示；按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。 满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。其一般形式为： 目标函数 n n x c x c x c z +++= 2211m a x (m i n ) 约束条件 ()()()????? ????=≥=≥≤+++=≥≤+++=≥≤+++n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m n mn m m n n n n ,,2,1,0,,,2211222221211 1212111 可行解：满足约束条件的一组决策变量，称为可行解。 最优解：使目标函数取得最大（小）值的可行解，称为最优解。 最优值：目标函数的最大（小）值，称为最优值。算法大全第01章线性规划
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《建筑材料》第2章建筑材料的基本性质
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