因式分解
一、分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做分解因式． 二、因式分解的方法：
1．十字相乘法：对于二次三项式)0(2
≠++a c bx ax ，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121,,,c c a a 排列如下：
将1a ，2c 与2a ，1c 按斜线交叉相乘，再相加，得到1221c a c a +，若它正好等于二次三项式c bx ax ++2
的一次项系数b ，即b c a c a =+1221，那么二次三项式就可以分解为两个因式11c x a +与22c x a +之积，即=++c bx ax 2
)(11c x a +)(22c x a +．
2．求根公式法：设关于x 的一元二次方程)04,0(02
2
≥-=?≠=++ac b a c bx ax 的两个
实根为a
ac b b x 2422
,1-±-=，则二次三项式c bx ax ++2可以因式分解如下：
)24)(24())((22212
a
ac
b b x a a
c b b x a x x x x a c bx ax -----+--=--=++．
3．公式法：逆用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式等）进
行分解因式的方法．
完全平方公式：2
2
2
2)(b ab a b a +±=±；
三数和的平方公式：bc ac ab c b a c b a 222)(2
2
2
2
+++++=++； 完全立方公式：3
2
2
3
3
33)(b ab b a a b a ±+±=±； 平方差公式：))((2
2
b a b a b a -+=-； 立方差公式：))((2
2
3
3
b ab a b a b a ++-=-； 立方和公式：))((2
2
3
3
b ab a b a b a +-+=+．
a 1a 2
c 12
4．提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个种分解因式的方法叫做提公因式法．
5．分组分解法：利用分组来分解因式的方法．此法的关键是选择适当、合理的分组方法． （1）直接分组分解；（2）添项拆项后分组分解；（3）试根法分组分解
6．整除法：对于多项式012
211a x a x a x a x a n n n n +++++-- ， 如果已知该多项式有一个因式为01221
1b x b x b x
b x b m m m m +++++-- ， 可利用多项式的除法求出012
211a x a x a x a x a n n n n +++++-- 除以
012211b x b x b x b x b m m m m +++++-- 的商式)(x f ，
那么多项式012
211a x a x a x a x a n n n n +++++--
可分解为)()(01221
1x f b x b x b x
b x b m m m m ?+++++-- ，即 =+++++--012211a x a x a x a x a n n n n )()(012211x f b x b x b x b x b m m m m ?+++++-- ．
7．换元法．
8．待定系数法．
典型例题解析
1．十字相乘法
例1．分解因式： （1）2762
+-x x ； （2）1819122
--x x ； （3）2
2
151112y xy x --；
（4）5)13)(33(2
2
-++-+a a a a ．
参考答案：（1）)23)(12(--x x ；（2）)23)(94(+-x x ；（3）)34)(53(y x y x +-； （4）=-++-+5)13)(33(2
2
a a a a 5]1)3][(3)3[(2
2
-++-+a a a a
==-+-+8)3(2)3(222a a a a )23)(43(22++-+a a a a )2)(1)(1)(4(++-+=a a a a ．
例2．分解因式：
（1）675232
2
+++++y x y xy x ； （2）202326562
2
-++--y x y xy x ．
解：（1）解一：=+++++675232
2
y x y xy x )672()53(2
2
+++++y y x y x =)2)(32()53(2+++++y y x y x )2)(32(++++=y x y x
解二：6)75())(2(6752322
+++++=+++++y x y x y x y x y xy x )2)(32(++++=y x y x
（2）20)232()23)(32(202326562
2
-+++-=-++--y x y x y x y x y xy x )523)(432(-++-=y x y x ．
2．求根公式法
例3．分解因式：
（1）3222--x x ；（2）2
2b ab a -- 解：（1）)3
7
1)(371(32232
--+-
=--x x x x ； （2）)2
51)(251(2
2b a b a b ab a --+-
=--． 3．公式法
例4．分解因式：
（1）36)5(2
2
--x x ；（2）6
664y x -．
解：（1）)6)(1)(3)(2()65)(65(36)5(2
222-+--=--+-=--x x x x x x x x x x ． （2）解一：)8)(8(643
3
3
3
6
6
y x y x y x +-=-
)2)(2)(24)(2(2222y xy x y x y xy x y x +-+++-=．
解二：)416)(4()()4(644
22422323266y y x x y x y x y x ++-=-=- ]4)816)[(2)(2(2
2
4
2
2
4
y x y y x x y x y x -++-+= ]4)4)[(2)(2(2
2
2
22
y x y x y x y x -+-+=
)24)(24)(2)(2(2
2
2
2
xy y x xy y x y x y x -+++-+= 例5．分解因式：
（1）122
2---b b a ；（2）)2(42
x y y x -+-．
解：（1）1222---b b a )1)(1()1()12(2
2
2
2
--++=+-=++-=b a b a b a b b a ．
（2）)2(42
x y y x -+-=-+-=xy y x 242
2
4)2(2
2
-+-y xy x )2)(2(4)(2
--+-=--=y x y x y x ．
4．提公式因法
例6．分解因式：
（1）x x x 1032
3--；（2）)2)(()2)(())((x y b a z y x b a x y z a b ----+-----． 解：（1）)2)(5()103(1032
2
3
+-=--=--x x x x x x x x x ； （2）)2)(()2)(())((x y b a z y x b a x y z a b ----+-----
))(()]2()2()()[(y x b a x y z y x x y z b a --=---+-----=．
5．分组分解法 （1）直接分组分解法：
例7．分解因式：
（1）222
3+--a a a ；（2）2
2
22y y x x -+-．
解：（1）=+--2223a a a =---)2()2(2
3
a a a )1)(2()2()2(2
2
--=---a a a a a
)1)(1)(2()1)(2(2-+-=--=a a a a a ．
（2）)(2))(()22()(222
2
2
2
y x y x y x y x y x y y x x ---+=+-+-=-+-
)2)((-+-=y x y x ．
（2）添项拆项后分组分解：
例8．分解因式：
（1）124++x x ；（2）abc c b a 3333-++；（3）2332
3+++a a a ； （4）20113+-x x ；（5）15
++a a ．
解：（1）124++x x )1)(1()1(122
2
2
2
2
2
2
4
+-++=-+=-++=x x x x x x x x x ；
（2）=-++abc c b a 3333abc ab b a ab b a c b a 333332
222333---++++
)(3)33(33223c b a ab c b ab b a a ++-++++= )(3)(33c b a ab c b a ++-++=
)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++= ))((222bc ac ab c b a c b a ---++++=；
（3）)23()2(2332
2
3
2
3
++++=+++a a a a a a a
)1)(2()1)(2()2(22+++=++++=a a a a a a a ；
（4）)4(5)16()205()16(20112
3
3
++-=++-=+-x x x x x x x x
)54)(4(]5)4()[4()4(5)4)(4(2+-+=+-+=++-+=x x x x x x x x x x ．
（5）)1()1()1()(12
3
2
2
2
5
5
+++-=+++-=++a a a a a a a a a a
)1()1)(1(222+++++-=a a a a a a ]1)1()[1(22+-++=a a a a )1)(1(232+-++=a a a a ．
评析：在分组分解法中，添项或拆项要根据原式的特点进行试凑，一般来说，通过添项或拆项重新分组后，要能利用公式或十字相乘法或可提取公因式．
（3）试根法分组分解：
设x 的多项式为012
211)(a x a x a x a x a x f n n n n +++++=-- ，若a x =为0)(=x f 的
一个根，则)(x f 含有因式a x -．通过对)(x f 添项或拆项重新分组，使每组含有因式a x -，然后用提公因式法分解．
一般的，0012
211=+++++--a x a x a x a x a n n n n 的根是0a （常数项）的约数除以n
a （最高次项的系数）的约数所得的商． 例9．分解因式：
（1）2332
3
+++a a a ；（2）20113
+-x x ；（3）4532
3
--x x ；（4）31322
3
+-x x ． （1）分析：∵2-=a 是02332
3
=+++a a a 的一个根，故2332
3
+++a a a 含有因式
2+a ．
解：)23()2(2332
2
3
2
3
++++=+++a a a a a a a
)1)(2()1)(2()2(22+++=++++=a a a a a a a ；
（2）分析：∵4-=x 是020113=+-x x 的一个根，故20113
+-x x 含有因式4+x ． 解：)20114()4(20112
2
3
3
+--++=+-x x x x x x
)4)(54()4(2+--+=x x x x )54)(4(2+-+=x x x ．
（3）分析：∵2=x 是045323=--x x 的一个根，故4532
3--x x 有因式2-x ． 解：)2)(2()2(3)4()63(4532
2
2
3
2
3
-++-=-+-=--x x x x x x x x x
)23)(2(2++-=x x x ．
（4）分析：用常数项3的约数1±、3±除以最高次项的系数2的约数1±、2±得商1±，2
1
±
，3±，2
3
±，再分别以这些商代入原式求值，可知只有当21=x 时，原式值为0，所以21=
x 是031322
3
=+-x x 的根，故31322
3
+-x x 有因式12-x ．
解：)14(3)12()312(231322
2
2
2
3
2
3
---=+-+-=+-x x x x x x x x
)36)(12()12)(12(3)12(22---=-+--=x x x x x x x ．
6．整除法
例10．（1）已知6322
3
++-x x x 含有因式1+x ，分解因式6322
3
++-x x x ． （2）已知67722
3
4
5
+-++-x x x x x 有因式22
+-x x ，分解因式：
67722345+-++-x x x x x ；
（3）已知5124--x x 含有因式122--x x ，分解因式5124
--x x ； （4）已知2425---x x x 有因式22+x ，分解因式242
5---x x x ． 解：（1）列竖式做除法：
∴)63)(1(6322
2
3
+-+=++-x x x x x x ．
（2）列竖式做除法可得：
=+-++-67722345x x x x x )322)(2(232+-++-=x x x x x
（3）)52)(12(5122
2
4
++--=--x x x x x x
x 3 -2x 2 +3x +6
x +1x 2 -3x +6
x 3 +x 2
-3x 2+3x -3x 2-3x
6x+66x+6
x 4 +0 +0 -12x -5
x 2-2x -1x 4 -2x 3 -x 2
2x 3 +x 2-12x 5x 2-10x -5x 2+2x +5
2x 3-4x 2-2x
5x 2-10x -5
2x 5 -x 4 +x 3 +7x 2 -7x +6
x 2-x +22x 5 -2x 4+4x 3
x 4 -3x 3+7x 2x 4 -x 3 +2x 2
-2x 3+5x 2-7x 2x 3+x 2 -2x +3
-2x 3+2x 2-4x
3x 2 -3x +63x 2 -3x +6
（4）)12)(2(243
2
2
5
--+=---x x x x x x ．
例11．分解因式：
（1）123
+-x x ；（2）67322
4
---x x x ．
解：（1）试根可知1=x 是0123=+-x x 的根，用123+-x x 除以1-x 得12
-+x x ， ∴)2
5
1)(251)(1()1)(1(122
3
---+--
-=-+-=+-x x x x x x x x ； （2）试根可知1-=x 和2=x 是067322
4
=---x x x 的根，
用673224---x x x 除以2)2)(1(2
--=-+x x x x 得3222
++x x ，
∴)322)(2)(1(67322
2
4
++-+=---x x x x x x x ．
7．换元法
例12．分解因式：12)2)(1(2
2
-++++x x x x ． 解：设12
++=x x y ，则
12)1(12)2)(1(22-+=-++++y y x x x x
)2)(5()3)(4(12222-+++=-+=-+=x x x x y y y y )1)(2)(5(2-+++=x x x x ．
8．待定系数法
例13．分解因式：22
3
4
+++x x x ．
分析：根据式子的特点直接分解较困难，可考虑用待定系数法，分解为
))((22f ex dx c bx ax ++++或))((23f ex dx cx b ax ++++两种形式，且若能分解则必居
x 5 +0 +0 -x 2 -4x -2
x 2+0+2x 5 +0 +2x 3
-2x 3 -x 2 -4x -2x 3 +0 -4x
-x 2 +0 -2x 3 -2x -1
-x 2 +0 -2
其一．
解：设)2)(1(22
2
2
3
4
++++=+++bx x ax x x x x
2)2()3()(234+++++++=x b a x ab x b a x ，
比较等式两边对应项系数，得??
?
??=+=+=+02131b a ab b a ，解得2,1=-=b a ，
∴)22)(1(22
2
2
3
4
+++-=+++x x x x x x x ．
练习
1．分解因式：①x 4+x 2y 2+y 4；②x 4+4；③x 4－23x 2y 2+y 4．
2．分解因式：①x 3+4x 2－9；②x 3－41x+30；③x 3+5x 2－18；④x 3－39x －70． 3．分解因式：①x 3+3x 2y+3xy 2+2y 3 ；②x 3－3x 2+3x+7；③x 3－9ax 2+27a 2x －26a 3；
④x 3+6x 2+11x+6；⑤a 3+b 3+3(a 2+b 2)+3(a+b)+2．
4．分解因式：①3x 3－7x+10；②x 3－11x 2+31x －21；③x 4－4x+3；④2x 3－5x 2+1．
5．分解因式：①2x 2－xy －3y 2－6x+14y －8；②（x 2－3x －3）（x 2+3x+4）－8；
③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48；④（2x －7）(2x+5)(x 2－9)－91．
6．分解因式：①x 2y 2+1－x 2－y 2+4xy ；②x 2－y 2+2x －4y －3；③x 4+x 2－2ax －a+1； ④（x+y ）4+x 4+y 4；⑤（a+b+c ）3－（a 3+b 3+c 3）． 7．己知x 3+mx+4能被x+1整除，求m ．
8．己知x 4+ax 3+bx －16含有两个因式x －1和x –2,求a 和b 的值．
练习参考答案：
1．添项，配成完全平方式． 2．拆中项．
3. 拆项，配成两数和的立方
①原式=(x+y)3+y 3……；③原式=(x-3a)3+a 3；⑤ 原式=(a+1)3+(b+1)3． 4．待定系数法，④x=
2
1
时，原式=0，有因式2x －1． 5．看是某代数式的二次三项式．
④原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x 2-x-8)(2x 2-x-28)=……
6．分组配方．③原式=(x 2+1)2-(x+a)2……； ④把原式用乘法展开，合并，再分解； ⑤以a=－b 代入原式＝0，故有因式a+b ． 7．3． 8．??
?=-=20
5
b a ．
人教版初中数学因式分解易错题汇编及答案 一、选择题 1．若a b +=1ab =，则33a b ab -的值为（ ） A ．± B ． C ．± D ．【答案】C 【解析】 【分析】 将原式进行变形，3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-，然后利用完全平方公式的 变形22()()4a b a b ab -=+-求得a-b 的值，从而求解． 【详解】 解：∵3322 ()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+- ∴33)a b b ab a =-- 又∵22()()4a b a b ab -=+- ∴22()414a b -=-?= ∴2a b -=± ∴33(2)a b ab =±=±- 故选：C ． 【点睛】 本题考查因式分解及完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键． 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）． A ．()x a b ax bx -=- B ．()()222111x y x x y -+=-++ C ．()()2111x x x -=+- D ．()ax bx c x a b c ++=+ 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义作答．把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【详解】 解：A 、是整式的乘法运算，故选项错误； B 、右边不是积的形式，故选项错误； C 、x 2-1=（x+1）（x-1），正确； D 、等式不成立，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】 熟练地掌握因式分解的定义，明确因式分解的结果应是整式的积的形式．
2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()()μ 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。 解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得211120 23a a b m b +=-+==???????()()()
八年级数学因式分解辅导学案 因式分解的常用方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数 学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习 这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能， 发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因 式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上， 对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式， 例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 选C 练习 (1))(3)(2x y b y x a --- (2)1222-+-b ab a (3)（x －1）（x ＋4）－36 (4)（m 2＋n 2）2－4m 2n 2 (5)－2a 3＋12a 2－18a ； (6)9a 2(x －y )＋4b 2(y －x )； (7) (x ＋y )2＋2(x ＋y )＋1.
2021年中考数学·考点梳理专题05 因式分解 1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 2.分解因式的一般方法： （1）提公共因式法. （2）运用公式法. ①平方差公式：()() 22 a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±（3）十字相乘法。利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. ①对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =?? +=?，则()()2x bx c x p x q ++=++②首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，， 排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2 ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++. （4）分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 3.分解因式的步骤： (1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式; (2)再看能否使用公式法; (3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的; 专题知识回顾
初中因式分解的（例题详解） 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 ))((, )(2), )((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ 写出结果． 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 例4、分解因式：2222c b ab a -+-
练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 综合练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22 （3）181696222-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 4912622-++- （5）92234-+-a a a （6）y b x b y a x a 222244+-- （7）222y yz xz xy x ++-- （8）122222++-+-ab b b a a （9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （11）abc b a c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）abc c b a 3333-++ 四、十字相乘法. （一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——))(()(2 q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。
因式分解复习教案(教师教学案) 教学目标： 1.复习巩固用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式的方法。 2.会综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式。 教学重点：综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式。 教学难点 ：根据题目的结构特点，合理选择方法。 教师活动 一、引入 本章我们学习了分解因式，学习分解因式同学们要掌握以下知识：（1）什么叫分解因式？（2）怎样分解因式？或者分解因式有哪些方法?下面我们一起带着这些问题进行复习 二、教授新课 知识点1：分解因式的定义（教师和学生一起复习定义及特征,强调因式分解与整式的乘法的关系） 思考：什么是分解因式？因式分解与整式的乘法有何关系 分解因式的特征，左边是 ， 右边是 。 针对练习：下列选项，哪一个是分解因式（ ）(学生自主完成此题，并指出错在哪里) A ．x x x x x 6)3)(3(692 +-+=+- B.103)2)(5(2 -+=-+x x x x C.2 2 )4(168-=+-x x x D.y x x y x ??=552 知识点2：分解因式的第一种方法------提公因式法 思考:如何提公因式?（教师强调公因式公有的意思---你有我有大家有才是公有） 注意：(学生一起读一遍) 公因式的确定： （1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号） （2）系数：取系数的最大公约数； （3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的； （4）所有这些因式的乘积即为公因式 (5)某一项被作为公因式完全提出时,应补为 例如： 1．的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________ 2．多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（ ） A ．24ab c - B ．38ab - C ．32ab D ．3324a b c 3. 3 4 2 )()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________ 提公因式法分解因式分类： 1.直接提公因式的类型：（1）3 442231269b a b a b a +-=________________； （2）1 1n n n a a a +--+=____________ （3）4 2 3 )()()(b a b a y b a x -+---=_____________ （4）不解方程组23532x y x y +=-=-??? ，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值 2.首项符号为为负号的类型： （1）3 3 2 2 2 864y x y x y x -+- =_________ （2）若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时） 如： 2 2 188y x +- 练习： 1．多项式:aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-,那么另一个因式是( ) y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D..y x 431-- 2.分解因式－5(y －x)3－10y(y －x)3 3. 公因式只相差符号的类型： 公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。（若同时含奇数次和偶数 次则一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如 ）（）（）（）（1-x -y x -y x -y -x -y )(-)(5 5656==--x y y x 例：( 1)（b －a ）2+a （a －b ）+b （b －a ） ( 2)（a+b －c ）（a －b+c ）+（b －a+c ）·（b －a －c ） （3）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 练习： 1．把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于（ ）
整式与因式分解教师版 一、选择题 1下列运算正确的是（） A．（﹣2a3）2=﹣4a6B．=±3C．m2?m3=m6D．x3+2x3=3x3 1解：A、（﹣2a3）2=（﹣2）2?（a3）2=4a6，故本选项错误； B、=3，故本选项错误； C、m2?m3=m2+3=m5，故本选项错误； D、x3+2x3=3x3，故本选项正确．故选D． 2下列计算正确的是（） A．2a+3b=5ab B．（﹣2a2b）3=﹣6a6b3C．D．（a+b）2=a2+b2 2解：A、2a+3b无法计算，故此选项错误； B、（﹣2a2b）3=﹣8a6b3，故此选项错误； C、+=2+=3，正确； D、（a+b）2=a2+b2+2ab，故此选项错误；故选：C． 3下列各式计算正确的是（） A．a2?a3=a6B．（a2）3=a5C．a2+3a2=4a4D．a4÷a2=a2 3解：A、a2?a3=a2+3=a5，故本选项错误；B、（a2）3=a2×3=a6，故本选项错误； C、a2+3a2=4a2，故本选项错误； D、a4÷a2=a4﹣2=a2，故本选项正确．故选D． 4把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（） A．2a（4a2﹣4a+1）B．8a2（a﹣1）C．2a（2a﹣1）2D．2a（2a+1）2 4解：8a3﹣8a2+2a=2a（4a2﹣4a+1）=2a（2a﹣1）2．故选：C． 5下列计算正确的是（） A．x3﹣x2=x B．x3?x2=x6C．x3÷x2=x D．（x3）2=x5 5解：A、x3﹣x2，无法计算，故此选项错误； B、x3?x2=x5，故此选项错误； C、x3÷x2=x，正确； D、（x3）2=x5，故此选项错误；故选：C． 6若x2﹣3y﹣5=0，则6y﹣2x2﹣6的值为（）A．4B．﹣4C．16D．﹣16 6解：∵x2﹣3y﹣5=0，∴x2﹣3y=5， 则6y﹣2x2﹣6=﹣2（x2﹣3y）﹣6=﹣2×5﹣6=﹣16，故选：D． 7实数a、b满足+4a2+4ab+b2=0，则b a的值为（） 7解：整理得，+（2a+b）2=0， 所以，a+1=0，2a+b=0，解得a=﹣1，b=2，所以，b a=2﹣1=．故选B． 8已知M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数），则M、N的大小关系为（） A．M＜N B．M=N C．M＞N D．不能确定 8解：∵M=a﹣1，N=a2﹣a（a为任意实数）， ∴，∴N＞M，即M＜N．故选A 9把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（） A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3
因式分解法解一元二次方程 预习归纳 用因式分解法要先将方程一边化为__________________的形式，另一边化为0，再分别使各一次因式等于0． 【答案】两个一次因式乘积 基础过关 知识点一：将多项式因式分解 1．多项式25x x -因式分解的结果为__________________． 2．多项式()()2353x x x ---因式分解的结果为_______________． 3．多项式2441x x -+因式分解的结果为_______________． 4．多项式()()3222x x x ---因式分解的结果为_______________． 【答案】1．()5x x -；2．()()253x x --；3．()2 21x -；4．()()322x x +- 知识点二：用因式分解法解方程 1．方程()310x x -=的解为（ ） A ．13x =，21x = B ． 10x =，21x = C ．121x x == D ．10x =，22x =- 【答案】B 2．经计算整式1x +与4x -的积为234x x --，则2340x x --=的所有根为（ ） A ．11x =-，24x =- B ．11x =-，24x = C ．11x =，24x = D ．11x =，24x =- 【答案】B 3．方程()()230x x -+=的解是（ ） A ．2x = B ．3x =- C ．12x =，23x =- D ．12x =-，23x = 【答案】C 4．一元二次方程()22x x x -=-的根是（ ） A ．1- B ．2 C ．1和2 D ．1-和2 【答案】D
数与式的运算 一、乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： ⑴平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； ⑵完全平方公式 2 2 2 ()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： ⑴立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； ⑵立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； ⑶三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； ⑷两数和完全立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b +=+++； ⑸两数差完全立方公式 3 3 2 2 3 ()33a b a a b ab b -=-+- 【例1】计算： ⑴)749)(7(2 x x x +-+ ⑵)1)(1)(1)(1(2 2+-+++-a a a a a a (3)+ (4)2222 [(2)][(2)]x y x y -+++ 答案：（1）3343x + （2）6 1a - （3） a c b +-- (4)422422 28816x x y y x y ++-++ 例题的设计意图 (1)(2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式 （3）（4）利用整体代换思想简化运算。 二、根式 0)a ≥叫做二次根式，其性质如下： (1) 2(0)a a =≥ (2) (0)||0(0)(0)a a a a a a >?? ===??-≥ 三、分式 当分式 A B 的分子、分母中至少有一个是分式时，A B 就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． 【例2】化简 （1 （2）11x x x x x -+ -
【例2】化简 (1)」2 +后+』2-金 (2) 1-x ~~r X 一 数与式的运算 一、乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： ⑴平方差公式 ("+饥0-饥=疽_〃. ⑵完全平方公式 (a±b)2 =a~ ±2ab + b 2. 我们还可以通过证明得到下列一 些乘法公式： ⑴立方和公式 ⑵立方差公式 ⑶三数和平方公式 ⑷两数和完全立方公式 ⑸两数差完全立方公式 【例1】计算： (l) (7 + x)(49-7x + x 2 ) ⑶(插+崩-正)(插-册-￡) 答案：(1)疽+343 (2) 1-?6 (3) a + c-b-2插 (4) x 4 +2x 2y 2 +y 4 -8x 2 +8y 2 +16 例题的设计意图 (1) (2)两个例子让学生熟悉立方和与立方差公式 (3) (4)利用整体代换思想简化运算。 二、根式 式子> 0)叫做二次根式，其性质如下： a (a > 0) 11= < 0(。= 0) 一。(a v 0) §(“>0,Z?2 0) A 芸就叫做繁分式，繁分式的化简常用 以下两种方法:(1)利用除法法则；(2)利 用分式的基本性质. (a+b)(a 2 -ab + h 2) =(r (“—b)(a 2 +ab + b 2) = cc 一l> : (a+b + c)2 =a 2 +b 2 +c 2 +2(ab +be+ ac): (a + b)3 = a 5 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 ； 色一疗=疽一3c ，％ + 3沥2-厌 (2)(1-6/)(1+ ?)(?2 +0 + 1)(】一"+ 1) ⑷[(x-2)2 + y 2][(x+2)2 + y 2] (1) (^)2 =a(a>0) (2) 垢=\ (3) y[ab = yja -y/b(a > 0,Z> > 0) (4) =- 三、分式 当分式：的分子、分母中至少有一个是分式时，
人教版初中数学因式分解全集汇编及答案 一、选择题 1．已知：3a b +=则2225a a b b ab -+-+-的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．11 D ．11- 【答案】A 【解析】 【分析】 将2225a a b b ab -+++-变形为（a+b ）2-（a+b ）-5，再把a+b=3代入求值即可. 【详解】 ∵a+b=3， ∴a 2-a+b 2-b+2ab-5 =（a 2+2ab+b 2）-（a+b ）-5 =（a+b ）2-（a+b ）-5 =32-3-5 =9-3-5 =1， 故选：A ． 【点睛】 本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答． 2．下列分解因式正确的是（ ） A ．x 3﹣x=x （x 2﹣1） B ．x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1） C ．x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2 D ．x 2+2x ﹣1=（x ﹣1）2 【答案】B 【解析】 试题分析：根据提公因式法分解因式，公式法分解因式对各选项分析判断利用排除法求解． 解：A 、x 3﹣x=x （x 2﹣1）=x （x+1）（x ﹣1），故本选项错误； B 、x 2﹣1=（x+1）（x ﹣1），故本选项正确； C 、x 2﹣x+2=x （x ﹣1）+2右边不是整式积的形式，故本选项错误； D 、应为x 2﹣2x+1=（x ﹣1）2，故本选项错误． 故选B ． 考点：提公因式法与公式法的综合运用． 3．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．2x （x +3）＝2x 2+6x B ．24xy 2＝3x ?8y 2
C ．x 2+2xy +y 2+1＝（x +y ）2+1 D ．x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ） 【答案】D 【解析】 【分析】 根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】 A 、不是因式分解，故本选项不符合题意； B 、不是因式分解，故本选项不符合题意； C 、不是因式分解，故本选项不符合题意； D 、是因式分解，故本选项符合题意； 故选D ． 【点睛】 本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 4．设a ，b ，c 是ABC V 的三条边，且332222a b a b ab ac bc -=-+-，则这个三角形是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】 把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】 解：∵a 3-b 3=a 2b-ab 2+ac 2-bc 2， ∴a 3-b 3-a 2b+ab 2-ac 2+bc 2=0， （a 3-a 2b ）+（ab 2-b 3）-（ac 2-bc 2）=0， a 2（a- b ）+b 2（a-b ）- c 2（a-b ）=0， （a-b ）（a 2+b 2-c 2）=0， 所以a-b=0或a 2+b 2-c 2=0． 所以a=b 或a 2+b 2=c 2． 故选：D. 【点睛】 本题考查了分组分解法分解因式，利用因式分解最后整理成多项式的乘积等于0的形式是解题的关键. 5．若三角形的三边长分别为a 、b 、c ，满足22230a b a c b c b -+-=，则这个三角形是（ ）
2020北京西城初二（上）期末数学备考训练整式乘除因式分解 （教师版） 一．选择题（共3小题） 1．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（） A．x2﹣2x﹣2 B．x2+1 C．x2﹣4x+4 D．x2+4x+1 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【解答】解：由完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2 x2﹣4x+4＝（x﹣2）2 故选：C． 【点评】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 2．在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（） A．﹣xz+yz＝﹣z（x+y） B．3a2b﹣2ab2+ab＝ab（3a﹣2b） C．6xy2﹣8y3＝2y2（3x﹣4y） D．x2+3x﹣4＝（x+2）（x﹣2）+3x 【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【解答】解：A、﹣xz+yz＝﹣z（x﹣y），故A错误； B、3a2b﹣2ab2+ab＝ab（3a﹣2b+1），故B错误； C、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C正确； D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解，把一个多项式转化成几个整式积的形式． 3．下列计算中正确的是（） A．2x+3y＝5xy B．x?x4＝x4
C．x8÷x2＝x4D．（2x2y）3＝8x6y3 【分析】根据合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的除法，底数不变指数相减；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【解答】解：A、2x，3y不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、x?x4＝x1+4＝x5，故本选项错误； C、x8÷x2＝x6，故本选项错误； D、（2x2y）3＝8x6y3，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题考查合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题． 二．填空题（共32小题） 4．分解因式：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）． 故答案为：（x+2y）（x﹣2y）． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键． 5．分解因式：3x2﹣6xy+3y2＝3（x﹣y）2． 【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：3x2﹣6xy+3y2， ＝3（x2﹣2xy+y2）， ＝3（x﹣y）2． 故答案为：3（x﹣y）2． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 6．若关于x的二次三项式x2+kx+b因式分解为（x﹣1）（x﹣3），则k+b的值为﹣1 ．
因式分解复习教案（教师教学案） 教学目标：1?复习巩固用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式的方法。 2?会综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式。 教学重点：综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式。 教学难点：根据题目的结构特点，合理选择方法。 教师活动 一、引入 本章我们学习了分解因式，学习分解因式同学们要掌握以下知识：（1）什么叫分解因式？（2）怎样分解因式？或者分解因式有哪些方法？下面我们一起带着这些问题进行复习 二、教授新课 知识点1:分解因式的定义（教师和学生一起复习定义及特征,强调因式分解与整式的乘法的关系） 思考：什么是分解因式？因式分解与整式的乘法有何关系 分解因式的特征，左边是______________，右边是________________ 。 针对练习：下列选项，哪一个是分解因式（）（学生自主完成此题，并指出错在哪里） 2 2 A. x -9 6x=（x 3）（x-3） 6x B. （x 5）（x-2） =x 3x-10 2 2 2 C. x -8x 16 = （x -4） D. 5x y = 5x x y 知识点2 :分解因式的第一种方法------提公因式法 思考:如何提公因式？（教师强调公因式公有的意思---你有我有大家有才是公有）注意：（学生一起读一遍） 公因式的确定： （1）符号：若第一项是负号则先把负号提出来（提出负号后括号里每一项都要变号） （2）系数：取系数的最大公约数；（3）字母：取字母（或多项式）的指数最低的； （4）所有这些因式的乘积即为公因式（5）某一项被作为公因式完全提出时，应补为______ 例如： 1 -多项式-3ab 6abx -9aby的公因式是______________ 2?多项式￡a3b2c 16a2b3 -24ab2c分解因式时，应提取的公因式是（） A. -4ab2c B. -8ab3 C. 2ab3 D. 24a3b3c 2 4 3 3. x（m+n） -y（n+m） +（m + n）的公因式是____________ 提公因式法分解因式分类： 1.直接提公因式的类型：(1) 9a3b2—6a2b4 +12a4b3= ； n 1 n 斗n (2) a -a +a = 3 2 4 (3)x(a—b) —y(a—b) +(a—b)=
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则A B C ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2222c b ab a -+- 解：原式=222)2(c b ab a -+- =22)(c b a -- =))((c b a c b a +---
第五讲 因式分解（换元法）
1、 重点 掌握整体思想，学会用换元法分解因式. 2、 难点 熟练运用换元法分解()()()()11223344a x b a x b a x b a x b R +++++类型的式子 【预习1】 ★☆☆☆☆ 分解因式：()()2 221213x x x x +++++- 【分析】 原式()()()()()()222221113414x x x x x x x x x x x x =++-+++=+++=+++ 【预习2】 ★★☆☆☆ 分解因式：()()2233346x x x x ++++- 【分析】 令233x x a ++=，则原式()()()216623a a a a a a =+-=+-=-+ 所以原式()()223136x x x x =++++ 换元法 换元法： 换元法是数学中的一种重要方法，它可以使复杂的、不熟悉的问题转化为简单的、熟悉的问题，从而用较简单或熟悉的方法来解决问题.在解题或证明中换元法常常起着桥梁和杠杆的作用. “换元”就是“字母代式”，即用新的“元”去代替原式中的式，是一种整体思想.换元法又称设辅助未知数法，它是字母表示数这一数学思想的延续和发展. 以前在乘法公式的推导、整式化简、提取公因式法及运用公式法等常用方法分解因式时，已运用过这一数学思想，只不过那时解题过程比较简单，虽未引入新的“元”，也不会引起混乱. 而处理一些比较复杂的问题时，将引进的新“元”写出，这样层次比较清晰.
【例题1】 ★☆☆☆☆ 因式分解： （1）()()2 22232553256x x x x x x -++-++ （2）()2 22442x x x x --+- （3）()422 2669x y x y y +++++ 【分析】 （1）原式()()()()2222325232533535x x x x x x x x x =-++-++=+++ （2）原式()()22 4241x x x x =---+ （3）原式()()()2 2 4222333x y x y x y =++++=++ 注：换元法与整体思想是分不开的，此题难度很低，主要目的为了引入整体换元的思想概念. 【例题2】 ★★☆☆☆ 因式分解： （1）()()()()2 2 22222332342242x x x x x x x x ++-++--+-- （2）()()()2 22223131235236x x x x x x x x +++++--+-- 【分析】 （1）令223a x x =++，242b x x =--， 则，原式()()22322a ab b a b a b =-+=-- 回代得，原式()()2222234223284x x x x x x x x =++-++++-++ ()()25597x x x =+++ （2）令231a x x =++，2235b x x =--， 则，原式()()()()22 11111a ab b a b a a a b =++-=-++=++- 回代得，原式()()222 32312351x x x x x x =+++++--- ()()()21235x x x =++- 注：当式子展开比较复杂，又由相同形式的式子组成时，无疑采用换元法会更便捷. 【例题3】 ★★★☆☆ 因式分解： （1）()()()2 2224312344x x x x x x ++-+--+ （2）()()222 24331017183x x x x x x +-++++- 【分析】 （1）令231a x x =++，223b x x =-+，则244x x a b -+=+， 原式()()2 2 2242ab a b a ab b a b =-+=-+-=--
专题05 因式分解 1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. 2.分解因式的一般方法： （1）提公共因式法. （2）运用公式法. ①平方差公式：()() 22 a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2 22 2 a a b b a b ±+=± （3）十字相乘法。利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. ①对于二次三项式2x bx c ++,若存在 pq c p q b = ? ? += ? ,则()() 2 x bx c x p x q ++=++ ②首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式2 ax bx c ++(a≠0)中,如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即 12 a a a =,常数项c 可以分解成两个因数之积,即 12 c c c =,把 1212 a a c c ，，，排列如下： 按斜线交叉相乘,再相加,得到 1221 a c a c +,若它正好等于二次三项式2 ax bx c ++的一次项系数b,即1221 a c a c b +=,那么二次三项式就可以分解为两个因式 11 a x c +与 22 a x c +之积,即()() 2 1122 ax bx c a x c a x c ++=++. （4）分组分解法 对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组,然后再分解因式. 3.分解因式的步骤： 专题知识回顾
2020北京海淀初二（上）期末备考训练整式的乘除与因式分解 （教师版） 一．选择题（共24小题） 1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（） A．9﹣a2＝（3+a）（3﹣a）B．x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x C．D．y（y﹣2）＝y2﹣2y 【分析】直接利用因式分解的意义分别分析得出答案． 【解答】解：A、9﹣a2＝（3+a）（3﹣a），从左到右的变形是因式分解，符合题意； B、x2﹣2x＝（x2﹣x）﹣x，不符合题意因式分解的定义，不合题意； C、x+2无法分解因式，不合题意； D、y（y﹣2）＝y2﹣2y，是整式的乘法，不合题意． 故选：A． 【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键． 2．在下列运算中，正确的是（） A．（x﹣y）2＝x2﹣y2B．（a+2）（a﹣3）＝a2﹣6 C．（a+2b）2＝a2+4ab+4b2D．（2x﹣y）（2x+y）＝2x2﹣y2 【分析】根据完全平方公式判断A、C；根据多项式乘多项式的法则判断B；根据平方差公式判断D．【解答】解：A、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，故本选项错误； B、（a+2）（a﹣3）＝a2﹣a﹣6，故本选项错误； C、（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，故本选项正确； D、（2x﹣y）（2x+y）＝4x2﹣y2，故本选项错误； 故选：C． 【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握法则与公式是解题的关键． 3．下列计算正确的是（）
A．a3+a2＝a5B．a3?a2＝a5C．（2a2）3＝6a6D．a6÷a2＝a3 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案． 【解答】解：A、a3+a2，无法计算，故此选项错误； B、a3?a2＝a5，正确； C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误； D、a6÷a2＝a4，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算和积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 4．已知x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式，则a可为（） A．4 B．8 C．16 D．﹣16 【分析】根据完全平方式的结构是：a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两种，据此即可求解． 【解答】解：∵x2﹣8x+a可以写成一个完全平方式， ∴则a可为：16． 故选：C． 【点评】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 5．若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】将所求的代数式变形处理，将已知条件整体代入即可． 【解答】解：∵a+b＝3， ∴a2﹣b2+6b ＝（a+b）（a﹣b）+6b ＝3a﹣3b+6b ＝3（a+b） ＝3×3