误差分析与数据处理
物理化学实验是研究物质的物理性质以及这些物理性质与其化学反应间关系的一门实验科学。在实验研究工作中，一方面要拟定实验的方案，选择一定精度的仪器和适当的方法进行测量；另一方面必须将所测得的数据加以整理归纳，科学地分析并寻求被研究变量间的规律。但由于仪器和感觉器官的限制，实验测得的数据只能达到一定程度的准确性。因此，在着手实验之前要了解测量所能达到的准确度以及在实验以后合理地进行数据处理，都必须具有正确的误差概念，在此基础上通过误差分析，选用最合适的仪器量程，寻找适当的实验方法，得出测量的有利条件。下面首先简要介绍有关误差等几个基本概念。
一、一、基本概念
1．误差。在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，所得结果常常不能完全一致而会有一定的误差或偏差。严格地说，误差是指观测值与真值之差，偏差是指观测值与平均值之差。但习惯上常将两者混用而不加区别。根据误差的种类、性质以及产生的原因，可将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种。
系统误差：
这种误差是由于某种特殊原因所造成的恒定偏差，或者偏大或者偏小，其数值总可设法加以确定，因而一般说来，它们对测量结果的影响可用改正量来校正。系统误差起因很多，例如：
(1)仪器误差。这是由于仪器构造不够完善，示数部分的刻度划分得不够准确所引起，如天平零点的移动，气压表的真空度不高，温度计、移液管、滴定管的刻度不够准确等。
(2)测量方法本身的限制。如根据理想气体方程式测量某蒸汽的相对分子质量时，由于实际气体对理想气体有偏差，不用外推法求得的相对分子质量总较实际的相对分子质量为大。
(3)个人习惯性误差。这是由于观测者有自己的习惯和特点所引起，如记录某一信号的时间总是滞后、有人对颜色的感觉不灵敏、滴定等当点总是偏高等。
系统误差决定测量结果的准确度。它恒偏于一方，偏正或偏负，测量次数的增加并不能使之消除。通常是用几种不同的实验技术或用不同的实验方法或改变实验条件、调换仪器等
以确定有无系统误差存在，并确定其性质，设法消除或使之减
少，以提高准确度。
偶然误差：
在实验时即使采用了完善的仪器，选择了恰当的方法，经
过了精细的观测，仍会有一定的误差存在。这是由于实验者的
感官的灵敏度有限或技巧不够熟练、仪器的准确度限制以及许
多不能预料的其他因素对测量的影响所引起的。这类误差称为
偶然误差。它在实验中总是存在的，无法完全避免，但它服从
几率分布。偶然误差是可变的，有时大，有时小，有时正，有时负。但如果多次测量，便会发现数据的分布符合一般统计规律。这种规律可用图I一1中的典型曲线表示，此曲线称为误差的正态分布曲线，此曲线的函数形式为：
y＝y＝
式中：h称为精确度指数，σ为标准误差，h与σ的关系为：h＝。
自图I一1中的曲线可以出：
(1)误差小的比误差大的出现机会多，故误差的几率与误差大小有关。个别特别大的误差出现的次数极少。
（2）由于正态分布曲线与y轴对称，因此数值大小相同，符号相反的正、负误差出现的机率近于相等。如以m代表无限多次测量结果的平均值，在没有系统误差的情况下，它可以代表真值。σ为无限多次测量所得标准误差。由数理统计方法分析可以得出，误差在±
1σ内出现的几率是68.3％，在±2σ内出现的几率是95.5％，在±3占内出现的几率是99.7％，可见误差超过±3σ的出现几率只有0.3％。因此如果多次重复测量中个别数据的误差之绝对值大于3σ，则这个极端值可以舍去。
偶然误差虽不能完全消除。但基于误差理论对多次测量结果进行统计处理，可以获得被测定的最佳代表值及对测量精密度作出正确的评价。在基础物理化学实验中的测量次数有限，若要采用这种统计处理方法进行严格计算可查阅有关参考书。
过失误差：
这是由于实验过程中犯了某种不应有的错误所引起的，如标度看错、记录写错、计算弄错等。此类误差无规则可寻，只要多方警惕，细心操作，过失误差是可以完全避免的。
2．准确度和精密度。准确度是表示观测值与真值接近程度；精密度是表示各观测值相互接近的程度。精密度高又称再现性好。在一组测量中，尽管精密度很高，但准确度不一定很好；相反，若准确度好，则精密度一定高。准确度与精密度的区别，可用图I一2加以说明。例如甲乙丙三人同时测定某一物理量，各分析四次，其测定结果图中以小圈表示。从图I一2上可见，甲的测定结果的精密度很高，但平均值与真值相差较大，说明其准确度低。
乙的测定结果的精密度不高，准确度也低。只有丙
的测得结果的精密度和准确度均高。必须指出的是
在科学测量中，只有设想的真值，通常是以运用正
确测量方法并用校正过的仪器多次测量所得的算术
平均值或载之文献手册的公认值来代替的。
3．绝对误差与相对误差。绝对误差是观测值与
真值之差。相对误差是指误差在真值中所占的百分
数。它们分别可用下列两式表示：
绝对误差＝观测值—真值
相对误差＝绝对误差/真值×100％
绝对误差的表示单位与被测量是相同的，而相对误差是无因次的。因此不同物理量的相对误差可以相互比较。这样，无论是比较各种测量的精密度或是评定测量结果的准确度，采用相对误差更为方便。
4．平均误差和标准误差。为了说明测量结果的精密度，一般以单次测量结果的平均误差表示，即
＝
式中：d1、d2、…、d n为第1、2、…、n次测量结果的绝对误差。
单次测量结果的相对平均误差为：
相对平均误差＝×10
式中为算术平均值。
用数理统计方法处理实验数据时，常用标准误差来衡量精密度。标准误差又称均方根误
差，其定义为σ＝，I＝1，2，3，…，n。当测量次数不多时，测量的标准误差σ可按下式计算：
σ＝＝
式中：d为x i－，是n个观测值的算术平均值。N－1称为自由度，是指独立测定的次数减去处理这些观测值时所用的外加关系条件的数目。因此在有限观测次数时，计算标准误差
公式中采用n－1的自由度就起了除去这个外加关系条件(等式)的作用。
用标准误差表示精密度要比用平均误差好，因为单次测量的误差平方之后，较大的误差更显著地反映出来，这就更能说明数据的分散程度。例如甲乙二人打靶，每人两次，甲击中
处离靶中心为1和3寸，乙击中处则为2和2寸。这两人射击的平均误差都为2。但乙的射击精密度要比甲的高些，因为按照最小二乘方原理，甲的误差乘方和是12+32＝10，而乙的
是22+22＝8。甲的标准误差为，而乙的标准误差却为、。因此化学工作者在精密地计算实验误差时，大多采用标准误差，而不用以百分数表示的算术平均误差。
5．有效数字与运算法则。在实验工作中，对任一物理量的测定，其准确度都是有限的，我们只能以某一近似值表示之。因此测量数据的准确度就不能超过测量所允许的范围。如果任意将近似值保留过多的位数，反而歪曲测量结果的真实性。实际上有效数字的位数就指明了测量准确的幅度。现将有关有效数字和运算法则简述如下：
(1)记录测量数据时，一般只保留一位可疑数字。有效数字是指该数字在一个数量中所代表的大小。例如，一滴定管的读数为32.47，其意义为十位数为3，个位数上为2，十分位上为4，百分位上为7。从滴定管上的刻度来看，我们都知道要读到千分位是不可能的，因为刻度只刻到十分之一，百分之一已为估计值。故在末位上，上下可能有正负一个单位出入。这末一位数可认为不准确的或可疑的，而其前边各数所代表的数值，则均为准确测量的。通常测量时，一般均可估计到最小刻度的十分位，故在记录一数量时，只应保留一位不准确数字，其余数均为准确数字。我们称此时所记的数字均为有效数字。
在确定有效数字时，要注意“0”这个符号。紧接小数点后的0仅用来确定小数点的位置，并不作为有效数字。例如0.00015g中小数点后三个0都不是有效数字。而0.150g中的小数点后的0是有效数字，至于350mm中的0就很难说是不是有效数字，最好用指数来表示，以10的方次前面的数字表示。如写成3.5×102mm，则表示有效数字为两位；写成3.50×102mm，则有效数字为三位；其余类推。
(2)在运算中舍去多余数字时采用四舍五人法。凡末位有效数字后面的第一位数大于5，则在其前一位上增加1，小于5则舍去。等于5时，如前一位为奇数，则增加1；如前一位为偶数则舍去。例如，对27.0235取四位有效数字时，结果为27.02；取五位有效数字时，结果为27.024。但将27.015与27.025取为四位有效数字时，则都为27.02。
(3)加减运算时，计算结果有效数字的末位的位置应与各项中绝对误差最大的那项相同。或者说保留各小数点后的数字位数应与最小者相同。例如13.75，0.0084，1.642三个数据相加，若各数末位都有±1个单位的误差，则13.75的绝对误差±0.01为最大的，也就是小数点后位数最少的是13.75这个数，所以计算结果的有效数字的末位应在小数点后第二位。
13.75 13.75
0.0084 舍去多余数后得0.01
+)1.642 +)1.64
15.40
(4)若第一位有效数字等于8或大于8，则有效数字位数可多计l位。例如9.12实际上虽然只有三位，但在计算有效数字时，可作四位计算。
(5)乘除运算时，所得的积或商的有效数字，应以各值中有效数字最低者为标准。
例如 2.3×0.524＝1.2
又如1.751×0.0191/91其中91的有效数字最低。但由于首位是9，故把它看成三位有效数字其余各数都保留三位。因此上式计算结果为3.68×10－4，保留三位有效数字。
在比较复杂计算中，要先后按加减、乘除的方法，计算中间各步可保留各数值位数较以上规则多一位，以免由于多次四舍五人引起误差的积累，对计算结果带来较大影响。但最后结果仍只保留其应有的位数。
例如
＝＝3.4
(6)在所有计算式中，常数π、e及乘子(如)和一些取自手册的常数，可无限制的，按需要取有效数字的位数。例如当计算式中有效数字最低者二位，则上述常数可取二位或三位。
(7)在对数计算中，所取对数位数（对数首数除外）应与真数的有效数字相同。
①真数有几个有效数字，则其对数的尾数也应有几个有效数字。如
1g 317.2＝2.5013；1g7.1×1028＝28.85
②对数的尾数有几个有效数字，则其反对数也应有几个有效数字。如
.3010＝1g0.2000；0.652＝1g4.49
(8)在整理最后结果时，要按测量的误差进行化整，表示误差的有效数字一般只取一位至多也不超过二位，例如1.45±0.01。当误差第一位数为8或9时，只须保留一位。
任何一个物理量的数据，其有效数字的最后一位，在位数上应与误差的最后一位相对应。例如，测量结果为1223.78±0.054，化整记为1223.78±0.05。又如，测量结果为14356±86，化整记为(1.436±0.009)×104。
(9)计算平均值时，若为四个数或超过四个数相平均，则平均值的有效数字位数可增加一位。
二、误差分析
物理化学实验数据的测定工作中，绝大多数是要对几个物理量进行测量，代人某种函数关系式，然后加以运算，才能得到所需要的结果，这称为间接测量。在间接测量中每个直接测量值的准确度都会影响最后结果的准确性。例如在气体温度测量实验中，用理想气体方程式T＝pV/nR测定温度T。因此T是各直接测量量p、V和n的函数。
通过误差分析我们可以查明直接测量的误差对函数误差的影响情况，从而找出影响函数误差的主要来源，以便选择适当的实验方法，合理配置仪器，以寻求测量的有利条件。因此误差分析是鉴定实验质量的重要依据。
误差分析限于对结果的最大可能误差而估计，因此对各直接测量的量只要预先知道其最大误差范围就够了。当系统误差已经校正，而操作控制又足够精密时，通常可用仪器读数精密度来表示测量误差范围。如50mL滴定管为±0.02mL，分析天平为0.0002g，1／10刻度的温度计为±0.02℃，贝克曼温度计为±0.002度等。
究竟如何具体分析每一步骤的测量误差对结果准确度的影响呢?这就是下面所要讨论的误差传递问题。
1．平均误差与相对平均误差的传递
设有函数N＝f (u1，u2，…，u n) (1—1)
N由u1，u2，…，u n各直接测量值所决定。
现已知测定u1，u2，…，u n时的平均误差分别为Δu，Δu2，…，Δu n，求N的平均误差ΔN为多少?
将(1—1)式全微分得：
dN＝(＋（＋…＋（（I—2）设各自变量的平均误差Δu1，Δu2，…Δu n等足够小时，可代替它们的微分du1，du2，…，du n，并考虑到在最不利的情况下是直接测量的正负误差不能对消，从而引起误差的积累，故取其绝对值，则(1—2)式可改写成：
…（1-3）如将(1—1)式两边取对数，再求微分，然后将du1、du2、、…du n等分别换成Δu1、Δu2、、…Δu n，则可直接得出相对平均误差表达式：
＝(…) (1-4) (1—3)、(1—4)式分别是计算最终结果的平均误差和相对平均误差的普遍公式。
由此可见，应用微分法进行直接函数相对平均误差的计算是较为简便的。
例如：
(1)(1)加法
设N＝u1＋u2＋u3＋…（1-5）
将(1—5)式取对数再微分，并用自变量的平均误差代替它们的微分得出最大相对平均误差。
＝（1-6）
(1)(1)减法
设N＝u1－u2－u3－…(1-7)
＝(1-8)
(2)(2)乘法
设N＝u1u2u3(1-9)
＝＋＋(1-10)
(4)除法
设N＝u1/u2 (1-11)
＝＋
(5)方次与根
设N＝u n(1-12)
＝n(1-13)
实例1 以苯为溶剂，，用凝固点降低法测定萘的相对分子质量，按下式计算
M＝＝（1-14）
式中：直接测量值为W B、W A、T0、T。其中：溶质质量W B为0.1472g，若用分析天平称量，其绝对误差为ΔW B＝0.0002g。溶剂量质W A为20g，若用工业天平称重，其绝对误差为ΔW A＝0.05g。测量凝固点降低值，若用贝克曼温度计测量，其精密度为0．002o，测出溶剂的凝固点T0三次，分别为5.801o，5.790o，5.802o。
＝(5.801o＋5.790o＋5.802o)/3＝5.798
各次测量偏差：
ΔT01＝5.798－5.801o＝＋0.003
ΔT02＝5.798－5.790o＝－0.008
ΔT03＝5.798－5.802o＝＋0.004
平均绝对误差：
＝＝
溶液凝固点了测量三次分别为5.500o、5.504o、5.495o，按上式计算可以得到：
＝5.500
同理可以求得：
＝0.003
凝固点降低数值为：
ΔT f＝T0－T
＝（5.7980.005）－（5.0000.003）
＝0.298o0.008o
由上述数据可得到相对误差为：
＝＝0.027
＝＝ 1.3×10－3
＝＝ 2.5×10－3
则相对分子质量M的相对误差为：
＝＋＋
＝(0.027＋1.3×10－3＋2.5×10－3)
＝
最终结果为：M＝127±4
由上所述，测定萘相对分子质量最大相对误差为3.1％。最大的误差来自温度差的测量。而温度差的平均相对误差则取决于测温的精密度和温差大小。测温精密度却受到温度计精度和操作技术条件的限制。例如增多溶质，ΔT f较大，相对误差可以减小，但溶液浓度过于增大则不符合上述要求的稀溶液条件，从而引入系统误差，实际上就不能使相对分子质量测得更准确些。
误差计算结果表明，由于溶剂用量较大，使用工业天平其相对误差仍然不大；对溶质则因其用量少，就需用分析天平称重。
由于上例实验的关键在于温度差的读数，因此要采用精密温度计即贝克曼温度计，而且在实际操作中有时为了避免过冷现象的出现而影响温度读数，加入少量固体溶剂作为晶种，反而能获得较好的结果。可见事先计算各个所测量量的误差及其影响，就能指导我们选择正确的实验方法，选用精密度相当的仪器，抓住测量的关键，得到质量较高的结果。
实例2 当运用惠斯顿电桥测量电阻时，电阻R x可由下式求得
R x＝R0＝R0
式中：R0为已知电阻，l为滑线电阻的全长，l1、l2为滑线电阻的两臂之长。间接测量R x之绝对误差决定于直接测量l2的误差。
d R x＝(d R x/ dl2)＝－(R0 l/ l22)d l2
相对误差为
d R x/ R x＝－dl2
因为l是常量，所以当（l－l2）l2为最大时，相对误差最小，即
d[(l－l2)l2]/dl2＝0
当l2＝1/2时，其分母为最大，所以在l2＝1/2时，可得最小的相对误差，这一结论可帮助我们选择最有利的实验条件。当然在用电桥测电阻时，除读数本身引起的误差外，仍有其他因素。
实例3 在测定表面张力时，根据下式计算：
σ＝rhdg/2
式中σ为表面张力，r为毛细管半径，h为液体在毛细管内上升高度，d为液体密度，g为重力加速度。设σ的相对误差要求为0.2％，求测r、h、d、g各数量时所能允许的最大误差。
根据(1—10)、(1—12)式，当用相对误差表示时，可以得到：
＝(＋＋＋)＝0.002
设测量r，h，d，g时可达到同样精度，则对每个量所允许的最大相对误差为：
＝＝＝＝＝0.0005
通常测定表面张力时，r＝0.3mm，h＝50mm，d＝1g·cm－3，g＝980cm·s－1，故测定r，h，d，g所允许的误差分别为：
＝＝0.0005 Δr＝0.0002（mm）
＝＝0.0005 Δh＝0.02 （mm）
＝＝0.0005 Δd＝0.0005（g.cm－3）
＝＝0.0005 Δg＝0.5（cm.s－2）
上述精度在测量中d与g是可以超过的，但r与h实际上用一般读数显微镜是没法达到的，因此必须采用其他测量方法。
2．标准误差的传递
设函数为：
N＝f (u1，u2，…，u n)
u1，u2，…，u n的标准误差分别为、、…、，则N的标准误差为：
σN＝(1-15)
此式证明从略。(1—15)式是计算最终结果的标准误差的普遍公式。
例如：N＝
＝（1-16）关于平均值的标准误差的传递，只要用平均值的标准误差替代各分量的标准误差即可。
＝（1-17）实例1 在气体温度测量实验中，用理想气体方程式T＝pV/nR测定温度T，由直接测量得p、V、n、的数据及其精密度如下：·
p＝50.0mmHg
V＝1000.0±0.1cm3
n=0.0100±0.0001mol
R＝62.4×10 3cm 3·mmHg·mol-1·K-1
由（1-16）式可计算T的精密度σT。
σT＝
＝80.2×
＝80.2×[4×10-6＋1×10-4＋1×10-8]1/2
＝0.8K
即最终结果为80.2±0.8K。
实例2 在某实验中，我们测量一电热器的功率，得到电流I＝7.50±0.04A，电压U ＝8.0±0.1V，求此电热器的功率P及其标准误差。求法如下：
P＝IU＝7.50×8.0＝60W
σI/I＝0.04/7.50＝0.5％
σU/U＝0.1/8.0＝1.0
功率的相对误差
σP/P＝＝1.0％
功率的标准误差
σP＝1％×P＝1％X 60＝0.6W
由此求得电热器的功率为
P＝60±0.6W或P＝60W±l％
三、实验数据处理
物理化学实验数据经初步处理后，为了表示由实验结果所获得的规律，通常采用列表法、图解法、方程式法三种。以下分别对这三种表示方法的应用简要作一介绍，由于在基础物理化学实验数据处理中大多运用图形表示法，因此以下重点讨论图解法。
1．列表法
做完实验后获得了大量数据，经初步处理后，应该尽可能地列表，整齐而有规律地表达出来，使得全部数据一目了然，，便于进一步处理运算与检查。
利用列表法表达实验数据时，通常是列出自变量x和因变量y间的相应数值，每一表格都应有简明完备的名称，在表的每一行上，都应详细地写上名称、数量单位和因次。自变量的选择可以是时间、温度、浓度等变量，选择时最好能使其数值依次等量的递增。在每一行中，数字的排列要整齐，位数和小数点要对齐，有效数字的位数应特别注意。
选择依次均匀速增的自变量的方法，通常是将原始数据先按自变量和因变量的关系作图，画出光滑曲线，消去一些偶然误差，然后从曲线上选取适当的变量的间隔，用列表法列出相应的因变量的数值来。这种方法在测定随时间进行不断改变的物理量时最为常用。
2．图解法
利用图解法来表达物理化学实验数据具有许多优点，首先它能清楚地显示出所研究的变化规律与特点，如极大、极小、转折点、周期性、数量的变化速率等重要性质。其次，能够利用足够光滑的曲线，作图解微分和图解积分。有时还可通过作图外推以求得实验难于获得的量。
图解法被广泛应用，其中重要的有：
(1)求内插值。根据实验所得的数据，作出函数间的相互关系曲线，然后找出与某函数相应的物理量的数值。例如在溶解热的测定中，根据不同浓度时的积分溶解热曲线，可以直接找出某一种盐溶解在不同量的水中时所放出的热量。
(2)求外推值。在某些情况下，测量数据间的线性关系可用于外推至测量范围以外，求某一函数的极限值，此种方法称为外推法。例如，无限稀释强电解质溶液的摩尔电导Λ0的值不能由实验直接测定，因为无限稀释的溶液本身就是一种极限溶液，但可通过测量一系列
稀溶液的摩尔电导值，然后作Λ－c图外推至浓度为0，即得无限稀释溶液的摩尔电导。
(3)作切线求函数的微商。从曲线的斜率求函数的微商在物化实验数据处理中是经常应用的。例如利用积分溶解热的曲线作切线，由其斜率求出某一指定浓度下的微分冲淡热值，就是一个很好的例子。
(4)求经验方程式。如反应速度常数k与活化能E的关系式即阿仑尼乌斯公式
k＝Ae－E/RT
根据不同温度下的k值作lgk－1/T图，由直线的斜率和切距求得活化能E召和碰撞频率A 的数值。
(5)由求面积计算相应的物理量。例如在求电量时，只要以电流和时间作图，求出相应
一定时间的曲线下所包围的面积即得电量数值。
(6)求转折点和极值。例如电位滴定和电导滴定时等当点的求得，最高和最低恒沸点的测定等等都是应用图解法。
作图的一般步骤及原则：
(1)坐标纸的选择与横纵坐标的确定。直角坐标纸最为常用，有时半对数坐标或lg－lg 坐标纸也可选用，在表达三组份体系相图时，常采用三角坐标纸。
在用直角坐标纸作图时，习惯上以自变量为横轴，因变量为纵轴，横轴与纵轴的读数一般不一定从零开始，可视具体情况而定。例如：
测定物质B在溶液中的摩尔分数x B与溶液蒸气的蒸气压p，得到如下数据，其关系符合理想溶液。
由于溶液的蒸气压p是随摩尔分数x B而变，因此我们取x B为横坐标，p为纵坐标。
（2）坐标的范围。确定坐标的范围就是要包括全部测量数据或稍有余地。上例中
x B的变化范围：1.00—0.02＝0.98
p的变化范围：172.5—128.7＝43.8mmHg
坐标起点初步可定为(0，125.0)，横坐标x B之范围可在0—1.00，纵坐标p之范围可在125.0－175.0mmHg。
(3)比例尺的选择。坐标轴比例尺的选择极为重要。由于比例尺的改变，曲线形状也将跟着改变，若选择不当．可使曲线的某些相当于极大、极小或转折点的特殊部分就看不清楚了。
比例尺选择的一般原则：
①要能表示全部有效数字，以便从图解法求出各量的准确度与测量的准确度相适应，为此将测量误差较小的量取较大的比例尺。
由实验数据作出曲线后，则结果的误差是由二个因素所引起，即实验数据本身的误差及作图带来的误差，为使作图不致影响实验数据的准确度，一般将作图的误差尽量减少到实验数据误差的三分之一（若x B的误差为0.3％，作图的误差0.1％，则两者引起误差按统
计均方根法计＝0.32（％），显然可以将作图所引起的误差忽略不计）以下，这就使作图带来的误差可以忽略不计了。
②图纸每一小格所对应的数值既要便于迅速简便的读数又要便于计算，如1、2、5或者是1、2、5的10n（n为正或负整数），要避免用3、6、7、9这样的数值及它的10n倍。
③若作的图形为直线，则比例尺的选择应使其直线与横轴交角尽可能接近45。
确定横坐标比例尺的方法可选用下列三种方法中的任一种，其结果都相同。
第一种方法。图纸每小格有0.2格的误差，若作图带来的误差要小于x B的误差的1/3才能不影响实验的准确度。如x B的比例尺即每小格代表x B的量以r x表示，r x和x B的误差Δx B 的关系是：
r x×作图误差实验误差/3 即r x×0.2Δx B/3
实验数据中没有给出x B的误差Δx B，但从数据的有效数字来看，一般认为有效数字末位有一个单位的误差。即Δx B＝0.01，代人上式得
r x×0.20.01/3
故
r x0.017
每小格为0.017是属不完整数值，不可作为比例尺，只能改为0.02或0.01，设r x＝0.02/格，则作图误差为0.02×0.2＝0.004是Δx B的1/2.5，如以r x＝0.02／格作图所绘曲线太小，不适用。r x＝0.01／格时,则作甲误差为0.01×0.2＝0.002是Δx B的1/5。因此取r x＝0.01／格为宜。
第二种方法。利用逐步推算方法，以使图纸引起的误差可以忽略不计。
设取r x＝0.1／格，则图纸引起的误差为0.1×0.2＝0.02大于Δx B的1/3。
取r x＝0.05／格，则图纸引起的误差为0.05×0.2＝0.01大于Δx B的1/3。
取r x＝0.01／格，则图纸引起的误差为0.01×0.2＝0.002小于Δx B的1/3。因此取取r x＝0.01／格为宜。- ： 1
第三种方法。把每小格当作x B的有效数字中末位的一个单位或两个单位，这在没有给出测定值的误差时，此法最为方便。
上例中x B的有效数字中末位是在小数点后第二位，所以可取r x＝0.01／格或0．02／格。如取r x＝0.02／格，图纸带来的误差0.02×0.2＝0.004为Δx B的1/2.5，一般也可采用。但作图时只用50格，因此还是取取r x＝0.01／格为宜。一方面既忽略作图的误差，另一方面又使绘成图形不会太小。
（4）画坐标轴。选定比例尺后，画上坐标轴，在轴旁注明该轴所代表变量的名称和单位。在纵轴之左面和横轴下面每隔一定距离写下该处变量应有之值（际度)，以便作图及读数，但不应将实验值写于坐标轴旁，读数横轴自左至右；纵轴自下而上。
上面已确定x B的比例尺为0.01／格，即横坐标每小格为0.01。x B的变化范若从0.02至1.00，所以横坐标取100小格，起点为0。按比例尺选择的一般原则③，纵坐标也应取100小格左右，p的变化范围为43.0mmHg，所以r x＝43.0/100＝0.43。可取0.5mmHg，这样纵坐标长度约为90小格，起点可定为125mmHg。
已知r x＝0.01／格，r p=0.5mmHg／格；坐标起点为125.0，即可在坐标纸上做好标度。没有必要在每10个小格纸上标度，横坐标为0、20、40、60、80及100小格下写上0、0.20 0.40、0.60、0.80及1.00，纵坐标在起点，50小格和100小格处分别写上125，150，175即可。
(5)描点．将相当于测得数值的各点绘于图上，在点的周围画上小×、小圆圈、小方块或其他符号(在有些情况下其面积大小应近似地显示测量的准确度。如测量的准确度很高，圆圈应尽量画得小些，反之就大些)。在一张图纸上如有数组不同的测量值时，各组测量值的代表点应以不同符号表示，以示区别。并须在图上注明。
(6)联曲线．把点描好后，用曲线板或曲线尺作出尽可能接近于各实验点的曲线，曲线应平滑均匀，细而清晰，曲线不必通过所有各点，但各点在曲线两旁之分布，在数量上应近似于相等，各点和曲线间的距离表示了测量的误差，曲线与代表点间的距离应尽可能小，并且曲线两侧各点与曲线间距离之和亦应近于相等。
如果在理论上已阐明自变量和因变量为直线关系，或从描点后各点的走向来看是一直线
就应画为直线，否则按曲线来反映这些点的规律。
在画出直线时，一般先取各点的重心，此重心位
置是两个变量的平均值。上例中此溶液具有理想溶液
的性质，故x B与p应为直线关系。在x B一p图中
＝0.48，＝150.0mmHg。坐标（0.48，150.0）为图
上各点的重心，通过此重心，选好一直线，使各点在
此直线两边分布较均匀(若不是直线关系，则不必求
重心)。
(7)写图名。写上清楚完备的图名及坐标轴的比例
尺。图上除了图名、比例尺、曲线、坐标轴及读数之
外，一般不再写其他内容及作其他辅助线。数据亦不
要写在图上，但在实验报告上应有相应的完整的数
据。上例中在图的下面写明“溶液蒸气压和物质B 的浓度关系图”，即p一x B关系图。
（8）正确选用绘图仪器。绘图所用的铅笔应该削尖，才能使线条明晰清楚，画线时应该用直尺或曲尺辅助，不要光用手来描绘。选用的直尺或曲线板应透明，才能全面的观察实验点的分布情况，作出合理的线条来。
3．方程式法
每一组实验数据可以用数学经验方程式表示；这不但表达方式简单、记录方便；而且也便于求微分、积分或内插值。实验方程式是客观规律的一种近似描绘，它是理论探讨的线索和依据。例如，液体或固体的饱和蒸气压p与温度T曾发现符合下列经验式：
lgp＝A/T＋B
后来由化学热力学原理可推出饱和蒸气压与温度有如下的关系：
lgp＝＋常数
因此作出lgp与1/T图，由直线的斜率可求得A的值，而A＝，这样就可以求出ΔH v。
建立经验方程式的基本步骤：
(1)(1)将实验测定的数据加以整理与校正。
(2)(2)选出自变量和因变量并绘出曲线。
(3)(3)由曲线的形状，根据解析几何的知识，判断曲线的类型。
(4)(4)确定公式的形式，将曲线变换成直线关系或者选择常数将数据表达成多项式。
(5)(
①图解法：简单方程
y=a+bx (1-18)
在x－y直角坐标图上用实验数据描点得一直线，可用两种方法求a和b。
方法一，即截距斜率方法。将直线延长交于y轴，在y轴上的截距即为a，而直线与x轴的交角若为θ，则斜率b＝tgθ。
方法二即端值方法。在直线两端选两个点(x1，y1)、(x2，y2)将它们代人上式即得：
y1＝a＋bx1
y2＝a＋bx2
此即可求得b＝
a＝y1－bx1＝y2－bx2
②计算法:不用作图而直接由所测数据进行计算。设实验得到n组数据(x1,y1)、(x2，y2)、(x3，y3)、……(x n，y n)。代人(1-18)式得：
y1＝a＋bx1
y2＝a＋bx2（1-19）
……
y n＝a＋bx n
由于测定值各有偏差，若定义
δi＝y i－(a＋bx i) i=1，2，3，……(1-20)
δi为i组数据的残差。对残差的处理有不同的两种方法。
方法一即平均法。这是最简单的方法，令经验方程式残差的代数和等于零，即
＝0
计算时把方程组(1-19)分成数目相等或接近相等的两组，按下式迭加起来，得到两个方程，可解出a和b。
例如，设y=a+bx
依次代人(1-19)式得下列8个方程式：
a＋b＝3.0 (1) a＋13b＝8.0 (5)
a＋3b＝4.0 （2） a＋15b＝9.0 (6)
a＋8b＝6.9 (3) a＋17b＝10.0 (7)
a＋10b=7.0 (4) a＋20b＝11.0 (8)
将式(1)一(4)分为一组，相加得一方程式；式(5)～(8)分为另一组，相加得另一方程式，即4a+22b=20.0
4a+65b=38.0
解此联立方程式得：a＝2.70，b＝0.420
代人原方程得：
y＝2.70＋0.420x
方法二即最小二乘法。这是最准确的处理方法，其根据是残差的平方和为最小，即
＝＝最小
按上例可得：
＝＝最小
由函数有极小值的必要条件可知和必等于零，因此可得到下列两个方程式：
＝－2（y1－a－bx1）－2（y2－a－bx2）－…－2（y n－a－bx n）＝0
即－na－b＝0
同理可得：
＝－2x1（y1－a－bx1）－2x2（y2－a－bx2）…－2x n（y n－a－bx n）＝0 解上述如＝0和＝0的联立方程得：
a＝(1-21)
b＝(1-22)
实例1
n＝8
＝87 ＝58.0
＝1257 ＝762.0
代入(1—21)、(1—22)式得：
a＝2.66
b＝0.422
所以y＝2.66＋0.422x
求出方程式后，最好选择一、二个数据代人公式，加以核对验证。若相距太远，还可改变方程的形式或增加常数，重新求更准确的方程式。
如若方程的形式为
y＝a＋bx1＋cx2 (1-23)
式中x1、x2均为独立变量，故是二元线性回归。如实验数据是：
x1＝x11，x12，x13， (x1)
x2＝x21，x22，x23， (x2)
对应的y值是
y＝y1，y2，y，……y m
按上述一元线性回归的方法
＝－2Σ(y i－a－bx1i－cx2i)
＝－2Σ(y i－a－bx1i－cx2i)x1i
＝－2Σ(y i－a－bx1i－cx2i)x2i
令偏微商等于零，并引入平均值
m＝Σx1i m＝Σx2i m＝Σy i
m＝Σx1i2m＝Σx2i m＝Σx1i x2i
m＝Σx1i y i m＝Σx2i y i
可得：
－a－b－c＝0 (1-24)
－a－b－c＝0 (1-25)
－a－b―c＝0 (1-26)
由(1-24)式得a＝－b－c（1-27）
代入(1-24)、(1-26)式并整理得：
b(2－)＋c(－)＝－
b(－)＋c(2－)＝－
令l11＝2－l12＝－l22＝2－
l1y＝－l2y＝－
解方程即得：
b＝(1--28)
c=(1--29)
把求得的b、c再代回(1--27)式即得a。
引用记号l（l11，l12）后，就可把公式推广到多元的情况。
实例2 在不同压力下测得合成氨反应
1／2 N2(g)+3／2H2(g)NH3(g)
的数据如下：
p／pθ10 30 50 100 300 600
K p 0.00381 0.00386 0.00388 0.00402 0.00498 0.00651 若K p与p关系可用下式表示
K p＝a＋bp＋cp2
由上述实验数据可列出下表
K p p p2pp2p4K p p K p p2
0.00381 10
0.00386 30
0.00388 50
0.00402 100
0.00498 300
0.00651 600
Σ0.02706 1090 63500 2.44153×108 1.37807×1011 6.1499 2845.555 按（1-27）、(1--28)、(1--29)式最终可得出
K p＝0.003743+3.392×10－6p＋2.083×10－9p2
第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=121 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑==+???++= 1 222221均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值
第二章误差和分析数据处理 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免办法。 (1)砝码受腐蚀；(2)天平的两臂不等长；(3)容量瓶与移液管未经校准；(4)在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；(5)试剂含被测组分；(6)试样在称量过程中吸湿；(7)化学计量点不在指示剂的变色范围内；(8)读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；(9)在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符。(10)在HPLC测定中，待测组分峰与相邻杂质峰部分重叠。 答：（1）系统误差；校准砝码。 （2）系统误差；校准仪器。 （3）系统误差；校准仪器。 （4）系统误差；控制条件扣除共沉淀。 （5）系统误差；扣除试剂空白或将试剂进一步提纯。 （6）系统误差；在110℃左右干燥后称重。 （7）系统误差；重新选择指示剂。 （8）偶然误差；最后一位是估计值，因而估计不准产生偶然误差。 （9）系统误差；校准仪器。 （10）系统误差；重新选择分析条件。 2．表示样本精密度的统计量有哪些? 与平均偏差相比，标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度，为什么？ 3．说明误差与偏差、准确度与精密度的区别和联系。 4．什么叫误差传递？为什么在测量过程中要尽量避免大误差环节？ 5．何谓t分布？它与正态分布有何关系？ 6．在进行有限量实验数据的统计检验时，如何正确选择置信水平? 7．为什么统计检验的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F检验，在F检验通过后，才能进行t检验? 8．说明双侧检验与单侧检验的区别，什么情况用前者或后者? 9．何谓线性回归？相关系数的意义是什么？ 10．进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。
第二章 误差和分析数据处理 第一节 概 述 定量分析的任务是要准确地解决“量”的问题，但是定量分析中的误差是客观存在的，因此，必须寻找产生误差的原因并设法减免，从而提高分析结果的可靠程度，另外还要对实验数据进行科学的处理，写出合乎要求的分析报告。 第二节 测量误差 一、绝对误差和相对误差 1. 绝对误差 测量值与真实值之差称为绝对误差。δ = x - μ 2. 相对误差 绝对误差与真值的比值称为相对误差。 %100%100?-=?μ μμδ x 若真实值未知，但δ 已知，也可表示为 %100?x δ 3. 真值与标准参考物质 理论真值：如某化合物的理论组成等。 约定真值：如国际计量大会上确定的长度、质量、物质的量单位等。 相对真值：如标准参考物质的含量。 标准参考物质：经权威机构鉴定并给予证书的，又称标准试样。 实际工作中，常把最有经验的人用最可靠的方法对标准试样进行多次测定所得结 果的平均值作为真值的替代值。 二、系统误差和偶然误差 1. 系统误差（可定误差） 由某种确定的原因引起，一般有固定的方向，大小在试样间是恒定的，重复测定 时重复出现。
按系统误差的来源分类：方法误差、仪器或试剂误差、操作误差。 方法误差：滴定分析反应进行不完全、干扰离子的影响、滴定终点与化学计量点 不符、副反应的发生、沉淀的溶解、共沉淀现象、灼烧时沉淀的分解或挥发。 仪器或试剂误差：砝码、容量器皿刻度不准、试剂中含有被测物质或干扰物质。 操作误差：称样时未注意防止吸湿、洗涤沉淀过分或不充分、辨别颜色偏深（浅）、 读数偏高（低）。 按系统误差的数值变化规律分类：恒定误差、比例误差。 系统误差可用加校正值的方法予以消除。 2. 偶然误差（随机误差、不可定误差） 由于偶然的原因如温度、湿度波动、仪器的微小变化、对各份试样处理时的微小 差别等引起，其大小和正负都不固定。 偶然误差服从统计规律，可用增加平行测定次数加以减免。 三、准确度和精密度 1. 准确度与误差 准确度表示分析结果与真实值接近的程度。准确度的大小用绝对误差或相对误差 表示。评价一个分析方法的准确度常用加样回收率衡量。 2. 精密度与偏差 精密度表示平行测量的各测量值之间互相接近的程度。精密度的大小可用偏差、 相对平均偏差、标准偏差和相对标准偏差表示。重复性与再现性是精密度的常见别名。 偏差：d = x i - x 平均偏差： n x x d n i i ∑=-=1 相对平均偏差： %100/)(%1001?-=?∑=x n x x x d n i i 标准偏差（标准差）： 1 )(1 2 --= ∑=n x x S n i i
第一章实验数据误差分析与数据处理 第一节实验数据误差分析 一、概述 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验测量值和真值之间，总是存在一定的差异，在数值上即表现为误差。为了提高实验的精度，缩小实验观测值和真值之间的差值，需要对实验数据误差进行分析和讨论。 实验数据误差分析并不是即成事实的消极措施，而是给研究人员提供参与科学实验的积极武器，通过误差分析，可以认清误差的来源及影响，使我们有可能预先确定导致实验总误差的最大组成因素，并设法排除数据中所包含的无效成分，进一步改进实验方案。实验误差分析也提醒我们注意主要误差来源，精心操作，使研究的准确度得以提高。 二、实验误差的来源 实验误差从总体上讲有实验装置（包括标准器具、仪器仪表等）、实验方法、实验环境、实验人员和被测量五个来源。 1.实验装置误差 测量装置是标准器具、仪器仪表和辅助设备的总体。实验装置误差是指由测量装置产生的测量误差。它来源于： （1）标准器具误差 标准器具是指用以复现量值的计量器具。由于加工的限制，标准器复现的量值单位是有误差的。例如，标准刻线米尺的0刻线和1 000 mm刻线之间的实际长度与1 000 mm单位是有差异的。又如，标称值为 1kg的砝码的实际质量（真值）并不等于1kg等等。 （2）仪器仪表误差 凡是用于被测量和复现计量单位的标准量进行比较的设备，称为仪器或仪表．它们将被测量转换成可直接观察的指示值。例如，温度计、电流表、压力表、干涉仪、天平，等等。 由于仪器仪表在加工、装配和调试中，不可避免地存在误差，以致仪器仪表的指示值不等于被测量的真值，造成测量误差。例如，天平的两臂不可能加工、调整到绝对相等，称量时，按天平工作原理，天平平衡被认为两边的质量相等。但是，由于天平的不等臂，虽然天平达到平衡，但两边的质量并不等，即造成测量误差。 （3）附件误差 为测量创造必要条件或使测量方便地进行而采用的各种辅助设备或附件，均属测量附件。如电测量中的转换开关及移动测点、电源、热源和连接导线等均为测量附件，且均产生测量误差。又如，热工计量用的水槽，作为温度测量附件，提供测量水银温度计所需要的温场，由于水槽内各处温度的不均匀，便引起测量误差，等等。 按装置误差具体形成原因，可分为结构性的装置误差、调整性的装置误差和变化性的装置误差。结构性的装置误差如：天平的不等臂，线纹尺刻线不均匀，量块工作面的不平行性，光学零件的光学性能缺陷，等等。这些误差大部分是由于制造工艺不完善和长期使用磨损引起的。调整性的装置误差如投影仪物镜放大倍数调整不准确，水平仪的零位调整不准确，千分尺的零位调整不准确，等等。这些误差是由于仪器仪表在使用时，未调整到理想状态引起的。变化性的装置误差如：激光波长的长期不稳定性，电阻等元器件的老化，晶体振荡器频率的长期漂移，等等。这些误差是由于仪器仪表随时间的不稳定性和随空间位置变化的不均匀性造成的。 2.环境误差 环境误差系指测量中由于各种环境因素造成的测量误差。 被测量在不同的环境中测量，其结果是不同的。这一客观事实说明，环境对测量是有影响的，是测量的误差来源之一。环境造成测量误差的主要原因是测量装置包括标准器具、仪器仪表、测量附件同被测对象随着环境的变化而变化着。 测量环境除了偏离标准环境产生测量误差以外，从而引起测量环境微观变化的测量误差。 3.方法误差
误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多少次测定，但是测 定结果总不会是完全一样。这说明在测定中有误差。为此 我们必须了解误差产生的原因及其表示方法，尽可能将误 差减到最小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、环境、人的观察力、测量的程 序等，都不可能是完善无缺的，故真值是无法测得的，是 一个理想值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差出现的机 率相等，故将各观察值相加，加以平均，在无系统误差情 况下，可能获得极近于真值的数值。故“真值”在现实中 是指观察次数无限多时，所求得的平均值（或是写入文献 手册中所谓的“公认值”）。 （二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是有限的，
故用有限观察次数求出的平均值，只能是近似真值，或称 为最佳值。一般我们称这一最佳值为平均值。常用的平均 值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正态分布 时，用最小二乘法原理可以证明：在一组等精度的测量中， 算术平均值为最佳值或最可信赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==1222221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同一物理量 由不同人去测定，计算平均值时，常对比较可靠的数值予 以加重平均，称为加权平均。 ∑∑=++++++===n i i n i i i n n n w x w w w w x w x w x w w 11212211 式中；n x x x 21、——各次观测值； n w w w 21、——各测量值的对应权重。各观测值的
误差分析和数据处理
误差和分析数据处理 1 数据的准确度和精度 在任何一项分析工作中，我们都可以看到用同一个分析方法，测定同一个样品，虽然经过多 少次测定，但是测定结果总不会是完全一样。这 说明在测定中有误差。为此我们必须了解误差产 生的原因及其表示方法，尽可能将误差减到最 小，以提高分析结果的准确度。 1.1 真实值、平均值与中位数 （一）真实值 真值是指某物理量客观存在的确定值。通常一个物理量的真值是不知道的，是我们努力要求 测到的。严格来讲，由于测量仪器，测定方法、 环境、人的观察力、测量的程序等，都不可能是 完善无缺的，故真值是无法测得的，是一个理想 值。科学实验中真值的定义是：设在测量中观察 的次数为无限多，则根据误差分布定律正负误差 出现的机率相等，故将各观察值相加，加以平均， 在无系统误差情况下，可能获得极近于真值的数 值。故“真值”在现实中是指观察次数无限多时， 所求得的平均值（或是写入文献手册中所谓的 “公认值”）。
（二）平均值 然而对我们工程实验而言，观察的次数都是 有限的，故用有限观察次数求出的平均值，只能 是近似真值，或称为最佳值。一般我们称这一最 佳值为平均值。常用的平均值有下列几种： （1）算术平均值 这种平均值最常用。凡测量值的分布服从正 态分布时，用最小二乘法原理可以证明：在一组 等精度的测量中，算术平均值为最佳值或最可信 赖值。 n x n x x x x n i i n ∑=++==121 式中： n x x x 21、——各次观测值；n ――观察 的次数。 （2）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑=++==12 22221 均 （3）加权平均值 设对同一物理量用不同方法去测定，或对同 一物理量由不同人去测定，计算平均值时，常对 比较可靠的数值予以加重平均，称为加权平均。
物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分 尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预 先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告 要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签 名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照 实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差
第一章 实验误差评定和数据处理 （课后参考答案） 制作：李加定 校对：陈明光 3.改正下列测量结果表达式的错误： （1）± 625 （cm ） 改:±（cm ） （2） ± 5（mm ） 改: ± 5（mm ） （3）± 6 （mA ） 改: ± （mA ） （4）96 500±500 （g ） 改: ± （kg ） （5）±（℃） 改: ±（℃） 4.用级别为，量程为10 mA 的电流表对某电路的电流作10次等精度测量，测量数据如下表所示。试计算测量结果及标准差，并以测量结果形式表示之。 解：①计算测量列算术平均值I ： 10 1 19.548 ()10i i I I mA ===∑ ②计算测量列的标准差I σ： 0.0623 (cm)I σ= = ③根据格拉布斯准则判断异常数据： 取显著水平a ＝，测量次数n ＝10，对照表1-3-1查得临界值0(10,0.01) 2.41g =。取max x ?计算i g 值，有 6 60.158 2.536 2.410.0623 I I g σ?= = => 由此得6I ＝为异常数据，应剔除。 ④用余下的数据重新计算测量结果
重列数据如表1-3-3。 计算得 9 1 19.564 ()9i i I I mA ===∑ ，0.0344 ()I mA σ== 再经过格拉布斯准则判别，所有测量数据符合要求。 算术平均值I 的标准偏差为I σ 0.01145I σ= = = （mA ） 按均匀分布计算系统误差分量的标准差σ仪 为 0.0289σ?=仪0.5%10 （mA ） 合成标准差σ为 0.031σ (mA ) 取0.04σ= (mA)，测量结果表示为 9.560.04x x σ=±=± (mA ) 5．用公式24m d h ρπ= 测量某圆柱体铝的密度，测得直径d ＝±（cm ），高h ＝±（cm ），质量m ＝±（g ）。计算铝的密度ρ和测量的标准差ρσ，并以测量结果表达式表示之。 解 （1）计算铝的密度ρ： 322 4436.488 2.7003g /m 3.1416 2.042 4.126 m c d h ρπ?= =??＝（） （2）计算g 标准差相对误差： 对函数两边取自然对数得 ln ln 4ln ln 2ln ln m d h ρπ=-+-- 求微分，得
误差分析与数据处理 物理化学实验是研究物质的物理性质以及这些物理性质与其化学反应间关系的一门实验科学。在实验研究工作中，一方面要拟定实验的方案，选择一定精度的仪器和适当的方法 进行测量；另一方面必须将所测得的数据加以整理归纳，科学地分析并寻求被研究变量间的 规律。但由于仪器和感觉器官的限制，实验测得的数据只能达到一定程度的准确性。因此，在着手实验之前要了解测量所能达到的准确度以及在实验以后合理地进行数据处理，都必须 具有正确的误差概念，在此基础上通过误差分析，选用最合适的仪器量程，寻找适当的实验方法，得出测量的有利条件。下面首先简要介绍有关误差等几个基本概念。 —、一、基本概念 1.误差。在任何一种测量中，无论所用仪器多么精密，方法多么完善，实验者多么细心，所得结果常常不能完全一致而会有一定的误差或偏差。严格地说，误差是指观测值与真 值之差，偏差是指观测值与平均值之差。但习惯上常将两者混用而不加区别。根据误差的种类、性质以及产生的原因，可将误差分为系统误差、偶然误差和过失误差三种。 系统误差： 这种误差是由于某种特殊原因所造成的恒定偏差，或者偏大或者偏小，其数值总可设法 加以确定，因而一般说来，它们对测量结果的影响可用改正量来校正。系统误差起因很多，例如： (1)仪器误差。这是由于仪器构造不够完善，示数部分的刻度划分得不够准确所引起，如天平零点的移动，气压表的真空度不高，温度计、移液管、滴定管的刻度不够准确等。 (2)测量方法本身的限制。如根据理想气体方程式测量某蒸汽的相对分子质量时，由于实际气体对理想气体有偏差，不用外推法求得的相对分子质量总较实际的相对分子质量为大。 (3 )个人习惯性误差。这是由于观测者有自己的习惯和特点所引起，如记录某一信号的时间总是滞后、有人对颜色的感觉不灵敏、滴定等当点总是偏高等。 系统误差决定测量结果的准确度。它恒偏于一方，偏正或偏负，测量次数的增加并不能 使之消除。通常是用几种不同的实验技术或用不同的实验方法或改变实验条件、调换仪器等 以确定有无系统误差存在，并确定其性质，设法消除或使之减 少，以提高准确度。 偶然误差： 在实验时即使采用了完善的仪器，选择了恰当的方法，经 过了精细的观测，仍会有一定的误差存在。这是由于实验者的感官的灵 敏度有限或技巧不够熟练、仪器的准确度限制以及许 多不能预料的其他因素对测量的影响所引起的。这类误差称为 偶然误差。它在实验中总是存在的，无法完全避免，但它服从几 率分布。偶然误差是可变的，有时大，有时小，有时正，有 时负。但如果多次测量，便会发现数据的分布符合一般统计规律。这种规律可用图I一1中的典型曲线表示，此曲线称为误差的正态分布曲线，此曲线的函数形式为: y= y = 式中：h称为精确度指数，b为标准误差，h与b的关系为：h= 。 自图I 一1中的曲线可以出： (1)误差小的比误差大的出现机会多，故误差的几率与误差大小有关。个别特别大的误差出现的次数极少。 (2)由于正态分布曲线与y轴对称，因此数值大小相同，符号相反的正、负误差出现的机率近于相等。如以m代表无限多次测量结果的平均值，在没有系统误差的情况下，它可以代表真值。b为无限多次测量所得标准误差。由数理统计方法分析可以得出，误差在土
桥梁模型试验与量测技术 1钢筋混凝土桥梁剩余寿命评估方法研究2006ZB01 2自预应力钢管混凝土开发应用试验研究2006ZB02 3 GPS长距离高精度高程传递关键技术研究2006ZB03 4公路隧道松弛荷载预测理论与预警系统及设计方法研究 2006ZB04 5大跨径预应力混凝土桥梁主梁下挠原因分析及对策研究 2006ZB05 6 FRP在混凝土桥梁预应力体系和构件中的应用技术研究 2006ZB06 7钢筋砼肋拱桥现状评价与加固技术研究2006ZB07 8斜拉—悬索协作体系桥梁的研究 2006ZB08 9公路隧道建设中数字化技术应用研究2006ZB09 10混凝土桥梁耐久性设计方法和设计参数研究2006ZB10 11桥梁结构表面防护耐久性材料的研究2006ZB11 12跨江海大型桥梁结构混凝土裂化性能与耐久性对策措施的研究 2006ZB12 13高性能预拌式冷铺沥青混合料的研制和应用技术研究 2006ZB13 14沥青路面热反射与热阻技术应用研究2006ZB14 15基于弹粘性的沥青混合料设计分析体系研究2006ZB15 16 沿海港口深水航道选线及设计主要参数研究2006ZB16 课程内容： 《桥梁模型试验与量测技术》课教学实施计划表
课程特点：内容多、涉及面宽、比较难学。 学习方法：认真笔记、完成思考题 第一章误差分析与实验数据处理 研究误差的意义 人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然界的各种现象进行测量和研究，由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及受人们认识能力所限等，测量和实验所得数据和被测量的真值之间，不可避免地存在着差异，这在数值上即表现为误差。随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断提高，虽可将误差控制得愈来愈小，但终究不能完全消除它。误差存在的必然性和普遍性，已为大量实践所证明，为了充分认识并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进行研究。研究误差的意义为： ①正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。 ②正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的效据。 ③正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 第一节误差的基本概念 一、真值、实验值、平均值、理论值、误差 真值：是指在观测一个量时，该量本身所具有的真实大小。量的真值是一个理想的概念，一般是不知道的。但在某些特定情况下，真值又是可知的。 理论真值：例如：三角形三个内角之和为180o；一个整圆周角为360o。 规定真值：例如：1982年，国际计量局召开会议提出“米”的新定义为：1等于光在真空中1/299792458秒时间间隔内所经过的路径长度。 相对真值：为了使用上的需要，在实际测量中，常用被测的量的实际值来代替真值，而实际值的定义是满足规定精确度的用来代替真值使用的量值。例如在检定工作中，把高一等级精度的标准所测得的量值称为真值。 实验值：通过实验方法得到某个物理量的数值。 算术平均值：有限次观测值的平均值。 n x x n i ∑=1 理论值：通过理论公式计算得到某个物理量的数值。
“误差分析和数据处理”习题及解答 1．指出下列情况属于偶然误差还是系统误差？ （1）视差；（2）游标尺零点不准；（3）天平零点漂移；（4）水银温度计毛细管不均匀。 答：（1）偶然误差；（2）系统误差；（3）偶然误差；（4）系统误差。 2．将下列数据舍入到小数点后3位： 3.14159； 2.71729； 4.510150； 3.21650； 5.6235； 7.691499。 答：根据“四舍六入逢五尾留双”规则，上述数据依次舍为： 3.142； 2.717； 4.510； 3.216； 5.624； 7.691。 3．下述说法正确否？为什么？ （1）用等臂天平称衡采取复称法是为了减少偶然误差，所以取左右两边所称得质量的平均值作为测量结果，即 ()1 2 m m m = +左右 （2）用米尺测一长度两次，分别为10.53 cm 及10.54 cm ，因此测量误差为0.01 cm 。 答：（1）错。等臂天平称衡时的复称法可抵消因天平不等臂而产生的系统误差。被测物（质量为m ）放在左边，右边用砝码（质量为m r ）使之平衡，ml 1 = m r l 2，即 2 r 1 l m m l = 当l 1 = l 2时，m = m r 。当l 1 ≠ l 2时，若我们仍以m r 作为m 的质量就会在测量结果中出现系统误差。为了抵消这一误差，可将被测物与砝码互换位置，再得到新的平衡，m l l 1 = ml 2，即 1 l 2 l m m l = 将上述两次称衡结果相乘而后再开方，得 m = 这时测量结果中不再包含因天平不等臂所引起的系统误差。 （2）错。有效数字末位本就有正负一个单位出入；测量次数太少；真值未知。 4．氟化钠晶体经过五次重复称量，其质量（以克计）如下表所示。试求此晶体的平均质量、平均误差和标准误差。
第二章实验数据误差分析和数据处理 第一节实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1.真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实
验测量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种: (1) 算术平均值 算术平均值是最常见的一种平均值。 设1x 、2x 、……、n x 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 n x n x x x x n i i n ∑==+???++=1 21 (2-1) (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 n n x x x x ????=21几 (2-2) （3）均方根平均值 n x n x x x x n i i n ∑== +???++= 1 2222 21 均 (2-3) (4) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这种情况下表征平均值常用对数平均值。 设两个量1x 、2x ，其对数平均值 2 1212 121ln ln ln x x x x x x x x x -=--=对 (2-4) 应指出，变量的对数平均值总小于算术平均值。当1x /2x ≤2时，可以用算术平均值代替对数平均值。 当1x /2x =2，对x =, =x , (对x -x )／对x =%, 即1x /2x ≤2，引起的误差不超过%。
物理实验误差分析与数 据处理 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
目录 实验误差分析与数据处理 (2) 1 测量与误差 (2) 2 误差的处理 (6) 3 不确定度与测量结果的表示 (10) 4 实验中的错误与错误数据的剔除 (13) 5 有效数字及其运算规则 (15) 6 实验数据的处理方法 (17) 习题 (25)
实验误差分析与数据处理 1 测量与误差 测量及测量的分类 物理实验是以测量为基础的。在实验中，研究物理现象、物质特性、验证 物理原理都需要进行测量。所谓测量，就是将待测的物理量与一个选来作为标．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 准的同类量进行比较，得出它们的倍数关系的过程．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 。选来作为标准的同类量称之为单位，倍数称为测量数值。一个物理量的测量值等于测量数值与单位的乘积。 在人类的发展历史上，不同时期，不同的国家，乃至不同的地区，同一种物理量有着许多不同的计量单位。如长度单位就分别有码、英尺、市尺和米等。为了便于国际交流，国际计量大会于1990年确定了国际单位制（SI ），它规定了以米、千克、秒、安培、开尔文、摩尔、坎德拉作为基本单位，其他物理量（如力、能量、电压、磁感应强度等）均作为这些基本单位的导出单位。 1．直接测量与间接测量 测量可分为两类。一类是直接测量，是指直接将待测物理量与选定的同类物理量的标准单位相比较直接得到测量值的一种测量。它无须进行任何函数关系的辅助运算。如用尺测量长度、以秒表计时间、天平称质量、安培表测电流等。另一类是间接测量，是指被测量与直接测量的量之间需要通过一定的函数关系的辅助运算，才能得到被测量物理量的量值的测量。如单摆测量重力加速 度时，需先直接测量单摆长l 和单摆的周期T ，再应用公式224T l g π=，求得重力 加速度g 。物理量的测量中，绝大部分是间接测量。但直接测量是一切测量的基础。不论是直接测量，还是间接测量，都需要满足一定的实验条件，按照严格的方法及正确地使用仪器，才能得出应有的结果。因此实验过程中，一定要充分了解实验目的，正确使用仪器，细心地进行操作读数和记录，才能达到巩固理论知识和加强实验技能训练的目的。 2．等精度测量与不等精度测量 同一个人，用同样的方法，使用同样的仪器，在相同的条件下对同一物理量进行多次测量，尽管各次测量并不完全相同，但我们没有任何充足的理由来判断某一次测量更为精确，只能认为它们测量的精确程度是完全相同的。我们把这种具有同样精确程度的测量称之为等精度测量。在所有的测量条件中，只要有一个发生变化，这时所进行的测量即为不等精度测量。在物理实验中，凡是要求多次测量均指等精度测量，应尽可能保持等精度测量的条件不变。严格地说，在实验过程中保持测量条件不变是很困难的。但当某一条件的变化对测量结果的影响不大时，乃可视为等精度测量。在本书中，除了特别指明外，都作为等精度测量。
盛年不重来，一日难再晨。及时宜自勉，岁月不待人。 物理实验课的基本程序 物理实验的每一个课题的完成，一般分为预习、课堂操作和完成实验报告三个阶段。 §1 实验前的预习 为了在规定时间内，高质量地完成实验任务，学生一定要作好实验前的预习。 实验课前认真阅读教材，在弄清本次实验的原理、仪器性能及测试方法和步骤的基础上，在实验报告纸上写出实验预习报告。预习报告包括下列栏目： 实验名称 写出本次实验的名称。 实验目的 应简单明确地写明本次实验的目的要求。 实验原理 扼要地叙述实验原理，写出主要公式及符号的意义，画上主要的示意图、电路图或光路图。若讲义与实际所用不符，应以实际采用的原理图为准。 实验内容 简明扼要地写出实验内容、操作步骤。为了使测量数据清晰明了，防止遗漏，应根据实验的要求，用一张A4白纸预先设计好数据表格，便于测量时直接填入测量的原始数据。注意要正确地表示出有效数字和单位。 §2 课堂操作 进入实验室，首先要了解实验规则及注意事项，其次就是熟悉仪器和安装调整仪器（例如,千分尺调零、天平调水平和平衡、光路调同轴等高等）。 准备就绪后开始测量。测量的原始数据（一定不要加工、修改）应忠实地、整齐地记录在预先设计好的实验数据表格里，数据的有效位数应由仪器的精度或分度值加以确定。数据之间要留有间隙，以便补充。发现是错误的数据用铅笔划掉，不要毁掉，因为常常在核对以后发现它并没有错，不要忘记记录有关的实验环境条件（如环境温度、湿度等），仪器的精度，规格及测量量的单位。实验原始数据的优劣，决定着实验的成败，读数时务必要认真仔细。运算的错误可以修改，原始数据则不能擅自改动。全部数据必须经老师检查、签名，否则本次实验无效。两人同作一个实验时，要既分工又协作，以便共同完成实验。实验完毕后，应切断电源，整理好仪器，并将桌面收拾整洁方能离开实验室。 §3 实验报告 实验报告是实验工作的总结。要用简明的形式将实验报告完整而又准确地表达出来。实验报告要求文字通顺，字迹端正，图表规矩，结果正确，讨论认真。应养成实验完后尽早写出实验报告的习惯，因为这样做可以收到事半功倍的效果。 完整的实验报告应包括下述几部分内容： 数据表格 在实验报告纸上设计好合理的表格，将原始数据整理后填入表格之中（有老师签名的原始数据记录纸要附在本次报告一起交）。 数据处理 根据测量数据，可采用列表和作图法（用坐标纸），对所得的数据进行分析。按照实验要求计算待测的量值、绝对误差及相对误差。书写在报告上的计算过程应是：公式→代入数据→结果，中间计算可以不写，绝对不能写成：公式→结果，或只写结果。而对误差的计算应是：先列出各单项误差,按如下步骤书写，公式→代入数据→用百分数书写的结果。 结果表达 按下面格式写出最后结果： ）N （）（N ）N （总绝对误差测量结果待测量?±=.. %100(??=N N ）Er 相对误差 结果分析 对本次实验的结果及主要误差因数作简要的分析讨论，并完成课后的思考题。还
误差分析与数据处理 一.填空题 1. ______(3S或莱以特)准则是最常用也是最简单的判别粗大误差的准则。 2. 随机误差的合成可按标准差和______（极限误差）两种方式进行。 3. 在相同测量条件下，对同一被测量进行连续多次测量所得结果之间的一致性称为______（重复）性。 4. 在改变了的测量条件下，同一被测量的测量结果之间的一致性称为______（重现）性。 5. 测量准确度是指测量结果与被测量______（真值）之间的一致程度。 6. 根据测量条件是否发生变化分类，可分为等权测量和______（不等权）测量。 7. 根据被测量对象在测量过程中所处的状态分分类，可分为静态测量和_____(动态)测量。 8. 根据对测量结果的要求分类，可分为工程测量和_____(精密)测量。 9. 真值可分为理论真值和____(约定)真值。 10. 反正弦分布的特点是该随机误差与某一角度成_____(正弦)关系。 11. 在相同条件下，对同一物理量进行多次测量时，误差的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律地重复。这种误差称为______(系统误差)。 12. 在相同条件下，对某一物理量进行多次测量时，每次测量的结果有差异，其差异的大小和符号以不可预定的方式变化着。这种误差称为______(偶然误差或随机误差)。 13. 系统误差主要来自仪器误差、________（方法误差）、人员误差三方面。 14. 仪器误差主要包括_________（示值误差）、零值误差、仪器机构和附件误差。 15. 方法误差是由于实验理论、实验方法或_________（实验条件）不合要求而引起的误差。 16. 精密度高是指在多次测量中，数据的离散性小，_________（随机）误差小。 17. 准确度高是指多次测量中，数据的平均值偏离真值的程度小，_________（系统）误差小。 18. 精确度高是指在多次测量中，数据比较集中，且逼近真值，即测量结果中的_________（系统）误差和_________（随机）误差都比较小。 19. 用代数方法与未修正测量结果相加，以补偿其系统误差的值称为_____(修正值)。 20. 标准偏差的大小表征了随机误差的_____(分散)程度。 21. 偏态系数描述了测量总体及其误差分布的_____（非对称）程度。 22. 协方差表示了两变量间的_____（相关）程度。
2 (3) 均方根平均值 n 2.2. , 2 '乞 X X i X 2 X n id ---------------- — n n (2-3) 对数平均值 在化学反应、热量和质量传递中，其分布曲线多具有对数的特性，在这 种情况 下表征平均值常用对数平均值。 设两个量捲、X 2，其对数平均值 1 -X 2 X 对 | In X t — In X 2 X i -X 2 (2-4) 第二章 实验数据误差分析和数据处理 第一节 实验数据的误差分析 由于实验方法和实验设备的不完善，周围环境的影响，以及人的观察力，测量程序等限 制，实验观测值和真值之间，总是存在一定的差异。人们常用绝对误差、相对误差或有效数字 来说明一个近似值的准确程度。为了评定实验数据的精确性或误差，认清误差的来源及其影 响，需要对实验的误差进行分析和讨论。由此可以判定哪些因素是影响实验精确度的主要方 面，从而在以后实验中，进一步改进实验方案，缩小实验观测值和真值之间的差值，提高实验 的精确性。 一、误差的基本概念 测量是人类认识事物本质所不可缺少的手段。通过测量和实验能使人们对事物获得定量的 概念和发现事物的规律性。科学上很多新的发现和突破都是以实验测量为基础的。测量就是用 实验的方法，将被测物理量与所选用作为标准的同类量进行比较，从而确定它的大小。 1. 真值与平均值 真值是待测物理量客观存在的确定值，也称理论值或定义值。通常真值是无法测得的。若 在实验中，测量的次数无限多时，根据误差的分布定律，正负误差的出现几率相等。再经过细 致地消除系统误差，将测量值加以平均，可以获得非常接近于真值的数值。但是实际上实验测 量的次数总是有限的。用有限测量值求得的平均值只能是近似真值，常用的平均值有下列几种 (1) 算术平均值算术平均值是最常见的一种平均值。 设为、X 2、……、X n 为各次测量值，n 代表测量次数，则算术平均值为 -X 1 X 2 亠 亠 X n X n (2) 几何平均值 几何平均值是将一组n 个测量值连乘并开n 次方求得的平均值。即 r X 几 = n X i X 2 X n (2-1) (2-2)
第二章 误差和分析数据处理 思考题和习题 1．指出下列各种误差是系统误差还是偶然误差？如果是系统误差，请区别方法误差、仪器和试剂误差或操作误差，并给出它们的减免办法。 (1)砝码受腐蚀；(2)天平的两臂不等长；(3)容量瓶与移液管未经校准；(4)在重量分析中，试样的非被测组分被共沉淀；(5)试剂含被测组分；(6)试样在称量过程中吸湿；(7)化学计量点不在指示剂的变色范围内；(8)读取滴定管读数时，最后一位数字估计不准；(9)在分光光度法测定中，波长指示器所示波长与实际波长不符。 2．表示样本精密度的统计量有哪些? 与平均偏差相比，标准偏差能更好地表示一组数据的离散程度，为什么？ 3．说明误差与偏差、准确度与精密度的区别和联系。 4．什么叫误差传递？为什么在测量过程中要尽量避免大误差环节？ 5．何谓t 分布？它与正态分布有何关系？ 6．在进行有限量实验数据的统计检验时，如何正确选择置信水平? 7．为什么统计检验的正确顺序是：先进行可疑数据的取舍，再进行F 检验，在F 检验通过后，才能进行t 检验? 8．说明双侧检验与单侧检验的区别，什么情况用前者或后者? 9．何谓线性回归？相关系数的意义是什么？ 10．进行下述运算，并给出适当位数的有效数字。 (1)41016.614 .1510.452.2??? (2)0001120.010.514.2101.3?? (3) 002034.0512.21003.40.514???- (4)050.110 12.21.80324.02??? (5)5462.31050.78940.142.551.22856.23-??-+?(6) pH = 2.10 , 求[H +] = ? （2.54×10-3；2.98×106；4.02；53.0；3.144；7.9×10-3mol/L ）
第二章误差和分析数据处理习题 一、最佳选择题 1. 如果要求分析结果达到%的准确度，使用灵敏度为的天平称取试样时，至少应称取（） A. 0.1g B. C. 0.05g D. 0.5g 2. 定量分析结果的标准偏差代表的是（）。 A. 分析结果的准确度 B. 分析结果的精密度和准确度 C. 分析结果的精密度 D. 平均值的绝对误差 3. 对某试样进行平行三次测定，得出某组分的平均含量为% ，而真实含量为 % ，则 %%=% 为（） A. 相对误差 B. 绝对误差 C. 相对偏差 D. 绝对偏差 4. 下列论述正确的是：（） A. 准确度高，一定需要精密度好； B. 进行分析时，过失误差是不可避免的； C. 精密度高，准确度一定高； D. 精密度高，系统误差一定小； 5. 下面哪一种方法不属于减小系统误差的方法（） A. 做对照实验 B. 校正仪器 C. 做空白实验 D. 增加平行测定次数 6. 下列表述中,最能说明系统误差小的是 ( ) A. 高精密度 B. 与已知的质量分数的试样多次分析结果的平均值一致 C. 标准差大 D. 仔细校正所用砝码和容量仪器等 7. 用下列何种方法可减免分析测定中的系统误差（） A. 进行仪器校正 B. 增加测定次数 C. 认真细心操作 D. 测定时保证环境的湿度一致 8. 下列有关偶然误差的论述中不正确的是（） A．偶然误差是由一些不确定的偶然因素造成的； B．偶然误差出现正误差和负误差的机会均等； C．偶然误差在分析中是不可避免的； D．偶然误差具有单向性
9. 滴定分析中出现下列情况，属于系统误差的是：（） A. 滴定时有溶液溅出 B. 读取滴定管读数时，最后一位估测不准 C. 试剂中含少量待测离子 D. 砝码读错 10. 某一称量结果为, 其有效数字为几位（） A . 1 位 B. 2 位 C. 3 位 D. 4 位 11. 测的某种新合成的有机酸pK a值为，其K a值应表示为（） A. ×10 -13； B. ×10 -13； -13； D. 4×10 -13 12. 指出下列表述中错误的表述 ( A ) A. 置信水平愈高,测定的可靠性愈高 B. 置信水平愈高,置信区间愈宽 C. 置信区间的大小与测定次数的平方根成反比 D. 置信区间的位置取决于测定的平均值 13. 下列有关置信区间的描述中，正确的有：（ A ） A. 在一定置信度时，以测量值的平均值为中心的包括真值的范围即为置信区间 B. 真值落在某一可靠区间的几率即为置信区间 C. 其他条件不变时，给定的置信度越高，平均值的置信区间越宽 D. 平均值的数值越大，置信置信区间越宽 14. 分析测定中，使用校正的方法，可消除的误差是 ( )。 A. 系统误差 B. 偶然误差 C. 过失误差 D. 随即误差 15. 关于t分布曲线和正态分布曲线形状的叙述，正确的是： ( ) A. 形状完全相同，无差异； B. t分布曲线随f而变化，正态分布曲线随u而变； C. 两者相似，而t分布曲线随f而改变； D. 两者相似，都随f而改变。 16. ) 457 .2 1. 17 /( ) 25751 .0 83 .2 5. 472 (+ ? ? = y的计算结果应取有效数字的位数是 ( ) A. 3位 B. 4位 C. 5位 D. 6位 17. 以下情况产生的误差属于系统误差的是 ( )。 A. 指示剂变色点与化学计量点不一致； B. 滴定管读数最后一位估测不准； C. 称样时砝码数值记错； D. 称量过程中天平零点稍有变动。 18. 下列数据中有效数字不是四位的是( )。 A. B. 0.0024 C. D.