学生姓名学生年级学校
上课时间辅导老师科目
教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）
教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线
开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格
新
课
导
入
知识点归纳
1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）；
2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线；
3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线；
4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质.
新
课
内
容
做辅助线思路一：倍长中线法
经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围.
【课堂训练】
1.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论：
①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）
A.①②④
B.①③④
C.①②③
D.①②③④
第1题图第2题图
2.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，
BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
3.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）
①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
做辅助线思路二：构造中位线法
经典例题2：梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝12，BC＝16，中位线EF与对角线分别相交于H和G，则GH的长是________.
【课堂训练】
1.已知，如图，四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是AD、BC的中点，BA、FE的延长线相交于点M，CD、FE的延长线相交于点N.求证：∠AME＝∠DNE.
2.已知，如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AD、BC 的中点，EF分别交AC、BD于点M、N.求证：OM＝ON.
A
B F C
D
N
M
E
D
A B
C
O
E F
M N
P
3.BD、CE分别是的△ABC外角平分线，过A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分别是F、G，易证FG=
2
1
（AB+BC+AC）。
（1）若BD、CE分别是△ABC的内角平分线，FG与△ABC三边有怎样的数量关系？画出图形（图1）并说明理由；
（2）若BD、CE分别是△ABC的内角和外角平分线，FG与△ABC三边有怎样的数量关系？画出图形（图2）并说明理由．
4.已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＋BC＝AB，M是CD的中点试说明：AM⊥BM。
B C
M
N
A D
5.如图所示，在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，BD⊥AD于D，点E是边BC的中点，如果AB＝6，AC＝14，则求DE的长.
6.如图所示，在△ABC中，∠A＋∠B＝2∠ACB，BC＝8，D为AB的中点，且CD＝1
97
2
，求
AC的长.
做辅助线思路三：构造斜边中线法
经典例题3：如图，△BCD和△BCE中，∠BDC＝∠BEC＝90°，O为BC的中点，BD、CE交于A，∠BAC＝120°，求证：DE＝OE.
【课堂训练】
1. 如图，△CDE中，∠CDE＝135°，CB⊥DE于B，EA⊥CD于A，求证：CE＝2AB.
2.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，点M、N分别是BC、DE的中点，
（1）求证：MN⊥DE；
（2）连结ME、MD，若∠A＝60°，求MN
DE
的值.
3.如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E、F分别在AB、AC上，且AE＝EF，点O、M分
别为AF、CE的中点.求证：（1）OM＝
1
2
CE；（2）OB＝2OM.
4.如图，∠DBC＝∠BCE＝90°，M为DE的中点，求证：MB＝MC.
教
学
后
记
学生签名：家长签名：
几何综合 题型一：中点模型的构造 中点模型 ①中线（点）：倍长（类）中线 ②两中点：中位线 ③等腰三角形底边中点：三线合一 ④直角三角形斜边中点：斜边中线=斜边一半?构造两等腰 ⑤中垂线：中垂线上的点连两端点 有些题目的中点没有直接给出，此时需要挖掘题目中隐含的中点条件，并适时添加辅助线． 典题精练 【例1】 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 为边AD 的中点，过点C 作AB 的垂线交AB 于 点E ，若∠EMD = 3∠MEA ．求证：BC =2AB ． D C B A E M 【解析】证法一： 如右图（a ），延长EM 交CD 的长线于点E '，连结CM
∵AB ∥CD ， ∴∠ME'D =∠MEA ． 又AM = DM ，∠AME =∠DME' ∴△AFM ≌△DE M '． ∴EM =E M ' ∵AB ∥CD ，CE ⊥AB ， ∴EC ⊥CD ． ∴CM 是Rt △ECE '斜边EE '的中线， ∴ME '=MC ． ∴ME D E CM '='， ∴∠EMC = 2ME D ∠'= 2∠AEM ． ∵∠EMD =3∠MEA ， ∴∠CMD =∠DCM ， ∴MD = CD ． ∵AD = 2DM ，AB = CD ，AD = BC ， ∴BC = 2AB ． 证法二： 如右图(b )，过点M 作MM AB '∥交BC 于M '，过点M '作 M E ME ''∥交AB 的延长线于点E '，连接EM '． ∴点M '是BC '的中点，EE AB '=，E BM EAM ∠''=∠， M E B M EA ''=∠，M MD EAM E BM '=∠=∠'' ∵点M '是Rt △EBC 斜边BC 的中点， ∴M E BM '='，∴BEM M BE ∠'=∠'． ∴180E BM BEM ∠''=?-∠'． ∵∠EMD = 3∠MEA ，∴2M MD MEA ∠'=∠， ∴2E BM M E B ∠''=∠'' ∴ 1802BEM M E B ?-∠'=∠''， 1 902 M E B BEM ∠''=?-∠'． ∴E EM E ∠=∠''．∴EM EE '=',∴BM AB '=． ∴BC = 2AB ． 【例2】 如图所示，分别以△ABC 的边AB 、AC 为边，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方 形ACFG ，点M 为BC 中点， ⑴ 求证：AM ⊥EG ；⑵ 求证：EG = 2AM ． (a ) E’ M E A B D (b ) M’ E’ M E A B C D
构造中位线 巧解圆锥曲线题 徐志平 （浙江金华一中 321000） 在求一些与圆锥曲线有关的题目时，通常需要先构造出三角形或梯形的中位线，然后借助中位线的性质定理来求解，现举例加以分析说明。 1．求点的坐标 例1. 椭圆13 122 2=+y x 的一个焦点为1F ，点P 在椭圆上。如果线段1PF 的 中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是 （ ） A. 43± B. 2 2± C. 23± D. 43± M 的坐标，只需先求点P 的坐标即可。 连接PF 2，由于M 是PF 1的中点，O 是F 1F 2的中点， 所以MO 是21F PF ?的中位线，又轴x MO ⊥，则有 轴x PF PF MO ⊥22,//，3312=-=P x 2 3±=，43±=∴M y ，故选（D ）。 例2．定长为3的线段AB 的两端点在抛物线y 2 =x 上移动，记线段AB 的中点 为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。 分析：利用抛物线的定义，结合梯形的中位线性质 定理可以解决问题。 解：抛物线的焦点)0,41(F ，准线 方程：41 -=x ，上分别作点A 、B 、M 的射影A 1、B 1、M 1，则由MM 1 是梯形AA 1B 1B )(21 )(21111BF AF BB AA MM +=+= ，在ABF ?可以取等号） 通径∴>≥+AB AB BF AF (，2 211=≥AB MM ∴M 到y 轴的最短距离= 。 4 5 4123=-即45=M x 。 ∴显然这时弦AB 过焦点），（04 1F 。设A （x 1,y 1），B （x 2,y 2），则有12 1x y = ① 22 2x y = ②，①-②得M y x x y y x x y y y y 21))((2121212121=--?-=-+
中点模型的构造及应用 一、遇到以下情况考虑中点模型： 任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段 出现两个或三个中点考虑三角形中线定理 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一” 有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型 三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1 二、中点模型辅助线构造方法分类 （一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在?ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：?ADC≌?EDB。作用：转移线段和角。 （二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在?ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：?BED≌?CFD。作用：转移线段和角。
（三）直角三角形斜边中线法 当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。 如下图，在Rt ?ABC 中，A C B 90∠=?，D 为AB 中点，则有： 1 2 CD AD BD AB === （四）等腰三角形三线合一 当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。 在?中:（1）AC=；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=，（4）CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。 （五）中位线法 当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。 如图，在?ABC 中，D ，E 分别是AB 、AC 边中点，则有DE BC ，1DE BC 2 =。 三、练习 （一）倍长中线法 1.（2014秋?津南区校级期中）已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ．
三角形中位线中的常见 辅助线 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
三角形中位线中的常见辅助线 知识梳理 知识点一中点 一、与中点有关的概念 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形 二、与中点有关的辅助线 方法一：倍长中线 解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 方法二：构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。
方法三：构造三线合一 解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 其他位置的也要能看出 方法四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。 其他位置的也要能看出
C E D B A 常见考点 构造三角形中位线 考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三 角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 典型例题 【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证： 2AC AE =． 举一反三 1. 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证： 2AB DE =．
E D C B A F A B C E G 典型中点构造 题型一：三角形中位线 三角形中位线 定义：连接三角形两边中点的线段； 定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 如图：若DE 为ABC △的中位线,则DE BC ∥，且1 2 DE BC = 三角形中位线中隐含的重要性质： ①一个三角形有三条中位线． ②三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形． ③三角形的三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形． ④三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一． 如图：EF 、GE 、GF 是ABC △的三条中位线，则有 ①AEG EBF GFC FGE △≌△≌△≌△ ②AEFG EBFG EFCG S S S ==平行四边形平行四边形平行四边形 ③12EFG ABC C C =△△，1 4 EFG ABC S S =△△
E D C B A F E D C B A 【引例】 如图，已知ABC △，D E 、分别是AB AC 、的中点，求证：DE BC ∥且1 2 DE BC =． 【解析】 延长DE 到点F ，使EF=DE ，连接FC ，DC ，AF ． ∵AE=EC ∴四边形ADCF 是平行四边形 ∴CF//DA 且CF=DA ， CF //BD 且CF=BD ∴四边形DBCF 是平行四边形 ∴DF //BC 且DF=BC 又12 =DE DF ∴DE //BC ，且1 2 =DE BC 【例1】 已知四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥． ⑴ 如图1，E 、F 是AB 、CD 的中点．求证：EF AD BC ∥∥且1 ()2 EF AD BC =+． ⑵ 如图2，E 、F 是BD 、AC 的中点．试写出EF 与AD 、BC 之间的关系． ⑶ 如图3，若梯形满足90B C ∠+∠=?．E 、F 是AD 、BC 的中点．试写出EF 与AD 、 BC 之间的数量关系 图1 F E D C B A A B C D E F 图2 图3 F E D C B A 【例2】 ⑴四边形ABCD 中， E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证： ①()12EF AC BD < +；②()1 2 EF AD BC ≤+ ⑵四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：()2221 4 EF BD AC = +． A B C D E F A E B C F D 备用图 F E D C B A
三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。 一、知识回顾 1、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 2、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 3、应用时注意的几个细节： ①定理的使用前提：三角形或梯形。 ②定理使用时，满足的具体条件： 两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。 ③定理的结论： 位置上：与第三边是平行的；与底是平行的（梯形） 大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半（梯形）。 在应用时，要灵活选择结论。 4、梯形的中位线： 中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L. L=（a+b）÷2 已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积． S梯=2Lh÷2=Lh 中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。 二、什么情况下该用中位线 1、直接找线段的中点，应用中位线定理 例1、小峰身高1.70m，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过 cm 2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理 例2、如图3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE的长为。 3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理
初中数学中点模型的构 造及应用 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型： ?任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段 ?出现两个或三个中点考虑三角形中线定理 ?已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 ?已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一” ?有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型 ?三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1 二、中点模型辅助线构造方法分类 （一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等） 当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在?ABC中，D为BC中点，延长AD到E使AD=DE，连接BE，则有：?ADC≌?EDB。作用：转移线段和角。 （二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。 如图，在?ABC中，D为BC中点，延长ED到F使ED=DF，连接CF，则有：?BED≌?CFD。作用：转移线段和角。 （三）直角三角形斜边中线法 当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。
如下图，在Rt ?ABC 中，ACB 90∠=?，D 为AB 中点，则有： 12 CD AD BD AB === （四）等腰三角形三线合一 当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。 在?ABC?中:（1）AC=BC?；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD=BD?，（4） CD AB ⊥ “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。 （五）中位线法 当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。 如图，在?ABC 中，D ，E 分别是AB 、AC 边中点，则有DE BC ，1DE BC 2 =。 三、练习 （一）倍长中线法 1.（2014秋津南区校级期中）已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF ＝EF ． 2. （2017?湘潭）如图，在ABCD 中，DE ＝CE ，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ． （1）求证：△ADE ≌△FCE ； （2）若AB ＝2BC ，∠F ＝36°．求∠B 的度数 3.（2017江西萍乡，15）如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的中线，E 是CD 的中点，过点C 作AB 的平行线交AE 的延长线于点F ，连接BF ． （1）求证：CF ＝AD ； （2）若CA ＝CB ，试判断四边形CDBF 的形状，并说明理由．
构造三角形中位线的方法
构造三角形中位线的方法 方法1 连接两点构造三角形的中位线 1.已知：如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作两个正△ABM和△CAN，D、E、F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE、FE，求证：DE=EF 证明:连接、， 和是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中 ， ， ， 、、分别是、、的中点， ，， .
（2）延长BD交CA的延长线于E， ∵AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD， ∴BD=DE，AB=AE=12， ∴CE=AC+AE=18+12=30， 又∵M为△ABC的边BC的中点， ∴DM是△BCE的中位线， ∴MD=1/2CE=15． 3.如图 , 在 Rt△ABC 中 ,∠ACB=90°,D 为△ABC 外一点 , 使∠DAC=∠BAC,E 为 BD 的中点 ,∠ABC=60°，求∠ACE 的度数。 解：延长 AD 、 BC 交于F. ∵在△ABC 与△ACF 中， ∠DAC=∠BAC，AC=AC，∠ACB=∠ACF=90°，∴△ABC ≌△ACF(ASA) ， ∴BC=FC,∠F=∠ABC=60°， ∴∠CAF=30°，
∵E 为 BD 的 中点， ∴EC ∥ AF ， ∴∠ACE=∠ CAF=30°. 方法3倍长法构造三角形的中位线 4.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，△BEF 为等腰直角三角形， ∠BEF ＝90°，M 为AF 的中点，求证：CF ME 2 1 . 证明：如图，延长EF 到D ，使DE=EF ，连接AD 、BD ， ∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF=90°， ∴∠BFE=45°，BE ⊥DF ， ∴BE 垂直平分DF ，
中考数学复习几何模型专题讲解 专题4 4 中点模型中点模型 名师点睛 中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。 A B C D E A B C D E F E D C B A 典题探究 例题1. 如图，在△ABC 的两边AB 、AC 向形外作正方形ABDE 和ACFG ，取BE 、BC 、CG 的中点M 、Q 、 N ．求证：MQ ＝QN ． 【解答】证明：连接BG 和CE 交于O ，
∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形， ∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC， ∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC， 在△BAG和△EAC中，， ∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE． ∵BE、BC、CG的中点M、Q、N， ∴MQ＝CE，QN＝BG， ∵BG＝CE， ∴QN＝MQ． 变式练习>>>> 变式练习 1. 如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点， 四边形BCGF和四边 形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形． 【解答】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P， ∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方 形， ∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF；
构造中位线巧解题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-
三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。 一、知识回顾 1、三角形中位线定理： 的平行于第三边，并且等于它的一半。 2、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 3、应用时注意的几个细节： ①定理的使用前提：三角形或梯形。 ②定理使用时，满足的具体条件： 两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。 ③定理的结论： 位置上：与第三边是平行的；与底是平行的（梯形） 大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半（梯形）。 在应用时，要灵活选择结论。 4、梯形的中位线： 中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L. L=（a+b）÷2 已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积． S梯=2Lh÷2=Lh 中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。 二、什么情况下该用中位线 1、直接找线段的中点，应用中位线定理 例1、小峰身高，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过 cm 2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理 例2、如图3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE的长为。 3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定 理 例3、如图5所示，AB∥CD，BC∥AD ，DE⊥BE ，DF=EF，甲从B出发，沿着 BA、AD、DF的方向运动，乙B出发，沿着BC、CE、EF的方向运动，如果两人的速 度是相同的，且同时从B出发，则谁先到达？
学生姓名学生年级学校 上课时间辅导老师科目 教学重点中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法;构造斜边中线法） 教学目标系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线 开场:1.行礼;2.晨读；3.检查作业;4.填写表格 新 课 导 入 知识点归纳 1.已知任意三角形(或者其他图形)一边上的中点,可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形)；2．已 知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线； ３．已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线； 4．已知等腰三角形底边中点，可以考虑:连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 新 课 内 容 做辅助线思路一：倍长中线法 经典例题1:如图所示，在△AＢC中,AB＝20，ＡC=12,求ＢC边上的中线AＤ的取值范围． 【课堂训练】 1.如图，已知CB、ＣＤ分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且ＡＣ=AB,给出下列结论： ①AＥ=2AC；②CE=２CD；③∠ACＤ=∠BＣE；④CB平分∠DCＥ，则以上结论正确的是 ( ） A．①②④ B．①③④ C.①②③ D.①②③④ 第1题图第２题图 2.如图,在正方形ABCD中，Ｅ为AB边的中点,G、F分别为ＡD，BC边上的点，若AG＝1， BF＝2，∠GEＦ＝90°，则GＦ的长为（) Ａ. ２ B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，在△ABC中,点D、E为边BC的三等分点,则下列说法正确的有( ） ①BD=DE=EC;②ＡＢ+AE＞2AＤ；③ＡD＋AＣ>2AE;④AB＋AC>AＤ＋AE。 A. 1个Ｂ. 2个 C. 3个 D. 4个
4.如图,在△ＡBC 中,A Ｂ＞BC,E 为BC 边的中点，ＡＤ为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交C Ａ的延长线于G,求证：BF=ＣＧ． ５.如图所示,已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 上的一点,连接BE 并延长交ＡC 于点Ｆ，AE ＝ＥF ，求证：AC ＝B Ｆ. 6.如图所示,在△ABC 中，分别以ＡB 、ＡＣ为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ＡCE,F 为BC 边上中点，FA 的延长线交DE 于点G ，求证：①DE=２AF ；②ＦG ⊥DE ． F G E D B C A F D B C A E G F B C A D E
构造中位线巧解题 Ting Bao was revised on January 6, 20021
三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。 一、知识回顾 1、三角形中位线定理： 的平行于第三边，并且等于它的一半。 2、梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 3、应用时注意的几个细节： ①定理的使用前提：三角形或梯形。 ②定理使用时，满足的具体条件： 两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。 ③定理的结论： 位置上：与第三边是平行的；与底是平行的（梯形） 大小上：等于第三边的一半；等于两底和的一半（梯形）。 在应用时，要灵活选择结论。 4、梯形的中位线： 中位线的2倍乘高再除以二就等于梯形的面积，用符号表示是L. L=（a+b）÷2 已知中位线长度和高，就能求出梯形的面积． S梯=2Lh÷2=Lh 中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。 二、什么情况下该用中位线 1、直接找线段的中点，应用中位线定理 例1、小峰身高，眼睛距头顶8cm，直立在水平地面上照镜子．如果他想从竖直挂在墙上的平面镜里看到自己的脚，这面镜子的底边离地面的高度不应超过 cm 2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理 例2、如图3所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE的长为。 3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理
中点模型的构造 技巧提炼：很多几何题会给出“点×是线段××的中点”这样的条件，那么看到“中点”我们应该想到什么 呢？“中点”有哪些作用呢？ 1、已知任意三角形一边上的中点，可以考虑： （1）倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。如图 （2）三角形中位线定理。 2、已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线。 3、已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”。 4、有些题目的中点不直接给出，此时需要我们挖掘题目中的隐含中点， 例出直角三角形中斜边中点，等腰三角形底边上的中点，当没有这些条 件的时候，可以用辅助线添加。 典例精讲 例1如图所示，在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上的中线AD的取值范围。 例2如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF=EF， 求证：AC=BE。 变式练习： 1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于点F，AF与EF相等吗，为什么？ 2、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线交于点F，交AB于点G，若AD为 △ABC的角平分线，求证：BG=CF。
例3如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且ED⊥FD，以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形，还是直角三角形，或者是钝角 三角形？ 变式练习： 1、如图，已知M为△ABC中BC边上的中点，∠AMB、∠AMC的平分线分别交AB、AC于点E、F，连接EF。求证：BE+CF>EF。 2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证：AD2=1（AB2+AC2）。 4 例4已知，如图，在△ABC 中，BE、CF分别为边AC、AB的高，D为BC的中点，DM⊥EF于点M，求证： FM=EM。 例5 △ABD 和△ACE 都是直角三角形，且 ABD= ∠ACE=90°，如图，连接DE，设M为DE 的中点，连接∠ MB、MC。求证：MB=MC 。
G E H D A B C N M B A C D G F H N M D A B D A N 专题 构造三角形中位线 【方法归纳】中点问题的处理方法较多，构造三角形中位线是常用方法之一. 一、连接两点构造三角形中位线 1.如图，E 、F 、G 、H 分别为四边形ABCD 的四边中点，试判断四边形EFGH 的形状并予以证明. 【解析】：四边形EFGH 为平行四边形. 2.如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 上的点，且AE ＝BF ，BE 交AF 于M ，CE 交DF 于N ，求证： 1 //2 MN AD . 【解析】：连EF ，证平行四边形ABEF 和平行四边形EFCD ，∴EM ＝BM ，EN ＝CN . 3.如图，点是P 四边形ABCD 的对角线的中点，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，AD ＝BC ，∠CBD ＝450，∠ADB ＝1050，探究EF 与PF 之间的数量关系，并证明. 【解析】：连PE ，证PE ＝PF ，∠EPF ＝1200，∴EF 3. 4.如图，点B 为AC 上一点，分别以AB 、BC 为边在AC 同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ，点P 、M 、N 分别为AC 、AD 、CE 的中点. ⑴求证：PM ＝PN ；⑵求∠MPN 的度数. 【解析】：⑴连AE ，CD ，证PM // 12CD ，PN //1 2 AE ，证△ABE ≌△BDC ，AE ＝CD ，∴PM ＝PN . ⑵设PM 交AE 于F ，PN 交CD 于G ，AE 交CD 于H ，由⑴知∠BAE ＝∠BDC ，∠ADH ＝∠ABD ＝600，∠FHG ＝1200，易证四边形PFHG 为平行四边形，∴∠MPN ＝1200. 二、利用角平分线＋垂直构造中位线 5.如图三角形ABC 中，点M 为BC 的中点，AD 为三角形ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD ，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长.
精品文档 学生姓名上课时间 学生年级 辅导老师 学校 科目 教学重点教学目标中点模型的构造（倍长中线法；构造中位线法；构造斜边中线法）系统有序掌握几何求证思路，掌握何时该用何种方法做辅助线 开场：1.行礼；2.晨读；3.检查作业；4.填写表格 新课导入知识点归纳 1.已知任意三角形（或者其他图形）一边上的中点，可以考虑：倍长中线法（构造全等三角形）； 2.已知任意三角形两边的中点，可以考虑：连接两中点形成中位线； 3.已知直角三角形斜边中点，可以考虑：构造斜边中线； 4.已知等腰三角形底边中点，可以考虑：连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质. 做辅助线思路一：倍长中线法 经典例题1：如图所示，在△ABC中，AB＝20，AC＝12，求BC边上的中线AD的取值范围. 【课堂训练】 1.如图，已知CB、CD分别是钝△角AEC和锐角△ABC的中线，且AC＝AB，给出下列结论： ①AE＝2AC；②CE＝2CD；③∠ACD＝∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（） A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 新 课 内 容 第1题图第2题图 2.如图，在正方形A BCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若A G＝1， BF＝2，∠GEF＝90°，则GF的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（） ①BD＝DE＝EC；②AB＋AE＞2AD；③AD＋AC＞2AE；④AB＋AC＞AD＋AE。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4.如图，在△ABC中，AB＞BC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G，求证：BF＝CG． G B A F E D C 5.如图所示，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，连接BE并延长交AC 于点F，AE＝EF，求证：AC＝BF. A E F B D C 6.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC为直角边向外做等腰直角三角△形ABD和△ACE，F 为BC边上中点，FA的延长线交DE于点G，求证：①DE＝2AF；②FG⊥DE． D G E A B F C
构造三角形中位线的方法 方法1 连接两点构造三角形的中位线 1.已知：如图，△ABC是锐角三角形，分别以AB、AC为边向外作两个正△ABM和△CAN，D、E、F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE、FE，求证：DE=EF 证明:连接、， 和是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中 ， ， ， 、、分别是、、的中点， ，， . 方法2利用角平分线+垂直构造三角形的中位线 2.已知点M为△ABC的边BC的中点，AB=12，AC=18，BD⊥AD于D，连DM． （1）如图1，若AD为∠BAC的平分线，求MD的长； （2）如图，若AD为∠BAC的外角平分线，求MD的长．
解：（1）如图，延长BD 交AC 于E ， ∵AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD ， ∴BD=DE ，AB=AE=12， ∴CE=AC-AE=18-12=6， 又∵M 为△ABC 的边BC 的中点， ∴DM 是△BCE 的中位线， ∴MD=1/2CE=3 （2）延长BD 交CA 的延长线于E ， ∵AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD ， ∴BD=DE ，AB=AE=12， ∴CE=AC+AE=18+12=30， 又∵M 为△ABC 的边BC 的中点， ∴DM 是△BCE 的中位线， ∴MD=1/2CE=15． 3.如图 , 在 Rt △ABC 中 ,∠ACB=90°,D 为 △ABC 外一点 , 使 ∠DAC=∠BAC,E 为 BD 的中点 ,∠ABC=60° ，求 ∠ACE 的度数。 解：延长 AD 、 BC 交于F. ∵ 在 △ABC 与 △ACF 中， ∠DAC=∠BAC ，AC=AC ，∠ACB=∠ACF=90° ， ∴△ABC ≌ △ACF(ASA) ， ∴BC=FC,∠F=∠ABC=60° ， ∴∠CAF=30° ， ∵E 为 BD 的中点， ∴EC ∥ AF ， ∴∠ACE=∠CAF=30°. 方法3倍长法构造三角形的中位线 4.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BA ＝BC ，△BEF 为等腰直角三角形， ∠BEF ＝90°，M 为AF 的中点，求证：CF ME 2 1 . 证明：如图，延长EF 到D ，使DE=EF ，连接AD 、BD ， ∵△BEF 为等腰直角三角形，∠BEF=90°，
中考数学几何模型4：中点模型 名师点睛拨开云雾开门见山中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：①三角形中线平分三角形面积，等分点等分面积；②等腰三角形“三线合一”的性质；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④三角形中位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点，今天重点在结合四点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型”，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似模型，与倍长中线法相通。 A B C D E A B C D E F E D C B A 典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在△ABC的两边AB、AC向形外作正方形ABDE和ACFG，取BE、BC、CG的中点M、Q、N．求证：MQ＝QN． 【解答】证明：连接BG和CE交于O， ∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形， ∴AB＝AE，AC＝AG，∠EAB＝∠GAC， ∴∠EAB+∠EAG＝∠GAC+∠EAG，∴∠GAB＝∠EAC， 在△BAG和△EAC中，，
∴△BAG≌△EAC（SAS），∴BG＝CE． ∵BE、BC、CG的中点M、Q、N， ∴MQ＝CE，QN＝BG， ∵BG＝CE， ∴QN＝MQ． 变式练习>>> 1. 如图，在△ACE中，点B是AC的中点，点D是CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形．求证：△FMH是等腰直角三角形． 【解答】证明：连接MB、MD，设FM与AC交于点P， ∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，四边形BCGF和四边形CDHN都是正方形， ∴MD∥AC，且MD＝AC＝BC＝BF； MB∥CE，且MB＝CE＝CD＝DH， ∴四边形BCDM是平行四边形， ∴∠CBM＝∠CDM， 又∵∠FBP＝∠HDC， ∴∠FBM＝∠MDH， 在△FBM和△MDH中， ∴△FBM≌△MDH（SAS）， ∴FM＝MH，且∠FMB＝∠MHD，∠BFM＝∠DMH． ∴∠FMB+∠HMD＝180°﹣∠FBM， ∵BM∥CE， ∴∠AMB＝∠E， 同理：∠DME＝∠A． ∴∠AMB+∠DME＝∠A+∠AMB＝∠CBM， ∴∠FMH＝180°﹣（∠AMB+∠DME）﹣（∠FMB+∠HMD） ＝180°﹣∠CBM﹣（180°﹣∠FBM） ＝∠FBC＝90°， ∴△FMH是等腰直角三角形． 例题2. 如图，已知BD、CE分别是△ABC的AC、AB边上的高，G、F分别是BC、DE的中点．求证：GF ⊥DE．
2015年中考解决方案 构造中位线 学生姓名：××× 上课时间：2014.××.××
知识点一 中点 一、与中点有关的概念 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合) 三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边． 直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形 二、与中点有关的辅助线 秘籍一：倍长中线 解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 秘籍二：构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 秘籍三：构造三线合一 自检自查必考点 构造中位线
解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 其他位置的也要能看出 秘籍四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。 他位置的也要能看出 一、构造三角形中位线 ?考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功效． 【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =． C E D B A 【练1】如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =． E D C B A 中考满分必做题
几何证明——中点模型(中级) 【知识要点】 1、中位线定理：如图，在ABC ?中，若AD BD =，AE CE =，则//DE BC 且1 2 DE BC = 。 2、中线倍长(倍长中线)： 如图（左图），在ABC ?中，D 为BC 中点，延长AD 到E 使AD DE =，连接BE ，则有：ADC ?≌EDB ?。 作用：转移线段和角。 注意： ①在实际运用中，与某个中点相连的线段，都可以将其看作“中线”，从而都可以考虑将它倍长（需要的话）。 ②如上右图，如果出现“两条平行线夹中点”的情形，一定会出现“X 全等”或“叉叉全等”或“8字型全等”， 有时这个“叉叉”需要我们自己画出来（辅助线）. 3、直角三角形斜边中线定理： 如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，D 为AB 中点，则有：1 2 CD AD BD AB === 。 4、三线合一： 在ABC ?中:（1）AC BC =；（2）CD 平分ACB ∠；（3）AD BD =，（4）CD AB ⊥. “知二得二”：比如由（2）（3）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。 A 请牢记：当你发现有某一条线同时具备了“垂线”、“角平分线”、“中线”三种功能当中的任意两种功能时，那么这条线就一定是某个等腰三角形的对称轴，换句话说，以这条线为对称轴必定有等腰三角形出现. 【经典例题】
例1、如图所示，已知D 为BC 中点，点A 在DE 上，且CE AB =，求证：CED BAD ∠=∠. D B E 例2、如图，已知在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且AC BE =，延长BE 交AC 于F ，求证：EF AF =。 B 例3、如图，在ABC ?中，AD 为A ∠的平分线，M 为BC 的中点，ME AD //， 求证：()AC AB CF BE += =2 1 。 B C 例4、如图,已知ABC ?中，CE BD ,为高线，点M 是DE 的中点，点N 是BC 的中点.求证： DE MN ⊥。
挖掘中点，构造中位线 济宁市梁山县小路口镇初级中学 郑继春 （适用于鲁教版 初三版 12月刊） 三角形中位线定理是平面几何中一个重要定理，它既反映了线段之间的位置关系，又呈现了线段之间的数量关系.三角形中位线定理在一些几何解题中常见它的身影.特别是遇到中点时，经常要联想到三角形的中位线定理，利用三角形中位线定理能起牵线搭桥甚至是关键性的作. 但是，在解题时往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们根据题目的特点，自己去挖掘.下面举几例向同学们介绍几种在不同条件下挖掘中点的方法，供同学们学习时参考. 一、直接取中点. 例1、已知：如图，AD 为ABC V 的高，∠B =2∠C ，M 为BC 中点， 求证：1 2 DM AB = 证明：取AC 中点N ，连结MN ，则MN ∥AB , 且12 MN AB =,∠NMC =∠B 又Rt ADC V 中，N 为斜边AC 中点，∴DN NC = ∴∠NDC =∠C , 又∵∠NMC =∠B =∠NDC +∠DNM =2∠C ∴∠DNM =∠NDC ,∴DM MN = ∴12 DM AB = 【感悟】：此题中，DM 和AB 位置较远，不易推导关系.通过添中位线把1 2 AB 转化成MN ,MN 在DM 和 1 2 AB 之间架起了一座桥梁，问题迎刃而解.
二、利用等腰三角形的“三线合一”找中点. 例2、△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD,E 为BC 的中点，求证：DE ∥AB. 证明：延长CD 交AB 于F ∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD ＝∠CAD ∵CD ⊥AD ∴∠ADC ＝∠ADF ＝90 ∵AD ＝AD ∴△ACD ≌△AFD （ASA ） ∴CD ＝FD ∵E 是BC 的中点 ∴DE 是△BCF 的中位线 ∴DE ∥AB 【感悟】：本题关键是挖出隐含的中点，从而来使问题得以解决.如图若我们延长CD 交 AB 于带点F ,根据题中条件容易证得 AFD V ≌ADC V ,所以DF DC =,即D 为CF 的中点； 又E 为BC 的中点，根据三角形的中位线定理可以得出,DE FB DE AB P P 即. 三、利用平行四边形的对角线的交点找中点 例3、如图，,ME AB ME AB =P ，D 为线段EC 的中点,A M D 、、三点在同一条直线上. 求证：MD ∥BC. 证明：连结BE ，交AM 于O. ∵,ME AB ME AB =P ， ∴四边形ABME 为平行四边形. ∴点O 为BE 的中点. 又∵D 为CE 的中点， ∴OD 为△BCE 的中位线， ∴OC ∥BC, 即MD ∥BC. 【感悟】要证明MD ∥BC.除了以前常用的方法外，现在三角形的中位线定理又使我们多了一条途径. 根据本题的条件已经有了D 为线段EC 的中点，若再找一个且是同一个三角形边的中点,连结就有了三角形中位线，有些中点是明显的，有的中点却是“隐藏”在图形中，需要用平时积累的知识使它现身.本题的,ME AB ME AB =P 可以得出：四边形ABME 是平行四边形，平行四边形的对角线是互相平分的，若我们连结对角线BE 与对角线AM 的交点O 就是线段BE 的中点，在 EBC V 中，根据三角形的中位线定理可以得出OC ∥BC ，即 D B E C A F A D C B M E O