第七章非线性方程求根
要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断
（2） 迭代公式收敛阶概念
（3） Newton 迭代公式及收敛性左理
复习题：
1、建立一个迭代公式il ?算数G = j5 + 7?+辰二,要求分析所建迭代公式的收敛性 解：迭代式为：「卄产
l/o = 5
数d 应是函数卩（x ） = jrr§的不动点（即满足0（a ） = a ）
注意到（1）当xeI0,5］时，恒有0（人）€［0?习
(2)当xe[(X5]时，恒有0Cr) = — <-< 1
2\J X + 5 2
依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到“
2、对于方程—x = 2 ?
解：（1）记/（X ）= 8’ — / 一 2
显然 /(_1.9) = 0.0496 >0, /(一1) =-0.6321 <0
当Jce[-L9,-1]时.恒有/V) = e'-l<0
可见/（X ）在区间［-1.9,-I ］内有且仅有一个零点 即方程在区间内有且仅有一个实根
(2)取 (II)当 X €[T9-1]时，恒有 0Cr) = 0" 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 (3)记/(x) = 0 J-2 牛顿迭代法形式：和“”-错; (1) 证明在区间［」?9, .1］内有唯一实根 (2) (3) 无+1-0*-2的收敛性如何？ 扯 e （-L9,-l ） 写出求解该实根的牛顿迭代公式 讨论迭代格式 严-X-2 兀屛=兀------ 汗七― e" -1 .心=一1?9 3、为求x^-x--\=0/￡ L5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的 迭代公式：(1) x = l + A： (2) x = (l + x-)h试分析每一种迭代的收敛性 X- 解：记 ⑴ 迭代式为￡. = 1+2,这里记9?U)= I+4 注意到/(1?3)/(1?5)<1?并且f\x) = 3x--2x = x(3x-2)>Q. xe[L3J.5] 所以区间［1.3J.5］为有根区间 2 0([l?3J?5])c[l?3J?习，井且当xe[L3J.5]时，恒有I 依据不动点迭代法收敛世理，知该迭代公式收敛 ⑵ 迭代式为兀4=(l + x；)?这里0(0 = (1 + /)了同(1)中讨论，得结 论：该迭代公式收敛 4、对于方程人0'-1 = 0在0.5附近的根。 (1)选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。 (2)给出求解该实根的牛顿迭代公式 解：(1)加一1=0《9 A =— e' I X ?=￡ 构造迭代式：｛ 2 ,即取迭代函数0(羽=严 I/O 首先，容易验证区间［O.IJ］是方程的一个有根区间 ^[OJJDc[0.1,1],并且当%e[0J,l]时，恒有I0(x)l 依据不动点迭代法收敛过理，知该迭代公式收敛设/€［0.tl］是其根的 精确值, 因为= HO,故收敛为线性收敛，即收敛阶p = l ⑵记 f (X)= xe' -1 牛顿迭代法形式： (￡+1)严 1兀= // I 5、应用牛顿法于方程/（x ） = l -一 =0,导出求V&的迭代公式 解：牛顿迭代法形式，-册 3佔￡ 2a 如果C/V1?可取兀=1，如果?>1-可取Xy =a 6、对于非线性证明方程x-lnx-2 = 0 （1） 证明在区间（1, 8）有一个单根■并大致估计单根的取值范 围. （2） 写出Newton 迭代求解该根的迭代公式 解：（1）记f （x ） = x-}nx-2，显然/（X ）处处可微 /(1) = -1<0 , lim /(x) = 4 ?K 所以，在区间（1, 8）内至少存在一个实根 另外，由于 /V ） = l-->0 ,X€（l,g ） X 所以，在区间（1, 00）内有且仅有一个实根 /(3) = l-ln3vO, /(4) = 2-ln4>0 可见根xe （3,4） ⑵牛顿迭代法形式―”-鵠 1-4 即：兀+|=兀--才 2a HP ： < 即：和’一41戸 考虑取如=4 7、据理证明X =1是方程x"-x'-2%-+3x = 1的一个二重根, 井构造计算F的具有平方收敛阶的Newton迭代 解：记/(X)=十一x'-2x2+3兀-1 因为/(1) = 0, r(l)=O,厂⑴HO 所以X = 1是方程/(X)= 0的一个二重根 注意到，当a是/(X)= 0的m重根0?>2)时, 牛顿迭代法求解/(X)= 0仅是线性收敛的 fM 事实上，对于牛顿迭代法，其迭代函数是(p(x} = x-冲 f (-V) 由住是/(X)= 0 的川重根，令/(x) = (x-ay”g(x), g(a)工0, Cr-a)gCv) 则 mg(x) + (x-a)g(X) 容易验证J 0(a) = 1—— ,因w>l,0(a)H(X且0(尤)<1, 故牛顿迭代法是收敛的，但只是线性收敛。 求方程也重根的牛顿迭代法形式：兀+1 =兀-川孕丄 7 (X”) 2(€ - 兀；- 2??；+3 兀-1) 4xH+3 该迭代至少为平方收敛 8、求方程疋-2x-5 = 0在区间［23］内根的近似值有如下变形 X = yj2x + 5 （1）试判泄对任意初始近似值兀€[2,3]简单迭代法X" =0（忑）的收敛性; （2）写出求解该实根的Ncwion迭代格式，并考虑迭代初值的选取 解：（1）记0（戈）=範7￥?,容易验证0（[2.3]）c23] 并且I(p\x} 1< < 1 27 所以俠劝作为区间[2,3] 1:的压缩映射，存在一个不动点/ €[2J] 并且对于色0 €[2,3],迭代式Xz=（pg）均收敛到/ ⑵牛顿迭代法形式—厂刖 x；+Xn+5 取如=3 （注：满足/（兀）/"（兀）＞0） 9、为数值求得方程x^-x-4 = 0的正根可建立如下迭代格式 7Z-1 ? 试利用迭代法的收敛理论证明对于0忑）＞0 r该迭代序列收敛.且满足.lim兀,=x /Ifno 解：记(p{x} = 4^ + x^ x>0 显然g）卜希Th I 所以，对于V兀＞0,迭代式兀女）均收敛到X 10、对于非线性方程12-3x+2cosx = 0 (1) 证明方程存在唯一实根 2 (2) 证明对于任意的心e R ,迭代式 = 4 + ±cosx,产生的序列"*｝收敛到方程的根 (3) 构造求解该方程根的Newton迭代式 解：（1〉记/（X）= 12-3x + 2cosx 显然/(X)连续可微，又lim /(%) = +O0, lim /(x) = y .【TY X-X 所以根据连续函数零点存在定理可知3X €（YO ,+S ）?成立/（/） = 0 另外，/\x ） = -3-2sinx<0,可见函数于d ）严格单调递减 故满足/（%） = 0的点/唯一 ?即方程存在唯一实根 2 (2)记0(x) = 4 +亍COSX 所以，对于g 迭代式戈知1=0（母）产生的序列｛无｝均收敛到方程的根/ （3）牛顿迭代法形式：耳利=兀-护丄 / （兀） EP ：兀”严￡ + 12一3?J+2COS 兀 2 “ 3 + 2sin ?j 因为0(x)= 2? —sin X 3 _ 12 + 2(cos 兀 +斗 sinx…) 3 + 2sinx… 非线性方程求根 本章主要内容： 1.区间二分法. 2切线法. 3.弦位法. 4.一般迭代法. 重点、难点 一、区间二分法 区间二分法是求方程f(x)=0根的近似值的常用方法。 基本思想：利用有根区间的判别方法确定方程根的区间[a,b],将有根区间平分为二；再利用有根区间的判别方法判断那一个区间是有根区间；重复上述步骤，直到小区间端点差的绝对值小于等于精度要求的数值，则用将上一区间的分半值作为方程的根的近似值。 区间二分法的计算步骤如下： 1. 计算区间端点的函数值f(a),f(b)（不妨设f(a)＜0,f(b)＞0）； 确定初始有根区间[a,b]. 2.二分有根区间[a,b]，并计算)2( b a f +取2 1b a x += 3.判断：若0)(1=x f ，则方程的根为1x x =* ； 若0)(1>x f ，则有根区间为[]1,x a x ∈* ；令[]],[,111b a x a = 若0)(1 例1用区间二分法求方程0353 =+-x x 在某区间内实根的近似值（精确到0.001） 【思路】参见上述区间二分法的计算步骤 解∵f(1.8)=-0.168＜0,f(1.9)=0.359＞0∴f(x)在区间[1.8，1.9]内有一个根。 由公式644.512 ln 001 .0ln 1.0ln 12ln ln )ln(=--=---≥ εa b n 取n=6，计算结果列表如下： 则方程在区间[1.8，1.9]内所求近似值为x * ≈x=1.8328125 区间二分法的优点是计算程序简单，只要f (x )在区间[a,b]上连续，区间二分法就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。 迭代序列收敛阶的概念 设迭代序列{}n x 收敛于* x ，如果存在实数1≥p 与正常数c ，使得 c x x x x p n n n =--* *+∞ →1lim ，则称序列{}n x 是p 阶收敛于*x 。 特别地，当1=p 时，称序列{}n x 为线性（一次）收敛；{}n x 为线性收敛时，必须要求1 第七章非线性方程求根 要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断 （2） 迭代公式收敛阶概念 （3） Newton 迭代公式及收敛性左理 复习题： 1、建立一个迭代公式il ?算数G = j5 + 7?+辰二,要求分析所建迭代公式的收敛性 解：迭代式为：「卄产 l/o = 5 数d 应是函数卩（x ） = jrr§的不动点（即满足0（a ） = a ） 注意到（1）当xeI0,5］时，恒有0（人）€［0?习 (2)当xe[(X5]时，恒有0Cr) = — <-< 1 2\J X + 5 2 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到“ 2、对于方程—x = 2 ? 解：（1）记/（X ）= 8’ — / 一 2 显然 /(_1.9) = 0.0496 >0, /(一1) =-0.6321 <0 当Jce[-L9,-1]时.恒有/V) = e'-l<0 可见/（X ）在区间［-1.9,-I ］内有且仅有一个零点 即方程在区间内有且仅有一个实根 (2)取 严-X-2 兀屛=兀------ 汗七― e" -1 .心=一1?9 3、为求x^-x--\=0/￡ L5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的 迭代公式：(1) x = l + A： (2) x = (l + x-)h试分析每一种迭代的收敛性 X- 解：记 ⑴ 迭代式为￡. = 1+2,这里记9?U)= I+4 注意到/(1?3)/(1?5)<1?并且f\x) = 3x--2x = x(3x-2)>Q. xe[L3J.5] 所以区间［1.3J.5］为有根区间 2 0([l?3J?5])c[l?3J?习，井且当xe[L3J.5]时，恒有I 第七章 非线性方程求根 教学目的与要求： 理解二分法求根的思想；掌握二分法求解过程；了解二分法的优点和缺点。了解迭代法的基本思想，迭代法的收敛条件以及局部收敛性的定义；理解基本迭代法的迭代思路，收敛条件的产生与求证过程；掌握基本迭代法的迭代格式，收敛条件的应用以及局部收敛定理。 重点和难点：迭代法的基本思想，迭代法的收敛性 ■ 教学内容： 基本概念： 的零点； 的m 重零点。 )(x f )(x f 非线性方程的求根通常分为两个步骤：一是对根的搜索，二是根的精确化，求得根的足够精确的近似值。 求方程的有根区间有如下方法： (1)描图法。画出的简图，从曲线与)(x f y =x 轴交点的位置确定有根区间。 (2)解析法。根据函数的连续性、介值定理以及单调性等寻找有根区间。 § 1 二分法 分析二分法的基本原理 例1 用二分法求方程的一个正根，要求误差不超过. 01)(6=??=x x x f 2105.0?ק 2 迭代法及其收敛性 一、迭代法的定义 二、基本迭代法 定义：将方程改写成以下等价形式() x x ?=取定初始值0x ，由迭代公式1() (0,1,2,)n n x x n ?+==L 产生迭代序列{}n x 。显然，若{}n x 收敛于*x ,()x ?在*x 处连续，就有** 1lim lim ()()n n n n x x x ??+→∞→∞ ===x 即*x 是方程() x x ?=的解，从而也是0)(=x f 的解。故当充分大时，可取作为方程根的近似值。用迭代格式求得方程近似根的方法称为基本迭代法，n n x )(x ?称为迭代函数。由于收敛点*x 满足*()* x x ?=，故称*x 为)(x ?的不动点 例 求方程的一个实根，要求精确到六位小数。 032)(3 =??=x x x f 注意：把此方程转换成三种等价形式 ,32)(31+==x x x ?)3(2 1)(32?= =x x x ?, 3)(33??==x x x x ?三、迭代法的收敛条件 第七章非线性方程求根 （一）问题简介 求单变量函数方程 ()0f x = (7.1) 的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为函数() f x 的零点.若()f x 可以分解为 ()(*)()m f x x x g x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有 (1)() (*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法 设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在(a,b)内 仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001()2x a b =+和 0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若 00()()0 f a f x >,则令 10,1a x b b ==,得新的有根区间 11[,] a b ;若 00()()0 f a f x <,则令 10,10a a b x ==,得新的有根区间11[,]a b .0011[,][,]a b a b ?,11001 () 2b a b a -=-.再令1111 ()2x a b =+计算1()f x ,同上法得出新的有根区间22[,]a b ,如此反复进行,可得一有根区 间套 1100...[,][,]...[,] n n n n a b a b a b --???? 且110011 *,0,1,2,...,()...() 22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-. 故 1 lim()0,lim lim ()* 2n n n n n n n n b a x a b x →∞→∞→∞-==+= 第七章 非线性方程求根 要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断 （2）迭代公式收敛阶概念 （3）Newton 迭代公式及收敛性定理 复习题： 1、建立一个迭代公式计算数 a =要求分析所建迭代公式的收敛性 解： 迭代式为：105 n x x +?=?? =?? 数a 应是函数()x ?= ()a a ?=） 注意到（1）当[0,5]x ∈时，恒有[,5)](0x ?∈ （2）当[0,5]x ∈ 时，恒有()1 12 x ?<'= < 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到a 2、对于方程2x e x -=， （1） 证明在区间［-1.9，-1］内有唯一实根 （2） 讨论迭代格式 10(12 .9,1) k x k x e x +?=∈--??-??的收敛性如何？ （3） 写出求解该实根的牛顿迭代公式 解：（1）记()2x f x e x =-- 显然( 1.9)0.04960, (1)0.63210f f -=>-=-< 当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有()10x f x e '=-< 可见()f x 在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个零点 即方程在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个实根 （2）取()2x x e ?=- 容易验证：（I ）当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有[ 1.9](,1)x ?∈--， (II) 当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有1 )1(x e x e ?-'<=< 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 （3）记()2x f x e x =-- 牛顿迭代法形式： 1() () n n n n f x x x f x +=- ' 即：10 211.9n n x n n n x e x x x e x +?--=-?-??=-? 3、为求012 3 =--x x 在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的 迭代公式：（1）211x x +=；（2）()3 1 21x x +=。试分析每一种迭代的收敛性 解：记 32 ()1f x x x =-- (1) 迭代式为1211n n x x +=+ ，这里记2 1()1x x ?=+ 注意到(1.3)(1.5)1f f <, 并且2 ()32(32)0f x x x x x '=-=->, [1.3,1.5]x ∈ 所以区间[1.3,1.5]为有根区间 ([1.3,1.5])[1.3,1.5]??, 并且当[1.3,1.5]x ∈时，恒有3 |()|2 11.3x ?≤ <' 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 (2) 迭代式为1231(1)n n x x +=+，这里123 ()(1)x x ?=+ 同(1)中讨论，得结论：该迭代公式收敛 4、对于方程01=-x xe 在0.5附近的根。 （1） 选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。 （2） 给出求解该实根的牛顿迭代公式 解：(1) 01=-x xe 1x x e = 构造迭代式： 10 n x n x e x -+?=????， 即取迭代函数 ()x x e ?-= 首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间 ([0.1,1])[0.1,1]??, 并且当[0.1,1]x ∈时，恒有0.1|()|1x e ?-≤<' 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 设* [0.1,1]x ∈是其根的精确值， 因为* *()0x x e ?-'=-≠，故收敛为线性收敛，即收敛阶1p = 第七章非线性方程求根 要点：(1)迭代公式局部收敛性及收敛性判断 (2)迭代公式收敛阶概念 (3)Newton迭代公式及收敛性定理 复习题： 1、建立一个迭代公式计算数d = $5 + 7^5 +…,要求分析所建迭代公式的收敛性￡+】 =j5 + ￡ 解：迭代式为: 兀()=5 数d应是函数0(x)=厶+ 5的不动点(即满足(p(a) = a ) 注意到(1)当兀引0,5］时，恒有0(x) w ［0,5］ (2)当兀引0,5］时,恒有(p\x) = — . <-<\ 2Vx+5 2 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到Q 2、対于方程『—兀=2, (1)证明在区间［-1.9, -1］内有唯一实根 (2)讨论迭代格式二“一2的收敛性如何？ (3)写岀求解该实根的牛顿迭代公式 解：(1) iE/(x) = e A-x-2 显然/(-1.9) = 0.0496 > 0, /(-I) = -0.6321 < 0 当兀0［—1.9,一1］吋，恒有/'(力二/一1<0 可见/(兀)在区间［-1.9,-1］内有且仅有一个零点 即方程在区间［-1.9,-1］内有R仅冇一个实根 (2)取(p(x) = e x-2 容易验证:(I)当xe［-1.9,-l］时，恒有0(兀)引一1.9,一1］, (II)当兀引一1.9,一1］时，恒有0(x)二/vl 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 (3) Mf(x) = e x-x-2 即：<￡+】=￡ 严一1 兀o = —1.9 3、为求x3-x2-l = 0在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的迭代公式：(1) x = l + (2)兀=(1 + /)二试分析每一种迭代的收敛性 解：记f(x) = x3-x2-l (1)迭代式为￡+1=1+丄，这里记0(兀)=1+丄 ￡厂 注意到/(1.3)/(1.5)<1,并且f\x) = 3x2-2x = x(3x-2) > 0, XG [1.3,1.5] 所以区间[1.3,1.5]为冇根区间 2 /([1.3,1.5])匸[1.3,1.5],并且当xw[l?3,l?5]时，恒有10 ⑴ 15青<1 依据不动点 迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 1 2 (2)迭代式为兀汁严(1 +尤)匚这里0(兀) = (1 +严)3 同(1)屮讨论，得结论：该迭代公式收敛 4、对于方程xe x-l = O在0.5附近的根。 (1)选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。 (2)给出求解该实根的牛顿迭代公式 解：⑴xe x -1=0《9 x = — e x f Y = p~Xfl 构造迭代式：\ n+i,即収迭代函数(p(x) 十 ko 首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间 ^([0.1,1]) c [0.1,1],并且当XG [0.1,1]时，恒有I(p\x) \< e A}A < 1 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 设XG [0.1,1]是其根的精确值， 西华数学与计算机学院上机实践报告 课程名称：计算方法C年级：2011级上机实践成绩： 指导教师：严常龙姓名： 上机实践名称：非线性方程求根问题学号：上机实践日期：2012.12.10 上机实践编号：3上机实践时间： 一、目的 1．通过本实验的编程练习，加深对非线性方程求根方法之二分法、简单迭代法、、牛顿迭代法等的构造过程的理解； 2．能将各种方法的算法描述正确地改编为程序并上机实现； 3．比较各种方法在求解同一非线性方程根时，在收敛情况上的差异。 二、内容与设计思想 自选求根问题，分别用二分法、简单迭代法、埃特金加速收敛法和牛顿迭代法求解其根，然后完成编程作业（注意把同一求根问题的几种不同方法放在一个程序之内）。以下求根问题供参考和选择，也可自行选择其他求根问题： 自拟题目：用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2 , 3]内的根。方程f(x)=2x3-5x2-19x+42=0在x=3.0附近有根，用牛顿迭代法求其根。用简单迭代法求方程f(x)=x3+2x2+10x-20=0在区间[1 , 1.5]上的根。 三、使用环境 操作系统：Windows 7 软件环境：VC++ 6.0 四、核心代码及调试过程 #include 非线性方程求根
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