数值分析分章复习(第七章非线性方程求根).docx

第七章非线性方程求根

要点：(1)迭代公式局部收敛性及收敛性判断

(2)迭代公式收敛阶概念

(3)Newton迭代公式及收敛性定理

复习题：

1、建立一个迭代公式计算数d = $5 + 7^5 +…,要求分析所建迭代公式的收敛性￡+】

=j5 + ￡

解：迭代式为:

兀()=5

数d应是函数0(x)=厶+ 5的不动点(即满足(p(a) = a )

注意到(1)当兀引0,5］时，恒有0(x) w ［0,5］

(2)当兀引0,5］时,恒有(p\x) = — . <-<\

2Vx+5 2

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到Q

2、対于方程『—兀=2,

(1)证明在区间［-1.9, -1］内有唯一实根

(2)讨论迭代格式二“一2的收敛性如何？

(3)写岀求解该实根的牛顿迭代公式

解：(1) iE/(x) = e A-x-2

显然/(-1.9) = 0.0496 > 0, /(-I) = -0.6321 < 0

当兀0［—1.9,一1］吋，恒有/'(力二/一1<0

可见/(兀)在区间［-1.9,-1］内有且仅有一个零点

即方程在区间［-1.9,-1］内有R仅冇一个实根

(2)取(p(x) = e x-2

容易验证:(I)当xe［-1.9,-l］时，恒有0(兀)引一1.9,一1］,

(II)当兀引一1.9,一1］时，恒有0(x)二/vl

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛

(3) Mf(x) = e x-x-2

即：<￡+】=￡ 严一1 兀o = —1.9

3、为求x3-x2-l = 0在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的迭代公式：(1) x = l + (2)兀=(1 + /)二试分析每一种迭代的收敛性

解：记f(x) = x3-x2-l

(1)迭代式为￡+1=1+丄，这里记0(兀)=1+丄

￡厂

注意到/(1.3)/(1.5)<1,并且f\x) = 3x2-2x = x(3x-2) > 0, XG [1.3,1.5]

所以区间[1.3,1.5]为冇根区间

2

/([1.3,1.5])匸[1.3,1.5],并且当xw[l?3,l?5]时，恒有10 ⑴ 15青<1 依据不动点

迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛

1 2

(2)迭代式为兀汁严(1 +尤)匚这里0(兀) = (1 +严)3

同(1)屮讨论，得结论：该迭代公式收敛

4、对于方程xe x-l = O在0.5附近的根。

(1)选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。

(2)给出求解该实根的牛顿迭代公式

解：⑴xe x -1=0《9 x = —

e x

f Y = p~Xfl

构造迭代式：\ n+i,即収迭代函数(p(x) 十

ko

首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间

^([0.1,1]) c [0.1,1],并且当XG [0.1,1]时，恒有I(p\x) \< e A}A < 1

依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛

设XG [0.1,1]是其根的精确值，

因为0(/) =—严H0,故收敛为线性收敛，即收敛阶〃

⑵记/(x) = xe x -1

牛顿迭代法形式：x H+i=x H-^p-

八兀)

X0" 一1

X t = x -------- -------

即：\ "(￡+1)严

兀0 = 1

5、应用牛顿法于方程/(x)= i-4 = 0,导出求、&的迭代公式

对

解：牛顿迭代法形式：5+严兀”-半1

八￡)

EP：即￡+1=兀厂

2a

3%

2a

如果6? <1,可取兀0=1，如果a〉l,可取x0- a

6、对于非线性证明方程x-lnx-2 = 0

(1)证明在区间(1, g)有一个单根.并大致估计单根的取值范围.

(2)写III Newton迭代求解该根的迭代公式

解：(1)记/(x) = x-lnx - 2,显然/(兀)处处可微

/(I) = -1 < 0 , lim /(x) = +00

牙一》+a)

所以，在区间(1,8)内至少存在一个实根

另外，由于广(兀)=1—丄〉0 , xe(l,+00)

X

所以，在区间(1,8)内有且仅有一个实根

/(3) = l-ln3<0, /(4) = 2-ln4>0

可见根XG(3,4)

(2)牛顿迭代法形式：兀屮=暫—芈丄

fg

由 a 是f(x) = 0的加重根,令f(x) = (x-a)m g(x), g(a )H0,

则血)》-一⑴，

mg(x) + (x-a)g (x)

容易验证：0(a) = 1-丄，因 m > 1,(p\a) 0,且|0(x)|vl, m

故牛顿迭代法是收敛的，但只是线性收敛。

求方程加重根的丫顿迭代法形式：x w+1= ￡ -加#爭

2(€ _ 彳 _ 2x ： + 3x“ _ 1) 4兀；一 - 4x fl + 3

该迭代至少为平方收敛

8、求方程?-2%-5 =()在区间［2,3］内根的近似值有如下变形

即: E+l =￡一 兀;-￡叽厂2￡

￡ 一1

考虑取x 0 =4

7、据理证明x* = 1是方程X 4-X 3-2X 2+3X = 1的一个二重根,

并构造计算T 的具有平方收敛阶的Newton 迭代

i￡/(x) = x 4-x 3-2x 2+3x-l

因为 /(1) = 0,广(1) = 0, /"(1)工0

所以x=l 是方程/(朗=0的一个二重根

注意到,当a 是f(x) = 0的m 重根(m > 2)时,

牛顿迭代法求解/(兀)=0仅是线性收敛的

事实上，对于牛顿迭代法, 其迭代函数是0(兀)=

=￡一 ￡叽 2 兀卫兀“+暫

x = v2x + 5

(1) 试判定対任意初始近似值X O G [2,3]简单迭代法无+] =(p(x k )的收敛性；

(2) 写出求解该实根的Newsn 迭代格式，并考虑迭代初值的选取 解：(1)记0(兀)=如 + 5 ,容易验证卩([2,3])口2,3]

^/29

并且 I (p\x) 1< < 1 27

所以0(兀)作为区间[2,3]上的压缩映射，存在一个不动点/ e[2,3] 并且对于Vx 0 e [2,31,迭代式耳+严以母)均收敛到x*

(2)牛顿迭代法形式：x…+1 = 芈丄

f g 取x 0=3 (注：满足/(Xo )/”(Xo )>O)

9、为数值求得方程x 2-x-4 = 0的止根兀*,可建立如下迭代格式

兀=J4 + x“_| , 7? = 1, 2,??-,

试利用迭代法的收敛理论证明对于V“)> 0 ，该迭代序列收敛，R 满足?lim x” = x* 解：记(p(x) = + x > 0

所以,对于％ >0,迭代式兀2 =0(耳)均收敛到T

10、对于非线性方程12 —3X + 2COSJC = 0

(1) 证明方程存在唯一实根

2

(2) 证明对于任意的x°wR,迭代式忑+】=4 + —cos“产生的序列g ｝收敛到方

程的根

(3) 构造求解该方程根的Newton 迭代式

解：(1)记 /(x) = 12-3x + 2cosx

显然/(兀)连续可微,又 lim /(x) = +oo, lim /(x) = -oo

XT-8

即:—-倍

X ： + 兀 + 5 2(￡-1) 显然|0(兀)| = 1 2』4 +

所以根据连续函数零点存在定理可知3/ 6(-00,4-00),成立/(/) = 0 另外，广(X )二-3-2sin x<0,可见函数.f(x)严格单调递减 故满足/(x)= ：0的点兀唯一，即方程存在唯一实

根

(2)记0(兀): / 2 = 4 + —cosx

3 2 —sinx

3 所以，对于\/兀0,迭代式Xz=(p(x k )产牛的序列｛忑｝均收敛到方程的根F ⑶牛顿迭代法形式—”-册

M 12-3x n +2cosx

即：￡+i = ￡ + ---------- ---------- 3 + 2sinx n

即兀 |_12 + 2(COS ￡+￡ sinx”) 3 + 2sinx n

非线性方程求根

非线性方程求根 本章主要内容： 1.区间二分法. 2切线法. 3.弦位法. 4.一般迭代法. 重点、难点 一、区间二分法 区间二分法是求方程f(x)=0根的近似值的常用方法。 基本思想：利用有根区间的判别方法确定方程根的区间[a,b],将有根区间平分为二；再利用有根区间的判别方法判断那一个区间是有根区间；重复上述步骤，直到小区间端点差的绝对值小于等于精度要求的数值，则用将上一区间的分半值作为方程的根的近似值。 区间二分法的计算步骤如下： 1. 计算区间端点的函数值f(a),f(b)（不妨设f(a)＜0,f(b)＞0）； 确定初始有根区间[a,b]. 2.二分有根区间[a,b]，并计算)2( b a f +取2 1b a x += 3.判断：若0)(1=x f ，则方程的根为1x x =* ； 若0)(1>x f ，则有根区间为[]1,x a x ∈* ；令[]],[,111b a x a = 若0)(1

例1用区间二分法求方程0353 =+-x x 在某区间内实根的近似值（精确到0.001） 【思路】参见上述区间二分法的计算步骤 解∵f(1.8)=-0.168＜0,f(1.9)=0.359＞0∴f(x)在区间[1.8，1.9]内有一个根。 由公式644.512 ln 001 .0ln 1.0ln 12ln ln )ln(=--=---≥ εa b n 取n=6，计算结果列表如下： 则方程在区间[1.8，1.9]内所求近似值为x * ≈x=1.8328125 区间二分法的优点是计算程序简单，只要f (x )在区间[a,b]上连续，区间二分法就可使用，但区间二分法不能用来求偶次重根，由于区间二分法收敛比较慢，在实际计算中，区间二分法常用来求比较好的含根区间和初始近似值，以便进一步使用收敛更快的迭代法求出更精确的近似值。 迭代序列收敛阶的概念 设迭代序列{}n x 收敛于* x ，如果存在实数1≥p 与正常数c ，使得 c x x x x p n n n =--* *+∞ →1lim ，则称序列{}n x 是p 阶收敛于*x 。 特别地，当1=p 时，称序列{}n x 为线性（一次）收敛；{}n x 为线性收敛时，必须要求1

数值分析分章复习(第七章非线性方程求根)

第七章非线性方程求根 要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断 （2） 迭代公式收敛阶概念 （3） Newton 迭代公式及收敛性左理 复习题： 1、建立一个迭代公式il ?算数G = j5 + 7?+辰二,要求分析所建迭代公式的收敛性 解：迭代式为：「卄产 l/o = 5 数d 应是函数卩（x ） = jrr§的不动点（即满足0（a ） = a ） 注意到（1）当xeI0,5］时，恒有0（人）€［0?习 (2)当xe[(X5]时，恒有0Cr) = — <-< 1 2\J X + 5 2 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到“ 2、对于方程—x = 2 ? 解：（1）记/（X ）= 8’ — / 一 2 显然 /(_1.9) = 0.0496 >0, /(一1) =-0.6321 <0 当Jce[-L9,-1]时.恒有/V) = e'-l<0 可见/（X ）在区间［-1.9,-I ］内有且仅有一个零点 即方程在区间内有且仅有一个实根 (2)取

严-X-2 兀屛=兀------ 汗七― e" -1 .心=一1?9 3、为求x^-x--\=0/￡ L5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的 迭代公式：(1) x = l + A： (2) x = (l + x-)h试分析每一种迭代的收敛性 X- 解：记 ⑴ 迭代式为￡. = 1+2,这里记9?U)= I+4 注意到/(1?3)/(1?5)<1?并且f\x) = 3x--2x = x(3x-2)>Q. xe[L3J.5] 所以区间［1.3J.5］为有根区间 2 0([l?3J?5])c[l?3J?习，井且当xe[L3J.5]时，恒有I

数值分析实验报告——非线性方程求根

数值分析实验报告——非线性方程求根 二分法 一、题目 用二分法求方程= 的所有根 x .13要求每个根的误差小于 -x + 0.001. . 2 1 二、方法 二分法 三、程序 1、Jiangerfen.M的程序 function[c,yc]=jiangerfen(f,a,b,tol1,tol2) if nargin<4 tol1=1e-3;tol2=1e-3;end %nargin<4表示若赋的值个数小于4，则tol1和tol2取默认值。 ya=feval('f',a);%令x=a代入到方程f中，ya即f(a)。 yb=feval('f',b); if ya*yb>0,disp('(a,b)不是有根区间');return,end max=1+round((log(b -a)-log(tol2))/log(2));%round函数是将数据取整，使数据等于其最接近的整数。 for k=1:max c=(a+b)/2; yc=feval('f',c); if((b-a)/2> format compact >> fplot('[x^3-2*x-1,0]',[-1.5,2]); >> jiangerfen('f',-1.5,-0.8); k = 8 c = -0.9996

非线性方程求根

第七章 非线性方程求根 教学目的与要求： 理解二分法求根的思想；掌握二分法求解过程；了解二分法的优点和缺点。了解迭代法的基本思想，迭代法的收敛条件以及局部收敛性的定义；理解基本迭代法的迭代思路，收敛条件的产生与求证过程；掌握基本迭代法的迭代格式，收敛条件的应用以及局部收敛定理。 重点和难点：迭代法的基本思想，迭代法的收敛性 ■ 教学内容： 基本概念： 的零点； 的m 重零点。 )(x f )(x f 非线性方程的求根通常分为两个步骤：一是对根的搜索，二是根的精确化，求得根的足够精确的近似值。 求方程的有根区间有如下方法： (1)描图法。画出的简图，从曲线与)(x f y =x 轴交点的位置确定有根区间。 (2)解析法。根据函数的连续性、介值定理以及单调性等寻找有根区间。 § 1 二分法 分析二分法的基本原理 例1 用二分法求方程的一个正根，要求误差不超过. 01)(6=??=x x x f 2105.0?ק 2 迭代法及其收敛性 一、迭代法的定义 二、基本迭代法 定义：将方程改写成以下等价形式() x x ?=取定初始值0x ，由迭代公式1() (0,1,2,)n n x x n ?+==L 产生迭代序列{}n x 。显然，若{}n x 收敛于*x ,()x ?在*x 处连续，就有** 1lim lim ()()n n n n x x x ??+→∞→∞ ===x 即*x 是方程() x x ?=的解，从而也是0)(=x f 的解。故当充分大时，可取作为方程根的近似值。用迭代格式求得方程近似根的方法称为基本迭代法，n n x )(x ?称为迭代函数。由于收敛点*x 满足*()* x x ?=，故称*x 为)(x ?的不动点 例 求方程的一个实根，要求精确到六位小数。 032)(3 =??=x x x f 注意：把此方程转换成三种等价形式 ,32)(31+==x x x ?)3(2 1)(32?= =x x x ?, 3)(33??==x x x x ?三、迭代法的收敛条件

数值分析实验报告——方程求根

《数值分析》实验报告 班级信科1501 学号150803114 姓名梁恩昊日期2017.10.3 实验一________ 方程求根_______ 一、实验目的： 掌握二分法、Newt on法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。 二、实验内容： 二分法、Newt on法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。观察初值对收敛性的影响。 三、实验步骤： ①、二分法： 定义：对于区间［a, b］上连续不断且f (a)?f (b) <0的函数y=f (x),通过不断地把函数f (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。 实现方法：首先我们设一方程400*(x A4)-300*(x A3)+200*(x A2)-10*x-仁0 ，并求其在区间［0.1,1］上的根，误差限为e=10A-4。 PS：本方法应用的软件为matlab。 disp('二分法') a=0.1;b=1; tol=0.0001; n0=100; fa=400*(a.A4)-300*(a.A3)+200*(a.A2)-10*a-1; for i=1: n0 p=(a+b)/2; fp=400*(p.A4)-300*(p.A3)+200*(pA2)-10*p-1;

if fp==0||(abs((b-a)/2)0 a=p; else b=p; end; end; if i==n0&&~( fp==0||(abs((b-a)/2)r2 ffp"iDb* p. 4)^J &6" p> 31+2D0? ■ p. Z E ]. if fji-=< 11 f*b. i 'b-? i /2 ■ rnd.; If UsuCSr rp=Ql II?Ife-Sl IlTil^SXr&li 4-llpi WI nsns' 「二〒迭代垢归*i X出方程茁霍r “ 二泌 曲二讨；t3HS芳壮甘训壮匕 ?. n$9 _曲乜竹Tfl-n： U k r>\ 运行结果： 用二分法求得方程的根p= 0.1108 二分迭代次数为： 14 ②Newton 法 Vllw M F aim0.1 BQ ^1104Mia aw EeaE7?■ IM MM sita LWJOr-CA UJM 宀li > aihJ H^.ul 囈鬥收 i-1 严 f rt*b>F2, . fp=-；00rlp ■jJ-MKhri-p - 3)4 200. p. ■? ” if fp=：!| I ahi lh-3l Z' .llAt fe^F. 4H4 : 'if i—rOtt ""(f p—-fl 11 I' ②讥= dlTpC r 二一：启Tf； 7■尢詳国??舉■ 亡远 -" □ * * SI ■ ■ Q ■ 113知祢硝—■福鼻耕■ | ibhb-irfpte 电 R 曰 昌 昌 曰 曰

第二章 数值分析--方程求根

第二章 方程求根 教学内容： 1．二分法 2．基本迭代法 3．牛顿法 4．弦位法 5．埃特金法和斯基芬森法 6．重根的情况 教学重点： 各种算法的思路及迭代公式的构造 教学难点： 各种算法的收敛性、收敛速度及误差估计 计划学时：5-6学时 授课提纲： 方程求根就是求函数)(x f 的零点*x ，即求解方程 0)(=x f 这里，0)(=x f 可以是代数方程，也可以不是，如超越方程。 方程的根既可以是实数，也可以是复数；既可能是单根，也可能是重根；即可能要求求出给定范围内的某个根，也可能要求求出方程全部的根。 本章介绍的方法对两类方程都适用，但大部分都是要求知道根在什么范围内，且在此范围内只有一个单根。若有α使得0)(,0)(≠'=ααf f ，则称α是方程0)(=x f 的单根；若有α使得 0)(,0)()()()()1(≠==='=-ααααm m f f f f ， 则称α是方程0)(=x f 的m 重根。 设)(x f 在区间[a,b]连续，若0)()(

2.1.2 二分法思想 区间对分，去同存异 2.1.3 二分法计算步骤 步1：令2/)(0b a x +=，计算)(0x f ； 步2：若0)(0=x f ，令0*x x =，计算结束； 步3：若)(0x f *)(a f >0，令0x a =；否则令0x b =； 步4：若ε≤-||a b ，令2/)(*b a x +=,计算结束；否则转步1。 2.1.4 二分法误差分析和收敛性 记第k 次区间中点为k x ，则有 2/)(0*a b x x -≤-，21*2/)(a b x x -≤-，1*2/)(,+-≤-k k a b x x 故当∞→k 时，*x x k →。 为使ε≤-k x x *，解不等式ε≤-+12/)(k a b ，得 12ln /]ln )[ln(---≥εa b k 2.1.5 二分法的优缺点 ● 算法简单直观，易编程计算； ● 只需)(x f 连续即可； ● 区间收缩速率相同，收敛速度慢； ● 无法求复根和偶重根。 例2-1 p15例1 2.2 迭代法 2.2.1 迭代法原理 0)(=x f ? )(x x ?= )(x f 的根 )(x ?的不动点 2.2.2 迭代法思路 任取初值],[0b a x ∈，令)(01x x ?=，)(12x x ?=，反复迭代，即得 ),2,1,0(),(1 ==+k x x k k ? 直到满足精度要求的k x 来近似*x 。称)(x x ?=为迭代公式，)(x ?为迭代函数，{k x }为迭代序列。 若{k x }收敛时，称迭代公式是收敛的。此时设=∞ →k k x lim *x ，当)(x ?连续时 )()lim ()(lim lim *1*x x x x k k k k k ???====∞ →∞ →+∞ → 亦即0)(*=x f 。若{k x }不收敛，称迭代公式是发散的。

数值分析第七章非线性方程求根习题答案

第七章非线性方程求根 （一）问题简介 求单变量函数方程 ()0f x = (7.1) 的根是指求*x （实数或复数），使得(*)0f x =.称*x 为方程(7.1)的根,也称*x 为函数() f x 的零点.若()f x 可以分解为 ()(*)()m f x x x g x =- 其中m 为正整数,()g x 满足()0g x ≠,则*x 是方程(7.1)的根.当m=1时,称*x 为单根;当m>1时,称*x 为m 重根.若()g x 充分光滑,*x 是方程(7.1)的m 重根,则有 (1)() (*)'(*)...(*)0,(*)0m m f x f x f x f x -====≠ 若()f x 在[a,b]上连续且()()0f a f b <,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法 设()f x 在[a,b]上连续,()()0f a f b <,则()0f x =在(a,b)内有根*x .再设()0f x =在(a,b)内 仅有一个根.令00,a a b b ==,计算0001()2x a b =+和 0()f x .若0()0f x =则*x x =,结束计算;若 00()()0 f a f x >,则令 10,1a x b b ==,得新的有根区间 11[,] a b ;若 00()()0 f a f x <,则令 10,10a a b x ==,得新的有根区间11[,]a b .0011[,][,]a b a b ?,11001 () 2b a b a -=-.再令1111 ()2x a b =+计算1()f x ,同上法得出新的有根区间22[,]a b ,如此反复进行,可得一有根区 间套 1100...[,][,]...[,] n n n n a b a b a b --???? 且110011 *,0,1,2,...,()...() 22n n n n n n a x b n b a b a b a --<<=-=-==-. 故 1 lim()0,lim lim ()* 2n n n n n n n n b a x a b x →∞→∞→∞-==+=

数值分析非线性方程求根实验

实验报告 一、实验目的 1．迭代函数对收敛性的影响。 2．初值的选择对收敛性的影响。 二、实验题目 1．用简单迭代法求方程01)(3=--=x x x f 的根。 分别化方程为如下等价方程： 31+=x x ；13 -=x x ；x x 11+=；213-+=x x x 取初值5.10=x ，精度为4 10-，最大迭代次数为500，观察其计算结果并加以分析。 2．①用牛顿法求方程01)(3=-+=x x x f 在0.5附近的根， 分别取初值1000,100,2,1,5.0,5.0,1,2,100,10000-----=x 观察并比较计算结果，并加以分析。 ②用牛顿法求方程0)(3=-=x x x f 所有根。 三、实验原理 简单迭代法程序，牛顿迭代法程序。 四、实验内容及结果

五、实验结果分析 (1)实验1中用简单迭代法求方程01)(3=--=x x x f 的根： 取初始值5.10=x 的时候，等价方程2和4是不收敛的。等价方程1的迭代次数为6，近似值为1.324719474534364。等价方程3的迭代次数为7，近似值为1.324718688942791。说明不同的等价方程得到的结果以及迭代的次数是不一样的。 (2)实验2中用牛顿迭代法求方程01)(3=-+=x x x f 在0.5附近的根： 通过结果可知，当初始值越接近真实值时，迭代的次数就越少。 (3)实验3中用牛顿法求方程0)(3=-=x x x f 所有根： 可知该方程的根为01=x ，12=x ，13-=x ，由于方程是无重根的，所以可以直接用牛顿迭代法做，而不需要使用牛顿迭代加速法做。

数值分析求解非线性方程根的二分法,简单迭代法和牛顿迭代法

实验报告一：实验题目 一、 实验目的 掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。 二、 实验内容 1、编写二分法、牛顿迭代法程序，并使用这两个程序计算 02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 4 10- ，比较两种方法收敛速度。 2、在利率问题中，若贷款额为20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。 3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根cot x =(x 2?1)/2x ，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。 4、用牛顿法求方程f (x )=x 3?11x 2+32x ?28=0的根，精确至8位有效数字。比较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。 三、 实验程序 第1题： 02)(=-+=x e x x f 区间[0,1] 函数画图可得函数零点约为0.5。 画图函数： function Test1() % f(x) 示意图, f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0 r = 0:0.01:1; y = r + exp(r) - 2 plot(r, y); grid on 二分法程序： 计算调用函数：[c,num]=bisect(0,1,1e-4) function [c,num]=bisect(a,b,delta) %Input –a,b 是取值区间范围 % -delta 是允许误差 %Output -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值 % -num 是迭代次数

ya = a + exp(a) - 2; yb = b + exp(b) - 2; if ya * yb>0 return; end for k=1:100 c=(a+b)/2; yc= c + exp(c) - 2; if abs(yc)<=delta a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; end if abs(b-a)

数值分析实验报告——方程求根

《数值分析》实验报告 实验一方程求根 一、实验目的: 掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根的各种计算方法、并实施程序调试和运行，学习应用这些算法于实际问题。 二、实验内容: 二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法求方程的根、程序的调试和运行，给出实例的计算结果。观察初值对收敛性的影响。 三、实验步骤： ①、二分法： 定义：对于区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）<0的函数y=f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。 实现方法：首先我们设一方程400*(x^4)-300*(x^3)+200*(x^2)-10*x-1=0，并求其在区间[,1]上的根，误差限为e=10^-4。 PS：本方法应用的软件为matlab。 disp('二分法') a=;b=1; tol=; n0=100; fa=400*(a.^4)-300*(a.^3)+200*(a.^2)-10*a-1; for i=1:n0 p=(a+b)/2; fp=400*(p.^4)-300*(p.^3)+200*(p.^2)-10*p-1;

if fp==0||(abs((b-a)/2)0 a=p; else b=p; end; end; if i==n0&&~(fp==0||(abs((b-a)/2)

数值分析分章复习(第七章 非线性方程求根)

第七章 非线性方程求根 要点：（1）迭代公式局部收敛性及收敛性判断 （2）迭代公式收敛阶概念 （3）Newton 迭代公式及收敛性定理 复习题： 1、建立一个迭代公式计算数 a =要求分析所建迭代公式的收敛性 解： 迭代式为：105 n x x +?=?? =?? 数a 应是函数()x ?= ()a a ?=） 注意到（1）当[0,5]x ∈时，恒有[,5)](0x ?∈ （2）当[0,5]x ∈ 时，恒有()1 12 x ?<'= < 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到a 2、对于方程2x e x -=， （1） 证明在区间［-1.9，-1］内有唯一实根 （2） 讨论迭代格式 10(12 .9,1) k x k x e x +?=∈--??-??的收敛性如何？ （3） 写出求解该实根的牛顿迭代公式 解：（1）记()2x f x e x =-- 显然( 1.9)0.04960, (1)0.63210f f -=>-=-< 当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有()10x f x e '=-< 可见()f x 在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个零点 即方程在区间[ 1.9,1]--内有且仅有一个实根 （2）取()2x x e ?=- 容易验证：（I ）当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有[ 1.9](,1)x ?∈--， (II) 当[ 1.9,1]x ∈--时，恒有1 )1(x e x e ?-'<=< 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 （3）记()2x f x e x =--

牛顿迭代法形式： 1() () n n n n f x x x f x +=- ' 即：10 211.9n n x n n n x e x x x e x +?--=-?-??=-? 3、为求012 3 =--x x 在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的 迭代公式：（1）211x x +=；（2）()3 1 21x x +=。试分析每一种迭代的收敛性 解：记 32 ()1f x x x =-- (1) 迭代式为1211n n x x +=+ ，这里记2 1()1x x ?=+ 注意到(1.3)(1.5)1f f <, 并且2 ()32(32)0f x x x x x '=-=->, [1.3,1.5]x ∈ 所以区间[1.3,1.5]为有根区间 ([1.3,1.5])[1.3,1.5]??, 并且当[1.3,1.5]x ∈时，恒有3 |()|2 11.3x ?≤ <' 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 (2) 迭代式为1231(1)n n x x +=+，这里123 ()(1)x x ?=+ 同(1)中讨论，得结论：该迭代公式收敛 4、对于方程01=-x xe 在0.5附近的根。 （1） 选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。 （2） 给出求解该实根的牛顿迭代公式 解：(1) 01=-x xe 1x x e = 构造迭代式： 10 n x n x e x -+?=????， 即取迭代函数 ()x x e ?-= 首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间 ([0.1,1])[0.1,1]??, 并且当[0.1,1]x ∈时，恒有0.1|()|1x e ?-≤<' 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 设* [0.1,1]x ∈是其根的精确值， 因为* *()0x x e ?-'=-≠，故收敛为线性收敛，即收敛阶1p =

数值分析分章复习(第七章非线性方程求根).docx

第七章非线性方程求根 要点：(1)迭代公式局部收敛性及收敛性判断 (2)迭代公式收敛阶概念 (3)Newton迭代公式及收敛性定理 复习题： 1、建立一个迭代公式计算数d = $5 + 7^5 +…,要求分析所建迭代公式的收敛性￡+】 =j5 + ￡ 解：迭代式为: 兀()=5 数d应是函数0(x)=厶+ 5的不动点(即满足(p(a) = a ) 注意到(1)当兀引0,5］时，恒有0(x) w ［0,5］ (2)当兀引0,5］时,恒有(p\x) = — . <-<\ 2Vx+5 2 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛到Q 2、対于方程『—兀=2, (1)证明在区间［-1.9, -1］内有唯一实根 (2)讨论迭代格式二“一2的收敛性如何？ (3)写岀求解该实根的牛顿迭代公式 解：(1) iE/(x) = e A-x-2 显然/(-1.9) = 0.0496 > 0, /(-I) = -0.6321 < 0 当兀0［—1.9,一1］吋，恒有/'(力二/一1<0 可见/(兀)在区间［-1.9,-1］内有且仅有一个零点 即方程在区间［-1.9,-1］内有R仅冇一个实根 (2)取(p(x) = e x-2 容易验证:(I)当xe［-1.9,-l］时，恒有0(兀)引一1.9,一1］, (II)当兀引一1.9,一1］时，恒有0(x)二/vl 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛

(3) Mf(x) = e x-x-2

即：<￡+】=￡ 严一1 兀o = —1.9 3、为求x3-x2-l = 0在1.5附近的一个根，现将方程改写成等价形式，且建立相应的迭代公式：(1) x = l + (2)兀=(1 + /)二试分析每一种迭代的收敛性 解：记f(x) = x3-x2-l (1)迭代式为￡+1=1+丄，这里记0(兀)=1+丄 ￡厂 注意到/(1.3)/(1.5)<1,并且f\x) = 3x2-2x = x(3x-2) > 0, XG [1.3,1.5] 所以区间[1.3,1.5]为冇根区间 2 /([1.3,1.5])匸[1.3,1.5],并且当xw[l?3,l?5]时，恒有10 ⑴ 15青<1 依据不动点 迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 1 2 (2)迭代式为兀汁严(1 +尤)匚这里0(兀) = (1 +严)3 同(1)屮讨论，得结论：该迭代公式收敛 4、对于方程xe x-l = O在0.5附近的根。 (1)选取一个不动点迭代公式，判别其收敛性，并指出收敛阶。 (2)给出求解该实根的牛顿迭代公式 解：⑴xe x -1=0《9 x = — e x f Y = p~Xfl 构造迭代式：\ n+i,即収迭代函数(p(x) 十 ko 首先，容易验证区间[0.1,1]是方程的一个有根区间 ^([0.1,1]) c [0.1,1],并且当XG [0.1,1]时，恒有I(p\x) \< e A}A < 1 依据不动点迭代法收敛定理，知该迭代公式收敛 设XG [0.1,1]是其根的精确值，

实验一_方程求根的数值方法

实验一方程求根的数值方法一、实验内容： 1.求方程3310 x x --=在 02 x=附近的根（根的准确值为）* 1.87938524 x= ，要求计算结果准确到四位有效数字。 2.给出至少三种不同的数值方法，并写出相应的理论分析； 3.编写程序，上机计算，求出数值结果，在实验报告中以表格形式列出； 4.对数值实验结果进行分析，验证与前面理论分析是否一致。 二、实验报告格式 1. 题目（手写）； 2. 数值方法和相应的理论分析（手写）； 3. 程序（打印）； 4. 数值实验结果（打印）； 5. 数值实验结果分析（手写）。 三、实验报告要求 理论分析正确，程序运行无误。实验报告条理清晰，手写部分字迹工整整洁。 不动点迭代法程序： function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps) %非线性方程组：f %初始解：a %解的精度：eps %求得的一组解：r %迭代步数：n if nargin==2 eps=1.0e-6; end x0 = transpose(x0); n=1; tol=1; while tol>eps

r= subs(F,findsym(F),x0) %迭代公式 tol=norm(r-x0); %norm 为矩阵的欧几里得范数 n=n+1; x0=r; if(n>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多可能不收敛'); return; end end 实验结果 K Xk X* 0 2.0000 1.87938524 1 1.9129 1.87938524 2 1.8888 1.87938524 3 1.8821 1.87938524 4 1.8801 1.87938524 5 1.879 6 1.87938524 牛顿法迭代程序： function [r,n]=mulNewton(F,x0,eps) if nargin==2 eps=1.0e-4; end x0 = transpose(x0); Fx = subs(F,findsym(F),x0); var = findsym(F); dF = jacobian(F,var); dFx = subs(dF,findsym(dF),x0); r=x0-inv(dFx)*Fx; n=1; tol=1; while tol>eps x0=r; Fx = subs(F,findsym(F),x0); dFx = subs(dF,findsym(dF),x0); r=x0-inv(dFx)*Fx %核心迭代公式 tol=norm(r-x0); n=n+1; if(n>100000) disp('迭代步数太多可能不收敛');

实验3非线性方程求根问题

西华数学与计算机学院上机实践报告 课程名称：计算方法C年级：2011级上机实践成绩： 指导教师：严常龙姓名： 上机实践名称：非线性方程求根问题学号：上机实践日期：2012.12.10 上机实践编号：3上机实践时间： 一、目的 1．通过本实验的编程练习，加深对非线性方程求根方法之二分法、简单迭代法、、牛顿迭代法等的构造过程的理解； 2．能将各种方法的算法描述正确地改编为程序并上机实现； 3．比较各种方法在求解同一非线性方程根时，在收敛情况上的差异。 二、内容与设计思想 自选求根问题，分别用二分法、简单迭代法、埃特金加速收敛法和牛顿迭代法求解其根，然后完成编程作业（注意把同一求根问题的几种不同方法放在一个程序之内）。以下求根问题供参考和选择，也可自行选择其他求根问题： 自拟题目：用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2 , 3]内的根。方程f(x)=2x3-5x2-19x+42=0在x=3.0附近有根，用牛顿迭代法求其根。用简单迭代法求方程f(x)=x3+2x2+10x-20=0在区间[1 , 1.5]上的根。 三、使用环境 操作系统：Windows 7 软件环境：VC++ 6.0 四、核心代码及调试过程 #include #include #define N 50 #define EPS 0.000000001 double f(double x) { return(x*x*x-2*x-5);//f(x)=x3-2x-5 } double f2(double x) { return(2*x*x*x-5*x*x-19*x+42);//f(x)=2x3-5x2-19x+42 } double f3(double x) { return(6*x*x-10*x-19); } double f4(double x) {

数值分析求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法

实验报告一:实验题目 一、 实验目的 掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法,并通过数值实验比较两种方法的收敛速度。 二、 实验内容 1、编写二分法、牛顿迭代法程序,并使用这两个程序计算02)(=-+=x e x x f 在[0, 1]区间的解，要求误差小于 4 10- ,比较两种方法收敛速度。 ２、在利率问题中,若贷款额为２０万元，月还款额为2160元,还期为10年，则年利率为多少?请使用牛顿迭代法求解。 ３、由中子迁移理论,燃料棒的临界长度为下面方程的根,用牛顿迭 代法求这个方程的最小正根。 4、用牛顿法求方程 的根，精确至8位有效数字。比较 牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。 三、 实验程序 第1题: 02)(=-+=x e x x f 区间[0，1] 函数画图可得函数零点约为0.５。 画图函数： f ｕn ｃti ｏｎ Te ｓｔ1(） % f(x ） 示意图, ｆ(x) ＝ x + exp （x) - 2; ｆ(x) ＝ 0 r = 0:0.０１:１; y = r + e ｘp(r) - ２ p ｌot(r, y); gri ｄ ｏn 二分法程序： 计算调用函数：[c,n ｕm ］＝bisec ｔ(０，1,１e-４） fu ｎｃｔi ｏn [ｃ,ｎｕm ］=ｂisect （a,b,de ｌt ａ) %Ｉｎp ｕt –ａ,b 是取值区间范围 ％ -de ｌta 是允许误差 %O ｕtput －ｃ牛顿迭代法最后计算所得零点值 % －num 是迭代次数 ya = a + ｅｘｐ(ａ) - 2; ｙｂ = b + e ｘp(b) - 2;