积分变换练习题 第二章 Laplace 变换
________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
§1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质
一、选择题
1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ]
（A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1
s
e s -+
11[(1)][()];1[(1)](1)s
s t s u t e u t se e u t s e --+??-== ? ? ?-= ?+??
由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L
2．设2sinh ()t
f t t =
，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）1
2ln 1
s s +-
见课本P84
二、填空题
1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L
。
22''222321[(2)][()];1442[(1)]s
s s s u t e u t se s s t u t se s e -??-== ? ?++ ???-== ? ?????
由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L
。
(1)00''
231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t t
e e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---??===> ?- ? ???== ? ?--???
???再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题
1．求下列函数的Laplace 变换：
（1）302()12404t f t t t ≤
=-≤
2
4
2
2
4
2422402[()]()3(1)33334st
st
st st st s s s s s f t f t e dt e dt e dt
e e e e e e e s s s s s s s
+∞
----------==+--+=+=-++-=-?
??L
（2）3,2
()cos ,2
t f t t t ππ?
??
20
2
22
2
2
2
()
2
2
20
2
222[()]()3cos 3333,
cos cos(
)sin 2
1
33
[()].
1st
st st s
st st
s
t s s st
s s
s
f t f t e dt e dt te dt
e
e e dt s
s s
e te dt e
d e
e d s e e
f t s s s
π
πππ
π
ππ
τ
π
πττ
π
πππ
ττττ+∞
+∞
----
---
-=+∞
+∞
+∞
-+-
---
-
==+=
=-+-=
+=-=-+=--++?
???
??
?
，从而
L L
（3）()sin
2
t
f t = 2
22002
[()]sin 2sin .241
t st s t f t e dt e d s ττττ=+∞+∞--===+??L
（4）()cos ()sin ()f t t t t u t δ=?-?
200
[()][cos ()sin ()]cos ()sin ()1cos sin 1.1
st st
st st
st t f t t t t u t e dt
t t e dt t u t e dt te
te dt s δδ-+∞
-+∞
+∞
--+∞
--==?-?=?-?=-=-
+????L
2．求以2b 为周期的函数1,0()1,2t b
f t b t b
<≤?=?
-<≤?的Laplace 变换。
3．求下列函数的Laplace 变换式：
（2）42()t f t t e =
220(4)
425
1
[]2
124
[].2(2)
t
t st t
e e e dt s t e s s +∞
-==
-??
==
?
--??
?解：由象函数的微分性质可得，L L
（3）()cos f t t t =
()()
200'
2222
1
[cos ][][][]22
11112211[cos ].1(1)
it it it it it st it st e e t e e s
e e dt e e dt s i s i s s s t t s s --+∞+∞---+==+??=+=+= ?-++??-??
=-= ?++????解：由象函数的微分性质可得，
L L L L L 4．若[]()()f t F s =L
，证明：()()∞??=????
?S f t F s ds t L 或1
()[()]∞-=?S
f t t F s ds L 。 并利用此结论，计算下列式子： （1）sin ()kt
f t t
=
，求()F s .
（2）22
()(1)
s
F s s =
-，求()f t . 0000()()()()()()st st st st
s s S f t f t e e dt f t dt f t e dsdt f t e dtds F s ds t t t -∞∞∞∞∞∞∞---??=====????
???????L
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换
________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
§3 Laplace 逆变换 §4 卷积
一、选择题
1．函数221s s +的Laplace 逆变换21
2
[]1
s s -=+L [ ] （A ）()cos t t δ+ （B ）()cos t t δ- （C ）()sin t t δ+ （D ）()sin t t δ-
22222
11112222
2()0.111(0).11111[][1][1][]
11111()Res[,]Res[,]11()()sin 2st st it it
s F s s s s s s s s s t e i e i s s e e t t t i δδδ-----?? ?→∞→ ? ?=-→ ?+++ ? ?=-=- ?+++ ?
?? ?=-+- ? ?++?? - =-=- ??
利用留数方法。注：留数方法的条件要求当时，函数此时从而L L L L ??? 2．函数22s s e e s ---的Laplace 逆变换212[
]s
s e e s
----=L [ ] （A ）(2)2(1)u t u t --- （B ）(1)2(2)u t u t ---
（C ）2(1)(2)u t u t --- （D ）2(2)(1)u t u t ---
2221111[()][(1)][(2)]2[]2[][]2(1)(2)s s
s s s s
u t s e e u t u t s s e e e e u t u t s s s ---------??
= ? ? ?-=-= ? ?- ?=-=--- ?
??
已知，由延迟性质可知，及，从而L L L L L L 3．设()sin()3
f t t π
=-
，则[()]f t =L [ ]
（A
）212(1)s + （B
）2
2(1)
s s + （C ）3211s e s π-+ （D ）321s s e s π
-+
()()3333
33[sin()][][][]32221122i i
i t i t it it i i
e e e e t e e i i i e e i s i i s i πππππππ------
??- ?
-==- ? ? ?=?-?= ?-+??
L L L L 二、填空题
1．设()(35)f t u t =-，则[]()f t =L
。
5551[(35)][(3)]33s s
s
e e u t e u t s s ---?
?
?-==
?= ?
??
?
L L 2．函数
4
1
(2)
s s ++的Laplace 逆变换1
41(2)s s -??
+=??+??
L 。 ()'''
221442
111(3)Res[,-2]=(2)(2)3!6
st
t st s s e s s t t e e s s --=-?
?
??+??++-??
?
==
?? ?++??
?
?
L 3．函数
1
s
s +的Laplace 逆变换1
1s s -??
=??+??
L 。
[]111
1
11111111()Res[,1]()1st t s s s s t e t e s δδ-----??
??????=-=- ???????+++??????
?
?=--=-
?+?
?
L L L L 三、解答题
1．求下列函数的Laplace 变换式：
（1）2()32f t t t =++
[][][][]22
2
'''
3232321()3()21()11123232t t t t t u t t u t u t s s s s s s ????++=++??????=?+?+???????
=-+?=++
? ?????
L L L L L L L
（2）2()sin t f t e t -=
[]2
221
sin 1
1sin (2)1
t
t s e t s -=+??=??++由，则
L L
2．若[]()()f t F s =L
，且a 为正实数，证明[]1()()s
f at F a a =L
[]0
011()()()()()s at s st
a
a
d s f at f at
e dt
f e
f e d F a a a a
ττ
τττττ=+∞
+∞
+∞-?
-?-==
==??
?L
3．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）。 （1）22
()(1)(4)
s
F s s s =
++
[]221
22222()2.
(1)(4)
()Res[(),]Res[(),]Res[(),2]Res[(),2]
()(4)()(4)(1)(2)(1st st st st st st st st
s i s i s i s
F s z s i s i s s F s F s e i F s e i F s e i F s e i se se se se s i s s i s s s i s -==-==
=±=±++=+-++-=+++
++-++++函数在平面上具有四个奇点和，它们都是一阶极点由留数方法可知，L
2)(2)cos cos23
s i s i t t
=---=
（2）21
()6
s F s s s +=+-
4．若[()]()f t Fs =L ，证明[()]()tf t F s '=-L ，并利用此结论，设1
()ln
1
s F s s +=-，计算()f t 。 11111
()ln
ln(1)ln(1)111
'()11
1111
()['()][][][]1111
()t t
t t
s F s s s s F s s s tf t F s e e s s s s e e f t t ------+==+---?=-
+-?==-=-=-+-+--?=
L L L L
5．求下列卷积：
（1）t
t e *
001t t t
t t t t t
t t t
t t t
o t e e d e e d e de e e e d e te e t e τττ
ττττττττττ-------*===-????=-+=--=--+????????????法一：
222
'
20
22
1
12111[][][]1(1)
1
0(1)
1Res[,0]1;
(1)1Res[,1](1)1
[] 1.
(1)
t t st
st s st st
t
s t t e t e s s s s s s s s e
e t s s s e e e s s s
e t s s ==-*=?=?=
--=-=??==-- ?
--??==-=---法二：由于函数
在复平面上具有一个二阶极点和一个一阶极点，从而由留数方法可知，L L L L
（2）sin sin (0)kt kt k *≠
2
22222222
222
'
2222220'
2222220
[sin sin ][sin ][sin ]()()Res[,](
);()()44Res[,]()()st
st kti s st st s k k k kt kt kt kt s k s k s k k s ki s k k e
k e i t
ki e s k s ki k k e
k e ki s k s ki ==*=?=?=
+++=±+??==-+ ?++??
??-= ?+-??法二：由于函数在复平面上具有两个个二阶极点，从而L L L 21
222(
)44
22sin cos []()().
()22
kti kti kti i t
e k k i i kt t kt t e t e s k k k k ---=-=-++-=-+由留数方法可知，
L
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换
________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______
§5 Laplace 变换的应用 综合练习题
一、选择题
1．设[()]()f t F s =L ，则下列公式中，不正确的是 [ ]
（A ）1()
(1)()[()]n n n f t F s t
--=L （B ）1()[()](0)()f t sF s f t δ-'=-L
（C ）
10
()
()[
]t
F s f t dt s
-=?
L （D ）1()[()]at e f t F s a -=+L 2．利用Laplace 变换的性质，实积分
sin (0)at te btdt a +∞
->?
的值为 [ ]
（A ）22222()b a a b -+ （B ）22
222
()a b a b -+ （C ）2222()ab a b + （D ）2222()ab a b -+
二、填空题
1．设3()sin 2t f t te t -=，则[()]f t =L 。
232'
32222
[sin 2];42[sin 2]();(3)424(3)[sin 2](3)4(3)4t
t
t s e t s s te t s s --??
?= ?+ ?
?= ?++ ?
???+=-= ? ?++ ?????++???
?位移性质L L L 2．函数
4
1
(2)
s +的Laplace 逆变换1
41(2)s -??
=??+??
L 。 ()321442'''11Res[,2](2)(2)3!6st
t st
s e t e e s s --=-?
??? ?=-==??++ ????
?
L 3．函数21
ln (1)
s s s ++的Laplace 逆变换21
1ln (1)s s s -??
+=??+??
L
。 221
221
1111ln (1)11111sin ()()111sin ()()
ln .(1)s t
t s ds s s s s s t u t e u t s s s s t u t e u t s s t ∞----+??
=-++ ?+++??
??-++=-++??++??
??+-++=??+??
?由于，从而由象函数的积分性质，
L
L
4．设2
()(1cos )f t at t
=
-，则[]()f t =L 。
2222222
21cos 1(1cos )22222ln ln()ln .s s at s at ds ds t t t s s k s
s s k s k
∞∞??????
-=-=-??????+??????
=-+=+??L L L
三、解答题
1．设[()]()f t F s =L ，利用卷积定理，证明0
()
[
()]t
F s f t dt s
=
?
L 。 1
1
00
()1[][()]()()()(),
00;
()10()()()t
F s F s f t u t f u t d s s
t u t t f u t d f d τττττττττττ
∞--∞
=?=*=--?
-=??
?，由，从而
，L L
2．求下列方程：
（1）25sin ,(0)0,(0)1;t
y y y e t y y -''''++===
22222222[()]()1()(0)'(0)2[()(0)]5()[sin ](1)1
(0)0,(0)11
()12()5()(1)1
1
(25)()1
(1)11()[(1)4][(1)1]t y t Y s Laplace s Y s sy y sY s y Y s e t s y y s Y s sY s Y s s s s Y s s Y s s s -=--+-+==++'==-++=++++=
+++?=+++++令，对方程两边取变换，则有由初值条件可得，，从而
L L 22211114
(1)43(1)16(1)411
()sin sin 236
t
t s s s y t e t t
--=?+?
++++++?=+
（2）0()()1t
y t y d ττ'+=?
（3）;(0)(0) 1.322t
t
x x y e x y y x y e
'?+-===?'+-=?
附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 1()([n n k f t dt s s -+= +∑?个
2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,, ,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理 可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3）
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝1 i n s t i i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ 11lim [()()]i r r s s d c s s F s ds -→=- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1 s F L t f -= ??????-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11 111 1111)()() ( t s n r i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+?? ????+++-+-=112211 1 )!2()!1( （F-6）
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ §1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质 一、选择题 1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ] （A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1 s e s -+ 11[(1)][()];1[(1)](1)s s t s u t e u t se e u t s e --+??-== ? ? ?-= ?+?? 由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L 2．设2sinh ()t f t t = ，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）1 2ln 1 s s +- 见课本P84 二、填空题 1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L 。 22''222321[(2)][()];1442[(1)]s s s s u t e u t se s s t u t se s e -??-== ? ?++ ???-== ? ????? 由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L 。 (1)00'' 231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t t e e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---??===> ?- ? ???== ? ?--??? ???再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题 1．求下列函数的Laplace 变换： （1）302()12404t f t t t ≤
一、填空 1.=)2(L 2.=+)1(t L 3.=--)3 1(1p L 4.=)2(t L 5.=+-)4 1(1p L 6、=+-)531(1p L 7、拉氏变换是将给定的函数通过 转换成一个新的函数，它是一种积分变换. 二、选择 1.若2()t f t te -=，则=))((t f L （ ） A 、2 12)p +（ B 、21(p-2) C 、1p-2 D 、1p 2+ 2.拉普拉斯变换的定义是（ ） A. 0 ()()pt F p f t e dt +∞=? B. 0()()pt F p f t e dt +∞-=? C. 0()()pt F p f t e dt --∞=? D. 0()()pt F p f t e dt --∞ =? 3.拉普拉斯变换?+∞ -=0)()(dt e t f p F pt 中的)(t f 的自变量的范围是（ ） A 、),0(+∞ B 、[)+∞,0 C 、),(+∞-∞ D 、)0,(-∞ 4.若3()t f t te -=，则=))((t f L （ ） A 、213)p +（ B 、21(p-3) C 、1p-3 D 、1p 3 + 5.若t e t t f 3)4(sin )(-=，则=))((t f L （ ） A 、164 2+p B 、16)3(42++p C 、16)3(42+-p D 、16 )3(2++p p 6.若t e t t f 3)4(cos )(-=，则=))((t f L （ ） A 、162+p p B 、16)3(2++p p C 、16)3(32+--p p D 、16 )3(32+++p p
1. 求下列函数的拉式变换。 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求()t v r 并讨 论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向”“2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求 （1） 系统函数()() () s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到()()()()()∑∞ =-= =0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求： （1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。 （1） 写出电压转移函数()() () s E s V s H 2= ； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。 12. 如图7所示电路， （1） 若初始无储能，信号源为()t i ，为求()t i 1（零状态响应），列出转移函数()s H ； （2） 若初始状态以()01i ，()02v 表示（都不等于0），但()0=t i （开路），求()t i 1（零输入 响应）。
拉普拉斯变换的数学方法 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数()t F ，其中0t ≥，则f(t)的拉氏变换记作： 称L —拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当∞→t 时，at Me )t (f ≤，M ，a 为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F （s ）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 1L -—拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数at e 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式：wt sin j wt cos e jwt += 所以，)e e (j 21wt sin jwt jwt --= 6．余弦函数coswt 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表
三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k 1，k 2,函数f 1(t),f 2(t),且f 1(t),f 2(t)的拉氏变换为F 1(s),F 2(s), 则 有 ： F k )s (F k )]t (f k )t (f k [L 2112211+=+，此式可由定义证明。 2、位移定理 ?? ?复数域的位移定理实数域的位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a 有 ) s (F e )]a t (f [L as -=-, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表 f(t)延迟时间a. 证明：?∞ --=-0st dt e )a t (f )]a t (f [L ，
第二章：控制系统的数学模型 §2.1 引言 ·系统数学模型－描述系统输入、输出及系统内部变量之间关系的数学表达式。 ·建模方法 ? ??实验法（辩识法）机理分析法 ·本章所讲的模型形式 ???复域：传递函数 时域：微分方程 §2.2控制系统时域数学模型 1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dt di L u +?+?= ↓ c i C u =?& c c c u u C R u C L +′??+′′??= 11c c c R u u u u r L LC LC ′′′∴++ = ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析A、B 点受力情况 02B 0A A A i 1x k )x x f()x x (k =?=?∴&& 由 A 1A i 1x k )x x (k =? 解出01 2 i A x k k x x ? =
代入B 等式：02001 2 i x k )x x k k x f(=??&&& 0201 2 i x k x k k 1f(x f ++=?&& 得：()i 1021021x fk x k k x k k f &&=++ ── 一阶线性定常微分方程 （3）电枢控制式直流电动机 电枢回路：b a E i R u +?=┈克希霍夫 电枢及电势：m e b C E ω?=┈楞次 电磁力矩：┈安培 i C M m m ?=力矩方程：m m m m m M f J =+?ωω & ┈牛顿 变量关系：m m b a M E i u ω? ??? 消去中间变量有： a m m m m u k T =+ωω& [][]?? ???+?=+?=传递函数时间函数 C C f R C k C C f R R J T m e m m m m e m m m （4）X-Y 记录仪（不加内电路）
protues元件库中英文对照表，对初学者找不到元件的很有用元件名称中文名说明 7407 驱动门 1N914 二极管 74Ls00 与非门 74LS04 非门 74LS08 与门 74LS390 TTL 双十进制计数器 7SEG 4针BCD-LED 输出从0-9 对应于4根线的BCD码7SEG 3-8译码器电路BCD-7SEG转换电路ALTERNATOR 交流发电机 AMMETER-MILLI mA安培计 AND 与门 BATTERY 电池/电池组 BUS 总线CAP 电容 CAPACITOR 电容器 CLOCK 时钟信号源 CRYSTAL 晶振 D-FLIPFLOP D触发器 FUSE 保险丝 GROUND 地 LAMP 灯
LED-RED 红色发光二极管 LM016L 2行16列液晶可显示2行16列英文字符，有8位数据总线D0-D7，RS，R/W，EN三个控制端口（共14线），工作电压为5V。没背光，和常用的1602B功能和引脚一样（除了调背光的二个线脚） LOGIC ANALYSER 逻辑分析器 LOGICPROBE 逻辑探针 LOGICPROBE[BIG] 逻辑探针用来显示连接位置的逻辑状态 LOGICSTATE 逻辑状态用鼠标点击,可改变该方框连接位置的逻辑状态LOGICTOGGLE 逻辑触发 MASTERSWITCH 按钮手动闭合,立即自动打开 MOTOR 马达 OR 或门 POT-LIN 三引线可变电阻器 POWER 电源 RES 电阻 RESISTOR 电阻器 SWITCH 按钮手动按一下一个状态 SWITCH-SPDT 二选通一按钮 VOLTMETER 伏特计 VOLTMETER-MILLI mV伏特计 VTERM 串行口终端 Electromechanical 电机Inductors 变压器
第四章 连续信号与系统的S 域分析 1、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统， ()()t f dt df t y dt dy dt y d 52452 2+=++ 已知输入()()t e t f t ε3-=时，试求（1）系统的零状态响应；（2）判断系统的稳定性 解：(1) 方程两边取拉氏变换； ()()()() 4 5524 55 22 2+++=?+++= ?=s s s s F s s s s F s H s Y ()()() t e e e t y s s s s s s s s Y t t t zs z ε?? ? ??--=+- +-+=+++?+= ---422121214 2122111459221 (2) 对于因果连续系统，()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面， ()t h 才是衰减信号，由此可以得出，在复频域有界输出的充要条件是系统函数()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面，若系统函数的极点是虚轴上的单阶共轭极点。则系统临界稳定，若系统函数的极点在右半平面，则系统不稳定，如下图。 该题中，()1 1 4145522+++=+++=s s s s s s H ，其极点分别为4,121-=-=s s ，都在左半平面，所以 系统稳定。 2、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统 ()()()()?? ???==+=++--30,20223'22y y t f dt df t y dt dy t d y d
已知输入()()t e t f t ε3-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应()t y zs 和零输入响应 ()t y zi ， 0≥t 以及系统的全响应()0,≥t t y 。 解：方程两边取拉氏变换 ()()()()()()[]()() ()()()()()() ()()()() ()()() t e e e t y t e e t y s s s s s s Y t e e e t y s s s s s s s s Y s s s s s s s s Y s s F s F s y y sy s Y s s t t t t t zi zi t t t zs ZS εεε?? ? ??+--=+-=+++-=+++=??? ??-+-=+-++++-=+?+++=++++++?+++=+= +=---+++-----------213225 751 7 25239232132 5 1 2 123325312312223632312312;3112030'023********* 22
六．拉普拉斯变换 ㈠选择 ㈡填空 1.)(2)(t t f δ=的拉普拉斯变换是_______________ 2.)1()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________. 3.)2()(-=t u t f 的拉普拉斯变换是_________________. 4.t e t t f 22)(+=的拉普拉斯变换是_______________. 5.)(5)(2t e t f t δ+=的拉普拉斯变换是_______________ 6.)2()(2-=t u e t f t 的拉普拉斯变换是________________. 7.k e t t f kt n ()(=为实数)的拉普拉斯变换是__________________. 8.t e t f t 3sin )(2-=的拉普拉斯变换是__________________. 9.t e t f 2)(-=的拉普拉斯变换是_________________. 10.t e t f 2)(=的拉普拉斯变换是__________________。 11.t t f =)(的拉普拉斯变换是________________ 12.t te t f -=)(的拉普拉斯变换是____________________. 13.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是_____________. 14.at t f sin )(=的拉普拉斯变换是_________________. 15.t t t f cos sin )(=的拉普拉斯变换是___________________. 16. ()()sin f t u t t =的拉普拉斯变换是________________. 17. ()sin(2)f t t =-的拉普拉斯变换是________________. 18.t t f 2cos )(=的拉普拉斯变换是________________. 19.t t f 2sin )(=的拉普拉斯变换是_______________. 20.t e t f t sin )(-=的拉普拉斯变换是_________________.
第四章拉普拉斯变换 第一题选择题 1．系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 B 。 A、是反比关系； B、无关系； C、线性关系； D、不确定。 2．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面左半平面的共轭极点，则它的h(t)应是 B 。 A、指数增长信号 B、指数衰减振荡信号 C、常数 D、等幅振荡信号 3．一个因果稳定的连续系统，其H（s）的全部极点须分布在复平面的 A 。 A、左半平面 B、右半平面 C、虚轴上 D、虚轴或左半平面 4．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一个在左半实轴上的极点，则它的h(t)应是B 。 A、指数增长信号 B、指数衰减振荡信号 C、常数 D、等幅振荡信号 5．一个因果稳定的连续系统，其H(s)的全部极点须分布在复平面的 A 。 A 左半平面 B 右半平面 C 虚轴上 D 虚轴或左半平面 6．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面虚轴上的一阶共轭极点，则它的h(t)是D 。 A 指数增长信号 B 指数衰减信号 C 常数 D 等幅振荡信号 7．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h(t)应是D A、指数增长信号 B、指数衰减振荡信号 C、常数 D、等幅振荡信号 8．如果系统函数H(s)有一个极点在复平面的右半平面，则可知该系统 B 。 A 稳定 B 不稳定 C 临界稳定 D 无法判断稳定性 9．系统函数H(s)是由 D 决定的。 A 激励信号E(s) B 响应信号R(s) C 激励信号E(s)和响应信号R(s) D 系统。10．若连续时间系统的系统函数H(s)只有在左半实轴上的单极点，则它的h(t)应是 B 。 A 指数增长信号 B 指数衰减信号 C 常数 D 等幅振荡信号 11、系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 B A、是反比关系； B、无关系； C、线性关系； D、不确定。
1. 求下列函数的拉式变换。 （1） t t cos 2sin + （2） ()t e t 2sin - （3） ()[]t e t βα--cos 1 （4） ()t e t 732--δ （5） ()t Ω2cos （6） ()()t e t ωαcos +- （7） ()t t αsin 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 （1） ()()()t u e t f t 2--= （2） ()()()12sin -?=t u t t f （3） ()()()()[]211----=t u u u t t f 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 （1） () 512+s s （2） ()() 243+++s s s （3） 11 12++s （4） ()RCs s RCs +-11 （5） ()()() 2133+++s s s （6） 22K s A + （7） ()( )[]22βα+++s a s s （8） () 142+-s s e s
（9） ?? ? ??+9ln s s 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 （1） ()()() 526+++s s s （2） ()()()2132+++s s s 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求 ()t v r 并讨论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向” “2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示 式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得 表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求 （1） 系统函数()()() s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到 ()()()()()∑∞ =-==0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求： （1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。 （1） 写出电压转移函数()()() s E s V s H 2=； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。
419 附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 [()]()L af t aF s = 叠加性 1212[()()]()()L f t f t F s F s ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→=
拉普拉斯变换及其反变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -，m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 2-1 试求下列函数的拉氏变换 （1）23)(2 ++=t t t f 解：3 2232()=++F s s s s （2）t t t f 2cos 32sin 5)(?= 解：22 103()44=?++s F s s s （3）at n e t t f ?=)( 解：1 ! ()()+=?n n F s s a （4）t e t f t 6sin )(2?= 解：2 6 ()(2)36 =++F s s （5）at t t f cos )(= 解：1()cos ()2 ?==+jat jat f t t at t e e 22 2222222 111()2()()()4??+=+=??+??+??s a F s s ja s ja s a a s （6）t t f 2 cos )(= 解：1cos 2()2+= t f t 22 2211112 ()()22424(4) +=+?=+=+++s s s F s s s s s s s （7）)(5)(2t e t f t δ+= 解：1 ()52 = +?F s s （8）)(sin )(cos )(t u t t t t f ???=δ 解：1 111)(22 2+=+?=s s s s F 2-2 已知) 1(10 )(+= s s s F （1）利用终值定理，求∞→t 时的)(t f 值。 解：0 01010 lim ()lim ()lim lim 10(1)1 →∞ →→→====++t s s s f t sF s s s s s （2）通过取)(s F 拉氏反变换，求∞→t 时的)(t f 值
成绩评定表
课程设计任务书
目录 1.Matlab介绍.............. 错误！未定义书签。 2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5) 2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5) 2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7) 2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8) 3.总结 (14) 4.参考文献 (15)
1．Matlab介绍 MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。 经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。典型的用途包括以下几个方面： 1）数学计算； 2）新算法研究开发； 3）建模、仿真及样机开发； 4）数据分析、探索及可视化； 5）科技与工程的图形功能； 6）友好图形界面的应用程序开发。 1.1Matlab入门 Matlab7.0介绍 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大，适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。 MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。函数即是预先编制好的子程序。在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。无疑，这会大大提高编程效率。MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MATLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。首先，MATLAB具有友好的用户
附录A拉普拉斯变换及反变换 419
420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ())()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+ +-+ +-+ -+ +-+ -++-- 1 1111111) () () ( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
拉普拉斯变换及其反变换表 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = - =][ '- -=-=----=-∑1 1) 1() 1(1 22 2)()() 0()() (0)0()(])([) 0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(]) ([ s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
六.拉普拉斯变换 ㈠选择 ㈡填空 1. f(t) 2 (t)的拉普拉斯变换是__________________ 2. f(t) u(t 1)的拉普拉斯变换是________________________. 3. f (t) u(t 2)的拉普拉斯变换是_______________________. 4. f (t) t2e2t的拉普拉斯变换是 ________________ . 5. f (t) e2t 5 (t)的拉普拉斯变换是_____________________ 2t 6. f (t) e u(t 2)的拉普拉斯变换是_______________________ . n kt 7. f (t) t e (k为实数)的拉普拉斯变换是________________________ 8. f (t) e 2t sin 3t的拉普拉斯变换是______________________ . 9. f (t) e 2t的拉普拉斯变换是_____________________ . 10. f (t) e2t的拉普拉斯变换是 ___________________ 11. f (t) t的拉普拉斯变换是_____________________ 12. f (t) te t的拉普拉斯变换是 ________________________. 13. f (t) cos2t的拉普拉斯变换是__________________ . 14. f(t) sinat的拉普拉斯变换是_______________________. 15. f(t) si nt cost的拉普拉斯变换是______________________ . 16. f (t) u(t )si nt的拉普拉斯变换是____________________ . 17. f(t) sin(t 2)的拉普拉斯变换是 _______________________ . 2 18. f (t) cos t的拉普拉斯变换是 ______________________. 2 19. f(t) sin t的拉普拉斯变换是_____________________ .
1 拉氏变换及反变换公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
《Laplace 变换》习题课 一、 基本要求 1. 理解并记住Laplace 变换及其逆变换的定义；了解Laplace 变换存在定理； 2. 理解Laplace 变换的性质，并会证明积分性质和微分性质； 3. 熟练掌握Laplace 变换及其逆变换的计算方法； 4. 理解卷积的定义与卷积定理，会计算两个函数的卷积； 5. 掌握Laplace 变换在求解线性微分方程（组）的求解方法 二、 内容提要 1. Laplace 变换及其逆变换的定义； 0()()st F s f t e dt +∞ -=?； )]([)(1s F L t f -== 1()2i st i F s e ds i ββπ+∞-∞?（右端成为反演积分） 2. Laplace 变换的性质； 线性性质；微分性质；积分性质；位移性质；延迟性质 3. Laplace 逆变换的计算方法； 重要定理： 若1s 、2s ……n s 是函数)(s F 的所有奇点（包含在β<)Re(s 的范围内），且0)(lim =∞→s F s ，则∑==n k k st s e s F s t f 1 ],)([Re )(,其中)]([)(t f L s F =。 有了以上定理，就可以利用复变函数求留数的方法来求像原函数)(t f ，下面就函数)(s F 是有理函数的情形来给出计算方法，即 ()()/()F s A s B s = 分两种情形考虑： 4. 卷积的定义与卷积定理； )(1t f 与)(2t f 的卷积（t>=0）定义为：?-=*t d t f f t f t f 02121)()()()(τττ 卷积定理： 1212[()*()]()()L f t f t F s F s =? 或 =*)()(21t f t f 112[()()]L F s F s -?
拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 1
2
3 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将 )(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：