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线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020
考研数学基础训练）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2，
α2，α3）|=6，则| A |=( )
A.-12
B.-6
C.6
D.12
【答案】C
【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。
【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。
【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。 【历年考题链接】 （2008,4）1．设行列式D=3332
31
232221
131211a a a a a a a a a =3，D 1=33
32
3131
2322212113
12
1111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6
D ．15
答案：C 。
2.计算行列式3
2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( )
A.-180
B.-120
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C.120
D.180 【答案】A
【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行（列）展开。一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题，按第三列展开，有：
44
1424344433
313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 000
2
2 3 2 3
3
3(002)6(1) =630180.
210
A A A A A A A ++--=?+?+?+?=-----=?+?-=---?=-
【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。
【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆。 【历年考题链接】
（2008,1）11.若,02
11
=k 则k=_______.
答案：1/2。
3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4
D.8
【答案】C
【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。由于1
1,A
A
-=
由已知| A -1 |=2，从而12A =
，所以3
122842
A A ==?=。
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【提醒】牢记公式：1
1
,A
A
-=
n kA k A =，AB A B =，以及由*AA A E =推出的1
*n A A
-=。其中n 为A 的阶数。
【点评】本题涉及内容是矩阵行列式的运算性质，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。 【历年考题链接】 （2008,4）4．设A 为n 阶方阵，n ≥2，则A 5-=（ ） A ．（-5）n A
B ．-5A
C ．5A
D ．5n A
答案：A 。
4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有( ) A.α1，α2，α3，α4线性无关
B.α1，α2，α3，α4线性相关
C.α1可由α2，α3，α4线性表示
D.α1不可由α2，α3，α4线性表示 【答案】B
【解析】本题考查了向量组线性相关性。由结论可知，向量组中向量的个数大于维数，则此向量组线性相关。本题中，向量个数4，维数3，故线性相关。
【提醒】请记住判断向量组线性相关与否的结论。如：向量组的个数如果和维数相同的话，可以通过计算以这些向量为行（列）组成的行列式的值，如果值为零，则原向量组线性相关，否组线性无关。
【点评】本题涉及内容是每年必考的，常出现在选择和计算题中。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。 【历年考题链接】 （2008,7）5.已知向量组A ：4321,,,αααα中432,,ααα线性相关，那么（ ） A. 4321,,,αααα线性无关 B. 4321,,,αααα线性相关 C. 1α可由432,,ααα线性表示 D. 43,αα线性无关
答案：B 。
5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r(A)=( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C
【解析】本题考查了齐次线性方程组Ax=0的基础解系的性质：基础解系中解向量的个数为未知数的个数减去A的秩。本题中，未知数的个数为6，基础解系中解向量的个数为2。由结论可知，A的秩为4。
【提醒】另外要牢记基础解系的含义：首先，基础解系中每个向量都是解向量，它们是线性无关的；其次，方程组的所有解可以由它们线性表出。
【点评】本题涉及内容是大纲要求的重点内容，每年必考的，常出现在选择和计算题中。热度：☆☆☆☆☆。
【历年考题链接】
（2010,1）6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：D。
6.设A、B为同阶方阵，且r(A)=r(B)，则( )
A.A与B相似
B.| A |=| B |
C.A与B等价
D.A与B合同
【答案】C
【解析】本题考查了矩阵相似、等价与合同等概念的区别。因为r(A)=r(B)，故A、B通过初等变换可以互相转化，从而A与B是等价的。
【提醒】（1）若A,B为同型矩阵，A通过初等变换可以转化为B，则称A与B等价。
（2）若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称A与B相似。相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值。
（3）若存在可逆矩阵P，使得P，AP=B，则称A与B合同。若A与B合同，则它们也是等价的。
【点评】这些概念与相关性质几乎是每年必考的，常出现在选择和填空题中。热度：☆☆☆☆☆。
【历年考题链接】
（2008,7）7.若A与B相似，则（）
A.A，B都和同一对角矩阵相似
B.A，B有相同的特征向量
C.A-λE=B-λE
D.|A|=|B|
答案：D。
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7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0
B.2
C.3
D.24 【答案】D 。
【解析】本题考查了特征值的性质。已知A 为3阶方阵，特征值分别为2,1,0，根据性质：
,(),()()A A A λ?λλ?λ?若是矩阵的特征值是关于的多项式则是的特征值（含负指数），可得，A+2E 的特征值为2+2，1+2,0+2，即：4,3,2。再根据性质：若n 阶矩阵 A 的特征值为
12,,,n λλλL ，则12n A λλλ=L ，可得，| A +2E |=4╳3╳2=24。
【提醒】110,A A λλλ--≠若（）是矩阵的特征值则的特征值为；若n 阶矩阵 A 的特征值为
12,,,n λλλL ，则121122n nn a a a λλλ+++=+++L L 。
【点评】本题涉及内容是考试热点，每年必考的，常出现在选择和填空中。热度：☆☆☆
☆☆。
【历年考题链接】
（2008,7）18.设三阶方阵A 的三个特征值为1，2，3. 则|A+E |=___________. 答案：24。
（2010,1）9.设矩阵A =???
?
??????--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3 =
（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7
答案：B
8.若A 、B 相似，则下列说法错误．．的是( ) A.A 与B 等价 B.A 与B 合同
C.| A |=| B |
D.A 与B 有相同特征值
【答案】B
【解析】本题考查了相似矩阵的性质。首先，相似矩阵有相同的行列式和相同的特征值；其次，由定义，A 与B 相似则存在可逆矩阵P ，使得P -1AP=B 。因为可逆矩阵P -1和P 都能写成若干初等矩阵的乘积，而左乘初等矩阵相当于相应行变换，右乘初等矩阵相当于相应
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列变换，由P -1AP=B 可知，A 通过若干初等变换可以互相转化为B ，从而A 与B 是等价的。用排除法可知本题选B 。
【提醒】（1）若存在可逆矩阵P ，使得P ，
AP=B ，则称A 与B 合同。若A 与B 合同或相似，则它们也是等价的，反之不一定成立。
（2）若存在正交矩阵P ，使得P -1AP=B ，则可以得到A,B 合同。
【点评】本题与上面的第6题都考察了矩阵等价、合同、相似等概念和性质，这些内容需重点掌握，常出现在选择和填空题中。热度：☆☆☆☆☆。 【历年考题链接】 （2007,10）8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（ ）
A ．121
B ．71
C ．7
D ．12
答案：A 。
9.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2 B.0 C.2
D.4
【答案】D 。
【解析】本题考查了向量的正交性。如果0T
αβ=，则向量,αβ正交。向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，由0T
αβ=得，12(2)310t ?+-?+?=，解得4t =。
【提醒】3维向量正交性和空间解析几何中的向量垂直是相同的。记得什么是正交矩阵吗？ 【点评】本题涉及内容近年常考，多出现填空中。热度：☆☆☆☆。 【历年考题链接】
（2008,7）9.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）
答案：D
10.设3阶实对称矩阵A 的特征值分别为2,1,0，则( ) A.A 正定 B.A 半正定 C.A 负定 D.A 半负定 【答案】B 。
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【解析】本题考查了实对称矩阵正定性的判定。n 阶对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 的 n 个特征值全是正数。n 阶对称矩阵A 是负定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全小于零。n 阶对称矩阵A 是半正定矩阵的充分必要条件是A 的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
【提醒】n 阶对称矩阵A 正定的另一个充分必要条件是：A 的 n 个顺序主子式全大于零。
【点评】正定性的判定是考察的重点。本题涉及内容是考试热点，每年必考的，常出现在选择和填空中。热度：☆☆☆☆。 【历年考题链接】 （2007,10）20．若实对称矩阵A =???
?
?
??a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足_____________.
答案：0a <<
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设A =?
???
?
??-4 21 02 3,B =???
???--0 1 01 1 2，则AB =_________________. 【答案】???
?
? ??2- 2- 4 0 1- 03- 5 6。 【解析】本题考查了矩阵的乘法运算。将A 中的第i 行元素分别与B 中的第j 列对应元素
相乘相加就得到新矩阵的第i 行第j 列元素，因此AB =????
?
??-4 21 02 3??????--0 1 01 1 2=????
?
?
?2- 2- 4 0 1- 03- 5 6。 【提醒】只有当A 的列数和B 的行数相同的话，A ，B 才能相乘。另外，矩阵的乘法运算性质也要牢记（特别矩阵乘法不满足交换律）。
【点评】矩阵乘法运算属基本技能，是考试热点，多出现在填空中，也有在计算题里。考
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试热度：☆☆☆☆☆。
【历年考题链接】(2008,1) 12.设A= ??????????411023,B=,010201??????则AB=___________.
答案：326010142??
???????
?。
12.设A 为3阶方阵，且| A |=3，则| 3A -1 |=______________. 【答案】9。
【解析】本题与第3题考查内容基本相同。 【提醒】见第3题。 【点评】见第3题。
13.三元方程x 1+x 2+x 3=1的通解是_______________.
【答案】1212123111010(,001x x k k k k x --???????? ? ? ? ?
=++ ? ? ? ? ? ? ? ?????????
为任意常数）。
【解析】本题考察的是线性方程组通解的求法。简述如下：先用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯型矩阵，找到系数矩阵的秩，看增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是否相等，若是，说明有解，否则无解；有解时，若系数矩阵的秩小于未知数个数，则方程组有无穷多解，存在基础解系；此时，确定自由未知量的个数并选定自由未知量（未知数的个数减去系数矩阵的秩），将所有向量用自由未知量表示出来，写成矩阵形式，即可得通解。本题，系数矩阵秩为1，自由未知量个数为3-1=2， 选定自由未知量x 2，x 3 ，则有：
12312232232333
23111100,010(,00100x x x x x x x x x x x x x x x x =----?????????
? ? ? ? ?
=++=++? ? ? ? ?? ? ? ? ?
=++?????????为任意常数）
，上式即为通解（其中任意常数x 2，x 3 可以换成k 1，k 2 ）。
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【提醒】取自由未知量时，注意其取值的“任意性”。
【点评】本题涉及内容是本课程的考察重点之一，要重点掌握。历年试题的选择填空题中，出现的线性方程组一般较简单，而计算中稍复杂，重在考察它的解法。热度：☆☆☆☆☆。 【历年考题链接】（2008,1）16.方程组0x x x 321=-+的通解是_____.
答案：k 1????
?
??-011+k 2
????
? ??101(其中k 1 ，k 2为任意常数)。
14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________. 【答案】??
? ??--
32,32,31
。 【解析】本题考查了向量的单位化运算。与αρ
同向的单位向量为：α
α
ρρ，反向的单位向量为
-α
α
ρρ
。本题中，)2,2,1(-=αρ， ()3221222
=++-=αρ
，所以与αρ
反向的单位向量为：??
?
??--=-32,32,31ααρρ
。
【提醒】),,(c b a =αρ，则),,(,222kc kb ka k c b a =++=
ααρ
ρ
。
【点评】本题在高等数学中也出现过，内容简单，掌握起来较容易，但历年试题中出现的不多，考试热度：☆☆☆。
15.设A 为5阶方阵，且r (A )=3，则线性空间W ={x | Ax =0}的维数是______________. 【答案】2。
【解析】本题考查了线性方程组基础解系的定义与线性空间维数的概念。实际上，Ax =0的基础解系就是线性空间（即该方程组的解空间）W ={x | Ax =0}的一个基；反知，W ={x | Ax =0}的一个基也是Ax =0的基础解系。本题中，Ax =0的基础解系中含有5-3=2个解向量，即所
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有的解都可以通过这两个解向量线性表出，故由Ax =0的解构成的线性空间W ={x | Ax =0}的维数为2。
【提醒】若线性空间中的所有向量都可以由一个线性无关的向量组线性表示，则此向量组称为线性空间的一组基，这组基中向量的个数即为此线性空间的维数。一般的，线性空间W ={x | Ax =0}的维数是Ax =0的基础解系中所含解向量个数。
【点评】线性空间的维数本题涉及内容考试热度：☆☆☆☆。 【历年考题链接】（2010,1）14.实数向量空间V ={（x 1,x 2,x 3）|x 1+x 2+x 3=0}的维数是_________. 答案：2。
16.设A 为3阶方阵，特征值分别为-2，2
1
，1，则| 5A -1 |=______________. 【答案】-125。
【解析】本题考查了特征值以及行列式的性质。已知A 为3阶方阵，特征值分别为-2，2
1，1，根据性质“若n 阶矩阵 A 的特征值为12,,,n λλλL ，则12n A λλλ=L ”可得，| A |=-2
╳
21╳1=-1，1
11,A A
-=
=-13155125A A --==-。 【提醒】（1）若n 阶矩阵 A 的特征值为 12,,,n λλλL ，则12n A λλλ=L ；若n 阶矩阵 A
的特征值为12,,,n λλλL ，则121122n nn a a a λλλ+++=+++L L 。 （2）1
1
,A
A
-=
n kA k A =。 （3）110,A A λλλ--≠若（）是矩阵的特征值则的特征值为。
【点评】本题涉及内容与上面的第3,7,12题基本相同，是考试热点，常出现在选择和填空中。热度：☆☆☆☆☆。
【历年考题链接】（2007,10）8．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（ ）
A ．121
B ．
7
1
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C ．7
D ．12
答案：A 。
（2008,4）8．设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ） A ．E-A B ．-E-A C ．2E-A D ．-2E-A 答案：D 。
17.若A 、B 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，且r (B )=3，则r (AB )=_________________. 【答案】3。
【解析】本题考查了矩阵秩的性质。由A 为5阶方阵，且Ax =0只有零解，所以A 是满秩矩阵，即A 是可逆的，则A 可看成若干初等矩阵的乘积，AB 就可以认为是矩阵B 经过若干次初等行变换得到的，而初等变换不改变矩阵的秩。因此，r (AB )= r (B )=3。（参考教材P71）。 【提醒】（1）初等变换不影响矩阵的秩；（2）r (AB )小于等于r (A )，r (B )中最小的一个。 （3）若B 是可逆矩阵，则r (AB )= r (BA )= r (A )。
【点评】矩阵秩的性质考得不多，但是其求法是考试热点。本内容多出现在选择填空中。考试热度：☆☆☆。
18.实对称矩阵???
?
?
??--1 1 0 1 0 10 1 2 所对应的二次型f (x 1, x 2, x 3)=________________.
【答案】22
131223222x x x x x x +-+。
【解析】本题考查了实二次型的矩阵。一个实二次型对应唯一一个实对称矩阵，反过来，一个实对称矩阵也唯一对应一个实二次型。本题给定了一个实对称矩阵，对应的二次型的
写法是：矩阵的主对角线上的元素2,0,1依次是222
123,,x x x 的系数，121a =-的两倍为12
x x
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的系数，130a =的两倍为13x x 的系数，231a =的两倍为23x x 的系数。 因此得到f (x 1, x 2, x 3)= 22131223222x x x x x x +-+。
【提醒】不仅要会由矩阵写出对应的二次型，还要会写二次型对应的矩阵。
【点评】本题涉及内容是重点，几乎每年必考，常与矩阵的秩联合考察。考试热度：☆☆☆☆☆。
【历年考题链接】（2008,7）20.矩阵A =???
?
??????--221201113所对应的二次型是___________.
答案：22
1312132332224x x x x x x x x +-++。
19.设3元非齐次线性方程组Ax =b 有解α1=????? ??321，α2=???
?
? ??-3 2 1且r (A )=2，则Ax =b 的通解是
_______________.
【答案】????? ??321+k 200?? ? ? ???(其中k 为任意常数)。（????
? ??321+k 100?? ? ? ???，123-?? ? ? ???+k 100??
?
? ?
??
等也正确，答案不唯
一）。
【解析】本题考查了非齐次线性方程组解的性质与通解的结构。Ax =b 的任意两个解的差为对应的齐次方程Ax =0的解。Ax =b 的通解由Ax =0的通解与本身的一个特解相加得到。本题中，非齐次方程的两个解的差α1—α2=????? ??321—????
? ??-3 2 1=200??
?
? ???
为Ax =0的非零解，又因为
r (A )=2，Ax =0的基础解系中含3-2=1解向量，所以200?? ?
? ???
就是Ax =0的基础解系。从而Ax =0
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的通解为k 200?? ?
? ???
。故Ax =b 的通解为：????? ??321+k 200??
? ? ???。（其中k 为任意常数）
【提醒】牢记齐次和非齐次线性方程组解的性质以及非齐次线性方程组的通解结构。（内容在教材110-111和118-119页）
【点评】本题涉及内容是常考的，要熟记结论并灵活运用它才能答好这部分题。考试热度：☆☆☆☆。
【历年考题链接】（2008,7）8.设1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ）
A. η+1α是Ax =0的解
B. η+（1α-2α）是Ax=0的解
C. 1α+2α是Ax=b 的解
D. 1α-2α是Ax=b 的解
答案：B 。
20.设α=???
?
? ??321，则A =ααT 的非零特征值是_______________.
【答案】14。
【解析】本题考查矩阵特征值的求法。本题中，A =ααT =123246369?? ?
? ???
，由
()221
23
462624
2
461(2)3
693936
369
(1)(13)2(2)33(14)0,
E A λλλλλλλλλλλλλλλλ----------=---=-------------=--+--?=-=
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得，1230,14.λλλ===即非零特征值为14。 【提醒】有时候可以根据12n A λλλ=L ，121122n nn a a a λλλ+++=+++L L 来算得特
征值和矩阵中的参数。
【点评】本题涉及内容是重点，几乎每年必考，常出现在填空和计算题中。考试热度：☆☆☆☆☆。
【历年考题链接】（2008,4）18.已知λ=0为矩阵A=???
?
? ??-----222222
220的2重特征值，则A 的另一特征值为______________.
答案：4。
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算5阶行列式D =20001
02000
002000002010002
。
【答案】24。
【解析】本题考查了高阶行列式的计算。一般是先利用性质使某行或某列出现较多的零，后根据某一行或列展开。本题中，
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22
22
22
20001200102000
0200
21002000020000201002
10002
201
221020
102
21
4212412
+++-?-?-=按第二行展开（）
按第二行展开（）按第二行展开（）。
【点评】利用行列式的性质来计算行列式的值是每年必考的，常出现在填空和计算题中。考试热度：☆☆☆☆☆。
22.设矩阵X 满足方程
????? ??-2 0 00 1 00 0 2X ????? ?
?0 1 01 0 00 0 1=?
???? ??---0 2 11 0 23 4 1 求X .
【答案】13 -222-2 1 01 0 -1 2??
? ?
? ? ???
。
【解析】本题考查了矩阵方程的求解。通过左乘或右乘系数矩阵来求得X 。本题中，
X=1
2 0 00 1 00 0 2-?? ?- ? ???
????
?
??---0 2 11 0 23 4 11
1 0 00 0 10 1 0-??
? ? ???
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=1 0 020 1 010 0 2?? ? ?- ? ? ?
?
???
??
? ??---0 2 11 0 23 4 1 1 0 00 0 10 1 0??
? ? ???
=1 0 020 1 010 0 2??
? ?- ? ? ??
? 1 3 42 1 01 0 2-?? ?- ? ?-??
=13 -222-2 1 01 0 -1 2?? ? ? ? ? ???
。
【点评】考察矩阵方程求解，考虑到高阶矩阵的逆矩阵较难求得，所以命题人常选择逆矩阵容易求得的特殊矩阵（如对角矩阵，某些初等矩阵等）或者二阶矩阵作为系数矩阵。此内容常出现在填空和计算题中。考试热度：☆☆☆☆。
23.求非齐次线性方程组
???
??=--+=+--=--+0
89544331
34321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解. 【答案】13 -222-2 1 01 0 -1 2?? ? ?
? ? ???
。
【解析】本题考查了非齐次线性方程组的求法，与前面的第13题考查内容大致相同。求通
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解时，先用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯型矩阵，找到系数矩阵的秩，看增广矩阵的秩与系数矩阵的秩是否相等，若是，说明有解，否则无解；有解时，若系数矩阵的秩等于未知数个数，则方程组有唯一解，由简化方程组最后方程解出变量值然后逐步回代则可得这个唯一解；若系数矩阵的秩小于未知数个数，则方程组有无穷多解，存在基础解系；此时，确定自由未知量的个数并选定自由未知量（未知数的个数减去系数矩阵的秩），将所有向量用自由未知量表示出来，写成矩阵形式，即可得通解。本题中，先将???
??=--+=+--=--+0
8954433134321
43214321x x x x x x x x x x x x 的增广矩阵进行初等变换： 113111131
111311313440467104
67115980046710
00
0?
?????------ ? ? ?
?
?
?--→-→- ? ? ? ? ?
? ? ? ?----- ? ? ????
??
?
， 因为增广矩阵的秩与系数矩阵的秩相同所以有解，方程组等价于
123423431
4671
x x x x x x x +--=???
-++=??， 方程组中自由未知量的个数为4-2=2，选取34,x x 为自由未知量，将所有变量用34,x x 表示出来：
1
34234343423
43344
13
75331313424424137424x x x x x x x x x x x x x x x x x ???=++-=++--++=+- ?????
?
=-++??
=??
=?， 所以通解为：
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123434345/43/23/41/43/27/4(,010001x x x x x x x x -???????? ? ? ? ?- ? ? ? ?=++ ? ? ? ? ? ? ? ??
???????为任意常数）。 【点评】线性方程组通解的求法是每年必考的内容，学员们要认真掌握这个知识点。考试热度：☆☆☆☆☆。
24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=(9,100,10,4)，α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.
【答案】秩为2，极大无关组为：12α,α。
【解析】本题考查了向量组的秩与极大无关组的求法。这里没有要求将其余向量用极大无关组表示出来，因此只需把所有行向量转置成列向量组成矩阵后，用初等行变换把它化为行阶梯型矩阵即可；若需要用极大无关组表示其余向量，则最好化为简化行阶梯型矩阵。
因为
1
92192192210040820010()1102019000044803200
00---??????
? ? ?- ? ? ?
=→→ ? ? ?
- ? ? ?--??????
T T T T 1234α,α,α,α，
所以该向量组的秩为2，极大无关组为：12α,α。
【点评】向量组的秩和极大无关组的求法几乎是每年必考的内容，学员们要加紧这部分内容的练习，特别是如何用极大无关组来表示向量组中其余向量的方法。考试热度：☆☆☆☆☆。
25.已知A =???
?
? ??---2 13 5 2 1 2 b a 的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T ，求a ，b 及ξ所对应的特征值，
并写出对应于这个特征值的全部特征向量.
【答案】a ，b 及ξ所对应的特征值分别为：-3,0，-1；与特征值-1对应的所有特征向量为：
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111k -?? ?- ? ???
。 【解析】本题考查了矩阵特征值与特征向量的概念。A 为n 阶实方阵，若存在某个数λ和某个n 维非零列向量ξ，满足A ξ=λξ，则λ是A 的一个特征值，ξ是A 的与特征值λ对应的特征向量。本题中，若设ξ是A 的与特征值λ对应的特征向量，则根据A ξ=λξ得：
2 1 211 5 3111 211a b λλλλ-????????
??? ? ?
== ??? ? ? ??? ? ?-----????????，即
121a b λλλ-???? ? ?
+= ? ? ? ?+-????
，
从而有：1,21,11a b λ=-+=-+=即3,0, 1.a b λ=-==-
当1λ=-时，方程组()0E A X --=的通解就是与-1对应的全部特征向量。此齐次线性方程组系数矩阵：
312101101523022011101011000E A --??????
? ? ?
--=--→→ ? ? ? ? ? ???????
，
方程组等价于：1323
0x x x x +=??
+=?。取3x 为自由未知量，用它表示所有变量有：
132333,x x x x x x =-??=-??=?即1233111x x x x -????
? ?
=- ? ? ? ?
????（3x 为任意常数），
故与特征值1λ=-对应的所有特征向量为111k -??
?
- ? ???
（k 为任意常数）。
还可以这样计算对应的特征向量：()0E A X --=的系数矩阵的秩为2， 故它的基础
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解系中只含一个解向量，因此已知的特征向量ξ=（1,1，-1）T 就是()0E A X --=的基础
解系，故它的通解为111k ?? ?
? ?-??
（k 为任意常数）。本题答案的形式不唯一。
【点评】矩阵的特征值与特征向量是线性代数中重要的概念，有着广泛的应用，本题偏重考察概念。而上面的20题，偏重考察计算（请回头看看）。考试热度：☆☆☆☆。
26.设A =???
?
?
??----2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2a ，试确定a 使r (A )=2.
【答案】0a =。
【解析】本题考查了矩阵秩的求法：先将矩阵化为行阶梯型矩阵，非零行的个数即为此矩
阵的秩。
2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 0
3 3 1 1 2 2 1 2 1 a a ----???? ? ?-=--→- ? ? ? ?--???? 20 3 3 2 1 1 2 2 1 1 2 20 3 3 20 3 3 20 3 3 2 0 0 a a ?? ? ? ?--??--?? ?→-→- ? ?--??, 0 a ?? ? ? ???
所以该矩阵A 的秩为2，则0a =。
【点评】此题属于简单题，涉及内容是考试的热点，一般出现在填空和计算题中。考试热度：☆☆☆☆☆。
四、证明题（本大题共1小题，6分）
精品文档 线性代数试题精选与精解（含完整试题与详细答案，2020 考研数学基础训练） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.设3阶方阵A =（α1，α2，α3），其中αi （i =1,2,3）为A 的列向量，若| B |=|（α1+2α2， α2，α3）|=6，则| A |=( ) A.-12 B.-6 C.6 D.12 【答案】C 【解析】本题考查了矩阵行列式的性质。有性质可知，行列式的任意一列（行）的(0)k k ≠倍加至另一列（行），行列式的值不变。本题中，B 是由A 的第二列的2倍加到了第一列形成的，故其行列式不变，因此选C 。 【提醒】行列式的性质中，主要掌握这几条：（1）互换行列式的两行或两列行列式要变号；（2）行列式的任意一行（列）的(0)k k ≠倍加至另一行（列），行列式的值不变；（2）行列式行（列）的公因子（公因式）可以提到行列式的外面。 【点评】本题涉及内容是每年必考的，需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆；可出现在各种题型中，选择、填空居多。 【历年考题链接】 （2008,4）1．设行列式D=3332 31 232221 131211a a a a a a a a a =3，D 1=33 32 3131 2322212113 12 1111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A ．-15 B ．-6 C ．6 D ．15 答案：C 。 2.计算行列式3 2 3 20 2 0 0 0 5 10 2 0 2 0 3 ----=( ) A.-180 B.-120
精品文档 C.120 D.180 【答案】A 【解析】本题考查了行列式的计算。行列式可以根据任意一行（列）展开。一般来说，按含零元素较多的行或列展开计算起来较容易。本题，按第三列展开，有： 44 1424344433 313233 3 0 2 0 302 2 10 5 000033(1)2105 0 0 2 000 2 2 3 2 3 3 3(002)6(1) =630180. 210 A A A A A A A ++--=?+?+?+?=-----=?+?-=---?=- 【提醒】还要掌握一些特殊矩阵的行列式的计算，如对角矩阵，上（下）三角矩阵，还有分块矩阵。 【点评】行列式的计算是每年必考的，常出现在选择、填空和计算中，选择、填空居多。近几年，填空题的第一题一般考察这个内容。需重点掌握。热度：☆☆☆☆☆。 【历年考题链接】 （2008,1）11.若,02 11 =k 则k=_______. 答案：1/2。 3.若A 为3阶方阵且| A -1 |=2，则| 2A |=( ) A.21 B.2 C.4 D.8 【答案】C 【解析】本题考查了逆矩阵行列式的计算，和矩阵行列式的运算性质。由于1 1,A A -= 由已知| A -1 |=2，从而12A = ，所以3 122842 A A ==?=。
（5）设均为3维列向量，记矩阵 ，， 如果，那么 .. （11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] （12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则 (A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得. (C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得. 已知二次型的秩为2. （I）求a的值； （II）求正交变换，把化成标准形； （III）求方程=0的解. （21）（本题满分9分） 已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.. （5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则= . （11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是 （A）若线性相关，则线性相关. （B）若线性相关，则线性无关. （C）若线性无关，则线性相关. （D）若线性无关，则线性无关. 【 】 （12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将的第1列的-1倍加到第2列得，记，则 （A）（B） （C）（D） 20 已知非齐次线性方程组 Ⅰ证明方程组系数矩阵A的秩 Ⅱ求的值及方程组的通解 21 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解,(Ⅰ)求A的特征值与特征向量(Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得. （7）设向量组，，线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( )（A）（B） （C）（D）
（8）设矩阵A=，B=，则A于B ( ) (A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似 (15)设矩阵A＝，则的秩为________. (22)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵 验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量； 求矩阵. （5）设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵. 若，则（ ） 不可逆，不可逆. 不可逆，可逆. 可逆，可逆. 可逆，不可逆. （6）设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为（ ） 0. 1. 2. 3. （13）设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，则的非零特征值为. (20)（本题满分11分） ，为的转置，为的转置. （1）证；（2）若线性相关，则. （21）（本题满分11分） 设矩阵，现矩阵满足方程，其中，， （1）求证 （2）为何值，方程组有唯一解，求 （3）为何值，方程组有无穷多解，求通解 5）设是3维向量空间的一组基，则由基到基 的过渡矩阵为 (A). (B). (C). (D). （6）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为 . . . . （13）若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为.
2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 04184线性代数（经管类）试卷 本试卷共8页，满分100分，考试时间150分钟。 说明：本试卷中，T A 表示矩阵A 的转置矩阵，*A 表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， A 表示方阵A 的行列式，()A r 表示矩阵A 的秩。 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设3阶行列式1 1 1 232221 13 1211 a a a a a a =2，若元素ij a 的代数余子公式为ij A （i,j=1,2,3)，则=++333231A A A 【 】 A.1- B.0 C.1 D.2 2.设A 为3阶矩阵，将A 的第3行乘以2 1 -得到单位矩阵E ， 则A =【 】 A.2- B.2 1- C.21 D.2 3.设向量组321,,ααα的秩为2，则321,,ααα中 【 】 A.必有一个零向量 B. B.任意两个向量都线性无关 C.存在一个向量可由其余向量线性表出 D.每个向量均可由其余向量线性表出 4.设3阶矩阵??? ? ? ??---=466353331A ,则下列向量中是A 的属于特征值2-的特征向量为 【 】 A.????? ??-011 B.????? ??-101 C.????? ??201 D.???? ? ??211 5.二次型212 322213214),,(x x x x x x x x f +++=的正惯性指数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、
《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ，
（3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：
线性代数（A 卷） 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设A ﹑B 是任意n 阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A)AB BA = (B)222()AB A B = (C)222()2A B A AB B +=++ (D)A B B A +=+ 2. 如果n 元齐次线性方程组0AX =有基础解系并且基础解系含有()s s n <个解向量,那么矩阵A 的秩为( ) (A) n (B) s (C) n s - (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵33()ij A a ?=的特征值为1,2,5,那么112233a a a ++及A 分别等于( ) (A) 10, 8 (B) 8, 10 (C) 10, 8-- (D) 10, 8-- 4. 设实二次型11212222(,)(,)41x f x x x x x ?? ??= ? ?-???? 的矩阵为A ,那么( ) (A) 2331A ??= ?-?? (B) 2241A ??= ?-?? (C) 2121A ??= ? -?? (D) 1001A ?? = ??? 5. 若方阵A 的行列式0A =，则( ) (A) A 的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A 的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A 的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A 的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式D 有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设100210341A -?? ? =- ? ?-?? ，*A 是A 的伴随矩阵，则*1()A -= ； 3. 设α,β是非齐次线性方程组AX b =的解,若λαμβ+也是它的解, 那么λμ+= ； 4. 设向量(1,1,1)T α=-与向量(2,5,)T t β=正交,则t = ； 5. 设A 为正交矩阵,则A = ；
线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
线性代数试卷及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
《线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷考试时间：120分钟 考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名： 2
3
4
《线性代数A》参考答案（A卷）一、单项选择题（每小题3分，共30分） 5
6 二、填空题（每小题3分，共18分） 1、 256； 2、 132465798?? ? --- ? ???； 3、112 2 11221122 00 0?? ?- ? ?-?? ； 4、 ； 5、 4； 6、 2 。 三． 解：因为矩阵A 的行列式不为零,则A 可逆,因此1X A B -=.为了求1A B -,可利用下列初等行变换的方法： 2312112 01012 010******* 12101 141103311033102321102721 002781 002780 11410 101440 10144001103001103001103---?????? ? ? ? -??→-??→-- ? ? ? ? ? ?--? ?? ?? ?-?????? ? ? ? ??→--??→-??→-- ? ? ? ? ? ??????? ―――――（6分） 所以1278144103X A B -?? ? ==-- ? ??? .―――――（8分） 四．解：对向量组12345,,,,ααααα作如下的初等行变换可得： 12345111431114311 32102262(,,,,)21355011313156702262ααααα--???? ? ? ----- ? ? =→ ? ?--- ? ? ? ?---? ???
线性代数习题和答案 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有 一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵Aの秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（） A.η1+η2是Ax=0の一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=bの一个解
2015年线性代数 一、 ①证明?? ????-C B C A A 可逆的充要条件是AB 可逆 ②若??????-C B C A A 可逆，求出?? ????-C B C A A 的逆。 二、r b A r A r b ==≠),()(,0，b Ax =的所有解集合为S,证明： ①S 中包含1+-r n 个线性无关的向量121,...,+-r n ηηη。 ②ξ是S 中元素充要条件是存在)1...,2,1(,+-=r n i k i ， 111=∑+-=r n i i k ，使得 ∑+-==1 1r n i i i k ηξ 三、已知A 为实正交矩阵，det(A)=1,证明存在正交矩阵P ，使得 21cos ,cos sin 0sin cos 00 01 332211'-++=??????????-=a a a AP P θθθθθ 其中。 四、以下有关矩阵秩的命题在数域F 上判断正误，如正确请说明理由，如不正确请举例说明。 （1）、若)()(B r A r =，则()()* *B r A r = （2）、若())(B r AB r =，则)()(BC r ABC r = （3）、)()('AA r A r = （4）、若一个对称矩阵的秩为r ，则有一个非0 的r 阶主子式。 五、A 是n 阶实对称矩阵，其正负惯性指数分别是q p ,， AX X x f ')(=，记{} n f R x x f x N ∈==,0)(|，证明： （1）、包含于f N 的线性空间维数至多是),max(q p n - （2）、若w 是n R 的一个线性子空间，将二次型限定w 在中，得到的正负惯性指数分别是p1,q1，则有q q p p ≤≤11,。
模拟试卷 线性代数模拟试卷（一） 班级________ 姓名_______ 学号_______ 成绩 ________ 一、填空题（每小题3分，共6小题，总分18分） 1、四阶行列式 44 434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a 展开式中，含有因子3214a a 且带正号的项为 ___________ 2、设A 为n 阶可逆方阵，将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为B ，则 AB -1=_________ 3、已知向量组)2- 5, 4,- ,0( , )0 t,0, ,2( , )1 1,- 2, ,1(321'='='=ααα线性相关，则 t =_________ 4、设三阶方阵) , ,(B ), , ,(2121γγβγγα==A ，其中 , ,,21γγβα都是三维列向量 且2B 1, ==A ，则=- 2B A _________ 5、A 为n 阶正交矩阵， , ,,21n ααα 为A 的列向量组，当i ≠j 时， )2 1 ,31(j i αα=_________ 6、三阶方阵A 的特征值为1，-2，-3，则 A =_______; E+A -1的特征值为______ 二、单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、 设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=()n n ij a ?，A ij 为a ij (i,j=1,2,…n) 的 代数余子式，则（ ） (A) 0111 =∑=n i i i A a (B) 0111 ≠∑=n i i i A a (C) n A a n i i =∑11 (D) n A a n i i ≠∑11
第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2η1+1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）
第一章 行列式 一. 填空题 1. 四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______. 解. a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234, 逆序为0; 列标排列为2134, 逆序为1. 该项符号为“－”, 所以答案为a 12a 21a 33a 44. 2. 排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n －1…i 2i 1. 解. 排列i 1i 2…i n 可经过1 + 2 + … + (n －1) = n(n －1)/2 次对换后变成排列i n i n －1…i 2i 1. 3. 在五阶行列式中3524415312) 23145()15423() 1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a . 解. 15423的逆序为5, 23145的逆序为2, 所以该项的符号为“－”. 4. 在函数 x x x x x x f 2 1 1 12)(---=中, x 3的系数是______. 解. x 3的系数只要考察23422 2x x x x x x +-=--. 所以x 3前的系数为2. 5. 设a , b 为实数, 则当a = ______, 且b = ______时, 01 0100=---a b b a . 解. 0)(1 1 010022=+-=--=---b a a b b a a b b a . 所以a = b = 0. 6. 在n 阶行列式D = |a ij |中, 当i < j 时a ij = 0 (i , j =1, 2, …, n ), 则D = ______. 解. nn n n a a a a a a a a 221121 222111 0= 7. 设A 为3×3矩阵, |A | =－2, 把A 按行分块为???? ??????=321A A A A , 其中A j (j = 1, 2, 3)是A 的第j 行, 则行列式 =-1 21 332A A A A ______.
全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2121，n c c b b =2121，则=++2 21 12 1 c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+=++2 12 12121 221121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332 31 232221 131211 a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关
线性代数经典试题4套及答案 试卷1 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0
江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关
《 线性代数A 》试题（A 卷） 试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟 考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 得分 阅卷人 一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A 经过初等行变换变为B ，则（ ）.(下面的(),()r A r B 分别表示矩阵,A B 的秩)。 () A ()()r A r B <； () B ()()r A r B =； ()C ()()r A r B >； () D 无法判定()r A 与()r B 之间的关系。 2．设A 为 (2)n n ≥阶方阵且||0A =，则（ ）。 () A A 中有一行元素全为零； () B A 有两行（列）元素对应成比例； () C A 中必有一行为其余行的线性组合； () D A 的任一行为其余行的线性组合。 3. 设,A B 是n 阶矩阵(2n ≥), AB O =,则下列结论一定正确的是: ( ) () ;A A O B O ==或 ()AX B B 的每个行向量都是齐次线性方程组=O 的解. ();C BA O = ()()().D R A R B n +≤ 4．下列不是n 维向量组12,,...,s ααα线性无关的充分必要条件是（ ） () A 存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++≠；
() B 不存在一组不全为零的数12,,...,s k k k 使得1122...s s k k k O ααα+++= 12(),,...,s C ααα的秩等于s ； 12(),,...,s D ααα中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设n 阶矩阵(3)n ≥1...1................1a a a a a a A a a a ?? ? ? ?= ? ? ???，若矩阵A 的秩为1n -，则a 必为（ ）。 ()A 1； () B 11n -； () C 1-； () D 11 n -. 6．四阶行列式 1 1 2 2334 4 0000 000 a b a b b a b a 的值等于（ ）。 ()A 12341234a a a a b b b b -； ()B 12341234a a a a b b b b +； () C 12123434()()a a b b a a b b --； () D 23231414()()a a b b a a b b --. 7．设A 为四阶矩阵且A b =，则A 的伴随矩阵* A 的行列式为（ ）。 ()A b ； () B 2b ； () C 3b ； () D 4b 8．设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1 A -=（ ） () n A I ； ()3n B A I +； ()3n C A I --； ()D 3n A I + 9．设A ，B 是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 ()A A 与B 的秩相同； ()B A 与B 的特征值相同； () C A 与B 的特征矩阵相同； () D A 与B 的行列式相同；
考研数学三（线性代数）历年真题汇编1 (总分：50.00，做题时间：90分钟) 一、选择题(总题数：14，分数：28.00) 1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 2.设n阶方阵A的秩r(A)=r＜n，那么在A的n个行向量中【】（分数：2.00） A.必有，一个行向量线性无关． B.任意r个行向量都线性无关． C.任意r个行向量都构成极大线性无关向量组． D.任意一个行向量都可以由其它r个行向量线性表出． 3.设A为n阶方阵且∣A∣=0，则【】（分数：2.00） A.A中必有两行(列)的元素对应成比例． B.A中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合． C.A中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合． D.A中至少有一行(列)的元素全为0． 4.向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分条件是【】（分数：2.00） A.α1，α2，…，αs均不为零向量． B.α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例． C.α1，α2，…，αs中任意一个向量均不能由其余s一1个向量线性表示． D.α1，α2，…，αs中有一部分向量线性无关． 5.设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k 1，…，k m，使(λ1 +k 1 )α1 +…+(λm +k m )αm +(λ1一k 1 )β1 +…+(λm一k m )βm =0，则【】（分数：2.00） A.α1，…，αm和β1，…，βm都线性相关． B.α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关． C.α1 +β1，…，αm +βm，α1一β1，…，αm一βm线性无关． D.α1 +β1，…，αm +βm，α1—β1，…，αm一βm线性相关． 6.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是【】（分数：2.00） A.α1 +α2，α2 +α3，α3一α1 B.α1 +α2，α2 +α3，α1 +2α2 +α3 C.α1 +2α2，2α2 +3α3，3α3 +α1 D.α1 +α2 +α3，2α1一3α2 +22α3，3α1 +5α2一5α3 7.设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm-1。线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm-1，β，则【】（分数：2.00） A.αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示． B.αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示． C.αm可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示． D.αm可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示． 8.设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论不正确的是【】（分数：2.00） A.若对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，都有k 1α1 +k 1α2 +…+k sαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关． B.若α1，α2，…，αs线性相关，则对于任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s，有k 1α 1 +k 2α 2 +…+k sαs =0 C.α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s． D.α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 9.设α1，α2，…，α3均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是【】（分数：2.00） A.若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs，线性相关．
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题