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数学九年级上册二次函数中考真题汇编[解析版]

一、初三数学二次函数易错题压轴题（难）

1．对于函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），若存在实数x0，使得a 2

0x +（b+1）x 0+b ﹣2

＝x0成立，则称x 0为函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点．（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，求y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；

（2）若对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，且直线y ＝﹣x+2

121

a +是线段AB 的垂

直平分线，求实数b 的取值范围．

【答案】（1）不动点是﹣1或2；（2）a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）b 的取值范围是﹣

b ＜0．【解析】【分析】

（1）将a ＝2，b ＝﹣2代入函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0），得y ＝2x 2﹣x ﹣4，然后令x ＝2x 2﹣x ﹣4，求出x 的值，即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点；

（2）对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点，可以得到x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）时，对于任何实数b 都有△＞0，然后再设t ＝△，即可求得a 的取值范围；

（3）根据y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的图象上A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点，可知点A 和点B 均在直线y ＝x 上，然后设出点A 和点B 的坐标，从而可以得到线段AB 的中点坐标，再根据直线y ＝﹣x+2121

a +是线段AB 的垂

直平分线，从而可以求得b 的取值范围．【详解】

解：（1）当a ＝2，b ＝﹣2时，函数y ＝2x 2﹣x ﹣4，令x ＝2x 2﹣x ﹣4，化简，得x 2﹣x ﹣2＝0 解得，x 1＝2，x 2＝﹣1，

即y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点是﹣1或2；（2）令x ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2，整理，得 ax 2+bx+b ﹣2＝0，

∵对于任何实数b ，函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）恒有两相异的不动点， ∴△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＞0，

设t ＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab+8a ，对于任何实数b ，t ＞0，故（﹣4a ）2﹣4×1×8a ＜0，解得，0＜a ＜2，

即a 的取值范围是0＜a ＜2；（3）由题意可得，点A 和点B 在直线y ＝x 上，设点A （x 1，x 1），点B （x 2，x 2），

∵A ，B 两点的横坐标是函数y ＝ax 2+（b+1）x+b ﹣2（a ≠0）的不动点， ∴x 1，x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2＝0的两个根， ∴x 1+x 2＝﹣

b a

， ∵线段AB 中点坐标为（122x x +，122

x x

+）， ∴该中点的坐标为（2b a -，2b a

-）， ∵直线y ＝﹣x+2

121

a +是线段AB 的垂直平分线，

∴点（2b a -，2b

a -）在直线y ＝﹣x+2121

a +上， ∴2b

a -

＝21221

b a a ++

∴﹣b ＝

a a ≤

∴0＜﹣b ≤

，

∴﹣

≤b ＜0，

即b b ＜0．【点睛】

本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

2．在平面直角坐标系中，将函数2

263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ．

（1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值；（2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值；

（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是；

（4）设1112,,2,16816A m B m ????+ ? ?????

，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围．

【答案】（1）0a =或3a =-；（2）

118；（3）21136x -<<-；（4）1

m <-或1

m >-

【解析】【分析】

（1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值；（2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值；（3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围；（4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围．【详解】

解：（1）当1m =-时，()2

2613y x x x =++≥

把(),1P a 代入，得

22611a a ++=

解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-<

当0m ≤时，2

3926=2()22

y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ??

???

此时，229911=()22918

m m m -

--++ ∴0y 的最大值1

综上所述，0y 的最大值为

118

（3）由题意可知：当图象G 与x 轴有两个交点时，m ＞0

当抛物线顶点在x 轴上时，2

=4(6)42()=0b ac m m -=--??-△ 解得：m=0（舍去）或29

m =-

由题意可知抛物线的对称轴为直线x=3

m 且x ≥3m

∴当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为x 2，则x 2的取值范围是

21136

x -<<- （4）18m <-或1

m >- 【点睛】

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．

3．如图1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点，顶点为()0,442D AB =,，设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点，将抛物线C 绕点

F 旋转180?，得到新的抛物线'C ．

()1求抛物线C 的函数表达式:

()2若抛物线'C 与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点，求m 的取值范围． ()3如图2，P 是第一象限内抛物线C 上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P 在抛物线

'C 上的对应点P'，设M 是C 上的动点，N 是'C 上的动点，试探究四边形'PMP N 能否成为正方形？若能，求出m 的值；若不能，请说明理由．

【答案】()12

142

y x =-+；()2222m <<()3四边形'PMP N 可以为正方形，6m =

【解析】【分析】

（1）由题意得出A,B 坐标，并代入,,A B D 坐标利用待定系数法求出抛物线C 的函数表达式；

（2）根据题意分别求出当C '过点()0,4D 时m 的值以及当C '过点()22,0B 时m 的值，并以此进行分析求得；

（3）由题意设(),P

n n ，代入解出n ，并作HK OF ⊥，PH

HK ⊥于H ，利用正方形性

质以及全等三角形性质得出M 为()2,2m m --，将M 代入2

1: 42

C y x =-+即可求得答案. 【详解】解：()

142AB =

()

, 22,0)2,0(2A B ∴-

将,,A B D 三点代入得2 y ax bx c =++

8220.8220.4a b c a b c c ?-+=??

++=??=??

解得1204a b c ?

=-??=??=??

y x ∴=-+；

()2如图21

:42

C y x =-+．

关于(),0F m 对称的抛物线为

()2

1:242

C y x m '=

-- 当C '过点()0,4D 时有()2

140242

m =-- 解得:2m =

当C '过点()2,0B 时有()

022242

m =- 解得:22m =

222m ∴<<；

()3四边形'PMP N 可以为正方形由题意设(),P n n ，

P 是抛物线C 第一象限上的点

n n ∴-+=

解得:122,2n n ==-(舍去)即()2,2P 如图作HK OF ⊥，PH

HK ⊥于H ，

MK HK ⊥于K

四边形PMP N '为正方形易证

PHK FKM ≌

2FK HP m ∴==-

2MK HF ==

M ∴为()2,2m m --

∴将M 代入21: 42

C y x =-+得

()2

12242

m m -=-

-+ 解得:126,0m m ==(舍去)

∴当6m =时四边形PMP N ''为正方形.

【点睛】

本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，难度大.

4．如图1，抛物线2

1:C y x b =+交y 轴于()0,1A ．

（1）直接写出抛物线1C 的解析式______________．

（2）如图1，x 轴上两动点,M N 满足：m n X X n -==．若,B C （B 在C 左侧）为线段

MN 上的两个动点，且满足：B 点和C 点关于直线:1l x =对称．过B 作BB x '⊥轴交1

C 于B '，过C 作CC x '⊥轴交1C 于C '，连接B C ''．求B C ''的最大值（用含n 的代数式表示）．

（3）如图2，将抛物线1C 向下平移7

个单位长度得到抛物线2C ．2C 对称轴左侧的抛物线上有一点M ，其横坐标为m ．以OM 为直径作K ，记⊙K 的最高点为Q ．若Q 在

直线2y x =-上，求m 的值．

【答案】（1）2

1y x =+；（2）251|n -；（3）14m =-

或12

m =- 【解析】【分析】

（1）将()0,1A 带入抛物线1C 解析式，求得b 的值，即可得到抛物线1C 的解析式；（2）设(),0B q ，则()2,0C q -，求()2

B C ''

并进行化简，由1n q -≤<且12,

n <-得21n q -<，则当()

2max

B C ''??????时，取min 2q q n ==-，带入()

2B C ''，即可求得

()

max

B C '

；

（3）依题意将抛物线1C 向下平移

个单位长度得到抛物线2C ，求得2C 解析式，根据解析式特点设21,8M m m ??+ ???，得到2

222

18OM m m ??=++ ??

?，由圆的特性易求得，⊙K 的

最高点点Q 坐标为：2111,22

28m OM m ??

??++ ?

?????，设Q y k =，则

2111228k OM m ??=

++ ???，化简得到22211084k m k m ?

?++-= ??

?，由Q 点在2y x =-上，得2Q k x m =-=-，继而得到2

31048m m -

+=，解得14m =-或12

m =-．【详解】

解：（1）将()0,1A 带入抛物线2

1:C y x b =+，得b=1，则2

1:1C y x =+，

（2）设(),0B q ，则()2,0C q -， ∴()

(2)(2)B C q q q q ''

??=--+--??

2204020q q =-+

()2

201q =-，

∵1n q -≤<且12,q n <-

21n q -<∴，

∴()2

max

B C

?????

时，min 2q q n ==-，

即()2

2220(21)20(1)B C n n ''

=--=-，

∴()

max

1|B C n ''

=-，

（3）根据题意，将抛物线1C 向下平移7

个单位长度得到抛物线2C ， ∴2

21:8

C y x =+， ∴2

1,8M m m ??+

， ∴2

22218OM m m ??=++ ??

?，

∴由圆的特性易求得，⊙K 的最高点点Q 坐标为：

2111,22

28m OM m ??

??++ ?

?????，设Q y k =，则2111228k OM m ??

++ ???

，

∴2

22111428OM k m ??

??=-+ ??????

?，化简上式得：2

11084

k m k m ?

?++

-= ??

?， ∵Q 点在2y x =-上，则2Q k x m =-=-， ∴k m =-为上述方程的一个解， ∴分析可知1()04k m k m ??

= ???

， 21148

m m m -=+∴，

∴2

048

m m -

+=，解得：114m =-，212m =-（经检验114m =-，212m =-是方程2

31048

m m -+=的

解），

故14m =-

或1

m =-．【点睛】

本题主要考查二次函数的图像及性质、图像平移的性质、及二次函数与一元二次方程的综合应用、最值求法等知识．解题关键是熟练掌握二次函数的性质，充分利用数形结合的思想．

5．如图，抛物线y =ax 2+bx +2经过点A(?1，0)，B(4，0)，交y 轴于点C ；（1）求抛物线的解析式(用一般式表示)；

（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使S △ABC =2

S △ABD ?若存在，请求出点D 坐标；若不存在，请说明理由；

（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长.

【答案】（1）213

222

y x x =-

++（2）存在，D （1，3）或（2，3）或（5，3-）

（3）

【解析】【分析】

（1）由A 、B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由条件可求得点D 到x 轴的距离，即可求得D 点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D 点坐标；

（3）由条件可证得BC ⊥AC ，设直线AC 和BE 交于点F ，过F 作FM ⊥x 轴于点M ，则可得BF=BC ，利用平行线分线段成比例可求得F 点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE 解析式，联立直线BE 和抛物线解析式可求得E 点坐标，则可求得BE 的长．【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0），B （4，0），

∴2016420a b a b -+=??++=?，解得：12

32a b ?=-????=??

，

∴抛物线解析式为：213

222

y x x =-

++；（2）由题意可知C （0，2），A （-1，0），B （4，0）， ∴AB=5，OC=2，

∴S △ABC =12AB?OC=1

2×5×2=5， ∵S △ABC =2

3S △ABD ，

∴S △ABD =315

522

?=，

设D （x ，y ）， ∴11155222

AB y y ?=??=，解得：3y =；当3y =时，213

2322

y x x =-

++=，解得：1x =或2x =，

∴点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）；当3y =-时，213

2322

y x x =-

++=-，解得：5x =或2x =-（舍去）， ∴点D 的坐标为：（5，-3）；

综合上述，点D 的坐标为：（1，3）或（2，3）或（5，-3）；（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，

∴22

125

AC=+=,22

2425

BC=+=，

∴222

AC BC AB

+=，

∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，

如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，

由题意可知∠FBC=45°，

∴∠CFB=45°，

∴25

CF BC

∴

AO AC

OM CF

=，即

解得：2

OM=，

∴

OC AC

FM AF

=，即

解得：6

FM=，

∴点F为（2，6），且B为（4，0），

设直线BE解析式为y=kx+m，则

k m

，解得

，

∴直线BE解析式为：312

y x

=-+；

联立直线BE和抛物线解析式可得：

312

y x

y x x

=-+

=-++

，

解得：

或

，

∴点E坐标为：(5,3)

-，

∴22

(54)(3)10

BE=-+-=

【点睛】

本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．

6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣

x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y＝﹣

x+2经过A，C两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，直线MN与对称轴交于点G，与抛物线交于M，N两点（点N在对称轴右侧），且MN∥x轴，MN＝7．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求点N的坐标．

（3）过点A的直线与抛物线交于点F，当tan∠FAC＝

时，求点F的坐标．

（4）过点D作直线AC的垂线，交AC于点H，交y轴于点K，连接CN，△AHK沿射线AC 以每秒1个单位长度的速度移动，移动过程中△AHK与四边形DGNC产生重叠，设重叠面积为S，移动时间为t（0≤t5S与t的函数关系式．

【答案】（1）y＝﹣

x2+

x+2；（2）点N的坐标为（5，-3）；（3）点F的坐标为：

（3，2）或（

，﹣

）；（4）

535

3593535

2454

35935

t t

S t

???

≤≤

? ?

???

=?-<≤

+<≤

．

【解析】

【分析】

（1）点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，0），将点A、C坐标代入抛物线表达式即可求解；

（2）抛物线的对称轴为：x＝3

，点N的横坐标为：

+=，即可求解；

（3）分点F在直线AC下方、点F在直线AC的上方两种情况，分别求解即可；

（4）分0≤t≤35

、当

＜t≤35、35＜t≤5三种情况，分别求解即可．

【详解】

解：（1）直线y＝﹣1

x+2经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（0，2）、（4，

0），

则c＝2，抛物线表达式为：y＝﹣1

x2+bx+2，

将点C坐标代入上式并解得：b＝3

，

故抛物线的表达式为：y＝﹣1

x2+

x+2…①；

（2）抛物线的对称轴为：x＝3

，

点N的横坐标为：37

5 22

+=，

故点N的坐标为（5，-3）；

（3）∵tan∠ACO＝

==＝tan∠FAC＝

，

即∠ACO＝∠FAC，

①当点F在直线AC下方时，

设直线AF交x轴于点R，

∵∠ACO＝∠FAC，则AR＝CR，

设点R（r，0），则r2+4＝（r﹣4）2，解得：r＝3

，

即点R的坐标为：（3

，0），

将点R、A的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n

得：

m n

，

解得：

，

故直线AR的表达式为：y＝﹣4

x+2…②，

联立①②并解得：x＝17

，故点F（

，﹣

）；

②当点F在直线AC的上方时，

∵∠ACO＝∠F′AC，∴AF′∥x轴，则点F′（3，2）；

综上，点F的坐标为：（3，2）或（17

，﹣

）；

（4）如图2，设∠ACO＝α，则tanα＝

=，则sinα＝

，cosα＝

；

①当0≤t≤35

时（左侧图），

设△AHK移动到△A′H′K′的位置时，直线H′K′分别交x轴于点T、交抛物线对称轴于点S，

则∠DST＝∠ACO＝α，过点T作TL⊥KH，

则LT＝HH′＝t，∠LTD＝∠ACO＝α，

则DT＝

c s

L HH

T t

===

，DS＝

tan

，

S＝S△DST＝1

?DT×DS＝2

t；

＜t

35时（右侧图），

同理可得：

S ＝''DGS T S 梯形＝12

?DG ×（GS ′+DT ′）＝12?3+

﹣32

-；

＜t

+；综上，S

＝25,029494t t t t ??≤≤? ???

-<≤+<≤?．

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形平移、图形的面积计算等，其中（3）、（4），要注意分类求解，避免遗漏．

7．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为（x ，y ），当x ＜0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣x ，y ）；当x≥0时，点P 的变换点P′的坐标为（﹣y ，x ）．（1）若点A （2，1）的变换点A′在反比例函数y=

的图象上，则k= ；（2）若点B （2，4）和它的变换点B'在直线y=ax+b 上，则这条直线对应的函数关系式为，∠BOB′的大小是度．

（3）点P 在抛物线y=x 2﹣2x ﹣3的图象上，以线段PP′为对角线作正方形PMP'N ，设点P 的横坐标为m ，当正方形PMP′N 的对角线垂直于x 轴时，求m 的取值范围．

（4）抛物线y=（x ﹣2）2+n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP′D 是菱形，求n 的值．

【答案】(1) －2；(2) y=13x+103，90；(3) m ＜0，

或

；(4) n=﹣8，n=﹣2，n=﹣3．【解析】【分析】

（1）先求出A 的变换点A ′，然后把A ′代入反比例函数即可得到结论；（2）确定点B ′的坐标，把问题转化为方程组解决；

（3）分三种情形讨论：①当m ＜0时；②当m ≥0，PP '⊥x 轴时；③当m ≥0，MN ⊥x 轴时．

（4）利用菱形的性质，得到点E 与点P '关于x 轴对称，从而得到点P '的坐标为（2，﹣n ）．分两种情况讨论：①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ），代入抛物线解析式，求解即可；②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．代入抛物线解

析式，求解即可．【详解】

（1）∵A （2，1）的变换点为A ′（－1，2），把A ′（－1，2）代入y =k

中，得到k =－2．故答案为：－2．

（2）点B （2，4）的变换点B ′（﹣4，2），把（2，4），（﹣4，2）代入y =ax +b 中．

得到：2442a b a b +=??-+=?，解得：13

103a b ?=????=??

，∴11033y x =+．

∵OB 2=2224+=20，OB ′2=2224+=20，BB ′2=22(42)(24)--+-=40，∴OB 2+OB ′2=BB ′2，∴∠BOB ′=90°．故答案为：y =

13x +10

，90．（3）①当m ＜0时，点P 与点P '关于y 轴对称，此时MN 垂直于x 轴，所以m ＜0． ②当m ≥0，PP '⊥x 轴时，则点P '的坐标为（m ，m ），点P 的坐标为（m ，﹣m ）．将点P （m ，﹣m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：﹣m =m 2﹣2m ﹣3．

解得：121122

m m ==

（不合题意，舍去）．

所以12

m +=

③当m ≥0，MN ⊥x 轴时，则PP '∥x 轴，点P 的坐标为（m ，m ）．将点P （m ，m ）代入y =x 2﹣2x ﹣3，得：m =m 2﹣2m ﹣3．

解得：12m m ==

所以m =

．综上所述：m 的取值范围是m ＜0，m

或m

=32

．（4）∵四边形ECP 'D 是菱形，∴点E 与点P '关于x 轴对称． ∵点E 的坐标为（2，n ），∴点P '的坐标为（2，﹣n ）． ①当点P 在y 轴左侧时，点P 的坐标为（﹣2，﹣n ）．代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣n =（﹣2﹣2）2+n ，解得：n =﹣8． ②当点P 在y 轴右侧时，点P 的坐标为（﹣n ，﹣2）．

代入y =（x ﹣2）2+n ，得：﹣2=（﹣n ﹣2）2+n ．解得：n 1=﹣2，n 2=﹣3．综上所述：n 的值是n =﹣8，n =﹣2，n =﹣3．【点睛】

本题是二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、变换点的定义等知识，解题的关

键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

8．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的关系解析式；

（2）求直线AC的函数解析式；

（3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

【答案】（1）y=﹣

x2﹣

x+2；（2）

y x

=+；（3）存在，(

【解析】

【分析】

（1）直接用待定系数法即可解答；

（2）先确定C点坐标，设直线AC的函数解析式y=kx+b，最后用待定系数法求解即可；（3）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，然后求出△ACP面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可．

【详解】

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），

∴

0932

a b

=-+

=++

解得

?=-

，

∴二次函数的关系解析式为y=﹣

x2﹣

x+2；

（2）∵当x=0时，y=2，

∴C（0，2）

设直线AC的解析式为y kx b

=+，把A、C两点代入得

0=3

k b

解得

∴直线AC的函数解析式为

y x

=+；

（3）存在．

如图: 连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N

设点P坐标为（m，n）,则n=2

m m

--+），PN=-m，AO=3

当x=0时，y=2

002

-?-?+=2，

∴点C的坐标为（0,2），OC=2

∵

PAC PAO PCO ACO

S S S S

=+-

12411

322()32

23322

m m m

=??--++??--??

=23

m m

∵a=-1<0

∴函数S△PAC=-m2-3m有最大值

∴b当m=()

212

-?-

∴当m=

-时，S△PAC有最大值n=

2423435

3332322

m m

--+=-?-?+=

∴当△ACP的面积最大时，P的坐标为（

-）．

【点睛】

本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、二次函数极值等知识点，根据题意表示出△PAC的面积是解答本题的关键．

9．如图，已知顶点为M（

，

）的抛物线过点D（3，2），交x轴于A，B两点，交y 轴于点C，点P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P 在直线AD 上方时，求△PAD 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，若将△CPQ 沿CP 翻折，点Q 的对应点为Q '．是否存在点P ，使Q '恰好落在x 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）213

222

y x x =-++；（2）最大值为4，点P （1，3）；（3）存在，点P 139313

-+）．【解析】【分析】

（1）用待定系数法求解即可；

（2）由△PAD 面积S ＝S △PHA +S △PHD ，即可求解；

（3）结合图形可判断出点P 在直线CD 下方，设点P 的坐标为（a ，213

222

a a -

++），当P 点在y 轴右侧时，运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可．【详解】

解：（1）设抛物线的表达式为：y ＝a （x ﹣h ）2+k ＝a （x ﹣32）2+25

，将点D 的坐标代入上式得：2＝a （3﹣32）2+25

，解得：a ＝﹣

， ∴抛物线的表达式为：213

222y x x =-

++；（2）当x ＝0时，y ＝﹣1

2x 2+32

x +2＝2，

即点C 坐标为（0，2），

同理，令y ＝0，则x ＝4或﹣1，故点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0），

过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H

，由点A 、D 的坐标得，直线AD 的表达式为：y ＝1

（x +1），设点P （x ，﹣

12x 2+32

x +2），则点H （x ，12x +1

2），则△PAD 面积为： S ＝S △PHA +S △PHD ＝

12×PH ×（x D ﹣x A ）＝12×4×（﹣12x 2+32x +2﹣1

2x 12

-）＝﹣x 2+2x +3， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，

当x ＝1时，S 有最大值，则点P （1，3）；

（3）存在满足条件的点P ，显然点P 在直线CD 下方，设直线PQ 交x 轴于F ，点P 的坐标为（a ，﹣

12a 2+3

a +2），

当P 点在y 轴右侧时（如图2），CQ ＝a ， PQ ＝2﹣（﹣

12a 2+32a +2）＝1

2a 2﹣32

a ，又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P ＝90°，∠COQ ′＝∠Q ′FP ＝90°， ∴∠FQ ′P ＝∠OCQ ′， ∴△COQ ′∽△Q ′FP ，

'''

Q C Q P CO FQ =，即213

222'a a

a Q F

-=， ∴Q ′F ＝a ﹣3，

2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)

中考数学真题汇编:二次函数一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D.

【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1）【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A

二次函数中考真题汇编[解析版]

二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3）（1）求该二次函数所对应的函数解析式；（2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值；（3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为 2 4 ；（3）M点坐标为可以为（2， 3），（55 2 + ，3），（ 55 2 - ，3）．【解析】【分析】（1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式．（2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值．（3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解．【详解】解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c）， ∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0）， ∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）．又∵点D（4，3）在二次函数上， ∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3， ∴解得：a＝1． ∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．

一元二次函数中考试题选编

一元二次函数综合练习题 1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是A ．0c > B ．20a b += C ．2 40b ac -> D ．0a b c -+> 2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；② 1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ 第2题第3题第题 3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是（） A ．0