绝对值、相反数重难点研习
一、教材知识研习
研习点1绝对值
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数的绝对值记作│a│
如：│5│指在数轴上表示5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5，记作│5│。
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
【梳理总结】无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质：
（1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性，即│a│≥0；
（2）绝对值等于0的数只有一个，就是0，若│0│＝0；
（3）绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数；
（4）互为相反数的两个数的绝对值相等。
典例求下列各数的绝对值。
（1）-18；（2）3
5；（3）0
[研析]一个数的绝对值与这个数之间的关系有三种：
①正数的绝对值是它本身；
②负数的绝对值是它的相反数；
③0的绝对值是0。
解：（1）因为-18是负数，所以-18的绝对值等于18，即-=
1818。
（2）因为3
5是正数，所以
3
5的绝对值等于
3
5，即
3
5
3
5
=
。
（3）0的绝对值等于0，即00 =。
说明：
①一个数绝对值与这个数的本身或它的相反数有关系。
②求一个数的绝对值，首先要对这个数作出判断：是正数还是负数或者0；然后再选择一个数的绝对值与这个数之间的某种关系；最后写出结果。必须注意，求一个数的绝对值不能误认为就是去掉这个数前面的符号。当一个数是用字母表示的数，如+a ，并没有+=a a ，同样，对于-b ，也没有-=b b 。
研习点2 相反数
只有性质符号不同的两个数，才互为相反数。如31和-31；-3和3；7和-7都是互为相反数。0的相反数是0，由定义知相反数是成对出现的（但-3和5不叫相反数），数轴上表示它们的点分别在原点的两侧且与原点的距离相等。如图，521与-52
1互为相反数，
图1－2－2 【梳理总结】一般地，数a 的相反数是-a,记作-(a)=-a ；-a 的相反数是a,即-(-a)=a ，这里a 可表示正数，负数和0。
正数的相反数是负数；0的相反数还是0；负数的相反数是正数。
典例 填空题：
（1）2的相反数的绝对值是______；
（2）绝对值等于5的数是_______；
（3）绝对值不大于2的整数是________。
[研析] 求一个数的绝对值，用代数定义比较方便，求绝对值等于5的数用几何定义比较直观，不大于即小于或等于，绝对值不大于2的整数即在数轴上到原点距离小于或等于2的整数点表示的数。
解：（1）2； （2）±5；（3）-2，-1，0，1，2。
二、思维误区辨析
易错点1 绝对值理解错误
典例 写出绝对值不大于5的整数．
[研析]错解绝对值不大于5的整数是：－4，－3，－2，－1，1，2，3，4．
正解绝对值不大于5的整数有：－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5．
错因分析上面解答错误有两处：其一，把符合条件的零排除在整数集合之外；其二，对“不大于”的含义认识模糊．事实上，“不大于”包括“小于”或“等于”两层意思，不能把“等于”排除在外．
易错点2相反数
典例已知a＞0，b＜0，a＜|b|，试把－a，－b，a，b用＜连结起来．
[研析]错解－a＜b＜－b＜a．
正解画数轴．由a＞0，b＜0知表示a，b的点分别在数轴上原点的右边和左边，且由a＜|b|和a＞0知|a|＜|b|，所以表示a的点离原点较近．因－a，－b与a，b互为相反数和a＜|b|，再找出－a，－b两点(如图1－2－5)．显然，b＜－a ＜a＜－b．
图1－2－5
错因分析解题者对这类较抽象的数的大小比较，常常不知道从何处下手，往往凭主观猜想乱写结论．上面解答之所以出错，主要是解题思想方法不对所造成的．即未把－a和－b所对应的点在数轴上标出来．事实上，a和－a是互为相反数，它们分别在原点的两侧，且到原点的距离相等，b和－b也是如此．因此在数轴上标出有理数a，－a，b，－b，那么这四个数的大小关系就一目了然．
带绝对值符号的运算 在初中数学教学中，如何去掉绝对值符号？因为这一问题看似简单，所以往往容易被人们忽视。其实它既是初中数学教学的一个重点，也是初中数学教学的一个难点，还是学生容易搞错的问题。那么，如何去掉绝对值符号呢？我认为应从以下几个方面着手： 一、要理解数a的绝对值的定义。在中学数学教科书中，数a的绝对值是这样定义的，“在数轴上，表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。”学习这个定义应让学生理解，数a的绝对值所表示的是一段距离，那么，不论数a本身是正数还是负数，它的绝对值都应该是一个非负数。 二、要弄清楚怎样去求数a的绝对值。从数a的绝对值的定义可知，一个正数的绝对值肯定是它的本身，一个负数的绝对值必定是它的相反数，零的绝对值就是零。在这里要让学生重点理解的是，当a是一个负数时，怎样去表示a的相反数（可表示为“-a”），以及绝对值符号的双重作用（一是非负的作用，二是括号的作用）。 三、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如︱a︱的一类问题 只要根据绝对值的3个性质，判断出a的3种情况，便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时，︱a︱=a(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a=0 时︱a︱=0(性质2：0的绝对值是0) ； 当a<0 时；︱a︱=–a (性质3：负数的绝对值是它的相反数) 。 2、对于形如︱a+b︱的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体，再判断a+b的3种情况，根据绝对值的3个性质，便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时，︱a+b︱=(a+b) =a +b(性质1：正数的绝对值是它本身)； 当a+b=0 时，︱a+b︱=(a+b) =0(性质2：0的绝对值是0)； 当a+b<0 时，︱a+b︱=–(a+b)=–a-b (性质3：负数的绝对值是它的相反数)。 3、对于形如︱a-b︱的一类问题 同样，仍然要把a-b看作一个整体，判断出a-b 的3种情况，根据绝对值的3个性质，去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。如何快速去掉绝对值符号，条件非常简单，只要你能判断出a与b的大小即可（不论正负）。因为︱大-小︱=︱小-大︱=大-小，所以当a>b时，︱a-b︱=（a-b）= a-b，︱b-a︱=（a-b）= a-b 。 口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。 4、对于数轴型的一类问题， 根据3的口诀来化简，更快捷有效。如︱a-b︱的一类问题，只要判断出a在b的右边（不论正负），便可得到︱a-b︱=（a-b）=a-b，︱b-a︱=（a-b）=a-b 。（都是大的数a减去小的数b ） 5、对于绝对值符号前有正、负号的运算 非常简单，去掉绝对值符号的同时，不要忘记打括号。前面是正号的无所谓，如果是负号，忘记打括号就惨了，差之毫厘失之千里也！
数轴绝对值、相反数重难点研习 一、教材知识研习 研习点1 数轴的概念 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 这里包含两个内容：一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．二是这三个要素都是规定的． （2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． 【梳理总结】首先，要理解数轴的概念．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．它包含三层涵义：一是数轴是一条直线，可以向两端无限伸展．二是数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可．三是原点：原点是数轴上有特殊意义的点，它相当于温度计的零刻线；正方向及单位长度是根据实际需要“规定”的，正方向一般地规定为向右的方向；单位长度可视具体情况而定，但要注意单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者是指所取度量单位的长度，而后者是指度量的单位的名称（米、分米、厘米等），这就是说单位长度是一条人为规定的代表“１”的线段，这条线段可长可短，按实际情况而定．典例1下列各图中，表示数轴的是( ) [研析]画数轴时，数轴的三要素——原点、正方向、单位长度是缺一不可的，所以应当用这三要素检查每个图形，判断是否画的正确． 解A图没有指明正方向； B图中，1和-1表示的一个单位长度不相等，在同一数轴上，单位长度必须一致； C图中没有原点； D图中三要素齐全． ∴A、B、C三个图画的都不是数轴，只有D图画的是数轴． 研习点2 数轴的画法 画法：①画一条直线（一般水平放置），在这条直线上任取一点作原点，用这点表示0。 ②规定直线上从原点向右为正方向（箭头所指方向），那么相反的方向，即从原点向左为负方向。 ③选取适当的长度作为单位长度，在直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示-1、-2、-3… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
《绝对值》教案 贵州省织金县三塘中学：程佳 一、教学目标 1、知识与技能 （1）、借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值，会利用绝对值比较两个负数的大小。 （2）、通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。 2、过程与方法目标： （1）、通过运用“| |”来表示一个数的绝对值，培养学生的数感和符号感，达到发展学生抽象思维的目的 （2）、通过探索求一个数绝对值的方法和两个负数比较大小方法的过程，让学生学会通过观察，发现规律、总结方法，发展学生的实践能力，培养创新意识； （3）、通过对“做一做”“议一议”“试一试”的交流和讨论，培养学生有条理地用语言表达解决问题的方法；通过用绝对值或数轴对两个负数大小的比较，让学生学会尝 试评价两种不同方法之间的差异。 3、情感态度与价值观： 借助数轴解决数学问题，有意识地形成“脑中有图，心中有数”的数形结合思想。通过“做一做“议一议”“试一试”问题的思考及回答，培养学生积极参与数学活动，并在数学活动中体验成功，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，发展学生清晰地阐述自己观点的能力以及培养学生合作探索、合作交流、合作学习的新型学习方式。 二、教学重点和难点 理解绝对值的概念；求一个数的绝对值；比较两个负数的大小。 三、教学过程： 1、教师检查组长学案学习情况，组长检查组员学案学习情况。（约5分钟） 2.在组长的组织下进行讨论、交流。（约5分钟） 3、小组分任务展示。（约25分钟） 4、达标检测。（约5分钟） 5、总结（约5分钟） 四、小组对学案进行分任务展示 （一）、温故知新: 前面我们已经学习了数轴和数轴的三要素，请同学们回想一下什么叫数轴？数轴的三要素什么？ （二）小组合作交流，探究新知 1、观察下图,回答问题: （五组完成）
绝对值、相反数重难点研习 一、教材知识研习 研习点1绝对值 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数的绝对值记作│a│ 如：│5│指在数轴上表示5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5，记作│5│。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 【梳理总结】无论是绝对值的代数意义还是几何意义，都揭示了绝对值的以下有关性质： （1）任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性，即│a│≥0； （2）绝对值等于0的数只有一个，就是0，若│0│＝0； （3）绝对值等于一个正数的数有两个，这两个数互为相反数； （4）互为相反数的两个数的绝对值相等。 典例求下列各数的绝对值。 （1）-18；（2）3 5；（3）0 [研析]一个数的绝对值与这个数之间的关系有三种： ①正数的绝对值是它本身； ②负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0。 解：（1）因为-18是负数，所以-18的绝对值等于18，即-= 1818。 （2）因为3 5是正数，所以 3 5的绝对值等于 3 5，即 3 5 3 5 = 。 （3）0的绝对值等于0，即00 =。 说明： ①一个数绝对值与这个数的本身或它的相反数有关系。
②求一个数的绝对值，首先要对这个数作出判断：是正数还是负数或者0；然后再选择一个数的绝对值与这个数之间的某种关系；最后写出结果。必须注意，求一个数的绝对值不能误认为就是去掉这个数前面的符号。当一个数是用字母表示的数，如+a ，并没有+=a a ，同样，对于-b ，也没有-=b b 。 研习点2 相反数 只有性质符号不同的两个数，才互为相反数。如31和-31；-3和3；7和-7都是互为相反数。0的相反数是0，由定义知相反数是成对出现的（但-3和5不叫相反数），数轴上表示它们的点分别在原点的两侧且与原点的距离相等。如图，521与-52 1互为相反数， 图1－2－2 【梳理总结】一般地，数a 的相反数是-a,记作-(a)=-a ；-a 的相反数是a,即-(-a)=a ，这里a 可表示正数，负数和0。 正数的相反数是负数；0的相反数还是0；负数的相反数是正数。 典例 填空题： （1）2的相反数的绝对值是______； （2）绝对值等于5的数是_______； （3）绝对值不大于2的整数是________。 [研析] 求一个数的绝对值，用代数定义比较方便，求绝对值等于5的数用几何定义比较直观，不大于即小于或等于，绝对值不大于2的整数即在数轴上到原点距离小于或等于2的整数点表示的数。 解：（1）2； （2）±5；（3）-2，-1，0，1，2。 二、思维误区辨析 易错点1 绝对值理解错误 典例 写出绝对值不大于5的整数．
绝对值 各位评委，领导: 下午好！ 我叫,来自四川师范大学。今天我说课的课题是《绝对值》。下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，下面从教材分析、教学目标分析、教学重难点分析、教法与学法、课堂设计五方面逐一加以分析和说明。 一、教材分析 （一）教材的地位和作用 《绝对值》是七年级上第二章的内容。《绝对值》是在引入有理数和数轴等基本概念后又一重要内容，在教材编排中起承上启下的作用，是学习有理数加减法、乘除法的基础，在今后学习二次根式化简时,也是一个必不可少的工具,它也是我们所认识的第一个非负数。 本节课要求从代数与几何两个角度初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值。通过应用绝对值解决实际问题，使学生体会绝对值的意义，感受数学在生活中的价值。对于从没有学习过类似知识的七年级学生来说，接受起来有点难和慢，尤其在绝对值的意义方面有一定的难度。但七年级学生有思维活跃，富有激情的特点，我在教学时充分把握和利用了这一特点。 （二）、学情分析 通过前一阶段的教学，学生对数轴和有理数的认识已有了一定的认知结构，主要体现在三个层面： 知识层面：学生在已初步掌握了数轴和相反数，能够用数轴上的点来表示有理数，也已经知道数轴上的一个点与原点的距离，会比较这些距离的大小。 能力层面：学生在初中已经初步具备了数形结合的思想。 情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡. （三）教学内容 本节内容分1课时学习。（本课时，品味数学中的和谐美，体验成功的喜悦。） 二、教学目标分析 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和七年级学生的认知规律，本节课的教学目标确定为： 知识与技能目标： ⑴借助数轴，初步理解绝对值的概念，会求一个数的绝对值 ⑵通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用，感受数学在生
15年期中考试重难点突破 15年期中考试与往年相比，具有传承性，亦有突破，会是传统与创新、变革激烈碰撞的一年，要想取得好成绩，必须开阔视野，明确考试命题的方向，熟悉中考考点，章节重难点，易错点，易混淆点，自己问题所在，逐一突破，才能在考试中立于不败之地——稳定可靠，藉此讲义，助你成功。 中考考点： 一、一元二次方程： 三大陷阱：①二次项系数a ≠0;②利用关于x 1，x 2的等式求未知字母系数的值时，验△；③关于方程的类型的分类讨论； 中考考点：①利用方程根的定义求代数式的值；（整体代入法，若结合一元二次方程根与系数的关系，还需要注意降次思想）②解一元二次方程；（配方法，熟练理解记忆公式法，含字母系数的十字相乘因式分解法，二次项系数不为1的因式分解法，可化为一元二次方程的分式方程的解法及步骤，高次方程与整体思想注意验△）③韦达定理及根与系数的关系；（据根的分布，求字母系数的取值或范围时注意字母所在位置或利用配方法判断方程根的分布，会求含x 1，x 2的对称式的值及利用构造法求值（非对称式要结合根的定义），注意含x 1，x 2的绝对值的问题的常用解题策略，⑤一元二次方程的应用；常见题型：面积问题（注意平移，分割拼接转化为特殊图形，立体转化为平面）、经济型问题（归一法），单循环、双循环问题（会以选择题形式出现）。 新变化：一元二次方程解决几何图形中的计算问题；（动点位置或运动时间，线段最值，等腰三角形分类讨论，直线与圆的位置关系） 一、一元二次方程： 1、如图，正方形ABCD 的边长为2，M 为AD 的中点，N 在边CD 上且∠NMB=∠MBC ，MN 的延长线与BC 的延长线交于点G ，则GN 的长是 。 2、如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线c bx x y ++= 221的顶点，则方程12 1 2=++c bx x 的解的个数是（ ） A 、0或2 B 、0或1 C 、1或2 D 、0或1或2 3、二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）图象如图，下列结论：①abc ＞0；②2a+b=0；③当m ≠1时，a+b ＞am 2 +bm ；④a-b+c ＞0；⑤若ax 12 +bx 1=ax 22 +bx 2，且x 1≠x 2，x 1+x 2=2．其中正确的有（ ） A ．①②③ B ．②④ C ．②⑤ D ．②③⑤ 4、已知方程x 2 -2（m 2 -1）x+3m=0的两个根是互为相反数，则m 的值是（ ） A ．m=±1 B ．m=-1 C ．m=1 D ．m=0 G N D C B A
绝对值难点突破 1．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为． 2．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，|m|=．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数 式，如化简代数式|m+1|+|m﹣2|时，可令m+1=0和m﹣2=0，分别求得m=﹣1，m=2（称﹣1，2分别为|m+1|与|m﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值m=﹣1和m=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： （1）m＜﹣1；（2）﹣1≤m＜2；（3）m≥2．从而化简代数式|m+1|+|m﹣2|可分以下3种情况： （1）当m＜﹣1时，原式=﹣（m+1）﹣（m﹣2）=﹣2m+1； （2）当﹣1≤m＜2时，原式=m+1﹣（m﹣2）=3； （3）当m≥2时，原式=m+1+m﹣2=2m﹣1． 综上讨论，原式= 通过以上阅读，请你解决以下问题： （1）分别求出|x﹣5|和|x﹣4|的零点值； （2）化简代数式|x﹣5|+|x﹣4|； （3）求代数式|x﹣5|+|x﹣4|的最小值．
3．当式子|x+1|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x+6|取最小值时，求相应x的取值范围，并求出最小值． 4．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是， （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为． （3）如果|x﹣2|=5，则x=． （4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|=4，这样的整数是． （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 5．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B 之间的距离可表示为|a﹣b|． （1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A 到C的距离之和可表示为（用含绝对值的式子表示）． （2）利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是，②设
绝对值（一） 的点来表示有理数，也已经知道数轴上的一个点与原点的距离，会比较这些距离的大小。并初步体会到了数形结合的思想方法。 学生活动经验基础：在前面相关知识的学习过程中，学生已经经历了归纳、比较、交流等一些活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数学活动的重要性；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。 1．地位和内容 绝对值知识是解决有理数比较大小、距离等知识的重要依据，同时它也是我们后面学习有理数运算的基础。 借助数轴引出对绝对值的概念，并通过计算、观察、交流、发现绝对值的性质特征。让学生直观理解绝对值的含义，不要在绝对值符号内部出现多重符号和字母，多鼓励学生通过观察、归纳、验证 2．教学重点和难点 理解绝对值的概念；求一个数的绝对值。 3. 教学目标 知识与技能目标： （1）、借助数轴，初步理解绝对值的概念，能求一个数的绝对值。 （2）、通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。 过程与方法目标： （1）、通过运用“| |”来表示一个数的绝对值，培养学生的数感和符号感，达到发展学生抽象思维的目的； （2）、通过探索求一个数绝对值的方法过程，让学生学会通过观察，发现规律、总结方法，发展学生的实践能力，培养创新意识； （3）、通过对“议一议”的思考和讨论，培养学生有条理地用语言表达解决问题的方法；情感态度与价值观： 借助数轴解决数学问题，有意识地形成“脑中有图，心中有数”的数形结合思想。通过“想一想”“议一议”问题的思考及回答，培养学生积极参与数学活动，并在数学活动中体验成功，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，发展学生清晰地阐述自己观点的能力以及培养学生合作探索、合作交流、合作学习的新型学习方式。 三、教学过程设计： 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，导入新课；第二环节：合作交流，解读探究；第三环节：应用迁移，巩固提高；第四环节：总结反思，拓展升华；第五环节：布置作业。 第一环节创设情境，导入新课 师：两辆汽车从同一处0出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A、B两处。它们的行驶路线相同嘛？它们行驶路程的远近相同吗？
有理数的加减法重难点突破教学案例 一、教学目标 知识与技能：使学生理解有理数加法运算的意义，初步掌握有理数加法法则，并能准确熟练地进行有理数的加法运算．过程与方法：通过有理数的加法运算练习，培养学生的基本的运算能力. 情感与态度：激发学生学习数学的兴趣。 二、教学重点与难点 重点：熟练应用有理数的加法法则进行加法运算． 难点：有理数的加法法则的理解及应运． 三、教学过程 (一)复习提问（回顾已学知识） 1.有理数的俩个分类标准是什么？怎么分类？ 2.有理数的绝对值代数意义？一个有理数的绝对值的几何意义是什么？ 3.有理数大小比较是怎么规定的？下列各组数中，哪一个较大？利用数轴说明？ -4与-9；|7|与|-7|；|-3|与0； -2与|+1|；-|+4|与|-3|． (二)引入新课
在小学算术中学过了加、减、乘、除四则运算，这些运算是在正有理数和零的范围内的运算.引入负数之后，这些运算法则将仍适应吗？(利用类比思想，降低学习难度) (三)新课教学有理数的加法。显示课本上例题： 例1 如图所示，某人从原点0出发，如果第一次走了5米，第二次接着又走了3米，求两次行走后某人在什么地方？ 两次行走后距原点0为8米，应该用加法． 为区别向东还是向西走，这里有必要规定向东走为正，向西走为负.这两数相加分以下三种情况： 1.号两数相加同 (1)某人向东走5米，再向东走3米，两次一共走了多少米？ 这是求两次行走的路程的和． 5+3＝8， 用数轴表示如图(板书）从数轴上表明，两次行走后在原点0的东边.离开原点的距离是8米.因此两次一共向东走了8米．再举几个例子说明，正数加正数，其和仍是正数，和的绝对值等于这两个加数的绝对值的和． (2)某人向西走5米，再向西走3米，两次一共向东走了多少米？ 显然，两次一共向西走了8米 (-5)+(-3)＝-8 从数轴上表明，两次行走后在原点0的西边，离开原点的距离是8米.因此两次一共向东走了（-8）米．
绝对值的重难点突破
绝对值（第一课时） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念． 2．给出一个数，能求它的绝对值． （二）能力训练点 在把绝对值的代数定义转化成数学式子的过程中，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力． （三）德育渗透点 1．通过解释绝对值的几何意义，渗透数形结合的思想． 2．从上节课学的相反数到本节的绝对值，使学生感知数学知识具有普遍的联系性。 （四）美育渗透点 通过数形结合理解绝对值的意义和相反数与绝对值的联系，使学生进一步领略数学的和谐美。 二、学法引导 1．教学方法：采用引导发现法，辅之以讲授，学生讨论，力求体现“教为主导，学为主体”的教学要求，注意创设问题情境，使学生自得知识，自觅规律。
2．学生学法：研究＋6和－6的不同点和相同点→绝对值概念→巩固练习→归纳小结（绝对值代数意义） 三、重点、难点、疑点及解决办法 1．重点：给出一个数会求出它的绝对值。 2．难点：绝对值的几何意义，代数定义的导出。 3．疑点：负数的绝对值是它的相反数。 四、课时安排2课时 五、教具学具准备 投影仪（电脑）、三角板、自制胶片。 六、师生互动活动设计 教师提出＋6和－6有何相同点和不同点，学生研究讨论得出绝对值概念；教师出示练习题，学生讨论解答归纳出绝对值代数意义。 七、教学步骤 （一）创设情境，复习导入 师：以上我们学习了数轴、相反数．在练习本上画一 个数轴，并标出表示－6，，0及它们的相反数的点。 学生活动：一个学生板演，其他学生在练习本上画． 【教法说明】绝对值的学习是以相反数为基础的，在学生动手画数轴的同时，把相反数的知识进行复习，同时也为绝对值概念的引入奠定了基础，这里老师不包办代替，让学生自己练习。
绝对值 【教学目标】 使学生初步理解绝对值的概念；明确绝对值的代数定义和几何意义；会求一个已知数的绝对值。 【教学重难点】 会在已知一个数的绝对值条件下求这个数；培养学生用数形结合思想解决问题的能力，渗透分类讨论的数学思想。 【教学过程】 一、自学检测 1．想一想，你会想些什么？ 问题1：两辆汽车从同一处O出发，分别向东、西方向行驶10km，到达A、B两处(图1.2-5)。 (1)它们的行驶路线的方向相同吗？。 (2)它们行驶路程的距离(线段OA、OB的长度)相同吗？ 2．理解绝对值的概念 思考：－8与8是相反数，把它们在数轴上表示出来，那么它们的方向又有什么关系？到原点的距离又有什么关系？ 想一想，互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？你能给大家举几对吗？ 那么互为相反数的两个数有什么特征相同呢？由此引入新课，归纳出绝对值的几何意义。 二、新知探索 1．绝对值的几何意义。 一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。如|–5|=5，|3.5|=3.5， |–6|=6，|6|=6，|0|=0. 2．绝对值的表示方法。 数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”。 3．绝对值的代数定义（性质）。 ①一个正数的绝对值是它本身； ②一个负数的绝对值是它的相反数； ③0的绝对值是0.
即：①若a ＞0，则|a|=a ； ②若a ＜0，则|a|=–a ； ③若a=0，则|a|=0； 或写成：) 0()0() 0(0<=>?????-=a a a a a a 。 4．绝对值的非负性。 由绝对值的定义可知绝对值具有非负性，即|a|≥0。 三、范例共做 1：1 求下列各数的绝对值。 －19，3 2，0，－2.3，＋0.56，－6，＋6，-21/2 议一议：上述各数的绝对值与这些数本身有什么关系？ 要点归纳: 思考： (1)当a 是正数时，｜a ｜＝____； (2)当a 是负数时，｜a ｜＝＿＿； (3)当a=0时，｜a ｜＝＿＿＿。 ) 0() 0() 0(0<=>?????-=a a a a a a 2：强化训练 判断 (1) |－1.4|＞0 ( ) (2)|－0.3|＝|0.3| ( ) (3)有理数的绝对值一定是正数。( ) (4)绝对值最小的数是0。( ) (5)如果数a 的绝对值等于a ，那么a 一定为正数。( ) (6)符号相反且绝对值相等的数互为相反数。( ) (7)一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右。( )
绝对值（第一课时） 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念． 2．给出一个数，能求它的绝对值． （二）能力训练点 在把绝对值的代数定义转化成数学式子的过程中，培养学生运用数学转化思想指导思维活动的能力． （三）德育渗透点 1．通过解释绝对值的几何意义，渗透数形结合的思想．2．从上节课学的相反数到本节的绝对值，使学生感知数学知识具有普遍的联系性。 （四）美育渗透点 通过数形结合理解绝对值的意义和相反数与绝对值的联系，使学生进一步领略数学的和谐美。 二、学法引导 1．教学方法：采用引导发现法，辅之以讲授，学生讨论，力求体现“教为主导，学为主体”的教学要求，注意创设问题情境，使学生自得知识，自觅规律。 2．学生学法：研究＋6和－6的不同点和相同点→绝对
值概念→巩固练习→归纳小结（绝对值代数意义） 三、重点、难点、疑点及解决办法 1．重点：给出一个数会求出它的绝对值。 2．难点：绝对值的几何意义，代数定义的导出。 3．疑点：负数的绝对值是它的相反数。 四、课时安排2课时 五、教具学具准备 投影仪（电脑）、三角板、自制胶片。 六、师生互动活动设计 教师提出＋6和－6有何相同点和不同点，学生研究讨论得出绝对值概念；教师出示练习题，学生讨论解答归纳出绝对值代数意义。 七、教学步骤 （一）创设情境，复习导入 师：以上我们学习了数轴、相反数．在练习本上画一个 数轴，并标出表示－6，，0及它们的相反数的点。 学生活动：一个学生板演，其他学生在练习本上画． 【教法说明】绝对值的学习是以相反数为基础的，在学生动手画数轴的同时，把相反数的知识进行复习，同时也为绝对值概念的引入奠定了基础，这里老师不包办代替，让学生自己练习。 （二）探索新知，导入新课
一元一次不等式重难点突破(配套习题） 知识点1：不等式组基本性质（一看系数，二看符号） 1．若（m ﹣1）x ＞m ﹣1的解集为x ＜1，则（ ） A. m ＞1 B. m ＜1 C. m ＞0 D. m ＜0 2．下列不等式一定成立的是（ ） A.5a ＞4a B.x+2＜x+3 C.－a ＞－2a D. a a 24> 3．关于x 的不等式（m +1）x ＞m +1的解集为x ＜1，则（ ） A. m ＜0 B. m ＜﹣1 C. m ＞1 D. m ＞﹣1 4.当m ______________时，不等式(1 )8m x 的解集为81 x m 。 5.如果0< C 、a b x -< D 、a b x -> 6.已知关于x 的不等式ax b 的解集为2x ，则2ax b 的解集为 ，则不 等式2ax a bx b 的解集为 7.已知关于x 的不等式32ax x a 的解集为2x ，则a 的值为 若其解集为2x ，那么a 是否存在？请说明理由。 知识点2：不等式组的解集（5种基本形式，注意是否取“=”） 1、若不等式组? ??<<-a x x 312的解集是x<2，则a 的取值围是（ ） A.22 32 a x a x 无解，则常数a 的取值围是 .
二次根式的“五重点”“三难点”详解 一、 五大重点一一攻克 1． 二次根式的概念：重点注意被开方数是非负数。 例1判断下列式子哪些是二次根式． （1 （2 （3 （4； （5剖析：判断一个带根号的式子是否为二次根式应从二次根式的概念入手，先看根指数是否为2，被开方数整体是否为非负数． 解：（1）∵ 被开方数-13 （2）∵ 根指数是3 ， （3）∵被开方数9〉0 (4) ∵ x 可取正数、负数、0； ∴5x -可取正数、负数、0。 即当50x -≥是二次根式；当50x -<不是二次根式。 （5）∵20x ≥ ， ∴20x -≤，即当0x =0x ≠时， 2．二次根式的两个重要性质的理解和运用 （1）(a )2=a (a ≥0)；（2a == (0)(0) a a a a ≥-<； 例2 化简（1） 2 （2 剖析： (a )2=a (a ≥0)的运用主要看被开方数a 整体是否为非负数。 （1） 中2 1x +无论x 取何实数恒为正数，故 2 =21x +； a == (0)(0); a a a a ≥-<要特别关注a 的正负性。 （2340a -≥得0,0a a ≤-≥，所以
=4=22a 2- 3.最简二次根式的概念的运用 例3 在二次根式15453040,,,，2 2 3中，最简二次根式有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 剖析：判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点 （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 例3中满足以上两个特点，故都是最简二次根式；而 ==中被开方数分别含有能开得尽方的因数9和4，故 =3，简二次根式。故选B 。 4.运用二次根式乘除法法则计算或化简 例4 化简6)24÷÷ 解:原式 ==242.33==?= 例5? 解:原式= 44 2392a b a b ab b b b -??=- =29a =- 。 点拨: 运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时,一要注意运算顺序，二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果。 5. 二次根式加减法法则的运用
函数中恒成立，存在性问题 主干知识整合 1．在代数综合问题中常遇到恒成立问题．恒成立问题涉及常见函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解． 2．恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： (1)?x∈D，f(x)>C；(2)?x∈D，f(x)>g(x)； (3)?x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤C； (4)?x1，x2∈D，|f(x1)－f(x2)|≤a|x1－x2|. 3．不等式恒成立问题的处理方法 (1)转换求函数的最值 ①若不等式A
《三角形》重难点突破 一、三边关系与绝对值化简综合 解题技巧：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数。 易错点：绝对值前有减号时，容易符号出错，可将绝对值化简的结果先加括号再去括号避免出错。 1．已知a ，b ，c 是三角形三边长，试化简：|b ＋c －a|＋|b －c －a|＋|c －a －b|－|a －b ＋c|. 二、已知两边边长，求周长范围。 解题技巧：先利用三边关系求出第三边的取值范围，再把三边相加。 2、若三角形的两边长分别为3和5，则其周长C 的取值范围是( )． A. 6＜C ＜15 B.6＜C ＜16 C.11＜C ＜13 D.10＜C ＜16 三、与三边关系有关的证明题 3．如图，P 为△ABC 内任意一点，求证：PA ＋PB ＋PC>12(AB ＋BC ＋AC)．
四、三角形的高、中线、角平分线 三角形的高是线段、不管是锐角三角形还是直角三角形、钝角三角形都会有三条高 锐角三角形的高交于三角形内部，直角三角形的高交于直角顶点，钝角三角形的高延长线交于三角形外。某条边上的高的作法：从另一顶点往这条边作垂直，如果是钝角要先把这条边延长，再从另一顶点往延长线作垂直。 4．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，则这个三角形的形状一定是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形 5．钝角三角形三条高所在的直线交于（） A．三角形内 B．三角形外 C．三角形的边上 D．不能确定 6．如图，△ABC中，BC边所在直线上的高是线段． 任何三角形的三条角平分线都交于三角形内部，任何三角形的三条中线都交于三角形内部。 中线把三角形分成面积相等的两个三角形。 7．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（） A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形D．周长相等的三角形 8．如图，BD是△ABC的中线，AB=8，BC=6，△ABD和△BCD的周长的差是．9．如图，已知AE是△ABC的边BC上的中线，若AB=8cm，△ACE的周长比△AEB的周长多2cm，则AC=cm． 第8题第9题 10．下列叙述不正确的是（） A．三角形的三条角平分线交于一点（内心），这个点一定在三角形内部 B．三角形的三条中线交于一点（重心），这个点一定在三角形内部 C．三角形的三条高线交于一点（垂心），这个点一定在三角形内部 D．三角形内部的平分线、高线、中线都是线段 11．下列语句正确的是（） A．三角形的三条高都在三角形内部B．三角形的三条中线交于一点 C．三角形不一定具有稳定性D．三角形的角平分线可能在三角形的内部或外部12．下面说法错误的是（） A．三角形的三条角平分线交于一点B．三角形的三条中线交于一点 C．三角形的三条高交于一点D．三角形的三条高所在的直线交于一点 13．下列说法正确的是（） A．三角形的角平分线、中线、和高都在三角形内部 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的高至少有一条在三角形内部 D．三角形的三条高的交点不在三角形内，就在三角形外
初中代数《绝对值》（第一课时）说课案 一、教材分析 1、教材的编写思路、地位和作用。 《绝对值》是人教版初中数学代数七年级上册第一章的内容。教材之所以把它安排在此处，是有以下两个方面的考虑：其一学生已经在小学就具有了距离、两个同类量之间的比较的概念。进入初中以来，他们又相继学习了有理数、数轴、相反数，也就是说，学生到了此时，已经具有了接受绝对值相关知识的基础；其二，通过对绝对值知识的掌握，就会为紧接其后的有理数的加法法则、有理数的混合运算做好铺垫，而整式的加减、分式的运算、方程的求解、以及几何学中相关的运算等等这一切，都是以有理数的混合运算为基础的。因此，我觉得教材把绝对值安排在此处，是起到了承前启后，承上启下的作用。 2、教学内容：这一节分两个课时，其主要内容有：绝对值的概念，绝对值的意义， 求一个数的绝对值和利用绝对值的意义比较两个数的大小以及解决实际问题。 3、教学重点：绝对值的意义，求一个数的绝对值。 教学难点：绝对值的概念，绝对值的意义。 二、目的分析：依照学生的认识特点和教学大纲,确定以下目的： 1、认知目的：理解绝对值的概念，掌握绝对值的意义，会求一个数的绝对值。 2、能力目的：注意让学生养成主动探究、获取知识的习惯，培养分析、解决问题 的能力，培养发散思维，渗透数形结合、分类讨论的数学思想方法。 3、情感目的：体会数学与人类生活密切联系，了解数学的价值，激发学生学好数学 的愿望。 三、教法分析： 1、兴趣引导，启发思考，分组讨论和共同探究的方法。 2、充分利用多媒体教学手段加强直观教学，增大思维密度，有利地突出重点，突破 难点。
3、教给学生从“特殊—一般—特殊”的研究问题、学习知识的方法。 四、教学过程分析 -3 34
绝对值说课稿 这节课我将从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计6个方面进行分析，其中教学过程设计将是我阐述的重点，将从六个方面进行说明。首先我们来分析教材，绝对值是人教版初中数学七年级上册第一章第二节第四部分的内容。教材之所以要把它安排在此处，是基于以下两个方面的考虑，其一：学生自小学就有了距离的概念，进入初中以来，他们又相继学习了有理数、数轴、相反数，也就是说学生到此时已经具有了接受绝对值相关知识的基础。其二：通过对绝对值知识的掌握，能为紧接其后的有理数加法法则、有理数混合运算做好铺垫，。因此，我认为教材把绝对值安排在此处，是起到了承前启后、承上启下的作用。 学情分析： 学生基础：学生已具有了数轴，相反数等相关知识，初步体会过数形结合的思想方法。能力：掌握了一定的讨论，探究的学习方法，但知识的概括能力较弱，逻辑推理能力有待进一步提升。 基于以上的情况我确定这节课的重点是绝对值的意义和绝对值的性质。难点是绝对值意义的理解和性质的探究。尤其绝对值的意义是学生学习的一个难点。因为数轴上表示一个数的点到原点的距离都为正数或者是0，它不可能为负数。但是在引进了负数以后，学生对数轴上表示负数的点到原点的距离也为正数这一事实就会感到困惑。因此，在理解绝对值意义的时候，就有一定的难度。
由于初一学生的抽象思维还有待发展，其思维活动在很大程度上还有赖感性材料的支持，因此根据学生的认知特征以及教材和大纲的要求我又制定了如下的教学目标。 1、认知目标：利用数形结合思想理解绝对值的意义，利用分 类讨论思想掌握绝对值的性质，会求一个数的绝对值。 2、能力目标：通过教学让学生养成主动探究、获取知识的习 惯，培养分析，解决问题的能力，培养发散思维，渗透数 形结合、分类讨论的数学思想方法。 3、情感目标：在绝对值意义和性质的探索、完善与应用过程 中体验探索、创造和成功的乐趣，增强好奇心和探索欲。 激发学生对数学问题的兴趣，使学生了解数学知识的功能 和价值，形成主动学习的态度。 为了实现以上目标，本节课的课堂结构设计为以下五个环节 （1）创设情境，引入问题，这是感性认知阶段 （2）建构新知，解决问题，这是概念形成阶段 （3）拓展新知完善新知，，这是知识拔高阶段 （4）巩固新知，形成技能，这是应用提升阶段 （5）课堂小结，布置作业，这是反馈巩固阶段 正如我们所知的，兴趣是最好的老师，因此，教学中我十分注重激发学生的学习兴趣，使他们在求知欲的驱动下完成对数学技能的掌握。遵循学生的认知规律，这节课采用
绝对值 【课时安排】 2课时 【第一课时】 【教学目标】 1．理解绝对值的概念及通过从数、形两个方面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法。 2．会求一个数的绝对值；知道一个数的绝对值，会求这个数。 3．通过应用绝对值解决实际问题，培养学生的教学兴趣，提高学生对数学的好奇心和求知欲。 【教学重难点】 重点：理解绝对值的概念，通过从数、形两个方面理解绝对值的意义，初步了解数形结合的思想方法。 难点：会求一个数的绝对值，知道一个数的绝对值，会求这个数。 【教学过程】 一、课前设计 1．预习任务 （1）一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a 。 （2）一个正数的绝值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 （3）一个数的绝对值一定是一个非负数. （4）?? ? ??<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a 2．预习自测 （1）－2017的绝对值是（ ） A ．－2017 B ．2017
C ． 2017 1 D ．2017 1 - 知识点：绝对值 解题过程 解：－2017的绝对值是2017。 思路点拨：根据负数的绝对值等于它的相反数即可求解。 答案：B （2）2+的相反数是_____。 知识点：绝对值 解题过程 解：2+的相反数是－2. 思路点拨：先化简为2,即求2的相反数。 答案：－2 （3）下列说法中正确的是（ ） A ．符号相反的数互为相反数 B ．一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上越靠右 C ．一个数的绝对值越大,表示它的点在数轴上离原点越远 D ．当a a =时，0>a 。 知识点：绝对值 解题过程 解：符号相反的数互为相反数。错误，如－1与2,故A 说法不正确；一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，故B 错误，C 正确；当a a =时，0≥a ，故D 错误，故应选C 。 思路点拨：根据绝对值的意义和性质即可求解。 答案：C （4）下列等式不成立的是（ ） A ．55=- B ．55--=-
《绝对值》重难点的突破 动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学学习活动应当是一个生动活拨的、主动的和富有个性的过程。我们激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动的经验。学生是数学学习的主任，教师应该怎么成为数学学习的组织者、引导者与合作者呢？ 先看教学片段： 师：同学们，上新课之前老师先了解一下，你们的家在学校的哪一边？ 生：（七嘴八舌，有的说在南边，有的说在北边，有的说在东边…….） 师：不管我们的家住在学校的哪一边，家和学校有没有一定的距离？ 生：有。 师：同学们再想一想，从车站开出两辆计程车，一辆往东、一辆往西，车上的乘客是不是都要按里程付费？ 生：是。不管往哪个方向开，都要按行车里程收费。 师：体育课上我们投铅球，你可以在规定的范围内朝任意一个方向投，铅球的着落点和你的投球地点有没有一定的距离？ 生：有。无论投到哪个方向，它们之间都有距离。 师：同学们，以上我们举的例子都是日常生活中经常出现的量：家到学校的路程、计程车的计费、投铅球的距离等等，它们和方向有关吗？ 生：都没有关系。
师：请同学们画一条数轴，并观察表示3的点与原点之间有几个单位长度？ 生画并回答：3个单位长度。 师：还有哪一个数表示的点与原点也相距3个单位长度？ 生：表示—3的点与原点也相距3个单位长度。 师：同学们说得非常好！所以我们说+3和—3的绝对值相等，+5和—5的绝对值相等（指着数轴）。同学们，就刚才我们所讲的内容，请大家猜一猜：什么是绝对值呢？大家分组讨论。 生1：我认为绝对值是指两个地方间的距离。 生2：我认为绝对值是指两个点之间的距离。 师：谁能联系数轴再说一说？ 生3：我认为一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点之间的距离。 师：这位同学说的非常好，你们能把自己的理解和你的同桌交流一下吗？ 教学片段 师：前面，我们探索了绝对值的几何意义和代数意义，现在请同学们把自己最喜欢的数写给同桌，由同桌来写出该数的绝对值，看谁写得又快又裕。ㄑ苄朔埽枷肽炎《苑剑淌υ谘彩又蟹⑾钟醒闯鰘a|=a） 师：同学们写得很快很好，老师看到有同学这样写：|a|=a，你们同意他的意见吗？ 生4：我不同意，我认为|a|也可以等于0。 师：你为什么有这种想法呢？