《三角函数教材分析》
北京市第一0一中学 方明
一、课标要求与说明（2017版）
三角函数的内容是幂函数、指数函数、对数函数之后又一种函数类型，2017版课标中要求如下：
三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习,可以帮助学生在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上,借助单位圆建立一般三角函数的概念,体会引入弧度制的必要性;用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性(对称性)、单调性和最大(小)值等性质;探索和研究三角函数之间的一些恒等关系;利用三角函数构建数学模型,解决实际问题。
内容包括:角与弧度、三角函数概念和性质、同角三角函数的基本关系式、三角恒等变换、三角函数应用。
(1)角与弧度
了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性(参见案例3)。
(2)三角函数概念和性质
①借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值。（注：新教材侧重于先有性质再画图像）。借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式
(2
，π
ααπ±
±的正弦、余弦、正切)。
②借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2]π上,正切函数在(,)22
ππ
-上的性
质。
③结合具体实例,了解sin()ω?=+y A x 的实际意义；能借助图象理解参数
,,ω?A 的意义,了解参数的变化对函数图象的影响。
(3)同角三角函数的基本关系式
理解同角三角函数的基本关系式: 2
2
sin cos 1+=x x ；sin tan cos =
x
x x
。 (4)三角恒等变换
①经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义。
②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。
③能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆)。 (5)三角函数应用
会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型(参见案例4)。
案例3说明了引入弧度制的必要性，弧度制的本质是用线段长度度量角的大小，这样的度量
统一了三角函数自变量和函数值的单位；进一步理解高中函数概念中为什么强调函数必须是实数集合与实数集合之间的对应，因为只有这样才能进行基本初等函数的运算（四则运算、复合、求反函数等），使函数具有更广泛的应用性。
课标强调用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的性质，几何直观指单位圆的对称性和三角函数线；诱导公式中既蕴含代数运算法则，也蕴含着三角函数的性质。
关于三角函数的性质，新教材侧重于先研究性质再画图像，这种研究过程和幂函数、指数函数、对数函数一致，有利于学生系统分析函数。
二、课时安排建议
本章教学总课时21课时,具体安排如下
7.1任意角的概念与弧度制
7.1.1角的推广2课时
7.1.2弧度制及其与角度制的换算1课时
7.2任意角的三角函数
7.2.1三角函数的定义1课时
7.2.2单位圆与三角函数线1课时
7.2.3同角三角函数的基本关系式2课时
7.2.4诱导公式3课时
7.3三角函数的性质与图像（上一版教材“图像与性质”）
7.3.1正弦函数的性质与图像2课时
7.3.2正弦型函数的性质与图像3课时
7.3.3余弦函数的性质与图像1课时
7.3.4正切函数的性质与图像1课时
7.3.5已知三角函数值求角1课时
7.4数学建模活动：周期现象的描述1课时
本章小结2课时
其中：角的推广增加1课时；三角函数的定义减少1课时；同角三角函数的基本关系式增加1课时，正弦与正弦型的性质与图像总共增加2课时；数学建模增加1课时，小结增加1课时，共增加5课时。
从内容和顺序上看，最大的调整是三角函数的性质与图像（上一版教材是三角函数的图像与性质），新教材强调先性质后图像；
三、教学内容地位、考纲分析
作为基本初等函数，三角函数能很好地刻画周期现象，先简要分析本章教学内容的地位，了解高考要求。
1、地位与价值
学生在学习了幂函数、指数函数和对数函数之后，对如何研究函数的性质和图像有了较为系统和整体的认识，是学生学习本章内容的基础。通过本章内容的学习，学生借助单位圆和三角函数线建立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性；用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系；利用三角函数构建数学模型，解决实际问题。
学生能感受到化归思想、方程思想、数形结合的思想在三角函数学习中的应用，对于提
高学生核心素养，培养学生思维能力都有很重要的作用。从三角函数的起源与应用来看，三角函数起源于生活中的天文学，被广泛应用于解决航海通商问题，此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。从历年高考的情况来看，三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题，并常与其他交汇以解答题的形式考查，难度适中。
这里，三角函数的定义、单位圆与三角函数线，三角函数的性质与图像都是C 级要求。 3、高考常见题型，理解考查方向，避免套路化；
类型一：三角恒等变换、正弦型函数性质的研究；
例1. （2018文16）已知函数2
()sin cos f x x x x =+.
(I) 求()f x 的最小正周期; (II) 若()f x 在区间[]3
m π
-
,上的最大值为
3
2
, 求m 的最小值. 解答：(I) 111()cos 22sin(2)2262
f x x x x π=
-+=-+. 所以()f x 的最小正周期为22
T π
π==. (II) 由(I)知1()sin(2)6
2f x x π
=-
+
. 由题意3
x m π
-≤≤.
所以522666
x m πππ-
≤-≤-. 要使得()f x 在[]3
m π
-,上的最大值为
3
2
, 即sin(2)6
x π
-在[]3
m π
-,上的最大值为1.
所以26
2
m π
π
-
≥
, 即3
m π
≥
. 所以m 的最小值为
3
π.
常见思想方法与策略：（化归的思想） 这类题型体现了三角变换的目标和意义。为什么要变形？因为条件中的函数表达式，
不容易得到自变量x 的变化对函数值的影响；往哪个方向变形？高中阶段，熟悉的函数有幂、指、对、三角函数以及这些函数的复合函数，因此我们往往借助于变形（三角变换、换元法等），将复杂的形式转化为熟悉的函数结构，比如本题中的正弦型函数。具体子三角变换中，常见的变形方向有：统一次数（幂）；统一角；统一函数名。
类型二：解三角形
例2．（2019理15）在ABC V 中, 3a =, 2b c -=, 1
cos 2
B =-
. (I) 求b , c 的值; (II) 求sin()B C -的值.
解答：(I) 由余弦定理2
2
2
2cos b a c ac B =+-, 得 2221323()2
b c c =+-???-.
因为2b c =+, 所以2221(2)323()2
c c c +=+-???-. 解得5c =. 7b =.
(II) 由1
cos 2
B =-
得sin 2B =. 由正弦定理得sin sin 14c C B b ==.
在ABC V 中, B ∠是钝角, 所以C ∠为锐角.
所以11cos 14
C ==
.
所以sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-=
常见思想方法与策略：（方程的思想） 什么叫解三角形？
根据已知的几个元素，确定三角形其它元素的过程。 满足条件的三角形有多少个？ 得看已知元素的情况。
如果已知元素恰好是全等三角形的某个判定，则满足条件的三角形唯一； 否则，满足条件的三角形可能无解、唯一解、或多解。 为什么经常考查正弦定理和余弦定理？
因为这两个定理能实现边角互化，将条件往某一方向集中，有利于我们判断已知元
素的情况，从而确定满足条件的三角形解的情况。 本题中，已知在ABC V 中, 3a =, 2b c -=, 1
cos 2
B =-
，由第三个条件可以得到三边关系2221
22
+-=-a c b ac ，三个未知数三个方程，,,a b c 唯一确定，满足条件的
三角形唯一。
类型三：三角函数的性质（小题）
例3．（2014理14）设函数 ()sin()(f x A x A ω?ω?=+,,是常数, 00)A ω>,>. 若 ()f x 在区间[]62ππ
,
上具有单调性, 且 2()()()236
f f f πππ
==-, 则 ()f x 的最小正周期为 ＿＿＿＿＿ .
解答: 由 ()f x 在区间 []62ππ
,
上具有单调性, 且 ()()26
f f ππ
=- 知, 函数 ()f x 的对称中心为 (0)3
π
,,
由2()(
)2
3f f π
π= 知, 函数 ()f x 的对称轴为直线 712
x π
=
, 设函数 ()f x 的最小正周期为T , 所以 23
T π
≥,
所以
712
34
T
π
π-=, 解得T π=.
试题分析：（函数的观点，数形结合的思想）
本题考查正弦型函数()sin()ω?=+f x A x 的性质，考查从图形和代数结构分析函数的性质。
()f x 在区间[]62ππ, 上具有单调性 说明半周期226ππ≥-T ，从而23π≥T
函数值2()()23
ππ
=f f 是什么性质决定的呢？可能周期性、
轴对称性或者两者兼有。 由之前周期的分析，得到函数图像712
π
=x 关于直线轴对称；
同样的，两个函数值互为相反数是什么性质决定的呢？可能是中心对称性或者周期加中心对称或者轴对称加中心对称；由之前周期和单调性的分析，我们选择
()()26
f f ππ
=-进行研究，因为这两点在同一单调区间上，能确定是中心对称性，一个对称中心为(
,0)3
π
；
正弦型函数相邻的对称轴和对称中心，水平距离是
4
T
，从而求出周期。 上述分析体现了数与形的统一，从图形和代数两个角度认识三角函数的性质。
除了三角函数性质、三角变换和解三角形；三角函数的概念、三角函数线等也
是高考考查的方向。
例4.（2017理12）在平面直角坐标系xOy 中, 角α与角β均以Ox 为始边, 它们的终边关于y 轴对称. 若1
sin 3
α=
, 则cos()αβ-= ＿＿＿＿＿ .
解答：7
cos()cos cos sin sin 9
αβαβαβ-=+=-
，本题考查三角函数的定义 例5.（2018文7）在平面直角坐标系中, ?
AB , ?CD , ?EF , ·GH 是圆 221x y +=上的四段弧(如图), 点P 在其中一段上, 角α以Ox 为始边, OP 为终边, 若
tan cos sin ααα<<, 则P 所在的圆弧是 ( )
(A)
?AB(B) ?CD(C) ?EF(D) ·GH
解答：C，本题考查单位圆和三角函数线
由上述分析确定三角函数章节教学的重点：
（1）基本概念的理解与落实；（任意角、弧度制、三角函数定义、三角函数线）这些概念是三角函数特有的，有别于其它函数；
（2）按照函数的知识逻辑进行教学；
这种研究方式是所有函数共有的，体现了研究函数的一般方法。
四、教材内容分析（用函数观点统领全章）
本章内容分为四个部分
第一部分是任意角的概念和弧度制（函数两要素中的自变量）
1、用旋转的观点去理解角的概念推广，根据旋转方向的不同和旋转运动的连续性，将角
推广到任意大小，并从旋转的角度赋予了角的加减法的几何意义，有利于学生理解
角的终边位置以及后续诱导公式的推导；+
2，
π
ααπ
-；
2、为了控制变量，将角的始边与x轴非负半轴重合；引出象限角、轴上角等概念；
3、角的度量：引入新的度量方法——弧度制。
第二部分是任意角的三角函数，呈现了三角函数定义、单位圆与三角函数线，同角三角函数的基本关系式和诱导公式等内容；（函数两要素中的法则以及法则的直观呈现）
1、三角函数的定义：三角函数的对应法则有别于之前的函数（之前的函数有一个明确
的和自变量有代数关系的函数解析式），法则的确定需结合图形，并通过比值来刻画。
sinα=y
r
，cosα=
x
r
，tanα=
y
x
2、单位圆与三角函数线：
单位圆与三角函数线将任意角的三角函数定义图形化，帮助学生直观得到三角函数函数的某些性质（值域、周期性，奇偶性，对称性，最值）等，渗透直观想象的核心素养。关注单位圆与角终边交点的坐标，可以比较三角函数值的大小，利用三角函数线以及旋转、对称可以推出诱导公式，教材充分展示了三角函数线作为学习三角函数这部分知识的工具性。
（3）证明简单的三角恒等式。
在应用（1）中，已知某个角的一个三角函数值，可以求这个角的其他两个三角函数值，解
决这类问题时，要注意这个角所在的象限，如果象限确定，其他函数值有唯一解；如果没有确定象限，则需要确定角所可能的象限，然后再求解，通常会有多解。 4、诱导公式
课本呈现了八组诱导公式，2(),,,,απαπαπα+?∈-+-k k Z
以及
33,
,
,2
2
22
π
π
ππαααα-++- 借助三角函数线与单位圆，根据角的终边之间的关系得到了有关的诱导公式，
新教材在研究角的终边关系时，明确了角的旋转对称这一内容。
更一般的，角α的终边和角β的终边关于角
+2
αβ
的终边所在的直线对称；（类似于中点坐标公式）
诱导公式有以下应用
（1）求任意角的三角函数值；
（2）进行简单的三角代数式的化简；
诱导公式的运用，使学生了解未知到已知，复杂到简单的转化过程，渗透了化归的思想，提高了分析和解决问题，培养学生的核心素养。
第三部分是三角函数的性质与图像，呈现了三角函数的性质和图像，已知三角函数值求角等内容。教材在处理这部分知识时，均是以三角函数线为主要工具，研究正弦、余弦和正切函数的基本性质。课文重点讲解了正弦函数的性质和图像，利用正弦线可以得到正弦函数的值域、周期性、奇偶性、单调性、零点和对称性；在分析性质的基础上，通过描点法得到正弦函数图像，再通过函数图像再认识前面研究的性质。
在处理正弦型函数sin()ω?=+y A x 时，主要利用换元法转化为sin =y x 的性质和图像得以处理。难点是正确理解系数,,ω?A 对图像变换的影响，不能停留在“左加右减”等结论上，应该要从这两个函数的自变量的取值之间的关系及相对应的函数值是否能够相等去思考。 举例：
① 1:sin =F y x 2:sin()3
π
=+
F y x
00:(,)P x y 对应 '00:(,)3
π
-
P x y ；
任意点的变化引起整个图像变换； 图像1F 向左平移
3
π
个单位得到图像2F ② 3:sin 2=F y x 4:sin(2)3
π
=+
F y x
00:(,)P x y 对应 '00:(,)6
π
-
P x y
图像2F 向左平移
6
π
个单位得到图像4F ③1:sin =F y x 3:sin 2=F y x
00:(,)P x y 对应 '0
0:(
,)2
x P y 图像1F 上的每一点，纵坐标不变，横坐标缩小为原来的
1
2
得到图像3F
在部分学习中，可以复习诱导公式，从代数结构再次认识三角函数的性质与图像变换， 周期性、对称性、正余弦函数图像之间的关系，正余切函数图像之间的关系等等。 本部分知识的最后是用三角函数线解决已知三角函数值求角的问题。不难发现，在本部分知识中，三角函数线是一个重要的工具。
第四部分是数学建模活动：周期现象的描述。课文中设计了潮汐现象以及简谐振动和交流电等问题，引导学生重视学科之间的联系，感悟数学与现实之间的关联，学会用数学的眼光观察世界、发现问题，并用数学的方法解决实际问题。
最后：从函数的观点看某些考题
（1）若存在常数0p >，使得函数()f x 满足()()2
p
f px f px =-
，则()f x 的一个正周期为 ；()f px 的一个正周期为 .
（2）(08北京理文) 已知函数2
()cos f x x x =-, 对于[,]22
ππ
-
上的任意12,,x x 有如下
条件:①12x x > ②22
12x x > ③12||x x >, 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序
号是
（3）若角α、β是锐角三角形的两个内角，则 （ ）
A.βαsin cos >且αβsin cos >
B.βαsin cos <且αβsin cos >
C.βαsin cos >且αβsin cos <
D.βαsin cos <且αβsin cos < （4）[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝3sin πx
m
，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2，则m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)
B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
（5）（18海淀二模理15改）如图, 已知函数
()sin()(00)2
f x A x A π
ωφω?=+>,>,||<
在一个周期内的图象
经过(0)6B π
,, 2(0)3C π,, 5(2)12
D π
,三点，
写出A , ω, ?的值.
（6）（19海淀期中理5改）角θ的终边经过点(,)P y 4，且sin θ=-3
5
，则tan θ=
（7）（19海淀一模理2）若α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）
（A ）π
sin()2α+ （B ）π
cos()2
α+ （C ）sin(π)α+ （D ）cos(π)α+
（8）（19海淀二模理7）已知函数()sin f x x ω=（0ω>），则“函数()f x 的图象经过点π(,1)4
”
是“函数()f x 的图象经过点π(,0)2
”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（9）已知43sin ,cos 55αα=
=，求sin ,cos ,tan 222
ααα
. 半角公式：1cos sin
=2
2α
α-±
；1cos cos =22αα+±；1cos tan =21cos αα
α-±+ 学生的过程：5sin
=2
5α
±
，25cos =25α±，1tan =22
α±（取舍）
给定α的终边（不在轴线上），sin
2
α
、cos
2
α
两解，而tan
2
α
一解；原因是什么？
（10）.已知4
tan
=
2
3
α
，求cos ,sin ,tan ααα. 学生可能方法：先二倍角求22tan
242tan 71tan 2
α
αα=
=--； 再用同角三角函数关系求出24sin =25α±，7
cos =25
α±（取舍）
万能公式：22tan 2sin 1+tan 2ααα=
；221tan 2cos 1tan 2ααα-=+；2
2tan
2tan 1tan 2
ααα=- 给定
2
α
的正切值（不是终边），sin ,cos ,tan ααα唯一确定；原因是什么？ （请不要回答是因为万能公式，而应该从函数的角度进行解释）
答案：（1）
122，p ；
（2）②；（3）B ；（4）C ；（5）2,2,3A πω??
?===- ??
?； （6）-3
4
；（7）D ；（8）A ；
教学设计 教学目标 (一)教学知识点 1．经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和 与现实生活的联系． 2．能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的 倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算． (二)能力训练要求 1．经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有 条理地，清晰地阐述自己的观点． 2．体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问 题和解决问题，提高解决实际问题的能力． 3．体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神． (三)情感与价值观要求 1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲． 2．形成实事求是的态度以及独立思考的习惯． 教学重点 1．从现实情境中探索直角三角形的边角关系． 2．理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的 联系． 教学难点 理解正切的意义，并用它来表示两边的比．
教学方法 引导—探索法． 教具准备 FLASH 演示 教学过程 Ⅰ．创设问题情境，引入新课 用 FLASH 课件动画演示本章的章头图，提出问题，问题从左到右 分层次出现： [问题 1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他 的边和角吗？ [问题 2]随着改革开放的深入，上海的城市建设正日新月异地发 展，幢幢大楼拔地而起．70 年代位于南京西路的国际饭店还一直是 上海最高的大厦，但经过多少年的城市发展，“上海最高大厦”的桂 冠早已被其他高楼取代，你们知道目前上海最高的大厦叫什么名字吗？ 你能应用数学知识和适当的途径得到金茂大厦的实际高度吗？ 通过本章的学习，相信大家一定能够解决． 这节课，我们就先从梯子的倾斜程度谈起．(板书课题§1．1．1 从梯子的倾斜程度谈起)． Ⅱ．讲授新课 用多媒体演示如下内容：
25.2锐角三角函数（2） 教学目标 ：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 教学重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 教学难点： 进一步体会三角函数的意义. 教学方法：自主探索法。 教学准备：一副三角尺、 多媒体演示。 教学过程： 一：.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法 ) 提示：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 问题1：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，你能求出30°角的三个三角函数值吗? 二.新知学习 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝ 2 1. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ， 所以sin30°＝ 2 12=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝ 2 323=a a . tan30°= 333 13==a a
初中数学《锐角三角函数的应用》教案 31.3锐角三角函数的应用 教学目标 1.能够把数学问题转化成数学问题。 2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力。过程与方法 经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。 情感态度与价值观 积极参与探索活动，并在探索过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。 重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。 难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。 教学过程 一、问题引入，了解仰角俯角的概念。 提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。 提问：1.俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2.这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？ 教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角 的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式。 二、测量物体的高度或宽度问题. 1.提出老问题，寻找新方法 我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢。 利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？ 学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型。 2.运用新方法，解决新问题. ⑴从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。 ⑵从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。 ⑶要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB ＝45，ABC＝60，求河宽（精确到0.1米）。 在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．某地是国家AAAA 级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ，想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40，从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60，5CB m ＝, 2.7CD m ＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m ．于是，他们很快就算出了AB 的长．你也算算？（结果精确到0.1m ．参考数据：400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈，，.2 1.41,3 1.73≈≈） 【答案】AB 的长约为0.6m ． 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ，根据正弦的定义求出BF ，利用余弦的定义求出CF ，利用正切的定义求出DE ，结合图形计算即可． 【详解】 解：作BF CE ⊥于F ， 在Rt BFC ?中， 3.20BF BC sin BCF ?∠≈＝， 3.85CF BC cos BCF ?∠≈＝， 在Rt ADE ?E 中，3 1.73tan 3 AB DE ADE ===≈∠， 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+＝﹣＝，＝＝﹣＝ 由勾股定理得，22BH AH 0.6(m)AB =+≈， 答：AB 的长约为0.6m ．
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（223. 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得33，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ?=6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30 CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴33∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC='A E DE 503235
特殊角的三角函数值 (第3课时) 复习引入 教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，?利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值． 探究新知 （一）特殊值的三角函数 学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结． 30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：
教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2， 2， 分子按角度增加分别为．对于正切，60?度的正切 ，即是下 一个角的正切值． 要求学生记住上述特殊角的三角函数值． 教师强调：（sin60°）2用sin 260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）． （二）特殊角三角函数的应用 1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45?? -tan45°． 教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书． 解：（1）cos 260°+sin 260°=（12 ）2+2=1 （2）cos 45sin 45?? -tan45° 2．师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意： （1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90， ，，求∠A 的度数． （2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB a ．
教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数． 解：（1）在课本图28．1-9（1）中， ∵sinA=3 6 BC AB = 2， ∴∠A=45°． （2）在课本图28．1-9（2）中， ∵tana=3 AO OB OB =3 ∴a=60°． 教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则 sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB． 随堂练习 学生做课本第80页练习第1、2题． 课时总结 1、学生要牢记下表： 30 ° 45 ° 60 ° sinα1 2 2 2 3 2
锐角三角函数： 知识点一：锐角三角函数的定义： 一、 锐角三角函数定义： 在Rt △ABC 中，∠C=900, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ， 则∠A 的正弦可表示为：sinA= ， ∠A 的余弦可表示为cosA= ∠A 的正切：tanA= ，它们弦称为∠A 的锐角三角函数 【特别提醒：1、sinA 、∠cosA 、tanA 表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关 2、取值范围
1．已知Rt △ABC 中，,12,43 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3 sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4. 已知A ∠是锐角，17 8 sin =A ，求A cos ，A tan 的值 对应训练： （西城北）3．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB =5，则tan A 的值为 A ． 55 B ．255 C ．12 D ．2 (房山)5．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ．
特殊角的三角函数值的巧记 特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背． 那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法 根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法． 首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系． 对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、 斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意 一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点． 在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三 角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义． 二、列表法：
说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法 口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号， 不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ． 例1.tan30°的值等于（ ）
今天我说课的课题是人教版初中数学新教材九年级数学下册 28章《锐角三角函数》。对于本章，我将从教材内容，学情分析、教学目标，教学重点、难点，教学方法和学法等几个方面加以说明。 一、教材内容分析 本章教材分为二个小节：第一节包括锐角三角函数的概念(主要是正弦、余弦、正切的概念)，特殊角三角函数值以及用计算器求已知锐角角函数值或已知三角函数值求锐角；第二节包括解直角三角形。这两大块是紧密联系的，锐角三角函数是角直角三角形的基础，为解直角三角形提供了有效的工具。解直角三角形又为锐角三角函 数提供了与实际紧密联系的沃土，为锐角三角函数提供了与实际联 系的机会。锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用，如测量、建筑、物理学中，人们常常遇到距离、角度、高度的计算，这 些都归结到直角三角形中边角的关系问题，而这些关系又恰好是锐 角三角函数中的正弦、余弦和正切的关系。纵观江西省近年来的中考，特殊角三角函数的运算以及解直角三角形的应用也是考查的重点，题目设计贴近于实际生活。因此，是初中数学的教学的重要内 容之一。同时，又为学生进入高中后学习任意角三角函数打下基础。 二、学情分析 九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了一定的数学探 究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握直角三角形中各 边和各角的关系（如直角三角形中的勾股定理，两锐角互余等知识），能灵活运用相似图形的性质及判定方法解决问题，有一定的 推理证明能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了坚实基础。 心理上九年级学生的逻辑思维已从经验型逐步向理论型发展，观察 能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
三、教学目标 根据教学内容和学情确定本章的教学目标 （一）知识与技能目标： 1、通过实例使学生理解并认识锐角三角函数的概念，符号的含义，掌握锐角三角函数正弦、余弦、正切的表示。 2、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，那么它的三角函数值也都固定这一事实。 3、掌握特殊角30°、45°、60°正弦、余弦、正切值。 4、能够正确使用计算器，由已知角求函数值求或由已知函数值求锐角。 5、使学生学会根据定义求锐角的三角函数。 6、了解坡度问题中坡比、铅直高度、水平距离等有关的概念，用坡度解决实际问题。 （二）情感、态度与价值观目标： 学生要得出直角三角形中边与角之间的关系，需要学生进行观察、思考、交流，合作、探究进一步体会数学知识之间的联系，充分感受数学中数形结合的数学思想，体会锐角三角函数的意义，提高应用数学和合作交流的能力。 通过主动探究，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。 四、教学重点、难点、关键
课题：锐角三角函数之间的关系和特殊角 学习目标： 1、熟练掌握正弦和余弦、正切的关系和互化. 2、了解同一锐角三角函数间的平方关系、商数关系 3、掌握30度、45度、60度的三角函数值，能够用它们进行计算。 自主学习 一.正弦和余弦的关系 1.任意锐角的正弦值都等于它的余角的 值.cos sin =α 2.任意锐角的余弦值都等于它的余角的 值.sin cos =α 二..平方关系：1.推导：=+αα22cos sin 1 2、已知α为锐角，且5 3sin = α，则αcos = . 3、已知α为锐角，且13 12cos =α，则=αsin . 三.商数关系：1.推导：αα αtan cos sin = 2、已知α为锐角，且5 3sin =α，那么=αtan . 3、已知α为锐角，且13 5cos =α，那么=αtan . 4、已知α为锐角，且2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+= . 四、特殊角：根据直角三角形边角关系把108页表格填写完整。 合作再探 一、填空（正弦和余弦、正切和余切互化） ①sin48°= . ②cos63°= .sin54°= . ○ 4cos72°= . 2. 已知α为锐角，且sin α= 5 4,那么cos α= . 3. 已知α为锐角，且cos α=13 12,则tan α= . 4. 已知α为锐角，且tan α=3,则ααααcos sin cos sin +-= . 5、 若sinA=cos 245°,则∠A= 。 6、 △ABC 中，有01sin 22 3cos =-+-B A ,那么∠C= 。 7、若∠A=60°，则化简=-2)sin 1(A . 8、Rt ?ABC 中，∠C=?90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
锐角三角函数【知识梳理】 【思想方法】 1. 常用解题方法——设k法 2. 常用基本图形——双直角 【例题精讲】 例题1.在△ABC中，∠C=90°． （1）若cosA=1 2 ，则tanB=______;（?2）?若cosA= 4 5 ，则tanB=______． 例题2.（1）已知：cosα=2 3 ，则锐角α的取值范围是（） A．0°<α<30° B．45°<α<60° C．30°<α<45° D．60°<α<90° （2）当45°<θ<90°时，下列各式中正确的是（） A．tanθ>cosθ>sinθ B．sinθ>cosθ>tanθ C．tanθ>sinθ>cosθ D．sinθ>tanθ>cosθ 例题3.（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠CAB=60°，?CD=3，BD=23，求AC，AB的长． 例题4.“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？ 例题5.某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，?求AD、BC的长．
【当堂检测】 1.若∠A 是锐角，且cosA=sinA ，则∠A 的度数是（ ） A.300 B.450 C.600 D.不能确定 2.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=450，∠C=1200，AB=8，则CD 的长为（ ） A.638 B.64 C.328 D.24 3.在Rt △ABC 中，∠C=900，AB=2AC ，在BC 上取一点D ，使AC=CD ，则CD ：BD=（ ） A.213+ B.13- C.2 3 D.不能确定 4.在Rt △ABC 中，∠C=900，∠A=300，b=310，则a= ，c= ； 5.已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=34， 则底角∠B= ； 6.若∠A 是锐角，且cosA=5 3，则cos （900-A ）= ； 7.在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1，sinA= 23，求tanA ，BC ． 8.在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，AB=22，AC=BC=52，求AD 的长． 9. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便两地师生交往，学校准备在相距2km 的A 、B 两地之间修一条笔直的公路，经测量在A 地北偏东600方向，B 地北偏西450方向的C 处有一个半径为0.7km 的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ B A D C A B C D C A B 第2题图 第8题图 第9题图
锐角三角函数与特殊角 一、选择题 1. （2014?四川巴中，第8题3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A．B．C．D． 考点：锐角三角函数． 分析：根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB 为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函 数的定义可求出tan∠B． 解答：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x， 故tan∠B==．故选D． 点评：本题考查了互余两角三角函数的关系，属于基础题，解题的关键是掌握三角函数的定义和勾股定理的运用． 2. （2014?山东威海，第8题3分）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（） A．B．C．D． 考点：锐角三角函数的定义；三角形的面积；勾股定理 分析：作AC⊥OB于点C，利用勾股定理求得AC和AB的长，根据正 弦的定义即可求解． 解答：解：作AC⊥OB于点C． 则AC=， AB===2， 则sin∠AOB===． 故选D． 点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的
正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（2014?四川凉山州，第10题，4分）在△ABC中，若|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C 的度数是（） A．45°B．60°C．75°D．105° 考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理 分析：根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数． 解答：解：由题意，得cosA=，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣60°﹣45°=75°． 故选：C． 点评：此题考查了特殊角的三角形函数值及绝对值、偶次方的非负性，属于基础题，关键是熟记一些特殊角的三角形函数值，也要注意运用三角形的内角和定 理． 4．（2014?甘肃兰州,第5题4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，那么cosA 的值等于（） A．B．C．D． 考点：锐角三角函数的定义；勾股定理． 分析：首先运用勾股定理求出斜边的长度，再利用锐角三角函数的定义求解． 解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， ∴AB=． ∴cosA=， 故选：D． 点评：本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边．2．（2014?广州,第3题3分）如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（）． （A）（B）（C）（D） 【考点】正切的定义． 【分析】． 【答案】D
《锐角三角函数》说课稿 武城县滕庄中学苏永坤 一、说教材： 这节课是人教版数学教科书九年级下册第二十八章第一节锐角三角函数第一课时，主要内容是了解锐角三角函数的意义，并会根据已知直角三角形的边长求一个锐角的正弦值。 本节课是学生在学习勾股定理、相似三角形的基础上学习锐角三角函数，教材从一例实际问题引入，把它抽象成数学问题，转化成前面已经所学过的有关直角三角形的性质来解决，从而得出正弦的概念，这节课内容不仅在实际问题中有广泛应用，又为下面学习解直角三角形做基础，因此，在教材中处于十分重要的地位。 二、说教学目标： 在新课改革的背景下的数学应以学生的发展为本，学生的能力培养为主，同时从知识教学、技能训练等方面，根据《新课程》标准对本节课内容的要求及针对学生的一般性认知规律和学生个性品质发展的要求，确定教学目标如下： 知识目标： 1、让生初步了解锐角三角函数的意义。 2、理解在直角三角形中一个锐角的对边的比值就是这个锐角的正弦函数。 3、会根据已知直角三角形的边长，求一个锐角的正弦值。 能力目标： 1、培养学生发现直角三角形中的一个锐角所对应的对边与斜边的比值不变的规律。 2、理解锐角与锐角三角函数之间是一一对应的关系，体会函数的思想和数形结合的思想。 情感目标： 1、通过让生探求正弦函数经历自主探索、合作交流、归纳总结等活动，培养学生探索的科学精神。 2、进一步培养学生一丝不苟、严谨治学的科学态度和强烈地学习欲望。 教学重点： 锐角的正弦函数的定义。 教学难点： 理解直角三角形中一个锐角与其对边及斜边比值的对应关系。 三、学情分析： 本节内容学生已经学习了勾股定理和相似三角形的知识，有了一定的知识基础，认识能力和逻辑思维能力逐步增强，对于学习锐角三角函数有积极的作用，但本节内容是学生新接
锐角三角函数及其应用 命题点1 直角三角形的边角关系 1. (怀化6题4分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是() A. 3 5B. 3 4C. 4 5D. 4 3 第1题图第3题图 2. (怀化10题4分)在Rt△ABC中,∠C＝90°,sin A＝4 5,AC＝6 cm.则BC的长度为() A. 6 cm B. 7 cm C. 8 cm D. 9 cm 3. (株洲15题3分)如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB＝10,EF＝2,那么AH 等于________． 4. (张家界16题3分)如图,在四边形ABCD中,AD＝AB＝BC,连接AC,且∠ACD＝ 30°,tan∠BAC＝23 3,CD＝3,则AC＝________． 第4题图 命题点2 锐角三角函数的实际应用 5. (益阳7题5分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB ＝α,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)() A. h sinα B. h cosα C. h tanα D. h·cosα
第5题图第6题图第7题图 6. (益阳8题3分)小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图,旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等,小明将PB拉到PB′的位置,测得∠PB′C＝α(B′C为水平线),测角仪B′D的高度为1米,则旗杆PA的高度为() A. 1 1－sinα B. 1 1＋sinα C. 1 1－cosα D. 1 1＋cosα 7. (岳阳14题4分)如图,一山坡的坡度为i＝1∶3,小辰从山脚A出发,沿山坡向上走了200米到达点B,则小辰上升了________米． 8. (邵阳22题8分)图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图,灯臂AO长为40 cm,与水平面所形成的夹角∠OAM为75°,由光源O射出的边缘光线OC、OB与水平面所形成的夹角∠OCA、∠OBA分别为90°和30°,求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素,结果精确到0.1 cm,温馨提示：sin75°≈0.97,cos75°≈0.26,3≈1.73)． 第8题图 9. (郴州22题8分)如图所示,C城市在A城市正东方向,现计划在A、C两城市间修建一条高速铁路(即线段AC),经测量,森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上,在线段AC上距A城市120 km的B处测得P在北偏东30°方向上,已知森林保护区是以点P为圆心,100 km为半径的圆形区域,请问计划修建的这条高速铁路是否
锐角三角函数 1 ．把 Rt △ABC 各边的长度都扩大 3 倍得 Rt △A′B′C′，那么锐角 A ， A ′的余弦值的关系为（） A ．cosA=cosA ′B． cosA=3cosA ′C． 3cosA=cosA ′ D ．不能确定 2 ．如图 1 ，已知 P 是射线 OB 上的任意一点， PM ⊥ OA 于 M ，且 PM ：OM= 3 ： 4 ，则 cos α的值等于（） A ．3 B． 4 C． 4 D ． 3 4 3 5 5 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 3 ．在△ABC 中，∠C=90 °，∠A ，∠B，∠C 的对边分别是a， b ， c，则下列各项中正确的是（） A ．a=c ·sin B B． a=c ·cosB C．a=c ·tanB D．以上均不正确 4 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，cosA= 2 ，则 tanB 等于（）3 A ．3 B． 5 C． 2 5 D ． 5 5 3 5 2 5 ．在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，AC=5 ，AB=13 ，则 sinA=______ ， cosA=______ ， ?tanA=_______ ． 6 ．如图 2 ，在△ABC 中，∠C=90 °，BC： AC=1 ： 2 ，则 sinA=_______ ，cosA=______ ， tanB=______ ． 7 ．如图 3 ，在 Rt △ABC 中，∠C=90 °，b=20 ， c=20 2 ，则∠B 的度数为 _______． 8 ．如图 4 ，在△CDE 中，∠E=90 °，DE=6 ， CD=10 ，求∠D 的三个三角函数值． 9 7 ．已知：α是锐角， tan α=，则sinα=_____，cosα=_______． 24 10 ．在 Rt △ABC 中，两边的长分别为 3 和 4 ，求最小角的正弦值为 10 ．如图 5 ，角α的顶点在直角坐标系的原点，一边在x 轴上， ?另一边经过点 P（ 2 ，2 3），求角α的三个三角 函数值． 12 ．如图，在△ ABC 中，∠ABC=90 °，BD ⊥ AC 于 D，∠CBD= α，AB=3 ，?BC=4 ，?求 sin α，cos α，tan α的值． 解直角三角形 一、填空题 3 1．已知 cosA=，且∠B=900-∠A，则sinB=__________． 2
《锐角三角函数复习》教学设计
例1、[2013·四川] 如图23－1所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为 ( ) 图23－1 A.12 B.55 C.1010 D.25 5 方法解析：解决与网格有关的三角函数求值题的基 本思路是从所给的图形中找出直角三角形，确定直角三 角形的边长，依据三角函数的定义进行求解． 类型之二 特殊锐角的三角函数值的应用 命题角度：1. 30°、45°、60°的三角函数值； 2. 已知特殊三角函数值，求角度 例2、[2012·济宁] 在△ABC 中，若∠A 、∠B 满 足??????cos A －12＋? ?? ??sin B －222＝0，则∠C ＝________. 类型之三 解直角三角形 命题角度： 1. 利用三角函数解直角三角形； 2. 将斜三角形或不规则图形化归为直角三角形． 例3、路边路灯的灯柱BC 垂直于地面，灯杆BA 的长为2米，灯杆与灯柱BC 成120°，锥形灯罩的轴 线AD 与灯竿AB 垂直，且灯罩轴线AD 正好通过道路 路面的中心线(D 在中心线上)．已知点C 与点D 之间 的距离为12米，求灯柱BC 的高．(结果保留根号) 图23－2 数形结合思想、 分类讨论思想的正确使用一直是学生的难点，正因为是难点，才需多练。错误不可怕，本来教者就已估计有不少同学出错，反正有同学纠错、老师点评，全体同学都有收益。课堂上太顺了，有时不是好事。
物资由A处运往正西方向的B处，经16时的航行到达， 到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台 风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向 移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界） 均会受到影响。 （1）问B处是否会受到影响？ 请说明理由。 （2）为避免受到台风的影响， 该船应在多长时间内卸完货物? 反思 与 提高 教师提问：“通过本节课的学习，有什么收获？” 学生可以自由发挥，只要有收获就行． 学生自己总 结，自己收益，他 人也收益，同学之 间还可以取长补 短，体现学生是学 习的主体，教师只 是一名导演． 《锐角三角函数》学情分析 面临中考的九年级学生的思维活跃，接受能力较强，具备了很高 的数学探究活动经历和应用数学的意识。并且学生已经掌握锐角三角 函数的基础知识，能运用锐角三角函数知识解决问题，有一定的解题 能力，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础。 学生通过本节课的复习，进一步体会体会锐角三角函数的意义， 数学知识之间的联系，感受数形结合思想，一般到特殊思想，转化思 想和建模思想，提高解决问题的能力。
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A ) 513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为( ) A B C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A = 5 12 ，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A= 5 3 ，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ABC 中， 90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长．
第8题图 A D E C B F 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则c o s ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为 3 2 ，2AC =，则s in B 的值是（ ）A ．23 B ．32 C ．34 D ．4 3 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =， AB=8,则tan EFC ∠的值为 ( )Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若 1tan 5 DBA ∠ = ，则AD 的长为( ) A ．2 C ．1 D ．4． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧 圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）A ． 12 B ．2 C ．35 D ．45 5.如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ． 6.（庆阳中考）如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5 A =，则这个菱形的面积= cm 2 ． 7. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A AD = 3 3 16求 ∠B 的度数及边BC 、AB 的长. D A B C