等边三角形年级：初二科目：数学时间：8/3/2007 21:0:17 新ID=5150935
如图所示,已知线段BD上一点C,以BC和CD为边作等边△ABC和等边△CDE,连结AD和BE,分别交CE和AC于点G和F.求证:①△CFG是正三角形;②FG∥BD
证明：（1）∵ΔABC和ΔCDE都是等边三角形
∴AC＝BC EC＝DC ∠ACB＝∠ECD＝60°
∴∠ACD＝∠BCE＝120°
∴ΔACD≌ΔBCE ∴∠CBF＝∠CAG
又∠BCA＝∠ACG＝60°∴ΔBCF≌ΔACG（ASA）
∴CG＝CF
又∠ACG＝60°∴ΔCFG是等边三角形
（2）∵ΔCFG是等边三角形∴∠CFG＝60°＝∠ACB
∴FG∥BD
等腰三角形（基础）知识讲解 【学习目标】 1．了解等腰三角形、等边三角形的有关概念, 掌握等腰三角形的轴对称性； 2. 掌握等腰三角形、等边三角形的性质，会利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图. 3．理解并掌握等腰三角形、等边三角形的判定方法及其证明过程．通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 4. 理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题. 【要点梳理】 要点一、等腰三角形的定义 １.等腰三角形 有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示,在△ABC中,AB＝AＣ,△AＢＣ是等腰三角形，其中AB、ＡC为腰,BＣ为底边,∠Ａ是顶角，∠B、∠Ｃ是底角． 2.等腰三角形的作法 已知线段a，b(如图）.用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使ＡB=AＣ=ｂ,BC=ａ． 作法：１．作线段BＣ=a; 2.分别以B,C为圆心,以b为半径画弧,两弧 相交于点A; 3.连接AB,AC． △ABC为所求作的等腰三角形 3.等腰三角形的对称性 (１)等腰三角形是轴对称图形； （2）∠B＝∠C； （3)BD=ＣD，AD为底边上的中线.
（4)∠ＡDB＝∠ADＣ=90°，AD为底边上的高线. 结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线)所在的直线是它的对称轴． 4.等边三角形 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴,每个角的平分线(底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴. 要点诠释:（1）等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角），但顶角可为钝 角(或直角)．∠Ａ=180°-2∠B,∠B=∠Ｃ=180 2 A ?-∠ . (2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形,等腰三角形不一定是等边三角形. 要点二、等腰三角形的性质 1.等腰三角形的性质 性质1:等腰三角形的两个底角相等,简称“在同一个三角形中，等边对等角”. 推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°. 性质２:等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形中重要线段的性质 等腰三角形的两底角的平分线(两腰上的高、两腰上的中线)相等. 要点诠释:这条性质,还可以推广到一下结论： (1)等腰三角形底边上的高上任一点到两腰的距离相等。 （2）等腰三角形两底边上的中点到两腰的距离相等． (3）等腰三角形两底角平分线，两腰上的中线，两腰上的高的交点到两腰的距离相等,到底边两端上的距离相等. （4）等腰三角形顶点到两腰上的高、中线、角平分线的距离相等. 要点三、等腰三角形的判定定理 １.等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 要点诠释:(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆.判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系. (２)不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”,因为还未判定它是一个等腰三角形. ２.等边三角形的判定定理 三个角相等的三角形是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3. 含有3０°角的直角三角形
例谈等边三角形问题的证明 等边三角形是特殊的三角形，它三边相等、三个角均为60?，为我们提供了丰富的自然条件．在竞赛中，以等边三角形为题材的问题很多，在此列举几种证明方法． 一、旋转法 当题目出现有公共顶点的两个等边三角形时，我们常常从旋 转图形中得到解题的途径． 例1 如图1，已知ABC △是等边三角形，E 是AC 延长 线上一点，选择一点D ，使得CDE △是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点． 求证：CMN △是等边三角形． 分析：把CAD △绕点C 逆时针旋转60?，便转到了CBE △的位置，相应的中线CM 转到了CN 的位置，所以CM CN =，由于旋转了60?，所以CM 与CN 的夹角为60?，由此可知CMN △是等边三角形． 简证：易证ACD BCE ∠=∠，从而CAD CBE △≌△，于是可得 CAD CBE AD BE ∠=∠=，，再由M N ，分别是AD BE ，的中点，可得AM BN =，所以CAM CBN △≌△，所以CM CN ACM BCN =∠=∠，，同时减去BCM ∠，便得到60MCN ACB ∠=∠=?，所以CMN △是等边三角形． 说明：用旋转法分析的问题，一般在证明时用SAS 证明． 二、直角三角形法 由于60?的余角是30?，所以问题中出现直角时，往往利用“在直角三角形中，30?的角所对的直角边等于斜边的一半”来解决问题． 例 2 如图2，ABC △中，AB BC CA AE CD ===，， AD BE ，相交于P ，BQ AD ⊥于Q ． 求证：2BP PQ =． 分析：由图形可知，欲证2BP PQ =，只须证明30PBQ ∠=?，也就是60BPQ ∠=?，而BPQ ABP BAP ∠=∠+∠，只要证明 ABP CAD ∠=∠即可．可以利用SAS 判断ABE CAD △≌△．问题得证． 证明（略） 三、拼接法 在证明线段和差问题时，往往采用拼接的方法，利用等边 三角形的特点进行证明． 例3 如图3， ABC △是边长为1的等边三角形，BDC △是顶角120BDC ∠=?的等腰三角形，以D 为顶点做一个角A 图1 图2 E B C D M N A 图3
《等边三角形》练习题 1．（2012?深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△ 2．（2012?凉山州）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠ 2 5．（2010?随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q =S1=2S2 cm
9．（2006?天津）如图，A、C、B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③ 10．（2006?南宁）如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是 12．（2006?曲靖）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰 DF=DE，则∠E=_________度． 14．（2008?日照）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60度．恒成立的结论有_________．（把你认为正确的序号都填上） 15．（2005?扬州）如图，将边长为4的等边△ABC，沿x轴向左平移2个单位后，得到△A′B′C′，则点A′的坐标为_________． 16．（2004?茂名）如图，正三角形A1B1C1的边长为1，△A1B1C1的三条中位线组成△A2B2C2，△A2B2C2的三条中线又组成△A3B3C3，…，如此类推，得到△A n B n C n．则： （1）△A3B3C3的边长a3=_________； （2）△A n B n C n的边长a n=_________（其中n为正整数）． 17．（2006?嘉峪关）△ABC为等边三角形， D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且 AE=CD=BF，则△DEF为_________三角形．
F E D C B A F E D C B A 1：如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点，且DE ⊥BC 、EF ⊥AC 、FD ⊥AB ，则△DEF 是等边三角形.请说明理由. 变式1：已知△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.试说明△DEF 是等边三角形. 变式2：△ABC 为正三角形,∠1=∠2=∠3，△DEF 为等边三角形吗？说明理由.
A C B A ′ C ′ B ′ https://www.doczj.com/doc/345404285.html,.c B A D C E 变式3：如图,△ABC 是等边三角形.分别延长CA 、AB 、 BC 到A ′、B ′、C ′，使AA ′=BB ′=CC ′，则△A ′B ′C ′是等边三角形.请说明理由. 2：如图所示，已知：AB=BC=AC ，CD=DE=EC ，求证：AD=BE ． 1：如图，等边△ABD 和等边△CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF ＝a ． (1)E 、F 移动时，△BEF 的形状如何? (2)当E 、F 运动到什么位置时，△BEF 面积的最
小？ 2：如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形，直线AN 、MC 交于点E ，直线BM 、CN 交于点F ． (1)求证：AN=BM ； (2)求证：△CEF 是等边三角形； 1.如图，已知正方形ABCD ，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接EF ，若BE =DF ，点P 是EF 的中点． (1) 求证：AE = AF ； (2) 若75AEB ∠=?, 求CPD ∠的度数． 2． 如图，正方形ABCD 中，P 在对角线BD 上，E 在CB 的延长线上，且PE=PC ，过点P 作PF ⊥AE 于F ，直线PF 分别交AB 、CD 于G 、H ， (1)求证： DH =AG+BE ； P G F D A
旋转的证明与计算 模块一：旋转应用之等边旋转 类型二：正方形中的旋转 例题1.正方形ABCD 内一点到三顶点距离分别是1，2，3，则正方形的面积等于 考点：旋转的性质；正方形的性质 分析：把△PAB 绕A 点逆时针旋转90°得△EAD ，把△CPB 绕C 点顺时针旋转90°得△CFD ，连PE ，PF ，则∠1=∠2，∠3=∠4，得到∠2+∠4=90°，∠EDF=180°，即E ，D ，F 共线，且ED=PB=2，DF=PB=2，△APE ，△CPF 均为等腰直角三角形，所以2 11121=??=?APE S ；2 93321=??=?CPF S ，再在△PEF 中，PE=2，PF=23，EF=4，利用勾股定理的逆定理得到△PEF 为直角三角形，∠PEF=90°，则22422 121=??=??=?EF EP S PEF 最后利用S 正方形 A B C D =S 五边形A P C F E =S △P E F +S △A P E +S △C P F ，即可得到答案．
跟踪训练： 2，PC=4，则∠APC的大小是多1、如图点P是等边三角形ABC内部一点，且PA=2，PB=3 少度？ 考点：旋转的性质；勾股定理的逆定理 分析：由于△ABC为等边三角形，所以将△ABP绕A点逆时针旋转 60°得△ACP′，根据旋转的性质得到AB与AC重合，∠PAP′=60°， 2 AP′=AP=2，P′C=PB=3 ，则△APP′是等边三角形，得到PP′=2；在△PPC中，利用勾股定理的逆定理可得到∠PP′C=90°，同时得到∠P′CP=30°，因此∠P′PC=60°，即可得APC=∠APP′+∠P′PC． 2、把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形板ABC 固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图2示）． （1）当0°＜α＜60°时，求AM?CN的值； （2）当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域； （3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积．
八年级数学三角形的证明知识点复习 八年级下册数学《三角形的证明》知识点复习 第一节. 等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等等边对等角. 2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形等角对等边. 3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合即“三 线合一”. 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°;等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：1有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形; 2三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方. 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”. 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节. 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就 是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线： 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N;作直线MN就是线段AB的垂直平分线。 第四节. 角平分线 1. 角平分线的性质及判定定理 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等; 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上. 2. 三角形三条角平分线的性质定理 性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.这个点 叫内心 通用篇 1.真命题与假命题 真命题：真命题就是正确的命题，即如果命题的条件成立，那么结论一定成立。 假命题：条件和结果相矛盾的命题是假命题， 命题与逆命题 命题包括已知和结论两部分;逆命题是将原命题的已知和结论交换; 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这 两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。一个命题是真命题，它 的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。这两个定理称为互逆定理。 2、证明命题的一般步骤: 1理解题意:分清命题的条件已知,结论求证; 2根据题意,画出图形;
1：如图，△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则△DEF是等边三角形.请说明理由. 变式1：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF.试说明△DEF是等边三角形. 变式2：△ABC为正三角形,∠1=∠2=∠3，△DEF为等边三角形吗？说明理由.
A C B A ′ C ′ B ′ 变式3：如图,△ABC 是等边三角形.分别延长CA 、AB 、 BC 到A ′、B ′、C ′，使AA ′=BB ′=CC ′，则△A ′B ′C ′是等边三角形.请说明理由. 2：如图所示，已知：AB=BC=AC ，CD=DE=EC ，求证：AD=BE ． 1：如图，等边△ABD 和等边△CBD 的长均为a ，现把它们拼合起来，E 是AD 上异于A 、D 两点的一动点，F 是CD 上一动点，满足AE+CF ＝a ． (1)E 、F 移动时，△BEF 的形状如何? (2)当E 、F 运动到什么位 置时，△BEF 面积的最 小？
2：如图，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F． (1)求证：AN=BM； (2)求证：△CEF是等边三角形； 1.如图，已知正方形ABCD，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接EF，若BE=DF，点P是EF的中点． (1) 求证：AE = AF； (2) 若75 ∠的度数． ∠=?, 求CPD AEB 2．如图，正方形ABCD中，P在对角线BD上，E在CB的延长线上，且PE=PC，过点P作PF⊥A E于F，直线PF分别交AB、CD于G、H， (1)求证： DH =AG+BE； (2)若BE=1，AB=3，求PE的长． 3．如图1，菱形ABCD中，点E、F分别为AB、AD的中点，连接CE、
如图，等边三角形ABC 和等边三角形DEC ，CE 和AC 重合，CE=2 3AB, (1)求证：AD=BE ； (2)若CE 绕点C 顺时针旋转30度，连BD 交AC 于点G ，取AB 的中点F 连FG ，求证：BE=2FG ； (3)在(2)的条件下AB=2，则AG= ______．（直接写出结果） 在等边△ABC 中，D 、E 分别在AC 、BC 上，且AD=CE=nAC ，连AE 、BD 相交于P ，过B 作BQ ⊥AE 于点Q ，连CP. (1)∠BPQ=______, =____ (2)若BP ⊥CP ，求； (3)当n=_____时，BP ⊥CP? 已知等边△ABC 和等边△ADE 摆放如图１，点D 、E 分别在边AB ，AC 上，以AB ，AE 为边作平D B D B D B BP PQ BP AP B
行四边形ABFE,连接CF，FD，DC. 图1 （１）证明△CFD 为等边三角形； （２）将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，如图２，其它条件不变，证明△CFD为等边三角形. 图2 例2.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，∠EFB=60°，DC=EF．（1）求证：四边形EFCD是平行四边形； （2）若BF=EF，求证：AE=AD． 【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°。 ∵∠EFB=60°，∴∠ABC=∠EFB。∴EF∥DC（内错角相等，两直线平行）。 ∵DC=EF，∴四边形EFCD是平行四边形。
（2）连接BE。 ∵BF=EF，∠EFB=60°，∴△EFB是等边三角形。 ∴EB=EF，∠EBF=60°。 ∵DC=EF，∴EB=DC。 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AB=AC。 ∴∠EBF=∠ACB。∴△AEB≌△ADC（SAS）。∴AE=AD。 【考点】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，。【分析】（1）由△ABC是等边三角形得到∠B=60°，而∠EFB=60°，由此可以证明EF∥DC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形； （2）如图，连接BE，由BF=EF，∠EFB=60°可以推出△EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，∠EBF=60°，而DC=EF，由此得到EB=DC，又△ABC是等边三角形，所以得到∠ACB=60°，AB=AC，由SAS即可证明△AEB≌△ADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD。 3.如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为【】 不确定 例3.如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC 的边长为4，AE=2，则BD的长为【】
等边三角形的判定 教学内容：人教版初中数学九年级下册42至43页内容。 教学目标：1.通过探索与交流得出三角形相似的判定定理。(sss) 2.会用这一判定定理进行相关的计算和证明。 教学重点：会用这一判定定理进行相关的计算和证明。 教学难点：判定定理的证明。 教学过程： 一、忆一忆 1、怎样判定两个三角形相似？ 2、判定三角形全等的方法有哪些？ 二、猜一猜 你能类比sss判定三角形全等的方法大胆的来猜想两个三角形的三边满足什么样的条件，这两个三角形就相似吗？以此引入课题，出示学习目标。 三、议一议 怎样验证你刚才的猜想是否正确？（小组内交流） 四、画一画量一量、比一比 1.任意画△ABC，再画△A’B’C’，使△A’B’C’的各边长是△ABC各边长的k倍(任确定一个倍数)， 2.比较两个三角形的对应角，你有什么发现?
3.这两个三角形相似吗？为什么？ 例如：画一个三角形使边长为：2cm、3cm、4cm ，再画一个三角形，使它的各边长都是这个三角形各边长的2或3倍（三分钟后交流验证的结果）是最后总结:刚才我们是通过画图、测量来验证的，由于画图和测量会出现误差，因此还不具有说服力，最具有说服力的验证方法是有根有据的推理和证明，那么如何来证明这个命题是否正确呢？五．证一证 出示自学指导 认真阅读课本43页的证明过程,思考以下问题: (1)证明时是怎样添加辅助线的？ (2)为什么这样添加？ 总结归纳： （1）在△A’B’C’上构造一个三角形，确保它与大三角形相似，再证它与小三角形全等。即“构造相似，证明全等” （2）这里所作的△A’DE是证明的中介，它把△ABC与△A’B’C’联系起来． 自己在导学卡上完成证明过程，指定一名同学板演。 （3）指名回答几何语言。 六、练一练 1. 根据下列条件判断△ABC与以D、E、F为顶点的两个三角形是否相似。 (1)AB=3，BC=4，AC=6；
三角形的证明 1、等腰三角形 （1）定义：有两条的三角形是等腰三角形。 （2）性质：①等腰三角形的相等。（“等边对等角”） ②等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。 （3）判定：①定义 ②“” 2、等边三角形 （1）定义：的三角形是等边三角形。 （2）性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质。 （3）判定：①定义 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是等边三角形。 3、直角三角形 (1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 (2)勾股定理及其逆定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（3）“斜边、直角边”或“HL” 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等定理的作用：判定两个直角三角形全等 全等三角形的判断及性质： 1）三边分别相等的两个三角形全等（SSS） 2）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS） 3）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA） 4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS） 5）全等三角形的对应边相等，对应角相等 证明得到与等腰三角形、等边三角形、直角三角形有关的结论 1）等腰三角形的两底角相等
2）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合 3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60° 4）有两角相等的三角形是等腰三角形 5）三个角都相等的三角形是等边三角形 6）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 7）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半 证明的一般步骤：根据题意画出图形；根据条件、结论，结合图形写出已知、求证；经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出推理过程，对假命题的判断，只要举出反例来证明即可。 证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已经具备了哪些条件，一般可按下面的思路进行： 已知两边：找夹角→SAS 找第三边→SSS 已知一边一角：边为角的对边→找任意一角→AAS 边为邻边：找夹角的另一边→SAS 找夹角的另一角→ASA 找边的对角→AAS 已知两角：找夹边→ASA 找另一个角的邻边→AAS 例1：如图：点A、D、B、E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段） 例2：如图，已知∠1＝∠2，则不一定 ．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA
证明等边三角形的方法 证明一个三角形是等边三角形主要有以下几种方法:三边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 下面通过具体的例题来说明这三种判定方法的应用. 例1 如图1，已知等腰△ABC，BA=BC，BD⊥AC，延长BC至E，CE=CD，BD=CE. 求证：△ABC是等边三角形. 分析：根据已知△ABC是等腰三角形，要证明其为等边 三角形，根据有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，所 以只要证明其中的一个内角为30°即可. 证明：∵CE=CE，∴∠CDE=∠CED， ∵BD=ED，∴∠DBE=∠DEB， ∵∠DCB=∠CDE+∠CED=2∠E=2∠DBC，图1 又BD⊥AC，∴∠DCB+∠DCB=90°，∴3∠DBC=90°，∠DBC=30°， ∴∠DCB=60°， ∴△ABC为等边三角形. 例2 如图2，△ABC是等边三角形，DE//BC，分别交AB、AC于点D，E. 求证：△ADE是等边三角形. 分析：根据△ABC是等边三角形可得∠A=∠B=∠C=60°，根据DE//BC可得 ∠ADE=∠B，∠AED=∠C，这样可通三个角都相等的三角形是等边三 角形来证明. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，图2 ∴∠A=∠ADE=∠AED=60°， ∴△ADE是等边三角形. 例3 如图3，△ABC是等边三角形，过它的三个顶点分别作对边的平行线，得
到一个新的三角形△DEF，△DEF是等边三角形吗？你还能找到其他的等边三角形吗？请证明你的结论. 分析：要判断△DEF是不是等边三角形，根据已知条件，只要判断D、F、E三 个角是否都相等.由△ABC是等边三角形，DF//AB可以得到 ∠BAC=∠ACF=60°，∠ABC=∠BCD=60°，同样的方法可以得 到∠FAC=∠EAB=60°，∠ABE=∠DBC=60°，这样可得 ∠E=∠D=∠F=60°，从而可得△DEF是等边三角形，△ACF， △BCD，△EBA都是等边三角形. 解：△DEF是等边三角形. 证明：∵△ABC是等边三角形，图3 ∴∠BAC=∠ABC=∠CBA=60°， ∵AB//DF，∴∠ACF=∠ BAC =60°，∠DCB=∠ABC=60°， 同样的方法根据AC//DE，BC//EF，可得到∠ABE=∠DBC=60°，∠BAE=∠CAF=60°，∴∠E=∠F=∠D=60°， ∴△DEF是等边三角形. 根据三个角都相等的三角形是等边三角形可知△AFC，△CDB，△BEA都是等边三角形.
几道有关等边三角形、正方形的证明计算题 1..P 为等边三角形ABC 内部一点，且P 到三角形的三个顶点的距离分别为3、4、5，如图求∠CPB 的度数． 解：如图（2），以PC 为一边向外作等边三角形PCD ，连结PD ，则∠BCD=∠ACP ， 又∵PC=DC ，AC=BC ，∴△APC ≌△BDC ，∴BD=AP=5，于是△BPD 为直角三角形， ∴∠BPD=90°，∴∠CPB=150°. 2.如图，△BCM 中，∠BMC ＝120°，以BC 为边向三角形外作等边△ABC ，把△ABM 绕着点A 按逆时针方向旋转60°到△CAN 的位置.若BM ＝2，MC ＝ 3. 求：①∠ AMB 的度数；②求AM 的长. 3.如图，△BCM 中，BM=2，CM=3，，以BC 为边向三角形外作等边△ABC ，求AM 的最大值、最小值. 4.已知P 为正△ABC 内一点．求证：无论P 的位置如何，以AP 、BP 、CP 为边都可以构成一个三角形． AM 最大=5 AM 最小=1
5.如图(1)：P 为正方形ABCD 内一点，且PD ∶PC ∶PA=1∶2∶3．试证∠DPC=135°． 证明： 如图（2） 将△BPC 绕C 点顺时针旋转90°，得△DEC ，连结PE ；则有△BPC ≌△DEC ， 可知△CEP 为等腰直角△，故∠CPE=45° PE=22，而DE=PB=3，PD=1 所以DE2=PE2+PD2 所以∠DPE=90° 则∠DPC =∠DPE+∠EPC=90°+45°=135° 6.如图，已知正方形ABCD ，BE=BD ，CE ‖BD ，BE 与CD 交于点F ；求证：DE=DF 。 证明：过点E 作EH ⊥BD 于H ， 作EO ⊥BD 于O ∵正方形ABCD ∴∠BDC ＝∠DBC ＝45° ∠COD ＝90° OC ＝21AC ＝2 1 BD ∵CE ∥BD ，EH ⊥BD ∴四边形OCEH 为矩形 ∴EH ＝OC ∴EH ＝ 21BD ∵BE ＝BD ∴EH ＝2 1 BE ∴∠DBE ＝30° ∴∠BED ＝∠BDE ＝2 1 （180°-∠DBE ）＝75° ∵∠DFE ＝∠BDC+∠DBE ＝75°∴∠BED ＝∠DFE ∴DE ＝DF 证明：∵点P 在△ABC 内的任意位置都有 PA+PB ﹥AB PA ﹤AB ∴PA+PB ﹥PA 同理PA+PC ﹥PC PB+PC ﹥PA ∴以AP 、BP 、CP 为边可以构成一个三角形 （三条线段能围成三角形的充要条件是任意两条线段之和大于第三条线段） A B C F H O E D
教学过程设计
等于60°。 等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【例题】如图，已知ABC ?、DCE ?均为等边三角形，且B 、C 、E 在一条直线上，连结BD 、AE 分别交AC 、DC 于F 、G . (1) 求证：AE =BD ； (2) 求证：CF =CG ； (3)连结FG ，求证：CFG ? 为等边三角形. 【分析】（1）由于等边三角形各边都相等，各角都是60°，不难证明BCD ACE ???，所以AE ＝BD ； （2）利用（1）中的全等，不难证明BCF ACG ???，所以CF =CG ； （3）因CFG ?为等腰三角形，只须证其有60°角。 【点拨】本题条件中，即使B 、C 、E 不在一条直线上，所证线段依然相等，只是CFG ?为一般等腰三角形，请同学们自己验证。 三、当堂训练 1. 对于等边三角形，下列说法不成立的是（ ） A ．三条边都相等 B ．每个角都是60° C ．有三条对称轴 D ．两条高互相垂直 2．下列说法中正确的个数是（ ） ①有三条对称轴的三角形是等边三角形； ②三个外角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形； ④腰上的高与底边上的高相等的等腰三角形是等边三角形。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．等腰三角形的腰长为2，顶角与底角相等，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．无法确定 4．若等腰三角形的腰长为2，顶角大于底角，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．6 B ．大于6 C ．小于6 D 无法确定 5．如图，已知等边ABC ?中，BD =C E ，AD 与BE 交于点P ，求∠APE 的度数. 教师给出性质、判 定的准确描述，并板书性质、判定。 （1）、（2）教师引导学生根据图形选择恰当的方法证明两条线段相等。（3）教师引导学生选择恰当的判定方法证明等边三角形。 学生相互交流、相互讨论解决问题。 学生独立思考，自己解决问题。 学生独立思考，自己解决问题。 第3、4题学生画图、比较，体会前后图形底边的变化，然后选择答案。 学生先独立思考，在相互交流。 教师引导学生把外角∠APE 转化。 巩固等边三角形性质与判定。培养学生合作意识及分析问题、解决问题的能力。 考察学生对等边三角形性质的掌握。 考察学生对等边三角形判定的掌握。 考察学生对等边三角形判定的掌握，培养学生的动手能力。 考察学生对等边三角形性质的掌握，体会数学中转化的思想。