第九章多元函数微分法及其应用
一、基本要求及重点、难点
1. 基本要求
(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件
和充分条件。
(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。
(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。
(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉
格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
2. 重点及难点
（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。
（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。
二、内容概述
多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。
1.多元函数的极限和连续
(1)基本概念
1)点集和区域。
2)多元函数的定义、定义域。
3)二元函数的极限、连续。
(2)基本定理
1)多元初等函数在其定义域内是连续的。
2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值
M和最小值m之间的任何值。
2.多元函数微分法
(1)基本概念
偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。 (2) 计算方法
1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数
x x x
z =??，就是一元函数
),(0y x f z =
在0x x =处的导数；对y 的偏导数
x x x
z =??（同理）。
2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy y
z
dx x z dz ??+??=
3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同
条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。
A. 设),(v u f z =，)(),(t v t u ψ?==，则全导数dt
dv
v z dt du u z dt dz ??+
??=。 B. 设),(v u f z =，),(),,(y x v y x u ψ?==
则：
x v v z x u u z x z ????+
????=??，y
v
v z y u u z y z ????+????=??。 4) 隐函数求导法则：
A. 设函数)(x f y =由隐函数0),(=y x F 确定，则
y
x F F dx dy
-=。 B. 设函数),(y x f z =由隐函数0),,(=z y x F 确定，则
z
x F F dx dz
-=，z
y F F dy dz
-
=。 C. 设函数)(),(x g z x f y ==由隐函数方程组??
?==0
),,(0
),,(z y x G z y x F 确定，从
????
?='+'+='+'+0)()(0
)()(x g G x f G G x g F x f F F z y x
z y x ，求出导数)(),(x g x f ''。 (3) 多元函数连续、可导、可微的关系
(4) 基本定理
1) 可微的必要条件：如果函数),(y x f z =在点),(y x 处可微分，则函数在点
),(y x 处偏导数必定存在，且全微分为y y
z
x x z dz ???+???=
。 2) 可微的充分条件：如果函数),(y x f z =的偏导数
y
z
x z ????,在点),(y x 处连续，则函数在该点必可微，且dy y
z
dx x z dz ??+??=
。 3. 多元函数微分学的应用
(1) 方向导数和梯度
1) 方向导数
A. 定义：ρ
ρ)
,(),(lim
y x f y y x x f -?+?+→，22)()(y x ?+?=ρ
B. 计算方法：βαcos cos y
f x f l f ??+??=?? 2) 梯度
A. 定义：j y
f i x f y x gradf ρ
ρ??+??=
),( B. 函数在一点的梯度grad ),(y x f 是一个向量，它的方向是函数在这点的方
向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值。
3) 方向导数和偏导数的区别和联系
A. 都是多元函数的变化率，方向导数是沿任意指定方向的变化率而偏导数是
沿坐标轴方向（两个方向）的变化率； B. 方向导数是偏导数概念的推广，偏导数并不是某一方向的方向导数。
(3) 极值问题
1) 无条件极值
A. 极值的必要条件：若函数),(y x f 在点),(0
00y x P 处达到极值，且偏
导数都存在，则0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y 。
B. 极值的充分条件：设函数),(y x f 在点),(000y x P 的某个邻域)
(0P U 内有连续的二阶偏导数，且0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，记
),(00y x f A xx =，),(00y x f B xy =，),(00y x f C yy =，则
2) 条件极值及其求法：
A. 定义：函数),(y x f 在条件0),(=y x ?下的极值，称为条件极值。
B. 计算方法：拉格朗日乘数法：
将该问题化为求函数),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=的无条件极值，因此从
?
??
??==+=+0
),(0),(),(0),(),(y x y x y x f y x y x f y y x x ?λ?λ?中求出的),(00y x ，就是函数),(y x f 在约束条件0),(=y x ?下的可能的极值点。
(4) 最值问题
1) 设函数),(y x f 在开区间D 内连续，),(00y x 是D 内唯一的极值点，如果该点
是极大（小）点，则该点是最大（小）点，),(00y x f 为最大（小）值。 2) 设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，则必取到最大值和最小值，将边界上
的最值和D 内的可能极值点进行比较，则最大的为最大值，最小的为最小值。
在实际应用中，只有一个最值，而在讨论的范围内所求的函数只有唯一的一个可能极值
点，则该点就是所求的最值点
三、典型例题分析
1. 多元函数的定义域、极限和连续
1、求定义域
和一元函数的定义域的求法相同，都是化为解不等式，注意求出的定义域是平面区域。
例1：求函数)
1ln(arcsin
222y x x y
y x z --+-=
定义域
解：由平方根内的函数不小于零，分母不为零，对数函数的定义域为正，由反正弦函数的定义域
???
?
?
????≠≤≤-≠-->--≥-0,111101022222x x y y x y x y x 从而
}0,10,|),{(22≠<+<≤≤-=x y x x y x y x D
2、复合函数问题
在求复合函数的问题时，可适当引入中间变量。 例2：求下列复合函数问题
(1) 设2
22),(y x xy y x f +=
，求),1(x
y
f (2) 设x
x y x x y x f ln 1
)1()ln ,(+
=+，求),(y x f 解：（1）由2
22),(v u uv v u f +=
，令x y v u ==,1，则),1(x y
f 222y x xy += （2）令x v y x u ln ,=+=，则v
v
e u y e x -==,，从而：
v v v v e e e u e v u f ln 1)1(),(-+=v
e e u u v v )(-=，所以y e e x x
y x f y y )(),(-=
3、二重极限和连续性
(1) 在一元函数极限中，
0x x →只有三种形式，而在二元函数的重极限中，
),(),(00y x y x →的方式有无穷多种，这是两者的本质区别，不要轻易用求累次极限去
代替求重极限。
(2) 求
),(lim )
,(),(00y x f y x y x →时，可用连续函数的极限值等于函数值，等价无穷小的代换，重要
极限，恒等变换约去零因子，夹逼定理等。
(3) 通常用取不同路径的极限不相等来说明
),(lim )
,(),(00y x f y x y x →不存在。
例3：求下列极限
(1)
2
2)
0,1(),()ln(lim
y
x x e y y x ++→
(2)
xy
e y x y x cos 1)
1ln(lim
2
)1,0(),(-+→ 解：（1）
2
2
)
0,1(),()ln(lim
y
x x e y y x ++→2ln 0
1)11ln()01(=++处连续
，在
（2）xy e y x y x cos 1)
1ln(lim
2
)1,0(),(-+→22)1,0(),()(2
1lim xy y x y x →等价无穷小22lim )1,0(),(==→y
y x
例4: 证明：函数?????=≠+=)0,0(),(,
0)
0,0(),(,),(422y x y x y x xy y x f 分别对x 和y 是连续的，但在原点
函数),(y x f 不连续。
证：当)0,0(),(00≠y x 时，有),(lim ),(lim 0040
02
040220000y x f y x y x y x xy y x f x x x x =+=+=→→， 当)0,0(),(00=y x 时，有)0,0(00
lim
),(lim 2
00
f x x y x f x x x ==+?=→→，所以),(y x f 对变量x 连续，同理对变量y 也连续。
但当点),(y x 沿2
,y x y x ==趋于原点时极限为：
01lim lim 204220=+=+→=→=y y
y x xy y y x y y x ，21lim lim 4440
422022=+=+→=→=y y y y x xy y y x y y x
故在原点函数),(y x f 不连续
2. 多元函数微分法
例5：设z
y
x u )(=，求z y x u u u ,,。
解： z z z x y zx y y x z u 111)(--==，121)()(+--=-=z z
z y y
zx y x y x z u ，)ln()(x y y x u z x =
例6：设xy z tan ln =，求yy xy xx z z z ,,
解：)2csc(2)
tan()
(sec ))(tan()tan(12xy y y xy xy xy xy z x x =='=
， )2cot()2(csc(42xy xy y z xx ?-=；
xy z )2cot()2csc(4)2csc(2xy xy xy xy ?-=；
)2cot()2(csc(42xy xy x z yy ?-=（由y x ,位置的对称性）
。
例7：求y
xy z )1(+=的全微分
121)1()1()1(--+='++=y x y x xy y xy xy y z
由)1ln(ln xy y z +=，两边对y 求导]1)1[ln()1(xy
xy
xy xy z y
y ++
++= 所以：dy xy
xy
xy xy dx xy y dz y y ]1)1[ln()1(])1([1
2++
++++=-
例8：设2
22
),,(z y x
e z y x
f u ++==,y x z sin 2
=,求
x u ??，y
u ?? 解: x
z
z u x f x u ????+??=?? )sin 2(222
22
2
22
y x e z e x z y x
z y x
??+?=++++)sin 21(22
22
y z xe z y x
+=++
y
z z u y f y u ????+??=?? )cos (2222
22
2
22
y x e z e y z y x
z y x
??+?=++++)cos (222
22
y z x y e z y x
+=++
例9：),2(2
2
x
y x f x z =，f 具有二阶连续偏导数，求y x z z , 解：221222f y f x xf z x '-'+=，222
22f xy x
y
f x z y '=?
'?= 3．隐函数、参数方程的偏导数
隐函数求导有公式法和直接法。直接法就是将方程或方程组两边对某一变量求导，此时其它变量是该变量的函数，注意使用多元复合函数的求导法则。 例10：设z
x e
z xy +=+，求
x z ??，y
z ?? 解：令z
x e
z xy z y x F +-+=),,(则1-+--=-=??z xy z xy y F F x z z x ，1
-+=-=??z xy x
F F x z z y
例11：设0),(=z y
z x F ，其中F 具有连续的一阶偏导数，证明z y
z y x z x
=??+??。 证明：z F F x 11?
'=，z F F y 12?'=，)(1
)()(2122221F y F x z
z y F z x F F z '-'-=-?'+-?'= 从而F y F x F z F F x z z x '+''=-=??11，F y F x F z
F F y z
z y '+''=-=??12，所以z y z y x z x =??+??。 4． 多元函数微分学的应用
1、方向导数和梯度
例12：求函数xz yz xy u ++=在点)3,2,1(P 处沿P 点的向径方向的方向导数。
解：在点)3,2,1(P 处 ?
??
??===3
)(4)(5
)(P u P u P u z y x ，14321||222=++=OP ，故向径的方向余弦
为??
??
???===14
/3cos 14/2cos 14/1cos γβα，向径OP 的方向导数为l u ??1422143314241415=++=
例13：求数量场xz y x z y x f ++=2
2
),,(在点),1,0,1(M 的梯度、沿}1,2,2{-=l 的方向导数和M 处最大的方向导数。
解:由???
??===1)(0)(3)(M f M f M f z
y x ,得:k i M gradf +=3)(；
由l 方向的方向余弦??
?
??=-==3
1cos 32cos 2cos γβα，得方向导数：
3
7
3110323=?+-?
=??M l f ； M 处最大的方向导数即为M 点处梯度的模：10)(max
==??M gradf l
f
M
例14：函数r
u 1
=，其中222z y x r ++=，设沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l 的方向导数
0=??l
u
，则l 与r 的关系如何？ 解：
2
2222211z y x x r
r r x u x ++-=?-=??3r x -
=，由对称性3r y y u -=??，3r
z
z u -=?? γβαcos cos cos 333r z r y r x l u ---=??)cos cos cos (13γβαz y x r ++-=)(13l r r
?
??= 由已知0=??l
u 得0=?l r ??，从而r ?
垂直l ?。
2、多元函数微分学在几何上的应用
例15：在曲线??
???===2/3/4/23
4t z t y t x 上求一点),,(000z y x ，使该点的切线垂直于平面1=++z y x ，
并求切线和法平面方程。
解：点),,(000z y x 处的切线的方向向量为),,(t t t z y x T =),,(2
3t t t =，
平面1=++z y x 的法向量为}111{，，=n ?
，
由已知n T ?
||，故1
1123t t t ==，从而1=t ，)2/1,3/1,4/1(),,(000=z y x ， 所以切线方程为
121
131141-=-=-
z y x 法平面方程为0)21(1)31(1)41(1=-?+-?+-?z y x ，即12
13
=++z y x 。
例16：求曲面12
2
2
=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程。
解：令12
22-++=z y x F ，故切平面的法向量为}2,2,2{},,{1z y x F F F n z y x ==ρ
，
平面02=+-z y x 的法向量为}211
{2，，-=n ?
， 由已知21||n n ?
?，故
t z y x ==-=221212，所以所求点为),2
,2(),,(t t
t z y x -=， 又该点在曲面上，则14422
2=++t t t ，解得32±=t ，因此切平面方程为
0)32(2)3221()1()3221(1=?+±?-+?μμ
z y x ，即3
2
32±=+-z y x 。
3、求极值和最值
例17：求279),(3
3
+-+=xy y x y x f 的极值。
解：由?????=-==-=0
930932
2
x y f y x f y x ，求得驻点为)3,3(),0,0( x f A xx 6==，9-==xy f B ，y f C yy 6==
在点)0,0(，02
<-B AC 不是极值点；
在点)3,3(，02
>-B AC ，且0>A ，)3,3(是极小值点， 极小值为02733933)3,3(3
3
=+??-+=f 。
例18：在xOy 面上求一点，使它到0162,0,0=-+==y x y x 三条直线的距离平方和为最小。
解：设所求点为),(y x ，则该点到三条直线的距离平方和为22
2
)162(5
1
-++
+=y x x y z ，由???????=-++=??=-++=??0
)162(5420)162(522y x y y
z y x x x z ，即???=-+=-+03292083y x y x ，解得唯一驻点为)516,58(，由
唯一性，则该点即为所求。
例19：求过点)3/1,1,2(的平面，使它与三个坐标面在第一象限内所围成的立体体积最小。 解：设所求平面与三个坐标面在第一象限内的截距为c b a ,,（其中0,0,0>>>c b a ）
从而围成的立体体积为abc V 61=，平面方程为1=++c
z
b y a x ，故此问题化为求ab
c 在约束条件
131
12=++c
b a 下的条件极值问题， 则拉格朗日函数为)31
12(),,,(c
b a ab
c c b a L ++-=λλ，求c b a ,,的偏导数，并使之为零，
则????????
???=-++=+=+=+0131
12030
02222c
b a
c ab b ac a bc λλλ，解得唯一驻点1,3,6===c b a ，
所以所求平面方程为11
36=++z
y x 。
四、自测题A 及解答
一、选择题 1. 极限=→→x xy
y x sin lim
0（ ）
（A ）不存在
（B ）0 （C ）1
（D ）∞
2. 设函数x
y
y x f arcsin
),(=，则=')1,2(x f （ ） （A ）
4
1 （B ）41
-
（C ）21
（D ）2
1
-
3. 设0),(=--bz y az x ?，则=??+??y
z b x z a （ ） （A ）a
（B ）b （C ）1 （D ）1-
4. 曲面042
=--xyz xz 上点（1，0，2）处切平面方程为（ ）。 （A ）0622=---z y x （B ）0222=++-z y x （C ）0222=+--z y x （D ）0622=-+-z y x
5. 函数2
2z xy u -=点)1,1,2(-处方向导数的最大值为（ ） （A ）62 （B ）4 （C ）2 （D ）6
二、填空题
1. 函数),(y x f z =在点),(y x 处偏导数),(),,(y x f y x f y x 存在，是函数),(y x f 在点
),(y x 处可微的 条件。
2. 设2
2),(y x x
y y x f -=+，则____________),(=y x f 。
3. 设函数y
x
z 2=，则
_________________=??x
z
，_________________=??y z 。 4. 设)(x
y
xyf z =，且)(u f 可导，则=??+??y
z y x z x
5. 设)2sin(y x e
z x
+=-，则
x
z
??在点)4,0(π的值等于 。
6. 设),,(),,,(w v u f xyz xy x f u =有一阶连续偏导数，则_________________=??x
z
。
7. 设),ln(xy x z =，则
________________2=???y
x z
。 8. 函数)ln(2
2
2
z y x u ++=在点)2,2,1(-M 处的梯度=M u grad 。 三、计算题
1. 已知xy z =，求在1.0,1.0,1,1-=?=?==y x y x 处的全增量和全微分。
2. 设2
2
),(y x xy y x f +=-，求),(y x f z =的全微分。
3. 设)()(y x yg x y xf z +=，其中f ，g 是可微函数，求
y
z x z ????,。 4. 设2
sin x xy y z +=求y
x z
???2
5.
)(bz y f az x -=-，求dz 。
四、应用题
1. 求曲线???
????
=-=-=2sin 4cos 1sin t
z t y t t x ，在点)22,1,12(-π
处的切线与法平面方程。 2. 求函数xyz u =在点)2,1,5(沿从点)2,1,5(到点)14,4,9(的方向的方向导数。 3. 求函数)0)((),(≠--=a y x a xy y x f 的极值。
五、证明题
设)sin (sin sin x y F x u -+=，证明
y x x y
u
y x u cos cos cos cos =??+??
自测题A 参考答案
一、选择题
(B)、(A)、(C)、(D)、(A) 二、填空题 1. 必要
2. 解：令?????==+v x y u y x ???
????
+=+=?v uv y v u x 11得211),(u v v v u f +-=，所以211),(x y y y x f +-=
。 3. 解：
122-=??y yx x
z
，x x y z y ln 22=?? 4. 解：12f x y yf x z '-=??，1f y xf y z '+=??，所以z y
z
y x z x 2=??+??。 5. 解：)2cos()2sin(y x e y x e z x
x x +++-=--，1)4
,0(-=π
x
z
6.
yz f y f f x
z
?'+?'+?'=??3211 7. 解：y x z y =
，y
z xy 1=。
8.
}2,2,2{
222222222z y x z z y x y z y x x gradu ++++++=，)9
4
,94,92(-=M
u grad
三、计算题
1. 解：xy y y x x z -?+?+=?))((，01.011)1.01)(1.01(-=?--+=?z
xdy ydx dz +=，0)1.0(1)1.0(1=-?+?=dz 。
2. 解：??
?==-v
xy u y x ，v u xy y x v u f 22)(),(22+=+-=，所以y x y x f 2),(2
+=
所以：dy xdx dy z dx z dz y x 22+=+=。 3. 解：
1
1g f x
y
f x z '+'-=??，11
g y x g f y z '-+'=?? 4.
x xy y x
z 2)cos(2
+=??，
xy xy xy y y x z sin )cos(222-=??? 5. 解：令x az bz y f z y x F -+-=)(),,(，
111,1f b a f F F y z
f b a F F x z z y z x '
-'-
=-=??'-=-=?? 所以：dy f b a f dx f b a dz 1111
'
-'-'-=
四、应用题
1. 解：，由题意可知2π=t ，由???
??==-=)2/cos(2sin cos 1t z t y t
x t t t ，则?
????===2
11t t t z y x 所以}2,1,1{=s ρ
切线：
2
2
21112/1-=
-=-+z y x π 法平面：
0)22(2)1(1)2/1(1=-+-?+-+?z y x π，即：02/42=--++πz y x 。
2. 解：}12,3,4{}214,14,59{=---=l ρ
，131234222=++，
13
12
cos ,133cos ,134cos ===
γβα，因为
γβαcos cos cos z u y u x u l u ??+??+??=?? 所以：
13125133101342)
2,1,5(?+?+?
=??l
u
13
98
=
3.
?????=--==--=0
20
22
2
xy x ax f y xy ay f y x ),0()0,(),3/,3/(),0,0(a a a a ，?为驻点， x f C y x a f B y f A yy xy xx 2,22,2-==--==-==
在点)3/,3/(a a ，当0>a 时0 ；当0A ，27 3a f =极小。 五、证明题 证明：)cos (cos 1x F x u x -'+=，y F u y cos 1'=，故 y x x y u y x u cos cos cos cos =??+??。 五、自测题B 及解答 一、选择题 1. =-+→→1 123lim xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 2. 函数y x z sin sin 1 = 的所有间断点是（ ） （A ）πn y x 2== （B ）),3,2,1(,Λ===n n y x π （C ）),2,1,0(,Λ±±===m m y x π （D ）),2,1,0,,2,1,0(,,ΛΛ±±=±±===m n m y n x ππ 3. 函数),(y x f z =在点),(00y x 处的偏导数),(),,(0000y x f y x f y x 存在，是函数) ,(y x f 在点),(00y x 处连续的（ ）条件 （A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充分必要 （D ）非充分且非必要 4. 已知函数),(),,(),,,(t s t s x y x t f u ψ?==均有一阶连续偏导数，则=??t u （ ） （A ）t y t x t f f f ψ?++ （B ）t y t x f f ψ?+ （C ）t t f f ψ?+ （D ）t t t f f f ψ?++ 5. 设函数),(y x f z =在),(00y x 处取得极小值，则函数),()(0y x f y =?在0y 处（ ） （A ）取得最小值 （B ）取得极大值 （C ）取得极小值 （D ）取得最大值 二、填空题 1. 函数)ln ln(y x z ?=的定义域为 。 2. 设),(y x z 由方程0)ln(22=+-xyz xyz xz 所确定的函数，则_________________=??x z 。 3. 设y x z sin =，则=dz 。 4. 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=，则_______________)1,(='x f x 。 5. 设2 sin y y e z x +=-，则y x z ???2在点),0(π的值为 。 6. xoy 面上的曲线16322=+y x 绕着y 轴旋转一周的曲面在点（1，1，2）处的法线方程 为 。 7. 已知曲面2 24y x z --=上的点M 处的切平面平行于已知平面0532=+--z y x ， 则M 点的坐标是 。 8. 函数y x z 2 =在点（1，2）沿点（2，1）到（1，2）方向上的方向导数为 。 三、计算题 1. 设y x y x z 2) 2(++=，求 y z x z ????,。 2. )()(1 y x y xy f x z ++=?，?,f 具有二阶连续偏导数，求 y x z ???2。 3. 设3 3 ),,(yz x z y x f u ==，其中),(y x z z =由方程033 3 3 =-++xyz z y x 确定，求 )1,0,1(-'x f 。 4. )(),,(),,(),,,(x t t x h y y x g z z y x u φ====，求 dx du 。 5. 已知x e y ty +=，而t 由12 2 2 =-+x t y 确定的x ，y 的函数，求dx dy 。 四、应用题 1. 求椭球面1632 22=++z y x 上点)3,2,1(--处的切平面与xoy 面的夹角的余弦。 2. 设函数2 2 2 ),,(czx byz axy z y x f ++=，若),,(z y x f 在点)1,1,1(-处沿z 轴正方向有 最大增长率18 ，求c b a ,,的值。 3. 求函数221),(y x xy y x f --=在区域{ } 0,0,1),(2 2≥≥≤+=y x y x y x D 上的最大 值。 五、证明题 设),(y x F u =可微，而??sin ,cos r y r x ==，求证2222)()()1()(y u x u u r r u ??+??=??+???。 自测题B 参考答案 一、选择题 (B)、(D)、(D)、(A)、(C) 二、填空题 1. 解：}10,0|),{(}1,0|),{(<<>=y x y x y x y x D 。 2. 解：令)ln(22),,(xyz xyz xz z y x F +-=，则z yx x x yz z F F x z y x 1221 22+ -+ -- =-=??。 3. 解：dy x y x dx x y dy z dx z dz y y y x ???+??=+=-ln cos sin sin 1sin 4. 解：11/21/11)1(1) 1,() 1,(=???? ????--+='x x x y y x y x y f 5. 解：y e z x x sin --= ，y e z x xy cos --=，0|),0(=πxy z 6. 解：旋转曲面为16)(3222=++y z x ，令16)(3),,(2 22-++=y z x z y x F ， z F y F x F z y x 6,2,6===，在点（1，1，2）处}6,1,3{2}26,12,16{=???=n ρ ，故法 线方程为 6 2 1131-= -=-z y x 。 7. 解：2 24y x z --=}1,2,2{1---=?y x n ρ；0532=+--z y x }1,3,2{2--=?n ρ由 21||n n ρρ)43,23,1(),,(411 32222 2-=??? ? ??--=--=--=-?z y x y x z y x 8. 解：}1,1{}12,21{-=--=l ?，2 1 cos ,21cos =-=βα，则 2 3 121421cos 2cos cos cos 2-=?+?-=?+?=??+??=??x xy y z x z l f βαβα。 三、计算题 1. 解：)2ln()2(ln y x y x z ++=， 1)2ln(1++=???y x x z z ，))2ln(1()2(2y x y x x z y x +++=??+； )1)2(ln(21++=???y x x z z ，))2ln(1()2(22y x y x x z y x +++=??+。 2. 解： 1121 1?'?+?'+?-=??y y f x f x x z ， 1111122?''?+'+?''?+'?+?'-=?????y x f x y f x x f x y x z ??''?+'+''=y f y 。 3. 解：令xyz z y x z y x F 3),,(3 3 3 -++=，xy z yz x F F z z x x 33332 2---=-=， () 033) 1,0,1(2332) 1,0,1(=?+=--x x z yz x yz x u 4. 解：dx dz z u dx dy y u x u dx du ???+???+??=（*），将???????'?'+''+'=???+??='?'+'=???+??=)(212121??h h g g dx dy y z x z dx dz h h dx dt t y x y dx dy 代入（*）得 )]([)(212132 121??'?'+'?'+'?'+'?'+'?'+'=h h g g f h h f f dx du 。 5. 解：（1）将隐函数x e y ty +=两边对x 的求导得 1)(++=x x ty x ty y t e y （*）； （2）求隐函数12 2 2 =-+x t y 关于x 的导数，令 01),(222=--+=x t y t x F ，则t x yy F F t x t x x 222--=- =t yy x x -=； （3）将t yy x t x x -=代入（*）得ty ty ty x e t e y t t xye y 22-++=。 四、应用题 1. 解：令163),,(2 22-++=z y x z y x F ，}2,2,6{},,{z y x F F F n z y x ==ρ ， 在点)3,2,1(--处法向量为}6,4,6{)3,2,1(1--==--n n ??，xoy 的法向量为}1,0,0{2=n ? ， 设21,n n ? ?的夹角为θ，则 223 1 6466||||cos 2222121= ?++=?=n n n n ????θ。 2. 解：由题意函数),,(z y x f 在点)1,1,1(-处的梯度为}18,0,0{) 1,1,1(=-f grad ， 另一方面 }2,2,2{} ,,{) 1,1,1() 1,1,1(c b b a c a f f f f grad z y x +-+-==-- 从而 }18,0,0{}2,2,2{=+-+-c b b a c a 284=-==?c b a ，， 3. 解：??? ? ???=-----==-----=011),(011),(222222 222 2y x xy y x x y x f y x y x y x y y x f y x ，在区域D 内部???=+=+12122 222y x y x 得唯一驻点：)3 1, 3 1( ， 9 3)3 1, 3 1( = f ； 在边界122=+y x 上，0),(=y x f ，在边界02 2=+y x 上，0),(=y x f . 比较之得：),(y x f 在点)3 1, 3 1(取到最大值 9 3 。 五、证明题 证明：， ??sin cos y u x u r u ??+??=??，???cos )sin (r y u r x u u ??+-??=??，所以： 22)1()( ???+??u r r u 22)]cos sin (1[)sin cos (????r y u r x u r y u x u ??+??-+??+??= )sin (cos )()sin (cos )( 222222????+??++??=x u x u 22)()(x u x u ??+??= 第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1235y x z + +=-。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。 §5.3 多元函数微分法 一、复合函数微分法――链式法则 模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。 【例1】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由 下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++ 由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -） 由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。 答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。 【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（ ） （A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性 例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。 【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=?? 第八章 多元函数微积分 习题一 一、填空题 1. 设2 23),(y x y x y x f +-= ，则.________ )2,1(_______,)1,2(=-=-f f 2. 已知12),(22++=y x y x f ，则._________________ )2,(=x x f 二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形 1.x y z -= 2. y x z -+-=11 3. 224y x z --= 4. xy z 2log = 习题二 一、是非题 1. 设y x z ln 2 +=，则 y x x z 1 2+=?? （ ） 2. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则 该函数在P 点处一定连续 （ ） 3. 函数),(y x f z =在),(00y x P 处一定有),(00y x f xy ),(00y x f yx = （ ） 4. 函数?? ? ?? =+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处有0)0,0(=x f 及 0)0,0(=y f （ ） 5. 函数22y x z += 在点)0,0(处连续，但该函数在点)0,0(处的两个偏导数 )0,0(x z )0,0(,y z 均不存在。 （ ） 二、填空题 1. 设2 ln y x z = ，则_;___________; __________1 2=??=??==y x y z x z 2. 设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数),(b a f x 和),(b a f y 均存在，则 ._________) 2,(),(lim =--+→h h b a f b h a f h 三、求下列函数的偏导数： 1. ;133+-=x y y x z 2. ;) sin(22y e x xy xy z ++= 3. ;)1(y xy z += 4. ;tan ln y x z = 5. 222zx yz xy u ++= 四、求下列函数的,22x z ??22y z ??和y x z ???2： 1. ;234 23+++=y y x x z 2. y x z arctan = 五、计算下列各题 1. 设),2(),(sin y x e y x f x +=-求);1,0(),1,0(y x f f 2. 设)ln(),(y x x y x f +=，求,2 12 2==??y x x z , 2 122==??y x y z .2 12==???y x y x z 六、设)ln(3 13 1y x z +=，证明：.3 1=??+??y z y x z x 习题三 一、填空题 1．xy e y x z +=2在点),(y x 处的._______________ =dz 2．2 2 y x x z += 在点)1,0(处的._______________ =dz 第 八 章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数 概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。 教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、 区域 1． 邻域 设),(000y x p 是xoy 平面上的一个点，δ是某一正数。与点),(000y x p 距离小于δ的点(,)p x y 的全体，称为点0P 的δ邻域，记为),(0δP U ，即 ),(0δP U =}{0δ 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点，也有不属于E 的点（点P 本身可以属于E ，也可以不属于E ），则称P 为E 的边界点。E 的边界点的全体称为E 的边界。例如上例中，E 1的边界是圆周12 2 =+y x 和 22y x +=4。 设D 是点集。如果对于D 内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D ，则称点集D 是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，}0),{(>+y x y x 及 }41),{(22<+ 第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种： （一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)， 的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000 第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。 第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社 第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。 多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） `第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。 第九章多元函数微分法及其应用 一、基本要求及重点、难点 1. 基本要求 (1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。 (2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。 (3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件 和充分条件。 (4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 (5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 (6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。 (7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。 (8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉 格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 2. 重点及难点 （1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。 （2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。 二、内容概述 多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。 1.多元函数的极限和连续 (1)基本概念 1)点集和区域。 2)多元函数的定义、定义域。 3)二元函数的极限、连续。 (2)基本定理 1)多元初等函数在其定义域内是连续的。 2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值 M和最小值m之间的任何值。 2.多元函数微分法 (1)基本概念 偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。 (2) 计算方法 1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数 x x x z =??，就是一元函数 ),(0y x f z = 在0x x =处的导数；对y 的偏导数 x x x z =??（同理）。 2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy y z dx x z dz ??+??= 3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同 条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。 A. 设),(v u f z =，)(),(t v t u ψ?==，则全导数dt dv v z dt du u z dt dz ??+ ??=。 B. 设),(v u f z =，),(),,(y x v y x u ψ?== 则： x v v z x u u z x z ????+ ????=??，y v v z y u u z y z ????+????=??。 4) 隐函数求导法则： A. 设函数)(x f y =由隐函数0),(=y x F 确定，则 y x F F dx dy -=。 B. 设函数),(y x f z =由隐函数0),,(=z y x F 确定，则 z x F F dx dz -=，z y F F dy dz - =。 C. 设函数)(),(x g z x f y ==由隐函数方程组?? ?==0 ),,(0 ),,(z y x G z y x F 确定，从 ???? ?='+'+='+'+0)()(0 )()(x g G x f G G x g F x f F F z y x z y x ，求出导数)(),(x g x f ''。 (3) 多元函数连续、可导、可微的关系 (4) 基本定理 第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法 第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。） 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： . ,.2. 2.0,1.0,1,2.1= == =?-=?=?===dz e z dz z y x y x x y z x y 则设全微分值 时的全增量当函数 二、选择题（单选）： 1. 函数z=f(x,y)在点P 0（x 0,y 0）两偏导数存在是函数在该点全微分存在的： （A ）充分条件； （B ）充要条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 答：（ ） 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12 ； (D)存在且不等于0或 12 （提示：令2 2 y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在2 2 0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 200 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 +； (B) - +y x y 22 ； (C) y x y 22 + ； (D) -+x x y 22 高等数学期末复习 第九章 多元函数微分学 一、内容要求 1、会求简单二元函数定义域 2、会求多二元函数表达式和值 3、会求简单二元函数的极限 4、掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确表达 5、会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值 6、会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式 7、会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数 8、会由轮换对称性确定多元函数对称元导数 9、会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数 10、会求多元函数全微分 11、会求多元隐函数的偏导数 12、会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性 13、能观察出简单多元函数极值情况 14、能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题 15、会求空间曲面的切平面、法线方程 16、会求空间曲线的切线、法平面方程 17、会求多元函数的方向导数 18、会求多元函数的梯度 二、例题习题 1、二元函数x y z arcsin =的定义域是( ) A.|}||||),{(x y y x ≤ B. }0|||||),{(≠≤x x y y x C. }0|||||),{(≠>x x y y x D. }0|||||),{(≠≥x x y y x 解：使函数x y z arcsin =有意义，只要||1,0y x x ≤≠，即||||,0y x x ≤≠，所以，选B. （内容要求1） 2、函数22 1 (,)ln()=++ +f x y x y x y 的定义域为 ； 解：使函数22 1(,)ln()=++ +f x y x y x y 有意义，只要22 0,0x y x y +>+≠，所以填22{(,)|0,0}x y x y x y +>+≠（内容要求1）(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
多元函数微分学知识点梳理
高等数学习题详解第7章多元函数微分学(精品文档)
多元函数微分法word版
高等数学题库第08章(多元函数微分学)
高等数学多元函数微分法
多元函数微分法
最新多元函数微分法及其应用习题及答案
第九章多元函数微分法及其应用教案
第七章多元函数微分高等数学
多元函数微分学总结
多元函数微分法及其应用
多元函数微分法及其应用
多元函数微分学及其应用归纳总结
(完整版)高等数学(同济版)多元函数微分学练习题册
多元函数微分法及其应用复习题及解答
高等数学期末复习--多元函数微分学
相关主题
文本预览