第五章 矩阵分析 本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识. §5.1 向量与矩阵的范数 从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用. 一、向量的范数 定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件： 1）非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有 x =0； 2）齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3）三角不等式 对任意V y x ∈,，有 y x y x +≤+， 则称此函数x （有时为强调函数关系而表示为?） 为V 上的一种向量范数. 例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义 2 22212 n x x x x +++= 则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模]. 证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足
1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有 22||||||kx k x = =； 3）三角不等式 对任意复向量1212(,, ,),(,, ,)T T n n x x x x y y y y ==，有 222 221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++ ++ 2221122()()()n n x y x y x y ≤++++ ++ 2 21 1 1 ||2||||||n n n i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ 不等式） 222222 2 22||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+ 因此 222||||||||||||x y x y +≤+ 所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义 112||||||||||n x x x x =+++， 1max i i n x x ∞ ≤≤=， 则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数. 证 仅对后者进行证明. 1）非负性 当0x ≠时，max 0i i x x ∞ =>，又显然有00∞=； 2）齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ，
第五章 特征值的估计及对称矩阵的极性 本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论， 即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵（一般是Hermite 矩阵）特征值的 极小极大原理，其次也涉及到一些特征值 和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵 直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解 方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的 理论研究与实际应用当中都有着相当重要 的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理5.1 设A=(a rs )∈R n×n ,令 M=||2 1 max ,1sr rs n s r a a -≤≤ λ若表示A 任一特征值，则λ的虚部Im(λ) 满足不等式 2 ) 1(|)Im(|-≤n n M λ |Im(λ)|≤||A -A T ||2 / 2 |Im(λ)|≤||A -A T ||1 ?/2. 证明：设x+i ?y 为对应于λ的A 的特征向量， 则 A(x+i ?y)=(α+β?i)(x+i ?y) 其中λ=α+β?i.显然x,y 为实向量，且x,y 为 线性无关的 向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B=??? ? ??-αββα 。 从而(x,y)T A(x,y)=(x,y)T (x,y)B 展开有
???? ??Ay y Ax y Ay x Ax x T T T T =α????? ??y y y x y x x x T T T T + β???? ? ? ?--x y y y x x y x T T T T (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 α(x T x +y T y )=x T Ax +y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： β(x T x +y T y )=x T (A -A T )y 1). 记B=A -A T ,则 |x T By|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 从而 |β|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 利用ab /(a 2+b 2)≤1/2 可得 |β|≤||B||2 /2. 2). 由于|x T By|≤||Bx||1 ?||y||∞≤||B||1?||x||1 ?||y||∞ 从而 |β|≤||B||1 ?||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 易证明 ||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) /2. (显然，不妨假设(||x ||2)2 +(||y ||2)2=1, 设||y ||∞=t =cos(α), 则y 必为t ? e j 的形式（为什么？）， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x ||2)2=1-t 2 这样有均值不等式||x||1 x ||2 = -t 2)1/2, 从而我们需要求解t (1-t 2)1/2的最大值，设t =cos(α) 可得t (1-t 2)1/2的最大值为1/2. 从而得证。) 因此 |β|≤||B||1 3). 由于b ii =0, i =1,2,…,n , b ij = -b ji , 因此 |x T By|2=| 1 1()n ij i j j i i j i b x y x y -=>??-∑∑|2 ≤(2M )2 2 1||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑ (利用(a 1+a 2+…+a n )2≤ n ((a 1)2+(a 2)2+…+(a n )2) ≤(2M )2 (n (n -1)/2) 21||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑
第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令 1 , , M= ma彷总a sr| 若表示A任一特征值，则的虚部Im() 满足不等式 |Im( )| M n(n21) |Im( )| ||A A T||2 / 2 |Im( )| ||A A T||1n /2. 证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y) 其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B 展开有
i 1 j i T T X y X X T T y y y X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (x T x+y T y)=x T (A A T )y 1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2) 利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2. 2) . 由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y|| 从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2) n /2. (显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1, 设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从 而极值转化为求解如下最大值问题： max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2 这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2, 从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得 t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。) 因此 11 ||B||1 . n /2. 3) . 由于 b ii =0, i =1,2,…,n, b ij = b ji , n 1 因此 x T By|2=| b ij (X y j X j y i )|2 i 1 j i 2 n (2M)2 |xy j X j Y i | i 1 j i (利用(a 1+a 2+…+a n )2 n((a 1)2+(a 2)2+ …+(a n )2) n (2M)2(n(n 1)/2) | X y j X j yj 2 X T A X y T Ax X T Ay y T Ay T T X X X y T T X y y y
【最新整理，下载后即可编辑】 第五章 矩阵分析 本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识. §5.1 向量与矩阵的范数 从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用. 一、向量的范数 定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件： 1）非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有x =0； 2）齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有 ;x k kx = 3）三角不等式 对任意V y x ∈,，有 y x y x +≤+， 则称此函数x （有时为强调函数关系而表示为?） 为V 上的一种向量范数. 例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义
2 22212 n x x x x +++= 则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模]. 证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足 1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有 22||||||kx k x = =； 3）三角不等式 对任意复向量 1212(,, ,),(,, ,)T T n n x x x x y y y y ==，有 222 221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++ ++ 2221122()()()n n x y x y x y ≤++++ ++ 2 2 1 1 1 ||2||||||n n n i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不 等式） 22 2222 2 22||||2||||||||||||(||||||||), x x y y x y ≤++=+ 因此 222||||||||||||x y x y +≤+ 所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义 112||||||||||n x x x x =+++， 1max i i n x x ∞ ≤≤=， 则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数.
《矩阵分析》作业布置 第三章 章末习题：3-1，3-30，3-25，3-12，3-13，3-14，3-27，3-20，3-19，3-28（1）（2） 3-26，3-22，3-9，3-3（1），3-16，3-23 注：题3-261λ2 应改为1 λ 2 补充题： #3*1 试证：向量长度的齐次性，即,,.n k k k C C ααα=?∈∈ #3*2 试证：在任意酉空间V 中成立广义商高定理： 2 2 2 ,&(,)0V αβαβαβ αβ∈=?+=+ #3*3令()()()1231,1,1,1,3,3,1,1,2,0,6,8T T T ααα==--=-。求12,3{,}Span ααα的一个标准正交基。 #3*4 试证下列矩阵是酉矩阵：（i ）0000 1?????? ? ?? ? （ii ）0i 000i i 00?? ? ? ?-??， #3*5 用归纳法证明下列结论：（i ） 对任意正整数n 成立1+3+5+……+（2n-1）=2 n .(ii)对任意正整数k 成立： 2 22 11k 1&(,)0,k i j k V i j αααααααα∈=?≠?+=+……………… #3*6 试证：A=001 0001i i i ?? ? - ? ?+?? ，(i =为正规矩阵。试问：A 是否为H 矩阵，反H 矩阵，或酉矩阵？为什么？ #3*7 试证：对正定矩阵A 存在正定矩阵S 使得k S A =，其中k 为任意正整数。 第四章 章末习题：4-1（1）（2）；4-2 （其中矩阵A 代之以101001?? ? ? ??? ） 补充题： #4*1 ***,,,,,m n m m n n A B C A UBV U U V U ∈=∈∈若则称 B 与A 酉等价。 试证：B 与A 酉等价当且仅当B 与A 有相同奇异值集。 #4*2 设***A ,,m n m m n n r C U U V U ∈∈∈使得* 1r 0,(,00U AV diag b Λ?? =Λ= ??? ……，b），
