复杂的约束
最大
因此我们想要在上最大化，与此同时在
判定
6的K条路径. 其他
路径价
代
合
复
拉格朗日乘子
在算法中S 将是{1,2,…,k} 的子集
路径
拉格朗日乘子
复合代价
1-3-2-5-6
路径
复
合
代
价
路径
复
合
代
价
1-2-5-6 1-3-2-5-6
路径
拉格朗日乘子
复合代价
令S 是{1,2,…,k} 的子集
实验题目1 Lagrange插值 摘要 给定平面上n+1个不同的数据点:则满足条件 的n次拉格朗日插值多项式 是存在唯一的。 若，且充分光滑，则当时，有误差估计式 前言 利用拉格朗日插值多项式求的近似值
程序设计流程 拉格朗日插值框图
问题1 （1） N = 5时，程序运行如下： TestLag(inline('1./(1+x.^2)'), -5, 5, 5, :;将区间[-5,5]分为了5段 计算插值的点 xi = 计算出的插值 yi = 插值点处函数值 yFact = 计算误差 err = N = 10时，程序运行如下： TestLag(inline('1./(1+x.^2)'), -5, 5, 10, :;将区间[-5,5]分为了10段 计算插值的点 xi = 计算出的插值 yi = 插值点处函数值 yFact = 计算误差 err = N = 20时，程序运行如下： TestLag(inline('1./(1+x.^2)'), -5, 5, 20, :;将区间[-5,5]分为了20段 计算插值的点 xi = 计算出的插值 yi = 插值点处函数值 yFact = 计算误差 err =
问题1 （2） N = 5时，程序运行如下： TestLag(inline('exp(x)'), -1, 1, 5, [ ]);将区间[-1,1]分为了5段 计算插值的点 xi = 计算出的插值 yi = 插值点处函数值 yFact = 计算误差 err = * N = 10时，程序运行如下： TestLag(inline('exp(x)'), -1, 1, 10, [ ]);将区间[-1,1]分为了10段 计算插值的点 xi = 计算出的插值 yi = 插值点处函数值 yFact = 计算误差 err = * N = 20时，程序运行如下： TestLag(inline('exp(x)'), -1, 1, 20, [ ]);将区间[-1,1]分为了20段 计算插值的点 xi = 计算出的插值 yi = 插值点处函数值 yFact = 计算误差 err = *
一、 编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。 “拉格朗日乘子法约束最优化” 拉格朗日乘子法求约束最优化问题实例。采用拉格朗日乘子法如下最优化问题： )(),(min 212121x x x x x l +++=λλ。 在MA TLAB 中编写函数ex1208.m 来进行求解，具体代码如下所示。 %%%ex1208.m 拉格朗日乘子法求最优化解 x=zeros(1,2) %用syms 表示出转化后的无约束函数 syms x y lama f=x+y+lama*(x^2+y^2-2); %分别求函数关于x 、y 、lama 的偏导 dx=diff(f,x); dy=diff(f,y); dlama=diff(f,lama); %令偏导为零，求解x 、y xx=solve(dx,x); %将x 表示为lama 函数 yy=solve(dy,y); %将y 表示为lama 函数 ff=subs(dlama,{x,y},{xx,yy}); %代入dlama 得关于lama 的一元函数 lamao=solve(ff); %求解得lama0 xo=subs(xx,lama,lamao) %求得取极值处的x0 yo=subs(yy,lama,lamao) %取极值处的y0 fo=subs(f,{x,y,lama},{xo,yo,lamao}) %取极值处的函数值 程序运行结果为： xo= 1 -1 yo= 1 -1 fo= 2 -2 流程图：
二、编程解决以下科学计算和工程实际问题。、 1、利用MA TLAB提供的randn函数声称符合正态分布的10 5随机矩阵A, 进行如下操作： （1）A各列元素的均值和标准方差。 （2）A的最大元素和最小元素。 （3）求A每行元素的和以及全部元素之和。 （4）分别对A的每列元素按升序、每行元素按降序排序。 代码： clear all;close all; clc; A=randn(10,5); meanA=mean(A); %(1)A各列元素的均值 stdA=std(A); %(1)A各列元素的标准方差 maxA=max(max(A)); %(2)A的最大元素 minA=min(min(A)); %(2)A的最小元素 rowsumA=sum(A,2); %(3)A每行元素的和 sumA=sum(rowsumA); %(3)A全部元素的和 sort1=sort(A); %(4)A的每列元素按升序排列 sort2=sort(A,2,’descend’); %(4)A的每列元素按降序排列 运行结果：因生成矩阵随机，故无固定结果 流程图：
第八节多元函数的极值及其求法 教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学重点：多元函数极值的求法。 教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。 教学内容： 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于 ),(00y x 的点，如果都适合不等式 00(,)(,)f x y f x y <， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式 ),(),(00y x f y x f >， 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数2 243y x z +=在点（0，0）处有极小值。因为对于点（0，0）的任 一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从 几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面 2 243y x z +=的顶点。
例２函数2 2y x z +-=在点（0，0）处有极大值。因为在点（0，0）处函 数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负， 点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面2 2y x z +-=的顶点。 例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。 定理1（必要条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： ),(,0),(0000==y x f y x f y x 证不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式 ),(),(00y x f y x f < 特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式 000(,)(,)f x y f x y < 这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有 0),(00=y x f x 类似地可证 ),(00=y x f y
数值计算方法作业 专业：测控1002 学号：10540226 姓名：崔海雪
拉格朗日插值的算法及应用 【摘要】 本文简介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在实际生活中的运用。运用了拉格朗日插值的公式，以及它在MATLAB 中的算法程序，并用具体例子说明。拉格朗日插值在很多方面都可以运用，具有很高的应用价值。 【关键词】 拉格朗日；插值；公式；Matlab 算法程序； 一、绪论 约瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法国数学家、物理学家。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。拉格朗日对流体运动的理论也有重要贡献，提出了描述流体运动的拉格朗日方法。数据建模有两大方法：一类是插值方法，另一类是拟合函数一般的说，插值法比较适合数据准确或数据量小的情形。然而Lagrange 插值有很多种，1阶，2阶,…n 阶。我们可以利用拉格朗日插值求方程，根据它的程序求原方程的图像。下面我具体介绍分析一下拉格朗日插值的算法设计及应用。 二、正文 1、基本概念 已知函数y=f(x)在若干点i x 的函数值i y =()i x f （i=0,1,???,n ）一个差值问题就是求一“简单”的函数p(x)：p(i x )=i y ,i=0,1,???,n, (1) 则p(x)为f(x)的插值函数，而f(x)为被插值函数会插值原函数，0x ，1x ，2x ，...,n x 为插值节点，式（1）为插值条件，如果对固定点-x 求f(-x )数值解，我们称- x 为一个插值节点，f(-x )≈p(-x )称为-x 点的插值，当-x ∈[min(0x ，1x ，2x ，...,n x )，max(0x ，1x ，2x ，...,n x )]时，称为内插，否则称为外插式外推，特别地，当p(x)为不超过n 次多项式时称为n 阶Lagrange 插值。 2、Lagrange 插值公式 （1）线性插值)1(1L 设已知0x ，1x 及0y =f(0x ) ,1y =f(1x ),)(1x L 为不超过一次多项式且满足 )(01x L =0y ,)(11x L =1y ,几何上，)(1x L 为过（0x ，0y ） ，（1x ，1y ）的直线，从而得到 )(1x L =0y +0101x x y y --（x-0x ）. （2）
插值法 引言 许多实际问题都有用函数来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数是通过实验或观测得到的．虽然某个区间上是存在的，有的 还是连续的，但却只能给出上一系列点的函数值， 这只是一张函数表．有的函数虽有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函数表、对数表、平方根和立方根表等等．为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函数值．因此，我们希 望根据给定的函数表做一个既能反映函数的特性，又便于计算的简单函数 ，用近似．通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数 多项式）作为，并使对成立．这样确定的就是我们希望得到的插值函数．例如，在现代机械工业中用计算机等程序控制加工机 械零件，根据设计可给出零件个形曲线的某些型值点（,）（）， 加工时为近年第步走刀方向步数，就要算出零件外形曲线其他点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。下面我们给出有关插值法的定义。 设函数在区间上有定义，且已知在点上的值，若存在一简单函数，使 () (1.1) 成立，就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节 点的区间称为插值区间，求插值函数的方法称为插值法。若是次数不超过的代数多项式，即
， (1.2) 其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值，若 为分段的多项多，就称为分段插值。若为三角多项式，就称为三角插值。本章只讨论多项式插值与分段插值。 从几何上看，插值法就是求曲线,使其通过给定的＋１个点， ，并用它近似已知曲线,见图2-1。 由已知的离散因变量的值来估计未知的中间插值的方法。 插值法又称“内插法”。 利用函数f （x）在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f （x）的近似值，这里的方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
计算方法上机实验报告——拉格朗日插值问题 一、方法原理 n次拉格朗日插值多项式为：Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) n=1时，称为线性插值，L1(x)=y0(x-x1)/(x0-x1)+y1(x-x0)/(x1-x0)=y0+(y1-x0)(x-x0)/(x1-x0) n=2时，称为二次插值或抛物线插值，精度相对高些 L2(x)=y0(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)/(x0-x2)+y1(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)/(x1-x 2)+y2(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)/(x2-x1) 二、主要思路 使用线性方程组求系数构造插值公式相对复杂，可改用构造方法来插值。 对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0<=k<=n)作一n次多项式lk(xk)，使它在该点上取值为1，而在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上为0，则插值多项式为Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)+…+ynln(x) 上式表明：n个点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)都是lk(x)的零点。可求得lk 三．计算方法及过程：1.输入节点的个数n 2.输入各个节点的横纵坐标 3.输入插值点 4.调用函数，返回z 函数语句与形参说明 程序源代码如下： 形参与函数类型 参数意义 intn 节点的个数 doublex[n]（double*x） 存放n个节点的值 doubley[n]（double*y） 存放n个节点相对应的函数值 doublep 指定插值点的值 doublefun() 函数返回一个双精度实型函数值，即插值点p处的近似函数值 #include
§4 条件极值 (一) 教学目的：了解拉格朗日乘数法，学会用拉格朗日乘数法求条件极值． (二) 教学内容：条件极值；拉格朗日乘数法． 基本要求： (1)了解拉格朗日乘数法的证明，掌握用拉格朗日乘数法求条件极值的方法． (2) 较高要求：用条件极值的方法证明或构造不等式． (三) 教学建议： (1) 本节的重点是用拉格朗日乘数法求条件极值．要求学生熟练掌握． (2) 多个条件的的条件极值问题，计算量较大，可布置少量习题． (3) 在解决很多问题中，用条件极值的方法证明或构造不等式，是个好方法．可推荐给 较好学生． —————————————————————— 在许多极值问题中，函数的自变量往往要受到一些条件的限制，比如，要设计一个容积为V 的长方体形开口水箱，确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小. 设水箱的长、宽、高分别为 z y x ,,， 则水箱容积 xyz V = 焊制水箱用去的钢板面积为 xy yz xz z y x S ++=)(2),,( 这实际上是求函数 ),,(z y x S 在 xyz V = 限制下的最小值问题。 这类附有条件限制的极值问题称为条件极值问题， 其一般形式是在条件 )(,,,2,1,0),,,(21n m m k x x x n k <== ? 限制下，求函数 ),,,(21n x x x f 的极值 条件极值与无条件极值的区别 条件极值是限制在一个子流形上的极值，条件极值存在时无条件极值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。 例如，求马鞍面 12 2+-=y x z 被平面 XOZ 平面所截的曲线上的最低点。请看这个问题的几何图形（x31马鞍面） 从其几何图形可以看出整个马鞍面没有极值点，但限制在马鞍面被平面 XOZ 平面所截的曲线上，有极小值 1，这个极小值就称为条件极值。
控制工程 Control Engineering of China Mar .2006Vol.13,No.2 2006年3月第13卷第2期 文章编号:1671 7848(2006)02 0130 05 收稿日期:2004 10 28; 收修定稿日期:2004 12 13 基金项目:国家自然科学基金资助项目(60174046) 作者简介:周 威(1977 ),男,河南商丘人,博士研究生,主要研究方向为供应链计划、供应链调度的建模和协调等;金以慧(1936 ), 女,教授,博士生导师。 基于拉格朗日松弛算法的分布式供应链优化 周 威,金以慧 (清华大学自动化系,北京 100084) 摘 要:为解决分布环境下的无协调中心的供应链生产计划的协调问题,提出了一种基于拉格朗日松弛算法的折扣价格协调优化策略。针对企业计划只能基于本地信息的特点,利用拉格朗日松弛算法将企业之间的物料耦合约束松弛掉,从而把整个供应链计划问题分解为多个可利用本地信息求解的企业生产计划子问题。通过上下游企业之间对折扣价格(拉格朗日算子)的异步更新,可以逐步获取整个供应链生产计划的优化解,从而实现分布环境下的供应链生产计划的异步协调。仿真实验证明了该方案的可行性。 关 键 词:供应链;协调;生产计划;拉格朗日松弛;代理次梯度中图分类号:TP 14 文献标识码:A Coordination Method for Distributed Supply Chain Planning Based on Lagrangian Relaxation Z HOU Wei ,JIN Y i hui (Department of Automati on,Tsinghua Uni versity,Beijing 100084,China) Abstract :To the supply chain planni ng problem without a coordination center,a decentralized asynchronous coordination method based on La grangian relax ation algorithm is presented.By relaxing the material flow balance constraints among the enterpri ses,the whole supply chain plan ning problem is decomposed into multiple si ngle enterprise plannin g sub problems,which can be solved with the local information.So,each enterprise production planning model can be set up and solved independently with the discoun t prices,i https://www.doczj.com/doc/4a9319183.html,grangian multipliers,which are given by the upstream or downstream enterprise.To obtain the feasible solution,a dis tributed heuris tics algorithm is proposed.During the coor dination p rocess,through iteratively updating the discount prices among the enterprises,the near op timal solution can be achieved.The compu tational experiments show that the method can solve the supply chain planni ng p roblem efficiently.Key words :supply chain;coordination;product planning;lagrangian relaxation;surrogate subgradient 1 引 言 生产计划协调是供应链的一项重要研究内容。由于需要获取全局信息,传统的集中式生产计划方法并不适用于分布式的供应链环境 [1,2] 。为此,人们提出了一些分布式方法。S D Wu 等 [3] 利用网络流 模型来描述多厂多产品计划问题,并利用拉格朗日松弛方法求解;A Gupta 和C D Maranas [4] 提出了分 层的拉格朗日松弛方法解决中期计划问题;E Kadir 和S D W u [5] 提出了一种基于拉格朗日分解和投标 机制的算法解决分布式的多厂计划问题;Zhou 等 [6,7] 则提出了一套基于价格机制的分布式方法解决供应 链的中期生产计划问题。然而,上述研究都需供应链中存在一个协调中心,对整个供应链进行调控,而在实际中整个供应链的协调中心往往并不存在。 为解决无协调中心的供应链生产计划协调问题,基于拉格朗日松弛方法,本文提出一种利用产品内部折扣价格的协调策略,实现了分布环境下供应链计划的异步协调。首先采用拉格朗日算子作为产品的内部折扣价格,为每个企业建立各自的计划模型,并利用本地信息独立求解。进行协调时,相邻两级的企业分别利用代理次梯度算法对相应的折扣价格进行更新,通过一个反复迭代过程实现供应链协调。最后经仿真验证了该协调方案的有效性。
盐城师范学院课程考查论文 课程名称：《计算方法》 学院： 专业： 班级： 姓名： 学号： 论文题目：浅谈拉格朗日插值法
浅谈拉格朗日插值法 插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。 下面将主要谈谈拉格朗日插值法。 一、问题的背景 在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值yi =f(xi ) ,(i=0,1,…,n) 。或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算;希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。二、插值问题的数学提法: 已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值 yi =f(xi ), (i=0,1,…,n) 求一个简单函数y=P(x),使其满足: P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。 即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：
(x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ), 同时在其它x∈[a,b]上要估计误差: R(x) = f(x) - P(x) 其中P(x)为f(x)的插值函数，x0 ,x1 ,…,xn 称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b] 称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。若P(x)是三角多项式，就称三角插值。 下面是对拉格朗日插值法的介绍： 已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0,x1,…,x2上的函数值分别为： y0,y1,…,y n,求一个次数不超过n的多项式P n(x),使其满足: P n(x i)=y i, (i=0,1,…,n), 即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。 （1）. 插值基函数 过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数 l0(x),l1(x),…,l n(X)
在流体力学里，有两种描述流体运动的方法：欧拉（Euler)和拉格朗日（Lagrange)方法。欧拉法描述的是任何时刻流场中各种变量的分布，而拉格朗日法却是去追踪每个粒子从某一时刻起的运动轨迹。 在一个风和日丽的午后，YC坐在河岸边看河水流，恩，她总是很闲。如果YC的位置不动，她在自己目光能及的河面上划出一块区域，数某一时刻经过的船只数，如果可能的话，再数数经过的鱼儿数；当然，如果手头有些仪器，她可以干干正事，比如测测水流的速度、水的压力、水的温度等，由此得到每一时刻这一河流区域水流各物理量的分布。那么YC是在用欧拉方法研究流体。 这时，YC忽然看到一条船上坐着她的初恋情人，虽然根据陈安对初恋情人的定义，YC根本没有初恋情人。现在假设她有，天哪，他们有20年没见面了，他还欠她20元呢，不能放了他。于是YC记下第一眼看到初恋情人的时间，并迅速测出此时船的位置和速度，然后撒腿追去。假设这条船是顺水而下，船的速度即是水流的速度。每隔一个时间点，她便测一下船的速度和位置。为了曾经的爱情，还有那不计利息的20元，她越过山岗，淌过小溪，直到那条船离开了她的视线。于是，她得到了这条船在河流中的运动轨迹。YC此时所用的研究方法就是拉格朗日法。 Understood? 而在一些复杂的两相流动问题里，比如粒子在流场中运动的问题，我们关注的是粒子的运动轨迹，因此，我们可以用拉格朗日方法追踪粒子在流场中的运动，同时，用欧拉方法来计算流场的各物理量。 在许多工程领域，都有纤维在流场中运动的问题。如果将纤维在流场中的运动视为两相流动，必须为纤维作一些改变，因为它不同于一般的刚性粒子。它细长，细长到你无法用一个粒子来代表一根纤维；它柔，柔得自己的每一部分可以相对于其他部分发生变形。我在《柔性纤维的妖娆运动》里，为slender and flexible纤维建立了模型，把纤维离散成一个个粒子，并在粒子之间建立了弹性或粘弹性的连接。为了研究纤维在流场中运动的问题，我们首先用欧拉法来研究流场，通过求解Navier-Stokes方程，得到流场中每一时刻每一位置的各个物理量。根据这些物理量，我们算出每个纤维粒子在这一时刻这一位置流场中所受的流体动力（hydrodynamic force),则可以算出每个纤维粒子的运动。假设一根纤维离散为100个粒子，算出每个粒子的运动，将每一时刻这些粒子的位置连接起来，就回复成一根纤维的运动轨迹了。所以说，我们是用拉格朗日方法在追踪纤维的运动轨迹，同时还可以得到变形纤维的妖娆模样呢！ 我在前一篇博文中说：“在某年某月某一天，两个毫无关系的人，走到了同一个学校、同一个班级，并从此没再分开。这其实是个很危险的旅程，如果一个人早一年，另一个人晚一年；又或许，如果一个人开始想去一个大学，却在最后改变了主意。这样，两个人就失去了相识的初始条件和边界条件，陪在他们身边的，就会是另外的人了。”你们看出来了吗？这里其实用的是拉格朗日方法，因为我是在追踪人的轨迹。如果我和他不能在某一时空同时出现，那么我和他就不可能相遇、相爱、结为夫妻，因为他的轨迹和我是不同的。但是，即使在1987年9月1日，我没有在中国纺织大学的纺织871班级里遇到他，那么我也可能遇见并爱上另一个男生，因为在这样一个时空区域里，总会有人出现。这就是欧拉方法，我不去追踪他，我只坐在我的时空里，静静等待属于我的那个人。 也就是说，获得爱情有两种方法。一种是拉格朗日法，你拼命去追踪你爱的人；另一种是欧拉法，你静静地坐在你的时空里，等待属于你的那个人。 那么，哪种方法更能获得幸福呢？
西华数学与计算机学院上机实践报告 课程名称：计算方法年级：2012级上机实践成绩： 指导教师：严常龙姓名：贺容英 上机实践名称：拉格朗日插值和牛顿插值法学号：上机实践日期：yyyy.mm.dd 上机实践编号：1312012070102209 上机实践时间：2014.10.27 一、目的 1．通过本实验加深对拉格朗日插值和牛顿插值法构造过程的理解； 2．能对上述两种插值法提出正确的算法描述编程实现。 二、内容与设计思想 自选插值问题，编制一个程序，分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求解某点的函数近似值。（从课件或教材习题中选题） 已知y=f( 三、使用环境 操作系统：win7 软件环境：vs2012 四、核心代码及调试过程 4.1核心代码 1、拉格朗日插值法代码如下 double lagrangesf(point points[],int t) { int n=t; int i,j; double x,tmp=1,lagrange=0; printf("请输入需要计算的x的值："); scanf("%lf",&x); for(i=0;i<=n-1;i++) { tmp=1; for(j=0;j<=n-1;j++) {
if(j!=i) tmp=tmp*(x-points[j].x)/(points[i].x-points[j].x); } lagrange=lagrange+tmp*points[i].y; } printf("lagrange(%lf)=%lf\n",x,lagrange); return 0; } 2、牛顿插值法代码如下 double newtonsf(point points[],int t) { int n=t; int i,j; double d[maxt+1]; double x,tmp,newton=0; printf("差商表\n"); printf("***************************************************\n"); printf("x "); for(i=0;i<=n-1;i++) { printf("%lf ",points[i].x); } printf("\n"); printf("y "); for(i=0;i<=n-1;i++) { d[i]=points[i].y; printf("%lf ",points [i].y); } printf("\n"); for(i=0;i 1 摘要 幻灯片1 z 拉格朗日对偶 z 拉格朗日对偶的强度 z 拉格朗日对偶的解 2 拉格朗日对偶 幻灯片2 z 考虑 d Dx b Ax t s x c Z IP ≥≥′=..min X 是整数 z {}d Dx eger x X ≥?=|int z 在X 中求最优情况能有效的求解 2．1 公式 幻灯片3 z 考虑 ()()X x t s Ax b x c Z ∈?′+′=..min λλ z 对固定的λ，问题得到有效的求解 z ()()() i i m i Ax b x c Z ?′+′==λλ,...,1min z ()λZ 是凹的，肯分段的线性的 2．2 弱对偶性 幻灯片4 如果(有最优解且)D ,0≥λ，则()IP Z Z ≤λ z 证明：是(的一个最优解 *x )D z 则因此 0*≤?Ax b () IP Z x c Ax b x c =′≤?′+′***λ z 因为()() ,,* **Ax b x c Z X x ?′+′≤∈λλ，因此()IP Z Z ≤λ 2．3 关键问题 z 考虑拉格朗日对偶： 幻灯片5 ()0 ..max ≥=λλt s Z Z D z IP D Z Z ≤z 我们需要求一个分段的线性凹函数的最大值 幻灯片6 3 LD 的强度 3．1 主要定理 幻灯片7 {.|int d Dx eger x X ≥?=}，注意到()X CH 是多面体，则 () X CH x b Ax t s x c Z D ∈≥′=..min 3．2 例子 幻灯片8 15 6323521..3min 2121212121≤+≥+≤+??≥??x x x x x x x x t s x x ???≥0,21x x 整数 实验报告 学院：电子信息工程 实验课程：计算方法 学生姓名： 学号： 专业班级：通信工程17-3班级 实验四 Lagrange 插值 1 目的与要求 （1）进一步理解和掌握Lagrange 插值的数值算法。 （2）能够根据给定的函数值表求出插值多项式和函数在某一点的近似值以解决实际问题 2 实验内容 已知函数表如下，通过编制程序，试用拉格朗日插值多项式求0.5，0.7，0.85三点处的近似函数值。 3 实验原理 拉格朗日插值多项式： 4 程序设计 （1）流程图 拉格朗日插值程序流程图 ∑=== n i 0 i i i ) x (l y y ) x x ()x x )(x x ()x x () x x ()x x )(x x ()x x ()x (l n i 1i i 1i i 0i n 1i 1i 0i --------= +-+-ΛΛΛΛ （2）程序代码 #include { m=1.0; for(l=0;l 第六章 二次型 第一讲 二次型及其矩阵表示、标准形 教 学 目 的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩 阵表示方法. 教学重点与难点：二次型的矩阵表示 教学计划时数：2课时 教 学 过 程： 一、二次型的概念 定义1：含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数 22 2 121112221212112323221,1(,, ,)22222n nn n n n n n n n n n f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a x x a x x --=+++++ ++++++ （1） 称为二次型. 附：1、当ij a 为复数时,f 称为复二次型；当ij a 为实数时,f 称为实二次型； 2、ij a 可以等于0，即（1）式中的各项都存在. 例1 ()2 2 2 12312313,,2454f x x x x x x x x =++-；()123121323,,f x x x x x x x x x =++ 都为实二次型； 二、二次线性与对称矩阵 在（1）式中,取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=令12(,,,)T n x x x x =，则（1） 式可化为 11121121 222212121 2 (,,,)(,, ,).n n T n n n n nn n a a a x a a a x f x x x x x x x Ax a a a x ???? ??? ??? == ??? ??????? 称12(,, ,)T n f x x x x Ax =为二次型的矩阵形式，记为()T f x x Ax =，其中实对称矩阵A 称 为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵A 的秩称为二次型f 的秩，即()()R A R f =. 中国矿业大学2011级硕士研究生课程考试试卷 考试科目岩土工程数值计算法 考试时间2011.11.27 学生姓名夏明 学号ZS11020068 所在院系矿业工程学院 任课教师徐志伟 中国矿业大学研究生院培养管理处印制 对论文《基于拉格朗日差分法的露天边坡稳定性研 究》中数值计算法浅析 《基于拉格朗日差分法的露天边坡稳定性研究》一文以易门铜矿露天开采境界优化方案下的边坡为工程背景，通过岩体构造调查，质量分类，室内力学试验，力学参数的工程处理。建立铜厂露天开采边坡的三维地质模型，采用DIMINE 数字矿山软件的耦合集成技术—四面体网格化将地质模型转换为力学模型，应用基于拉格朗日法的有限差分(FLAC3D)大变形方法对铜厂露天开采边坡的稳定性进行了数值模拟，分析了基于强度折减理论计算出的边坡安全系数以及基于莫尔库伦屈服准则的边坡开采后的位移、应力等的变化状况，得出了易门铜厂露天矿露天境界优化方案下的边坡的稳定性状况。 岩质边坡稳定性评价的方法分主要有：极限平衡法、数值模拟计算、地质力学物理模拟试验和其它新方法。随着计算机技术和计算方法的发展，复杂的工程问题可以采用离散化的数值计算方法并借助计算机得到满足工程要求的数值解，数值模拟技术是现代工程学形成和发展的重要动力之一。通过计算模拟，可以模拟并得到模拟体内部的应力—应变关系，再现其变形甚至破坏过程及其机制。在岩土工程数值分析中最常用的数值方法有有限元法、离散元法、边界元法等。 拉格朗日差分法((FLAC法)源于流体力学。它首先是Cundail在80年代提出来的，其基本原理类似于离散元法，但它却能像有限元那样适用于多种材料模式与边界条件的非规则区域的连续问题求解。在求解的过程中，FLAC又采用了离散元的动态松弛法，不需要求解大型联立方程，便于在微机上实现。另一方面，同以往的差分分析相比，FLAC在以下几个方面做了较大的改进和发展:它不但能处理一般的大变形问题，而且能模拟岩体沿某一弱面产生的滑移变形。一般有限单元法可以用来解决材料非线性问题，但对于大变形的几何非线性问题，有限单元法和边界元法都无能为力。拉格朗日法是分析非线性大变形问题的数值方法，它依然遵循连续介质的假设，基于拖带坐标系的基本原理。用差分法或按时步显式迭代求解，不但可以解决几何非线性，也能解决材料非线性问题。 下面是原文的部分描述： 一、露天矿边坡三维地质模型的建立 1.1计算几何模型范围及模拟方案设计 a模拟计算方案设计 决定边坡稳定性的因素很多，其中包括岩体强度，结构特征，水理性质和边坡几何参数等。根据现场工程地质调查，力学试验参数，对露天境界边坡进行修改，修改方案同第五章简化实体模型的建立。 拉格朗日插值法 5.2 拉格朗日（Lagrange）插值 可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的 特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。 5.2.1 线性插值 问题5.1给定两个插值点其中，怎样做通过这两点的一次插值函数？ 过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。如图5.1所示。 图5.1 线性插值函数 在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。 下面先用待定系数法构造插值直线。 设直线方程为，将分别代入直线方程得： 当时，因，所以方程组有解，而且解是唯一的。这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。 当时，若用两点式表示这条直线，则有： （5.1）这种形式称为拉格朗日插值多项式。 ，，称为插值基函数，计算，的值，易见 （5.2） 在拉格朗日插值多项式中可将看做两条直线，的叠加，并可看到两个插值点的作用和地位都是平等的。 拉格朗日插值多项式型式免除了解方程组的计算，易于向高次插值多项式型式推广。 线性插值误差 定理5.1记为以为插值点的插值函数，。这里，设一阶连续可导，在上存在，则对任意给定的，至少存在一点，使 （5.3）证明令，因是的根，所以可设 对任何一个固定的点，引进辅助函数： 则。 由定义可得，这样至少有3个零点，不失一般性，假定，分别在和上应用洛尔定理，可知在每个区间至少存在一个零点，不妨 《线性代数》教学大纲 Lin ear Aigebra 课程编号：070A1060 适用专业：理工管各专业学时：40 学分：3 一、内容简介 内容包括：行列式，矩阵的运算，向量的线性相关性，线性方程组的基本理论及解法，特征值与特征向量的概念与计算，矩阵的相似对角阵及用正交变换化对称矩阵为对角阵的方法，化二次型为标准形，线性空间与线性变换。 二、本课程的目的和任务 线性代数是高等学校理工科和经济学科等有关专业的一门重要基础课。它不但是其它数学课程的基础，也是各类工程及经济管理课程的基础。另外，由于计算机科学的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决，于是作为处理离散问题的线性代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。 三、本课程与其它课程的关系 本课程的先修课是高等数学中的“空间解析几何与向量代数”部分。作为基础课，它是许多后继课，如计算方法、数理统计、运筹学以及其他专业基础课和专业课的基础。 随着对教学内容的改革，本课程可以与高等数学中的某些部分结合起来讲授，如向量代数；又可在多元函数的微分学中介绍其部分应用，如二次型的正定性。 四、本课程的基本要求 通过本课程的学习，要求学生熟练掌握行列式的计算，矩阵的初等变换，矩阵秩的定义和计算，禾U用矩阵的初等变换求解方程组及逆阵，向量组的线性相关性，禾U用正交变换化对称矩阵为对角形矩阵等有关基础知识，并具有熟练的矩阵运算能力和利用矩阵方法解决一些实际问题的能力，从而为学习后继课及进一步扩大知识面奠定必要的数学基础。具体要求如下： n阶行列式的定义 第一讲二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数、目的：理 解n阶行列式的定义。 要求：掌握二阶、三阶行列式的计算，会求全排列的逆序数，利用定义计算简单的行列式。 第二讲对换、行列式的性质目的：理解n阶行列式的性质。 实验报告 实验课程名称数值计算方法 实验项目名称 Lagrange插值法 年级 专业 学生姓名 学号 学生实验室守则 一、按教学安排准时到实验室上实验课，不得迟到、早退和旷课。 二、进入实验室必须遵守实验室的各项规章制度，保持室内安静、整洁，不准在室内打闹、喧哗、吸烟、吃食物、随地吐痰、乱扔杂物，不准做与实验内容无关的事，非实验用品一律不准带进实验室。 三、实验前必须做好预习（或按要求写好预习报告），未做预习者不准参加实验。 四、实验必须服从教师的安排和指导，认真按规程操作，未经教师允许不得擅自动用仪器设备，特别是与本实验无关的仪器设备和设施，如擅自动用或违反操作规程造成损坏，应按规定赔偿，严重者给予纪律处分。 五、实验中要节约水、电、气及其它消耗材料。 六、细心观察、如实记录实验现象和结果，不得抄袭或随意更改原始记录和数据，不得擅离操作岗位和干扰他人实验。 七、使用易燃、易爆、腐蚀性、有毒有害物品或接触带电设备进行实验，应特别注意规范操作，注意防护；若发生意外，要保持冷静，并及时向指导教师和管理人员报告，不得自行处理。仪器设备发生故障和损坏，应立即停止实验，并主动向指导教师报告，不得自行拆卸查看和拼装。 八、实验完毕，应清理好实验仪器设备并放回原位，清扫好实验现场，经指导教师检查认可并将实验记录交指导教师检查签字后方可离去。 九、无故不参加实验者，应写出检查，提出申请并缴纳相应的实验费及材料消耗费，经批准后，方可补做。 十、自选实验，应事先预约，拟订出实验方案，经实验室主任同意后，在指导教师或实验技术人员的指导下进行。 十一、实验室内一切物品未经允许严禁带出室外，确需带出，必须经过批准并办理手续。拉格朗日分析方法
计算方法实验四拉格朗日插值实验报告
二次型及其矩阵表示
浅析拉格朗日有限元数值计算法
拉格朗日插值法知识讲解
《线性代数》教学大纲-哈尔滨理工大学
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