高等数学(考前要点复习_下)

第五章 定积分的概念

教学目的与要求：

1． 解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 2． 解广义积分的概念并会计算广义积分。

3．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。

5.1定积分概念

一． 定积分的定义

不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分

定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点

，

把区间[a,b]分成n 个小区间，记

},......,,max{,,......2,1,211n i i i x x x n i x x x ???==-=?-λ在[i i x x ,1-]

上任意取一点

i ξ，作和式：)1.......(

)(1

i n

i i x f ?∑=ξ 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论

i ξ在[i i x x ,1-]怎样选取，只要0→λ有

→?∑=i

n

i i

x

f 1

)(ξI （I 为一个确定的常数），则称极限I 是f(x)在[a,b]上的定积分，简称

积分，记做

?

b

a

dx x f )(即I=?b

a

dx x f )(其中f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为

积分下限，b 为积分上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。

注

1． 定积分还可以用

δε-语言定义

2由此定义，以上二例的结果可以表示为A=

?

b

a

dx x f )(和S=?2

1

)(T T dt t v

3有定义知道

?

b

a

dx x f )(表示一个具体的书，与函数f(x)以及区间[a,b]有关，而与积分变量x

无关，即

?

b

a

dx x f )(=?b

a

du u f )(=?b

a

dt t f )(

4定义中的

0→λ不能用∞→n 代替

5如果i

n

i i

x f Lim

?∑=→1

)(ξλ存在，则它就是f(x)在[a,b]上的定积分，那么f(x)必须在[a,b]

上满足什么条件f(x)在[a,b]上才可积分呢？

经典反例：

??

?=中的无理点，

为，中的有理点，

为]10[0]10[,1)(x x x f 在[0，1]上不可积。 可见函数f(x)在什么情况下可积分并不是一件容易的事情。

以下给出两个充分条件。

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3 设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

6几何意义

当f(x)

≥0时，?b a dx x f )(表示曲边梯形的面积；当f(x)≤ 0时，?b

a dx x f )(表示曲边

梯形的面积的负值；一般地，若f(x)在[a,b]上有正有负，则?

b

a

dx x f )(表示曲边梯形面积的

代数和。

[例1]计算

?

1

dx e x

解：显然f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，现将[0，1]分成n 个等分，分点为

n i n

i

x i ,.....2,1,0,==

，n x i /1=?，n /1=λ取i i x =ξ作和式： 11

]

1)[(111)(11101

0101

-=--===?→=→=→=→∑∑∑

e e e e n Lim e n Lim n e Lim x

f Lim n n n

n n

i n

i n

i n i n

i i i λλλλξ所以：

?

1

dx e x =e-1

7．按照定义

5．2定积分的性质积分中值定理 有定积分的定义知，

?

b

a

dx x f )(是当ab 时无意义，但为了计算

及应用的方便，特作两个规定： 1． a=b 时，

?b

a dx x f )(=0

2． a>b 时，

?

b

a

dx x f )(=-?a

b dx x f )(

性质1：和差的定积分等于它的定积分的和差，即

???±=±b

a

b

a

b

a

dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([

性质2：常数因子可以外提（可以推广到n 个）

??

=b

a

b

a

dx x f k dx x kf )()(

性质3：无论a,b,c 的位置如何，有

???

+=b

c

c a

b

a

dx x f dx x f dx x f )()()(

性质4：f(x)1≡则

a b dx x f b

a

-=?

)(

性质5：若f(x)

≤g(x)则,)()(??≤b

a b

a dx x g dx x f

b a ≤

性质6：

??

≤b a

b

a

dx x f dx x f )()(

性质7：设在

[]

b ,a ，()M x f m

≤≤，则

()()()a b M dx x f a b m b

a -≤≤-?

性质8：（积分中值定理）若f(x)在[a,b]上连续，则[a,b]上至少存

一点

ξ，使下式成立，)()()(ξf a b dx x f b

a

-=?

例1．利用定积分几何意义，求定积分值

4

dx x 11

2π=

-? 上式表示介于

0x =, 1x =, 0y =, 2x 1y -=之间面积

例2、（估计积分值） 证明 2

1x x 2dx 3

2

1

2

<

-+

证：

2

221x 49x x 2?

?

?

??--=-+在

[]

1,0 上最大值为

4

9，最小值为2

∴

21x x 21322

≤-+< ∴

2

1x x 213

2102

<

-+

设函数f(x)在[a,b]上连续，x 为[a,b]上任一点，显然，f(x)在[a,b]上连续，从而可积，定积分为

?

x

a

dx

x f )(由于积分变量与积分上限相同，为防止混淆，修改为

=Φ)(x ?x a

dt t f )(（b a ≤）称)(x Φ是变上限积分的函数。

定理1：设f(x)在[a,b]上连续，则=

Φ)

(x ?

x

a

dt t f )(在[a,b]上可导，且导数为

)())(()(x f dt t f dx d x x

a

==

Φ'? 证明省略

定理2：如果函数f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数=Φ)(x ?x

a

dt t f )(是f(x)

在[a,b]上的一个原函数。 注意：

1定理说明了连续函数的原函数一定存在 2此定理指出了定积分与原函数的关系 二、基本定理 牛顿—莱伯尼兹公式

定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

。(1)

证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数

也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即

。 (2)

在上式中令x = a，得。又由Φ (ξ)的定义式及上节定积分的补充规定知

Φ (α) = 0，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的Φ (ξ)，可得

，

在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。

公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。

例1 计算定积分。

解。

例2计算。

解

。

例3 计算。

解

。

例4 计算正弦曲线y = sinx 在[0,π ]上与x 轴所围成的平面图形的面积。

解

。

例5 求

解 易知这是一个型的未定式，我们利用洛必达法则来计算。

因此

。

例6、3

0x 4

1

cosx

x 4x sinx cosxlncosx lim

x

tlntdt lim

?=→→?

20x 0x 0x x lncosx lim x sinx lim cosx lim 41→→→??= cosx

2x sinx lim 410x ?-=→81-= 5．4定积分的换元法

定理：设（1）f(x)在[a,b]上连续，（2）函数

)(t x φ=在].[βα上严格单调，且有连

续导数，（3）

βα≤≤t 时，

b

t a ≤≤)(φ 且

b a ==)(,)(βφαφ则有换元公式：

??

'=β

α

φφdt t t f dx x f b

a

)())(()( (1)

注

1． 用换元法时，当用

)(t x φ=将积分变量x 换成t 求出原函数后，t 不用回代，只

要积分上下限作相应的变化即可。 2．

)(t x φ=必须严格单调

3．

α可以大于β

4． 从左往右看，是不定积分的第二换元法；从右往左看，可以认为是第一换元法。

例1、

??-=-2

2

22

2

2dx )

1(x -1x dx x

2x x

法一 设

sin t 1-x =

π2

3t)dt sin (12dt t cos cost sin t)(12π

022π

2

π2=+=+??

-

法二 设

t 2sin x 2=

原式

π2

32π!4!!3!8dt t sin 82π

4=??

==?

例2．设

()x f 在()

+∞∞-,上连续，且

()()()dt t f t 2x x F x 0

?

-=,

证明：若f(x)为偶函数，则F(x)也是偶函数。 证：

()()()()()()

t d t f u 2x u

t dt

t f t 2x x F x 0

x 0

--+--=--=-??

-

()()dt t f t 2x x 0

?

--= ()x F =

例3． 奇偶函数在对称区间积分性质，周期函数积分性质

(1)

()x f 在[-a,a]连续，0a >

当

()x f 为偶数，则??=a

0a -a f(x)dx 2f(x)dx 当

()x f 为奇函数，则0f(x)dx a

-a =?

(2)

??=+T

0T

a a

f(x)dx f(x)dx ，()x f 以T 为周期

说明在任何长度为T 的区间上的积分值是相等的。

例4、

e

4)dx e -)(e x x(11

-1

x -x 2001=

+? 原式

?=1

0x -x )dx e -x(e 2

?=1

0x -x )e -xd(e 2[

]

1

x x )e x(e 2-+= e

4=

例5、

??-+=+2π

2

π2π

22dx x sin 1 x cos dx x 2sin x cos x cos

2

πx 2arctansin dsin x x

sin 11

2π0

2π0

2

=

=+=?

例6、设

()x f 为连续函数，且?+=π

0dx f(x )sinx f(x ) 求()x f

解： 设

?

=π0

A dx f(x)

则

()A x sin x f +=

两边积分

??

+=π

π0

A)dx (sinx dx f(x)

π

0π0Ax cosx A +-=

π

12

A -=

∴ π12sinx f(x)-+=

5.5定积分的分部积分法

定理：若u(x),v(x)在[a,b]上有连续导数，则

??'-='b

a

b

a

b

a

vdx u uv dx v u |

证明：因为v u v u uv '+'='

)(，则有v u uv v u '-'=')(，两边取定积分。有

??

'-='b

a

b a b

a

vdx u uv dx v u |也可以写成：??-=b

a

b

a b

a

vdu uv udv |

例1．

?1

0dx xe x

解：

1)1(|1

1

1

1

0=--=-==???e e dx e xe xde

dx xe x x x

x

例2．?e

dx x 1

)sin(ln

解：

???-=-=e

e

e e

dx x

x x e x xd x x dx x 1

11

11

)cos(ln 1sin )sin(ln |)sin(ln )sin(ln =??--=-e e e dx x

x x x x e dx x e 11

11)sin(ln |)cos(ln 1sin )cos(ln 1sin =?-

+-e

dx x e e 1

)sin(ln 11cos 1sin

?

e

dx x 1

)sin(ln =

2

1

[11cos 1sin +-e e ] 例3、设

()0x dt t

1ln t

x f x

1

>+=?，

求

()??

?

??+x 1f x f

解：()'??????+++='?????

???? ??+??x 1

1x 1dt t 1lnt dt t 1ln t x 1f x f

??

? ??-?+++=2x 1x

11x 1

ln

x 1lnx 例4． 设

)

x (f 在

]

b ,a [连

)

b ,a (可导，且

)x (f ≤'，

?-=

x a

dt )t (f a

x 1

)x (F 证明在)b ,a (内，有0)x (F ≤' 证：

2

x

a )

a x (dt

)t (f )x (f )a x ()x (F ---=

'?

b x a )a x ()

(f )a x ()x (f )a x (2

≤≤ζ≤-ζ---=

a

x )(f )x (f -ζ-=

)x (f 0)x (f ∴≤' 在)b ,a (单调减，x ≤ζ

)x (f )(f ≥ζ→ 故 0)x (F ≤'

5．6定积分的近似计算 5．7广义积分

一 无穷限的广义积分

定义1 设函数f(x)在区间[a , +∞ )上连续，取b>a ，若极限

存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a , +∞ )上的广义积分，记作

，即

。

(1)

这时也称广义积分收敛；若上述极限不存在，称为广义积分发散。

类似地，若极限存在，则称广义积分收敛。

设函数f(x)在区间(-∞ ,+∞ )上连续，如果广义积分和都收敛，

则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-∞ , +∞ )上的广义积分，记作，

也称广义积分收敛；否则就称广义积分发散。

上述广义积分统称为无穷限的广义积分。

例1：计算广义积分

dx x

arctgx ?

∞

++0

2

1 解：

dx x arctgx ?

∞

++0

21=8

|]21[lim 1lim 20202π==++∞→+∞→?b

b b b x arctg dx x arctgx

例2．计算广义积分

?

∞

-0

sin xdx 以及?+∞

∞

-xdx sin

解：

)cos lim 1(|cos sin 00

a x xdx a -∞

→∞-∞

---=-=?

显然发散

同理

???

+∞

∞

-+∞

∞

-+=0

0sin sin sin xdx xdx xdx 也发散

例3： 证明广义积分(a>0)当p>1时收敛，当p ≤ 1时发散。

证 当p = 1时，

,

当p≠ 1时，

因此，当p > 1时，这广义积分收敛，其值为；当p≤ 1时，这广义积分发散。

二．无界函数的广义积分

现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形。

定义2 设函数f(x)在(a,b]上连续，而在点a的右领域内无界，取，如果极限

存在，则称此极限为函数f(x)在(a,b]上的广义积分，仍然记作

，这时也称广义积分收敛。

类似地，设函数f(x)在[a,b]上除点c(a

；(2)

否则，就称广义积分发散。

例1 证明广义积分当q < 1时收敛，当q ≥ 1时发散。

证当q = 1时，

，

当q ≠ 1时，

因此，当q < 1时，这广义积分收敛，其值为；当q ≥ 1时，这广义积分发散。

例2．计算广义积分

?

-4

4x

dx

解：

4

]422[lim |)42(lim 4lim 40

40040

04

=+-=--=-=-→-→-→?

?

εεε

εε

εx x

dx x

dx 例3：广义积分可以相互转化

第六章 定积分应用

6.1定积分的微小元素法(详请见合肥工业大学编写的高等数学上册267页)

6．2平面图形的面积

一直角坐标的情形 定理1：由两条连续曲线)(),(21x f y x f y ==, )()(21x f x f ≤以及直线

x=a,x=b

所围平面图形的面积为：

dx x f x f A b

a

?-=))()((12

证明：有微小元素法：dx x f x f dA ))()((12==,则?-=b

a

dx x f x f A )]()([12

注意：

1． 从几何意义容易看出

??-=b

a

b

a

dx x f dx x f A )()(12

2． 若无

)()(21x f x f ≤这一条件，则面积?-=b

a

dx x f x f A |)()(|12

3． 同理，曲线

),

(),(21y g x y g x ==与y=c,y=d 所围区域的面积为

?-=d

c

dy y g y g A )]()([12，其中)()(21y g y g ≤

例1：求抛物线3x 4x y 2-+-=及其点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成图形的面积

解：

4x 2y K +-='=

在

)3,0(-点处，4K 1=，切线方程

3x 4y -= 在)0,3(点处，2K 2-=，切线方程

6x 2y +-=

??

?+-=-=6

x 2y 3x 4y

得交点??

? ??

3,23 []

d x x x

x S ?-+---=

230

2

)34(34

[]

d x x x

x ?

-+--+-+32

32

)34(62

??

+-+=3

2

32230

2

)96(dx x x dx x

4

98989=+=

定理2：若平面曲线由参数方程给出，

)

)((),(21t t t t y t x ≤≤==ψφ且

)(),(t t ψφ在[21,t t ]连续，0)(>'t φ，则曲线与x=a,x=b 以及x 轴所围的曲边梯形的

面积为：

??'==b

a

t t dt t t dx x f A 2

1

)(|)(||)(|φψ

例1． 求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost) (a>0)的一拱与x 轴所为的面积

解

：

2

2220

20

3)cos 1(])sin ()[cos 1(a dt t a dt t t a t a A ππ

π

=-='--=?

?

二极坐标的情形 定理3：设曲线)(θφ=r

且 )(θφ在[β

α,]上连续，非负

π

αβ2≤-则有曲线

)(θφ=r 与射线βθαθ==,所围区域（称为曲边扇形）的面积为：

θ

θφβα

d A ?=)(212

证明：又微小元素法[

θ

θθd +,]上的面积微元是：

θ

θφd dA )(2

1

2=，所以

θθφβαd A ?=

)(2

12

例1、

求双纽线θ2cos 22

a r

=所围的平面图形的面积。

解：4

54

3,44

,02cos ,02

π

θπ

πθπ

θ≤

≤≤

≤-

≥≥ r 又由图形的对

称性以及公式有：

244

2442|2sin 21

2cos 212a a d a A ===--?π

πππθθθ

例2、求由曲线

θ=γθ=γ2cos ,

sin 22所围图形公共部分的面积

解：两曲线的交点???

? ??π??

?

?

??π65,22,6,22

(

)

???

????

?θθ+θθ=??

ππ

π6

046

2

d 2cos 21

d sin 221

2S =θθ-?

π

d )2cos 1(60

+?

ππθθ46

d 2cos

2

1362sin 2

12sin 2146

6

0--π=

θ

+???

???θ-θ=πππ

6．3体积

一．

平行截面面积为已知的立体体积

定理一：设V 是位于[a,b]间的一空间立体，A(x)（b x a ≤≤）是截面积的函数，且在[a,b]

上连续，则立体V 的体积为?=b

a

dx x A V

)(

证明：在[x,x+dx]上的体积微元是dV=A(x)dx,则体积为：?=b

a

dx x A V

)(

例1：求由圆柱面

222222,a z x a y x =+=+所围立体的体积

解：由于对称性，我们只要求第一卦限立体体积，过x 点（a x ≤≤0）且垂直于x 轴的平面

与该立体的截面为边长为

2

2x a -的正方形，则

22)(x a x A -=

30320223

16|)31(8)(8a x x a dx x a V a

a =-=-=?

二． 旋转体的体积

旋转体是一种特殊的空间立体，它是一条平面图形饶平面一直线l 旋转一周所得，特别地，直线为x 轴，一般地，设旋转体由曲线y=f(x),x=a,x=b,以及x 轴所围的曲边梯形饶x 轴旋转一周所得的一个立体，用垂直于x 轴的平面去截立体得到截面面积为A(x)=

)(2x f π,则旋转体的体

积为：dx x f V

b

a

?=)(2π

例1例3、过点

)0,1(P 作抛物线2

x y -=的切线，求该切线与抛物线

2x y -=及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积

解：设切点为

)2x ,x (00-

切线方程

)1x (2

x 21

y 0--=

切点在切线上，

∴

)1x (2

x 21

2x 000--=

-

3x 0= ，

∴切线方程：)1x (2

1

y -=

??π

=-π--π=3

1

322x 6

dx )2x (dx )1x (41V 6．4平面曲线的弧唱 一直角坐标系

定理1：设y=f(x)在[a,b]上连续，且有一阶连续导数，则 y=f(x) 在[a,b]上的弧长为

dx f S b

a

?

'+=2][1这由弧微分很容易推导出来。

例1．曲线()

2

x 1ln y -=

相应于2

1

x 0≤

≤的一段 解：1. 2

x

1x 2y --=

'

2

22

x

1x 1y 1-+=

'+

dx x

1x 1s 21

2

2?

-+=

dx x 11x 111210

?

??

? ??

-+++-=

2

10

x

1x

1ln

21-++-= 3ln 21

+-= 二参数方程的情形

当曲线以参数方程 ()

()?

?

?==t y y t x x βα≤≤t 给出时要求t 由βα变化到时的曲线弧

长。由弧微分容易知道：dt t t S

?

'+'=β

α

ψφ22)]([)]([

例1．摆线??

?-=-=t

sin t y t

cos 1x π2t 0≤≤的一拱

3.()()dt t y t x S ?'+'=π20

22

()()dt

t t ?-+=π20

22cos 1sin

?=

π

20

dt 2

t

sin 2

?=π

20

dt 2t sin 2

π

20

2t cos 4??? ??

-=8=

三极坐标的情形

定理3：若曲线的极坐标方程为)(θφ=r

,那么相应于β

θαθ==,的一段弧长为：

θ

θθβ

α

d r r S ?

'+=)()(22

例1：心形线()θcos 1a r

+=的全长 ()0a >

()θ

θsin a r -='，

θθθθθπ

d a d a a ds ?

+=-++=20

22cos 22]sin [)]cos 1([

=8a πθ

|2

sin

=8a

(3) ()θr r

= βθα≤≤

6．5功，压力

例子1.一锥形水池,池口直径20m,深15m,池中盛满瞒水,求将全部池水抽到池口外所做的功. 解:如图建立坐标系,以x 为积分变量,变化区间为[0,15],重中任意取一子区间,考虑深度[x,x+dx]的一层水量T ?抽到池口处所做的功W ?,当dx 很小时,抽出T ?中的每一体积水所做的功为x T ? 而T ?的体积约=

dx x 2)]15(15

10

[

-π

dx x x dW 2)]15(1510

[-=π

ππ1875)]15(15

10

[1502=-=?dx x x W (吨米)

例2.边长为a 和b(a>b)的矩形薄片斜置欲液体中,薄片长边a 与液面平行位于深为h 处,而薄片与液面成

α角,已知液体的密度为ρ,求薄片所受的压力

解:取x 为积分变量,变化区间为[h,h+bsin

α]从中取[x,x+dx]知道面积元素α

sin dx

a

dS =

压力元素

αρsi n dx

xa

dP =,则

)sin 2

1(sin 1sin sin sin αραραραα

b h ab xdx a dx xa P b h h b h h

+===??

++

大学微积分l知识点总结 二

【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1（α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 数乘运算 加减运线性运 （8

释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）c x dx a x a x ++??++?22ln 1 22 （12）分段函数的积分 例题说明：{} dx x ??2,1max （13）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 2.补充知识（课外补充） ☆【例谈不定积分的计算方法】☆ 1、不定积分的定义及一般积分方法 2、特殊类型不定积分求解方法汇总 1、不定积分的定义及一般积分方法 （1）定义：若函数f(x)在区间I 上连续，则f(x)在区间I 上存在原函数。其中Φ(x)=F(x)+c 0,(c 0为某个常数），则Φ(x)=F(x)+c 0属于函数族F(x)+c （2）一般积分方法 值得注意的问题：

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1) 1(+- x x b a y y b a k =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+22 22； （旋转抛物面：z a y x =+2 22（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面：122 2 22=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转））

大学高等数学重点绝密通用复习资料,绝对有用

高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

高等数学 简明二阶微分方程讲义

高等数学简明二阶微分方程讲义 作者：齐睿添 ————微分方程的理论帮助了很多工程学,物理学中实际 问题的解决 讨论0. 欧拉公式 欧拉公式在二阶线性齐次常系数方程通解的推导和其非齐次方程的自由项为三角函数时的求解过程中有重要的应用. 讨论1. 二阶常系数线性齐次微分方程 实际问题1. 如图，在水平光滑平面上有一物体在弹簧和阻尼器的牵拉下往复运动.阻力f的大小与物体运动速率成正比，阻力f的方向与速度方向相反（f=-cv）.

物体的位置随时间如何变化？ 设位置函数x=x(t) 已知: F弹=-kx,f=-cv 故由牛顿第二定律: 合力=-kx-cv=ma 即a+(c/m)v+(k/m)x=0 得到微分方程： 记 得到形如下式的方程（*） 这便是一个二阶常系数线性齐次微分方程. 其通解如下表所示: 特征方程

(上表的具体推导与证明详见教材P174-177) 可以发现其通解形式是符合物块运动的直观直觉的. 1）如果阻力很大，弹簧弹性弱，那么物块晃动两下很快就会停止. 这种情况下,列出方程的通解应是表中第一条或者第二条. 例如:取m=1kg, k=3, c=4, 一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 我们依照数学习惯将时间(自变量)记为x, 将位置(因变量）记为y. 那么方程为: . 特征方程为，有两个不相等实根 通解为 把初值条件带入 求得 故该例的解为 图像

2)如果阻力很小,弹簧的弹性很强,那么物块将反复往返震荡,幅度随时间越来越小.这种情况下方程通解应是上表第三条. 例如: 取m=1kg,c=3,k=4,一开始物块位置在+0.5m处, 给予它一个初速度-5 m/s. 即为 带入初值条件 C_1=1/2, C_2=-17根号7/14 图像为

高等数学下知识点总结

高等数学（下）知识点 主要公式总结 第八章 空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2 222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， ?∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ；?∏∏21// 2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： （三） 空间直线及其方程

1、 一般式方程：?????=+++=+++0 22221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程： p z z n y y m x x 0 00-=-=- 方向向量：),,(p n m s =ρ ，过点),,(000z y x 3、 两直线的夹角：),,(1111 p n m s =ρ ，),,(2222p n m s =ρ ， ?⊥21L L 0212121=++p p n n m m ；?21//L L 2 1 2121p p n n m m == 4、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角， ?∏//L 0=++Cp Bn Am ；?∏⊥L p C n B m A == 第九章 多元函数微分法及其应用 1、 连续： ),(),(lim 00) ,(),(00y x f y x f y x y x =→ 2、 偏导数： x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?), (), (lim ),(00000 00 ；y y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?) ,(),(lim ),(0000000 3、 方向导数： βαcos cos y f x f l f ??+??=??其中 β α,为 l 的方向角。 4、 梯度：),(y x f z =，则j y x f i y x f y x gradf y x ρ ρ),(),(),(000000+=。 5、 全微分：设),(y x f z =，则d d d z z z x y x y ??= +?? （一） 性质 1、 函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系：

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

(完整word版)高等数学辅导讲义

第一部分函数极限连续

历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义域。 解: 由2 ()x f x e =知2 ()[()]1x f x e x ??==-,又()0x ?≥, 则()0x x ?=≤. 例2 (1990, 3分) 设函数1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,lim n n n x a y b →∞ =.

同济六版高等数学(下)知识点整理

第八章 1、 向量在轴上的投影： 性质：?cos )(a a u =（即Prj u ?cos a a =），其中?为向量a 与u 轴的夹角； u u u b a b a )()()( +=+（即Prj u =+)(b a Prj u a + Prj u b ）； u u a a )()( λλ=（即Prj u λλ=)(a Prj u a ）. 2、 两个向量的向量积：设k a j a i a a z y x ++=，k b j b i b b z y x ++=，则 =?b a x x b a i y y b a j z z b a k =1 1) 1(+-y y b a z z b a i +21)1(+-x x b a z z b a j +3 1)1(+- x x b a y y b a k ) =k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+- 注：a b b a ?-=? 3、 二次曲面 （1） 椭圆锥面：222 22z b y a x =+； （2） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222； （旋转抛物面： z a y x =+2 2 2（把把xOz 面上的抛物线z a x =22 绕z 轴旋转）） （3） 椭球面：1222222=++c z b y a x ； （旋转椭球面： 122 222=++c z a y x （把xOz 面上的椭圆122 22=+c z a x 绕z 轴旋转）） （4） 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x ； （旋转单叶双曲面：122 222=-+c z a y x （把 xOz 面上的双曲线122 22=-c z a x 绕z 轴旋转） ）

需要掌握的高等数学知识

高等数学（微积分、微分方程、数理方程） 一、极限 1.定义; 2.序列的极限; 3.函数的极限; 4.极限的运算。 二、函数 1.连续; 2.奇函数和偶函数; 3.复合函数; 4.函数的几种表示方法; 5.常用的几种初等函数及其性质; 6.隐函数。 三、导数与微分、偏导数与全微分 1.导数与偏导数的计算; 2.复合函数和隐函数的导数与偏导数的计算; 3.微分与全微分的计算; 4.一阶微分的形式不变性。 四、矢量分析和场论 1.梯度、散度、旋度的定义及计算； 2.矢量的导数。 五、导数与微分的应用 1.切线方程; 2.函数的增减、凸凹及拐点; 3.极值、最值; 4.曲率; 5.条件极值; 6.渐近线。 六、Taylor级数 1.Taylor级数公式; 2.函数的级数展开; 3.级数的收敛性及收敛半径; 4.级数的求和; 5.常用的Taylor级数。 七、不定积分 1.不定积分的基本性质; 2.分部积分法; 3.换元积分法; 4.简单的不定积分公式。 八、定积分 1.定积分的定义及几何意义; 2.定积分的基本性质; 3. 分部积分法; 4.换元积分法; 5.奇函数与偶函数在对称区间上的积分。 6.积分号F的微商; 7.广义积分; 8.积分的应用。 九、曲线积分、曲面积分和重积分 1.定义; 2.性质; 3.计算; 4.应用。 十、Fourier级数 1.正弦级数与余弦级数; 2.复数形式的Fourier级数;

3.任意函数的Fourier级数; 4.解析延拓。 十一、常微分方程 1.一阶线性常微分方程; 2.二阶常系数线性常微分方程; 3.Euler方程。 十二、偏微分方程 1.二阶线性偏微分方程的分类; 2.分离变量法; 3.本征值问题; 4.球坐标系,柱坐标系和平面极坐标系中的Laplace算子。 参考书： a). 《高等数学》（第三版）同济大学数学教研室主编，高等教育出版社1996年 b). 《高等数学讲义》樊映川编高等教育出版社1989年 c).《数学物理方法》梁昆淼编高等教育出版社1998年

高等数学考试知识点

《高等数学》考试知识点 一、函数、极限、连续 考试内容： 1．函数的概念及表示法；函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形；初等函数简单应用问题的函数关系的建立； 2．数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限； 3．无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较； 4．极限的四则运算；极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限，； 5．函数连续的概念；函数间断点的类型；初等函数的连续性；闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）；考试要求： 1．理解函数的概念，掌握函数的表示方法； 2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性； 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念； 4．掌握基本初等函数的性质及其图形； 5．会建立简单应用问题中的函数关系式； 6．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系； 7．掌握极限的性质及四则运算法则； 8．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法； 9．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；

10．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型； 11．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质； 二、一元函数微分学 考试内容： 1．导数和微分的概念；导数的几何意义和物理意义；函数的可导性与连续性之间的关系；平面曲线的切线和法线；基本初等函数的导数； 2．导数和微分的四则运算；复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法； 3．高阶导数的概念；某些简单函数的n阶导数； 4．一阶微分形式的不变性； 5．罗尔（Roll)定理；拉格朗日（Lagrange）中值定理；柯西（Cauchy）中值定理；泰勒（Taylor）定理； 6．洛必达（L’Hospital）法则； 7．函数的极值及其求法；函数单调性函数；图形的凹凸性、拐点及渐近线；函数最大值和最小值的求法及简单应用； 8．弧微分、曲率的概念；曲率半径； 考试要求： 1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系； 2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分； 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数； 4．会求分段函数的一阶、二阶导数；

经典的考研数学辅导书比较

考研数学辅导书比较，一个比较经典的帖子，重温一下。 1.李永乐考研数学复习全书 题型很全面，内容很充实（线代和概率很不错，微积分稍逊）难度要高于真题，所谓的简单是命题的风格 很常规，没有什么剑走偏锋让人一下傻眼的题，考研真题不正是这样的吗？ 做熟练（我不知道怎么叫做透哈）120以上真不难，135以上就要看临场发挥。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.陈文灯考研数学复习指南 个别题其实已经很陈旧了，难度也有被夸大的嫌疑。很大一部分也是注重基础的题只是不像全书加以强调 和总结，微积分部分题型归纳很好，个别题有难度（真不多），但有助于锻炼思维。线代和概率内容显单 薄。 PS：无穷级数，积分，不等式证明，泰勒公式，中值定理等是精华，做过思路会很清晰。传说，考高分要 做指南，我想，是因为指南在你有一定基础之后，能对你的思维有一个提炼吧。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3.蔡燧林考研数学标准全书 微积分部分例题精华，讲解很深入，给人醍醐灌顶的感觉。所谓精华就是不会边边角角都涉及到的意思， 所以还是要做点非精华的练习（比如全书？？^_^） 线代一般，概率一般，纸张一般，印刷一般。 ps ：章后练习很多，但一定要做，那个也是精华。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 4.水木艾迪微积分通用讲义 配合水木的视频，很好的哈。把解题中的疑难提出来，然后列举例题加以解决分析。章前的知识点讲解也 很好，选题很也典型。总之，比全书微积分要好，值得一读。 PS：多元微分，一元微积分非常好。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 5.赵达夫高等数学辅导讲义 体例不好，一堆知识点，一堆练习，一堆解答。章后练习选题还是很好的，不一定很难，但非常典型。但 PS：只靠这一本书是不够的。是不是叫不给力？ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6.黄庆怀高等数学辅导教材 同学们骂我书托吧，我做了这么多书，最想推荐的就是这本了。 体例好，内容全，例题典型，归纳完整，练习题保质保量。唯一稍差是讲解不够（全书和标

高中物理竞赛辅导讲义_微积分初步

微积分初步 一、微积分的基本概念 1、极限 极限指无限趋近于一个固定的数值 两个常见的极限公式 0sin lim 1x x x →= *1lim 11x x x →∞??+= ??? 2、导数 当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限叫做导数。 0'lim x dy y y dx x ?→?==? 导数含义，简单来说就是y 随x 变化的变化率。 导数的几何意义是该点切线的斜率。 3、原函数和导函数 对原函数上每点都求出导数，作为新函数的函数值，这个新的函数就是导函数。 00()()'()lim lim x x y y x x y x y x x x ?→?→?+?-==?? 4、微分和积分 由原函数求导函数：微分 由导函数求原函数：积分 微分和积分互为逆运算。 例1、根据导函数的定义，推导下列函数的导函数 （1）2y x = （2） (0)n y x n =≠ （3）sin y x = 二、微分 1、基本的求导公式 （1）()'0 ()C C =为常数 （2）()1' (0)n n x nx n -=≠ （3）()'x x e e = *（4）()'ln x x a a a = （5）()1ln 'x x = *（6）()1log 'ln a x x a =

（7）()sin 'cos x x = （8）()cos 'sin x x =- （9）()21tan 'cos x x = （10）()21cot 'sin x x = **（11）() arcsin 'x = **（12）()arccos 'x = **（13）()21arctan '1x x =+ **（14）()2 1arccot '1x x =-+ 2、函数四则运算的求导法则 设u =u (x )，v =v (x ) （1）()'''u v u v ±=± （2）()'''uv u v uv =+ （3）2'''u u v uv v v -??= ??? 例2、求y=tan x 的导数 3、复合函数求导 对于函数y =f (x )，可以用复合函数的观点看成y =f [g (x)]，即y=f (u )，u =g (x ) 'dy dy du y dx du dx == 即：'''u x y y u = 例3、求28(12)y x =+的导数 例4、求ln tan y x =的导数 三、积分 1、基本的不定积分公式 下列各式中C 为积分常数 （1） ()kdx kx C k =+?为常数 （2）1 (1)1n n x x dx C n n +=+≠-+?

高等数学(下)知识点总结

主要公式总结 第八章空间解析几何与向量代数 1、 二次曲面 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 222 2=++c z b y a x 旋转椭球面：1222222=++c z a y a x 3） 单叶双曲面：122 222 2=-+c z b y a x 双叶双曲面：1222222=--c z b y a x 4） 椭圆抛物面：z b y a x =+2222双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-22 22 5） 椭圆柱面：1222 2=+b y a x 双曲柱面：122 22=-b y a x 6） 抛物柱面： ay x =2 （二） 平面及其方程 1、 点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 法向量：),,(C B A n =ρ ，过点),,(000z y x 2、 一般式方程： 0=+++D Cz By Ax 截距式方程： 1=++c z b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111 C B A n =ρ ，),,(2222C B A n =ρ ， 22 22 22 21 21 21 2 12121cos C B A C B A C C B B A A ++?++++= θ ?∏⊥∏210212121=++C C B B A A ；? ∏∏21//2 1 2121C C B B A A == 4、 点 ),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离： 2 2 2 000C B A D Cz By Ax d +++++= （三） 空间直线及其方程

高等数学基础知识点归纳

第一讲函数，极限，连续性 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给 定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就 说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中 的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A 。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作U。

同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高数辅导讲义(4)

第三章 一元函数积分学 §3．1 不定积分 甲 内容要点 一．基本概念与性质 1．原函数与不定积分的概念 设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间 I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()?dx x f 。其中?称 为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2．不定积分的性质 设 ()()C x F dx x f +=?，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。 则（1）()()C x F dx x F +='? 或 ()()? +=C x F x dF （2） ()[]()x f dx x f ='? 或 ()[]()dx x f dx x f d =? （3）()()? ? =dx x f k dx x kf （4） ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 3．原函数的存在性 设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如() ?dx x 2sin ，() ?dx x 2 cos ， ?dx x x sin ，?dx x x cos ，?x dx ln ，dx e x ?-2 等。被积函数有原函数， 但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

二．基本积分公式 1．C x dx x ++= ?+1 1 ααα ()，实常数1-≠α 2． ?+=C x dx x ln 1 3．?+=C a a dx a x x ln 1 ()1,0≠>a a C e dx e x x +=? 4．? +=C x xdx sin cos 5．? +-=C x xdx cos sin 6．C x dx x xdx +== ??tan cos 1 sec 22 7．C x dx x xdx +-==??cot sin 1csc 2 2 8．C x xdx x +=? sec sec tan 9．C x xdx x +-=? csc csc cot 10．C x xdx +-=? cos ln tan 11．C x xdx +=? sin ln cot 12．C x x xdx ++=? tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=? cot csc ln csc 14． ? +=-C a x x a dx arcsin 2 2 ()0>a 15． C a x a x a dx +=+?arctan 122 ()0>a 16． C x a x a a x a dx +-+=-?ln 2122 ()0>a 17． C a x x a x dx +±+=±? 222 2ln () 0>a

《高等数学》-各章知识点总结——第1章

第1章 函数与极限总结 1、极限的概念 (１）数列极限的定义 给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正整数N ， 使得对于n >N 时的一切n , 恒有 |x ｎ-ａ ｜<ε 则称a 是数列｛x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为 a x n n =∞ →lim 或xn →ａ (ｎ→∞)． (2)函数极限的定义 设函数f （ｘ)在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>)有定义,如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小)， 总存在正数δ,（或存在X ） 使得当ｘ满足不等式0<|x －ｘ0|<δ 时，(或当x X >时） 恒有 |f (ｘ)－A ｜<ε , 那么常数Ａ就叫做函数f (ｘ)当0x x →（或x →∞)时的极限， 记为 A x f x x =→)(lim 0 或f (x ）→A (当x →ｘ０).（ 或lim ()x f x A →∞ =) 类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<(00x x x δ<<-）时,恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限(或右极限）记作 00 lim ()(lim ())x x x x f x A f x A - +→→==或 显然有0 lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?== 如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞)时的极限 记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞ →+∞ ==或 显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞ →-∞ →+∞ =?== ２、极限的性质 (１）唯一性 若a x n n =∞ →lim ,lim n n x b →∞ =，则a b = 若0() lim ()x x x f x A →∞→=0() lim ()x x x f x B →∞→=，则A B = (２)有界性 (i)若a x n n =∞ →lim ，则0M ?>使得对,n N + ?∈恒有n x M ≤

高等数学-大一-上学期知识要点

高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB = (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x = ②结论m n a x b x --+++++11结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 0lim ()()x x f x f x →= 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~α αββ'', 且lim βα''存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,x x x x x x x x ()()2 12 1cos ~,1~,11~,ln 1~,x x x e x x x x x μ μ--+-+ 1~ln ,x a x a -()0→x 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123; (2)lim lim n n n n y z a →∞→∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =. ②准则II: 单调有界数列必有极限. 4、利用两个重要极限。 0sin lim 1x x x →= 10lim(1)x x x e →+= 1lim(1)x x e x →∞+= 5、利用洛必达法则。

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第一部分函数极限连续 函数、极限、 连续 函数极限连续 函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质 函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质 函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点 性性唯一性 函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断 性有界性局部有界性点 收敛数列的函数极限的 保号性局部保号性 数列极限四函数极限与数 则运算法则列极限的关系 极限存在准函数极限四 则则运算法则 夹逼准则两个重要极 限 单调有界准无穷小的比 则较 高阶无穷小 低阶无穷小 同阶无穷小 等价无穷小

历年试题分类统计及考点分布 考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计 运算法则极限准则阶 年份 1987 1988 5 3 8 1989 1990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 1998 1999 2000 5 5 2001 2002 2003 4 4 8 2004 4 4 2005 2006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。