各种插值法的对比研究
目录
1.引言 (1)
2.插值法的历史背景 (1)
3.五种插值法的基本思想 (2)
3.1拉格朗日插值 (2)
3.2牛顿插值 (3)
3.3埃尔米特插值 (3)
3.4分段线性插值 (4)
3.5三次样条插值 (5)
4.五种插值法的对比研究 (5)
4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (5)
4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (6)
4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (6)
4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (6)
5.插值法在实际生活中的应用 (6)
6.结束语 (6)
致谢 (7)
参考文献 (7)
各种插值法的对比研究
摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率.
关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用
1.引言
在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1]
.所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法.
2.插值法的历史背景
插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践.
因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距
节点的插值,并将其应用在天文历法观测中.现代工业革命以后欧洲著名的数学家拉格朗日给出了拉格朗日插值法的概念以及应用.微积分产生后,插值法的基本理论和结果进一步得到改善.
3.五种插值法的基本思想
如果一个函数)(x f y =在区间[]b a ,上有定义,且已知在点b x x x a n ≤<<<≤...10上的值0y ,1y ,2y , ,n y ,若存在一简单函数)(x P ,使得
成立,)(x P 为插值函数,点0x ,1x ,2x , ,n x 称为插值节点,插值节点的区间[]b a ,称为插值区间,求插值函数)(x P 的方法称为插值法.若)(x P 的多项式次数不超过n ,即有
)(x P n n x a x a x a a ++++= (2210)
3.1拉格朗日插值
拉格朗日插值是n 次多项式插值,它是用构造插值基函数的办法来解决n 次多项式插值的问题.拉格朗日插值多项式可以表示为
=)(x L n ∑=n
k k
k x l y 0)(, )(x l k 为插值基函数,表达式为
=)(x l k )
)...()()...(())...()()...((110110n k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x --------+-+-,n k ,,1,0 = 截断误差为)()()(x L x f x R n n -=,也是插值余项.关于插值余项,估计有以下定理[2]:
设)(x f n 在[]b a ,上连续,)(1x f n +在()b a ,内存在,节点b x x x x a n
≤<<<<≤ 210,)(x L n 是满足条件(1.4)的插值多项式,则对任何[]b a x ,∈,插值余项
)()!
1()()()()(1)1(x n f x L x f x R n n n n +++=-=ωξ 余项表达式的应用有它的局限性,一般只适合于)(x f 高阶导数存在的情况下.若设1)1()(max ++≤≤=n n b x a M x f ,则误差为)()!
1()(11x w n M x R n n n +++≤.
3.2牛顿插值
牛顿插值的基本思想是对n 次插值多项式)(x P n 进行逐次生成,然后用插值条件求出)(x P n 系数[3]
.因此,提出了均差（即差商）的概念.
设 称有函数)(x f ,1x ,2x ,3x , ,n x 是一系列不相等的点,则 []=k x x f ,00
0)()(x x x f x f k k --为函数)(x f 关于点0x ,2x 的一阶均差; []=k x x x f ,,10[]1
100],[,x x x x f x x f k k -- 称为)(x f 的二阶均差; []=
k x x x f ,...,,10[][]1110210,...,,,,...,,-----k k k k k x x x x x f x x x x f 为)(x f )的k 阶均差. 我们先求出1次多项式,2次多项式,然后类推出n 次多项式,构造出n 次代数插值多项式的另外一种表达形式—牛顿插值多项式
=)(x P n +)(0x f []10,x x f +-)(0x x []210,,x x x f )(0x x -+-)(1x x … []n x x x x f ,...,,,210+)(0x x -))...((11---n x x x x ,
=)(x R n []n x x x x x f ,...,,,,210)(0x x -))...((1n x x x x --,
=)(x f +)(x P n )(x R n .
)(x P n 为牛顿插值多项式,)(x R n 为余项.
3.3埃尔米特插值
有的时候解决函数)(x f 的问题,不仅要在某些点上知道函数值,而且已知在一些点上的导数值.那么这时插值函数)(x P ,它在某些点处的导数值和函数值与原表达式的值相等的.那么我们从几何这个方面来思考这个问题,求出插值多项式的曲线,不但通过已知点组,而且在这些点处与原曲线＂相切＂[4]
.
(一)、泰勒插值
定义 [][])(,lim ,0'
0000x f x x f x x f x x ==→为一阶重节点均差;
[][])(2
1,,lim ,,0''2100000201x f x x x f x x x f x x x x ==→→为二阶重节点均差; 则n 阶重节点均差为[][])(!1,,,lim ,,,0100000
x f n x x x f x x x f n n x x i ==→ . 当0x x i →时,牛顿插值公式的极限为
=)(x P n +)(0x f )(0'x f +-)(0x x ...！
n x f n )(0)(n
x x )(0-. 称为泰勒插值多项式.
它满足条件
=)(0)(x P k n )(0)(x f k ,),...,2,1,0(n k =
（二）、两点三次埃尔米特插值
若)(x f 在k x ,1+k x 的函数值为k y ,1+k y ,k k m x f =)(',11')(++=k k m x f ,我们可以构造出一个次数不超过3的多项式,)(3x H 为插值函数.设
=)(3x H +k k y x a )(+++11)(k k y x a +k k m x )(β11)(++k k m x β,
k a ,1+k a ,k β,1+k β为插值基函数.
可得结果
=)(3x H 2111))(21(+++----+k k k k k k x x x x x x x x k y 2111))(21(k
k k k k k x x x x x x x x ----+++++++1k y )(k x x -+--++k k k k m x x x x 211)(
121)(++--k k k k m x x x x , =)(3x R 2124)())((41+--k k x x x x f ξ！
,),(1+∈k k x x ξ. 3.4分段线性插值
分段线性插值:
一般描述,如给定[]上b a ,1+n 个节点b x x x x a n =<<<<= 210和相应的函数值)(i f f i =),...,2,1,0(n i =,记k k k x x h -=+1,k k
h h max =. 构造)(x I h 满足:
(1)[]
b a C x I h ,)(∈;
(2)k k h f x I =)(),,2,1,0(n k =;
(3))(x I h 在每个小区间[]1,+k k x x 上是线性函数.
由以上条件直接可得)(x I h 在小区间[]
1,+k k x x 上的表达式为 =
)(x I h +--++k k k k f x x x x 1111++--k k
k k f x x x x , )1,,2,1,0(-=n k 误差估计 -)(x f =)(x I h ))((!
2)(1)(''+--k k k x x x x x f ξ))((max 2121+≤≤--≤+k k x x x x x x x M k k . 当∞→h 时,0)()()(→-=x I x f x R h ,)(x I h 在[]b a ,上一致收敛到)(x f .
3.5三次样条插值
三次样条插值（Spline 插值）的具体要求是: 函数[]b a C x S ,)(2∈,并在每个小区间[]
1,+j j x x 上是一个三次多项式,其中b x x x x a n =<<<<=...210是给定节点,如果对给定的节点函数值有j y )(j x f =),...,2,1,0(n j =,并且=)(j x S j y ,),...,2,1,0(n j =成立,这时我们就把)(x S 称为三次样条插值函数.
4.五种插值法的对比研究
通过讨论插值法的相关内容,可以让我们更好的了解插值法.现在我们先从插值多项式的形式上、用途上、计算方法上、精确度上等进行对比研究,比较各自优缺点,然后再通过实例验证之.
4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较
（一）拉格朗日插值多项式步骤衔接紧密,条理清晰,在理论中十分重要.但是计算比较复杂,因为每添加一个点,所以的公式都要重新计算,这样计算步骤较多会导致计算量变大,反而会导致出现误差与原来的目的背道而驰.
（二）牛顿插值多项式的计算量小,步骤简洁.当添加一个节点时,它仍然可以使用,即具有“承袭性”也叫“继承”,所以此类方法应用灵活.但是我们根据正常的想象和观察插值余项,我们一般局部地总是认为当原函数给出的点是越来越多时,我们借助的辅助函数的次数越高,它就和原函数越来越近,误差越来越小.然而事实并非如此,当遇到插值节点等距分布的情况
时,只要求函数点值相等不能够充分反映插值函数的性质[5].
4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较
多项式插值要求在插值节点上函数值相等,计算简单,条件不怎么苛刻.但是如果有的时候一方面要在节点处函数值相等,另一方面要导数值相等,这时多项式插值否则不满足此类情况.
埃尔米特插值不仅算法简单而且它具有强烈收敛性.但是它的光滑度不高,而且它的使用条件,也有局限性.在一些特定的限制条件下,有时函数的导数值在这点是完全没有必要知道的.因此,知道节点处的导数的插值函数成为能否运用Hermite插值的一个重要因素[6].
4.3多项式插值法与分段线性插值的比较
多项式插计算简单,比较方便,但是节点增加的同时就会出现龙格现象,图形波动较大[7].
分段线性插值能够克服龙格现象,有收敛性,但是在区间内有转折点,光滑性不好.
4.4 分段线性插值与样条插值的比较
样条插值的插值函数算法稳定,而且插值函数光滑,收敛性强,误差小.但是它不能局部确定,常常需要解线性方程组.
5.插值法在实际生活中的应用
插值法是数值逼近中一个非常重要的部分,其次它在实际生活中起着不容小觑的作用,比如天文学以及数学.
6.结束语
插值法在解决实际问题中有很大的应用.插值方法是各种各样的,它包含拉格朗日插值法、牛顿插值法、Hermite插值法、分段线性插值法以及三次样条插值法等.我们不论使用哪个插值法,它的原理都是一样的.本课题首先介绍了插值的背景以及各类方法的基本思想;然后通过解题、画图、一道题用几种不同方法来解答,让我们哪种方法适合解答哪种类型的题,再然后进行对比,探讨出它们的优缺点,最后文章举个例子来说明插值法有很大的作用,它和我们是相连的,同时利用MATLAB给出了模拟图,通过这种数与形的结合,更好地了解各
类插值法的应用于特征.
致谢
本论文在苏晓琴老师的悉心指导下完成的，同样也是我第一次写这样的文章。苏晓琴老师以其广博的知识、丰富的经验和清晰的思路，自始至终给我以耐心的指导，使我能够顺利的完成论文写作；她严谨的治学态度和精益求精的工作方式给我留下深刻的印象，令我受益匪浅；故借此论文完成之际，对苏晓琴老师表示深深的感谢。
参考文献
[1]李庆扬,王能超. 数值分析第5版[M].北京:清华大学出版社,2008.22~46.
[2]王仁宏.数值逼近[M].北京:北京高等出版社,1999.
[3]吴才斌.插值法及其应用[J].湖北大学成人教育学院学报,1999,(05):77~80.
[4]彭湘晖.几种常用插值方法比较分析[J].黑龙江水利科技,2008,(01):62~63.
[5]朱正佑,李根国,程昌钧.分数积分的一种数值计算方法及其应用[J]. 应用数学和力学,2003,(04):331~341.
[6]姜琴,周天宏.常见的插值法及其应用[J].郧阳师范高等专科学校学报,2006,(03):77~80.
[7]赵景军,吴勃英.关于《数值分析》教学的几点探讨[J].大学数学,2005,(03):28~30.
Comparative Study of Various Kinds of Interpolation Method Abstract: Interpolationis a kind of ancient mathematics method, at the same time, an old branch is in numerical calculation. Not only is it based of numerical integration, numerical differentiation, numerical solution and differential equations, but also applies to medical science, communication, precision machining and so on. This article first introduces the background of the interpolation and the basic idea of the five sectors of the method of interpolation, then we combine the Lagrange interpolation with Newton interpolation, Polynomial interpolation and Hermite interpolation, Polynomial interpolation and Piecewiselinear interpolation, Piecewise linear interpolation and Spline function interpolation, are given by the corresponding algorithm with the MATLAB program, then is given by comparing the five interpolation methods and the degree of approximation of the inserted function according to the learned knowledge, and the relation and difference between the different methods are found out. And the end on this basis to further study the practical application of the interpolation method to improve the practicality of the interpolation
method, which allows us to see a problem in the future application, we know which method is more suitable for it, and then greatly to improve efficiency quickly.
Keywords: Polynomialinterpolation; Spline function interpolation; MATLAB program; Application
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include 题目：五种插值法的对比研究 xxx大学本科生毕业论文开题报告表 论文（设计）类型：A—理论研究；B—应用研究；C—软件设计等； 五种插值法的对比研究 (3) 一插值法的历史背景 (5) 二五种插值法的基本思想 (5) （一）拉格朗日插值 (5) （二）牛顿插值 (6) （三）埃尔米特插值 (7) （四）分段线性插值 (7) （五）样条插值 (8) 三五种插值法的对比研究 (9) 四插值法在matlab中的应用 (15) 五参考文献 (17) 五种插值法的对比研究 摘要：插值法是数值分析中最基本的方法之一。在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时，要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值，按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。本文详细介绍了拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、埃尔米特插值、样条插值法，并从五种插值法的基本思想和具体实例入手，探讨了五种插值法的优缺点和适用范围。.通过对五种插值法的对比研究及实际应用的总结，从而使我们在以后的应用中能够更好、更快的解决问题。 关键词：插值法对比实际应用 Abstract: interpolation numerical analysis of one of the most basic method. Function is a wide variety of practical problems encountered, and some even not give expression provides only a number of discrete data, e.g., in the the checker number table, to check the data is not found in the table , first find out the number next to it, from the side to find the correction value, a certain relationship between the adjacent number to be amended, and to find to find the number, this correction relationship is actually an interpolation . Selection of different types of interpolation functions in practical applications, the approximation of the effect is different. This paper describes the Lagrange interpolation, Newton interpolation, piecewise interpolation, Hermite interpolation, spline interpolation, and start from the basic idea of the five interpolation and specific examples to explore the advantages of the five interpolation shortcomings and the scope of application. The comparative study and practical application of the summary by the the five interpolation method of application so that we can better and faster to solve the problem. 常见的插值方法及其原理 这一节无可避免要接触一些数学知识，为了让本文通俗易懂，我们尽量绕开讨厌的公式等。为了进一步的简化难度，我们把讨论从二维图像降到一维上。 首先来看看最简单的‘最临近像素插值’。 A,B是原图上已经有的点，现在我们要知道其中间X位置处的像素值。我们找出X位置和A,B位置之间的距离d1,d2，如图，d2要小于d1,所以我们就认为X处像素值的大小就等于B处像素值的大小。 显然，这种方法是非常苯的，同时会带来明显的失真。在A,B中点处的像素值会突然出现一个跳跃，这就是为什么会出现马赛克和锯齿等明显走样的原因。最临近插值法唯一的优点就是速度快。 图10，最临近法插值原理 接下来是稍微复杂点的‘线性插值’（Linear） 线性插值也很好理解，AB两点的像素值之间，我们认为是直线变化的，要求X点处的值，只需要找到对应位置直线上的一点即可。换句话说，A,B间任意一点的值只跟A,B有关。由于插值的结果是连续的，所以视觉上会比最小临近法要好一些。线性插值速度稍微要慢一点，但是效果要好不少。如果讲究速度，这是个不错的折衷。 图11，线性插值原理 其他插值方法 立方插值，样条插值等等，他们的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了达到这个目的，他们不得不利用到周围若干范围内的点，这里的数学原理就不再详述了。 图12，高级的插值原理 如图，要求B,C之间X的值，需要利用B,C周围A,B,C,D四个点的像素值，通过某种计算，得到光滑的曲线，从而算出X的值来。计算量显然要比前两种大许多。 好了，以上就是基本知识。所谓两次线性和两次立方实际上就是把刚才的分析拓展到二维空间上，在宽和高方向上作两次插值的意思。在以上的基础上，有的软件还发展了更复杂的改进的插值方式譬如S-SPline, Turbo Photo等。他们的目的是使边缘的表现更完美。 五种插值法的对比研究 1. 选题依据 1.1 选题背景 插值法是一种古老的数学方法，插值法历史悠久。据考证，在公元六世纪时， 我国焯(zhuo) 已经把等距二次插值法应用于天文计算。十七世纪时，Newton 和 Gregory(格雷格里) 建立了等距节点上的一般插值公式，十八世纪时，Lagrange(拉格朗日) 给出了更一般的非等距节点插值公式。 而它的基本理论是在微积分产生以后逐渐完善的，它的实际应用也日益增多，特别是在计算机工程中。许多库函数的计算实际上归结于对逼近函数的计算。 1.2 研究的目的和意义 插值法是数值分析中最基本的方法之一。 在实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的甚至给不出表达式，只提供了一些离散数据，例如，在查对数表时， 要查的数据在表中找不到，就先找出它相邻的数，再从旁边找出它的修正值， 按一定关系把相邻的数加以修正，从而找出要找的数，这种修正关系实际上就是一种插值。 在实际应用中选用不同类型的插值函数，逼近的效果也不同。在数值计算方法中，我们学习过五种基本的插值方法，即Lagrange 插值、Newton 插值、分段线性插值、分段三次Hermite 插值、样条插值函数。所以通过从这五种插值法的基本思想、特征、性质和具体实例入手，探讨五种插值法的优缺点和适用围，让学习者能够迅速而准确的解决实际问题，掌握插值法的应用。 2. 研究的方法 从具体实例入手并结合Matlab 在科学计算中的优势，通过实验对它们的精度和效率进行比较分析。 3. 论文结构 3.1 论文的总体结构 第一部分 导言 主要介绍选题的背景、目的及意义、研究现状、文献综述等。 第二部分 五种插值法的基本思想、性质及特点 在数值计算方法中，插值法是计算方法的基础，数值微分、数值积分和微分方程数值解都建立在此基础上。 插值问题的提法是：已知f(x)(可能未知或非常复杂函数)在彼此不同的n+1 个实点0x ,1x ,…n x 处的函数值是f(0x )，f(1x )，…,f(n x )，这时我们简单的说f(x)有n+1 个 离散数据对0n i i )}y ,{(x i .要估算f(x)在其它点x 处的函数值，最常见的一种办法就是插 值，即寻找一个相对简单的函数y(x)，使其满足下列插值条件：y(i x )=f(i x )，i=0,1,…,n.，并以y(x)作为f(x)的近似值.其中y(x)称为插值函数，f(x)称为被插函数。 几种常用的插值方法 数学系 信息与计算科学1班 李平 指导老师：唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。 一．任意阶多项式插值： 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值： 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ） =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------L L L L ，其中i=0，… n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中 CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告 三次样条插值方法的应用 一、问题背景 分段低次插值函数往往具有很好的收敛性，计算过程简单，稳定性好，并且易于在在电子计算机上实现，但其光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线船体放样等型值线往往要求具有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（即所谓的样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让他自由弯曲，然后沿木条画下曲线，称为样条曲线。样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数及其应用。 二、数学模型 样条函数可以给出光滑的插值曲线（面），因此在数值逼近、常微分方程和偏微分方程的数值解及科学和工程的计算中起着重要的作用。 设区间[]b ,a 上给定有关划分b x x n =<<<= 10x a ，S 为[]b ,a 上满足下面条件的函数。 ● )(b a C S ,2∈； ● S 在每个子区间[]1,+i i x x 上是三次多项式。 则称S 为关于划分的三次样条函数。常用的三次样条函数的边界条件有三种类型： ● Ⅰ型 ()()n n n f x S f x S ''0'',==。 ● Ⅱ型 ()()n n n f x S f x S ''''0'''',==，其特殊情况为()()0''''==n n x S x S 。 ● Ⅲ型 ()() 3,2,1,0,0==j x S x S n j j ，此条件称为周期样条函数。 鉴于Ⅱ型三次样条插值函数在实际应用中的重要地位，在此主要对它进行详细介绍。 三、算法及流程 按照传统的编程方法，可将公式直接转换为MATLAB 可是别的语言即可；另一种是运用矩阵运算，发挥MATLAB 在矩阵运算上的优势。两种方法都可以方便地得到结果。方法二更直观，但计算系数时要特别注意。这里计算的是方法一的程序，采用的是Ⅱ型边界条件，取名为spline2.m 。 Matlab 代码如下： function s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) %s=spline2(x0,y0,y21,y2n,x) %x0,y0 are existed points,x are insert points,y21,y2n are the second 插值法在管理决策中的应用及其Ｍａｔｌａｂ实现 张英俊，孙大宁＊，张亚娟 （北方工业大学理学院，北京１００１４４） 摘 要：利用插值曲线，即三次样条插值和立方插值法来比较分析随机网络评审法中两个随机变量之间的相关 性．经分析表明，立方插值不仅是分析相关性的实用曲线工具，而且利用Ｍａｔｌａｂ所构造的函数有足够的光滑性、平顺性，且图像在考察变量的相关性时具有直观性的优点，因此对它的应用研究非常有价值． 关键词：插值 Ｍａｔｌａｂ程序相关性 中图分类号：Ｏ２９；ＴＢ１１５文献标识码：Ａ文章编号：１６７４－０８７４（２００８）０３－００４０－０３ 收稿日期：２００８－０１－１５ 作者简介：张英俊（１９８２－），女，山西平遥人，在读硕士，研究方向：风险决策；＊孙大宁，男，教授，通讯作者． 随机网络评审法是基于随机网络和计算机仿真的一种随机型的定量评估方法，它是以风险评审技术（简称ＶＥＲＴ）为基础的，ＶＥＲＴ是一种计算机仿真技术，它把网络理论，仿真原理和概率论综合起来，其特点之一就是在各种信息不完全，不充分和不肯定的情况下，对各种工程系统和工程项目的发展计划有关的时间Ｔ（周期或工作量），费用Ｃ（耗费、成本或投入），功能Ｐ（性能、效益或输出等）三种指标来描述，从而描述决策分析对象应达到的目标．一般情况下，在进行风险决策分析时为了有利于模型的建立和使分析计算工作更快更有效，我们需要对网络中各个节点上相应随机参数的频数直方图以及３个参数中任意两者之间的相关性进行分析．在处理我国飞机预研计划这一课题发展起来的 ＳＮＳＳ系统是采用Ｆｏｒｔｒａｎ７７语言编写的［１］，以卡片形式进行输入输出的，在输出直方图以及进行时间、 费用、效益三者中任两者之间相互关系的计算上不是很直观、很简洁．其实两个随机参数之间的这种函数关系，在数值分析中有许多的方法可以求得，但是哪种方法能更直观、更合乎实际地给出反映这种相关性的平滑曲线呢？本文所选的插值方法能够较好地满足这一要求． １插值方法的选择及其数学原理 插值是已知某函数在若干离散点上的函数值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束．也即要求通过平面上已知ｎ个点（ｘｉ，ｙｉ），ｉ＝ １，２，…，ｎ作一条光滑的曲线，完成这项工作的方 法有多种，如拉格朗日插值、埃尔米特插值和分段 插值等．实际表明，拉格朗日插值和埃尔米特插值函数对于数据较多且具有随机性的变量相关性分析，做一个高次插值多项式是不理想的，因为它带有近似性，且计算也相当复杂．而分段插值是克服高次插值的Ｒｕｎｇｅ现象而提出的，只能保证曲线的连续性，却不能保证曲线的光滑性．但是在生产和科学实验中，对所做的插值曲线既要简单，又要在曲线的连接处比较光滑，即所作的分段插值函数在分段上要求多项式次数低，而在节点上不仅连续，还存在连续的低阶导数，我们把满足这样条件的插值函数，称为样条插值函数，它所对应的曲线称为样条曲线，其节点称为样点，这种插值方法称为样条插值［２］． ２ 应用举例 ２．１ 资料说明 某企业的领导和管理者，得知与其竞争的另一 企业正在研制一种新产品，一旦这种新产品研制成功，将给另一企业带来销售市场上的绝对优势，如 第２４卷第３期山西大同大学学报（自然科学版） Ｖｏｌ．２４．Ｎｏ．３２００８年６月 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｘｉＤａｔｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ） Ｊｕｎ．２００８ 基于GIS的气温插值方法比较研究 --以陕西省为例 摘要：随着空间气温信息需求的日益增加，气温的空间插值已被广泛应用而不同的插值方法因不同的地区和研究目的产生不同的效果。采用西安19个国家基本站点1983年的年平均气温数据，应用地信软件ArcGIS中的地统计学模块进行空间降水插值实验，分别采用反距离权重法、样条函数插值法和克里格方法探讨了陕西年均气温的空间分布，分析发现：三种插值方法在不同区域上各有优缺点，在本文研究年均气温分布中，克里格插值法要优于其它方法。 关键词: 空间插值; 年均气温; 地统计学; 陕西 1引言 作为生态、资源环境等相关学科基础数据源，气候信息在区域和全球尺度生态系统变化的模拟、生态系统管理、自然资源区划和管理中发挥着重要作用[1-4]。然而由于气象站点定位观测获取的只是局部有限的空间点数据，要想得到区域尺度的有关参数，只能利用以点代面或者空间内插和外推方法得到气象要素的空间分布数据[5-8]。 目前用于资料空间插值的方法有多种，主要有克里格(Kriging)插值法、反距离加权法(InverseDistanceWeight，IDW)、样条法(Splines)和综合插值法等。研究区域和时间尺度的不同决定插值方法选用的不同，即使是同一种插值方法，用于不同的研究区域，所取得的结果也不同，不同的方法插值结果差别也很大[9-11]。气象要素的空间分布受诸多要素影响，由于气象观测站点稀少而且分布不均，在很多地形复杂的地区，可用的气象数据非常有限，因此如何充分利用有限的气候资源，根据气候要素的空间分异规律，推测无观测点和少观测点区域的气候要素值，一直是相关学科研究的热点。 各种插值法对比研究 目录 1.引言 (1) 2.插值法的历史背景 (1) 3.五种插值法的基本思想 (2) 3.1拉格朗日插值 (2) 3.2牛顿插值 (3) 3.3埃尔米特插值 (4) 3.4分段线性插值 (5) 3.5三次样条插值 (6) 4.五种插值法的对比研究 (6) 4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (6) 4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (7) 4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (7) 4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (7) 5.插值法在实际生活中的应用 (7) 6.结束语 (8) 致谢 (8) 参考文献 (8) 各种插值法对比研究 摘要：插值法是一种古老数学办法,也是数值计算中一种算法.插值法不但是微分方程、数值积分、数值微分等计算办法基本,并且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文一方面简介了插值背景以及惯用五种插值法基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应算法与MATLAB 程序,依照已学知识对五种插值办法与被插函数逼近限度进行对比研究,找出不同办法间联系与区别,分析出它们优缺陷,最后在此基本上进一步研究插值法实际应用,以提高插值法实用性,从而能让咱们在后来应用中看到一种问题,就懂得哪种办法更适合于它,然后大大地迅速提高效率. 核心词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用 1.引言 在诸多解题以及应用生活中,经常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言精确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数表达式表达出来.例如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系,但是依照观测和测量或者实验只能得到有限个函数值,咱们可以运用这几点来拟定函数表达式.或者有某些函数表达式是已经懂得,但是它们计算是十分繁琐复杂,不容易发现它本质,并且它用法也比较局限.函数是表达数与数之间联系,为了能较好地用数学语言表达出函数关系,普通通过给定数据构造一种函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 特点,又以便计算,用)(x P 近似)(x f .普通选一种简朴函数)(x P ,并且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候)(x P ,从要表达函数规律来看,就是咱们需要插值函数[1] .所用办法就是插值法,由于所选用)(x P 多样化,得到不同插值法. 2.插值法历史背景 多种插值法比较与应用 （一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式 ∏ ≠=--=n k j j j k j k x x x x x l 0)( n k ,,1,0ΛΛ= 称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式 设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件 )()(k k n x f x L =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 ∏∏ ∏=≠==--==n k n k j j j k j k k n k k n x x x x x f x l x f x L 0 00 ))(()()()( 为Lagrange 插值多项式，称 ∏=+-+=-=n j j x n n x x n f x L x f x E 0 )1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111ΛΛΛΛΛ 2． Newton 插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0ΛΛ=，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0ΛΛ= 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N ΛΛΛΛΛ 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏=ΛΛ 为插值余项。 （三）Hermite 插值 设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，'1f ，…，'n f ，则满足条件 n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(''1212Λ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为 )()()(0 '12x f x f x H j n j j j n j i n βα∏∏=++= 其中 )())((,)]()(21[)(2 2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα 1. 克里金法（Kriging） 克里金法是通过一组具有z 值的分散点生成估计表面的高级地统计过程。与其他插值方法不同，选择用于生成输出表面的最佳估算方法之前应对由z 值表示的现象的空间行为进行全面研究。 克里金插值与IDW插值的区别在于权重的选择，IDW仅仅将距离的倒数作为权重，而克里金考虑到了空间相关性的问题。它首先将每两个点进行配对，这样就能产生一个自变量为两点之间距离的函数。对于这种方法，原始的输入点可能会发生变化。在数据点多时，结果更加可靠。该方法通常用在土壤科学和地质中。 2. 反距离权重法（Inverse Distance Weighted，IDW） 反距离权重法（反距离权重法）工具所使用的插值方法可通过对各个待处理像元邻域中的样本数据点取平均值来估计像元值。点到要估计的像元的中心越近，则其在平均过程中的影响或权重越大。此方法假定所映射的变量因受到与其采样位置间的距离的影响而减小。例如，为分析零售网点而对购电消费者的表面进行插值处理时，在较远位置购电影响较小，这是因为人们更倾向于在家附近购物。 反距离权重法主要依赖于反距离的幂值。幂参数可基于距输出点的距离来控制已知点对内插值的影响。幂参数是一个正实数，默认值为2。 通过定义更高的幂值，可进一步强调最近点。因此，邻近数据将受到最大影响，表面会变得更加详细（更不平滑）。随着幂数的增大，内插值将逐渐接近最近采样点的值。指定较小的幂值将对距离较远的周围点产生更大影响，从而导致更加平滑的表面。 由于反距离权重公式与任何实际物理过程都不关联，因此无法确定特定幂值是否过大。作为常规准则，认为值为30 的幂是超大幂，因此不建议使用。此外还需牢记一点，如果距离或幂值较大，则可能生成错误结果。 3. 含障碍的样条函数（Spline with Barriers） 含障碍的样条函数工具使用的方法类似于样条函数法工具中使用的技术，其主要差异是此工具兼顾在输入障碍和输入点数据中编码的不连续性。 含障碍的样条函数工具应用了最小曲率方法，其实现方式为通过单向多格网技术，以初始的粗糙格网（在本例中是已按输入数据的平均间距进行初始化的格网）为起点在一系列精细格网间移动，直至目标行和目标列的间距足以使表面曲率接近最小值为止。 4. 地形转栅格（Topo to Raster） 地形转栅格和依据文件实现地形转栅格工具所使用插值技术是旨在用于创建可更准确地表示自然水系表面的表面，而且通过这种技术创建的表面可更好的保留输入等值线数据中的山脊线和河流网络。 5. 样条函数（Spline） 样条函数法工具所使用的插值方法使用可最小化整体表面曲率的数学函数来估计值，以生成恰好经过输入点的平滑表面。 插值法的应用与比较 信科1302 万贤浩 13271038 1格朗日插值法 在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国十八世纪数学家约瑟夫·路易斯·拉格朗日命名的一种多项式插值方法.许多实际问题中都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解.如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值.这样的多项式称为拉格朗日（插值）多项式.数学上来说，拉格朗日插值法可以给出一个恰好穿过二维平面上若干个已知点的多项式函数.拉格朗日插值法最早被英国数学家爱德华·华林于1779年发现，不久后由莱昂哈德·欧拉再次发现.1795年，拉格朗日在其著作《师范学校数学基础教程》中发表了这个插值方法，从此他的名字就和这个方法联系在一起. 1.1拉格朗日插值多项式 图1 已知平面上四个点：(?9, 5), (?4, 2), (?1, ?2), (7, 9)，拉格朗日多项式：)(x L （黑色）穿过所有点.而每个基本多项式：)(00x l y ,)(11x l y , )(22x l y 以及)(x l y ??各穿过对应的一点，并在其它的三个点的x 值上取零. 对于给定的若1+n 个点),(00y x ,),(11y x ,………),(n n y x ，对应于它们的次数不超过n 的拉格朗日多项式L 只有一个.如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L 相差 ))((10x x x x --λ……)(n x x -的多项式都满足条件. 对某个多项式函数，已知有给定的1+k 个取值点： ),(00y x ,……,),(k k y x , 空间插值可以有很多种分类方法，插值种类也难以举尽。在网上看到这篇文章，觉得虽然作者没能进行分类，但算法本身介绍地还是不错的。 在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括： Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法） Kriging（克里金插值法） Minimum Curvature（最小曲率） Modified Shepard's Method（改进谢别德法） Natural Neighbor（自然邻点插值法） Nearest Neighbor（最近邻点插值法） Polynomial Regression（多元回归法） Radial Basis Function（径向基函数法） Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法） Moving Average（移动平均法） Local Polynomial（局部多项式法） 下面简单说明不同算法的特点。 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋 数学系 信息与计算科学1班 李平 指导老师：唐振先 摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。 关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。 引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。 一．任意阶多项式插值： 1.用单项式基本插值公式进行多项式插值： 多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。 虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。 2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ） =011011()()()() ()()()() i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，… n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()n i i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。与单项式基本 函数插值多项式相比,拉格朗日插值有2个重要优点:首先,建立插值多项式不需要求解方程组；其次,它的估计值受舍入误差要小得多。拉格朗日插值公式结构 常见插值方法及其介绍 Inverse Distance to a Power（反距离加权 插值法）”、 “Kriging（克里金插值法）”、 “Minimum Curvature（最小曲率)”、 “Modified Shepard's Method（改进谢别德法）”、 “Natural Neighbor（自然邻点插值法）”、 “Nearest Neighbor（最近邻点插值法）”、 “Polynomial Regression（多元回归法）”、 “Radial Basis Function（径向基函数法）”、 “Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）”、 “Moving Average（移动平均法）”、 “Local Polynomial（局部多项式法）” 1、距离倒数乘方法 距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。方次参数 控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。对于一个较大的方次，较近的数据点被 给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。 计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距 离倒数成比例。当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。当一个 观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点 被给予一 个几乎为0.0 的权重。换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。这就是一个准确插值。 距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。用距离倒数格网化时可 以指定一个圆滑参数。大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的 权值，即使观测点与该结点重合也是如此。圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。 2、克里金法 克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。克里金法试图那样表示隐含在你的数 据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。 克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。 3、最小曲率法 最小曲率法广泛用于地球科学。用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最 小弯曲量的长条形薄弹性片。最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的 曲面。 使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛 标准。 4、多元回归法 多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类 型。多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。它实际上是一个趋势面分析作 插值法的方法与应用 武汉科技大学城市建设学院 琚婷婷 结构工程 201108710014 【摘要】文章讨论插值法在数值分析中的中心地位和重要作用，比较插值法间的优缺点，应用以及各种方法之间的相互联系。 【关键词】插值法；应用。 1．插值问题的提出 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，但是这些关系的显示表达式不一定都知道，通常只是由观察或测试得到一些离散数值，所以只能从这些数据构造函数的近似表达式，有时虽然给出了解析表达式，但由于解析表达式过于复杂，使用或计算起来十分麻烦。这就需要建立函数的某种近似表达，而插值法就是构造函数的近似表达式的方法。 2．插值法的数学表达 由于代数多项式是最简单而又便于计算的函数，所以经常采用多项式作为插值函数，称为多项式插值。多项式插值法有拉格朗日插值法，牛顿插值法、埃尔米特插值法，分段插值法和样条插值法等。其基本思想都是用高次代数多项式或分段的低次多项式作为被插值函数f (x)的近似解析表达式。 3．常用多项式插值公式构造 (I)拉格朗日插值 n 次拉格朗日插值多项式p n (x)对可表示为 p n (x)= y i l i (x)n i=0= y i ( x ?x j x i ?x j n j ≠0i ≠j n i=0) 其中l i x ,i =0,1,2???,n 称为插值基函数，插值余项为： R n (x)= f (x)- p n (x)=f n +1 (ξ) n+1 ！ (x ?x i )n i=0 拉格朗日插值多项式在理论分析中非常方便，因为它的结构紧凑，利用基函 数很容易推导和形象的描述算法，但是也有一些缺点，当插值节点增加、减少或其位置变化时，整个插值多项式的结构都会改变，这就不利于实际计算，增加了算法复杂度，此时我们通常采用牛顿插值多项式算法。 (2)牛顿插值多项式 牛顿插值多项式为 N(x)=f(x0)+f x0,x1(x?x0)++???+f［x0,x1,???,x n］(x?x0)(x?x1)???(x?x n?1)用它插值时，首先要计算各阶差商，而各高阶差商可归结为一阶差商的逐次计算。一般情况讨论的插值多项式的节点都是任意分布的，但是在实际应用中，出现了很多等距节点的情形，这时的插值公式可以进一步简化，在牛顿均差插值多项式中各阶均差用相应的差分代替，就得到了各种形式的等距节点插值公式，常用的是牛顿前插与后插公式。 (3)分段插值 在整个插值区间上，随着插值节点的增多，插值多项式的次数必然增高，而高次插值会产生Runge现象，不能有效的逼近被插函数，人们提出用分段的低次多项式分段近似被插函数，这就是分段插值法。构造分段插值多项式的方法仍然是基函数法，即先在每个插值节点上构造分段线性插值基函数，再对基函数作线性组合。它的优点在于只要节点间距充分小，总能获得所要求的精度，即收敛性总能得到保证，另一优点是它的局部性质，即如果修改某个数据，那么插值曲线仅仅在某个局部范围内受到影响。 (4)Hermite插值 分段线性插值的算法简单，计算量小，然而从整体上看，逼近函数不够光滑，在节点处，逼近函数的左右导数不相等，若要求逼近函数与被逼近函数不仅在插值节点上取相同的函数值，而且还要求逼近函数与被逼近函数在插值节点上取相同的若干阶导数值，这类问题称为Hermite插值。 (5)样条插值 通常我们用到的分段三次埃尔米特插值构造的是一个整体上具有一阶光滑性的插值多项式，但在实际中，对光滑性的要求更高。如飞机外形的理论模型，舶体放样等型值线等常要求有二阶的光滑度。工程上常用的是3次样条函数s(x)。其基本思想是将插值区间n等分后，在每一个小区间上，采用分段3次Hermite 各种插值法的对比研究 目录 1.引言 (1) 2.插值法的历史背景 (1) 3.五种插值法的基本思想 (2) 3.1拉格朗日插值 (2) 3.2牛顿插值 (3) 3.3埃尔米特插值 (3) 3.4分段线性插值 (4) 3.5三次样条插值 (5) 4.五种插值法的对比研究 (5) 4.1拉格朗日插值与牛顿插值的比较 (5) 4.2多项式插值法与埃尔米特插值的比较 (6) 4.3多项式插值法与分段线性插值的比较 (6) 4.4 分段线性插值与样条插值的比较 (6) 5.插值法在实际生活中的应用 (6) 6.结束语 (6) 致谢 (7) 参考文献 (7) 各种插值法的对比研究 摘要：插值法是一种古老的数学方法,也是数值计算中的一个算法.插值法不仅是微分方程、数值积分、数值微分等计算方法的基础,而且在医学、通讯、精密机械加工等领域都涉及到了它.本文首先介绍了插值的背景以及常用的五种插值法的基本思想,然后通过拉格朗日插值与牛顿插值、多项式插值与埃尔米特插值、多项式插值与分段线性插值、分段线性插值和样条函数插值给出相应的算法与MATLAB 程序,根据已学的知识对五种插值方法与被插函数的逼近程度进行对比研究,找出不同方法间的联系与区别,分析出它们的优缺点,最后在此基础上进一步研究插值法的实际应用,以提高插值法的实用性,从而能让我们在以后的应用中看到一个问题,就知道哪种方法更适合于它,然后大大地快速的提高效率. 关键词：多项式插值;样条函数插值;MATLAB 程序;应用 1.引言 在很多解题以及应用生活中,常常需要用数量关系来反映问题,但是有时没有办法通过数学语言准确地表达出来.已知有些变量之间存在一种函数关系,但没法用函数的表达式表示出来.比如,)(x f 在某个区间上[]b a ,是存在某种数量关系的,但是根据观察和测量或者实验只能得到有限个函数值,我们可以利用这几点来确定函数表达式.或者有一些函数表达式是已经知道的,但是它们的计算是十分繁琐复杂的,不容易发现它的本质,而且它的使用方法也比较局限.函数是表达数与数之间的联系,为了能很好地用数学语言表达出函数的关系,一般通过给定的数据构造一个函数)(x P ,这样既能反映函数)(x f 的特点,又方便计算,用)(x P 近似)(x f .通常选一个简单的函数)(x P ,而且=)(i x P )(i x f ()n i ,...,2,1,0=成立,这个时候的)(x P ,从要表达的函数规律来看,就是我们需要的插值函数[1] .所用方法就是插值法,由于所选用的)(x P 的多样化,得到不同的插值法. 2.插值法的历史背景 插值法的历史源远流长,在很早的时候就涉及到了它.它是数值计算中一个古老的分支,它来源于生产实践. 因为牛顿力学的物理理论知识在一千年前没有出现,所以我们的祖先没有办法用很准确的数学解析式来表达日月五星的运行规律.后来,古代的人们有着聪慧的头脑,想出了插值方法,然后发现了日月五星的运行规律.例如唐朝数学家张遂提出了插值法的概念以及不等距五种插值法的对比研究毕业论文
常见的插值方法及其原理
五种插值法的对比研究开题报告
几种常用的插值方法
三次样条插值方法的应用
插值法在管理决策中的应用及其Matlab实现
基于GIS的气温插值方法比较研究
各种插值法的对比研究样本
几种插值法比较与应用
插值方法比较Word版
几种插值法的应用和比较
各种插值方法比较
几种常用的插值方法
常见插值方法及其介绍
插值法的分类与应用
各种插值法的对比研究
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