等差数列进阶
1. 1+2+3+……2014+2015+2014+……+3+2+1
2. 1+4+7+…+100=（）
3.已知数列4、1、8、2、12、3、16、4、…，问:这个数列中第100 个数是（）。
4.等差数列，求和：3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＋30＝。
5.木材仓库堆放一批粗细均匀的圆木，最下面一层放了15 根，以后每向上堆一层就减少1 根，最上面一层放了6 根.这批圆木共有（）根。
6.刘老师开的饭馆生意兴隆，第一天赚了200 元钱，第二天赚了300 元钱，之后每天都比前一天多赚100 元，那么第11 天可以赚（）元。
7.在1 ~ 200 这二百个自然数中，所有不能被5 整除的数的和是（）
8.计算：1＋3＋4+6+7+9+…＋43+45=( )。
9.6 和26 之间插入三个数，使它们每相邻两个数的差相同，这三个数的和是（）。
10.王芳大学毕业找工作，他找了两家公司，都要求签工作五年合同，年薪开始都是一万元，但两个公司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪1000 元，乙公司答应每半年加薪300 元。以五年计算，王芳应聘哪个公司工作收入更高？
11.小青蛙沿着台阶往上跳，每跳一次都比上一次升高4 厘米，它从离地面10 厘米处开始跳，这一处称为小青蛙的第一次落脚点，那么它的第100 个落脚点正好在台阶尽头的亭子内，这个亭子高出地面多少厘米？
12.100 个连续的自然数按从小到大的顺序排列，取出其中第1 个数、第3 个数、第5 个数… 第99 个数，把取出的数相加，得到的结果是5400，则这100 个连续自然数的和是多少？
13. (2005 + 2006 + 2007 + 2008 + 2009 + 2010 + 2011) ÷ 2008 =
14.小兰将连续偶数2、4、6、8、10、12、14、16、…逐个相加，得结果2012。验算时发现漏加了一个数，那么，这个漏加的数是。
15. 在一个神奇的地方，有一排奇怪的雕塑，这些雕塑都是由巧克力构成的，第一个雕塑由3 块巧克力组成，第二个雕塑由6 块巧克力组成，第三个雕塑由9 块巧克力组成，以此类推，每个雕塑都比前一个多3 块巧克力，那么第（）个雕塑恰好由2013 个
巧克力组成？
答案：
1. 解析：原式=2015×2015=4060225
2. 解析：项数：（100-1）÷3+1=34
和：（1+100）×34÷2=1717
3.解析：观察数列：4、1、8、2、12、3、16、4、…
4,8,12,16，……奇数项数列
1,2,3,4，……偶数项数列
第100 个数是偶数项数列的第50 个数，
因为偶数项数列是从1 开始的自然数列，所以是50。
4.解析：提公因数，数列中所有数字都是3 的倍数
和＝3×1 ＋3×2 ＋3×3 ＋3×4 ＋3×5 ＋3×6 ＋3×7 ＋3×8 ＋3×9 ＋3×10
＝3×（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10）
＝3×55
＝165
5.解析：最上面一层放了6 根，最下面一层放了15 根，
每两层差一根，所以一共有15 - 6 +1 = 10 层，原木一共(6 +15) ?10 ÷ 2 =105 根。
6.解析：第11 天比第1 天多赚：（11－1）×100 ＝1000（元），
第11 天：200＋1000＝1200（元）。
7. 解析：1 ~ 200 总和：(1+ 200)? 200 ÷ 2 = 20100
能被5 整除的数的和：
200
5 +10 +15 + 20 +
=(5 + 200)?40 ÷ 2
= 4100
所以不能被5 整除的数的和是：20100-4100=16000
8. 解析：此数列为双重数列，第1 个为1+4+7+…+43，项数为（43-1）÷3+1=15 ，
第2 个为3+6+9+…+45，项数为（45-3）÷3+1=15 ，
原式=（1+4+7+...+43）+（3+6+9+ (45)
=（1+43）×15÷2+ （3+45）×15÷2
=330+360
=690
9. 解析：在6 和26 之间插入三个数，那么共有4 个相邻差，即公差为（26-6）÷4=5 ，
所以插入的三个数是11、16、21，和为11+16+21=48
10. 解析：甲公司五年之内王芳得到的收入为：10000+11000+12000+13000+14000=60000（元），
乙公司五年之内王芳得到的收入为：（5000+5300 ）+（5600+5900 ）+……+
（7400+7700）=63500（元）。
所以王芳应聘乙公司工作收入更高。
11. 解析：亭子距地面高度为：10+（100-1）×4=406 （厘米）
12. 解析：第2 个数比第1 个数大1，
第4 个数比第3 个数大1，
……
偶数位置的数的和比奇数位置的数的和大50
总和：5400+（5400+50）=10850
13. 解析：2005+2006+2007+2008+2009+2010+2011=2008×7, 所以原式= 2008×7÷2008=7
14. 解析：2+4+6+8+…+90=2070，多了58
15. 解析：第n 个雕塑由3n 块巧克力构成，
故由2013 块巧克力构成的是第2013÷3=671 个雕塑。
等差数列应用题 例题精讲 【例 1】体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？ 【例 2】一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人，那么这个队列共有多少人？ 【例 3】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按 照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102 个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？ 【巩固】有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根? 【巩固】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？ 【难度】2星【题型】解答 【例 4】一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？ 【巩固】某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？ 【巩固】一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?
等差数列及其前n 项和 课时作业 1．在等差数列{a n }中，已知a 2＝2，前7项和S 7＝56，则公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 B 解析 由题意可得? ??? ? a 1＋d ＝2，7a 1＋7×6 2d ＝56， 即? ?? ?? a 1＋d ＝2， a 1＋3d ＝8，解得? ?? ?? a 1＝－1， d ＝3，选B. 2．(2019·衡阳模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 答案 D 解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， ∴由等差数列的性质可得a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.故选D. 3．(2020·荆州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案 A 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8 ＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋7 4 ×11＝15.故选A. 4．(2019·山东济南调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( ) A ．50 B ．45 C ．55 D ．40 答案 B 解析 因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 5＋a 6) 2 ＝45. 5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( )
2.2等差数列教学设计(第一课时)
2.2.1《等差数列》教学设计 教材分析1.教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。主要内容是等差数列定义和等差数列的通项公式。 2.地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法． 教学目标知识目标 1.理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数 列是否为等差数列； 2.掌握等差数列的通项公式. 能力目标 1.通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析 探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力; 2.培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归 纳思想和化归思想并加深认识. 情感目标 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般 数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观 点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣． 教学重难点重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式的推导过程及应用． 难点 理解等差数列“等差”的特点及 通项公式的含义. 教学设想 本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生理解概念，进一步引导学生通过概念来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主，
真正体现课堂教学中学生的主体作用。 教学过程 教学环节 教师活动 学生 活动 设计意图 环节一 环节1 创设情境，提出问题 在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星： （1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ） 你能预测出下一次的大致时间吗？ 主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？ 天文学家陈丹说: 2062年左右。 学生活动 通过情景 引出数列，观察发现 其规律，并通过规律 填写内容。 情景引入 提高学生 的学习兴 趣， 调动 学生的积极性
（3） 5 、10 、（15 ）、（ 20 ）、25 、30 ； （4） 28 、（ 24 ）、20 、16 、12 、8 ； （5） 88 、79 、70 、（ 61 ）、52 、（ 43 ）； （6） 2 、4 、6 、12 、14 、（ 28 ）、30 、60 。 第二讲 等差数列（一） 知识要点： 数列 按照一定次序排列的一列数叫数列。 数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）、第2 项、第3 项、……、第n 项、……。 数列的一般形式可以写成：a 1 、a 2 、a 3 、……、a n 、……；其中a n 是数列的第 n 项；这个数列可以简记作{a n }（ n 为正整数）。 等差数列 如果一个数列{a n }，从第2 项起的每一项 a n 与它的前一项a n -1 的差等于同一个 常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示。 等差数列的几个计算公式： 等差数列求和公式：和= （首项+ 末项） ? 项数÷2 字母公式： S = (a 1 + a n )? n ÷ 2 等差数列的通项公式：第n 项= 首项+ （项数-1） ? 公差 a n = a 1 + (n -1)? d 字母公式： 等差数列的项数公式：项数= （末项- 首项） ÷ 公差+1 字母公式： n = (a n - a 1 )÷ d +1 一、基础应用： 【例1】 在括号里填上合适的数。 ） 、 4 、5 、（ （1）1、2 、（ ）； ）、16 ； （2） 4 、6 、8 、10 、（ ）、（ （3） 5 、10 、（ （4） 28 、（ ）、25 、30 ； ）、（ ）、20 、16 、12 、8 ； （5） 88 、79 、70 、（ ）、52 、（ ）； （6） 2 、4 、6 、12 、14 、（ ）、30 、60 。 【解析】填法如下： （1）1、2 、（ 3 ）、4 、5 、（ 6 ）； （2） 4 、6 、8 、10 、（ 12 ）、（14 ）、16 ；
课时作业 1．在等差数列{a n }中，已知a 2＝2，前7项和S 7＝56，则公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 B 解析 由题意可得??? a 1＋d ＝2， 7a 1＋7×6 2d ＝56， 即??? a 1＋d ＝2，a 1＋3d ＝8，解得? ?? a 1＝－1，d ＝3，选B. 2．(2019·衡阳模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 答案 D 解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， ∴由等差数列的性质可得a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.故选D. 3．(2020·荆州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案 A 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋7 4×11＝15.故选A. 4．(2019·山东济南调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( )
A ．50 B ．45 C ．55 D ．40 答案 B 解析 因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 5＋a 6) 2 ＝45. 5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( ) A ．9 B ．15 C ．18 D ．36 答案 C 解析 由等差数列的通项公式及性质，可得 S 9＝9(a 1＋a 9) 2＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C. 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45 D ．54 答案 D 解析 ∵在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11， ∴a 5＝6，故S 9＝9(a 1＋a 9) 2 ＝9a 5＝54.故选D. 7．(2019·东北三省三校联考)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＋2a 2＝S 5，下列结论中错误的是( ) A ．S 9＝0 B ．S 5最小 C ．S 3＝S 6 D ．a 5＝0 答案 B 解析 由题意知a 1＋2(a 1＋d )＝5a 1＋5×4 2d ，则a 5＝0，∴a 4＋a 6＝0，∴S 3＝S 6，且S 9＝9a 5＝0，故选B.
第2讲 等差数列及其前n 项和 一、选择题 1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 解析 法一 由题意可得?????a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2， 解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C 2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A 3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A.a 1＋a 101＞0 B.a 2＋a 100＜0 C.a 3＋a 99＝0 D.a 51＝51 解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2 ＋a 100＝a 3＋a 99＝0. 答案 C 4.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.－37
解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2， ∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100. 答案 C 5.(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由?????a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2， 得?????a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得?????a 1＝－13，d ＝2. ∴a n ＝－15＋2n . 由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数， ∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C. 答案 C 二、填空题 6.(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________. 解析 设数列{a n }的公差为d ，由题设得 ???a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得?????a 1＝－4，d ＝3， 因此a 9＝a 1＋8d ＝20. 答案 20 7.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝ ________.
第二讲：等差数列、等比数列的通项公式 【知识结构】 1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 d （与项数n无关），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。 等差数列的递推公式为：即 a n a n 1 d,n 2,n N （d为常数）/a ni a n d,n N /，这就是一个恒等式，数列 中的恒等式一定要注意变量的范围，即项数n的范围。 a b 2、等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A - 2 3、等差数列的通项公式：a n a i （n 1）d dn 佝d）。当d 0时，从函数的角度 看，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，它的图象是在一条直线的散点。 【典型例题】 例1、（1）已知等差数列｛a n｝中，a12，公差为3,则通项公式a n3n 1。 （2）已知等差数列｛a n｝中，a2 3，a4 7，则通项公式a n2n1。 （3）已知等差数列｛a n｝中，2a2 a31,a7 a8 20 ，a k15，则k 10。 （4）在等差数列a n中，若a1 a4a$ a12 a15 2 则2。 解:⑶设a1,公差d 3a1 4d 1 2耳13d 20,解得［c3 a n 2n d 2 5k 10 等差数列的通项公式的作用是把等差数列中的任意一项用首项和公差表示。练习：P7自主练习中的1,2,3（2）（3）（4）,4 。 例2、 （1 ） a n 1a n2,n N*； （2 ） 满足2a n 1a n 2 a n, n N * ； （3 ）a n 1a n n,n N * 满足条件（2），数列｛a n｝是等差数列。
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 等差数列 ●教学目标 知识与技能：明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式, 能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能用图像与通项公式的关系解决某些问题。 过程与方法：通过等差数列的图像的应用，进一步渗透数形结合思想、函数思想；通过等差数列通项公式的运用，渗透方程思想。 情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，从而渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点。 ●教学重点 等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 ●教学难点 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上节课所学主要内容： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N + ），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+或n a =pn+q (p 、q 是常数)) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=m n a a m n -- Ⅱ.讲授新课 问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么条件？ 由定义得A-a =b -A ，即：2b a A +=
反之，若2b a A +=，则A-a =b -A 由此可可得： ,,2b a b a A ?+=成等差数列 [补充例题] 例 在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a . 分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {an }是等差数列 ∴ 1a +6a =4a +3a =9?3a =9－4a =9－7=2 ∴ d=4a －3a =7－2=5 ∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2, 9a =32 [范例讲解] 已知数列{n a }是等差数列 （1） 7532a a a =+是否成立？9512a a a =+呢？为什么？ （2） 112(1)n n n a a a n +-=+>是否成立？据此你能得到什么结论？ （3）2(0) n k n n k a a a n k +-=+>>是否成立？？你又能得到什么结论？ 结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则， q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ? q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+ 探究：等差数列与一次函数的关系 Ⅲ.课堂练习
配对求和 1、13+17+21+25+29+33+37+41=__________． 2、32+34+36+38+40+42+44+46+48+50=__________． 3、21+24+27+30+33+36+39+42+45=__________． 4、3+7+11+15+……，等差数列共12项，那么这12项的和是__________． 5、4+7+10+13+……，等差数列共20项，那么这20项的和是__________． 6、94+88+82+……，等差数列共14项，那么这14项的和是__________． 7、计算：5+7+9+……+53+55=__________． 8、计算：13+19+25+……+67+73=__________． 9、计算：90+83+76+……+34+27=__________． 10、文雯为了增肥，计划每天吃包子，第一天她吃了5个包子，以后每天都比前一天多吃3个包子，最后一天吃了32个包子．那么文雯一共吃了_____天包子，共吃了_____个包子． 11、雁雁为了减肥，计划每天做仰卧起坐，第一天她做了5个，以后每一天都比前一天多做2个，最后一天做了95个．那么雁雁一共做了_____天的仰卧起坐，共做了_____个仰卧起坐． 12.旦旦练习跳绳，第一天跳绳3次，以后每一天都比前一天多跳4次，最后一天跳绳39次．那么旦旦跳绳跳了_____天，共跳绳_____次． 利用中间数求和 1.一个等差数列共15项，那么这个等差数列的中间数是第__________项． 2.一个等差数列共9项，那么这个等差数列的中间数是第__________项． 3.一个等差数列共13项，那么这个等差数列的中间数是第__________项． 4.馋嘴猴特别爱吃香蕉，它每周吃的香蕉数量成等差数列，已知它第5周吃了20根香蕉．馋嘴猴前9周一共吃了__________根香蕉． 5.旦旦很喜欢吃包子，她每天吃的包子数成等差数列，已知她第6天吃了30个包子，那么旦旦前11天一共吃了__________个包子． 6.雁雁很喜欢吃鸡蛋，她每天吃的鸡蛋数成等差数列，已知她第4天吃了10个鸡蛋，那么雁雁前7天共吃了__________个鸡蛋． 7.一个等差数列共9项，和等于180，那么这个等差数列的中间项是第项，这个数是 . 8.一个等差数列共7项，和等于210，那么这个等差数列的中间项是第项，这个数是 .
第六课时 等差数列综合应用 【知识与技能】进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题，会利用等差数列通项公式和前n 项和公式研究S n 的最值，初步体验函数思想在解决数列问题中的应用；掌握裂项相消法求数列的和． 【重点难点】 重点：等差数列前n 项和公式的掌握与应用，裂项相消法求数列的和． 难点：灵活运用求和公式解决问题． 【教学过程】 一、要点梳理 1．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈，首项:1a ，公差:d ，末项:n a 变形公式：d m n a a m n )(-+=；m n a a d m n --=； 2．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A B 、是常数，当0d ≠时，n S 是二次项系数为d 2 ，图象过原点的二次函数．） 3．等差数列的性质 （1）等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列； （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有 2m n p a a a +=； （4）等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，则{a n }中连续的n 项和构成的数列S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…构成等差．． 数列； （5）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和. 若当项数为偶数n 2时， ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇，11 n n n n S na a S na a ++==奇偶 若当项数为奇数12+n 时， 21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +?=+=+=+?+????=?? -==???? n+1n+1 奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）； （6）{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则()2121 =21n n n n a A f n b B --=-； （7）若m S n =()n S m m p =≠，则m n S += ；
第三讲 等差数列（二） 知识要点： 数列 按照一定次序排列的一列数叫数列。 数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）、第2 项、第3 项、……、第n 项、……。 数列的一般形式可以写成： a 1 、a 2 、a 3 、……、a n 、……；其中a n 是数列的第 n 项；这个数列可以简记作{a n }（ n 为正整数）。 等差数列 如果一个数列{a n }，从第2 项起的每一项 a n 与它的前一项a n -1 的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的几个计算公式： 等差数列求和公式：和= （首项+ 末项） ? 项数÷2 字母公式： S = (a 1 + a n )? n ÷ 2 等差数列的通项公式：第n 项= 首项+ （项数-1） ? 公差 a n = a 1 + (n -1)? d 字母公式： 等差数列的项数公式：项数= （末项- 首项） ÷ 公差+1 字母公式： n = (a n - a 1 )÷ d +1 一、基础应用： 【例1】 一只小虫沿笔直的树干跳着往上行，每跳一次都比上一次升高5 厘米。它 从离地面10 厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫第一次落脚点，那么它的第101个落脚点正好是树梢，这棵树高多少厘米？ 【解析】第101个落脚点是在第一个落脚点的基础上连续跳101-1=100 （次），故第 101个落脚点为a 100 = 10 + (101-1)?5=510 （厘米）。 【例2】 自1开始，每隔两个数写出一个数来，可以得到数列1、4 、7 、……。问： ①第20 个数是几？第31个数呢？ ②前20 个数的和是多少？前31个数的和是多少？ 【解析】①从题意可知，本题中数列的首项为1，公差为3 ，项数为20 。求这个数 列的第20 项，可看作求到第20 项为止的这个数列的末项。 末项=首项+ （项数-1） ? 公差 所以， a 20 = 1+ (20 -1) ?3 = 58 同理可得a 31 = 1+ (31-1)?3
等差数列进阶 1. 1+2+3+……2014+2015+2014+……+3+2+1 2. 1+4+7+…+100=（） 3.已知数列4、1、8、2、12、3、16、4、…，问:这个数列中第100 个数是（）。 4.等差数列，求和：3＋6＋9＋12＋15＋18＋21＋24＋27＋30＝。 5.木材仓库堆放一批粗细均匀的圆木，最下面一层放了15 根，以后每向上堆一层就减少1 根，最上面一层放了6 根.这批圆木共有（）根。
6.刘老师开的饭馆生意兴隆，第一天赚了200 元钱，第二天赚了300 元钱，之后每天都比前一天多赚100 元，那么第11 天可以赚（）元。 7.在1 ~ 200 这二百个自然数中，所有不能被5 整除的数的和是（） 8.计算：1＋3＋4+6+7+9+…＋43+45=( )。 9.6 和26 之间插入三个数，使它们每相邻两个数的差相同，这三个数的和是（）。
10.王芳大学毕业找工作，他找了两家公司，都要求签工作五年合同，年薪开始都是一万元，但两个公司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪1000 元，乙公司答应每半年加薪300 元。以五年计算，王芳应聘哪个公司工作收入更高？ 11.小青蛙沿着台阶往上跳，每跳一次都比上一次升高4 厘米，它从离地面10 厘米处开始跳，这一处称为小青蛙的第一次落脚点，那么它的第100 个落脚点正好在台阶尽头的亭子内，这个亭子高出地面多少厘米？ 12.100 个连续的自然数按从小到大的顺序排列，取出其中第1 个数、第3 个数、第5 个数… 第99 个数，把取出的数相加，得到的结果是5400，则这100 个连续自然数的和是多少？
临清市第二中学 数学 编写人：李其智 审稿人：马英济 2.2.1等差数列导学案 一、课前预习： 1、预习目标： ①通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式； ②能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； ③体会等差数列与一次函数的关系。 2、预习内容： （1）、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的差等于同一个 ，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ， 通常用字母d 表示。 （2）、等差中项：若三个数b A a ,,组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的 ， 即=A 2 或=A 。 （3）、等差数列的单调性：等差数列的公差 时，数列为递增数列； 时，数列为递减数列； 时，数列为常数列；等差数列不可能是 。 （4）、等差数列的通项公式： = n a 。 二、课内探究学案 例1、1、求等差数列8、5、2… …的第20项 解：由81=a 385-=-=d 20=n 得： 49 )3()120(820-=-?-+=a 2、401-是不是等差数列5-、9-、13-… …的项？如果是，是第几项？ 解：由51-=a 4)5(9-=---=d 得1 4)1(45--=---=n n a n 由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得： 14401-=-n 成立 解得：100=n 即401-是这个数列的第100项。 例2、某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4km （不含4km ）计费为10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？ 分析：可以抽象为等差数列的数学模型。4km 处的车费记为：2.111=a 公差2.1=d 当出租车行至目的地即14km 处时，n=11 求11a 所以：2.232.1)111(2.1111=?-+=a
五年级奥数试题（1） 等差数列的应用姓名 1，下图中有多少三角形。 分析：从图上看，独立的三角形有A、B、C、D四个；两两组合的有3个，即AB、BC、CD；三个三个组阁的有ABC、BCD两个；四个组合的有一个即ABCD。那么一共就有4＋3＋2＋1＝10（个） A B C D 解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：共有10个三角形。 2，在一个平面上，两条直线相交，只有一个交点；三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交最多有6个交点；那么20条直线在一个平面上相交最多有多少个交点？ 2条 1个交点 3条 3个交点 4条 6个交点 5条 10个交点
1 1＋（3－1） 1＋2＋（4－1） 1＋2＋3＋（5－1）…… 这一组数是一组等差“1”的数列，计算时可以应用求等差数列和的公式进行计算。 解： 1＋2＋3＋……＋（20－1）答：20条直线在一个平面上相交最多有190个交点。 3，下图中共有多少个长方形。 分析：按例1的分析方法，用阴影表示沿长和宽，沿长边有4＋3＋2＋1＝10（个）长方形，宽边有5＋4＋3＋2＋1＝15（个）长方形，那么这个图里共有 15×10＝150（个）长方形。 解：（4＋3＋2＋1）×（5＋4＋3＋2＋1）＝150（个） 答：这个图中一共有150个长方形。 4，若干名小学生进行体操训练，排成一个中空方阵，最外层每边12人，共4层，求组成这个方阵的小学生一共有多少人？ 分析：方阵问题中每层人数是一个等差为8的数列，也就是外面一层人数比紧邻内层的人数多8。根据题意，求出最外层人数为（12－1）×4＝44（人），再根据首项＝末项－（项数－1）×公差得最里面层共有：44－（4－1）×8＝20（人），继而求出四层总人数为（44＋20）×4÷2＝128(人) 解：最外层：（12－1）×4＝44（人）最里层：44－（4－1）×8＝20（人）
第2讲等差数列及其前n项和 【2013年高考会这样考】 1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题． 2．考查等差数列的性质、前n项和公式及综合应用． 【复习指导】 1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等． 2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法． 基础梳理 1．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．2．等差数列的通项公式 若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为a n＝a1＋(n－1)d. 3．等差中项 如果A＝a＋b 2，那么A叫做a与b的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N*)． (2)若{a n}为等差数列，且m＋n＝p＋q， 则a m＋a n＝a p＋a q(m，n，p，q∈N*)． (3)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列． (4)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)a n. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝nd 2； 若n为奇数，则S 奇－S 偶 ＝a 中 (中间项)．
5．等差数列的前n 项和公式 若已知首项a 1和末项a n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2 ，或等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其前n 项和公式为S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2n 2＋? ?? ??a 1－d 2n ，数列{a n }是等差数列的充要条件是S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．最值问题 在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值，若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n 项和公式： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，① S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1，② ①＋②得：S n ＝n (a 1＋a n )2 . 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元． (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn . 注 后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．
第2讲等差数列及其前n项和 一、选择题 1． {a n}为等差数列，公差d＝－2，S n为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝( ) A．18 B．20 C．22 D．24 解析由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20. 答案 B 2．设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于( )． A．6 B．7 C．8 D．9 解析由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以S n＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此当S n取得最小值时，n＝6. 答案 A 3．已知{a n}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于()．A．－1 B．1 C．3 D．7 解析两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1. 答案B 4．在等差数列{a n}中，S15>0，S16<0，则使a n>0成立的n的最大值为 ()． A．6 B．7 C．8 D．9 解析依题意得S15＝15(a1＋a15) 2 ＝15a8>0，即a8>0；S16＝ 16(a1＋a16) 2 ＝8(a1 ＋a16)＝8(a8＋a9)<0，即a8＋a9<0，a9<－a8<0.因此使a n>0成立的n的最大值是8，选C. 答案C
5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )． A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 解析 由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5. 答案 D 6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45 n ＋3，则 使得a n b n 为整数的正整数的个数是 ( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n b n 为整数，则需 7n ＋19n ＋1 ＝7＋ 12 n ＋1 为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个． 答案 D 二、填空题 7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则 k ＝________. 解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1， S k ＝k ＋ k k －1 2 ×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3. 答案 3 8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 3 9＝1，则公差为________． 解析 依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×2 2d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d 12－3a 1＋3d 9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 6 9．在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小
2.2等差数列教案
2．2 等差数列 （一）教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 （二）教学重、难点 重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。
（三）学法与教学用具 学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 教学用具：投影仪 （四）教学设想 [创设情景] 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 [探索研究] 由学生观察分析并得出答案： （放投影片）在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，____,____,____,____,…… 2012年，在伦敦举行的奥运会上，女子举
2、等差数列（二） 学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的公式. 2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题 3、通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并能解决问题. 教学重点: 等差数列的定义，公式，性质的理解与应用 教学难点： 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 教学过程： 一、情景体验 师：同学们你们进过电影院吗？有没有观察到座位的排列是怎样的？（学生：观察到每排都是相差同样多的座位！） 实用文档
老师引导：生活中我们会碰到很多类似的数学问题，今天我们继续研究等差数列的问题。（板书课题） 二思维探索（建立知识模型） 同学们，你们还记得上节课我们学习的等差数列里面的一些公式吗？师: 同学们都很棒，真不错！现在大家一起回顾一下前面的公式有哪些板书： ※总结：公差=（末项-首项）÷（项数-1） 项数=（末项-首项）÷公差+1 总和=（首项+末项）×项数÷2 末项=（项数-1）×公差+首项 师：请思考下，还会有求哪一项的公式？ 学生：还有首项 师：高斯求和的公式里面有首项、末项、公差、项数、总和，你会根据前面的公式推导出首项的公式吗？ （借助线段图推导出首项的公式） 实用文档
板书：首项=末项-（项数-1）×公差 展示例1 例1：已知等差数列3，8，13，…。求这个数列的第20项？前20项 的和是多少？ 师：读完题你知道了哪些信息？ 师：求第20项就是求什么？（末项） 现在大家能用前面总结出的规律来解决例1中的问题吗？ （由学生尝试，老师点评订正） 师：这道题只要求出末项就解决问题了。根据末项=（项数-1）×公差+首项。得到：（20-1）×5+3=98 师：怎样求前20项的和呢？ 生：通过求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2。 三、思维拓展（知识模型的运用） 实用文档
等差数列求和的应用 等差数列计算公式 通项公式： 第n项=首项+（n－1）×公差项数公式： 项数=（末项－首项）÷公差＋1 （1）末项公式：第几项(末项)＝首项＋（项数－1）×公差 （2）项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 （3）求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 （4）前n个奇数的和：1+3+5+…+(2n-1)= n2 （5）前n个偶数的和：2+4+6+…+2n= n2+n 1、有一列数:5,8,11,14,……。①求它的第100项；②求前100项的和。 2、有一串数：1,4,7,10,……,298。求这串数的和。 3、1998+1997-1996-1995+1994+1993-1992-1991+……198+197-196-195 4、1+2+3-4-5-6+7+8+9-10-11-12+……+182+183 5、1+3+5+7+…+99 6、2+4+6+8+…+100 7、21+23+25+27+…+99 8、已知一串数1,5,9,13,17,…,问这串数中第100个数是多少?
9、1971,1981,1991,2001,2011,…,2091,这几个数的和是多少? 10、98+97-96-95+94+93-92-91+…-4-3+2+1 11、1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99 12、在小于100的自然数中,被7除余3的数的和是多少? 13、已知一列数：1,3,6,10,15,21,…,问第59个数是多少？ 14、在一个八层的宝塔上安装节日彩灯共888盏。已知从第二层开始，每一层比下边一层少安装6盏。问最上边一层安装多少盏？ 15、能不能把44颗花生分给10只猴子，使每只猴子分的花生颗数都不同？ 16、红光电影院有22排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排42个座位。那么这个电影院一共有多少个座位？