4.2 可分离变量的微分方程
一、求下列微分方程的通解：
1．22()d (1)d 0xy x x x y +++= 2．()d ()d 0x y x x y y e
e x e e y ++-++=
3．2dy xy x dx
+= 4
xydy =
二、求下列微分方程满足初始条件的特解：
1．52,(0)0x y y e y -'== 2．2d (1)tan ,(0)1d y y x y x
=+=
三、镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比.由经验材料得知，经过1600年后，只剩原始量0R 的一半.试求镭的现存量R 与时间t 的关系.
四、已知曲线()y y x =经过点1
(1,)e -，且在任意点(,)x y 处的切线在y 轴上的截距为xy ，求该曲线方程的表达式.
考研真题：
设函数()y y x =由参数方程2
0()ln(1)t x x t y u du =???=+??
?确定，其中()x t 是初值问题20x dx te dt
--=，00t x ==的解，求22d y dx .
用分离变量法解常微分 方程 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
用 分离变量法解常微分方程 . １ 直接可分离变量的微分方程 形如 dx dy = ()x f ()y ? 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（）改写成 ) (y dy ?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：? )(x dy ?=? dx x f )(+c. 其中，c 表示该常数，? )(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-? ? 2 2 11 ， 得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.
例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率. 解：由题意得 y '- =1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1 x X y y Y -' - =-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(1 2x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='， 分离变量，解得 x +2 其中c 为任意正数，如图1. ２ 变量可替换的微分方程 种可化为变量分离方程的类型: 齐次方程 形如 ?? ? ??=x y dx dy ?
§7. 2 可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212 =, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x P y x Q dy dx -=.
可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成 g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步 两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.
可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ),(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成
g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步 两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得
用分离变量法解常微分方程 . １直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy =()x f ()y ?(1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?=()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：?)(x dy ?=?dx x f )(+c. (1.2) 其中，c 表示该常数，?)(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： (2)两边积分： c x dx y dy +-=-??2211， 得 c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方 程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.
解：由题意得 y ' -=1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1x X y y Y -'-=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(12x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='， 分离变量，解得 c y x =+22 2 ， 其中c 为任意正数，如图1. ２变量可替换的微分方程 通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变 量分离方程的类型: 2.1齐次方程 形如?? ? ??=x y dx dy ?(1.3) 的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ?是u 的连续函数. 对方程(1.3)做变量变换 x y u =，(1.4) 即ux y =，于是 u dx du x dx dy +=.(1.5) 将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为 )(u u dx du x ?=+， 图1
第七章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 一、单项选择题 1. 下列各式中是常微分方程的为 B . A. 23y y += B. 2y y y '''+= C. 22xy y xy += D. x y x z z y ''++= 2. 微分方程3d d y x y x x =+的通解为y = B . A. 34x C x + B. 32x Cx + C. 33x C + D. 3 4 x Cx + 3. 函数y C x =-(C 为任意常数)是微分方程1xy y '''-=的 C . A. 通解 B. 特解 C. 是解，但既不是通解也不是特解 D. 不是解 4. 微分方程0y y ''+=的通解是y = D . A. sin A x B. cos B x C. sin cos x B x + D. sin cos A x B x + 5． 已知某微分方程的通解为212()e x y C C x =+，且满足01x y ='=,00x y ==， 则有 B . A. 2e x y = B. 2e x y x = C. 2(1)e x y x =+ D. 22e x y = 二、验证满足()ln y xy =的函数()y y x =是微分方程()220xy x y xy yy y '''''-++-=的解. 解：方程ln()y xy =两边同时对x 求导得11y y x y ''=+，整理得y y xy x '=-，两 边再对x 求导得() ()3223()(1) 22y xy x y y xy xy xy xy y xy x xy x ''--+--+-''==--，将,y y '''代入原 方程得()3223222()20()xy xy xy y y y xy x x y xy x xy x xy x xy x -+--++-=----.因此，由 ln()y xy =所确定的函数是微分方程的解.
第二节 可分离变量的微分方程 微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等. 内容分布图示 ★ 可分离变量微分方程 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 齐次方程 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 可化为齐次方程的微分方程 ★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-2 ★ 返回 内容要点： 一、可分离变量的微分方程 设有一阶微分方程 ),(y x F dx dy =, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有 )()(y g x f dx dy =. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如 ?? ? ??=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程.. 三、可化为齐次方程的方程：对于形如 ???? ??++++=222 111c y b x a c y b x a f dx dy 的方程，先求出两条直线 ,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a 的交点),(00y x ，然后作平移变换
???-=-=00y y Y x x X 即 ? ??+=+=00y Y y x X x 这时，dX dY dx dy =，于是，原方程就化为齐次方程 ,2211???? ??++=Y b X a Y b X a f dX dY 例题选讲： 可分离变量的微分方程 例1（讲义例1）求微分方程xy dx dy 2=的通解. 例2（讲义例2）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中. 例3 已知,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10<
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