相关变量相关关系
在统计学中，相关变量相关关系是指两个或多个变量之间的关系。这种关系可以是正相关，也可以是负相关。正相关意味着当一个变量增加时，另一个变量也会增加。负相关则意味着当一个变量增加时，另一个变量会减少。在这篇文章中，我们将探讨相关变量相关关系的一些例子和如何分析这些关系。
一个常见的例子是身高和体重之间的关系。这两个变量之间的关系通常是正相关的。这意味着当一个人的身高增加时，他们的体重也会增加。这种关系可以通过绘制散点图来可视化。散点图是一种图表，其中每个数据点表示两个变量之间的关系。在身高和体重的例子中，我们可以将身高作为横轴，体重作为纵轴，然后绘制每个人的数据点。如果这些数据点呈现出一个向上的趋势，那么这就是一个正相关的关系。
另一个例子是学习时间和考试成绩之间的关系。这两个变量之间的关系通常是正相关的。这意味着当一个学生花更多的时间学习时，他们的考试成绩也会更好。这种关系可以通过绘制散点图来可视化。在这种情况下，我们可以将学习时间作为横轴，考试成绩作为纵轴，然后绘制每个学生的数据点。如果这些数据点呈现出一个向上的趋势，那么这就是一个正相关的关系。
还有一种情况是收入和幸福感之间的关系。这两个变量之间的关系
通常是正相关的，但是这种关系并不是那么明显。这意味着当一个人的收入增加时，他们的幸福感也会增加，但是这种关系并不是那么强烈。这种关系可以通过绘制散点图来可视化。在这种情况下，我们可以将收入作为横轴，幸福感作为纵轴，然后绘制每个人的数据点。如果这些数据点呈现出一个向上的趋势，那么这就是一个正相关的关系，但是这种趋势可能不是那么明显。
除了正相关之外，还有负相关的关系。一个例子是体重和健康之间的关系。这两个变量之间的关系通常是负相关的。这意味着当一个人的体重增加时，他们的健康状况可能会变差。这种关系可以通过绘制散点图来可视化。在这种情况下，我们可以将体重作为横轴，健康状况作为纵轴，然后绘制每个人的数据点。如果这些数据点呈现出一个向下的趋势，那么这就是一个负相关的关系。
在分析相关变量相关关系时，我们需要注意一些事项。首先，相关并不意味着因果关系。只是因为两个变量之间存在相关关系，并不意味着其中一个变量是另一个变量的原因。其次，我们需要注意样本大小。如果样本太小，那么我们可能无法得出准确的结论。最后，我们需要注意变量之间的线性关系。如果两个变量之间的关系不是线性的，那么我们可能需要使用其他方法来分析这种关系。
相关变量相关关系是统计学中一个重要的概念。通过分析这种关系，我们可以了解变量之间的关系，并从中得出有用的结论。在分析相关变量相关关系时，我们需要注意一些事项，以确保我们得出的结
论是准确的。
变量的相关关系 【学习目标】 1.明确两个变量具有相关关系的意义； 2.知道回归分析的意义； 3.知道回归直线、回归直线方程、线性回归分析的意义； 4.掌握对两个变量进行线性回归的方法和步骤，并能借助科学计算器确定实际问题中两个变量间的回归直线方程； 【要点梳理】 【高清课堂：变量的相关关系 400458 知识讲解1】 要点一、变量之间的相关关系 变量与变量之间存在着两种关系：一种是函数关系，另一种是相关关系。 1．函数关系 函数关系是一种确定性关系，如y=kx+b，变量x取的每一个值，y都有唯一确定的值和它相对应。 2．相关关系 变量间确定存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性 相关关系分为两种: 正相关和负相关 要点诠释： 对相关关系的理解应当注意以下几点： （1）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系. （2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大. （3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化.例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计. 3．散点图 将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图叫做散点图。通过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系，她反映了各数据的密切程度。 要点二、正相关、负相关 （1）正相关：在统计数据中的两个变量，一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关。如：家庭年收入越高，年饮食支出越高。反映在散点图上它们散布在从左下角到右上角的区域，按表中所列数据制作散点图如图
高考数学知识点:变量间的相关关系-统计案例 2016-04-22 15:15 一、变量间的相关关系 1．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． 2．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 典型例题1： 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义． 2．由回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值． 3．使用K2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5，在选取样本容量时一定要注意． 二、两个变量的线性相关 1．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． 2．回归方程为 3．求最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法． 4．相关系数， 当r＞0时，表明两个变量正相关； 当r＜0时，表明两个变量负相关． r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 典型例题2：
1．相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断．
“变量间的相关关系”中的核心概念和思想方法解读及教学建议 河北师范大学数学与信息科学学院程海奎 《变量间的相关关系》的主要内容为采用定性和定量相结合的方法研究变量之间的相关关系，主要研究线性相关关系．主要概念有“相关关系”、“散点图”、“回归直线和回归直线方程”、“相关系数”等．研究方法为先绘制散点图，直观表示观测数据，定性描述变量间相关关系的类型、方向、相关程度．然后应用最小二乘法确定变量间相关关系的具体表达形式，描述变量间的数量规律，并由一个变量的取值去推测另一个变量的取值． 这部分内容涉及到一些重要的统计思想和方法，对学生的学习和教师的教学都有一定的难度．本文就研究对象、核心概念、研究方法、统计思想及相关应用进行简单的解读，提出一些教学建议，希望对教学能提供一些帮助． 一、相关概念及统计思想方法 1．相关关系——变量间的不确定关系 两个变量之间的数量关系有两种不同的类型：一种是函数关系，一种是相关关系．当一个变量取一定的值时，另一个变量有确定的值与之对应，我们称这种关系为确定的函数关系．一般把作为影响因素的变量称为自变量，把与之对应变化的变量称为因变量． 当一个变量取一定的数值时，与之对应的另一个变量的值虽然不确定，但它按某种规律在一定的范围内变化，变量间的这种关系称为不确定性的相关关系．或者说两个变量之间确实存在某种关系，但不具备函数关系所要求的确定性． 函数关系和相关关系都是指两个变量之间的数量关系．函数关系是两个非随机变量之间的一种确定关系，是一种因果关系．而相关关系是两个变量之间的一种不确定的关系，这两个变量中至少有一个是随机变量．两个相关变量之间可能有内在联系（真实相关），也可能完全不存在内在联系（虚假相关）．之所以X和Y之间是相关关系，原因是变量X是影响变量Y的主要因素，但不是唯一因素，还有其他种种因素，而这些因素我们又不能完全把握．
相关变量相关关系 在统计学中，相关变量相关关系是指两个或多个变量之间的关系。这种关系可以是正相关，也可以是负相关。正相关意味着当一个变量增加时，另一个变量也会增加。负相关则意味着当一个变量增加时，另一个变量会减少。在这篇文章中，我们将探讨相关变量相关关系的一些例子和如何分析这些关系。 一个常见的例子是身高和体重之间的关系。这两个变量之间的关系通常是正相关的。这意味着当一个人的身高增加时，他们的体重也会增加。这种关系可以通过绘制散点图来可视化。散点图是一种图表，其中每个数据点表示两个变量之间的关系。在身高和体重的例子中，我们可以将身高作为横轴，体重作为纵轴，然后绘制每个人的数据点。如果这些数据点呈现出一个向上的趋势，那么这就是一个正相关的关系。 另一个例子是学习时间和考试成绩之间的关系。这两个变量之间的关系通常是正相关的。这意味着当一个学生花更多的时间学习时，他们的考试成绩也会更好。这种关系可以通过绘制散点图来可视化。在这种情况下，我们可以将学习时间作为横轴，考试成绩作为纵轴，然后绘制每个学生的数据点。如果这些数据点呈现出一个向上的趋势，那么这就是一个正相关的关系。 还有一种情况是收入和幸福感之间的关系。这两个变量之间的关系
通常是正相关的，但是这种关系并不是那么明显。这意味着当一个人的收入增加时，他们的幸福感也会增加，但是这种关系并不是那么强烈。这种关系可以通过绘制散点图来可视化。在这种情况下，我们可以将收入作为横轴，幸福感作为纵轴，然后绘制每个人的数据点。如果这些数据点呈现出一个向上的趋势，那么这就是一个正相关的关系，但是这种趋势可能不是那么明显。 除了正相关之外，还有负相关的关系。一个例子是体重和健康之间的关系。这两个变量之间的关系通常是负相关的。这意味着当一个人的体重增加时，他们的健康状况可能会变差。这种关系可以通过绘制散点图来可视化。在这种情况下，我们可以将体重作为横轴，健康状况作为纵轴，然后绘制每个人的数据点。如果这些数据点呈现出一个向下的趋势，那么这就是一个负相关的关系。 在分析相关变量相关关系时，我们需要注意一些事项。首先，相关并不意味着因果关系。只是因为两个变量之间存在相关关系，并不意味着其中一个变量是另一个变量的原因。其次，我们需要注意样本大小。如果样本太小，那么我们可能无法得出准确的结论。最后，我们需要注意变量之间的线性关系。如果两个变量之间的关系不是线性的，那么我们可能需要使用其他方法来分析这种关系。 相关变量相关关系是统计学中一个重要的概念。通过分析这种关系，我们可以了解变量之间的关系，并从中得出有用的结论。在分析相关变量相关关系时，我们需要注意一些事项，以确保我们得出的结
2.3 变量间的相关关系 知识结构 一、两个变量间的相关关系 1．变量间的相关关系 变量与变量间的关系常见的有两类：一类是确定的函数关系．如匀速直线运动中时间t 与路程s 的关系，正方形的边长a 与面积S 之间的关系；另一类是变量之间确定存在关系，但又没有函数关系所具有的确定性，它们的关系是带有随机性的，此时，我们称两个变量具有相关关系．例如，凭我们的学习经验可知，物理成绩与数学成绩有一定的关系，数学成绩的好坏会对物理成绩造成影响，但除此以外，还存在其他影响物理成绩的因素．例如，是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等，也就是说数学成绩对物理成绩的影响不是一种确定的关系，我们称之为相关关系．对相关关系的理解应当注意以下几点：（1）相关关系是非确定性关系；（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系；（3）在现实生活中，存在着大量的相关关系，相关关系是进行回归分析的基础，同时，也是散点图的基础． 2．正相关、负相关 具有相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小到大时，另一个变量的值也由小到大，这种相关称为正相关；反之，一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关． 3．用散点图判断两个变量是否具有相关关系 在平面直角坐标系中描点，得到关于两个变量一组数据的图形，这样的图形叫做散点图，利用散点图，我们可以判断两个变量是否具有相关关系． 二、两个变量的线性相关 1．线性回归，回归直线 如果散点图中，相应于具有相关关系的两个变量所有观察值的数据点，分布在一条直线附近，我们就称之为这两个变量之间具有线性相关关系，这样的直线可以画出许多条，其中“最贴近”这些数据的一条，我们称之为回归直线． 2．用最小二乘法求回归直线方程 记回归直线方程为y ?=a+bx ，a,b 叫做回归系数，利用最小二乘法可以求得回归系数． ,)())((121 1 221∑∑∑∑====---=???????-=--=n i i n i i i n i i n i i i x x y y x x x b y a x n x y x n y x b 其中x =,1 ,11 1∑∑--=n i i n i i y n y x n 对回归直线的方程的推导，注意以下两点： （1）回归直线是数据点最贴近的直线，反映贴近程度的数据是：离差的平方和，即总离差Q=∑ -n i 1(y i -a-bx i )2 ，这样，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那一条，这种使“离差的平方和为最小”的方法叫做最小二乘法． （2）利用最小二乘法求回归系数a 、b 时，是将离差的平方和Q 转化为关于a 或b 的二次函数，利用二次函数知识求得的． 课外讨论 问题1：教材中已经解释了回归方程斜率与截距公式的计算推导原理，问题最后归结为 当a 、b 取何值时Q= ()2 1 ?∑--n i i y y 最小，你能推导出回归直线方程吗？
两个变量间的相关关系 变量间的相互关系有两种:一类是确定性的函数关系,如正方形的边长和面积的关系；另一类是变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有随机性的.例如,学生的总成绩和他的单科成绩,一般说来“总成绩高者,单科成绩也高”,我们说总成绩和单科成绩具有相关关系.相关关系又分为两种:(1)正相关:两个变量具有相同的变化趋势.(2)负相关:两个变量具有相反的变化趋势. 对相关关系的理解可以从下面三个角度把握： 相关关系的概念：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则两个变量之间的关系叫做相关关系. 对相关关系的理解应当注意以下几点： 其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系. 相关关系与函数关系的异同点为： 相同点：均是指两个变量的关系. 不同点：函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系.函数关系是自变量与函数值之间的关系,这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系. 其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大. 其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断. 我们再来认识生活中的确定两个变量间的相关关系的两个例子： 【例1】“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.那么,教师的水平与学生的水平成什么相关关系？你能举出更多的描述生活中的两个变量的相关关系的成语吗？ 解析:“名师出高徒”的意思是说有名的教师一定能教出高明的徒弟,通常情况下,高水平的教师有很大的趋势教出高水平的学生.所以,教师的水平与学生的水平成正相关关系.生活中这样的成语很多,如“龙生龙,凤生凤,老鼠的孩子会打洞”. 【例2】历史上,有人认为人们的着装与经济好坏有关系,着装越鲜艳,经济越景气.你认为着装与经济真的有这种相关关系吗？ 解析:人们的着装只能反映个人的爱好以及个人心情状况,与经济的好坏没有任何关系,并不能反映经济的景气与否.所以,着装与经济并没有“着装越鲜艳,经济越景气”这种相关关系.
1 22 1 n i i i n i i x y nxy b x nx a y bx = = ?- ? ?= ?- ? ?=- ? ∑ ∑ 其中 11 11 , n n i i i i x x y y n n == == ∑∑ 以上方法称为最小二乘法。 典例精讲 题型1相关关系的判断 例1.(★)观察两相关变量得如下数据： x －1 －2 －3 －4 －5 5 4 3 2 1 y －9 －7 －5 －3 －1 1 5 3 7 9 画出散点图，判断它们是否有线性相关关系． 【思路点拨】建系→描点→观察→结论． 【解】由数据可得相应的散点图(如图所示)： 由散点图可知，两者之间不具有线性相关关系． 点评：以x为自变量，考查因变量y的变化趋势，从而作出判断 变式训练： (★★)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据： x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 (1)请画出上表数据的散点图；
(2) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方y Λ ＝bx ＋a ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 【思路点拨】 (1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画出散点图； (2)应用计算公式求得线性相关系数b 、a 的值； (3)实际上就是求当x ＝100时，对应的y Λ 的值． 【解】(1)散点图如图所示： (2)由题意，得 4 1 i i i x y =∑i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5， x ＝3+4+5+6 =4.5 4 y ＝2.5+3+4+4.5 =3.5 4 4 2 1 i i x =∑＝32＋42＋52＋62＝86. 266.5-4 4.5 3.566.5-63 = ==0.7 86-4 4.586-81b ??? =- =3.5-0.7 4.5=0.35a y b x ? 故线性回归方程为y Λ ＝0.7x ＋0.35. (3)根据回归方程预测现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)， 故生产能耗减少了90－70.35＝19.65(吨)． 点评： 求线性回归直线方程的步骤如下：
变量间的相关关系 1、相关关系的理解 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。 例1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。下面我们就用这些方法来研究相关关系。看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？ 结论：随着年龄增长，脂肪含量在增加。用x轴表示年龄，y轴表示脂肪。一组样本数据就对应着一个点。
2、散点图 这个图跟我们所学过的函数图象有区别，它叫作散点图。 3、判断正、负相关、线性相关： 请观察这4幅图，看有什么特点？ 图1呈上升趋势，图2呈下降趋势。这就像函数中的增函数和减函数。即一个变量从小到大，另一个变量也从小到大，或从大到小。对于图1中的两个变量的相关关系，我们称它为正相关。图2中的两个变量的相关关系，称为负相关。 后面两个图很乱，前面两个图中点的分布呈条状。从数学的角度来解释：即图1、2中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近。我们称图1、2中的两个变量具有线性相关关系。这条直线叫做回归直线。图3、4中的两个变量是非线性相关关系 1、找回归直线 下面我们再来看一下年龄与脂肪的散点图， 图1 2 图图3 图4
变量相关性 变量相关性是统计学中常用的概念，它指的是两个或多个变量之间存在的相互关系。使用这种方法，研究者可以对两个变量之间的关系进行探索性分析，从而推断数据的规律和趋势。变量相关性的重要性不言而喻，常被用于商业、经济、社会科学等学科的研究。 一般来说，变量相关性在研究中的应用是检测变量之间的关系。当两个变量之间存在正相关时，其中一个变量的值会随着另一个变量的增长而增长；当两个变量之间存在负相关时，其中一个变量的值会随着另一个变量的增长而减少。此外，研究者还可以检测两个变量之间的非线性关系；另外，他们还可以检测因果关系（即一个变量是否是另一个变量发生变化的原因）。 变量相关性主要使用相关系数（Correlation Coefficient），来衡量变量之间的关系。相关系数的值介于-1到1之间，其中-1表示完全的负相关，1表示完全的正相关，而0表示不存在相关性。相关系数可以用来确定两个变量之间的线性关系的紧密程度，以及不同的数据点之间的强度。 变量相关性也可以使用回归分析。回归分析是一种用于探索两个变量之间关系的统计方法，它根据已知数据点确定两个变量之间的最佳拟合线，从而计算出回归方程。它还可以计算出回归方程的系数，该系数决定了随着自变量的增加，因变量的增加的率的大小，从而估计两个变量之间的关系。 变量相关性也可以使用卡方检验来检验变量之间的相关性。卡方
检验是一种常用的统计检验，它可以用来检测一组数据是否服从某种分布。使用卡方检验，研究者可以检验两个变量之间是否存在某种相关性，从而推断出它们之间的关系。 变量相关性也可以使用假设检验来探索变量之间的相关性。假设检验是一种用来检验某种假设是否成立的统计检验，它可以用来检验两个变量之间是否存在统计相关性。当实验结果超出预期时，研究者可以推断出两个变量之间是否存在统计相关性。 最后，变量相关性可以用来研究数据变化的规律和趋势，以及变量之间的因果关系。使用变量相关性，研究者可以更好地理解数据，并了解它们之间的关系。此外，变量相关性也可以用于预测，使研究者能够预测未来变量之间的变化。
变量间的相关关系 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧ （最小二乘法） 1 221n i i i n i i x y nx y b x nx a y bx ==⎧ -⎪ ⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。 2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----= n i n i i i n i i i y y x x y y x x r 1 1 2 21 )()() )(( 注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关； ⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强； ②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存有线性相关关系。 例：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨）与相对应的生产 能耗y （1（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ˆ=b ˆx+a ˆ； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（2）求出的线性回归方程， 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ 练习题： 1、线性回归方程ˆy bx a =+表示的直线必经过的一个定点是_________
2、对于给定的两个变量的统计数据，下列说法准确的是 . ①都能够分析出两个变量的关系 ②都能够用一条直线近似地表示两者的关系 ③都能够作出散点图 ④都能够用确定的表达式表示两者的关系 3、下列关系中，是相关关系的为 （填序号）. ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系. 4、观察下列散点图，则①正相关；②负相关； ③不相关.它们的排列顺序与图形对应顺 序是 . 5、下列两个变量之间的关系是相关关系的 是 . ①正方体的棱长和体积 ②单位圆中角的度数和所对弧长 ③单产为常数时，土地面积和总产量 ④日照时间与水稻的亩产量 6、对于回归方程y=4.75x+257,当x=28时,y 的估计值为 . 7、为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立的做10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分布为1l 和2l ，已知在两人的试验中发现对变量x 的观察数据的平均值恰好相等都为s ，对变量y 的观察数据的平均值恰好相等都为t,那么下列说法准确的是 . ①直线1l 和2l 有交点（s,t ） ②直线1l 和2l 相交，但是交点未必是（s,t ） ③ 直线1l 和2l 平行 ④ 直线1l 和2l 必定重合 9、实验测得四组(x,y)的值为（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y 与x 之间的回归直线方程为 . 10、已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y(万元），有如下统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若y 对x 呈线性相关关系，则回归直线方程y ˆ=b ˆx+a ˆ表示的直线一定过定点 . 11、某种产品的广告费支出x 与销售额y(单位：百万元）之间有如下对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 （1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大？
变量的相关关系研究 变量相关关系是一种重要的研究方法，它用来分析两个变量之间的关系，从而发现其间的相关性。相关研究帮助研究人员了解变量之间的关系，是研究学习者行为和发展的重要手段。变量相关关系的研究让学习者和研究人员更容易分析出变量相互之间的关系，以及它们是如何影响另一个变量的结果。 变量相关研究包括研究变量之间的相关关系，以及它们之间的强弱程度。相关研究实际上是研究变量之间相互影响的方法。变量相关研究包括两个变量之间的线性关系，以及变量之间的非线性关系。线性相关研究区分度量单位变化，即当某一变量发生变化时，另一变量随之发生何种变化。非线性关系分析可以得出两个变量之间变化的模式，从而更加准确地明确变量之间的关系。 变量相关关系研究的主要方法有：统计方法和模型方法。统计方法是一种测量两个变量之间关系的常用方法，它可以使用来识别出变量之间的线性和非线性关系。统计方法通常使用回归分析来检查变量之间的相关性，这是一种统计技术，可以用来估计变量之间的关系。模型方法也可以用于分析变量之间的关系，不同的模型可以用来表示不同的关系，例如线性回归模型或分类模型等。 变量相关关系研究可以为研究人员了解学习者的行为和发展提 供有力的支持，从而有助于建立完善的分析模型。越来越多的研究表明，变量之间的关系具有重大的重要性，可以为研究人员提供有力的支持，以便他们能够从中获取重要的信息。
在变量关系研究中，研究人员需要谨慎控制自变量，以得出准确的结论。在研究变量之间的相互影响关系时，研究人员要着重分析变量之间的相互影响关系，并应确保自变量的约束性和可控性。 总的来说，变量相关关系研究是一种重要的研究方法，可以为研究人员认识学习者的行为和发展提供重要的信息。变量相关关系研究可以通过统计方法和模型方法来实现，可以深入分析变量之间的关系，以及它们是如何影响另一个变量的结果。变量相关研究既可以帮助研究人员更好地理解学习者的行为和发展，也可以帮助他们建立有效的分析模型，以便根据所得的数据进行准确的预测和决策。
2.3 变量间的相关关系 [知识与技能] 1两个变量间的相关关系 （1）、两个变量间的相关关系的定义。 自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系，叫做相关关系。 （2）、两个变量间的种类。 两个变量之间的关系分两类： ①确定性的函数关系，例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等； ②带有随机性的变量间的相关关系。例如“身高者，体重也重”。我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系。 2两个变量间的相关关系的判断 （1）、散点图。 （2）、根据散点图中变量的对应点的离散程度，可以准确的判断两个变量是否具有相关关系。 （3）、正相关、负相关的概念。 3 回归直线方程 （1）回归直线的概念 （2）回归直线方程 4、回归直线方程的系数公式 [过程与方法] [例1]下列关系中，是带有随机性相关关系的是 ①正方形的边长面积之间的关系； ②水稻产量与施肥量之间的关系 ③人的身高与年龄之间的关系 ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系。 [分析]两变量之间的关系有两种：函数关系与带有机性的相关关系。①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系。②水稻产量与施肥量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相关关系。③人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而他们不具备相关关系。④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系，因此填②、④。 [例2]现随机抽取某校10名学生在入学考中的数学成绩X与入学后的第一次数学考 问这10名同学的两次数学考试成绩是否具有相关关系？ [分析]应用散点图分析 解：（图略）这10名同学的两次数学考试成绩具有相关关系。 [创新思维训练] 一、选择题
具有相关关系的两个变量的关系式 具有相关关系的两个变量的关系式 【引言】 在数学和统计学中，很多研究都关注于两个变量之间的相关关系。相关关系是指两个或多个变量之间的相互依赖程度。了解变量之间的关系可以帮助我们理解事物的本质和变化规律，从而做出更准确的预测和决策。本文将探讨具有相关关系的两个变量之间的关系式，旨在帮助读者了解相关性的概念以及如何建立和解读关系式。 【正文】 一、相关关系的概念和度量 相关关系是指两个变量之间的相互依赖程度。在统计学中，常用的相关性度量方式包括皮尔逊相关系数、斯皮尔曼等级相关系数和判定系数等。其中，皮尔逊相关系数是最常见且广泛应用的一种度量方法。 皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）是用于衡量两个连续变量之间线性关系的强度和方向的统计量。它的取值范围在-1到1之间，值越接近1或-1表示两个变量之间关系越强，值越接近0表示两个变量之间关系越弱。当系数为正值时，表示两个变量之间正向
线性关系；而当系数为负值时，表示两个变量之间负向线性关系。 二、建立具有相关关系的两个变量之间的关系式 在研究中，我们可以通过实际观察或实验来获得变量之间的数据，并通过统计分析确定它们之间的关系。下面以简单线性回归作为例子来介绍如何建立具有相关关系的两个变量之间的关系式。 简单线性回归是一种用于描述一个因变量和一个自变量之间关系的统计模型。它的关系式可以表示为y = a + bx，其中y表示因变量，x 表示自变量，a和b分别表示截距和斜率。通过最小二乘法可以估计出关系式中的参数。 具体建立关系式的步骤如下： 1. 提出研究问题：确定自变量和因变量的关系，并给出观察或实验数据。 2. 绘制散点图：将观察或实验得到的数据绘制成散点图，以观察变量之间的整体趋势。 3. 计算相关系数：使用合适的方法计算出两个变量之间的相关系数，判断它们是否具有相关关系以及相关性强度。 4. 拟合线性回归模型：通过最小二乘法拟合出最符合数据的线性回归模型。 5. 解释关系式：根据拟合结果，解释关系式中的参数a和b的含义，包括截距和斜率。
变量间的相关关系 篇一：知识讲解_变量间的相关关系_基础 变量的相关关系 编稿：丁会敏审稿：王静伟 【学习目标】 1.明确两个变量具有相关关系的意义； 2.知道回归分析的意义； 3.知道回归直线、回归直线方程、线性回归分析的意义； 4.掌握对两个变量进行线性回归的方法和步骤，并能借助科学计算器确定实际问题中两个变量间的回归直线方程； 【要点梳理】 【高清课堂：变量的相关关系400458 知识讲解1】要点一、变量之间的相关关系 变量与变量之间存在着两种关系：一种是函数关系，另一种是相关关系。1．函数关系 函数关系是一种确定性关系，如y=kx+b，变量x取的每一个值，y都有唯一确定的值和它相对应。2．相关关系 变量间确定存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性相关关系分为两种: 正相关和负相关要点诠释： 对相关关系的理解应当注意以下几点：（1）相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而
函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系. （2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大. （3）函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化.例如正方形面积S与其边长x间虽然是一种确定性关系，但在每次测量边长时，由于测量误差等原因，其数值大小又表现出一种随机性.而对于具有线性关系的两个变量来说，当求得其回归直线后，我们又可以用一种确定性的关系对这两个变量间的关系进行估计. 3．散点图 将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标，在直角坐标系中描点，这样的图叫做散点图。通过散点图可初步判断两个变量之间是否具有相关关系，她反映了各数据的密切程度。 要点二、正相关、负相关 （1）正相关：在统计数据中的两个变量，一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关。如：家庭年收入越高，年饮食支出越高。反映在散点图上它们散布在从左下角到右上
一、变量间的相关关系 1）两个变量之间的关系: ① 常见的有两类： a.确定性的函数关系； b. 相关关系：变量间存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有一定随机性的．当一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系． ② 相关关系与函数关系的异同点： a. 相同点：两者均是指两个变量的关系． b. 不同点： 函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系． 函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2）散点图：将样本中的n 个数据点()(),1,2,,i i x y i n = 描在平面直角坐标系中，就得到了散点图．散点图形象地反映了各个数据的密切程度，根据散点图的分布趋势可以直观地判断分析两个变量的关系． 3）正相关与负相关： ① 正相关：如果当一个变量的值变大时，另一个变量的值也在变大，则这种相关称为正相关；此时，散点图中的点在从左下角到右上角的区域． ② 负相关：如果一个变量的值变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．此时，散点图中的点在从左上角到右下角的区域． 二、两个变量的线性相关 1）回归分析：对于具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析，即回归分析就是寻找相关关系中这种非确定关系的某种确定性． 2）回归直线：如果散点图中的各点都大致分布在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． 3）最小二乘法： 记回归直线方程为：ˆy a bx =+，称为变量Y 对变量x 的回归直线方程，其中,a b 叫做回
归系数．ˆy 是为了区分Y 的实际值y ，当x 取值i x 时，变量Y 的相应观察值为i y ，而直线上对应于i x 的纵坐标是ˆi i y a bx =+．设,x Y 的一组观察值为(),i i x y ，1,2,,i n = ，且回归直线方程为ˆy a bx =+，当x 取值i x 时，Y 的相应观察值为i y ，差()ˆ1,2,,i i y y i n -= 刻画了实际观察值i y 与回归直线上相应点的纵坐标之间的偏离程度，称这些值为离差．我们希望这n 个离差构成的总离差越小越好，这样才能使所找的直线很贴近已知点． 记() 21n i i i Q y a bx ==--∑，回归直线就是所有直线中Q 取最小值的那条． 这种使“离差平方和为最小”的方法，叫做最小二乘法．用最小二乘法求回归系数,a b 有如下的公式： 1 22 1ˆn i i i n i i x y nxy b x nx ==-=-∑∑，ˆˆa y bx =-，其中,a b 上方加“^”，表示是由观察值按最小二乘法求得的回归系数． 4）线性回归系数的最佳估计值： 利用最小二乘法可以得到ˆˆ,a b 的计算公式为 1122211()()()()n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nx y b x x x n x ====---==--∑∑∑∑ ，ˆˆa y bx =-，其中11n i i x x n ==∑，1 1n i i y y n ==∑ 由此得到的直线ˆˆy a bx =+ 就称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程．其中ˆa ， b 分别为a ，b 的估计值，ˆa 称为回归截距，b 称为回归系数，ˆy 称为回归值． 三、总结提高 1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义． 2）线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差；而且回归方程只适用于我们所研究的样本总体．
§2.3 变量间的相关关系 学习目标 1.了解变量间的相关关系，会画散点图.2.根据散点图，能判断两个变量是否具有相关关系.3.了解线性回归思想，会求回归直线的方程. 知识点一 变量间的相关关系 相关关系的定义 变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的，那么这两个变量之间的关系叫做相关关系，两个变量之间的关系分为函数关系和相关关系. 知识点二 散点图及正、负相关的概念 思考 粮食产量与施肥量间(在一定范围内)的相关关系有什么特点？ 答案 在施肥不过量的情况下，施肥越多，粮食产量越高. 梳理 (1)散点图 将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.点(x ，y )叫样本点中心. (2)正相关与负相关 ①正相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域. ②负相关：散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域. 知识点三 回归直线 回归直线的方程 (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.回归直线过样本点中心. (2)线性回归方程：回归直线对应的方程叫做回归直线的方程，简称回归方程. (3)最小二乘法： 求线性回归方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ 时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
⎩⎪ ⎨⎪⎧ b ^ ＝∑i ＝1 n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1 n (x i －x )2 ＝∑i ＝1 n x i y i －n x y ∑i ＝1 n x 2i －n x 2 ，a ^ ＝y －b ^x ， 其中，b ^ 是线性回归方程的斜率，a ^ 是线性回归方程在y 轴上的截距 . 1.人的身高与年龄之间的关系是相关关系.( × ) 2.农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系.( √ ) 3.回归直线过样本点中心(x ，y ).( √ ) 类型一 变量间相关关系的判断 例1 下列两个变量之间是相关关系的是( ) A.圆的面积与半径之间的关系 B.球的体积与半径之间的关系 C.角度与它的正弦值之间的关系 D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 考点 变量间的相关关系 题点 相关关系的判断 答案 D 解析 由题意知A 表示圆的面积与半径之间的关系S ＝πr 2，B 表示球的体积与半径之间的关系V ＝4πr 3 3，C 表示角度与它的正弦值之间的关系y ＝sin α，都是确定的函数关系，只有D 是 相关关系，故选D. 反思与感悟 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系. 跟踪训练1 下列两个变量间的关系不是函数关系的是( ) A.正方体的棱长与体积
变量间的相关关系讲义
变量间的相关关系讲义 一、基础知识梳理 知识点1：变量之间的相关关系 两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。 注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。 点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系 相同点：两者均是两个变量之间的关系，不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s 的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。
知识点2.散点图. 1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。 2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。 3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从左上角到右下角的区域。 注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系。