第3章函数极限
3.1本章要点详解
本章要点
■函数极限的概念
■函数极限的性质
■函数极限的四则运算
■函数极限存在的条件
■两个重要的极限
■无穷小量阶的比较
■渐近线
重难点导学
一、函数极限概念
1．x趋于∞时函数的极限
设f为定义在[a，＋∞）上的函数，A为定数．若对任给的ε＞0，存在正数M（≥a），使得当x＞M时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f当x趋于＋∞时以A为极限，记作
2．x趋于x0时函数的极限
设函数f在点x0的某个空心邻域U°（x0；δ'）内有定义，A为定数．若对任给的ε＞0，存在正数δ（＜δ'），使得当0＜|x－x0|＜δ时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作
3．单侧极限
设函数f在（或上有定义，A为定数．若
对任给的ε＞0，存在正数δ（＜δ′），使得当（或
时有
则称数A为函数f当x趋于x0＋（或x0－）时的右（左）极限，记作
或
右极限与左极限统称为单侧极限．f在点x0的右极限与左极限又分别记为
与
4．定理
二、函数极限的性质
1．唯一性
若极限存在，则此极限是唯一的．
2．局部有界性
若存在，则f在x0的某空心邻域内有界．
3．局部保号性
若（或＜0），则对任何正数r＜A（或r＜－A），存在，使得对一切
有
4．保不等式性
设与都存在，且在某邻域内有
，则
5．迫敛性
设，且在某内有
则
6．四则运算法则
若极限与都存在，则函数，，当
时极限也存在，且
（1）
（2）
（3）若，则f／g当x→x0时极限存在，且有
三、函数极限存在的条件
1．归结原则
设f在上有定义存在的充要条件是：对任何含于
且以x0为极限的数列，极限都存在且相等．
2．设函数f在点x0的某空心右邻域有定义，的充要条
件是：对任何以x0为极限的递减数列有
3．设f为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．4．柯西准则
设函数f在上有定义．存在的充要条件是：任给ε＞0，
存在正数
，使得对任何有
．
四、两个重要的极限
五、无穷小量与无穷大量
1．无穷小量
（1）定义
设f 在某U 0（x 0）上有定义，若0
lim ()0x x f x ?=，则称f 为当x →x 0时的无穷小量．若函数g 在某U 0（x 0）上有界，则称g 为当x →x 0时的有界量．
（2）性质
①两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量．②无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．
2．无穷小量阶的比较
设当x →x 0时，f 与g 均为无穷小量．
（1）若
，则称当x →x 0时f 为g 的高阶无穷小量，或称g 为f 的
低阶无穷小量，记作
．特别，f 为当x →x 0时的无穷小量记作
．
（2）若存在正数K 和L ，使得在某U 0（x 0）上有
则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量，特别当时，f与g必为同阶无穷小量．
（3）若，则称f与g是当x→x0时的等价无穷小量，记作
（4）常用等价无穷小
①；
②；
③．
（5）定理
设函数f，g，h在U0（x0）上有定义，且有
①若，则．
②若，则．
3．无穷大量
（1）定义
①设函数f在某U0（x0）上有定义，若对任给的G＞0，存在δ＞0，使得当
时有
（3-1）则称函数f当x→x0时有非正常极限∞，记作．
若式（3-1）换成或，则分别称f当x→x0时有非正常极
第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案 一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函 数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互 换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数 为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件 解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界， 但不收敛， 选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小， 则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域 为
华师大第二十六章二次函数单元试题9.二次函数y =ax2+bx +c 的图象如图，则下列关于a，b，c 间的函数关系判断正确的是（）一、精心选一选（每题2 分，共18 分） A.ab < 0 B.bc < 0 C．a +b +c > 0 D．a -b +c < 0 1.．下列函数中，是二次函数的是（） 1 x2- 2x 1 二、细心填一填（每题 2 分，共20 分） 10.若y = (2 -m)x m2 -4 是二次函数，则m= 。 A．y =-x x2 B．y =x2- (x -1)2C．y = 2 D．y =x2+ x 11.二次函数y =-x 2- 2x 的开口，对称轴是。 2．抛物线 y =x 2 - 4 的顶点坐标是（） A、（2，0） B、（-2，0） C、（1，-3） D、（0，-4）12．抛物线y =1 x 2+x - 3 的最低点坐标是，当x 时，y 随x 的增大而增大。 2 2 3．若（2，5）、（4，5）是抛物线y =ax 2+bx +c 上的两个点，则它的对称轴是（） A、x= - b/a B、x = 1 a C、x = 2 D、x = 3 13．已知二次函数y =ax 2- 2 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为，它与x 轴的交点的个数为个。 4．已知反比例函数y = (a ≠ 0) ，当x＜0 时，y 随x 的增大而减小，则函数y =ax 2+a 的图象经 x 14.若y 与x 2成正比例，当x=2 时，y=4，那么当x= -3 时，y 的值为。 过的象限是（） A、第三、四象限 B、第一、二象限 C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限 15.抛物线y =x 2+ 3x - 4 与y 轴的交点坐标是，与x 轴的交点坐标是。 5．抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线y =-2x 2相同，16．有一长方形条幅，长为a m，宽为b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为，自变量x 的取值范围为。 则y =ax 2+bx +c 的函数关系式为（）17．已知抛物线y =ax 2+x +c 与x 轴交点的横坐标为–1，则a +c = 。 A 、y =-2x 2-x + 3 B 、y =-2x 2+ 4x + 5 C 、y =-2x 2+ 4x + 8 D、18．已知抛物线的开口向上，并且以y 轴为对称轴，试写出这条抛物线的关系式（任写两个）、。 y =-2x 2+ 4x + 6 6．抛物线y= 1 x2 的图象向左平移2 个单位，再向下平移1 个单位，则所得抛物线的解析式为 2 （） A .y= 1 x2+2x－2 B. y= 1 x2+2x+1 C. y= 1 x2－2x－1 D .y= 1 x2－2x+1 19．如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙， 其余各面用木材围成栅栏，该计划用木材围成总长24m 的栅栏， 设每间羊圈的一边长为x (m)三，间羊圈的总面积s (m2),则s 关于x 的函数关系式是x,的取值范围,当 x= 时，s 最大. 三、认真答一答（第20—21 题7 分，其余各8 分，共62 分） 2 2 2 2 7.下列判断中唯一正确的是( ) A.函数y=ax2 的图象开口向上,函数y= -ax2 的图象开口向下 B.二次函数y=ax2,当x<0 时,y 随x 的增大而增大 C.y=2x2 与y= -2x2 图象的顶点、对称轴、开口方向完全相同 D.抛物线y=ax2 与y=-ax2 的图象关于x 轴对称 8.在同一直角坐标系中，函数y =ax 2+b 与y =ax +b(ab ≠ 0) 的图象大致如图（） 20．（7 分）已知二次函数y =x 2+bx -1的图象经过点（3，2）。 （1）求这个二次函数的关系式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x＞0 时，求使y≥2 的x 的取值范围。 21．（7 分）如图二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过A 、B、C 三点， C （1）观察图象，写出A 、B、C 三点的坐标，并求出抛物线解析式， （2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴 （3）观察图象，当x 取何值时，y<0？y=0？y>0? x
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
高等数学 二、计算题（共 200 小题，） 1、设x x x f +=12)(，求)(x f 的定义域及值域。 2、设x x x f -+= 11)(，确定)(x f 的定义域及值域。 3、设)ln(2)(22x x x x x f -+-= ，求)(x f 的定义域。 4、的定义域，求设)(sin 51 2arcsin )(x f x x x f π+-=。 5、的定义域，求设??? ??++-=x f x f x x x f 1)(22ln )(。 6、的定义域求函数22112arccos )(x x x x x f --++=。 7、设)(x f 的定义域为[) )()()(m x f m x f x F b a ++-=，．，)0(
华师版数学九年级下册解码专训 2 1.1 二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.) 3.物体自由下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系? (下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1 某水产养殖户用长40 m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米?
这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为S m2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2 有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围一般都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 课 时 授 课 计 划 课次序号： 03 一、课 题：§1.3 函数的极限 二、课 型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、授课效果 分析： 第三节 函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的． 定义1 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）?A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞ f （x ）?A ． 例1 证明lim x 0． 证 0 -，故?ε＞00-＜εε， 即x ＞21 ε．因此，?ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 lim x ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞ =． 证 ?ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞ 10x ?0． 定义2 若?ε＞0，?X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞ f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限： f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）． 注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞ ===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线． 由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理． 定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞ f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1 x x x →∞--?1． 定义证明二重极限 定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P 入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7 课 题：2.3函数的极限(二) 教学目的： 1.理解函数在一点处的极限，并会求函数在一点处的极限． 2.已知函数的左、右极限，会求函数在一点处的左右极限． 3.理解函数在一点处的极限与左右极限的关系教学重点：掌握当0x x →时函数的极限 教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念”的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 上节课我们学习了当x 趋向于∞即x →∞时函数f (x )的极限.当x 趋向于∞时，函数f (x )的值就无限趋近于某个常数a .我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点.那么如果对于数轴上的一般的点x 0，当x 趋向于x 0时，函数f (x )的值是否会趋近于某个常数a 呢？ 教学过程： 一、复习引入： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等 于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有 时也记作：当n →∞时，n a →a ． 2.几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1 函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件： 两个重要极限的证明第六节极限存在准则、两个重要极限 教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限； 2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法； 教学重点：利用两个重要极限求极限 教学过程： 一、讲授新课： 准则I：如果数列满足下列条件： (i)对 ; (ii) 那么，数列的极限存在，且。 证明：因为，所以对，当时，有，即 ，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有， 即有：，即，所以。 准则I′如果函数满足下列条件： (i)当时，有。 (ii)当时，有。 那么当时，的极限存在，且等于。 第一个重要极限： 作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。 证明：作单位圆，如下图： 设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即， (因为，所以上不等式不改变方向) 当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切 ，有。 又因为， 所以而，证毕。 【例1】。 【例2】。 【例3】。 【例4】。 准则Ⅱ：单调有界数列必有极限 如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。 如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。 准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。 准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。 注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。 2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。 第二个重要极限： 作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。 先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：， 即： (i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。 (ii)又令，所以， 即对，又对所以{ }是有界的。 由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即 函数与极限测试题（一） 一、 填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。 二、 单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（ ） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（ ） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（ ） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????， 则()lim x f x →∞ 为（ ） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在 例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、 求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、 确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。 五、 指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。 六、 设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。 七、 设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明： 在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。 函数与极限测试题答案（一） 一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ； 二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==； 第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数)1()(2 2+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ． 解 若函数)1()(2 2+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ． 解得 0≠m ，且1≠m ． 因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数． 回顾与反思 形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数． 探索 若函数)1()(2 2+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？ 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与 广西民族师范学院 数计系《高等数学》课程教案 课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班 使用教材：高等数学同济大学第7版 教研室：数学与应用数学教研室 授课教师: 、课程教学计划表 、教案正文 第一章函数与极限 （一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。 三)教学方法、手段： 教师讲授，提问式教学，多媒体教学 第一节映射与函数 一、映射 1. 映射概念 定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y. 1.结构的极限状态及其函数表示 1.1结构的极限状态 结构的极限状态是指结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求，此特定状态就称为结构该功能的极限状态。 根据功能要求，通常把钢筋混凝土结构的极限状态分为承载能力极限状态和正常使用极限状态两类。其中，极限能力极限状态对应于结构或结构构件达到最大承载力或达到不适于继续承载的变形。而正常使用极限状态对应于结构或构件达到影响正常使用或耐久性能的某项规定值。 1.2结构极限状态的函数表示 结构的极限状态可用极限状态函数（功能函数）Z来描述。 Z=g（X1，X2，…,X n） 其中，X i变量代表了各种不同性质的荷载、混凝土和钢筋的强度。构件的几何尺寸、配筋数量、施工的误差以及计算模式的不定性因素。当将影响极限状态的众多因素用荷载效应S和结构抗力R两个变量来代表，则 Z=g（R,S）=R-S 当Z>0(即R>S)时，结构安全可靠；当Z<0(即R 第一章 函数与极限 （A ） 一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为 。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为 。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为 。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为 。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为 。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 8、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的 条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是 。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为 。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数 a= 。 二、计算题 1、求下列函数定义域 （1）2 11 x y -= ； （2）x y sin = ； （3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？ （1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ； （2）2)(,)(x x g x x f = = ； （3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性 （1）)1(2 2 x x y -= ； （2）3 2 3x x y -= ； 教学内§1.1 函数 教学目的】 理解并掌握函数的概念与性质 教学重点】 函数的概念与性质 教学难点】 函数概念的理解 教学时数】 4 学时 一、组织教学，引入新课 极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数 学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限 . 因此掌握极限的思想与方法是 学好高等数学的前提条件 . 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念 、讲授新课 （一）、实数概述 1、实数与数轴 1）实数系表 2）实数与数轴关系 x,x 0 1）绝对值的定义： x x,x 0 x,x 0 2）绝对值的几何意义 3）绝对值的性质 练习：解下列绝对值不等式：① x 5 3 ，② x 1 2 3、区间 （1）区间的定义：区间是实数集的子集 （2）区间的分类：有限区间、无限区间 ① 有限区间：长度有限的区间 设 a 与 b 均为实数，且 a b ，则 （3）实数的性质： 封闭性 有序性 稠密性 连续性 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作 [a ，b ) 数集｛ x a x b ｝为以a 、 b 为端点的半开半闭区间，记作( a ，b ] 区间长度： b a ② 无限区间 数集｛ xa x ｝记作[a ， )， 数集｛xa x ｝记作( a ， ) 数集｛ x x a ｝记作( ，a]， 数集｛ x x a ｝记作( ，a ) 实数集 R 记作( ， ) 3)邻域 ① 邻域：设 a 与 均为实数，且 0 ，则开区间( a ， a )为点 a 的 邻域 记作U(a, ) ，其中点 a 为邻域的中心， 为邻域的半径 ② 去心邻域：在的 邻域中去掉点 a 后，称为点 a 的去心邻域，记作 U (a, ) (二) 、函数的概念 1、函数的定义 ： 设有一非空实数集 D ，如果存在一个对应法则 f ，使得对于每一个 x D ，都有一个 惟一的实数 y 与之对应，则称对应法则 f 是定义在 D 上的一个函数. 记作 y f(x)， 其中 x 为自变量， y 为因变量，习惯上 y 称是的函数。 定义域： 使函数 y f ( x )有意义的自变量的全体，即自变量 x 的取值范围 D 函数值：当自变量 x 取定义域 D 内的某一定值 x 0时，按对应法则 f 所得的对应 值 y 0 称 为函数 y f(x)在 x x 0时的函数值，记作 y 0 f(x 0)。 值 域：当自变量 x 取遍 D 中的一切数时，所对应的函数值 y 构成的集合，记 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的闭区间，记作 [a ，b ] 数集｛ x a x b ｝为以 a 、 b 为端点的开区间，记作 ( a ，b ) 1．什么是结构的极限状态？极限状态可分为哪两类? 答：整个结构或结构的一部分超过某一特定状态就不能满足设计规定的某一功能要求。 承载能力极限状态和正常使用极限状态。 2、适筋梁从加载到破坏的全过程中梁截面经历了哪三个阶段？它们各对截面的设计及验算有何意义？ 答：界面开裂前的阶段、从截面开裂到受拉区纵向受力钢筋开始屈服的阶段和破坏阶段。 截面抗裂验算是简历在第一阶段的基础之上，构件使用阶段的变形和裂缝宽度验算是建立在第二阶段基础之上的，截面的承载力计算是建立在第三阶段的基础上的。 3、受弯构件斜截面承载力计算中，什么是剪跨比？剪跨比与斜截面破坏形态有何联系？ 答：剪跨比：集中荷载作用下的梁的某一截面的剪跨比等于该截面的弯矩值与截面的剪力值和有效高度乘积之比。实验证明，承受集中荷载的梁，随着剪跨比的增大，受剪承载力下降。对于承受均布荷载作用的梁而言，构件跨度与截面高度之比是影响受剪承载力的主要因素。随着跨高比的增大，受剪承载力降低。 4、偏心受压构件正截面承载力N-M相关曲线的特点？ 答：ab段表示大偏心受压区，为二次抛物线，随着轴向压力N的增大，截面能承担的弯矩也提高；b点为受拉钢筋与受压混凝土同时达到其强度值的界限状态，此时偏心受压构件承受的弯矩最大。Bc段为小偏心受压区，接近直线的二次函数曲线，随着轴向压力的增大，截面所能承担的弯矩反而降低。 5、简述混凝土梁裂缝产生的主要原因？为什么要对裂缝宽度进行限制？ 答：原因分两大类：一类是由荷载引起地裂缝；一类是有变形因素引起的裂缝； 裂缝不能过宽，主要考虑到结构的适用性和耐久性。过宽的裂缝会引起1）渗漏；2）影响外观；3）影响耐久性。因此需要对裂缝宽度进行控制。 6、混凝土和钢筋之间的粘结力是怎样产生的？ 答：由于混凝土收缩将钢筋紧紧捏固而产生的摩擦力；混凝土颗粒的化学作用而产生的混凝土与钢筋之间的胶合力；钢筋表面凹凸不平与混凝土产生的机械咬合力；钢筋表面轻微的锈蚀可以增加钢筋与混凝土的粘结力。 7、正截面抗弯承载能力计算中有哪些基础假定？ 答：(1) 平截面假定(2)不考虑混凝土的抗拉作用(3)混凝土的应力应变关系按《规范》(4)钢筋的应力应变关系按σs=Esεs，但-fy’≤σs≤fy，受拉钢筋的极限拉应变取0.01 8、影响梁斜截面承载力的主要因素有哪些？ 答：：（1）剪跨比和跨高比，随着剪跨比的增加，抗剪承载力逐渐降低；（2）复筋的数量；（3）纵筋配筋率的影响，随着纵筋配筋率的增加，抗剪承载力略有增加；（4）混凝土强度等级；（5）截面形状、预应力和梁的连续性。 9、轴心受压柱中配置的纵筋起什么作用？普通箍筋和螺旋箍筋的作用有何区别？ 答：作用是为了减小构件截面尺寸，防止柱子突然断裂破坏，增强柱截面的延性和减小混凝土的变形。 普通箍筋可以固定纵向受力钢筋的位置，防止纵向钢筋在混凝土压碎之前压屈，保证纵筋与混凝土共同受力直到构件破坏；螺旋形箍筋对混凝土有较强的环向约束，因而能够提高构件的承载力和延性。 10、试分析减少受弯构件挠度和裂缝宽度的有效措施是什么？ 答：减少受弯构件挠度措施：增加截面高度；提高混凝土强度等级或增加纵向钢筋受拉钢筋截面面积；采用预应力混凝土构件提高受弯构件的刚度来减少挠度。 减小裂缝宽度措施：优先选择带肋钢筋；选择直径较小的钢筋；增加钢筋用量。 11、钢筋混凝土受压构件配置箍筋有何作用？对其直径、间距和附加箍筋有何要求。 答：、纵向受力钢筋必须采用箍筋加以固定，设置时应考虑防止纵筋在任何方向压曲；箍筋的间距Ｓ和直径d必须满足下列规定：S≤15d（纵向受钢筋直径），或S≤ｂ，或S≤400 mm，kd≥d41。当被箍筋固定的纵向受力钢筋的配筋率ρ＞３％时，箍筋间距应不大于主筋直径的10倍，且不大于200mm。 1.徐变：在荷载保持不变的情况下随时间而增长的变形。 2.保证可靠粘结的构造措施;1.为了保证钢筋和混凝土的粘结强度，钢筋之间的距离和混凝土保护层不能太小； 2、构件裂缝间的局部粘结应力使裂缝间的混凝土受拉。 3、为保证钢筋伸入支座的粘结力，应使钢筋伸入支座 有足够的锚固长度。 3.结构上的作用按随时间的变异可分三类：永久作用、可变作用、偶然作用。 4.结构的可靠性：安全性、适用性、耐久性。 5.抵抗弯矩图：是指按实际配置的纵向钢筋计算的梁上各正截面所能承受的弯矩图。 6.填空题先张法构件时通过预应力钢筋与混凝土之间的粘结力传递预应力的。 7.填空题后张法构建是依靠其两端的锚具锚住预应力钢筋并传递预应力的。高等数学同济大学版课程讲解函数的极限
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