高二理科数学测试题（9-28）
1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）
()A 33710(1)C p p - ()B 33
310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概
率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312
3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）
()A 23332()55C ? ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C
4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是
15
4，刮三级以上风的概率为152，既
刮风又下雨的概率为10
1，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）
A.
225
8
B.2
1 C.8
3
D.4
3
5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．
A.15
B.25
C.35
D.45
6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ）
A.2101012)85()83(?C
B.83)85()83(29911?C
C.29911)83()85(?C
D. 29911)85()83(?C
7．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次抽到白球的概率为（ ）
A.5
3 B.4
3 C.2
1 D.
103
8．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率（ ）
A.
52 B.5
1 C.9
2 D. 7
3
9．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ）
A.5
2 B.5
1 C.2
1 D. 7
3
10.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的
方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是2
1
，质点P 移动5次后位于点（2,3）
的概率是（ ）
A.3)2
1( B.525)21(C C.335
)21(C D.5
3525)21(C C
11.若样本数据1x ，2x ，???，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，???，1021x -的标准差为（ ）
（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32
12.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（ ）
A.0
B. 21
C. 31
D.3
2
解答题
13．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：
⑴全部成活的概率；⑵全部死亡的概率；
⑶恰好成活3棵的概率；⑷至少成活4棵的概率
14．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军
的概率分别为1
2
，
1
3
，
2
3
.(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；
(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．
15.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率； （2）求按比赛规则甲获胜的概率．
16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；
（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列.
1--5：CAACD 6-12： BABCB CC
13. ⑴5550.90.59049C =； ⑵5
550.10.00001C =；
⑶()3
3
2
5530.90.10.0729P C =?=； ⑷()()55450.91854P P P =+=
14．解 (1)∵X 的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为 ∴X 的分布列为
(2)∵得分η＝5X ＋∵X 的可能取值为0,1,2,3.
∴η的可能取值为6,9,12,15，取相应值的概率分别为 P (η＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (η＝9)＝P (X ＝1)＝7
18， P (η＝12)＝P (X ＝2)＝718，P (η＝15)＝P (X ＝3)＝1
9. ∴得分η的分布列为
15．解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为
12，乙获胜的概率为12
． 记事件A =“甲打完3局才能取胜”，记事件B =“甲打完4局才能取胜”，
记事件C =“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜
∴甲打完3局取胜的概率为3
3
311()()2
8P A C ==
． ②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负
∴甲打完4局才能取胜的概率为22
31113()()2
2216
P B C =??
?=． ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负
∴甲打完5局才能取胜的概率为2
2241113
()()()22216
P C C =???
=．
(2)事件D ＝“按比赛规则甲获胜”，则D A B C =++， 又因为事件A 、B 、C 彼此互斥，
故1331
()()()()()816162
P D P A B C P A P B P C =++=++=+
+=．
16.（1）：
10
7
高二理科数学测试题（9-28） 1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ） ()A 33710 (1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概 率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正 常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ） ()A 23332()55C ? ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是 15 4，刮三级以上风的概率为152，既 刮风又下雨的概率为10 1，则在下雨天里，刮风的概率为（ ） A.225 8 B.2 1 C.8 3 D.43 5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．
6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ） A.2101012)85()83(?C B.83)85()83(29911?C C.29911)83()85(?C D. 29 911)8 5()83(?C 7．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第 二次抽到白球的概率为（ ） A.5 3 B.4 3 C.2 1 D. 103 8．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率（ ） A. 52 B.5 1 C.9 2 D. 7 3 9．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.5 2 B.5 1 C.2 1 D. 7 3 10.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的 方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是2 1 ，质点P 移动5次后位于点（2,3）
随机变量及分布列 1．已知随机变量() 20,X N σ~，若(2)P X a <=，则(2)P X >的值为（ ） A. 12a - B. 2 a C. 1a - D. 12a + 2．已知随机变量，若，则的值为（ ） A. 0.4 B. 0.2 C. 0.1 D. 0.6 3．已知，，则的值为（ ） A. 10 B. 7 C. 3 D. 6 4．集装箱有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下并放回，如果两球之积是4的倍数，则获奖.若有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（ ） A. B. C. D. 5．甲袋中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球为1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球2个.从袋中任取两个球，已知其中一个的标号是1，则另一个标号也是1的概率为__________． 6．设随机变量服从正态分布，，则__________． 7．某人通过普通话二级测试的概率是，他连线测试3次，那么其中恰有1次通过的概率是（ ） A. B. C. D. 8．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为奇数”，则（ ） A. B. C. D. 9．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机 抽取一个容量为8的样本进行分析. （Ⅰ）如果按性别比例分层抽样，求样本中男生、女生人数分别是多少； （Ⅱ）随机抽取8位同学，数学成绩由低到高依次为：6065707580859095，，，，，，，； 物理成绩由低到高依次为：7277808488909395，，，，，，，，若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望. 10．某品牌汽车的4S 店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如下表所示.已知分9期付 款的频率为0.4；该店经销一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款， （1）若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客（数量较大）中随机抽取3为顾客，求事件A ：“至多有1位采用分6期付款“的概率()P A ； （2）按分层抽样方式从这100为顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量η，求η的分布列和数学期望()E η. 11．某公司有,,,,A B C D E 五辆汽车，其中,A B 两辆汽车的车牌尾号均为1. ,C D 两辆汽车的车牌尾号均
5.离散型随机变量及其分布律 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第二章第§2离散型随机变量及其分布律 【教材分析】：概率论考察的是与各种随机现象有关的问题，并通过随机试验从数量的侧面来研究随机现象的统计规律性，由此，就把随机试验的每一个可能的结果与一个实数联系起来。随机变量正是为了适应这种需要而引进的，随机变量的引入有助于我们应用微积分等数学工具，把研究深入，一维离散型随机变量是随机变量中最简单最基本的一种。 【学情分析】： 1、知识经验分析 学生已经学习了概率的意义及概率的公理化定义，学习了事件的关系及运算，掌握了概率的基本计算方法。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能： 了解离散型随机变量的分布律，会求某些简单的离散型随机变量的分布律列；掌握伯努利试验及两点分布， 2、过程与方法 由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，通过教学渗透由特殊到一般的数学思想，发展学生的抽象、概括能力。 3、情感态度与价值观 通过引导学生对解决问题的过程的参与，使学生进一步感受到生活与数学“零距离”，从而激发学生学习数学的热情。 【教学重点、难点】： 重点：掌握离散型随机变量的概念及其分布律、性质，理解伯努利试验，两点分布。 难点：伯努利试验，两点分布。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：
一、问题引入（离散型随机变量的概念） 例1：观察掷一个骰子出现的点数。 随机变量 X 的可能值是 ： 1， 2， 3， 4， 5， 6。 例2若随机变量 X 记为 “连续射击， 直至命中时的射击次数”， 则 X 的可能值是： 1,2,3,. 例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8，现该射手射了30次，则随 机变量 X 记为“击中目标的次数”， 则 X 的所有可能取值为： 0,1,2,3,,30. 定义 有些随机变量的取值是有有限个或可列无限多个，称此随机变量为离散型随机变量。 【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。 二、离散型随机变量的分布律 定义 设离散型随机变量X 的所有可能取值为),2,1( =k x k ， X 取各个可能值得概率，即事件称}{k x X =的概率，为 ,2,1,}{===k p x X P k k 由概率的定义，k p 满足如下两个条件： 1）)21(0 ，，=≥k p k ； 2） ∑∞ ==1 1k k p （分布列的性质） 称（2.1）式为离散型随机变量为X 的概率分布或分布律， 也称概率函数。 常用表格形式来表示X 的概率分布： n i n p p p p x x x X 2121 【设计意图】：给出分布律的概念和性质，体现具体到抽象、从特殊到一般的数学思想，同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性。 例1：()()1,2,,C k P X k k N X N ?=== 若为随机变量的分布律，是确 定常数C 。 解：由分布律特征性质 1 知 C ≥ 0 ， 由其特征性质 2 知 1 ()1N k P X k == =∑ 1 N k C k N =?=∑ )(12C N N ++=+ ()12 C N += 21C N ∴= + 【设计意图】：通过这个例子，让学生掌握离散型随机变量的分布律的性质。
几个重要的离散型随机变量的分布列 井 潇（鄂尔多斯市东胜区东联现代中学017000） 随着高中新课程标准在全国各地的逐步推行，新课标教材越来越受到人们的关注，新教材加强了对学生数学能力和数学应用意识的培养，而概率知识是现代公民应该具有的最基本的数学知识，掌握几种常见的离散型随机变量的分布列是新课标教材中对理科学生的最基本的要求，也是高考必考的内容，先结合新教材，具体谈一谈几个重要的离散型随机变量分布列及其简单的应用。 下面先了解几个概念: 随机变量:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量就叫随机变量.随机变量常用希腊字母,ξη等表示. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量就叫离散型随机变量. 离散型随机变量的分布列:一般地设离散型随机变量ξ可能取得值为 123,,,...,,...,i x x x x ξ取每一个值()1,2,3,...i x i =的概率()i i P x p ξ==,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. 由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都有以下两个性质 (1)0,1,2,3,...i P i ≥= (2)123...1P P P +++= 离散型随机变量在某个范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和. 一、 几何分布 在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示第k 次独立重复试验时事件第一次发生。如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()() ,k k P A p P A q ==，那么 ()()1231...k k P k P A A A A A ξ-==，根据相互独立事件的概率的乘法公式得 ()()()()()()1231...k k P k P A P A P A P A P A ξ-==()11,2,3,...k q p k -==。 于是得到随机变量ξ的概率分布
排列组合,离散型随机变量及其分布习题 1.五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 ( ） A ．120种 B ．96种 C ．78种 D ．72种 2.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有（ ） A . 280种 B.240种 C.180种 D.96种 3.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ） . A 5544A A B.554433A A A C.554413A A A D.554422A A A 4.甲，乙，丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( ) .A 20种 .B 30种 .C 40种 .D 60种 5.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排的8人中抽2人调整到前排，若其它人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) .A 2283C A .B 2686C A .C 2286C A .D 2285C A 6.已知1021001210(1)(1)(1)...(1),x a a x a x a x +=+-+-++-则8a ＝＿＿＿＿＿． 7.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ，若(1)(1),P c P c c ξξ>+=-=则＿＿ 8.有3道”四选一”的选择题，每题4分，某考生对其中2道题能各排除2个选项，随后他随机猜答，则该考生做这3道题的得分的数学期望是＿＿＿＿＿分． 8.从0,1,2,3,4,5,6,7,8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 。
《离散型随机变量及其分布》单元测试题（一） 考试时间120分钟 试卷满分150分 ★祝考试顺利★ 一、选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1.设X 是一个离散型随机变量，其分布列如下，则q 等于( C ) A ．1 B D ．1＋ 22 2.随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝k )＝ (1) c k k +，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则 1 5P 2 2X ??<< ???的值为( D ) A.2 3 B.3 4 C.4 5 D.5 6 4. 三位同学独立地做一道数学题，他们做出的概率分别为11 1234 、和，则能够将此题解答出的概率为（A ） A ． 34 B ． 124 C ．14 D ． 13 12 5．设导弹发射的事故率为0.01，若发射10次，其出事故的次数为ξ，则下列结论正确的是（A ） A.E ξ=0.1 B.D ξ=0.1 C.P （ξ=k ）=0.01k ·0.9910-k D.P （ξ=k ）=C k 10·0.99k ·0.0110-k 6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为(C ) A.1 220 B.2755 C.27220 D.21 25
7. 从1.2.3.4.5中任取2个不同的数，在取到的两个数之和为偶数时两数恰为偶数的概率是 B 8.有5位旅客去甲、乙、丙三个旅馆住宿，每位旅客选择去哪个旅馆是相互独立的，设其中选择去甲旅馆的旅客人数为X ，则X 的期望值是（ B ） A. 43 B. 53 C.2 D. 3 9.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上 或向右，并且向上向右的概率都是 2 1 ，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（ B ） A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.5 3525)2 1(C C 10.一射手对靶射击，每次命中的概率为0.6，命中 则止,现只有4颗子弹，设射手停止射击时剩余子弹数为随机变量X ，则P （X=0）= ( C ) A. 30.40.6 B. 40.4 C. 30.4 D. 0 二、填空题：每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书 写不清，模棱两可均不得分. 11．已知ξ～B （n ，p ），且E ξ=7，D ξ=6，则p 等于______.7 1 12. 已知X 的分布列为，且Y=aX+3，D(Y)=5，则a 为____.3 13. 任意向（0，1）区间上投掷一个点，用x 表示该点的坐标，则令事件A={x|0＜x ＜}， B={x|＜x ＜1}，则P （B|A ）= ． 14.袋中有大小相同的6只红球和4只黑球，今从袋中有放回地随机取球10次，.设取到一只红球得2分，取到一只黑球扣1分，则得分的均值是________.2 15. 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字， （1）他任意按最后一位数字，不超过3次就按对的概率是_________； 310 （2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过3次就按对的概率是__________. 35 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Ｙ,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis ｃｒe ｔｅ ｒan ｄｏm ｖar ｉa ｂle ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,ｘi ,…,x n, X 取每一个值x i (ｉ=1,2,…, ｎ)的概率P (X =ｘｉ)=ｐi ,则称表: 为离散型随机变量X Ｐ(X =x i )＝p i , i =１,２,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐi ≥0,ｉ=１,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X ＝1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取ｎ件,其中恰有X 件次品,则P (X ＝k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,１,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,Ｍ,N ∈N ＊ . 三、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件Ａ发生的概率为p ,则P (Ｘ=k )=C 错误!p k (1－ｐ)n － k ,ｋ=０,1,2,…,n 、此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作X ～B (n ,ｐ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;
离散型随机变量及其分布列第一课时 2.1.1离散型随机变量 教学目标：1、引导学生通过实例初步了解随机变量的作用，理解随机变量、离散型随机变量的概念．初步学会在实际问题中如何恰当地定义随机变量． 2、让学生体会用函数的观点研究随机现象的问题，体会用离散型随机变量思想 描述和分析某些随机现象的方法，树立用随机观念观察、分析问题的意识． 3、发展数学应用意识，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心，逐步认识 数学的科学价值和应用价值． 教学重点：随机变量、离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当的定义随机变量．教学难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究． 教学方法：启发讲授式与问题探究式． 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境，引出随机变量 提出思考问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示？ 启发学生：掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．虽然这个随机试验的结果不具有数量性质，但可以将结果于数字建立对应关系． 在让学生体会到掷骰子的结果与出现的点数有对应关系后，也能创造性地提出用数字表示掷一枚硬币的结果．比如可以用1表示正面向上的结果，用0表示反面向上的结果．也可以分别用1、2表示正面向上与反面向上的结果． 再提出思考问题2：一位篮球运动员3次罚球的得分结果可以用数字表示吗？ 让学生思考得出结论：投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 得分结果可以用数字0、1、2、3表示． 二、探究发现 1、随机变量 问题1.1：任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？ 引导学生从前面的例子归纳出：如果将实验结果与实数建立了对应关系，那么随机试验的结果就可以用数字表示．由于这个数字随着随机试验的不同结果而取不同的值，因此是个变量． 问题1.2：如果我们将上述变量称之为随机变量，你能否归纳出随机变量的概念？ 引导学生归纳随机变量的定义：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． 随机变量常用字母X、Y、ξ、η来表示． 问题1．3：随机变量与函数有类似的地方吗？ 引导学生回顾函数的理解： 函数 实数实数 在引导学生类比函数的概念，提出对随机变量的理解：
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。 解： 当时，＝ ＝ 1.2 设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解：
所以： 2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t ?????=时取得白球如果对时取得红球 如果对t e t t t X t 3)( .维分布函数族试求这个随机过程的一 2.2 设随机过程 ，其中 是常数，与是 相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概 率密度为 试证明为宽平稳过程。 解：（1） 与无关
（2） ， 所以 （3） 只与时间间隔有关，所以 为宽平稳过程。 2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E .321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（ 2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且 数。试求它们的互协方差函 2.5， 试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立 为多少？
3.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分 钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲） 解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的 poisson 过程。以小时为单位。 则((1))30E N =。 40 300 (30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。 3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开始等候乘客到来，求（1）1路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；（2）当1N =2N ，1λ=2λ时，计算上述概率。 解： 法一：（1）乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为1λ、2λ的poisson 过程，令它们为1()N t 、2()N t 。1 N T 表示1()N t =1N 的发生时 刻，2 N T 表示2()N t =2N 的发生时刻。 1 11 1111111()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 2 22 1222222()exp()(1)! N N N T f t t t N λλ-= -- 1 2 121 2 1 2 2 1 112,12|1221 1122212(,)(|)()exp() exp() (1)! (1)! N N N N N N N N N T T T T T f t t f t t f t t t t t N N λλλλ--== ----
2.1离散型随机变量及其分布列测试题 一、选择题(50分)。 1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依 次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X ，则X 所有可能取值的个数是( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 2． 抛掷2颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的随机试验结果是( ) A ．2颗都是4点 B ．1颗是1点，另1颗是3点 C ．2颗都是2点 D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点 3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ） X 1 2 3 4 P 16 13 16 a A ．2 B ．6 C ．3 D ．4 4.设X 是一个离散型随机变量,则下列不能成为X 的概率分布列的一组数是 ( ) A. 0,0,0,1,0 B. 0.1,0.2,0.3,0.4 C.p,1-p(p 为实数) D. () *1 ,)1(1,,321,211N n n n n ∈?-?? 5.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数， 则P (X ＝0)等于( ) A ．0 B.12 C.13 D.2 3 6.已知随机变量X 的分布列为：()1 2k p X k == ， ,3,2,1=k ，则()24p X <≤=（ ） A.163 B. 41 C. 161 D. 16 5 7.设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ） A. 4 B. 6 C. 10 D. 无法确定 8.在15个村庄中,有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用ξ表示10个村庄中
随机变量及分布训练一 1. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立．设为该群体的位成员中使用移动支付的人数，，，则 A. B. C. D. 2. 设，随机变量的分布列是 则当在内增大时，（） A.减小 B.增大 C.先减小后增大 D.先增大后减小 3. 已知甲盒中仅有个球且为红球，乙盒中有个红球和个蓝球，从乙盒中随机抽取 个球放入甲盒中． 放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为； 放入个球后，从甲盒中取个球是红球的概率记为． 则（） A.， B.， C.， D.， 4. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为，则的均值 A. B. C. D. 5. 已知离散型随机变量的分布列为 则的数学期望
A. B. C. D. 6. 已知台机器中有台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出台故障机器为止．若检测一台机器的费用为元，则所需检测费的均值为（） A. B. C. D. 7. 某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委．男生当选的人数记为，则的数学期望为（） A. B. C. D. 8. 某种种子每粒发芽的概率都为，现播种了粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种粒，补种的种子数记为，则的数学期望为（） A. B. C. D. 9. 某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记件产品中恰有件不合格品的概率为，求的最大值点． （2）现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用． 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求； 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
专项-离散型随机变量及其分布列 知识点 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量P ( X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (2)分布列的性质：① p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；① 11 =∑=n i i p 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝0,1,2，…，m ， 其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ①N *. 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．
题型一离散型随机变量的理解 【例1】下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数X B ．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度X C ．某超市一天中来购物的顾客数X D ．小马登录QQ 找小胡聊天，设X ＝? ???? 1，小胡在线 0，小胡不在线 【例2】写出下列各随机变量的可能取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)抛掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和X ； (2)某汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y 表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数． 【例3】袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示事件“放回5个红球”的是( ) A ．ξ＝4 B ．ξ＝5 C ．ξ＝6 D ．ξ≤5 【例4】袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 ( ) A ．5 B ．9 C ．10 D ．25 【过关练习】 1.指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由． ①掷一枚质地均匀的硬币5次，出现正面向上的次数； ②掷一枚质地均匀的骰子，向上一面出现的点数； ③某个人的属相随年龄的变化； ④在标准状态下，水结冰的温度． 2.某人射击的命中率为p (0
课题：离散型随机变量及其分布列 考纲要求：①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；②理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用. 教材复习 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变 量叫做离散型随机变量 若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量 3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间的一切值，这样的变量就 叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变 量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 5.离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为1x 、2x 、…、i x 、… ξ 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：()1i p ≥0，1,2,i =…；()212p p ++…1= 对于离散型随机变量在某一围取值的概率等于它取这个围各个值的概率的和.即 (P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+??? 7.两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列： 其中P =(1)P X =称为成功概率(表中01p <<). 8.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时， 所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =， ()(1)k p A q q p ==-，那么 112311231()()()()()() ()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====(0,1,2,k =…， p q -=1)
随机变量及其分布练习 题 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
第二章随机变量及其分布练习题 1．甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是，乙击中目标的概率是，则两人都击中目标的概率是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2．设随机变量1 ~62X B ?? ??? ，，则(3)P X =等于（ ） Ａ． 516 Ｂ． 316 Ｃ．5 8 Ｄ． 716 3．设随机变量X 的概率分布列为 X 1 2 3 P 则E (X ＋2)B ． 4．两台相互独立工作的电脑，产生故障的概率分别为a ，b ，则产生故障的电脑台数的均值为（ ） Ａ．ab Ｂ．a b + Ｃ．1ab - Ｄ．1a b -- 5．某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分．甲、乙、丙三名考生独立参加测试，他们能达到合格的概率分别是,,，则三人中至少有一人达标的概率为( ) A ． B ． 6．设随机变量~()X B n p ，，则2 2 ()()DX EX 等于（ ） Ａ．2p Ｂ．2(1)p - Ｃ．np Ｄ．2(1)p p - 7．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出 2件．在第一次摸出正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )．
8．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝()． 9．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)等于()． p B．1－p C．1－－p 10．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(μ－2σ 离散型随机变量的分布列 1.袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是 2.一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则P （ξ=12）等于 1012（ 83）10·（85）2 911（83）9（85）2·83 911（85）9·（83）2 911（8 3）9·（85）2 3.现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取5粒，记ξ为5粒中的优质良种粒数，则ξ的分布列是______. 4.袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P （ξ≤6）=_______. 5.（2004年天津，理18）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数. （1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望； （3）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率. 6.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号，写出随机变量ξ的分布列. 7.（2004年春季安徽）已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品.需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止.设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及E ξ. 8.(05重庆卷)在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖。某顾客从此10张券中任抽2张，求： (1) 该顾客中奖的概率； (2) 该顾客获得的奖品总价值 (元)的概率分布列和期望E 。 答案 3.35 13 4. P （ξ=k ）=k 5，k =0，1，…，5 （2）E ξ=1. （3）“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P （ξ≤1）= 54. 6.的分布列为 .9 E ξ= 8. （Ⅰ）,324530)(210 241614==+=C C C C P 离散型随机变量及其分布列 知识点 1随机变量的有关概念 (1) 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母 X , Y , E, n …表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一- 变量. 2. 离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 X 1, X 2,…，X i ,…，x n , X 取每一个值X i (i = 1,2,…，n) 的概率P(X = X i )= P i ，以表格的形式表示如下： 此表称为离散型随机变量 P(X = X i )= p i , = 1,2,…, n 表示X 的分布列. (2)分布列的性质： n ① p i >0 i = 1,2,3,…,n ；① P i 1 i 1 3. 常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 p = P(X = 1)为成功概率. (2)超几何分布 其中 m = min{ M , n}，且 n 汆， M 哥，n , M , N ①N *. 如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 题型一离散型随机变量的理解 【例 1】 下列随机变量中，不是离散型随机变量的是 ( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数 X B .把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度 X C .某超市一天中来购物的顾客数 X 在含有M 件次品的N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品，则 P(X = k)= c M c N —M c N ,k = 0,1,2, m , 第十二讲随机变量及其分布列 课程类型：□复习□预习□习题针对学员基础：□基础□中 等□优秀 1.离散型随机变量的定义； 2.期望及方差； 3.二项分布及超几何分布. 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点) 2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点) 3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点) 第一节离散型随机变量及其分布列 【知识及方法】 一．离散型随机变量的定义 1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量． ①随机变量是一种对应关系； ②实验结果必须及数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化. 2.表示：随机变量常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． 3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量 ( discrete random variable ) . 4.连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间或某几个区间内的一切值，这样的变量就叫做连续 型随机变量 5.注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来 表达如投掷一枚硬币，0=ξ， 表示正面向上，1=ξ，表示反面向上 （2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 二．离散型随机变量的分布列 1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n, X 取每一个值x i (i =1,2，…，n )的概率P (X =x i )=p i ，则称表： 离散型随机变量及连续型随机变量的区别及联系: 离散型随机变量及连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 高二理科数学测试题(9-28) 1.每次试验的成功率为(01)p p <<,重复进行10次试验,其中前7次都未成功后3次都成功的概率为( ) ()A 33710 (1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试,已知某同学每次投篮投中的概率为0、6,且各次投篮就是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) (A)0、648 (B)0、432 (C)0、36 (D)0、312 3.甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,甲队与乙队实力之比为3:2,比赛时均能正常发挥技术水平,则在5局3胜制中,甲打完4局才胜的概率为( ) ()A 23332()55C ? ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4.某地区气象台统计,该地区下雨的概率就是15 4,刮三级以上风的概率为152,既刮风又下雨的概率为10 1,则在下雨天里,刮风的概率为( ) A 、2258 B 、21 C 、8 3 D 、43 5.从4名男生与2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中 女生的人数,则P (ξ≤1)等于( ). A 、15 B 、25 C 、35 D 、45 6.一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了ξ次球,则==)12(ξP ( ) A 、2101012)85()83(?C B 、83)85()83(29911? C C 、29911)83()85(?C D 、 29911)8 5()83(?C 7.袋中有5个球,3个白球,2个黑球,现每次取一个,无放回地抽取两次,第二次抽到白球的概率为( ) A 、53 B 、43 C 、21 D 、 103离散型随机变量练习题
随机变量及其分布-离散型随机变量及其分布
高中数学离散型随机变量及其分布列全章复习
离散型随机变量及其分布列练习题和答案
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