第1课时数列的概念与简单表示法
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法).
2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映自然的基本数学模型.
3.能简单地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系.
(1)国际象棋的传说:在一张棋盘的第一个小格内放一粒麦子,在第二个小格内放两粒,在第三个小格内放四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍.
(2)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.
(3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿;两只青蛙,两张嘴,四只眼睛,八条腿;三只青蛙,三张嘴,六只眼睛,十二条腿.
问题1:数列的定义:按排列的一列数叫作数列.数列的项:数列中的每一个数都叫作这个,各项依次叫作这个数列的第1项(或首项),第2项……第n 项……
通项公式:如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.
问题2:数列的分类:(1)按项数分类:和.
(2)按数列的单调性分类:、及.
(3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫.
问题3:数列中的项与集合中的元素相比较异同如下:
相同点:数列中的每一项都是、集合中的每一个元素都是.
不同点:
重复性:数列中的某些项可以、集合中的每一个元素都.
有序性:数列中的项、集合中的元素.
范围:数列中的每一项都是、集合中的元素可以.
问题4:数列的表示方法:、、及.数列的前n项和记作S n=.
1.把自然数的前五个数:①排成1,2,3,4,5;②排成5,4,3,2,1;③排成3,1,4,2,5;④排成2,3,1,4,5,那么
可以叫作数列的有()个.
A.1
B.2
C.3
D.4
2.已知数列{a n}的通项公式为a n=,则该数列的前4项依次为().
A.1,0,1,0
B.0,1,0,1
C.,0,,0
D.2,0,2,0
3.设数列{a n}满足:a1=2,a n+1=1,则a4=.
4.已知{a n}满足a1=3,a n+1=2a n+1,试写出该数列的前5项,并用观察法写出这个数列的一个通项公式.
根据数列的前几项写出通项公式
写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,1,1,1,…;
(2)3,5,9,17,33,…;
(3),2,,8,,….
待定系数法求通项公式
已知数列{a n}中,a1=3,a10=21,通项a n是项数n的一次函数.
(1)求{a n}的通项公式,并求a2015;
(2)若{b n}是由a2,a4,a6,a8,…组成,试归纳{b n}的一个通项公式.已知数列的单调性求参数
若a n=n2+λn,且数列{a n}为递增数列,则实数λ的取值范围是.
写出下列数列的一个通项公式:
(1)1,0,,0,,0,,0,…;
(2)0.7,0.77,0.777,….
已知数列{a n}中,a1=1,a2=0且a n=xn2+yn,求a n.
已知数列{a n}的通项公式为a n=n25n+4.
(1)数列中有多少项是负数?
(2)n为何值时,a n有最小值?并求出最小值.
(3)设数列{a n}的前n项和S n,求S n的最小值.
1.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2n50,则8是该数列的().
A.第5项
B.第6项
C.第7项
D.非任何一项
2.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是().
A.a n=n2n+1
B.a n=
C.a n=
D.a n=n2+1
3.已知数列{a n}的通项公式为a n=(n∈N+),那么是这个数列的第项.
4.数列{a n}中,已知a n=(n∈N+).
(1)写出a10,a n+1;
(2)79是否是数列中的项?如果是,是第几项?
(2009年·北京卷)已知数列{a n}满足:a4n3=1,a4n1=0,a2n=a n,n∈N+,则a2009=,a2014=.
考题变式(我来改编):
第一章数列
第1课时数列的概念与简单表示法
知识体系梳理
问题1:一定次序数列的项a n=f(n)
问题2:(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列常数列(3)摆动数列
问题3:确定的确定的重复不能重复有顺序无顺序数不是数
问题4:列表法图像法通项公式法递推公式法a1+a2+…+a n
基础学习交流
1.D按照数列定义得出答案D.
2.A将n=1,2,3,4代入通项公式可知,应选A.
3.2a2=,a3=1,a4=2.
4.解:∵a1=3,a n+1=2a n+1,∴a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,注意到:3=221,7=231,15=241,31=251,
∴猜得a n=2n+11.
重点难点探究
探究一:【解析】(1)这是一个常用的摆动数列,奇数项为正,偶数项为负,所以它的通项可以是a n=(1)n+1(n∈N+)或a n=cos(n+1)π(n∈N+)或a n=sinπ(n∈N+).
(2)观察发现每项减1即为2的n次方,所以a n=2n+1(n∈N+).
(3)统一写成分母为2的分数,发现分子是n的平方,故a n=(n∈N+).
【小结】已知数列的前几项,写出数列的通项公式,主要从以下几个方面来考虑:
(1)对于正负交错出现的数列,符号用(1)n与(1)n+1来调节,这是因为n和n+1奇偶交错.
(2)此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要用观察、比较、归纳、转化等方法.
(3)对于分数形式的数列,分子、分母可分别找通项,并充分借助分子、分母的关系.
探究二:【解析】(1)设a n=kn+b,
则解得
∴a n=2n+1(n∈N+),∴a2015=4031.
(2)又∵a2,a4,a6,a8,…即为5,9,13,17,…,∴b n=4n+1(n∈N+).
【小结】数列的通项公式a n是关于n(n∈N+)的函数,即a n=f(n).待定系数法是求通项公式的一种常用方法.
探究三:【解析】∵(n,a n)(n∈N+)是函数f(x)=x2+λx图像上的点,且数列{a n}为递增数列,只需≤1,即λ≥2,∴λ的取值范围是[2,+∞).
[问题]递增数列是单调递增函数吗?
[结论]利用二次函数的单调性时,忽视了数列的离散型特征.数列{a n}为递增数列,只要求满足a1 于是,正确解答为:∵数列{a n}是递增数列,且a n=n2+λn,其对称轴x=既可以x≤1,也可以在1 【答案】(3,+∞) 【小结】此题极易出错,考虑问题要全面. 思维拓展应用 应用一:(1)从原数列不能看出通项公式,但可改写为,,,,,,….分母依次为1,2,3,4,…,分子依次为1,0,1,0,…,呈周期性变化,可以用sinπ表示,也可用cosπ表示,故a n=(n∈N+)或 a n=(n∈N+). (2)∵0.9,0.99,0.999,…的通项公式为a n=1(n∈N+),∴0.7,0.77,0.777,…的通项公式为 a n=(1)(n∈N+). 应用二:由 可得x=1,y=2. ∴a n=n22n(n∈N+). 应用三:(1)由a n=n25n+4<0得1 ∴n=2,3,即数列中有2项是负数. (2)a n=(n)2(n∈N+),∴n=2,3时a n最小,此时a2=a3=2. (3)由(1)(2)知a1=a4=0,a2=a3=2,当n≥4时,a n>0,∴S3,S4最小,且S3=S4=4. 基础智能检测 1.C由n2n50=8,得n=7或n=6(舍去). 2.C令n=1,2,3,4,代入A、B、C、D检验即可.排除A、B、D,从而答案是C. 3.10∵=,∴n(n+2)=10×12,∴n=10. 4.解:(1)a10=,a n+1=. (2)设a n=79,即=,解得n=15或n=16(舍去),即79是数列中的第15项. 全新视角拓展 10a2009=a4×5033=1,a2014=a1007=a4×2521=0. 思维导图构建 有序性集合无序性 2.1.1数列的概念及表示 一、学习目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 二、教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 三．课前知多少？ 1．观察课本第二章章头的彩图,你能发现树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列都遵循什么数学规律吗？ 2．函数的概念及定义域： . 3．函数的表示方法： . 四．合作探究，问题解决： 问题1.数列的概念及分类 1. 数列的概念: 如图 三角形数:1,3,6,10,… 这些数有什么规律? 这些数与它表示 的三角形的序号是什么关系? (2) 如图正方形数:1,4,9,16, … 这些数有什么规律? 这些数与它表示 的正方形的序号是什么关系? 上述三角形数、正方形数的共同特点是什么? 1.数列的定义:__________________________________________ 数列的项:_________________ ____________________通常叫做首项,…____________________为这个数列的第n 项 数列一般形式可以写成_________________________________ 简记为______ 思考： （1）}{n a 与n a 有什么区别? 第1课时数列的概念与简单表示法 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法). 2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映自然的基本数学模型. 3.能简单地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系. (1)国际象棋的传说:在一张棋盘的第一个小格内放一粒麦子,在第二个小格内放两粒,在第三个小格内放四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍. (2)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭. (3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿;两只青蛙,两张嘴,四只眼睛,八条腿;三只青蛙,三张嘴,六只眼睛,十二条腿. 问题1:数列的定义:按排列的一列数叫作数列.数列的项:数列中的每一个数都叫作这个,各项依次叫作这个数列的第1项(或首项),第2项……第n 项…… 通项公式:如果数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系可以用一个式子表示成,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式. 问题2:数列的分类:(1)按项数分类:和. (2)按数列的单调性分类:、及. (3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫. 问题3:数列中的项与集合中的元素相比较异同如下: 相同点:数列中的每一项都是、集合中的每一个元素都是. 不同点: 重复性:数列中的某些项可以、集合中的每一个元素都. 有序性:数列中的项、集合中的元素. 范围:数列中的每一项都是、集合中的元素可以. 问题4:数列的表示方法:、、及.数列的前n项和记作S n=. 1.把自然数的前五个数:①排成1,2,3,4,5;②排成5,4,3,2,1;③排成3,1,4,2,5;④排成2,3,1,4,5,那么 可以叫作数列的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知数列{a n}的通项公式为a n=,则该数列的前4项依次为(). A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.,0,,0 D.2,0,2,0 3.设数列{a n}满足:a1=2,a n+1=1,则a4=. 4.已知{a n}满足a1=3,a n+1=2a n+1,试写出该数列的前5项,并用观察法写出这个数列的一个通项公式. 第一章数列 本章概述 ●课程目标 1.双基目标 （1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊的函数； （2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念； （3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式.在公式的推导过程中，通过观察、实验、猜想、归纳、类比、抽象、概括等过程，经过反思、交流，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会由特殊到一般，由一般到特殊的思想方法； （4）体会等差数列与一次函数，等比数列与指数函数的关系； （5）能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应的问题. 2.情感目标 （1）通过本章学习提高观察、分析、归纳、猜想的能力. （2）“兴趣是最好的老师”，数列中的奥妙与趣味定会激发你去学习，去思考，去探索. （3）通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础. ●重点难点 重点：等差数列与等比数列的通项公式. 前n项和公式及其应用，等差数列的性质及判定，等比数列的性质及应用. 难点：等差数列、等比数列的性质及应用. ●方法探究 1.结合实例，通过观察、分析、归纳、猜想，让学生经历数列概念、公式、性质的发现和推证过程，发现数列的递推公式，体会递推方法是给出数列和研究有关数列问题的重要方法. 2.借助类比、对比，体会数列是一种特殊的函数.经历类比函数研究数列，使用函数的思想方法解决数列问题，对比等差数列研究等比数列，对比一次函数、二次函数、指数函数研究等差数列、等比数列的过程 . 3.引导学生收集有关资料，经历发现等差（等比）关系，建立等差数列和等比数列的模型的过程，探索它们的概念、通项公式、前n项和公式及其性质，体会它们的广泛应用. 4.帮助学生不断发现、梳理和体验本章蕴含着的丰富的数学思想方法，设计适当的训练，进一步感受“观察、试验、归纳、猜想、证明”的方法和模型化思想，函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想，体验叠加、累乘、迭代、倒序相加、乘以公比错位相减等具体方法. 本章注意问题： （1）多结合实例，通过实例去理解数列的有关概念.数列与函数密切相关，多角度比较两者之间的异同，加深对两方面内容的理解.在解题或复习时，应自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题，特别是对等差数列或等比数列的问题.运用函数思想方法以及利用它所得到的许多结论，不仅可以深化对数列知识的理解，而且可使这类问题的解答更为快速、合理. （2）善于对比学习.学习等差数列后，再学等比数列时，可以把等差数列作为模型，从等差数列研究过的问题入手，再探求出等比数列的相应问题，两相对照，可以发现，在这两种数列的定义、一般形式、通项 第 1 课时 数列的概念与简单表示法 授课类型：新授课 ● 教学目标 知识与技能：1、理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2、了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3、对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ● 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ● 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ● 教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，…（三角形数是指形如 n(n+1)/2 的数） 正方形数：1，4，9，16，25，…（正方形数是指形如 n^2 的数） Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同， 那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第 1 项（或首项），“9”是这个数列中的第 6 项. ⒊数列的一般形式： a 1 , a 2 , a 3 , , a n , ，或简记为{a n }，其中a n 是数列的第 n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1 1 是这个数列的第“3”项，等等 ”，“ ” 3 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用 数列的概念及简单表示法 一、知识梳理 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. (2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 注意： 1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2. 2.数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关. 3.易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号. 二、例题精讲 + 随堂练习 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.( ) (2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( ) (4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列. (2)数列中的数是可以重复的，可以构成数列. (3)数列可以是常数列或摆动数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋（－1）n a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A.32 B.53 C.85 D.23 解析 a 2＝1＋（－1）2a 1 ＝2，a 3＝1＋ （－1）3a 2＝1 2， a 4＝1＋（－1）4a 3 ＝3，a 5＝1＋ （－1）5a 4＝2 3. 答案 D 3.(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________. 解析 由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，…，归纳a n ＝5n －4. 答案 5n －4 4.(2019·山东省实验中学摸底)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ∈N *)，S n 为其前n 项和，则S 5的值为( ) A.57 B.61 C.62 D.63 解析 由条件可得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15，a 5＝2a 4＋1＝31，所以S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1＋3＋7＋15＋31＝57. 答案 A 第五章数列 为教师授课、学生学习提供丰富备考资源 1．从近五年全国卷高考试题来看：数列一般有两道客观题或一道解答题，其中解答题与解三角形交替考查，中低档难度． 2．从知识上看：主要考查等差数列、等比数列、a n与S n的关系、递推公式以及数列求和，注重数列与函数、方程、不等式的交汇命题． 3．从能力上看：突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查，加大 对探究、创新能力的考查力度． 1．重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列基本量的计算．2．重视a n与S n关系、递推关系的理解与应用，加强由S n求a n，由递推关系求通项，由递推关系证明等差、等比数列的练习． 3．数列是特殊的函数，要善于用函数的性质，解决与数列有关的最值问题，等差(比)数列中共涉及五个量a1、a n、S n、d(q)、n，“知三求二”，体现了方程思想的应用．一般数列求和，首先要考虑是否能转化为等差(比)数列求和，再考虑错位相减、倒序相加、裂项相消、分组法等求和方法． 重视发散思维、创新思维，有意识地培养创新能力． 第一节数列的概念与简单表示法 ———————————————————————————————— 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 1．数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 2．数列的分类 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 【知识拓展】 1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ， 则a n ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2. 2．在数列{a n }中，若a n 最大，则⎩ ⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1. 若a n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1. 3．数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列． 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( × ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × ) (4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × ) (5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ ) 1．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)． 则第7个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 答案 B 解析 由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. 2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1 n (n ＋1)，…，下列各数中是此数列中的项的是( ) A.135 B.142 C.148 D.154 答案 B 3．(教材改编)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n a n －1 (n ≥2)，则a 5等于( ) A.32 B.53 C.85 D.23 答案 D 解析 a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝12，a 4＝1＋(－1)4a 3＝3，a 5＝1＋(－1)5a 4＝23. 4．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n ，则此数列最大项的值是________． 答案 30 解析 a n ＝－n 2＋11n ＝－(n －112)2＋1214， ∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. 答案 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2，n ＝1，2n －1，n ≥2 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1， 《数列的概念与简单表示法》教案 教学目标 理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前n项和与 n a的关系. 教学重、难点 数列及其有关概念，通项公式及其应用. 根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式；理解递推公式与通项公式的关系. 教学过程 一、复习准备： 1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量 看成“1”，取其一半剩“1 2 ”，再取一半还剩“ 1 4 ”，……，如此下去，即 得到1，1 2 ， 1 4 ， 1 8 ，…… 2. 生活中的三角形数、正方形数. 二、讲授新课： 1. 教学数列及其有关概念： ①数列的概念：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. ②数列中排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n 项. ③ 数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a . ④ 数列的分类：有穷数列与无穷数列，递增数列、递减数列、常数列与摆动数列. 2. 教学数列的表示方法： ①讨论下列数列中的每一项与序号的关系： 1，12，14，18 ，…；1,3,6,10，…；1,4,9,16，…. （数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间的函数.） ② 数列的通项公式：如果数列的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. （作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.） ③ 数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法. 3. 教学数列的递推公式： ①数列的递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 如：数列3，5，8，13，21，34，55，89的递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n . ②数列的表示法：列表法、图象法、通项公式法、递推公式法. 4. 例题讲解： 例1、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： ①0.5，0.5，0.5，…②1，－1,1，－1，…（可用分段函数表示）③－1，12，－14，18 ，、… 思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？ 高中数学必修五《数列的概念与简单表示法》优秀教学设计 数列的概念与简单表示法 一、教学目标： 通过日常生活中、数学史中实例的观察、分析和讨论，了解数列的概念，通过小组合作讨论，确定数列研究的内容和方向，了解数列概念的内涵和外延及几种简单的表示方法，体会数列是一种特殊的函数.在对数列抽象、观察的过程中，锻炼学生分析、探索、转化、归纳等能力，经历从特殊到一般，一般到特殊的重要数学思想方法.通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数列的本质. 二、学情分析： 学生学习了集合、函数的概念和性质等基本知识，初步掌握了函数的研究方法，在观察、抽象、概括等学习策略与学习能力方面，有了一定的基础.况且，数列概念的学习并不需要很多的知识基础，可以说学习数列的概念并无知识上的困难.这些都是数列概念教学的有利条件.刚开始高中数学学习的学生，自己主动地建构概念的意识还不够强，能力还不够高.同时，在建立概念的过程中，学生的辨别各种刺激模式、抽象出观察对象或事物的共同本质特征，概括形成概念，并且用数学语言（符号）表达等方面，会表现出不同的水平，从而会影响整体的教学. 三、重点难点： “数列的概念与简单表示法”是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修5第2章第1课时的内容，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等.数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此，数列在高中数学中占有重要位置.数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本章教学的重点，更是本节课教学的重点.学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过程，影 2.1 数列的概念与简单的表示法 教材分析 1、教材的地位和作用 “数列数列的概念”这节课的教学内容是高一数学教学模块⑤第二章《数列》的第一节，是本章的开启课。 数列是高中数学的重要内容之一，它的地位作用可以从三个方面来看：（1）数列有着广泛的实际应用。如堆放物品总数的计算要用到数列前n项和公式；又如产品规格设计的某些问题要用到等比数列的原理；再如储蓄、分期付款的有关计算也要用到数列的一些知识。 （2）数列起着承前启后的作用。一方面，初中数学的许多内容在解决数列的某些问题中得到了充分运用，数列与前面学习的函数等知识有密切的联系；数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型，人们往往通过离散现象认识连续现象.另一方面，学习数列又为进一步学习数列的极限等内容作好了准备。因此就有必要研究数列。 （3）数列是培养学生数学能力的良好题材。学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有助于学生数学能力的提高。 2、教学重点与难点 教学重点：数列的概念及理解数列是一种特殊的函数 教学难点：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 教学目标 知识目标：通过枚举归纳： ①认识数列的特点,掌握数列的概念及表示方法。 ②了解数列通项公式的意义及数列分类。 ③能由数列的通项公式求出数列的各项，反之, 能由数列的前几项写出数列的一个通项公式。 能力目标：通过对数列通项公式的探究和应用，帮助学生通过问题解决获得数学知识；在交流过程中，养成表述、抽象、类比、概括、总结的思维习惯。 情感目标：通过各种有趣的，贴近学生生活的素材激发学生的学习兴趣和热 爱生活的情感。 教学方法 根据本节课的内容和学生的实际情况，本节课主要采用“提问法、观察法、发现法、启发式法相结合的方法”引导学生发现问题，探索问题，并解决问题。教学过程 必修5：第二章 数列 2.1数列的概念与简单表示 一、学习目标 1.通过实例，了解数列的概念和简单表示法. 2.了解数列是一种特殊的函数，体会数列是反映自然规律的数学模型. 【重点、难点】 数列的概念和表示方法 二、学习过程 【导入新课】 1.数列及其有关概念 (1)数列:按照一定_____排列的一列数称为数列. (2)项:数列中的_________叫做这个数列的项,第1项通常也叫 做_____,若是有穷数列,最后一项也叫做_____. 2.数列的表示 数列的一般形式可以写成a 1,a 2,a 3,…,a n ,…,简记为____,这里 n 是_______. 3.数列的分类 (1)按项的个数分类:有穷数列，无穷数列 (2)按项的变化趋势分类：递增数列； 4.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与______之间的关系可以用一个式子 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 【典型例题】 例1.数列{a n }的通项公式a n =-58+16n-n 2,则( ) A.{a n }是递增数列 B.{a n }是递减数列 C.{a n }先增后减,有最大值 D.{a n }先减后增,有最小值 例2.写出以下各数列的一个通项公式,使其前几项分别是下列各数: ① ,2 25 8, ,29 ,2 ,21 ② 1,-3,5,-7,9,…. ③ a,b,a,b,a,b,…. ④ 9,99,999,9999,…. 例3.在数列{a n }中，a 1＝3，a 17＝67，通项公式是关于n 的一次函数． (1)求{a n }的通项公式. (2)求a 2011. (3)2015是否为数列{a n }中的项？若是，为第几项？ 2022版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案理北师大版 第一节数列的概念与简单表示法 [考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 1．数列的有关概念概念数列数列的项数列的通项通项公式前n项和2.数列的表示方法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．3．an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ S1，n＝1， 含义按照一定顺序排列的一列数数列中的每一个数数列{an}的第n项an数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n 项和Sn－Sn－1，n≥2. 4．数列的分分类标准项数类型有穷数列无穷数列递增数列项与项间的大小关系[常用结论]an≥an－1， 求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用 an≥an＋1.an≤an－1， 或 an≤an＋1 满足条件项数有限项数无限an＋1＞anan＋1＜anan＋1＝an其中 n∈N某递减数列常数列 (n≥2，n∈N) 某 (n≥2，n∈N)求解，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解． [基础自测] 某 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“某”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(2)一个数列中的数是不可以重复的．(3)所有数列的第n项都能使用公式表达． (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．[答案](1)某(2)某(3)某(4)√111 2．已知数列，，，…，1某22某33某4nA. n＋ ，…，下列各数中是此数列中的项的是() ()()()() 1111 B．C.D．35424854 nn＋ 2 2.1《数列的概念与简单表示法》（第1课时） 普通高中课程标准实验教科书A版数学（必修5） 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 《数列的概念与简单表示法》是“数列”一章中的重要组成部分；一方面它是前面函数知识的延伸及应用，另一方面为后面学习等差数列、等比数列的通项、求和等知识作铺垫，所以本节课在教材中起到了“承上启下”的作用；有利于学生思维拓展；况且数列是历年高考命题的热点之一，命题的方向主要是以能力考查为主，通过减少计算量，增加思维量，突出体现数列在实际生活中的应用价值。 2、教学目标 知识目标：理解数列的有关概念，及通项公式的意义。 能力目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等分析问题的能力。 情感目标：培养学生敢于实践，勇于发现，大胆探究的合作创新精神；体会数学源于生活又服务于生活；激发学习数学兴趣。 3、教学重点与难点 教学重点： 理解数列的概念与通项公式的意义；能根据数列前几项的特点，归纳出数列的通项公式。 教学难点： 二、根据数列前几项的特点，归纳出数列的通项公式。 三、教法学法 1、教法分析： 根据主编寄语：“数学是自然的；数学是清楚的；数学是有用的”,和本节课的内容与结构以及本班学生的实际情况，本节课教学主要采用以下方法： ①观察分析法：通过对生活事例的观察，引导学生的思维在“最近发展区”内，自然合理地感受到数学源于生活又服务于生活，对学习数学产生浓厚的兴趣。 ②提问法：以恰时恰点的问题引导学生活动，培养问题意识，孕育创新精神。 ③动手实践法：让学生通过动手实践，解决发现的问题，激发探究新知的的欲望。 ④启发式法：通过不同内容的联系与启发，提高数学思维能力，培育理性精神。 2、教学媒体：多媒体平台。 3、学法分析：“动手实践，自主探究、合作交流”。 第一节数列的概念与简单表示法 授课提示：对应学生用书第88页 ［基础梳理］1．数列的有关概念 概念含义 数列按照一定顺序排列的一列数 数列的 项 数列中的每一个数 数列的 通项 数列｛a n｝的第n项a n 通项公式数列{a n｝的第n项a n与n之间的关系能用公式a n＝f（n）表示,这个公式叫作数列的通项公式 前n项 和数列{a n｝中,S n＝a1＋a2＋…＋a n叫作数列的前n项和 2。数列的表示方法 列表法列表格表示n与a n的对应关系 图像法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中 公式法通 项 公 式 把数列的通项使用公式表示的方法 递 推 公 式 使用初始值a1和a n＋1＝f(a n）或a1,a2和a n＋1＝f（a n，a n－1)等表示数列的方法 3.a n与S n的关系 若数列{a n｝的前n项和为S n，则a n＝错误! 4．数列的分类 1．与函数的关系： 数列是一种特殊的函数，定义域为N＋或其有限子集数列的图像是一群孤立的点． 2．周期性：若a n＋k＝a n(n∈N＋，k为非零正整数)，则{a n}为周期数列，k为｛a n｝的一个周期． [四基自测］ 1．（基础点：数列的项)已知数列｛a n｝的通项公式为a n＝9＋12n，则在下列各数中,不是｛a n}的项的是() A．21B．33 C．152 D．153 答案：C 2．（基础点:数列递推关系）在数列{a n｝中，a1＝1，a n＝1＋错误!（n≥2）,则a4＝（） A.错误!B．错误! C.错误!D．错误! 答案：B 3．（基础点：数列的前n项和）设S n为数列{a n}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则S5为________． 答案：5 4．（易错点：数列的通项公式)数列1,错误!，错误!，错误!，错误!,…的一个通项公式a n＝________． 答案：错误! 1.1《数列的概念与简单表示法》教学设计 【学习目标】 1. 理解数列的概念； 2. 掌握数列简单的几种表示方法； 3. 了解数列是一种特殊的函数. 【学习新课】 1.战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话： 一尺之棰 日取其半 万世不竭. 2. 某地9月1日至9月8日的日最高气温 3.我国在1988年汉城以后奥运会上的金牌数： 4. 1 的1次幂，2次幂，3次幂，…排列成一列数. 新授课阶段 从上面的三个例子我们得到了如下四列数： 1 2 23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19 11111 24816 ，，，，，… 3 5, 16, 16, 28, 32, 51,38 4 1,1,1,1,1,---••• 请观察以上四组数据，找到它们的共同特征？ 答案： . 1．数列的概念： 按照一定 排列着的一列数叫做数列，其中构成该组数的每一个数叫 做 ，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….那么，数列一般可表示为a 1，a 2，a 3，…，a n ，….其中数列的第n 项用a n 来表示.数列还可简记作{a n }.数列{a n }的第n 项a n 与项数n 有一定的关系吗？ 2.数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 . 数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体. {a n }与a n 又有何区别和联系？ {a n }表示数列；a n 表示数列的项.具体地说，{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而a n 只表示这个数列的第n 项.其中n 表示项的位置序号，如：a 1，a 2，a 3，a n 分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n 项. 数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？ 从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N *(或它们的有限子集{1，2，3，…，n }）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 例1 数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为 （ ） A.a n ＝1＋(－1)n －1 B.a n ＝1＋(－1)n C.a n ＝1＋(－1)n +1 D.a n ＝2sin nπ 2 解析： 3.递推公式 递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前n 项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前 第二章 数列 §2.1数列的概念与简单表示法 （第二课时） 【创设情景 引入新知】 既然数列是一类特殊的函数，那么数列是否像一般函数那样可以用图象、列表等方法来表示呢？ 【探索问题 形成概念】 这是一个由全体正偶数按从小到大的顺序构成数列，因此，其通项公式为： 2(1n a n n =≥） . 与函数一样，数列2，4，6，8，10，12，…，也可以用图象、列表等方法来表示,如下表和下图. 可以看出数列的图像复习回顾 1.数列的相关定义及分类. 2.写出以下数列的通项公式： 2，4，6，8，10，12，… O 1 2 3 4 5 6 7 n a n 图象是一些点 2 4 6 8 10 是一系列孤立的点. 数列的表示方法 【例题】如下图中的三角形图案称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形中, 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象. 【思路】分清着色三角形个数与序号的关系，找出其中的数量关系，并联想可能的函数表示. 【解答】这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1，3，9，27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的 一个通项公式是1 3n n a -=. 将此数列用图象法表示如图2.1－6. 【反思】这种由“数”给出数列的“式”的题目,解决 的关键是找出这个数列呈现的规律性的东西,然后在通过归纳给出这个数列的通项公式. 想一想 数列的表示方法有哪些？ 列表法（自变量的取值有规律性） 图象法（数列的图象是一系列孤立的点） 通项公式法（解析法） 第一节数列的概念与简单表示法 [知识能否忆起] 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： 分类标准类型满足条件 项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限 项与项间的大小关系递增数列a n＋1>a n 其中 n∈N*递减数列a n＋1 A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n n ＋1 ，则这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列 解析：选A a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝n ＋12－n n ＋2n ＋1n ＋2＝1n ＋1n ＋2 >0. 4．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ 2·3n －1 n 为偶数，2n －5 n 为奇数， 则 a 4·a 3＝________. 解析：a 4·a 3＝2×33 ·(2×3－5)＝54. 答案：54 5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝3 2， a 4＝32 ，则a 8＝________. 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2p ＋q 2＝3 2 ，4p ＋q 4＝3 2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝14 ， q ＝2. 则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝9 4. 答案：9 4 1.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N * (或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f (n )＝a n (n ∈N * )．2.1.1必修5数列概念(1)预习导学案8
北师大版数学必修五《数列的概念与简单表示法》导学案(含答案)
2013高中数学 1-1 第1课时数列的概念同步导学案 北师大版必修5
《数列的概念与简单表示法》教案
数列的概念及简单表示法知识点讲解+例题讲解(含解析)
2018届高考数学(文)大一轮复习教师用书第5章数列第1节数列的概念与简单表示法Word版含答案
高考理科数学专题：数列的概念与简单表示法(含答案和解析)
《 数列的概念与简单表示法》教案
高中数学必修五《数列的概念与简单表示法》优秀教学设计
高中数学_必修5第二章第一节数列的概念与简单表示法教学设计学情分析教材分析课后反思
高中数学必修5《数列-数列的概念与简单表示》导学案
2022版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案理北师大版
【精品】高中数学必修5《数列的概念与简单表示法》教案
2022数学第五章数列第一节数列的概念与简单表示法教师文档教案文
北师大版数学高二-必修5教案 1.1《数列的概念与简单表示法》
新课程数学必修5教案《数列的概念与简单表示法》(二)
【三维设计】高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)第五章 数列的概念与简单表示法教学案(含解
相关主题
文本预览