最小割集求法
相关概念求解方法（行列法结构法布尔代数化简法）
相关概念
割集——也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。也就是说事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。
径集——也叫通集或导通集，即如果事故树中某些基本事件不发生，顶上事件就不发生。那么，这些基本事件的集合称为径集。不引起顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合叫最小径集。
TOP
求解方法
行列法
结构法
布尔代数化简法
行列法
行列法是1972年福塞尔提出的方法，所以也称其为福塞尔法。其理论依据是：“与门”使割集容量增加，而不增加割集的
数量；“或门”使割集的数量增加，而不增加割集的容量。这种
方法是从顶上事件开始，用下一层事件代替上一层事件，把“与门”连接的事件，按行横向排列；把“或门”连接的事件，按列
纵横向摆开。这样，逐层向下，直至各基本事件，列出若干行，最后利用布尔代数化简。化简结果，就得出若干最小割集。
为了说明这种计算方法，我们以图4—25所示的事故树为例，求其最小割集。
事故树示意图
我们看到，顶上事件T与中间事件A1、A2是用“或门”连
接的，所以，应当成列摆开，即
A1、A2与下一层事件B1、B2、X1、X2、X4的连结均为“与门”，所以成行排列：
下面依此类推：
整理上式得：
下面对这四组集合用布尔代数化简，根据A·A＝A，则X
1·X
1
＝X
1，X
4
·X
4
＝X
4
，即
又根据A＋A·B＝A，则X
1·X
2
＋X
1
·X
2
·X
3
＝X
1
·X
2
，即
于是，就得到三个最小割集{X
1，X
2
}，{ X
4
，X
5
}，{ X
4
，X
6
}。
按最小割集化简后的事故树，如图4－26所示:
事故树等效图
TOP
结构法
这种方法的理论根据是：事故树的结构完全可以用最小割集来表示。
下面再来分析图4－25事故树示意图： A 1∪A 2＝X 1·B 1·X 2∪X 4·B 2
＝X 1·(X 1∪X 3)·X 2∪X 4·(C ∪X 6)
＝X 1·X 2∪X 1·X 3·X 2∪X 4·(X 4·X 5∪X 6) ＝X 1·X 2∪X 1·X 2·X 3∪X 4·X 4·X 5∪X 4·X 6 ＝X 1·X 2∪X 1·X 2·X 3∪X 4·X 5∪X 4·X 6 ＝X 1·X 2∪X 4·X 5∪X 4·X 6
这样，得到的三个最小割集{ X 1，X 2}、{X 4，X 5}、{X 4，X 6}完全与上例用行列法得到的结果一致。说明这种方法是正确的。
TOP
布尔代数化简法
这种方法的理论依据是：上述结构法完全和布尔代数化简事故树法相似，所不同的只是“∪”与“+”的问题。实质上，布尔代数化简法中的“+”和结构式中的“∪”是一致的。这样，用布尔代数化简法，最后求出的若干事件逻辑积的逻辑和，其中，每个逻辑积就是最小割集。现在还以图4－25为例，进行化简。
T ＝A1＋A2＝X1·B1·X2＋X4·B2
＝X1·(X1＋X3)·X2＋X4·(C ＋X6)
＝X1·X1·X2＋X1·X3·X2＋X4·(X4·X5＋X6) ＝X1·X2＋X1·X2·X3＋X4·X4·X5＋X4·X6
＝X1·X2＋X1·X2·X3＋X4·X5＋X4·X6
＝X1·X2＋X4·X5＋X4·X6
所得的三个最小割集{ X1，X2}、{X4，X5}、{X4，X6}与第一、第二种算法的结果相同。
总的来说，三种求法都可应用，而以第三种算法最为简单，较为普遍采用。
集总参数分析方法 求解非稳态导热问题最终可以归结为从数学上求解包含非稳态项的导热微分方程及相应单值性条件所构成的定解问题。完全从分析解得角度求解这类问题往往难度很大，如果能在合理假设下找到一种简便的方法，就会给一部分瞬态导热问题的求解带来很大的便利，这就是本节将要讨论的集总参数分析方法，简称集总参数法。 1.1.1基本概念 试考察一个小金属零件的热处理过程，设从加热炉中取出的零件具有均匀一致的温度t 。，把它投入容量相当大，温度等于t f 的液体中淬火。金属零件与液体间的表面传热系数等于h 。如果该零件的内部导热热阻相对于外部对流热阻足够小，就有理由认为从零件的核心处到冷却液的全部温降主要发生在液体一侧，而固体内部任何位置在整个冷却过程中随时保持均与一致的温度，这种近似处理的方法就好像把整个物体看做一个质点，无论它的实际体积，质量多大，在同一个时刻只具有一个温度值。于是该非稳态导热过程的解得形式只能是 )=τ(f t 即此时物体内部温度场只随时间，而不随几何位置变化。这正是它被称作“零维问题”的原因，这种在近似忽略物体内部导热热阻条件下求解瞬态导热问题的方法就是集总参数分析方法，它能使问题的分析求解变得十分简单，而由此引起的误差稍后可以从与精确解的对比中得到。 1.1.2集总参数分析方法 试考虑任意形状的物体，它的体积是V,表面积是A 具有均匀一致的初始温度t 0,把它突然投入到温度为t f 的流体中（t f ＞t 0）设流体与物体表面间的传热系数为h,以及物体的各项物性参数均保持常数，下面根据集总参数分析方法的指导思想推出物体温度随时间变化的具体关系式。 可以采用两种不同的指导思路，（1）从导热微分方程入手，把物体与流体之间的热量交换视为虚拟内热源，并注意这是零维问题。（2）从能量平衡的角度出发，建立非稳态导热问题的数学模型，这里采用后一种方法，它容易理解，而且物理概念清晰。 物体冷却过程中的能量平衡关系为 )(f t t hA d dt pcv -=-τ 该式表明，物体温降所释放的热流量等于流体所吸收的热流量，注意上式中的负号必不可少。令过余温度θ=t-t f,上式重新写成 θτ θhA d d pcv =- 相应的初始条件表示为 f t t -=0)0(θ
中考数学小专题复习 ----用割补法求坐标系中三角形的面积（教学设计） 广州市绿翠现代实验学校东陈云兰 【学习背景】 本学期我校初三数学中考总复习资料选用的是《三段六步专题设计》，“三段六步”指的是复习总结教学模式的一个实操性基本程序，三段是指回顾激活原有知识，思考重建认知结构、提取新知迁移巩固三个阶段。经过中考第一轮的基础复习，常会遇到在平面直角坐标系中求与三角形面积有关的综合题。为了能够更好地掌握此类题目的解题方法和解题技巧，特安排此节单课时专题复习课。目的是通过选取与任教班级学生学情相符的一些例题，通过典例分析和巩固练习，学会研究问题时把数和形结合起来考虑，利用割补的方法把一些不能直接计算的三角面积形转化成可以直接计算的三角形，从而求出相关的面积。 【学情分析】 本班学生是初二重新再分班后的第二层次，有一定的基础，但严重缺乏尖子生和自觉学习能力，每次考试均分在100±5分左右，120分以上的同学也就五六个。对最后三大题存在畏难情绪，尤其是对一些少见或稍难的题型，没有较好的解题思路去分析问题和解决问题，所以掌握一种最基础最常见的解题方法（割补法），学会在最后三题的第1，2问多拿分，以增强学生的信心和提升数学中考成绩。 【教学目标】 1、理解并会用割补法求平面直角坐标系中三角形的面积。 2、体会数学中的转化思想和数形结合思想。 【教学重点】 利用割补的方法求面积。 【教学难点】 具有一定的观察能力和化归能力 教学环节：
1、新课引入 例、已知点A（－3，0），点C（0，3），且点B的坐标为（－1，4），计算△ABC的面积。 B C A 2、探究割补（假设如果△ABC的某边和该边上的高无法从已知三点坐标直接求出，必须通过图形的割补，你有何解决方法？）
四年级第十一讲割补法巧算面积 ◆温故知新： 1. 用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。 2.正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形 面积相联系。 ◆练一练 1、在图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积。 2、图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米。阴影部分的面积是多少平方厘 米？ ◆例题展示 例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积。（单位：厘米）
练习1如图所示，在正方形ABCD内部有一个长方形EFGH。已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE AH 、都等于2厘米。求长方形EFGH的面积。 例题2如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连。 请问：图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？ 练习2如图所示，大正方形的边长为10厘米。连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，再连接大正方形的两条对角线。请问：图中阴影部分的面积总和 等于多少平方厘米？
例题3如图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点。请问三角形MNP的面积是多少平方厘米？ 练习3 如图所示，正六边形ABCDEF的面积是36平方厘米，M、N、P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DE、EF、FA的中点。请问：阴影正六边形MNPQRS的面积是 多少平方厘米？ 例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点。 已知图a中阴影部分的面积是294平方分米。请问：图b中阴影部分的面积 是多少平方分米？
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面
（3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。
割补法求面积 阴影面积的计算是本章的一个中考热点，计算不规则图形的面积，首先应观察图形的特点，通过分割、接补将其化为可计算的规则图形进行计算． 一、补：把所求不规则图形，通过已知的分割线把原图形分割成的图形进行适当的组合，转化为可求面积的图形． 例题1 如图1，将半径为2cm 的⊙O 分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点O 对称，EF 、GH 关于点O 对称，连接PM ，则图中阴影部分的面积是_____cm 2（结果用π表示）． 解析：如图1，根据对称性可知：S 1=S 2，S 3=S 4，S 5=S 6，S 7=S 8，因此阴影部分的面积占整个圆面积的 21，应为：ππ222 12=?（cm 2）． 练习：如图2，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为_______． 答案：2π． 二、割：把不规则的图形的面积分割成几块可求的图形的面积和或差． 例题2 如图3，在Rt △ABC 中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6cm ，把△ABC 以点B 为中心旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C′处，那么AC 边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是_______cm 2（不取近似值）． 解析：把所求阴影部分的面积分割转化，则 S 阴影＝（S 扇形BAA′＋S △A′C′B ）－（S △ACB ＋S 扇形BCC′）
＝S 扇形BAA′－S 扇形BCC′ 360 312036061202 2?-?=ππ=π9． 练习：如图4，正方形ABCD 的边长为1，点E 为AB 的中点，以E 为圆心，1为半径作圆，分别交AD 、BC 于M 、N 两点，与DC 切于P 点，∠MEN ＝60°．则图中阴影部分的面积是_________． 答案：4361-- π． 三、先割后补：先把所求图形分割，然后重新组合成一个规则图形． 例题3 如图5，ABCD 是边长为8的一个正方形，EF 、HG 、EH 、FG 分别与AB 、AD 、BC 、DC 相切，则阴影部分的面积=______． 解析：连接EG 、FH ，由已知可得S 1=S 2，S 3=S 4，所以可把S 1补至S 2，S 3补至S 4． 这样阴影部分的面积就转化为正方形面积的21，因此阴影部分的面积为3282 12=?． 练习：如图6，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是AB 上的三等分点，如果⊙O 的半径为1，P 是线段AB 上的任意一点，则图中阴影部分的面积为（ ） A ．3π B ．6π C ．2π D ．3 2π 答案：A ．
用割补法求面积 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
第25讲用割补法求面积 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是4× 6=24，所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24。 例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。 分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左下图）。 把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81（厘米2）。 练习22 1.求下列各图中阴影部分的面积：
最小割集计算： T=A1+A2+A3 =B1B2+X6X7+X8X9 =（X1+X2+X3）（X4+X5）+X6X7+X8X9 = X1X4+X1X5+X2X4+X2X5+X3X4+X3X5+X6X7+X8X9 则最小割集有8个，即K1=｛X1，X4｝；K2=｛X1，X5｝；K3=｛X2，X4｝；K4=｛X2，X5｝； K5=｛X3，X4｝；K6=｛X3，X5｝；K7=｛X6，X7｝；K8=｛X8，X9｝。 最小径集计算： T′=A1′·A2′·A3′ =（B1′+B2′）（X6′+X7′）（X8′+X9′） =（X1′X2′X3′+X4′X5′）（X6′+X7′）（X8′+X9′） =（X1′X2′X3′X6′+X1′X2′X3′X7′+X4′X5′X6′+X4′X5′X7′）（X8′+X9′） = X1′X2′X3′X6′X8′+ X1′X2′X3′X6′X9′+ X1′X2′X3′X7′X8′+ X1′X2′X3′X7′X9′ + X4′X5′X6′X8′+ X4′X5′X6′X9′+ X4′X5′X7′X8′+ X4′X5′X7′X9′ 则故障树的最小径集为8个，即 P1=｛X1，X2，X3，X6，X8｝； P2=｛X1，X2，X3，X6，X9｝；
P3=｛X1，X2，X3，X7，X8｝； P4=｛X1，X2，X3，X7，X9｝； P5=｛X4，X5，X6，X8｝； P6=｛X4，X5，X6，X9｝； P7=｛X4，X5，X7，X8｝； P8=｛X4，X5，X7，X9｝； 起重钢丝绳断裂事故发生概率计算： 根据最小割集计算顶上事件的概率 即g=1－（1－qk1）（1－qk2）（1－qk3）（1－qk4）（1－qk5）（1－qk6）（1－qk7）（1－qk8） =1－（1－q1q4）（1－q1q5）（1－q2q4）（1－q2q5）（1－q3q4）（1－q3q5）（1－q6q7）（1－q8q9） 由于q1=q2=q3=q4=q5=q6=q7=q8=q9=0.1 则g=1－（1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1） （1－0.1×0.1）（1－0.1×0.1） =1－（1－0.1×0.1）8 =1－0.998 =0.07726 山东科技大学2005年招收硕士学位研究生入学考试 安全系统工程试卷
割补法巧算面积 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
割补法巧算面积 知识精讲： 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算 例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米） 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）．这个图形的面积等于多少 平方米 例题2 如图，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积． 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF（如图），线段DF=厘米，BE=厘米，那么三角形AEF的面积等于平方厘米． 例题3
如图中，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 练习3. 1．如图所示，正方形ABCD的边长acm，则图中阴影部分的面积为cm2． 例题4. 如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图1中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米 练习4 7．如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几 选做题 例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米
五年级奥数：第22讲用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。
（1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。
割补法巧算面积
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ?
割补法巧算面积 知识精讲: 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法:把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算 例题１ 图中的数字分别表示对应线段的长度,试求下面多边形的面积.（单位:厘米） 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位：米）．这个图形的面积等于多少平方 米？ 例题2 如图，在正方形AＢCD内部有一个长方形．EFＧH．已知正方形AＢＣD的边长是6厘米，图中线段AＥ、AＨ都等于２厘米.求长方形EFGH的面积. 练习2 正方形ＡBＣD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF(如图）,线段ＤＦ=3.6厘米，BE=２.８厘米,那么三角形AＥF的面积等于平方厘米. 例题3 如图中,大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等份,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连,那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?
练习３. 1．如图所示,正方形ABCD的边长acｍ,则图中阴影部分的面积为ｃｍ2. 例题4. 如图1和图2,把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点.已知图１中阴影部分的面积是29４平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米？ 练习4 ７.如图所示,将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影,则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？ 选做题 例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形,如果正方形A的面积是３6平方厘米,那么正方形B的面积是多少平方厘米? 例6.
小学奥数解析十三用割补法求面积 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例1求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。 π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角
（2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2，商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9×9-5×5）÷4=14（厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分析与解：题中给出了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的直角三角形（见右上图）。因为A与A′，B与B′
故障树分析法的内容及其分析 故障树分析法（Fault Tree Analysis）是1961~1962年间，由美国贝尔电话实验室的沃森（H.A.Watson）在研究民兵火箭的控制系统中提出来的。首篇论文在1965年由华盛顿大学与波音公司发起的讨论会上发表。1970年波音公司的哈斯尔（Hassl）、舒洛特（Schroder）与杰克逊（Jackson）等人研制出故障树分析法的计算机程序，使飞机设计有了重要改进。1974年美国原子能委员会发表了麻省理工学院（MIT）的拉斯穆森（Rasmusson）为首的安全小组所写的“商用轻水核电站事故危险性评价”报告，使故障树分析法从宇航、核能逐步推广到电子、化工和机械等部门。 故障树分析法实际上是研究系统的故障与组成该系统的零件（子系统）故障之间的逻辑关系，根据零件（子系统）故障发生的概率去估计系统故障发生概率的一种方法。对可能造成系统失效的硬件、软件、环境、人为等因素进行分析，画出故障树，确定系统失效的各种可能组合方式及其发生的概率，从而计算出系统的失效概率，以便采取相的补救措施以提高系统的可靠性。 故障树分析一般有以下一些作用： （1）指导人们去查找系统的故障。 （2）能够指出系统中一些关键零件的失效对于系统的重要性。 （3）在系统的管理中，提供了一种看得见的图解，以便帮助人们对系统进行故障分析，并且对系统的设计有一定的指导作用。 （4）节省了大量的分析系统故障的时间，简化了故障分析过程。 （5）为系统的可靠度的定性与定量分析奠定的基础。 故障树分析一般按以下顺序进行： （1）定义系统，确定分析目的和内容，明确对系统所作的基本假设，对系统有一个详细的、透彻的认识。 （2）选定系统的顶事件。 （3）根据故障之间的逻辑关系，建造故障树。 （4）故障树的定性分析。分析各故障事件结构的重要度，应用布尔代数对其进行简化，找出故障树的最小割集。 （5）收集并确定故障树中每个基本事件的发生概率或基本事件分布规律及其特性参数。 （6）根据故障树建立系统不可靠度（可靠度）的统计模型，确定对系统作定量分析的方法，然后对该系统进行定量分析，并对分析结果进行验证。 （7）根据分析提出改进意见，提高系统的可靠性。
§3-6 割 集 分 析 法 一、割集与基本割集 1）、割集 割集是支路的集合，它必须满足以下两个条件： （1） 移去该集合中的所有支路，则图被分为两部分。 （2） 当少移去该集合中的任何一条支路，则图仍是连通的。 需要说明的是，在移去支路时，与其相连的结点并不移去。 图G 是一个连通图，如图3－26(a)所示，支路集合{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}均为图G 割集。将以上割集的支路用虚线表示，分别如图3－26(b)、(c)、(d)所示，不难看出，去掉虚线支路后，各图均被分成了两部分，但是 图3－26 图G 及其割集 (a) (b) (c) (d)
只要少去掉其中的一条虚线支路，图仍然是连通的，故满足割集所要求的条件。 而支路集合{1，5，4，6}、{1，2，3，4，5}不是图G 的割集。将集合中的支路用虚线表示后如图3－27(a)和(b)所示。对于图3－27(a)来说，移去支路1、5、4、6后，图虽说被分为两部分（结点①为其中的一部分），但如不移去支路5，图仍被分为两部分；而对于图3－27(b)来说，将支路1、2、3、4、5移去后，图则被分成了三部分，故以上两种支路集合不是割集。 2）、作高斯面确定割集 在图G 上作一个高斯面（闭合面），使其包围G 的某些节点，而每条支路只能被闭合面切割一次，去掉与闭合面相切割的支路，图G 将被分为两部分，那么这组支路集合即为图G 的一个割集。在图G 上画高斯面（闭合面）C 1、C 2、 (a) (b) 图3－27 非割集说明 ① ② ③ ① ②
C 3如图3－28所示，对应割集C 1、C 2、C 3的支路集合为{1，5，2}、{1，5，3，6}、{2，5，4，6}。 3）、基本割集 基本割集又称单树支割集，即割集中只含一条树支，其余均为连支。如选支路1、5、3为树支，如图3－29所示，则割集C 1，C 2，C 3为基本割集，基本割集的方向与树支的参考方向一致。 当树选定后，对应的基本割集是唯一确定的。当然选的树不同，相应的基本割集也就不同。如选支路1、5、6为树支以及选支路1、5、2为树支的基本割集分别如图3－30 (a)和(b)所示。当图G 有n 个结点、b 条支路时，基本割集的数目等于树支数，为（n －1）。 图3－28 作高斯面确定割集 C 1 2 C 3 图3－29 基本割集
第五讲割补法巧算面积 在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．
例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米） 「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米） 我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法． 例题2 如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积． 「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？ 1 2 2 3 4 5 3 2 4 3 4 12 4 9 D G
如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积． 例题3 如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？ 「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3 如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？ 例题4 如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？ 「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一 样的，你能求出大正三角形的面积吗？ D 图2
割补法巧算面积 知识精讲： 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积. （单位：厘米） 3 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）?这个图形的面积等于多少平 5 2| 3 31 4 方米？-------------------- 例题2 如图，在正方形ABCD内部有一个长方形. EFGH .已知正方形ABCD的边长是6厘米, 图中线段 AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积. 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF （如图），线段DF=3.6厘米, BE=2.8厘米，那么三角形AEF的面积等于_______________ 平方厘米. 例题3 如图中，大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等 份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和 等于多少平方厘米？
例题4.如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分 点.已知图1中阴影部分的面积是 294平方分米.请问：图2中的阴影部分的面积是多少平 方分米？ 练习4 7.如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各 取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？ 例6. 练习3. 1如图所示，正方形 ABCD 的边长acm ,则图中阴影部分的面积为 2 ____________ cm ? 选做题 例5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形 A 的面积是36 平方厘米，那么正方形 B 的面积是多少平方厘米 ?
最小割集求法 相关概念求解方法（行列法结构法布尔代数化简法） 相关概念 割集——也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。也就是说事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。 径集——也叫通集或导通集，即如果事故树中某些基本事件不发生，顶上事件就不发生。那么，这些基本事件的集合称为径集。不引起顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合叫最小径集。 TOP 求解方法 行列法 结构法 布尔代数化简法 行列法 行列法是1972年福塞尔提出的方法，所以也称其为福塞尔法。其理论依据是：“与门”使割集容量增加，而不增加割集的 数量；“或门”使割集的数量增加，而不增加割集的容量。这种 方法是从顶上事件开始，用下一层事件代替上一层事件，把“与门”连接的事件，按行横向排列；把“或门”连接的事件，按列
纵横向摆开。这样，逐层向下，直至各基本事件，列出若干行，最后利用布尔代数化简。化简结果，就得出若干最小割集。 为了说明这种计算方法，我们以图4—25所示的事故树为例，求其最小割集。 事故树示意图 我们看到，顶上事件T与中间事件A1、A2是用“或门”连 接的，所以，应当成列摆开，即 A1、A2与下一层事件B1、B2、X1、X2、X4的连结均为“与门”，所以成行排列： 下面依此类推：
整理上式得： 下面对这四组集合用布尔代数化简，根据A·A＝A，则X 1·X 1 ＝X 1，X 4 ·X 4 ＝X 4 ，即 又根据A＋A·B＝A，则X 1·X 2 ＋X 1 ·X 2 ·X 3 ＝X 1 ·X 2 ，即 于是，就得到三个最小割集{X 1，X 2 }，{ X 4 ，X 5 }，{ X 4 ，X 6 }。 按最小割集化简后的事故树，如图4－26所示:
割补法巧算面积 Revised by BETTY on December 25,2020
割补法巧算面积 知识精讲： 分割法：把不规则的的大图形化为规则的小图形 添补法：把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算 例题1 图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米） 练习1 如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度（单位：米）．这个图形的面积等于多少 平方米？ 例题2 如图，在正方形ABCD内部有一个长方形．EFGH．已知正方形ABCD的边长是6厘米，图中线段AE、AH都等于2厘米．求长方形EFGH的面积． 练习2 正方形ABCD的边长是8厘米，它的内部有一个三角形AEF（如图），线段DF=厘米，BE=厘米，那么三角形AEF的面积等于平方厘米． 例题3 如图中，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等份，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 练习3. 1．如图所示，正方形ABCD的边长acm，则图中阴影部分的面积为cm2． 例题4. 如图1和图2，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知图1中阴影部分的面积是294平方分米．请问：图2中的阴影部分的面积是多少平方分米？ 练习4 7．如图所示，将三个相同的长方形从上到下排列，依次进行两等分、三等分、四等分，各取出其中的一份画上阴影，则阴影部分的面积占全部面积的几分之几？ 选做题 例5 如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米？ 例6. 已知一个四边形ABCD的两条边的长度和三个角（如下图所示），求四边形ABCD的面积是多少？ 作业：
相关概念 割集——也叫做截集或截止集，它是导致顶上事件发生的基本事件的集合。也就是说事故树中一组基本事件的发生，能够造成顶上事件发生，这组基本事件就叫割集。引起顶上事件发生的基本事件的最低限度的集合叫最小割集。 径集——也叫通集或导通集，即如果事故树中某些基本事件不发生，顶上事件就不发生。那么，这些基本事件的集合称为径集。不引起顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合叫最小径集。 TOP 最小割集求解方法 行列法 结构法 布尔代数化简法 行列法 行列法是1972年福塞尔提出的方法，所以也称其为福塞尔法。其理论依据是：“与门”使割集容量增加，而不增加割集的数量；“或门”使割集的数量增加，而不增加割集的容量。这种方法是从顶上事件开始，用下一层事件代替上一层事件，把“与门”连接的事件，按行横向排列；把“或门”连接的事件，按列
纵横向摆开。这样，逐层向下，直至各基本事件，列出若干行，最后利用布尔代数化简。化简结果，就得出若干最小割集。 为了说明这种计算方法，我们以图4—25所示的事故树为例，求其最小割集。 事故树示意图 我们看到，顶上事件T与中间事件A1、A2是用“或门”连接的，所以，应当成列摆开，即 A1、A2与下一层事件B1、B2、X1、X2、X4的连结均为“与门”，所以成行排列：
下面依此类推： 整理上式得： 下面对这四组集合用布尔代数化简，根据A ·A ＝A ，则X 1·X 1＝X 1，X 4·X 4＝X 4，即 又根据A ＋A ·B ＝A ，则X 1·X 2＋X 1·X 2·X 3＝X 1·X 2，即 于是，就得到三个最小割集{X 1，X 2}，{ X 4，X 5}，{ X 4，X 6}。按最小割集化简后的事故树，如图4－26所示:
第25讲用割补法求面积 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算岀面积的规则图形。 就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。 例i求下列各图中阴影部分的面积： 分析与解：（i）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB勺面积之差。 nX 4X 4- 4-4 X 4- 2=4.56。 （2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分 是半径为5的四分之一个圆。 如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5 X 5=25。 例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个 图形面积的几分之几。 分析与解：阴影部分是一个梯形。我们用三种方法解答。 （1）割补法 从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。将这两个直角三角 瑚成-个长万形（见下图）（显細影部分正际方形吗所以原题阴影部分占整阿面积的* （2）拼补法 将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。 积和平行四边行面积同时除以2,商不变。所以原题阴影部分占整个图形面 （3）等分法 将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形， 注意，后两种方法对任意三角形都适用。也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。 例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形 （阴影部分）。求这个梯形的面积。 分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求岀梯形的面积。可以从等腰直角三角形与正方形之间的联系上考虑。将四个同样的等腰直角三角形拼成一个正方形（上页右下图），图中阴影部分是边长9厘米与边长5厘米的两个正方形面积 之差，也是所求梯形面积的4倍。所以所求梯形面积是（9 X 9-5 X 5）* 4=14 （厘米2）。 例4在左下图的直角三角形中有一个矩形，求矩形的面积。 分析与解：题中给岀了两个似乎毫无关联的数据，无法沟通与矩形的联系。我们给这个直角三角形再拼补上一个相同的 直角三角形（见右上图）。因为A与A', B与B'面积分别相等，所以甲、乙两个矩形的面积相等。乙的面积是 4 X 6=24, 所以甲的面积，即所求矩形的面积也是24 o 例5下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。 分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分之和就是40厘米2（见左 下图）。 把C割下，拼补到乙正方形的上面（见右上图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40厘米2, 宽是 40*20=2 （厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2 ）- 2=9 （厘米），从而乙正方形的面积为9X 9=81 （厘米2）o 练习22 1. 求下列各图中阴影部分的面积：
什么是故障树分析法 故障树分析(FTA)技术是美国贝尔电报公司的电话实验室于1962年开发的，它采用逻辑的方法，形象地进行危险的分析工作，特点是直观、明了，思路清晰，逻辑性强，可以做定性分析，也可以做定量分析。体现了以系统工程方法研究安全问题的系统性、准确性和预测性，它是安全系统工程的主要分析方法之一。一般来讲，安全系统工程的发展也是以故障树 分析为主要标志的。 1974年美国原子能委员会发表了关于核电站危险性评价报告，即“拉姆森报告”，大 量、有效地应用了FTA，从而迅速推动了它的发展。 什么是故障树图(FTD) 故障树图 ( 或者负分析树)是一种逻辑因果关系图，它根据元部件状态(基本事件)来显示系统的状态(顶事件)。就像可靠性框图(RBDs)，故障树图也是一种图形化设计方法，并且作为可靠性框图的一种可替代的方法。 一个故障树图是从上到下逐级建树并且根据事件而联系，它用图形化"模型"路径的方法，使一个系统能导致一个可预知的，不可预知的故障事件（失效），路径的交叉处的事件 和状态，用标准的逻辑符号(与，或等等)表示。在故障树图中最基础的构造单元为门和事件， 这些事件与在可靠性框图中有相同的意义并且门是条件。 故障树和可靠性框图(RBD) FTD和RBD最基本的区别在于RBD工作在"成功的空间"，从而系统看上去是成功的集合，然而，故障树图工作在"故障空间"并且系统看起来是故障的集合。传统上，故障树已经习惯使用固定概率(也就是，组成树的每一个事件都有一个发生的固定概率)然而可靠性框图对于成功(可靠度公式)来说可以包括以时间而变化的分布，并且其他特点。 故障树分析中常用符号 故障树分析中常用符号见下表: