线性代数练习题 第二章 矩 阵
系 专业 班 姓名 学号
第一节 矩阵及其运算
一．选择题
1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2
1
,0,0,21(
=C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T
+ （B ）E （C ）E - （D ）0
3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T
A A + （
B ）T
A A - （C ）T
AA （D ）A A T
二、填空题： 1．?
??
? ??---=???? ??--+????
??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32???
??
??--56125252781314
3．=????? ??????? ??-127075321134????
?
??49635
4．=?????
?
? ??---???? ??-20413121013
143110412???? ?
?---6520876
三、计算题：
设????
? ?
?--=11
1111
111
A ，4
???
?
? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T
;229
42017222132222222222092650850311111111
1215042
132111111111
1323????
? ?
?----=????
?
?
?---????? ??-=??
??? ??---?????
?
?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111
1????
? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T
T ，则对称，由
线性代数练习题 第二章 矩 阵
系 专业 班 姓名 学号
第二节 逆 矩 阵
一．选择题
1．设*
A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [
B ] （A ）1
-*
=A A A （B ）1
-*
=n A
A （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=*
*A
2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B |
3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ）
A A λλ= （
B ）A A λλ= （
C ）A A n λλ= （
D ）A A n λλ=
4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E
5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]
（A ）E C A B A T
T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2
二、填空题：
1．已知A B AB =-，其中????
??-=1221B ，则?????
? ??-=12
1
211A 2．设???? ??=???? ??12643152X ，则X =
???
?
??-40132 3．设A ，B 均是n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则6
421
n
B
A -=-*
4．设矩阵A 满足042=-+E A A ，则)2(2
1
)(1
E A E A +=-- 三、计算与证明题：
1． 设方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1-A 和1
2-+)(E A
;
2)2(2)(0212E A A A E E A A E E A A E A A -=?=-?
=-?
=---可逆，且 .4
3)2(2)2)(43(4)2)(3(04)2(3)2(023)2(0
212E
A E A E A E
E A E A E
E A E A E E A E A A E A E A A E A A --
=++?=+--?-=+-?=++-+?=--+?=---可逆，且
2． 设???
?
? ??---=14524
3121A ，求A 的逆矩阵1-A 解：设3)(ij a A =，则
,
24
321)
1(,12
31
1
)
1(,02
41
2
)
1(,14452
1)1(,615
11)1(,21412)1(,
324
54
3)1(,131523)1(,414243
3332
3323
1313
2232
22221213113211211-=-=-=---==---==--==--==---=-=--=-=--=-=--=
++++++++A A A A A A A A A
从而????
? ??-----=214321613024*
A .
又由
26
141
26
14512
3
00121
4
524
3
1211
312=--=
--+----=c c c c A
则?
???
? ??-----==-1716213213012*
1
A A A
3． 设???
?
?
??-=32
1011
330A 且满足B A AB 2+=，求 B ????
?
??-=????? ??---?=-?+=321011330121011332)2(2B A
B E A B A AB
??
??
? ??-+??
???
??---????? ??--?????
?
??-----?????
??-++?????
?
?----?????? ??----0111003210103300010111003210100110113011100352310011011)21
(022
20035231
00110
1133011035231001101123211213303320110113211210110113303322132323131221r r r r r r r r r r r r r
则????
?
??-=-=-011321330)2(1
A E A B
线性代数练习题 第二章 矩 阵
系 专业 班 姓名 学号
第三节（一） 矩阵的初等变换
一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：
()()()??
?
??
?
?
??------÷-÷-÷??????? ??-----------???????
?
?---------221002210
022100343115341010500663008840034311323124330232214
533343
11432141312r r r r r r r r r
??
?
?
?
?
?
?
?----???????
?
?-----000000000
02210
03201
130********
02210034311212423r r r r r r
二、把下列矩阵化为标准形：
??
?
??
?
?
??--------???????
??------????????
??------7675012988
01111
04202
132347310382
37313
24202
13473103823420217313214131221r r r r r r r r ??
??
?
??
??---????????
??-----410002120
01111
04202
1212004100
0111104202
158432423r r r r r r ??
?
?
?
?
?
??----???????
??---+--410002020
02001
04002
12141000202003011040
021232
414243r r r r r r r r
??
??
?
?
?
??-+-???????
??--???????
?
?---+010*******
00010
00001
4241000
10100
20010
00
00121
41000202002001000
001243253221c c c c r r r r 三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵
???????
??-----=12102
32112201023A ??
??
?
?
?
??-----????????
?
?-----100012100001
10230010122
00100
232110001210010023210010122
00001102331r r ??
?????
?
?----????????
??-----0010122003015
94010
0121001002
321100012100301594000
1
0122
00100232134213r r r r
??
??
???
?
?-------+???????
??----------10612100043011
10010
001210010023212201012004301110
010
001
210010
0232124342423r r r r r r ??
?
??
?
?
??----------+???????
??------------+1061210006311010
010********
11
02
123106121000631101
0011612021
020112
4
32123231434241r r r r r r r r r r ??
?
?
?
?
?
?
?-------+106121000631101001010001042
1
1
001
221r r
?????
?
? ??-------=∴-106126
3111010
42111A 四、已知111101022110110014X -????????=????
????-????
，求X
3132233131111011111011111010221100221100221101100140211130030232110123111101211
022110020123322001010010133r r r r r r r r r ---?????? ? ? ?
-+ ? ? ?
? ? ?---??????
??? ?-- ??-- ?+ ? ???u u u u u r u u u u u r u u u u u r u u u u u u u r 21221511012100332611111010101012262622001010010133r r r ?
? ?
?
? ? ? ?
??
????
? ? ? ? ? ??----- ? ? ? ? ? ? ? ?
????
u u u u u r u u u u u r 故1
5326
1
1126
2
013X ??
?????
?=--????????
线性代数练习题 第二章 矩 阵
系 专业 班 姓名 学号 第三节（二） 矩 阵 的 秩
一．选择题
1．设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB = 0，则A 和B 的秩 [ D ] （A ）必有一个等于零 （B ）都等于n （C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都不等于n 2．设n m ?矩阵A 的秩为s ，则 [ C ] （A ）A 的所有s －1阶子式不为零 （B ）A 的所有s 阶子式不为零 （C ）A 的所有s +1阶子式为零 （D ）对A 施行初等行变换变成???
?
??000s
E
3．欲使矩阵???
?
? ??12554621231211t s 的秩为2，则s ，t 满足 [ C ]
（A ）s = 3或t = 4 （B ）s = 2或t = 4 （C ）s = 3且t = 4 （D ）s = 2且t = 4
4．设A 是n m ?矩阵，B 是m n ?矩阵，则 [ B ] （A ）当n m >时，必有行列式0≠||AB （B ）当n m >时，必有行列式0=||AB （C ）当m n >时，必有行列式0≠||AB （D ）当m n >时，必有行列式0=||AB
5．设?????
??=3332
31
232221
131211a a a a a a a a a A ，?????
??+++=133312
321131
131211
23
2221
a a a a a a a a a a a a B ，????
?
??=1000010101P ，
???
?
?
??=1010100012P ，则必有=B [ C ]
（A ）21P AP （B ）12P AP （C ）A P P 21 （D ）A P P 12 二．填空题：
1．设???
?
? ??---=44311211201
3A ，则=)(A R 2
2．已知????
??
? ??-+-+=12221232121a a a A 的秩为2，则a 应满足 a =-1或3
三、计算题：
1． 设???
?
??
?
??---=0230108523570
3273
812A ，求)(A R 。
????
??? ??---------???????
??---????????
??---7121002420536300230
123273812085
23570
32023
010230108523570327381214131241r r r r r r r r ??????
? ?
?--???????
?
?-++???????
??------?00
001400007121002
30178160
001400007121002301
3253630024207121
00230124242342r r r r r r r r 故R(A)=3
2．设A ???
?
? ??----=32321321k k k ，问k 为何值，可使 ⑴ 1=)(A R ⑵2=)(A R ⑶3=)(A R
????
?
??-+-----????? ??------+????? ??----)1)(2(300332203213322033220321323213212321312k k k k k r r k k k k k kr r r r k k k
(1) R(A)=1当且仅当
10)1)(2(3022=??
?
?
=-+-=-k k k k (2)由(1)可知R(A)=2当且仅当k=-2 (3)R(A)=3当且仅当21-≠≠k k 且
线性代数练习题 第二章 矩 阵
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第四节 矩阵的分块
1110000若，则P P A A Q Q ---????== ? ????? 11
1
0000若，则P Q A A Q
P
---????== ?
?????
一．选择题
设A ，B 为n 阶矩阵*A ，*B 分别为A ，B 对应的伴随矩阵，分块矩阵???
?
?
?=B A C 0
0，则C 的伴随矩阵=*
C [
D ]
（A ）????
??**
B B A A 00 （B ）????
??**A A B B 00 （C ）????
?
?**
A B B A 00 （D ）???
? ?
?**B A A B 00 二、填空题：
1．??????
?
??=540032000043
0021
A ，则=-1
A 2100310022
530
0220
2
1-?? ? ?
- ? ? ?- ? ?-?
?
A = 4 2．设???
????
?
?=003000132000
1200
A ，则=2A 6
500060000650006??
?
?
?
?
??
三、计算题：
1．设Λ=-AP P 1
，其中???? ??-=1141P ，???
? ??-=Λ2001，求11
A
11
111111111
111111313131111
111
455(),;115
5141
01415110211141221
241151151221
24P AP P A P P A
P P ----??- ?
?Λ=== ? ?
??---??????=Λ=- ? ? ?
--??????
-????
-+??=-= ? ?
?---+-??????
2. 设???
??
?
?
?
??=000430001230000
02000
00100A ，求1-A
11
1
111100041011,,00,02532010034100055320005510
00010
00021000
03
P Q A A P
Q Q P
A ------?
? ?
?
-??????
?==== ?
? ? ?-??????
? ??
?
?
?- ?
? ?- ?
?= ? ? ? ?
? ??
?
3．设??????
?
?
?-=22000200003
40043A ，求8
A 及 4A 8
8
8816
444
44
4
0||||,,||||||254100,||||10;0
62501600,,;
0625641606250
00062500.001600
06416P
A A A A P Q A A Q P A P Q Q A ??====-?=-==
???
??????=== ? ? ???????
??
?
?= ?
???
线性代数练习题 第二章 矩 阵
系 专业 班 姓名 学号
综 合 练 习
一．选择题
1．设n 阶矩阵A ，B 是可交换的，即AB = BA ，则不正确的结论是 [ B ] （A ）当A ，B 是对称矩阵时，AB 是对称矩阵 （B ）当A ，B 是反对称矩阵时，AB 是反对称矩阵 （C ）2
2
2
2)(B AB A B A ++=+ （D ）2
2
))((B A B A B A -=-+
2．方阵A 可逆的充要条件是 [ B ] （A ）A ≠ 0 （B ）| A | ≠ 0 （C ）A * ≠ 0 （D ）| A * | ＞0 3．设n 阶矩阵A ，B ，C 和D 满足E ABCD =，则=-1
)
(CB [ A ]
（A ）CDADAB （B ）DA （C ）AD （D ）DABCDA 二．填空题：
1．已知二阶矩阵M 的伴随矩阵???? ?
?=42
21*M ，则???
?
??--=1224M 2．若A ??
?
?
?
?
?
??=12110622321
1043
a 可逆，则a 为 不等于-6
三．计算题与证明题：
1． 已知)3,2,1(=α，)3/1,2/1,1(=β，设β
αT A =
，求n
A
ββααβαββαα1)(-==n T T T T T n A Λ
3321)3/1,2/1,1(=?
????
??=T
βα，????
?
??=????? ??=12/333/212
3/12/11)3/1,2/1,1(321βαT
???
?
?
??===---12/333/2123/12/1133)(111n T n n T T n A βαββαα
2．设?
??
?
?
??-=101010112A ,???
?
? ??=02
010
301B ，A ，B 与X 满足06*1*=++-BA XA AXA ，求X 031
01010
013
101010
1
1231≠=---r r
()A A
A E A AA 1
1
**=
?=-故由，因此 B X E A B X A
AX BA XA AXA -=+?=++
?=++-)2(06
06*1* ???
?
? ??----=-????? ??-=+0201003013010301142B E A ，
?
????
??-----????? ??----??????? ??-----3811310100030020
3014301114100030020301)1(02030110003030111413131r r r r r ?
?????
??
?
?-----????
?
??----÷3108113003100010020301381131031000100203013232r r r
?
??????? ?
?----+?????
?
??
??----÷391013813110031
00010131013213300133910138131100310001002030113313r r r
故?
????
??? ??----=391013813
131
001310132133
X
3．设n 阶矩阵A 满足062
=--E A A ，试证：
（1）A 与A －E 都可逆，并求它们的逆矩阵； （2）A + 2E 和A －3E 不同时可逆
6
)(,6)(616)(06112A
E A E A A E E A A E E A A E A A =--=?=-?
=-?=---- 0)2)(3()2(3)2(63)2(62=+-=+-+=--+=--E A E A E A E A A E A E A A E A A
，故0|2|0|3|0|2||3|=+=-?=+-?E A or E A E A E A A + 2E 和A －3E 不同时可逆。
线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数()1,2, ,;1,2, ,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表 11121212221 2 n n m m mn a a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵()() ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++
线性代数教学教案 第一章线性方程组与矩阵 授课序号01 1112121 2 n n m m mn a a a a a a ?? ?? ??? ，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为
n a ???. 212 n n n nn a a a ? ??? . 1112 00n n nn a a a a ?? ?? ? ? ?与上三角矩阵200 n nn a ? ??? . 000 0n a ??? ??? ，或记为100 1? ???? . 负矩阵的定义：对于矩阵()ij m n a ?=A ，称矩阵21 22 n m m m mn mn b a b a b ?? +++? ，
a b+
21 2 n m m mn a a a ????，转置矩阵212.m n n nm a ? ??? 矩阵的转置满足的运算规律（这里k 为常数，A 与B 为同型矩阵）阶方阵()ij a =A 如果满足222n n m mn n a x +21 2 n m m mn a a a ????称为该线性方程组的系数矩阵n x ???，m b = ? ??? β，有：
2221122221 21122n n n m m mn n m m mn n a a a x a x a x a x ??? ? =??? ???? ? ++ +????? . 再根据矩阵相等的定义，该线性方程组可以用矩阵形式来表示：=Ax β.
授课序号02 21 2 t s s st ????A A A ，21 2 t s s st ? = ? ??? B B B B ，的行数相同、列数相同，则有 21 22 t s s s st st ?? ±±±? B A B A B . 111221 2 t s s st ? ? ??? A A A A A ，都有21 2 t s s st k k ? ??? A A A .
第二章矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2 A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严 格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类 计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零 行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n 矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵, 记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0 c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质 （1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量 和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质:①行列式行列互换,其值不变。(转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列)互换,行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列)对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行(列）,等于k 乘以此行列式。 推论:若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零; 推论:行列式中某一行(列)元素全为零,行列式为零。 ④行列式具有分行（列)可加性 ⑤将行列式某一行(列）的k 倍加到另一行（列)上,值不变 行列式依行(列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理:行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：)21(n j D D x j j ??== 、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解,则Ｄ等于零 特殊行列式: ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式：33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法:用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式
第三章 矩阵与线性代数计算 MATLAB ，即“矩阵实验室”，它是以矩阵为基本运算单元。因此，本章从最基本的运算单元出发，介绍MATLAB 的命令及其用法。 3.1矩阵的定义 由m×n 个元素a ij (i=1,2,…m;j=1,2,…n)排列成的矩形阵称为一个m 行n 列的矩阵,或m×n 阶矩阵，可以简记为A=(a ij ) m×n ，其中的a ij 叫做矩阵的第i 行第j 列元素。 ???? ??????=m n m m n n a a a a a a a a a A 2 1 222 21 11211 当m=n 时，称A 为n 阶方阵，也叫n 阶矩阵； 当m=1,n ≥2时，即A 中只有一行时，称A 为行矩阵，或行向量（1维数组）； 当m ≥2,n=1时，即A 中只有一列时，称A 为列矩阵，或列向量； 当m=1,n=1时，即A 中只有一个元素时，称A 为标量或数量（0维数组）。 3.2矩阵的生成 1.实数值矩阵输入 MATLAB 的强大功能之一体现在能直接处理向量或矩阵。当然首要任务是输入待处理的向量或矩阵。 不管是任何矩阵（向量），我们可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔，且空格个数不限；不同的行用分号（；）分隔。所有元素处于一方括号（[ ]）内；当矩阵是多维（三维以上），且方括号内的元素是维数较低的矩阵时，会有多重的方括号。如： 【例3－１】矩阵的生成例。 a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] b=[1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9; 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9; 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9] Null_M = [ ] %生成一个空矩阵
第二章 一、选择题 1、计算13230102-???? +? ??? ???? 的值为(C) A 、-5 B 、6 C 、3003?????? D 、2902-?? ???? 2、设,A B 都就是n 阶可逆矩阵,且AB BA =,则下列结论中不正确的就是(D) A. 11AB B A --= B 、 11A B BA --= C 、 1111A B B A ----= D 、11B A A B --= 3、初等矩阵(A) A. 都就是可逆阵 B 、所对应的行列式值等于1 C 、 相乘仍就是初等阵 D 、相加仍就是初等阵 4、已知,A B 均为n 阶矩阵,满足0AB =,若()2r A n =-,则(C) A. ()2r B = B 、()2r B < C 、 ()2r B ≤ D 、()1r B ≥ 二、判断题 1、若,,A B C 都就是n 阶矩阵,则()k k k k ABC A B C =、 (×) 2、若,A B 就是n 阶反对称方阵,则kA 与A B +仍就是反对称方阵、(√) 3、矩阵324113A ??=? ???与矩阵2213B ?? =?? ?? 可进行乘法运算、 (√) 4、若n 阶方阵A 经若干次初等变换后变成B ,则A B =、 (×) 三、填空题 1、已知[]456A =,123B ?? ??=?????? ,求AB 得_________ 。 2、已知1 2n a a A a ???? ??= ? ???? ? O (0,1,2,,i a i n ≠=K ),则1A -= (32) 12 11 1n a a a ????????????????????? ? O 12n +
习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
刘三阳线性代数第二版第一章答案
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第一章矩阵及其应用习题解答 本章需要掌握的是： 1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加、减、数乘和乘法）； 2）方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质； 3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质； 4）分块矩阵的运算规则； 5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵； 6）三种初等矩阵，以及定理1.4（左乘行变，右乘列变）、1.5、1.6和1.7；7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。 1、设方阵A满足，求。 题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即。因此无论题中给出的有关矩阵A的多项式（如本题是）多么复杂，只 需要把该多项式配方成“（所求逆的表达式）*（配方后的因子）=E”即可，即本题是要配成（A-E）*(?)=E。 解： %配出2003A可提取的（A-E） %配出1998可提取的（A-E） %提取公因式（A-E） %将只有单位阵的那一项移至等式右端 %写成“AB=BA=E”的形式
%由逆阵定义可知 巩固练习：教材第38页第13题 2、设，求。其中k为正整数。 题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。解题思路为依次计算 最多到，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。 解：，，因此推论，用数学归纳法证明如下： 1）当k=1时，成立； 2）假设当k=n-1时，上式成立，即，则有 当k=n时，也成立。 所以 巩固练习：教材第41页二、填空题（3） 3、设A=E-uu T ，E为n阶单位阵，u为n维非零列向量，u T 为u的转置，证明：1）A2=A的充要条件是u T u=1； 2）当u T u=1时，A是不可逆的。 题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。解题思路首先要明确u为n为非零向量是指u是一个只有一行 或一列的矩阵，题中有即告诉我们u是一个n*1阶列矩阵即列向量。
第二章矩阵 2.1矩阵的概念 定义2.1.1由m×n个数a ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表 用 大小括号表示 称为一个m行n列矩阵。 矩阵的含义是：这m×n个数排成一个矩形阵列。 其中a ij称为矩阵的第i行第j列元素 （i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i 称为行标，j称为列标。第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。 通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为 A=（a ij）m×n或（a ij）m×n或A m×n
当m=n时，称A=（a ij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，a nn，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。 元素全为零的矩阵称为零矩阵。用O m×n或者O（大写字）表示。 特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，a n）为n维行向量。它是1×n矩阵。 当n=1时，称为m维列向量。 它是m×1矩阵。 向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。 例如，（a，b，c）是3维行向量，
是3维列向量。 几种常用的特殊矩阵： 1.n阶对角矩阵 形如或简写 为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵， 例如，是一个三阶对角矩阵， 也可简写为。 2.数量矩阵 当对角矩阵的主对角线上的元n阶数量矩阵
线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第一节 矩阵及其运算 一．选择题 1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2 1 ,0,0,21( =C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）0 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题： 1．? ?? ? ??---=???? ??--+???? ??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32??? ?? ??--56125252781314 3．=????? ??????? ??-127075321134???? ? ??49635 4．=????? ? ? ??---???? ??-20413121013 143110412???? ? ?---6520876 三、计算题： 设???? ? ? ?--=11 1111 111 A ，4
??? ? ? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T ;2294201722213 2222222222092650850311111111 1215042 132111111111 1323???? ? ??----=???? ? ? ?---????? ??-=?? ??? ??---????? ? ?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111 1???? ? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T T ，则对称，由 线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第二节 逆 矩 阵 一．选择题 1．设* A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1 -* =A A A （B ）1 -* =n A A （C ）* * =A A n λλ)( （D ）0)(=* *A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ） A A λλ= （ B ）A A λλ= （ C ）A A n λλ= （ D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]
习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1、用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形、 2、用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵、 3、设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =、 4、设A就是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B、 (1) 证明B可逆(2)求1 AB-、
习题 3-2 矩阵的秩 1、求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠????=?? L 2、设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =、
3、 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系就是 、 .()()a R A R B = .()()b R A R B <; .()()1c R B R A >-; .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4、 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= 、 a 、1; b 、 2; c 、 3; d 、 4、 5、 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = 、 a 、 1; b 、 n -11; c 、 –1; d 、 1 1-n 、 6、设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第一节 矩阵及其运算 一．选择题 1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2 1 ,0,0,21( =C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）0 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （ B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题： 1．? ?? ? ??---=???? ??--+???? ??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32??? ?? ??--56125252781314 3．=????? ??????? ??-127075321134???? ? ??49635 4．=????? ? ? ??---???? ??-20413121013 143110412???? ? ?---6520876 三、计算题： 设???? ? ? ?--=11 1111 111 A ，4
??? ? ? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T ;229 42017222132222222222092650850311111111 1215042 132111111111 1323???? ? ? ?----=???? ? ? ?---????? ??-=?? ??? ??---????? ? ?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111 1???? ? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T T ，则对称，由 线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第二节 逆 矩 阵 一．选择题 1．设* A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1 -* =A A A （B ）1 -* =n A A （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=* *A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ） A A λλ= （ B ）A A λλ= （ C ）A A n λλ= （ D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]
线性代数练习题第二章矩阵 系专业班姓名学号 第一节矩阵及其运算 一．选择题 1．有矩阵A3 2，B23， C 3 3，下列运算正确的是[B]（ A） AC（ B） ABC（ C） AB－ BC（ D） AC+BC 2．设C (1 , 0 ,0 , 1 )，A E C T C ， B E 2C T C ，则AB[ B ] 22 （ A）E C T C（ B）E（C）E（ D）0 3．设 A 为任意 n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是[ B] （ A）A A T（B）A A T（ C）AA T（ D）A T A 二、填空题： 164201165 1． 282342112 4 12124321141387 2．设A 2 1 2 1， B 2 1 2 1，则 2A 3B2525 123401012165 431735 3．12326 570149 131 2140012678 4． 1341312056 1 402 三、计算题： 111 设 A111，4 111
123 B124，求 3AB2A 及 A T B 051 111123111 3AB 2 A 3 111124 2 111 111051111 058222 3 056222 290222 21322 21720 ; 4292 111123058 由 A对称， A T A，则 A T B AB11112405 6 . 111051290 线性代数练习题第二章矩阵 系专业班姓名学号 第二节逆矩阵 一．选择题 1．设A是 n 阶矩阵A的伴随矩阵，则[B] （ A）AA A 1（ B）A n 1 （ C）( A)n A（ D）( A )0 A 2．设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则[C]（ A） A+B 是 n 阶可逆矩阵（ B）A+B 是 n 阶不可逆矩阵 （ C）AB 是 n 阶可逆矩阵（ D）| A+B| = | A|+| B| 3．设 A 是 n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 （ A）A A（B）A A（C）A n A（D）A [ C] n A 4．设 A， B， C 是 n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有[ B]（ A） CBA = E（B）BCA = E（C）BAC = E（D）ACB = E 5．设 n 阶矩阵 A，B， C，满足 ABAC = E，则[ A]
授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算 目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算 重点矩阵的运算 难点矩阵的乘法 §2.1矩阵 前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。但是Cramer法则有它的局限性： 1. 系数行列式 ； 2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。 接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念及其运算。 一、矩阵的概念 矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等 例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示 表 1 产地销地调配情况表 销地 产地 B1 B2 B3 B4 A1 1 6 3 5 A2 3 1 2 0 A3 4 0 1 2
那么，表中的数据可以构成一个矩形数表： 在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。 定义2.1 由 个数 排成的 行 列数表 （2.1） 称为一个 行 列矩阵，简称 矩阵。这 个数称为矩阵的元素，其中
称为矩阵的第 行第 列元素.（2.1）式也简记为 或 . 有时 矩阵A也记作 . 注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵. 2.当 时，称 矩阵为长方阵（长得像长方形）； 3.当 时，称矩阵为 阶方阵（长得像正方形），简称方阵； 4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵. 如果 与 是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即
如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j 即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a ……… a n1 a n2…a nn 这里 n j j j 2 1 表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 3、对角行列式计算
线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素及另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23 13 3222123121113332 31 2322 21 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:
《线性代数》(工)单元练习题 一、填空题 1、设矩阵A 为4阶方阵，且|A|=5，则|A*|=__125____，|2A|=__80___，|1-A |= 1/5 2、若方程组?? ? ??=+=+=+a bz cy b az cx ay bx 0 有唯一解，则abc ≠ 0 3、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的对应元素上，行列式 0 . 4、当a 为 1 or 2 时，方程组??? ??=++=++=++0 40203221321321x a x x ax x x x x x 有非零解. 5、设=-+----=31211142,4 101322 13A A A D 则 .0 二、单项选择题 1．设） （则=---===33 3231312322212113 1211113332312322 211312 11324324324,1a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a D B （A)0 ； （B)―12 ； （C ）12 ； （D ）1 2．设齐次线性方程组??? ??=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = （ A ） （A ）2 （B ）0 （C ）-1 （D ）-2 3．设A=7 925138 02-，则代数余子式 =12A ( B ) (A) 31- (B) 31 (C) 0 (D) 11- 4．已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7,4， 则D= ( A ) （A ） -15 （B ） 15 （C ） 0 （D ） 1 三、计算行列式
线性代数第二章习题 答案
习 题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序． 解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵??? ? ??-=???? ??+-=2521 ,03231z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。 习 题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）22B A -． 解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ； （2） ??? ? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ； （3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-． 解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 2 1323B -A ??? ?? ??----=????? ??----????? ? ?--=61941016151055011010422061024686901236903963
矩阵 第章 第一章矩阵
矩阵乘法转置求逆运算规律 1、矩阵乘法、转置、求逆运算规律); ()(BC A C AB =)); (),()()(为数其中λλλλB A B A AB ==A ; )(, )(CA BA A C B AC AB C B +=++=+. I A A A I n n m n m n m m ×××==般地则称若一般地，,,BA AB BA AB =≠B A 与. 是可交换的矩阵乘法一般不满足消去律，即： . Y X AY AX ==一般推不出
逆矩阵 定义,, 使如果存在矩阵阶方阵为设B n A ( 矩阵、满或非奇异的、非退化的是可逆的则称矩阵A I BA AB ==的逆矩阵唯的. ),的逆矩阵称为且矩阵秩的A B . ,, 1 A A A ?的逆 的逆矩阵是唯一的则有逆矩阵若A 矩阵记作
()() ; 1A A T T =() A A =??1 1()();2T T T B A B A +=+() ;1 1 1 ???+≠+B A B A ()(); 3T T A A λλ=T (). 111 ??=A A λ λ()(). 4T T A B AB =() . 1 11 ???=A B AB (?()). T T A A 11 ? =
一些特殊的矩阵2些特殊的矩阵 对称矩阵 T . ,,为对称矩阵则称如果阶方阵为设A A A n A =反对称矩阵 ,,为反对称则称如果阶方阵为设A A A n A T ?=. 矩阵幂等矩阵 . ,,2 为幂等矩阵则称如果阶方阵为设A A A n A =
正交矩阵 A A ,,正交矩阵为则称如果阶方阵为设A I A A n A T T ==.对角矩阵 其余素全角线阶阵,,其余元素全如果主对角线以外阶方阵为设n A . ,为对角矩阵则称为零 A