第八章 强度理论与组合变形
§8－１ 强度理论的概念
一、概述：
简单应力状态与复杂应力状态许用应力确定的区别：
[][][][]n
n
jx
jx
ττσσττσσ=
=
≤≤;
.;max max
.;;.;;;;;;;321321jx jx jx zx yz xy z y x σσστττσσσσσσ⇒⇔
简单应力状态的许用应力由简单的力学实验确定；
复杂应力状态的许用应力不能直接由简单的力学实验确定。（材料的破坏规律→破坏原因→同一破坏类型主要破坏因素的极值等于简单拉伸时破坏的极值）。 二、材料破坏的类型：脆性断裂；屈服破坏。
三、材料破坏的主要因素：最大拉应力；最大拉应变；最大切应力；最大形状改变比能。 四、强度理论的概念： 关于引起材料破坏主要因素的各种假说。
五、研究的目的：能用简单的力学实验建立复杂应力状态的强度条件。
§8－2 四种常用的强度理论
一、最大拉应力理论（第一强度理论）
在17世纪伽利略由直观出发提出了第一强度理论
1、基本论点：材料发生断裂破坏的主要因素是最大拉应力。即不论材料处于何种应力状态，只要材料的最大拉应力达到材料在轴向拉伸时发生断裂破坏的极限值，材料就发生破坏。
2、破坏条件：jx σσ=1b b jx σσσσ=⇒=→1
3、强度条件：[]σσ≤1 []n
b
σσ=
4、使用条件：断裂破坏，1σ为拉应力。
5、缺点：没考虑32,σσ的影响，对无拉应力的状态无法应用。 二、最大拉应变理论（第二强度理论）
马里奥特最早提出关于变形过大引起破坏的论述
1、基本论点：材料发生断裂破坏的主要因素是最大拉应变。
2、破坏条件：jx εε=1[]E
E b jx σεσσμσε=+-=
→,)(1
3211b σσσμσ=+-→)(321 3、强度条件：[]σσσμσ≤+-)(321 []n
b
σσ=
4、使用条件：断裂破坏，服从胡克定律。
5、缺点：对有些材料未被实验所证实。
三、最大切应力理论（第三强度理论；屈雷斯加屈服准则）
杜奎特（C .Duguet)最早提出；屈雷斯加最终确立了这一理论 1、基本论点：材料发生屈服破坏的主要因素是最大切应力。
2、破坏条件：jx ττ=max 2
;2
3
1max s
jx στσστ=
-=→ s σσσ=-→31
3、强度条件：[]σσσ≤-31 []n
s
σσ=
4、使用条件：屈服破坏。
5、缺点：没有考虑“2σ”的影响。优点：比较满意的解释了材料的流动现象，概念简单，形式简单。 四、最大形状改变比能理论：
（第四强度理论；均方根理论；歪形能理论；最大畸变能理论）麦克斯威尔最早提出了此理论 1、基本论点：材料发生屈服破坏的主要因素是最大形状改变比能。
2、破坏条件：djx d v v εε= []
2
213232221261;)()()(61s djx d E
v E v σμσσσσσσμεε+=-+-+-+=
→ []
s σσσσσσσ=-+-+-→
213232221)()()(2
1
3、强度条件：
[]
[]σσσσσσσ≤-+-+-213232221)()()(2
1
[]n s σσ=
4、使用条件：屈服破坏。 结论：[]σσσσ≤*);(r xd []{}n
s σσσσ,, 2.0b =
[]
21323222143
1332121
1)()()(2
1
)(σσσσσσσσσσσσμσσσσ-+-+-=
-=+-==r r r r
各种强度理论的使用范围——
1、三向受拉的应力状态：采用第一、第二强度理论（断裂破坏）
2、三向受压的应力状态：采用第三、第四强度理论（屈服破坏）
3、其它的应力状态：脆性材料采用第一、第二强度理论（断裂破坏）；塑性材料采用第三、第四强度理论（屈服破坏）。 强度理论的应用——
3
12
2min
max )2
(
2
στσσσ=+±=
xy x
x
[]στσσ≤+=2
2
34xy x r []στσσ≤+=2
2
43xy x r 使用条件：屈服破坏，02=σ。
*§8－3 其他强度理论
一、莫尔强度理论（修正的最大切应力理论）
莫尔认为：最大切应力是使物体破坏的主要因素，但滑移面上的摩擦力也不可忽略（莫尔摩擦定律）。综合最大切应力及最大正应力的因素，莫尔在1882得出了他自己的强度理论。 两个概念：（1）、极限应力圆：一点处第一、三主应力极值对应的应力圆。（2）、极限曲线：同一材料不同应力状态极限应力圆的包络线。
1、基本论点：材料是否破坏取决于三向应力圆中的最大应力圆。（即任意一点的最大应力圆若与极限曲线相接触，则材料即将屈服或剪断）。
2、破坏条件：[][][]t
c t σσσσ
σ=-
31
3、强度条件：[]t c t rM σσσσσσ≤-
=31]
[]
[ 4、使用范围：破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。 二、双剪切强度理论
俞茂宏在1961年提出，他认为影响材料屈服的因素不仅有最大的切应力τmax =τ13，而且还有中间的主切应力τ12，τ23。且三个主切应力中只有两个独立量，τ13=τ12+τ23。
1、基本论点：材料发生屈服破坏的主要因素是单元体的两个较大的主切应力引起的。（只要单元体的两个较大主切应力之和达到了材料在简单拉伸时发生屈服破坏时的极限双切应力之和，材料就发生屈服破坏）。
2、破坏条件：
jx )(12131213ττττ+=+s jx σττσσσσσσσττ=++-
=-+
-=
+↔)(;
2
2
2
12133
212
13
11213
)(2
23123
21ττσσσσ≥=+-
→s
3、强度条件：[][])2
(2
);
2
(2
3
1232
13123
21σσσσσσσσσσσσσσ+≥
≤-++≤
≤+-
1991年俞茂宏提出了考虑拉压性能不同的参数α及反映中间主切应力以及相应面上的正应力对材料破坏影响的加权系数b 的双剪切统一强度理论。
[][])
1()(11
)1()(13
123213
12321α
ασσσσασσσα
ασσσσσσα
σ++≥≤-++++≤
≤++-
b b
b b
4、使用条件：屈服破坏 【例】：如图所示工字型截面梁，已知〔σ〕=180MPa 〔τ〕=100Mpa ，试：全面校核（主应力）梁的强度。
cm S I mm W mm I z z z z 2.17/;10237;102370max 3344=⨯=⨯=*
解：1、画内力图
2、最大正应力校核 []σσ≤=⨯⨯==)(13510
23710323
6
max max MPa W M z 3、最大切应力校核 []ττ≤=⨯⨯⨯==*)(1.837
102.17101003max
max max MPa b I S F z z s
4、主应力校核（翼缘和腹板交界处）
34
3
3max 4
6105.107)2
4
.116.88(4.11100)(8.647102370105.10710100)
(5.1191023706
.881032⨯=+
⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯==**z z z s z x S MPa b I S F MPa I My τσ 结论——满足强度要求。
【例】：求图示单元体第三强度理论的相当应力。
解 1、主应力的确定
2
2min
max )2
(
2
xy
y
x y
x τσσσσσ+-±+=
⎩
⎨
⎧-+=-+--±+-=)(7.60)(7.80)50()26040(260402
2MPa MPa σ1=80.7（MPa ）；σ2=0；σ3=-60.7（MPa ）。
2、相当应力的确定
)(4.141)7.60(7.80313MPa r =--=-=σσσ 单位：MPa
小 结
一、基本概念 (重点)
1、材料破坏的类型：脆性断裂；屈服破坏。
2、材料破坏的主要因素：最大拉应力；最大拉应变；最大切应力；最大形状改变比能。
3、强度理论的概念：关于引起材料破坏主要因素的各种假说。
4、研究的目的：能用简单的力学实验建立复杂应力状态的强度条件。 二、四种常用的强度理论 (重点)
1、最大拉应力理论（第一强度理论）
强度条件：[]σσ≤1
2、最大拉应变理论（第二强度理论） 强度条件：[]σσσμσ≤+-)(321
3、最大切应力理论（第三强度理论） 强度条件：[]σσσ≤-31
4、最大形状改变比能理论：（第四强度理论；均方根理论；歪形能理论；畸形能理论） 强度条件：
[]
[]σσσσσσσ≤-+-+-213232221)()()(2
1
三、结论：[]σσσσ≤*);(r xd
[]
213232221431332121
1)()()(2
1
)(σσσσσσσσσσσσμσσσσ-+-+-=
-=+-==r r r r
四、各种强度理论的使用范围——
1、三向受拉的应力状态：采用第一、第二强度理论（断裂破坏）。
2、三向受压的应力状态：采用第三、第四强度理论（屈服破坏）。
3、其它的应力状态：脆性材料采用第一、第二强度理论（断裂破坏）；塑性材料采用第三、第四强度理论（屈服破坏）。 五、强度理论的应用（重点）——[]στσσ≤+=2
2
34xy x r ；[]στσσ≤+=2
2
43xy x r
使用条件：屈服破坏，02=σ。
六、莫尔强度理论：（难点） 强度条件：[]t c t rM σσσσσσ≤-
=31]
[]
[ §8—4 组合变形概述
一、组合变形：杆件在外力作用下包含两种或两种以上基本变形的变形形式。 二、实例：烟囱在风载和自重作用下（轴向压缩与弯曲的组合）；汽车路牌杆在风载作用下（弯曲与扭转的组合）；立柱（偏心压缩与弯曲的组合）。 三、组合变形的分析方法——叠加法
前提条件：弹性范围内工作的小变形杆。
叠加原理：几种（几个）荷载共同作用下的应力、变形等于每种（每个）荷载单独作用之和（矢量和、代数和）。
四、组合变形计算的总思路
1、分解——将外力分组，使每组产生一种形式的基本变形。
2、计算——计算每种基本变形的应力、变形。
3、叠加——将基本变形的计算结果叠加起来。
§8—5 斜弯曲
一、斜弯曲的概念
梁上的外力都垂直于轴线，外力的作用面不在梁的纵向对称面内,变形后梁的轴线不在外力的作用平面内由直线变为曲线（梁上的外力都垂直于轴线且过弯曲中心，但不与形心主轴重合或平行）。
二、斜弯曲的计算
1、荷载的分解⇒
F ϕ
ϕsin cos F F F F z y ==
2、任意横截面任意点的“σ”
（1）内力：x F x F x M y z ⨯==ϕcos )( x F x F x M z y ⨯==ϕsin )(
（2）应力：z k z M k
I y M z
=
σ y
k y M
k I z M y =σ （应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
正应力的分布——
在 M z 作用下： 在 M y 作用下： （3）叠加：y
k
y z k z M k
M k k I z M I y M y
z
+
=+=σσσ 3、强度计算
危险截面——固定端 l F M y z =m a x l F M z y =m a x
危险点——“b ”点为最大拉应力点，“c ”点为最大压应力点。
y
y z z y y z z c
t
W M W M I z M I y M max
max max max max max max max +
=+==σσ 强度条件（简单应力状态）——[]σσ≤max
4、切应力 z y 22
τττ+= h
I S F h
I S F b
I S F b
I S F y y
z y y
sz z z z y z z sy y ****=
=
=
=
ττ
5、刚度计算z y 2
2ωωω+=
2
32
3
2max
2max
max )3()3(y
z z y z y EI L F EI L F +=+=ω
ωω []ωω≤m a x
三、结论
1、“σ”代数叠加，“τ”和变形矢量叠加。
2、对有棱角的截面，棱角处有最大的正应力
y
y z z W M W M m a x
m a x m a x +
=
σ 【例】 ：图示悬臂梁 L=1m, F1=0.8 kN ，F2=1.65 kN 。1、梁的横截面为矩形 b*h=9*18 cm ；2、梁的横截
面为圆形 d=13 cm 。求：此梁的最大正应力。
解：一、外力分解
（Fy=F2， Fz=F1） 二、最大正应力计算
)
(6.12)(65.11max 2max kNm L F M kNm L F M y z ====
1、矩形截面：)(94.9109186
11060.110189611065.1326326max max max
MPa W M W M y
y z z =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+=σ
2、圆形截面：)(3.26.165.12
22max
2max max kNm M M M y z =+=+=
)(7.10101332
1103.2336max max
MPa W
M =⨯⨯⨯==πσ
注意：矩形截面——y
y z z W M W M
max max max +=σ；圆形截面——W
M M y z 2
max
2max max +=
σ（332
1
d W π=
） 四、对于无棱角的截面如何进行强度计算——
首先确定中性轴的位置；其次找出危险点的位置（离中性轴最远的点）；最后进行强度计算。
y
k
y z k z M k M k k I z M I y M y
z
+
=
+=σσσ 1、令 z 0、y 0 代表中性轴上任意点的坐标
00
0=+=y
y z z I z M I y M σ——中性轴方程（过截面形心的一条斜直线）
设中性轴与 y 轴的夹角为θ则：ϕθctg I I M I M I y z tg z
y y z z y -=-==
00
)sin cos (ϕϕFL M FL M y z ==
2、确定危险点的位置：作两条与中性轴平行且与截面相切的切线，两切点 D1、D2 即为危险点。
3、强度计算： 求出两切点的坐标，带入应力计算公式进行强度计算。
4、讨论 （1）、I y =I z → tg θ=-ctg υ →θ+υ=900 ；中性轴垂直外力作用面→平面弯曲。 （2）、 I y ≠I z →υ=00 、900 →θ=900 、00 ；外力与形心主轴重合→平面弯曲。 （3）、 I y ≠I z →υ≠00 、900 ，→ tg θ≠-ctg υ；外力与中性轴不垂直重合→斜弯曲。 设β为挠度 ω 作用面与 y 轴的夹角则：θθ
ϕ
ϕϕωωβctg tg ctg I I I I tg z
y
y z y z -=-
====
1
1
cos sin θ+β=900 →挠度 ω 作用面垂直于中性轴，不在外力作用面 。 【例】：图示等边角钢，型号为100*100*10，F=2kN 。
求：梁跨中截面上 1、2 、3 点的正应力。 解：1、确定形心主轴——Z 0CY 0
查表：
3
040304054.18;35.7426.40;68.284cm W cm I cm W cm I y y z z ====
2、外力分解：⇒
F 0
00045
sin 45cos F F F F z y ==
3、求1、2、3点的坐标：0;7.70;2.40;5.30020301020301======y mm y y mm z mm z z
4、跨中截面各点的正应力 L F M L F M y z z y 00004
1
4
1
=
=
)(9.221.3558)
(35.76)(1.931.35580
03
00
03
3
0000220
01
0001
1MPa I y M I z M MPa W M I z M MPa I y M I z M z z y yo y y y yo z z y yo -=+-=+
-=
==
=-=--=-
-=σσσ
§8－6 轴向拉(压)与弯曲组合
一、拉(压)弯组合变形的概念：杆件同时受轴向力和横向力（或产生平面弯曲的力矩）的作用而产生的变形。
二、拉(压)弯组合变形的计算
1、荷载的分解：⇒
F α
αsin cos F F F F y x ==
2、任意横截面任意点的“σ”
（1）内力：αcos )(F F x F x N == x F x F x M y z ⨯==αs i n )( （2）应力：A x F N F k N
)(=
σ z
k z M
k I y x M z )(=σ
正应力的分布——
在 Mz 作用下： 在 FN 作用下：
（3）叠加：z
N
M k
F k k σσσ+=
3、强度计算
危险截面——固定端 αc o s F F N = l F M z ⨯=αs i n m a x
危险点——“ab ”边各点有最大的拉应力，“cd ”边各点有最大的压应力。
A F W M N z z t +
=
max max σ A
F W M N z z c
+-=m a x m a x σ 强度条件（简单应力状态）——[]σσ≤max
§8－7 偏心拉（压） 截面核心
一、偏心拉(压)的概念：作用在杆件上的外力与杆的轴线平行但不重合。
二、偏心拉(压)的计算
1、荷载的简化：⇒F F
y F z Fz m Fy m F
==
2、任意横截面任意点的“σ”
（1）内力：F y y F z z N Fz m x M Fy m x M F x F ====-=)(;)();()( （2）正应力：)();();(-=-=-=
y
k y k z k z M k F
k I z M I y M A F y M
z N σσσ 正应力的分布——在 Mz 作用下：在 FN 作用下：在 My 作用下：
（3）叠加：y
k
y z k z M k
M k
F
k k I z M I y M A F y
z
N -
--
=++=σσσσ 3、强度计算
危险截面——各截面
危险点——“a ”点有最大的拉应力，“c ”点有最大的压应力。
y
y z z y y z z t W M W M
A F I z M I y M A F max max max max max max max +
+-=++-
=σ
y
y z z y y z z c
W M W M A F I z M I y M A F max
max max max max max max +
+=++=
σ 强度条件（简单应力状态）——[]σσ≤max
三、结论
轴向拉（压）与弯曲组合变形及偏心拉（压）组合变形，对有棱角的截面， 棱角处有最大的正应力且处于单向应力状态。
[]σσ≤±±±=y
y z z N W M W M A F max
max max
四、对于无棱角的截面如何进行强度计算——
首先确定中性轴的位置；其次找出危险点的位置（离中性轴最远的点）；最后进行强度计算。
y
k
y z k z M k
M k
F k
k I z M I y M A F y z N
-
--=++=σ
σ
σσ 1、令 z0、y0 代表中性轴上任意点的坐标
00
000=++⇒=---=y F z F y y z z I z Fz I y Fy A F I z M I y M A F σ
0120
20=++
⇒y
F z F i z z i y y ——中性轴方程（不过截面形心的一条斜直线） 设中性轴在 Z Y 轴的截距为 a y a z 则：F
y
z F
z y z i a y i a 22
;
-
=-=
2、确定危险点的位置
作两条与中性轴平行且与截面相切的切线，两切点 D1、D2 即为危险点。 3、强度计算
求出两切点的坐标，带入应力计算公式确定最大拉应力和最大压应力进行强度计算。 4、结论 （1）、中性轴不过截面形心； （2）、中性轴与外力无关，与偏心距及截面形状、尺寸有关； （3）、中性轴的截距与偏心距符号相反，表明外力作用点与中性轴分别在截面形心的相对两侧； （4）、若外力 F 作用在 Y 轴上， z F =0→→ a z =∞。则中性轴一定平行于 Z 轴；若外力 F 作用在 Z 轴上， y F =0→→ a y =∞。则中性轴一定平行于 Y 轴；
（5）、 z F y F ↓ →→ a z a y ↑。即外力作用点越是向形心靠拢，中性轴离形心越远，甚至移到截面外面。当中性轴移到与截面相切或截面以外时，截面上则只存在压应力或拉应力；
Ⅱ： 截面核心
一、截面核心的概念：
当偏心压力（拉力）作用在横截面形心附近的某区域内，横截面上就只产生压应力（拉应力），此区域即为截面核心。 二、截面核心确定的思路：
首先在截面的边缘处做与截面相切的中性轴，并确定中性轴的截距； 其次由中性轴的截距，计算外力作用点的坐标，依次求出足够的点； 最后连接所有的点得到一个在截面形心附近的区域——截面核心。 【例】：矩形截面如图所示，确定其截面核心。
解：1、计算形心主轴 Z Y 的惯性半径
23
2232
12
1121;121121h bh bh A I i b bh hb A I i z z y y ======
2、取矩形截面的四条边界线1、2、
3、
4、为中性轴，计算其对应的外力作用点的坐标。
F
y
z F z y z i a y i a 22
;
-
=-= y
z F z
y
F a i y a i z 2
2;
-=-
=→
6
;02;
)
4(0
;6
1
;
2)3(6
;02;)2(0
;6
1
;
2)1(4444333322121111h
y z h a a y b z a b a h y z h a a y b z a b a F F y z F F y z F F y z F F y z =
=⇒-=∞==-=⇒∞==-
==⇒=∞===⇒∞=-=
3、确定外力作用点①、②、③、④并连接得出截面核心的区域。
§8－8 弯曲与扭转
一、一个方向的平面弯曲与扭转的组合
设：AB 杆为圆形截面，直径为d 。试：对AB 杆进行强度计算。
分析 1、外力简化：⇒F Fa
m F =
2、强度计算
危险截面——固定端 B ，FL M Fa m T z ===max max ; 应力分布及对应的应力状态——
危险点——最上、最下两点
[]στσσ≤+=+=Z z r W T M max 2max 22
2
34 []στσσ≤+=+=Z
z r W T M m a x 2m a x 22
2475.03
【例】：图示结构，q=2 kN/m 2，[σ]=60 MPa ，试用第三强度理论确定空心柱的厚度 t （外径D=60 mm ）。
解：1、外力的简化：
)
(102.235600392600)
(3925004
1
102323Nmm F m N qA F ⨯=⨯=⨯==⨯⨯==-π 2、强度计算（危险截面——固定端）
)
(102.235)(106.3138003928003
max 3max Nmm m T Nmm F M ⨯==⨯=⨯==
)
(7.22
6
.54602)(6.5491.060
)1(6032
1)102.235()106.313(4
32
3232max 2max 3m m d D t m m d D d W T M Z r =-=-=⇒=⇒==⇒≤-⨯+⨯=+=ααπσ 二、两个方向的弯曲与扭转的组合
建立图示杆件的强度条件
解：①、外力向形心简化并分解
(两个方向的弯曲与扭转的组合变形)
②、画出每个外力分量对应的内力图（或写出内力方程）
)( ; )( ; )(x T x M x M z y
③、叠加弯矩，并画图)()()(22x M x M x M z y +=
④、确定危险面
⑤、画危险面应力分布图，找危险点
弯W M xB max 1=
σ p
B W T
m a x 1=τ ⑥、建立强度条件
2
2
313
4τσσσσ+=-=r 22
max
2
2max 4p W T W M +=弯
弯
W T M M z y 2
max
22++=
()()()[]
21323222142
1
σσσσσσσ-+-+-=
r 223τσ+= 弯
W T M 2max
2max 75.0+=
弯
W T M M z y 2max
2275.0++=
【例】：直径为 d=0.1 m 的圆杆受力如图,m=7 kNm,F=50 kN, [σ]=100 MPa,试按第三强度理论校核此杆的强
度。
解：拉扭组合,危险点应力状态如图
)(37.6101
.050432MPa A F N =⨯⨯⨯==
πσ MPa W T p 7.351
.07000163=⨯⨯==
πτ 2234τσσ+=r []σ<=⨯+=)(7.71
7
.35
437
.622MPa
组合变形小结
一、组合变形：杆件在外力作用下包含两种或两种以上基本变形的变形形式。 二、组合变形的分析方法——叠加法
前提条件：弹性范围内工作的小变形杆。
叠加原理：几种（几个）荷载共同作用下的应力、变形等于每种（每个）荷载单独作用之和（矢量和、 代数和）。
三、组合变形计算的总思路 (重点)
1、分解——将外力分组，使每组产生一种形式的基本变形。
2、计算——计算每种基本变形的应力、变形。
3、叠加——将基本变形的计算结果叠加起来。 四、斜弯曲
1、斜弯曲的概念
梁上的外力都垂直于轴线，外力的作用面不在梁的纵向对称面内,变形后梁的轴线不在外力的作用平面内由直线变为曲线（梁上的外力都垂直于轴线且过弯曲中心，但不与形心主轴重合或平行）。
2、计算 （重点）
矩形截面——y
y z z W M W M
max max max
+
=σ；圆形截面——W
M M y z 2
max
2max max +=σ（332
1
d W π=
） 3、结论 1、“σ”代数叠加，“τ”和变形矢量叠加。 2、对有棱角的截面，棱角处有最大的正应力
3、挠度 w 作用面垂直于中性轴，不在外力作用面 。
4、对于无棱角的截面如何进行强度计算——
首先确定中性轴的位置；其次找出危险点的位置（离中性轴最远的点）；最后进行强度计算。
00
0=+=
y
y z z I z M I y M σ——中性轴方程（过截面形心的一条斜直线） 设中性轴与 y 轴的夹角为θ则：ϕθctg I I M I M I y z tg z
y y z z y -=-==
00
五、轴向拉（压）与弯曲组合变形及偏心拉（压）组合变形
1、对有棱角的截面，棱角处有最大的正应力。（重点） []σσ≤±±±=y
y z z N W M W M A F m a x
m a x m a x
2、对于无棱角的截面如何进行强度计算——
首先确定中性轴的位置；其次找出危险点的位置（离中性轴最远的点）；最后进行强度计算。
0120
20=++
y
F z F i z z i y y ——中性轴方程（不过截面形心的一条斜直线） 设中性轴在 Z Y 轴的截距为 a y a z 则：F
y
z F
z y z i a y i a 22
;
-
=-=
3、截面核心的概念：
当偏心压力（拉力）作用在横截面形心附近的某区域内，横截面上就只产生压应力（拉应力），此区域即为截面核心。
4、截面核心确定的思路：
首先在截面的边缘处做与截面相切的中性轴，并确定中性轴的截距； 其次由中性轴的截距，计算外力作用点的坐标，依次求出足够的点；最后连接所有的点得到一个在截面形心附近的区域——截面核心。 六：弯曲与扭转的组合变形
1、一个方向的平面弯曲与扭转的组合（重点）
[]στσσ≤+=+=Z z r W T M max 2max 22
2
34 []στσσ≤+=+=Z
z r W T M m a x 2m a x 22
2475.03
2、两个方向的弯曲与扭转的组合（难点）
2234τσσ+=r 弯W T M 2max
2max +=
弯
W T M M z y 2max
22++=
2243τσσ+=r 弯
W T M 2max
2max +=
弯
W T M M z y 2max
2275.0++=
第8章 应力状态分析和强度理论 教学目的：通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从受力杆件中 截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态应变能密度的计算；掌握常用的四种强度理论。 教学重点：平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大 剪应力的计算。 教学难点：应力状态的概念，工程实际中从受力杆件中截面单元体并进行分析计 算。 教具：多媒体。 教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 教学内容：应力状态的概念；斜截面上的应力；二向应力状态分析；广义胡克定 律；复杂应力状态下的应变能密度和强度理论。 教学学时：6学时。 教学提纲： 8.1 应力状态的概述 单向拉伸时斜截面上的应力 一、为什么要研究一点的应力状态？ 本章与前几章在研究对象上的不同之处。 回顾：内力图：N F 、T 、S F 、M -- 一根（杆、轴、梁） 强度计算??? ??一面（危险截面）一段—、 —、max max max max M F T F S N 本章：应力状态— 一点。 简单回顾：
拉压： 强度条件：[]?????=≤=n n A F b s N σσσσ 扭转：强度条件：[]?????=≤=n n W T b s n ττττmax 弯曲：强度条件：[][]????? ????? ????? ?=≤?=?????=≤=* n n b I S F n n W M b s z z x ma S x ma b s x ma ττττσσσσmax 我们可以对构件的某一横截面进行校核，到目前为止尚不能对截面内某一点（如上图中第4点）的应力情况进行校核，因此：为了对某些复杂受力构件中既存在σ又存在τ的点建立强度条件提供依据，为实验应力分析奠定基础，我们应对构件内的任意点进行应力状态分析。 通过实验来研究和了解结构或构件中应力情况的方法，称为实验应力分析。 二、什么叫一点的应力状态？ 通过某一点的所有截面上的应力情况，或者说构件内任一点沿不同方向的斜面上应力的变化规律，称为一点的应力状态。 三、怎样研究一点的应力状态？
《材料力学》课程教学大纲 学分：4.5 总学时：72 理论学时：62 实验/实践学时：10 一、课程性质与任务 《材料力学》是车辆工程的专业基础课。本课程共72学时，4.5学分，考试课。 《材料力学》是由基础理论课过度到设计课程的技术基础课。它是变形固体力学的基础，又是有关专业后续课程的需要。通过本课程的学习，使学生建立起正确的变形固体力学基本概念，掌握分析工程中强度、刚度、稳定性问题的基本方法，提高工程计算能力和实验分析能力等方面均有重要作用，它与其它课程共同完成培养高级工程技术人员的任务。 二、课程的基本要求 学习本课程后，应达到下列基本要求： 1．掌握构件强度、刚度、稳定性的基本概念，掌握杆件四种基本变形及组合变形的定义，能熟练判定杆件的变形种类。 2．掌握用截面法求杆件内力的基本方法，能熟练地求解任一指定截面的内力，并能绘制杆件的内力图。 3．熟悉等截面杆件横截面上应力的分析方法（基本变形）：实验-假设-变形几何关系、物理、静力平衡；能熟练求解四种基本变形有关的应力计算、分布及危险点判定和强度计算。 4．掌握组合变形构件强度分析方法-叠加法，了解其原理和使用条件，熟练掌握组合变形构件的强度计算问题。 5．掌握各基本定理、定律及假设（剪应力互等定理、剪切虎克定律、广义虎克定律、强度理论等），并能熟练应用。 6．掌握并能熟练求解基本变形构件的变形、位移问题，并能进行相关的刚度计算。 7．掌握一点应力状态的表示方法，能熟练地从受力构件中取原始单元体，并能用解析法、图解法求解相关问题。 8．掌握静不定问题的基本概念，掌握用变性比较法求解一次静不定问题。 9．掌握压杆稳定的基本概念，并能熟练地进行稳定计算。 10．熟悉动载荷问题的分析方法，并能熟练求解相关问题；掌握交变应力的基本概念，会进行疲劳强度计算。 11．掌握与平面图形有关的几何量（静矩、形心、惯性矩等）的基本概念及计算，了解形心轴、主惯性轴等概念。 12．初步掌握静载下材料机械性能的测试方法、电测实验原理及测试方法。 13．对能力培养的基本要求 本课程使学生以下各种能力得到提高：逻辑思维能力、定性分析问题的能力（主次因素的分析等）；工程分析及计算能力（如单位换算、公式推导的方法及思路、有效数字、结果的判断与校核等）；观察、分析和解决问题的方法及实践动手能力。 三、先修课程 高等数学、大学物理、理论力学等。 四、主要参考教材 [1] 孙训方，方孝淑，关来泰编．材料力学（第5版）．北京：高等教育出版社，2009.7
南通大学建工学院材料力学考点复习 （个人自己参考一些资料，总结的复习考点） 01 本章小结 1．材料力学研究的问题是构件的强度、刚度和稳定性。 2．构成构件的材料是可变形固体。 3．对材料所作的基本假设是：均匀性假设，连续性假设及各向同性假设。 4．材料力学研究的构件主要是杆件，且是小变形杆件。 5．内力是指在外力作用下，物体内部各部分之间的相互作用；显示和确定内力可用截面法；应力是单位面积上的内力。点应力可用正应力与剪应力表示。 6．对于构件任一点的变形，只有线变形和角变形两种基本变形。 7．杆件的四种基本变形形式是：拉伸（或压缩），剪切，扭转以及弯曲。 02-1 本章小结 1．本章主要介绍轴向拉伸和压缩时的重要概念：内力、应力、变形和应变、变形能等。 轴向拉伸和压缩的应力、变形和应变的基本公式是： 正应力公式 A N = σ 胡克定律 E EA l l σε= = ?,F 胡克定律是揭示在比例极限内应力和应变的关系，它是材料力学最基本的定律之一。 平面假设：变形前后横截面保持为平面，而且仍垂直于杆件的轴线。 轴向拉伸或压缩的变形能。 2．材料的力学性能的研究是解决强度和刚度问题的一个重要方面。对于材料力学性能的研究一般是通过实验方法，其中拉伸试验是最主要、最基本的一种试验。低碳钢的拉伸试验是一个典型的试验。它可得到如下试验资料和性能指标： 拉伸全过程的曲线和试件破坏断口； b s σσ,—材料的强度指标； ψδ,—材料的塑性指标。 其中E —材料抵抗弹性变形能力的指标；某些合金材料的2.0σ—名义屈服极限等测定有专门拉伸试验。 3．工程中一般把材料分为塑性材料和脆性材料。塑性材料的强度特征是屈服极限 s σ和强度极限 b σ（或 2.0σ），而脆性材料只有一个强度指标，强度极限 b σ。 4．强度计算是材料力学研究的重要问题。轴向拉伸和压缩时，构件的强度条件： []σσ≤= A N 它是进行强度校核、选定截面尺寸和确定许可载荷的依据。 5．应通过本章初步掌握拉压超静定问题的特点及解法。
材料力学（土）笔记 第八章 组合变形及连接部分的计算 1．概 述 工程实际中，构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形 若几种变形所对应的应力（变形）属于同一数量级，则构件的变形成为组合变形 对于组合变形下的构件，在线弹性、小变形条件下，可按构件的原始形状和尺寸进行计算 可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的外力系 分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形 利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况 以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算 若构件的组合变形超过了线弹性范围，或虽在线弹性范围内但变形较大 则不能按其初始形状或尺寸进行计算，不能用叠加原理 工程实际中，经常需要将构件相互连接 铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件，统称为连接件 连接件（或构件连接处）的变形往往比较复杂，而其本身尺寸都比较小 在工程设计中，通常按照连接的破坏可能性 采用既能反映受力的基本特征，又能简化计算的假设，计算其名义应力 然后根据直接试验的结果，确定其相应的许用应力，来进行强度计算 这种简化计算的方法，称为工程实用计算法 2．两相互垂直平面内的弯曲 对于横截面具有对称轴的梁 当横向外力或外力偶作用在梁的纵向对称面内时，梁发生对称弯曲 这是，梁变形后的轴线是一条位于外力所在平面内的平面曲线 碰到双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时承受横向外力的作用情况 这时梁分别在水平纵对称面（Oxz 平面）和铅垂纵对称面（Oxy 平面）内发生对称弯曲 在梁的任意横截面m-m 上，由1F 和2F 引起的弯矩值依次为 1y M F x = 和 2()z M F x a =- 梁的任一横截面m-m 上任一点(,)C y z 处与弯矩y M 和z M 相应的正应力分别为 'y y M z I σ= 和 ''z z M y I σ=- 由叠加原理，在1F 和2F 同时作用下，截面m-m 上C 点处的正应力为 '''y z y z M M z y I I σσσ=+=- 式中y I 和z I 分别为横截面对于两对称轴y 和z 的惯性矩 y M 和z M 分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩 且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向相一致 在具体计算中，也可先不考虑弯矩和坐标的正负号，以其绝对值代入 然后根据梁在荷载分别作用下的变形情况，判断由其引起该点处正应力的正负号 为确定横截面上最大正应力点的位置，需求截面上中性轴的位置 由于中性轴上各点处的正应力均为零，令0y 、0z 代表中性轴上任一点的坐标 则由上式可得中性轴方程 000y z y z M M z y I I -=
一、判断题 1.材料力学中不允许力沿作用线滑移。 2.材料力学中不允许力偶在作用面内移动。 3.确定截面内力的截面法，适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。 4.材料力学中研究的变形固体截面上的附加内力是由外力引起的。 5.同一截面上各点的正应力σ与切应力τ必相互垂直。 6.应变分为正应变ε和切应变γ。 7.在弹性范围内应变与应力的关系服从于胡克定律。 8.梁的内力与荷载、支承有关。 9.梁的内力与材料有关。 10.若梁在某一段内无荷载作用，则该段内的弯矩图必定是一直线段。 11.若一对正交坐标轴中，其中有一轴为图形的对称轴，则图形对这对轴的惯性积一定为零。 12.平面弯曲变形的特征是，梁在弯曲变形后的轴线与荷载作用面在同一个平面内。 13.静定对称截面梁，无论何种约束形式，其弯曲正应力均与材料的性质无关。 14.弯矩为零处，挠曲线曲率必为零。 15.纯剪应力状态是二向应力状态。 16.轴向拉压杆内各点均为单向应力状态。 17.单元体最大正切应力面上的切应力恒等于零。 18.主方向是主应力所在截面的法线方向。材料在静荷作用下的失效形式主要有脆性断裂和塑性屈服两种。 19.在近乎值的三向拉应力作用下，钢等塑性材料只能发生断裂。 20.不同的强度理论适用于不用的材料和不同的应力状态。 21.矩形截面杆承受拉弯组合变形时，因其危险点的应力状态是单向应力，所以不必根据强度理论建立相应的强度条件。 22.弹性形变能恒为正值。 23.临界压力是压杆丧失稳定平衡时的最小压力值。 24.用同一材料制成的压杆，其柔度（长细比）愈大，就愈容易失稳。 二、选择题 1.在圆轴扭转横截面的应力分析中，材料力学研究横截面变形集合关系时做出的假设是平面假设。 45螺旋面拉断。 2.铸铁圆试件扭转破坏是沿与轴线成。 3.圆轴单位长度扭转角θ与杆长无关。 4.为提高碳钢的扭转刚度，下列措施最有效的是增加轴的直径。 5.剪力、弯矩符号与坐标的选择之间的关系为它们都与坐标系的选择无关。 6.在集中力和集中力偶的作用处，剪力图和弯矩图的特点为剪力图和弯矩图相应发生突变，其突变值恰好分别等于集中力和集中力偶的绝对值。 7.所谓一点的应力状态是指受力构件内某一点在不同截面上的应力情况。 8.单元体斜截面上的正应力与切应力的关系中正应力最小的面上切应力必为零。 9.在稳定计算中，对压杆临界力的计算可能发生两类错误，一类是对中柔度杆的临界力应用了欧拉公式，另一类是对细长杆应用了经验公式。其后果是前者偏于安全，后者偏于危险。 10.圆截面细长压杆的材料及支承情况保持不变，将其横向及轴向尺寸同时增大一倍，压杆的临界应力不变，临界力增大。
材料力学 一、课程的性质与设置目的和要求 材料力学是由基础理论课向设计课程过渡的技术基础课。该课程对后续专业课及工程应用都有深远的影响。通过对材料力学课程的学习，要求学生对杆件的强度、刚度和稳定性问题具有明确的基本概念、必要的基础理论知识、比较熟练的计算能力、一定的分析能力和实验能力。 二、课程内容与考核目标 本课程主要讲述杆件的强度、刚度和稳定性理论及其应用，包括四种基本变形与组合变形的应力和变形，强度和刚度计算，能量方法与超静定问题，压杆稳定，动载荷与交变应力。 第一章拉伸与压缩 1.学习目的与要求：本章介绍杆件在拉伸或压缩时的应力和变形计算。通过学习，要求能熟练绘制杆件的轴力图；能熟练进行杆件强度计算和变形计算。 2.课程内容：轴向拉、压的概念；外力、内力、应力、应变、变形、位移等概念；拉（压）杆的内力、内力图；应力和强度计算、材料的拉、压力学性能、杆件的变形计算；简单的超静定问题。 3.考核知识点：轴力、轴力图；轴向拉压时截面上的应力；轴向拉压时的变形、虎克定律；材料的力学性能（低碳钢、铸铁的拉伸试验的应力应变图；低碳钢和铸铁的压缩试验及两类材料的比较）；轴向拉压的强度条件及强度计算； 4.考核要求：能熟练运用截面法计算杆件的轴力，正确绘制轴力图；掌握杆件拉、压时的强度计算；掌握杆件的变形计算；了解材料的基本力学性能以及试件拉、压破坏时的现象和原因；掌握求解简单超静定问题的方法。 第二章剪切 1.学习目的与要求：本章介绍连接件的实用计算。通过学习，要求会计算简单的连接件的强度问题。 2.课程内容：剪切构件的受力和变形特点，连接处可能的破坏形式，剪切和挤压的实用计算。 3.考核知识点：剪切和挤压的概念，剪切和挤压的应力计算。 4.考核要求：了解剪切和挤压的概念，会计算简单的连接件的强度问题。 第三章扭转 1.学习目的与要求：本章介绍杆件扭转时的应力和变形，通过学习，要求能熟练绘制杆件的扭矩图；掌握应力和变形的计算公式，能熟练进行轴类零件的
第 八 章 组 合 变 形 一、选择题 1、偏心拉伸（压缩）实质上是（B ）的组合变形。 A ．两个平面弯曲 B ．轴向拉伸（压缩）与平面弯曲 C ．轴向拉伸（压缩）与剪切 D ．平面弯曲与扭转 2、图示平面曲杆，其中AB ⊥BC 。则AB 部分的 变形为( B )。 A ． 拉压扭转组合 B ．弯曲扭转组合 C ．拉压弯曲组合 D ．只有弯曲 二、计算题 1、如图所示的悬臂梁，在全梁纵向对称平面内承受均布荷载 q=5kN/m ，在自由端的水平对称平面内受集中力P=2kN 的作用。已知截面为25a 工字钢，材料的弹性模量E=2×105MPa ，求： （1）梁的最大拉、压应力 （2）若[σ]=160MPa ，校核梁的强度是否安全。 解：（1）固定端截面为危险截面。 22max 11 5210kN m 22z M ql = =??=? max 224kN m y M Pl ==?=? 查表得：33 48.283cm ,401.883cm y z W W == 由于截面对称，最大拉、压应力相等。 33 max max max max 66 1010410()Pa 108MPa 401.8831048.28310y z t c z y M M W W σσ--??==+=+=?? （2）校核梁的强度 []max 108MPa 160MPa σσ=<= 可见，梁的强度是足够的。 2、矩形截面木檩条，尺寸及受载情况如图所示。已知q=2.1kN/m,木材许用拉应力[σt ]=11MPa ，许用挠度[w]= l ／200，弹性模量E=10GPa 。校核其强度和刚度。 A B C q
第八章强度理论与组合变形 §8-1 强度理论的概念 １．不同材料在同一环境及加载条件下对“破坏”（或称为失效）具有不同的抵抗能力（抗力）。 例1常温、静载条件下，低碳钢的拉伸破坏表现为塑性屈服失效，具有屈服极限 σ， s 铸铁破坏表现为脆性断裂失效，具有抗拉强度 σ。图9-1a,b b ２．同一材料在不同环境及加载条件下也表现出对失效的不同抗力。 例2常温静载条件下，带有环形深切槽的圆柱形低碳钢试件受拉时，不再出现塑性变形，而沿切槽根部发生脆断，切槽导致的应力集中使根部附近出现两向和三向拉伸型应力状态。图（9-2a,b）
例3 常温静载条件下，圆柱形铸铁试件受压时，不再出现脆性断口，而出现塑性变形，此时材料处于压缩型应力状态。图（9-3a ） 例4 常温静载条件下，圆柱形大理石试件在轴向压力和围压作用下发生明显的塑性变形，此时材料处于三向压缩应力状态下。图９－３b ３．根据常温静力拉伸和压缩试验，已建立起单向应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，其强度条件为 []σσ≤ ，根据薄壁圆筒扭转实验，可建立起纯剪应力状态下的弹性失效准则，考虑安全系数后，强度条件为 []ττ≤ 。 建立常温静载一般复杂应力状态下的弹性失效准则——强度理论的基本思想是： １）确认引起材料失效存在共同的力学原因，提出关于这一共同力学原因的假设； ２）根据实验室中标准试件在简单受力情况下的破坏实验（如拉伸），建立起材料在复杂应力状态下共同遵循的弹性失效准则和强度条件。 ３）实际上，当前工程上常用的经典强度理论都按脆性断裂和塑性屈服两类失效形式，分别提出共同力学原因的假设。 §8-２四个强度理论 １．最大拉应力准则（第一强度理论） 基本观点：材料中的最大拉应力到达材料的正断抗力时，即产生脆性断裂。 表达式：u σσ=+ max 复杂应力状态
第一章：绪论 1. 材料力学的研究方法与理论力学的研究方法完全相同。（X ） 2.内力只作用在杆件截面的形心处。（X ） 3.杆件某截面上的内力是该截面上应力的代数和。（X ） 4.确定截面内力的截面法，适用于不论等截面或变截面、直杆或曲杆、基本变形或组合变形、横截面或任意截面的普遍情况。（√） 5.根据各向同性假设，可以认为材料的弹性常数在各方向都相同。（√） 6.根据均匀性假设，可以认为构件的弹性常数在各点处都相同。（√） 7.同一截面上正应力σ与切应力τ必互相垂直。（√） 8.同一截面上各点的正应力σ必定大小相等，方向相同。（X ） 9.同一截面上各点的切应力τ必互相平行。（X ） 10.应变分为正应变ε和切应变γ。（√） 11.应变为无量量纲。（√） 12.若物体各部分均无变形。则物体内各点的应变均为零。（√） 13.若物体内各点的应变均为零，则物体无位移。（X ） 14.平衡状态弹性体的任意部分的内力都与外力保持平衡。（√） 15.如图所示的结构中，AD杆发生的变形为弯曲与压缩的组合变形。（√） 16.如图所示的结构中，AB杆将发生弯曲与压缩的组合变形。（X ） 第二章：拉伸、压缩与剪切 1.因为轴力要按平衡条件求出，所以轴力的正负与坐标轴的指向一致。（X ） 2.轴向拉压杆的任意截面上都只有均匀分布的正应力。（X ） 3.强度条件是针对杆的危险截面而建立的。（√） 4.位移是变形的量度。（X ） 5.甲、乙两杆几何尺寸相同，轴向拉力相同，材料不同，则他们的应力和变形均相同。（X ） 6.空心圆杆受轴向拉伸时，在弹性范围内，其外径与壁厚的变形关系是外径增大且壁厚也同时增大。( X ) 7.已知低碳钢的σp=200MPa，E=200GPa，现测得试件上的应变ε=0.002，则其应力能用胡克定律计 算为：σ= Eε=200×103×0.002=400MPa。（X ） 9.图示三种情况下的轴力图是不同的。（X ）
805 材料力学考试大纲 1、绪论：变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、应变、虎克定律。 2、轴向拉伸和压缩：概念和实例、横截面上的内力和应力、材料在拉伸时的力学性能、许用应力、强度条件、拉伸和压缩时的变形、拉伸和压缩时的静不定问题。 3、剪切，剪切和挤压的强度计算。 4、扭转，外力偶矩与扭矩的计算、薄壁圆筒的扭转、纯剪切、圆轴扭转时的应力和变形、强度和刚度计算。 5、平面图形的几何性质：静矩和形心、惯性矩、惯性积、惯性半径、平行移轴公式、转轴公式、主惯性轴、主惯性矩。 6、弯曲内力：剪力与弯矩、剪力与弯矩方程、剪力图与弯矩图、载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系、叠加法作弯矩图、平面曲杆的弯曲内力。 7、抗弯强度：弯曲正应力、弯曲切应力、抗弯强度计算、提高抗弯强度的措施、弯曲中心。 8、弯曲变形：挠度和转角、梁的刚度条件、挠曲线的近似微分方程式、积分法求梁的变形、叠加法求梁的变形。 9、应力状态理论：一点应力状态的概念、平面应力分析的解析法与图解法、 三向应力状态简介、平面应变状态分析、广义虎克定律、变形比能。 10、组合变形和强度理论：组合变形的概念、斜弯曲、拉伸或压缩与弯曲的组合、偏心压缩与截面核心、强度理论的概念、四种常用的强度理论扭转和弯曲的组合。 11、交变应力：交变应力与疲劳失效、交变应力的循环特征、应力幅和平均应力、持久极限、影响构件持久极限的因素、对称循环下构件的疲劳强度计算、持久极限曲线。 12、压杆稳定：压杆稳定的概念、两端铰支细长压杆的临界力、不同杆端约束细长压杆的临界力、欧拉公式的适用范围、经验公式、压杆稳定性计算。 参考书：《材料力学》（Ⅰ、Ⅱ册）刘鸿文高等教育出版社（第四版）
（完整版）材料力学简答题 1、（中）材料的三个弹性常数是什么？它们有何关系？ 材料的三个弹性常数是弹性模量E，剪切弹性模量G和泊松比μ，它们的关系是G=E/2(1+μ)。 2、何谓挠度、转角？ 挠度：横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移。 转角：横截面绕其中性轴旋转的角位移。 3、强度理论分哪两类？最大应切力理论属于哪一类强度理论？ Ⅰ.研究脆性断裂力学因素的第一类强度理论，其中包括最大拉应力理论和最大伸长线应变理论；Ⅱ. 研究塑性屈服力学因素的第二类强度理论，其中包括最大切应力理论和形状改变能密度理论。 4、何谓变形固体？在材料力学中对变形固体有哪些基本假设？ 在外力作用下，会产生变形的固体材料称为变形固体。 变形固体有多种多样，其组成和性质是复杂的。对于用变形固体材料做成的构件进行强度、刚度和稳定性计算时，为了使问题得到简化，常略去一些次要的性质，而保留其主要性质。根据其主要的性质对变形固体材料作出下列假设。1.均匀连续假设。2.各向同性假设。3.小变形假设。 5、为了保证机器或结构物正常地工作，每个构件都有哪些性能要求？ 强度要求、刚度要求和稳定性要求。 6、用叠加法求梁的位移，应具备什么条件？ 用叠加法计算梁的位移，其限制条件是，梁在荷载作用下产生的变形是微小的，且材料在线弹性范围内工作。具备了这两个条件后，梁的位移与荷载成线性关系，因此梁上每个荷载引起的位移将不受其他荷载的影响。 7、列举静定梁的基本形式？ 简支梁、外伸梁、悬臂梁。 8、列举减小压杆柔度的措施？
（1）加强杆端约束（2）减小压杆长度，如在中间增设支座（3）选择合理的截面形状，在截面面积一定时，尽可能使用那些惯性矩大的截面。 9、欧拉公式的适用范围？ = 只适用于压杆处于弹性变形范围，且压杆的柔度应满足：λ≥λ 1 10、列举图示情况下挤压破坏的结果？ 一种是钢板的圆孔局部发生塑性变形，圆孔被拉长；另一种是铆钉产生局部变形，铆钉的侧面被压扁。 11、简述疲劳破坏的特征？ （1）构件的最大应力在远小于静应力的强度极限时，就可能发生破坏；（2）即使是塑性材料，在没有显著的塑性变形下就可能发生突变的断裂破坏；（3）断口明显地呈现两具区域：光滑区和粗糙区。 12、杆件轴向拉伸（压缩）时的强度条件可以解决哪几面的问题？ （1）强度校核。已知杆件的尺寸、承受的载荷以及材料的许用应力，验证强度条件不等式是否成立。（2）截面设计。已知杆件承受的载荷以及材料的许用应力，确定杆件的横截面尺寸，再由横截面积进而计算出相关的尺寸。（3）确定许可载荷。已知杆件的尺寸及材料的许用应力，确定结构或机器的最大载荷，得到最大轴力后，再由平衡条件确定机器或结构的许可载荷。 13、在推导纯弯曲正应力公式时，作了哪些基本假设？ 平面假设：梁弯曲变形后，其横截面仍然保持为一平面，并仍与变形后梁的轴线 垂直，只是转了一个角度。这个假设称为平面假设。 14、正应力的“正”指的是正负的意思，所以正应力恒大于零，这种说法对吗？为什么？ 这种说法不对。正应力的“正”指的是正交的意思，即垂直于截面。其本身有正负规定：拉为正，压为负。 15、简述梁弯曲时，横截面上的内力剪力和弯矩的正负符号的规
材料力学必备知识点 1、 材料力学的任务：满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法。 2、 变形固体的基本假设：连续性假设、均匀性假设、各向同性假设。 3、 杆件变形的基本形式：拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲。 4、 低碳钢：含碳量在0.3%以下的碳素钢。 5、 低碳钢拉伸时的力学性能：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段、局部变形阶段 极限：比例极限、弹性极限、屈服极限、强化极限 6、 名义（条件）屈服极限：将产生0.2%塑性应变时的应力作为屈服指标 7、 延伸率δ是衡量材料的塑性指标塑性材料 随外力解除而消失的变形叫弹性变形；外力解除后不能消失的变形叫塑性变形。 >5%的材料称为塑性材料： <5%的材料称为脆性材料 8、 失效：断裂和出现塑性变形统称为失效 9、 应变能：弹性固体在外力作用下，因变形而储存的能量 10、应力集中：因杆件外形突然变化而引起的局部应力急剧增大的现象 11、扭转变形：在杆件的两端各作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。 12、翘曲：变形后杆的横截面已不再保持为平面；自由扭转：等直杆两端受扭转力偶作用且翘曲不受任何限制；约束扭转：横截面上除切应力外还有正应力 13、三种形式的梁：简支梁、外伸梁、悬臂梁 14、组合变形：由两种或两种以上基本变形组合的变形 15、截面核心：对每一个截面，环绕形心都有一个封闭区域，当压力作用于这一封闭区域内时，截面上只有压应力。 16、根据强度条件 可以进行（强度校核、设计截面、确定许可载荷）三方面的强度计算。 17、低碳钢材料由于冷作硬化，会使（比例极限）提高，而使（塑性）降低。 18、积分法求梁的挠曲线方程时，通常用到边界条件和连续性条件；因杆件外形突然变化引起的局部应力急剧增大的现象称为应力集中；轴向受压直杆丧失其直线平衡形态的现象称为失稳 19、圆杆扭转时，根据（切应力互等定理），其纵向截面上也存在切应力。 20、组合图形对某一轴的静矩等于（各组成图形对同一轴静矩）的代数和。 21、图形对于若干相互平行轴的惯性矩中，其中数值最小的是对（ 距形心最近的）轴的惯性矩。 22、当简支梁只受集中力和集中力偶作用时，则最大剪力必发生在（集中力作用面的一侧）。 23、应用公式z My I σ=时，必须满足的两个条件是（各向同性的线弹性材料）和小变形。 24、一点的应力状态是该点（所有截面上的应力情况）。 在平面应力状态下，单元体相互垂直平面上的正应力之和等于（常数）。 25、强度理论是（关于材料破坏原因）的假说。 在复杂应力状态下，应根据（危险点的应力状态和材料性质等因素）选择合适的强度理论。 26、强度是指构件抵抗 破坏 的能力；刚度是指构件抵抗 变形 的能力；稳定性是指构件维持其原有的 平衡状态 的能力。 27、弹性模量E 是衡量材料抵抗弹性变形能力的指标。 28、使材料丧失正常工作能力的应力，称为极限应力
材料力学 [单项选择题] 1、弹性平板上有两条平行，且与水平线夹角为α的斜直线，ab和cd。当平板两端作用均布拉应力σ，平板变形后，它们的关系为：（） A.ab∥cd，α角减小 B.ab∥cd，α角不变 C.ab∥cd，α角增大 D.ab不平行于cd 参考答案：A [单项选择题] 2、空心圆杆受轴向拉伸时，受力在弹性范围内，外径与壁厚的变形关系有四种：（） A.外径和壁厚都增大 B.外径和壁厚都减小 C.外径减小，壁厚增大 D.外径增大，壁厚减小 参考答案：B [单项选择题] 。是：（） 3、图所示铆钉连接，铆钉的挤压应力σ bs A.2P／（πd2） B.P／2dt C.P／2bt D.4P／（πd2）
参考答案：B [单项选择题] 4、材料的三个弹性常数之间的关系G＝E／［2（1-v）］成立的条件是：（） A.各向同性材料，应力不大于比例极限 B.各向同性材料，应力大小无限制 C.任意材料，应力不大于比例极限 D.任意材料，应力大小无限制 参考答案：A [单项选择题] 5、等直圆轴，作用外力偶矩m 1和m（图5-4-8），轴总扭转角为零时m 1 与m 的关系为：（） A.m 1 ＝4m B.m 1 ＝3m C.m 1 ＝2m D.m 1 ＝1.5m 参考答案：D [单项选择题] 6、图5-4-11所示联轴器用8只直径相同，分布在内、外圈的螺栓连接。设 内、外圈的螺栓横截面上的剪应力分别为τ 1和τ 2 ；假设材料服从胡克定律。 则τ 1与τ 2 的比值有四种答案：（） A.A B.B
C.C D.D 参考答案：C [单项选择题] 7、图5-5-6矩形截面，C为形心，阴影面积对z c 轴的静矩为（S z ） A ，其余部 分面积对z轴的静矩为（S z ） B ，（S z ） A 与（S z ） B 之间的关系有四种答案：（） A.A B.B C.C D.D 参考答案：D [单项选择题] 8、图5-5-9所示任意截面已知面积为A，形心为C，对z轴的惯性矩为I，则 截面对z 1轴的惯性矩I z1 为：（） A.A B.B C.C D.D 参考答案：D
材料力学中的组合变形 关键字：组合变形，线弹性，载荷，应力，内力，静力等效原则，强度理论，失效形式 通过一个学期的学习，对材料力学有了一个基本的理解。整个材料力学主要讨论了各种变形以及如何对各种变形进行强度校核，刚度校核以及稳定性校核。那么材料力学中主要有哪些变形呢？主要分为单一变形和组合变形，单一变形包括：杆的拉伸和压缩变形，杆的扭转变形，杆的弯曲变形和剪切变形。而组合变形包括：弯扭组合变形，拉扭组合变心，以及拉弯扭组合变形等。下面主要来简单的谈一谈我对组合变形的理解。 一．生活中的实例 在工程实际中，杆件的受力变形的情况种类很多，又不少构件同时发生两种或两种以上的基本变形，生活中常见的机械设备的传动轴：传动轮上作用力的既有扭转变形又有弯曲变形。常见的钻杆：钻杆受扭距的作用，同时钻杆的自重沿钻杆的轴向作用，所以钻杆的变形既有轴向的拉伸变形又有扭转变形。这样的例子在生活中还有很多。 二．如何解决组合变形 在线弹性，小形变的条件下，构件的内力，应力和变形均与外力成线性关系。可以认为载荷的作用是独立的，每一个载荷所引起内力，应力，变形都不受其他载荷的影响。几个载荷的同时作用在杆件上所产生的应力，变形，等于各个载荷单独作用时产生的应力，变形之 材料力学 和，此即为叠加原理。当杆件在复杂载荷作用下同时发生几中基本变形的时候，根据静力等效原则，现将外力进行分解，简化，分组，使简化后的每一组载荷只对应一种基本变形，再分别计算每一中基本变形下产生的应力，内力和变形，然后将所得的结果相加，便可得到组合变形时尚内力，应力和变形，其结果与个力的加载次序无关。当
构件的危险点处于单向应力状态的时候，可以将应力代数相加：如果构件的危险点处于复杂应力状态下，则需要按照强度静力等效原则理论进行计算。 三．组合变形的失效形式 常见的失效形式有变形失效断裂失效表面损伤失效及材料老化失效等。弹性变形失效:一些细长的轴、杆件或薄壁筒零部件，在外力作用下将发生弹性变形，如果弹性变形过量，会使零部件失去有效工作能力。例如镗床的镗杆，如果工作中产生过量弹性变形，不仅会使镗床产生振动，造成零部件加工精度下降，而且还会使轴与轴承的配合不良，甚至会引起弯曲塑性变形或断裂。引起弹性变形失效的原因，主要是零部件的刚度不足。因此，要预防弹性变形失效，应选用弹性摸量大的材料。塑性变形失效：零部件承受的静载荷超过材料的屈服强度时，将产生塑性变形。塑性变形会造成零部件间相对位置变化，致使整个机械运转不良而失效。例如压力容器上的紧固螺栓，如果拧得过紧，或因过载引起螺栓塑性伸长，便会降低预紧力，致使配合面松动，导致螺栓失效。 断裂失效是零部件失效的主要形式，按断裂原因可分为以下几种：韧性断裂失效：材料在断裂之前所发生的宏观塑性变形或所吸收的能量较大的断裂称为韧性断裂。工程上使用的金属材料的韧性断口多呈韧窝状。脆性断裂失效：材料在断裂之前没有塑性变形或塑性变形很小（2~5%）的断裂称为脆性断裂。疲劳断裂、应力腐蚀断裂、腐蚀疲劳断裂和蠕变断裂等均属于脆性断裂。疲劳断裂失效：零部件在交变应力作用下，在比屈服应力低很多的应力下发生的突然脆断，称为疲劳断裂。由于疲劳断裂是在低应力、无先兆情况下发生的，因而具有很大的危险性和破坏性。据统计，80%以上的断裂失效属于疲劳断裂。疲劳断裂最明显的特征是断口上的疲劳裂纹扩展区比较平滑，并通常存在疲劳休止线或疲劳纹疲劳断裂的断裂源多发生在零部件表面的缺陷或应力集中部位。提高零部件表面加工质量，减少应力集中，对材料表面进行表面强化处理，都可以有效地提高疲劳断裂抗力。
《材料力学》第五版 刘鸿文 主编 第一章 绪论 一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。 二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变 形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。 三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向 同性假设。 第二章 轴向拉压 一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。 二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。注意此规定只适用于轴 力，轴力是内力，不适用于外力。 三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F A σ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。 四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22 ασ τα= 注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。 五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],max max N F A σσ= ≤ 六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],max max N F A σσ= ≤ 一定要有结论 2.设计截面[] ,max N F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤ 七、线应变l l ε∆=没有量纲、泊松比'εμε =没有量纲且只与材料有关、 胡克定律
的两种表达形式：E σε=，N F l l EA ∆= 注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。 八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极 限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。 会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。 九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l l l δ-︒= ⨯︒及断面收缩率1 100A A A ϕ-︒=⨯︒， 工程上把5δ︒≥︒ 的材料称为塑性材料。 十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。对没有明显屈服极限的塑性材料，如何来确定其 屈服指标？见课本第24页。 十一、 重点内容：1.画轴力图；2.利用强度条件解决的三种问题；3.强度校核之后一定 要写出结论，满足强度要求还是不满足强度要求；4.利用胡克定律N F l l EA ∆=求杆的变形量：注意是伸长还是缩短。 典型例题及习题：例2.1 例2.5 习题2.1 2.12 2.18 第三章 扭转 一、如何根据功率和转速计算作用在轴上的外力偶矩，注意功率、转速和外力偶矩的单位。 9549 e P M n = 二、扭矩及扭矩图：利用右手螺旋规则（见课本75页倒数第二段）判断的是扭矩的正负号 而不是外力偶矩的正负号，扭矩是内力而外力偶矩是外力 。 三、圆轴在扭转时横截面的切应力分布规律：习题3.2 四、圆轴在扭转时横截面上距圆心为ρ处的切应力的计算公式p T I ρρτ= 五、对于实心圆轴和空心圆轴极惯性矩和抗扭截面系数的计算公式 实心圆：4 32 p D I π= 3 16 t D W π=
组合变形 1. 偏心压缩杆，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点到形心的距离e 和中性轴到形心的距离d 之间的关系有四种答案： (A) d e =； (B) d e >； (C) e 越小，d 越大； (D) e 越大，d 越大。 答：C 2. 三种受压杆件如图所示，杆1 力（绝对值）分别为1m ax σ、2m ax σ和(A)3max 2max 1max σσσ==； (B)3max 2max 1max σσσ=>； (C)3max 1max 2max σσσ=>； (D)3max 1max σσσ= 答：B 4. 的位置有四种答案： (A) A 点； (B) B (C) C 点； (D) D 点。 答：C 5. 图示矩形截面拉杆，中间开有深度为2 h 的缺口，与不开口 (A) 2倍； (B) 4倍； (C) 8倍； (D) 16倍。 答：C 6. 三种受压杆件如图所示，杆1、杆2与杆3中的最大压应 力（绝对值）分别为1m ax σ、σ3 (A)max32max 1max σσσ<<； (B)3max 2max max1σσσ=<； (C)2max max3max1σσσ<<； (D)2max 3max 1max σσσ<=。 答：C 7. 正方形等截面立柱，受纵向压力F 作用。当力F 作用点由A 移至B 时，柱内最大压 材料力学组合变形习题 L 1AL101ADB （3） 偏心压缩时，截面的中性轴与外力作用点位于截面形心的两侧，则外力作用点 到形心之距离ｅ和中性轴到形心距离ｄ之间的关系有四种答案： （A ） ｅ＝ｄ； （B ） ｅ＞ｄ； （C ） ｅ越小，ｄ越大； （D ） ｅ越大，ｄ越小。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL102ADB （3） 三种受压杆件如图。设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，现有下列四种答案： （A ）max1σ＝max 2σ＝max3σ； （B ）max1σ＞max 2σ＝max3σ； （C ）max 2σ＞max1σ＝max3σ； （D ）max 2σ＜max1σ＝max3σ。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL103ADD （1） 在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案： （A ）Ａ点； （B ）Ｂ点； （C ）Ｃ点； （D ）Ｄ点。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1AL104ADC （2） 一空心立柱，横截面外边界为正方形， 内边界为等边三角形（二图形形心重 合）。当立柱受沿图示ａ－ａ线的压力时，此立柱变形形态有四种答案： （A ）斜弯曲与中心压缩组合； （B ）平面弯曲与中心压缩组合； （C ）斜弯曲； （D ）平面弯曲。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（B ） 1BL105ADC （2） 铸铁构件受力如图所示，其危险点的位置有四种答案： （A ）①点； （B ）②点； （C ）③点； （D ）④点。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（D ） 1BL106ADC （2） 图示矩形截面拉杆中间开一深度为ｈ／２的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处 的最大应力的增大倍数有四种答案： （A ）２倍； （B ）４倍； （C ）８倍； （D ）１６倍。 正确答案是＿＿＿＿＿＿。 答案（C ） 1BL107ADB （3） 三种受压杆件如图，设杆１、杆２和杆３中的最大压应力（绝对值）分别用 max1σ、max 2σ和max3σ表示，它们之间的关系有四种答案： 第八章 组合变形及连接部分的计算 习题解 ［习题8-1］ 14号工字钢悬臂梁受力情况如图所示。已知m l 8.0=,kN F 5.21=， kN F 0.12=，试求危险截面上的最大正应力。 解：危险截面在固定端，拉断的危险点在前上角点，压断的危险点在后下角，因钢材的拉压 性能相同,故只计算最大拉应力： 式中，z W ，y W 由14号工字钢,查型钢表得到3 102cm W z =，3 1.16cm W y =.故 MPa Pa m m N m m N 1.79101.79101.168.0100.11010228.0105.2363 63363max =⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=--σ [习题8-2] 受集度为 q 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 030=α，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 GPa E 10=；梁的尺寸为 m l 4=,mm h 160=，mm b 120=；许用应力MPa 12][=σ；许用挠度150/][l w =。试校核梁的强度和刚度. 解：（1)强度校核 )/(732.1866.0230cos 0m kN q q y =⨯== (正y 方向↓） )/(15.0230sin 0m kN q q z =⨯== （负z 方向←） )(464.34732.181 8122m kN l q M y zmaz ⋅=⨯⨯== 出现在跨中截面 )(24181 8122m kN l q M z ymaz ⋅=⨯⨯== 出现在跨中截面 )(51200016012061 61322mm bh W z =⨯⨯== )(3840001201606 1 61322mm hb W y =⨯⨯== 最大拉应力出现在左下角点上： y y z z W M W M max max max + = σ MPa mm mm N mm mm N 974.1138400010251200010464.33 636max =⋅⨯+⋅⨯=σ 因为 MPa 974.11max =σ，MPa 12][=σ，即：][max σσ< 所以 满足正应力强度条件，即不会拉断或压断，亦即强度上是安全的. （2）刚度校核 = 第9章 强度理论及组合变形 概述 如图9-1所示的各种处于复杂应力状态的点，当单元体微分面上的正应力满足正应力强度条件][σσ≤i ，同时切应力满足切应力强度条件][ττ≤ij 时，依然不能判别其在强度上是否 安全。那么它们在什么情况下安全？又在什么情况下危险？本章的强度理论部分就要回答这个问题。 材料力学主要研究杆件以及杆件结构系统在外力作用下的强度，刚度和稳定性问题，而材 料力学最复杂的问题是杆件的组合变形问题，最一般的组合变形杆件危险点的应力状态通常是复杂应力状态，如图9-2所示。因此，本章强度理论的诸多结论主要用于组合变形杆件的强度计算和设计，所以，本章组合变形部分主要研究杆件各种组合变形情况下的强度计算。 9.1 强度理论概念 根据材料力学的强度观点，构件在强度方面的安全性实质上可考察构件中的危险点是否安全，若危险点安全，则整个构件也安全；若危险点不安全，则整个构件就不安全。假设构件中A 点是最危险的点，问题：当A 点处于任意应力状态时，亦即A 点的应力状态可以是简单应力状态，也可以是复杂应力状态，那么该点在什么情况下强度是安全的？又在什么情况下强度是不安全的？如何判断？ 如果A 点的应力状态是简单应力状态，如图9-3所示。那么可以根据强度条件： ][σσ≤ ][ττ≤ （9-1） 判别A 点的安全性。如果危险点是单向应力状态，则σ是A 点处的最大正应力(图9-3(a))；如果危险点是纯剪应力状态，则τ是A 点处的最大切应力(图9-3(b))。从而也就知道杆件在强度上是否安全。 ][σ是材料的许用正应力；][τ是材料的许用切应力。大量事实说明，工程材料的破坏形式 图9-1 复杂应力状态 y σx σz σxy τxz τyx τyz τzx τzy τx σ y σxy τσ τ (a) (b (c) A B F M m 图9-2 组合变形危险点的应力状态 σ τ材料力学组合变形习题
《材料力学》第8章-组合变形及连接部分的计算-习题解
第9章 强度理论及组合变形
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