潮流例题：根据给定的参数或工程具体要求（如图），收集和查阅资料；学习相关软件（软件自选：本设计选择Matlab进行设计）。
2.在给定的电力网络上画出等值电路图。
3.运用计算机进行潮流计算。
4.编写设计说明书。
一、设计原理
1．牛顿-拉夫逊原理
牛顿迭代法是取x0 之后，在这个基础上，找到比x0 更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。电力系统潮流计算，一般来说，各个母线所供负荷的功率是已知的，各个节点电压是未知的（平衡节点外）可以根据网络结构形成节点导纳矩阵，然后由节点导纳矩阵列写功率方程，由于功率方程里功率是已知的，电压的幅值和相角是未知的，这样潮流计算的问题就转化为求解非线性方程组的问题了。为了便于用迭代法解方程组，需要将上述功率方程改写成功率平衡方程，并对功率平衡方程求偏导，得出对应的雅可比矩阵，给未知节点赋电压初值，一般为额定电压，将初值带入功率平衡方程，得到功率不平衡量，这样由功率不平衡量、雅可比矩阵、节点电压不
平衡量（未知的）构成了误差方程，解误差方程，得到节点电压不平衡量，节点电压加上节点电压不平衡量构成新的节点电压初值，将新的初值带入原来的功率平衡方程，并重新形成雅可比矩阵，然后计算新的电压不平衡量，这样不断迭代，不断修正，一般迭代三到五次就能收敛。
牛顿—拉夫逊迭代法的一般步骤：
（1）形成各节点导纳矩阵Y。
（2）设个节点电压的初始值U和相角初始值e 还有迭代次数初值为0。
（3）计算各个节点的功率不平衡量。
（4）根据收敛条件判断是否满足，若不满足则向下进行。
（5）计算雅可比矩阵中的各元素。
（6）修正方程式个节点电压
（7）利用新值自第（3）步开始进入下一次迭代，直至达到精度退出循环。
（8）计算平衡节点输出功率和各线路功率
2．网络节点的优化
１）静态地按最少出线支路数编号
这种方法由称为静态优化法。在编号以前。首先统计电力网络个节点的出线支路数，然后，按出线支路数有少到多的节点顺序编号。当由n 个节点的出线支路相同时，则可以按任意次序对这n 个节点进行编号。这种编号方法的根据是导纳矩阵中，出线支路数最少的节点所对应的行中非零元素也２）动态地按增加出线支路数最少编号在上述的方法中，各节点的出线支路数是按原始网络统计出来的，在编号过程中认为固定不变的，事实上，在节点消去过程中，每消去一个节点以后，与该节点相连的各节点的出线支路数将发生变化(增加，减少或保持不变)。因此，如果每消去一个节点后，立即修正尚未编号节点的出线支路数，然后选其中支路数最少的一个节点进行编号，就可以预期得到更好的效果，动态按最少出线支路数编号方法的特点就是按出线最少原则编号时考虑了消去过程中各节点出线支路数目的变动情况。
3．MATLAB编程应用
Matlab 是“Matrix Laboratory”的缩写，主要包括：一般数值分析，矩阵运算、数字信号处理、建模、系统控制、优化和图形显示等应用程序。由于使用Matlab 编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，所以不像学习高级语言那样难于掌握，而且编程效率和计算效率极高，还可在计算机上直接输出结果和精美的图形拷贝，所以它的确为一高效的科研助手。
二、设计内容
1.设计流程图
2.程序
clear;clc
%重新编号，把原题中的节点1,2,3,4,5重新依次编号为5,1,2,3,4，其中1-4号为PQ节点，5号为平
衡节点
y=0;
%输入原始数据，求节点导纳矩阵
y (1,2)=1/(0.06+0.18i); y (1,3)=1/(0.06+0.18i); y (1,4)=1/(0.04+0.12i);
y(1,5)=1/(0.02+0.06i);
y(2,3)=1/(0.01+0.03i);y(2,5)=1/(0.08+0.24i);
y(3,4)=1/(0.08+0.24i);
y(4,5)=0;
for i=1:5
for j=i:5
y(j,i)=y(i,j);
end
end
Y=0;
%求互导纳
for i=1:5
for j=1:5
if i~=j
Y(i,j)=-y(i,j);
end
end
end
%求自导纳
for i=1:5
Y(i,i)=sum(y(i,:));
end
Y %Y 为导纳矩阵
G=real(Y);
B=imag(Y);
%原始节点功率
S(1)=0.2+0.2i;
S(2)=-0.45-0.15i;
S(3)=-0.4-0.05i;
S(4)=-0.6-0.1i;
S(5)=0;
P=real(S);
Q=imag(S);
%赋初值
U=ones(1,5);U(5)=1.06;
e=zeros(1,5);
ox=ones(8,1);fx=ones(8,1);
count=0 %计算迭代次数
while max(fx)>1e-5
for i=1:4
for j=1:4
H(i,j)=0;N(i,j)=0;M(i,j)=0;L(i,j)=0;oP(i)=0;oQ(i)=0;
end
end
for i=1:4
for j=1:5
oP(i)=oP(i)-U(i)*U(j)*(G(i,j)*cos(e(i)-e(j))+B(i,j)*sin(e(i)-e(j)));
oQ(i)=oQ(i)-U(i)*U(j)*(G(i,j)*sin(e(i)-e(j))-B(i,j)*cos(e(i)-e(j)));
end
oP(i)=oP(i)+P(i); oQ(i)=oQ(i)+Q(i);
end
fx=[oP,oQ]';
%求雅克比矩阵
%当i~=j时候求H,N,M,L 如下：
for i=1:4
for j=1:4
if i~=j H(i,j)=-U(i)*U(j)*(G(i,j)*sin(e(i)-e(j))-B(i,j)*cos(e(i)-e(j)));
N(i,j)=-U(i)*U(j)*(G(i,j)*cos(e(i)-e(j))+B(i,j)*sin(e(i)-e(j)));
L(i,j)=H(i,j);
M(i,j)=-N(i,j);
end
end
end
H,N,M,L
%当i=j 时H,N,M,L如下：
for i=1:4
for j=1:5
if i~=j
H(i,i)=H(i,i)+U(i)*U(j)*(G(i,j)*sin(e(i)-e(j))-B(i, j)*cos (e(i)-e(j))); N(i,i)=N(i,i)-U(i)*U(j)*(G(i, j)*cos(e(i)-e(j))+B(i,j)*sin(e(i)-e(j)));
M(i,i)=M(i,i)-U(i)*U(j)*(G(i,j)*cos(e(i)-e(j))+B(i,j)*sin(e(i)-e(j)));
L(i,i)=L(i,i)-U(i)*U(j)*(G(i,j)*sin(e(i)-e(j))-B(i,j)*cos(e(i)-e(j)));
end
end
N(i,i)=N(i,i)-2*(U(i))^2*G(i,i);
L(i,i)=L(i,i)+2*(U(i))^2*B(i,i);
end
J=[H,N;M,L] %J 为雅克比矩阵
ox=-((inv(J))*fx);
for i=1:4
oe(i)=ox(i); oU(i)=ox(i+4)*U(i);
end
for i=1:4
e(i)=e(i)+oe(i); U(i)=U(i)+oU(i);
end
count=count+1;
end
ox,U,e,count
%求节点注入的净功率
i=5;
for j=1:5
P(i)=U(i)*U(j)*(G(i,j)*cos(e(i)-e(j))+B(i,j)*sin(e(i)-e(j)))+P(i);
Q(i)=U(i)*U(j)*(G(i,j)*sin(e(i)-e(j))-B(i,j)*cos(e(i)-e(j)))+Q(i);
end
S(5)=P(5)+Q(5)*sqrt(-1);
S
%求节点注入电流
I=Y*U'
3.运行结果
Y值：
迭代过程：
电压值：
平衡节点注入功率及电流：
潮流例题：根据给定的参数或工程具体要求（如图），收集和查阅资料；学习相关软件（软件自选：本设计选择Matlab进行设计）。 2.在给定的电力网络上画出等值电路图。 3.运用计算机进行潮流计算。 4.编写设计说明书。 一、设计原理 1．牛顿-拉夫逊原理 牛顿迭代法是取x0 之后，在这个基础上，找到比x0 更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。电力系统潮流计算，一般来说，各个母线所供负荷的功率是已知的，各个节点电压是未知的（平衡节点外）可以根据网络结构形成节点导纳矩阵，然后由节点导纳矩阵列写功率方程，由于功率方程里功率是已知的，电压的幅值和相角是未知的，这样潮流计算的问题就转化为求解非线性方程组的问题了。为了便于用迭代法解方程组，需要将上述功率方程改写成功率平衡方程，并对功率平衡方程求偏导，得出对应的雅可比矩阵，给未知节点赋电压初值，一般为额定电压，将初值带入功率平衡方程，得到功率不平衡量，这样由功率不平衡量、雅可比矩阵、节点电压不平衡量（未知的）构成了误差方程，解误差方程，得到节点电压不平衡量，节点电压加上节点电压不平衡量构成新的节点电压初值，将新的初值带入原来的功率平衡方程，并重新形成雅可比矩阵，然后计算新
的电压不平衡量，这样不断迭代，不断修正，一般迭代三到五次就能收敛。 牛顿—拉夫逊迭代法的一般步骤： （1）形成各节点导纳矩阵Y。 （2）设个节点电压的初始值U和相角初始值e 还有迭代次数初值为0。 （3）计算各个节点的功率不平衡量。 （4）根据收敛条件判断是否满足，若不满足则向下进行。 （5）计算雅可比矩阵中的各元素。 （6）修正方程式个节点电压 （7）利用新值自第（3）步开始进入下一次迭代，直至达到精度退出循环。 （8）计算平衡节点输出功率和各线路功率 2．网络节点的优化 １）静态地按最少出线支路数编号 这种方法由称为静态优化法。在编号以前。首先统计电力网络个节点的出线支路数，然后，按出线支路数有少到多的节点顺序编号。当由n 个节点的出线支路相同时，则可以按任意次序对这n 个节点进行编号。这种编号方法的根据是导纳矩阵中，出线支路数最少的节点所对应的行中非零元素也２）动态地按增加出线支路数最少编号在上述的方法中，各节点的出线支路数是按原始网络统计出来的，在编号过程中认为固定不变的，事实上，在节点消去过程中，每消去一个节点以后，与该节点相连的各节点的出线支路数将发生变化(增加，减少或保持不变)。因此，如果每消去一个节点后，立即修正尚未编号节点的出线支路数，然后选其中支路数最少的一个节点进行编号，就可以预期得到更好的效果，动态按最少出线支路数编号方法的特点就是按出线最少原则编号时考虑了消去过程中各节点出线支路数目的变动情况。 3．MATLAB编程应用 Matlab 是“Matrix Laboratory”的缩写，主要包括：一般数值分析，矩阵运算、数字信号处理、建模、系统控制、优化和图形显示等应用程序。由于使用Matlab 编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，所以不像学习高级语言那样难于掌握，而且编程效率和计算效率极高，还可在计算机上直接输出结果和精美的图形拷贝，所以它的确为一高效的科研助手。 二、设计内容 1.设计流程图
关于电力系统经济调度的潮流计算分析 发表时间：2016-05-24T15:57:29.347Z 来源：《电力设备》2016年第2期作者：秦先威 [导读] （国网山东省电力公司烟台市牟平区供电公司山东烟台 264100）随着经济的快速发展和科技的不断进步，社会各行业对电力资源的需求量越来越大，我国的电力系统建设规模也越来越大。 （国网山东省电力公司烟台市牟平区供电公司山东烟台 264100） 摘要:潮流计算是电力调度中最重要也是最基本的计算之一,它应用于电力系统中实时电价计算、输电权分配、网络阻塞管理等多方面。 关键词:电力系统；经济调度；潮流计算 前言 随着经济的快速发展和科技的不断进步，社会各行业对电力资源的需求量越来越大，我国的电力系统建设规模也越来越大。电力调度对电力系统的正常运行有很大的影响，而潮流计算则是电力调度中最重要的基本计算方法，潮流计算对电价计算、输电分配、电网线路管理有十分重要的影响。随着经济的快速发展，我国的电力企业得到了飞速的发展，与此同时，人们对供电质量的要求也越来越高，为满足人们的用电需求，电力系统在运行过程中，必须保证电力调度的合理性、科学性，潮流计算是电力系统经济调度最重要的计算方法之一，潮流计算的结果准确性很高，科学性很强，潮流计算对电力系统经济调度有十分重要的作用。 一、潮流计算的概述 1.1 潮流计算的概述 潮流计算是指利用已知的电网接线方式、参数、运行条件，将电力系统的各个母线电压、支路电流、功率、网损计算出来。通过潮流计算能判断出正在运行的电力系统的母线电压、支路电流、功率是否在允许范围内运行，如果超出允许范围，就需要采用合理的措施，对电力系统的进行方式进行调整。在电力系统规划过程中，采用潮流计算，能为电网供电方案、电气设备的选择提供科学的依据，同时潮流计算还能为自动装置定整计算、继电保护、电力系统稳定计算、故障计算提供原始数据。 1.2 潮流计算的电气量 潮流计算是根据电力系统接线方式、运行条件、参数等已知条件，将稳定状态下电力系统的电气量计算出来。一般情况下，给出的条件有电源、负荷节点的功率、平衡节点的电压、相位角、枢纽点的电压，需要计算的电气量有各节点的电压、相位角、各支路通过的电流、功率、网络的功率损耗等。 1.3 传统的潮流计算方法 传统的潮流计算方法，包括很多不同的内容，具有一定的优点和缺点。例如，传统的潮流计算方法，包括非线性规划法、二次规划法和线性规划法等。在电力系统经济调度的过程中，应用传统的潮流计算方法，优点是：可以根据目标函数的导数信息，确定需要进行搜索的方向，因此在计算的时候，具有较快的速度和清晰的计算过程。而且，可信度比较高。 1.5 智能的潮流计算方法 潮流计算中人工智能方法的优点是：随机性：属于全局优化算法，跳出局部极值点比较容易；与导数无关性：在工程中，一些优化问题的目标函数处于不可导状态。如果进行近似和假设，会对求解的真实性造成影响；内在并行性：操作对象为一组可行解，在一定程度上可以克服内在并发性开放中性能的不足。而其缺点，主要是：需要按照概率进行操作，不能保证可以完全获取最优解；算法中的一些控制参数需要根据经验人文地给出，对专家经验和一定量的试验要求比较高；表现不稳定，在同一问题的不同实例中应用算法会出现不同的效果。 二、潮流计算的分类 根据电力系统的运行状态，潮流计算可以分为离线计算和在线计算两种方法，离线计算主要用于电力系统规划设计和电力系统运行方式安排中；在线计算主要用于电力系统运行监控和控制中；根据潮流计算的发展，潮流计算可以分为传统方法和人工智能方法两种情况，下面分别对这两种方法进行分析。 2.1 潮流计算的传统方法 潮流计算的传统方法有非线性规划法、线性规划法、二次规划法等几种情况，潮流计算的传统方法具有计算速度快、解析过程清晰、结果真实可靠等优点，但传统方法对目标函数有一定的限制，需要简化处理，这样求出来的值有可能不是最优值。 2.2 潮流计算的人工智能方法 潮流计算的人工智能方法是一种新兴的方法，人工智能方法不会过于依赖精确的数学模型，它有粒子群优化算法、遗传法、模拟退火法等几种情况，人工智能方法的计算结果和导数没有关系，其操作对象是一组可行解，能克服内在并行性存在的问题，但人工智能方法表现不太稳定，在计算过程中，有的控制参数需要根据经验得出，因此，采用人工智能方法进行计算时，需要计算人员有丰富的经验。 三、潮流计算在电力系统经济调度中的应用 3.1 在输电线路线损计算的应用 在进行输电线路线损计算过程中，通过潮流计算能得出经济潮流数据。潮流程度能根据线路的功率因数、有功负荷、无功负荷等参数，计算出潮流线损，例如一条长为38.1km，型号为LGJ—150的导线，当潮流为20MW、功率因数为0.9时，该线路线损为0.24MW，线损率为1.18%；当潮流为30MW、功率因数为0.9时，该线路线损为0.57MW，线损率为1.91%；潮流为50MW、功率因数为0.9时，该线路线损为1.95MW，线损率为3.90%；由此可以看出，潮流小于30MW时，线损率小于2%，潮流超过50MW时，线损率将超过4%，因此，该输电线路的经济输送潮流为30MW以下。调度人员可以根据计算结果，编制线路经济运行方案，从而实现节能调度。 3.2 在变压器变损中的应用 调度人员可以利用潮流计算程序，将变压器在不同负荷下的损耗、变损率计算出来，从而为变压器控制提供依据。例如一台40MVA双
G(5,5)=6.250;B(5,5)=-18.750;G(5,2)=-5.00;B(5,2)=15.000; G(5,3)=-1.250;B(5,3)=3.750;G(5,4)=0;B(5,4)=0; G(5,1)=0;B(5,1)=0; G(2,5)=-5.00;B(2,5)=15.000;G(2,2)=10.834;B(2,2)=-32.500;G(2,3)=-1.677;B(2,3)=5.00; G(2,4)=-1.667;B(2,4)=5.00;G(2,1)=-2.500;B(2,1)=7.500; G(3,5)=-1.250;B(3,5)=3.750;G(3,2)=-1.667;B(3,2)=5.00;G(3,3)=12.917;B(3,3)=-38.750; G(3,4)=-10.000;B(3,4)=30.000;G(3,1)=0;B(3,1)=0; G(4,5)=0;B(4,5)=0;G(4,2)=-1.667;B(4,2)=5.000;G(4,3)=-10.000;B(4,3)=30.000; G(4,4)=12.917;B(4,4)=-38.750;G(4,1)=-1.250;B(4,1)=3.750; G(1,5)=0;B(1,5)=0;G(1,2)=-2.500;B(1,2)=7.500;G(1,3)=0;B(1,3)=0; G(1,4)=-1.250;B(1,4)=3.750;G(1,1)=3.750;B(1,1)=-11.250; Y=G+j*B delt(1)=0; delt(2)=0; delt(3)=0; delt(4)=0; u(1)=1.0; u(2)=1.0; u(3)=1.0; u(4)=1.0; ps(2)=0.2;qs(2)=0.20;ps(3)=-0.45;qs(3)=-0.15; ps(4)=-0.4;qs(4)=-0.05; ps(1)=-0.6;qs(1)=-0.1; k=1;precision=1; N1=4; while precision>0.0001 delt(5)=0;u(5)=1.06; for m=1:N1 for n=1:N1+1 pt(n)=u(m)*u(n)*(G(m,n)*cos(delt(m)-delt(n))+B(m,n)*sin(delt(m)-delt(n))); qt(n)=u(m)*u(n)*(G(m,n)*sin(delt(m)-delt(n))-B(m,n)*cos(delt(m)-delt(n))); end pi(m)=sum(pt);qi(m)=sum(qt); dp(m)=ps(m)-pi(m); dq(m)=qs(m)-qi(m); end for m=1:N1 for n=1:N1 if m==n H(m,m)=-qi(m)-u(m)^2*B(m,m); N(m,m)=pi(m)+u(m)^2*G(m,m); J(m,m)=pi(m)-u(m)^2*G(m,m); L(m,m)=qi(m)-u(m)^2*B(m,m); JJ(2*m-1,2*m-1)=H(m,m); JJ(2*m-1,2*m)=N(m,m); JJ(2*m,2*m-1)=J(m,m); JJ(2*m,2*m)=L(m,m); else H(m,n)=u(m)*u(n)*(G(m,n)*sin(delt(m)-delt(n))-B(m,n)*cos(delt(m)-delt(n))); J(m,n)=-u(m)*u(n)*(G(m,n)*cos(delt(m)-delt(n))+B(m,n)*sin(delt(m)-delt(n))); N(m,n)=-J(m,n);L(m,n)=H(m,n); JJ(2*m-1,2*n-1)=H(m,n);JJ(2*m-1,2*n)=N(m,n); JJ(2*m,2*n-1)=J(m,n); JJ(2*m,2*n)=L(m,n); end
电力系统的潮流计算 西安交通大学自动化学院 2012.10 3．1 电网结构如图3—11所示，其额定电压为10KV 。已知各节点的负荷功率及参数： MVA j S )2.03.0(2 +=， MVA j S )3.05.0(3+=， MVA j S )15.02.0(4+= Ω+=)4.22.1(12j Z ，Ω+=)0.20.1(23j Z ，Ω+=)0.35.1(24j Z 试求电压和功率分布。 解：（1）先假设各节点电压均为额定电压，求线路始端功率。 0068.00034.0)21(103.05.0)(2 2223232232323j j jX R V Q P S N +=++=++=?0019.00009.0)35.1(10 15.02.0)(2 2 224242242424j j jX R V Q P S N +=++=++=?
则： 3068.05034.023323j S S S +=?+= 1519.02009.024424j S S S +=?+= 6587.00043.122423' 12 j S S S S +=++= 又 0346 .00173.0)4.22.1(106587.00043.1)(2 2 212122'12'1212j j jX R V Q P S N +=++=++=? 故： 6933.00216.112'1212 j S S S +=?+= （2） 再用已知的线路始端电压kV V 5.101 =及上述求得的线路始端功率 12 S ，求出线 路 各 点 电 压 。
kV V X Q R P V 2752.05 .104.26933.02.10216.1)(11212121212=?+?=+=? kV V V V 2248.101212=?-≈ kV V V V kV V X Q R P V 1508.100740.0) (24242 2424242424=?-≈?=+=? kV V V V kV V X Q R P V 1156.101092.0) (23232 2323232323=?-≈?=+=? （3）根据上述求得的线路各点电压，重新计算各线路的功率损耗和线路始端功率。 0066.00033.0)21(12.103.05.02 2 223j j S +=++=? 0018.00009.0)35.1(15 .1015.02.02 2 224j j S +=++=? 故 3066.05033.023323j S S S +=?+= 1518.02009.024424j S S S +=?+= 则 6584.00042.122423' 12 j S S S S +=++= 又 0331.00166.0)4.22.1(22 .106584.00042.12 2 212j j S +=++=? 从而可得线路始端功率 6915.00208.112 j S +=
clear; %各节点参数：节点编号，类型，电压幅值，电压相位，注入有功，注入无功%类型：1＝PQ节点，2＝PV节点，3＝平衡节点 %本程序中将最后一个节点设为平衡节点 R_1=[1 1 1.0 0 0.2 0.2j; 2 1 1.0 0 -0.45 -0.15j; 3 1 1.0 0 -0.45 -0.05j; 4 1 1.0 0 -0.6 -0.1j; 5 3 1.0 0 0 0]; %支路号首端节点末端节点支路导纳 R_2=[1 5 2 1.25-3.75j; 2 2 3 10.00-30.00j; 3 3 4 1.25-3.75j; 4 1 4 2.50-7.50j; 5 1 5 5.00-15.00j; 6 1 2 1.667-5.00j]; n=5;L=6;%需要改变的到此为止 i=0;j=0;a=0;precision=1;k=0; Y=zeros(n,n);u=zeros(1,n);delt=zeros(1,n);P=zeros(1,n);Q=zeros(1,n); G=[];B=[];PP=[];uu=[];U=[];dp=[];dq=[]; for a=1:L i=R_2(a,2); j=R_2(a,3); Y(i,j)=-R_2(a,4); Y(j,i)=Y(i,j); end for a=1:n for b=1:n if a~=b Y(a,a)=Y(a,a)+Y(a,b); end end end for i=1:n for j=1:n if i==j Y(i,j)=-Y(i,j); end end end Y %形成导纳矩阵 for i=1:n for j=1:n G(i,j)=real(Y(i,j));
1.节能效果好，环境负面影响小 2.可以提高供电的安全性和可靠性 3.调峰性能好 4.服务多样化 5.可以满足特殊场合的需才 6.节省投资，经济效益好 在传统集中式供电模式中，功率从高电压等级的电源侧传送到低电压等级的用户侧， 配电系统是单端供电。分布式发电的引入，将改变传统配电网络拓扑，使得潮流特性发生变化，此外接入电网的电气元件和用户侧的电压也将产生变化，给系统的稳定性可能造成很大影响。分布式发电并网会产生两个方面的问题:一是并网系统本身的结构和性能;另 一个是分布式发电并网后对电力系统运行、控制、保护等各方面产生的影响。 <1)对配电系统负荷预测和规划的影响。在传统配电系统引入分布式发电加大了电 力系统负荷预测的不确定性，使配电系统规划者难于准确预测负荷增长情况，从而影响配电系统的规划设计。另外，在配电系统引入分布式发电，对降低网损起到很大作用。但是配电系统本身节点数非常多，分布式发电节点的出现，使得在所有可能网络结构中寻找分布式发电的最优网络布置方案更加困难。 (2)对继电保护的影响。分布式发电接入配电网后短路电流将会增大，加之整个配 电网变成多电源的网络，网络潮流的流向具有不确定性，而传统系统的潮流是从电源到拜户单向流动，故保护系统的设计基础应该发生相应的变化。 C3)对系统可靠性的影响。若分布式发电仅作为备用电源，则可提高系统供电的可 靠性;若分布式发电与电网并联运行，就有可能降低系统的可靠性。分布式发电接入配网，改变了电网拓扑结构，使得短路电流发生变化，导致按原有设计的保护装置误动作，破坏保护设备间的协调运行，妨碍了自动重合闸动作。 t4)对系统电能质量的影响。比如引起电压闪烁，还可能引入谐波，造成谐波污染; (5)对系统稳定性的影响。配电系统中引入少量的分布式发电对整个电网不会构成 太大的影响，但是当电网中存在较多的分布式发电单元或者存在大容量的分布式发电单元时，分布式发电的引入将会带来系统稳定问题。 t6)对电力市场走向和最后格局将产生深远影响。电力公司和用户间将形成新型关系，用户不仅可以从电力公司买电，也可用自己的分布式发电向其卖电或为其提供有偿削峰、紧急功率支持等服务，分布式发电也为其它行业(如天然气公司)进入市场打开了方 便之门，因此未来电力市场的竞争将更加激烈。 近年来，随着分布式发电技术的兴起，有许多小型的水电站、热电联产电厂、风电场 直接连接到配电系统，辐射式的网络将变为一遍布电源和用户互联的网络，潮流也不一定单向地从变电站母线流向各负荷，有可能会出现回流和复杂的电压变化，同时可能增大或减小系统损耗，这取决于分布式发电的位置、与负荷量的相对大小以及网络的拓扑结构等因素y o}，给潮流分析带来了影响。另外，如果配电网中含有风力发电或太阳能光伏发电系统，由于它们的输出受天气的影响很大，具有随机变化的特性。上述负荷的变化、风电和光伏电池输出的变化可能会在配电网中交替出现，使系统的潮流具有随机性分布式发电的定义 目前，国际上对于分布式发电并没有一个统一的规范化定义，但基本概念是一致的。 相对于传统集中式发电而言，分布式发电是指分布安置在需求侧的能源梯级综合利用，其 容量很小(大多在几十KW一几十MW之间)。通过在需求现场根据用户对能源的不同
潮流计算的基本算法及使用方法 一、 潮流计算的基本算法 1. 牛顿－拉夫逊法 1．1 概述 牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。这种方法的特点就是把对非线 性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。 牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏 导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。 1．2 一般概念 对于非线性代数方程组 ()0=x f 即 ()0,,,21=n i x x x f Λ ()n i Λ,2,1= (1－1) 在待求量x 的某一个初始计算值() 0x 附件，将上式展开泰勒级数并略去二阶及以上的高 阶项，得到如下的线性化的方程组 ()()()() ()0000=?'+x x f x f (1－2) 上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量 ()() ()[]()()0 1 00x f x f x -'-=? (1－3) 将() 0x ?和() 0x 相加，得到变量的第一次改进值()1x 。接着再从() 1x 出发，重复上述计算 过程。因此从一定的初值() 0x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为 ()()()()() k k k x f x x f -=?' (1－4) ()()()k k k x x x ?+=+1 (1－5) 上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代
随机潮流研究现状 摘要：随机潮流可用于分析线路潮流、节点电压的概率分布、期望值、方差和极限值，以期对整个电网在各种运行条件下的性能有一个全面、综合的评价，并对电网存在的薄弱环节做出量化分析，这些信息对规划和调度部门的决策极具参考价值，因而广泛应用于中长期电网规划和短期运行规划、状态估计及量测点布置、输电系统输送容量和无功规划等。在电力市场环境下，由于发电竞价上网、输电转运等因素，潮流分布的不确定性增大，随机潮流计算将成为日常和必备的分析工具。分布式发电的出现也使电力系统的负荷预测、规划和运行与过去相比有更大的不确定性。由于大量的用户会安装分布式发电为其提供电能，使得配电网规划人员更加难于准确预测负荷的增长情况，从而影响后续的规划。电力系统的随机潮流计算的研究对于整个电网运行与规划都具有重要意义。 关键词：电力系统；随机潮流；潮流计算方法；随机潮流现状
1. 电力系统随机潮流计算的产生 1.1 随机潮流研究背景 潮流计算主要目的是对电力系统中节点电压分布和支路功率分布进行计算，计算得到的结果能够为指挥电网运行、选择导线截面积和输变电设备、检验和确定网络拓扑结构等提供依据，因此它是电力系统中最重要最基本的计算。目前大部分的潮流计算是确定性的计算，也就是说它只能针对网络结构、节点注入量以及部分节点电压和变压器变比均为已知的确定的值,这种确定的运行方式来计算各节点电压和支路潮流以及其它待求量。但是在实际的电力系统中存在着许多的随机因素，这就使得网络结构和节点注入量等都具有一定的随机性。在这种情况下，如果仍然使用确定性的潮流计算就需要对系统众可能发生的情况分别进行统计与分析研究。容易看出，想要把所有可能发生的情况都做相应的计算不现实也没有必要，即便如此，不仅计算量相当大，计算的结果也不一定能够令人满意。目前电网中大量不确定因素主要有： （1）在实际运行环境中，当前系统运行状态是通过仪表测到的值来描述的，在使用仪表量测过程中难免有量测误差的存在； （2）在电网设计和规划过程中，要规划设计若干年以后的电源和电网的发展，因此系统负荷预测值不可能很准确；系统负荷也不再是一个通常意义下的已知的确定的量，而是一个随机变量。 （3）从严格意义上说，有时也需要将发电机输出功率作为一个随机变量来处理，因为发电机也不是百分之百可靠的，也会出现因故障而退出运行的可能性。 （4）网络中的线路和变压器等输电设备并不是完全可靠地，它们的随机故障导致系统运行方式发生变化，因此网络拓扑结构并不确定。（5）近年来随着国家能源结构的调整，可再生性的清洁能源得到了重视并在电力系统中所占的比例不断地增加。由于很多新能源发电的有功出力受自然天气条件的影响很大而具有随机性、间歇性和不可调度性的缺点。它们的接入给电网带来随机性的扰动，对电网的影响也日益突出。（6）电力用户中，尤其是工业用户，对电价的变化十分敏感。他们的工作进度可能安排在合适的电价下，例如，在远离高峰负荷的时间里安排工作生产时间。由于这种调整用电时间的行为，使电力系统规划运行
电 力 系 统 三 种 潮 流 计 算 方 法 的 比 较 一、高斯 -赛德尔迭代法： 以导纳矩阵为基础， 并应用高斯 -- 塞德尔迭代的算法是在电力系统中最早得到应用的潮流计算方法，目前高斯一塞德尔法已很少使用。 将所求方程 f ( x ) 0 改写为 x ( x ) 不能直接得出方程的根，给一个猜测值 x 0 得 x 1( x 0 ) 又可取 x1 为猜测值，进一步得： x 2 ( x 1 ) 反复猜测 x k 1 迭代 则方程的根 ( x k ) 优点： 1. 原理简单，程序设计十分容易。 2. 导纳矩阵是一个对称且高度稀疏的矩阵，因此占用内存非常节省。 3. 就每次迭代所需的计算量而言，是各种潮流算法中最小的，并且和网络所包 含的节点数成正比关系。 缺点： 1. 收敛速度很慢。 2. 对病态条件系统，计算往往会发生收敛困难：如节点间相位角差很大的重负 荷系统、包含有负电抗支路 (如某些三绕组变压器或线路串联电容等 )的系统、具有较长的辐射形线路的系统、长线路与短线路接在同一节点上，而且长短 线路的长度比值又很大的系统。 3. 平衡节点所在位置的不同选择，也会影响到收敛性能。 二、牛顿 -拉夫逊法： 求解 f ( x ) 0 设 x x 0 x ，则 按牛顿二项式展开： 当 △x 不大，则取线性化（仅取一次项） 则可得修正量 对 得： 作变量修正： x k 1x k x k ，求解修正方程 20 世纪 牛顿法是数学中求解非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。自从 60 年代中期采用了最佳顺序消去法以后，牛顿法在收敛性、内存要求、计算速度方面都超过了其他方法，成为直到目前仍被广泛采用的方法。 优点： 1. 收敛速度快，若选择到一个较好的初值，算法将具有平方收敛特性，一般迭 代 4—5 次便可以收敛到一个非常精确的解。而且其迭代次数与所计算网络的规模基本无关。 2. 具有良好的收敛可靠性， 对于前面提到的对以节点导纳矩阵为基础的高斯一 塞德尔法呈病态的系统，牛顿法均能可靠地收敛。 3. 牛顿法所需的内存量及每次迭代所需时间均较前述的高斯一塞德尔法为多， 并与程序设计技巧有密切关系。 缺点：
%*************************电力系统直角坐标系下的牛顿拉夫逊法潮流计算********** clear clc load E:\data\IEEE014_Node.txt Node=IEEE014_Node; weishu=size(Node); nnum=weishu(1,1); %节点总数 load E:\data\IEEE014_Branch.txt branch=IEEE014_Branch; bwei=size(branch); bnum=bwei(1,1); %支路总数 Y=(zeros(nnum)); Sj=100; %********************************节点导纳矩阵******************************* for m=1:bnum; s=branch(m,1); %首节点 e=branch(m,2); %末节点 R=branch(m,3); %支路电阻 X=branch(m,4); %支路电抗 B=branch(m,5); %支路对地电纳 k=branch(m,6); if k==0 %无变压器支路情形 Y(s,e)=-1/(R+j*X); %互导纳 Y(e,s)=Y(s,e); end if k~=0 %有变压器支路情形 Y(s,e)=-(1/((R+j*X)*k)); Y(e,s)=Y(s,e); Y(s,s)=-(1-k)/((R+j*X)*k^2); Y(e,e)=-(k-1)/((R+j*X)*k); %对地导纳 end Y(s,s)=Y(s,s)-j*B/2; Y(e,e)=Y(e,e)-j*B/2; %自导纳的计算情形 end for t=1:nnum; Y(t,t)=-sum(Y(t,:))+Node(t,12)+j*Node(t,13); %求支路自导纳 end G=real(Y); %电导 B=imag(Y); %电纳 %******************节点分类************************************* * pq=0; pv=0; blancenode=0; pqnode=zeros(1,nnum); pvnode=zeros(1,nnum); for m=1:nnum; if Node(m,2)==3 blancenode=m; %平衡节点编号 else if Node(m,2)==0 pq=pq+1; pqnode(1,pq)=m; %PQ 节点编号 else if Node(m,2)==2 pv=pv+1; pvnode(1,pv)=m; %PV 节点编号 end end end end %*****************************设置电压初值********************************** Uoriginal=zeros(1,nnum); %对各节点电压矩阵初始化 for n=1:nnum Uoriginal(1,n)=Node(n,9); %对各点电压赋初值 if Node(n,9)==0;
由于本人参加我们电气学院的电气小课堂，主讲的是计算机算法计算潮流这章，所以潜心玩了一个星期，下面整理给大家分享下。 本人一个星期以来的汗水，弄清楚了计算机算法计算潮流的基础，如果有什么不懂的可以发信息到邮箱：zenghao616@https://www.doczj.com/doc/7d4517962.html, 接下来开始弄潮流的优化问题，吼吼！ 电力系统的潮流计算的计算机算法：以MATLAB为环境 这里理论不做过多介绍，推荐一本专门讲解电力系统分析的计算机算法的书籍---------《电力系统分析的计算机算法》—邱晓燕、刘天琪编著。 这里以这本书上的例题【2-1】说明计算机算法计算的过程，分别是牛顿拉弗逊算法的直角坐标和极坐标算法、P-Q分解算法。主要是简单的网络的潮流计算，其实简单网络计算和大型网络计算并无本质区别，代码里面只需要修改循环迭代的N即可，这里旨在弄清计算机算法计算潮流的本质。代码均有详细的注释. 其中简单的高斯赛德尔迭代法是以我们的电稳教材为例子讲，其实都差不多，只要把导纳矩阵Y 给你，节点的编号和分类给你，就可以进行计算了，不必要找到原始的电气接线图。 理论不多说，直接上代码： 简单的高斯赛德尔迭代法： 这里我们只是迭代算出各个节点的电压值，支路功率并没有计算。 S_ij=P_ij+Q_ij=V_i(V_i* -V_j*) * y_ij* 可以计算出各个线路的功率 在显示最终电压幅角的时候注意在MATLAB里面默认的是弧度的形式，需要转化成角度显示。clear;clc; %电稳书Page 102 例题3-5 %计算网络的潮流分布 --- 高斯-赛德尔算法 %其中节点1是平衡节点 %节点2、3是PV节点，其余是PQ节点 % 如果节点有对地导纳支路 %需将对地导纳支路算到自导纳里面 %------------------------------------------------% %输入原始数据，每条支路的导纳数值，包括自导和互导纳； y=zeros(5,5); y(1,2)=1/(0.0194+0.0592*1i); y(1,5)=1/(0.054+0.223*1i); y(2,3)=1/(0.04699+0.198*1i); y(2,4)=1/(0.0581+0.1763*1i); 由于电路网络的互易性，导纳矩阵为对称的矩阵%． for i=1:1:5 for j=1:1:5
电力系统分析潮流计算程序设计报告题目：13节点配电网潮流计算 学院电气工程学院 专业班级 学生姓名 学号 班内序号 指导教师房大中 提交日期 2015年05月04日
目录 一、程序设计目的 (2) 二、程序设计要求 (4) 三、13节点配网潮流计算 (4) 3.1主要流程................................................................................................ 错误！未定义书签。 3.1.1第一步的前推公式如下（1-1）-（1-5）： .................................. 错误！未定义书签。 3.1.2第二步的回代公式如下（1-6）—（1-9）： ................................ 错误！未定义书签。 3.2配网前推后代潮流计算的原理 (7) 3.3配网前推后代潮流计算迭代过程 (8) 3.3计算原理 (9) 四、计算框图流程 (10) 五、确定前推回代支路次序....................................................................................... 错误！未定义书签。 六、前推回代计算输入文件 (11) 主程序： (11) 输入文件清单： (12) 计算结果： (13) 数据分析： (13) 七、配电网潮流计算的要点 (14) 八、自我总结 (14) 九、参考文献 (15) 附录一 MATLAB的简介 (15)
潮流计算的基本算法及使用方法 一、 欧阳光明（2021.03.07） 二、 潮流计算的基本算法 1. 牛顿－拉夫逊法 1．1 概述 牛顿－拉夫逊法是目前求解非线性方程最好的一种方法。这种方法的特点就是把对非线性方程的求解过程变成反复对相应的线性方程求解的过程，通常称为逐次线性化过程，就是牛顿－拉夫逊法的核心。 牛顿-拉夫逊法的基本原理是在解的某一邻域内的某一初始点出发，沿着该点的一阶偏导数——雅可比矩阵，朝减小方程的残差的方向前进一步，在新的点上再计算残差和雅可矩阵继续前进，重复这一过程直到残差达到收敛标准，即得到了非线性方程组的解。因为越靠近解，偏导数的方向越准，收敛速度也越快，所以牛顿法具有二阶收敛特性。而所谓“某一邻域”是指雅可比方向均指向解的范围，否则可能走向非线性函数的其它极值点，一般来说潮流由平电压即各母线电压(相角为0，幅值为1)启动即在此邻域内。 1．2一般概念 对于非线性代数方程组 即 ()0,,,21=n i x x x f ()n i ,2,1= (1－1) 在待求量x 的某一个初始计算值()0x 附件，将上式展开泰勒级数并
略去二阶及以上的高阶项，得到如下的线性化的方程组 ()()()() ()0000=?'+x x f x f (1－2) 上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量 ()() ()[]()()0 1 00x f x f x -'-=? (1－3) 将()0x ?和()0x 相加，得到变量的第一次改进值()1x 。接着再从()1x 出 发，重复上述计算过程。因此从一定的初值()0x 出发，应用牛顿法求解的迭代格式为 ()()()() ()k k k x f x x f -=?' (1－4) ()()()k k k x x x ?+=+1 (1－5) 上两式中：()x f '是函数()x f 对于变量x 的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J ；k 为迭代次数。 由式（1－4）和式子（1－5）可见，牛顿法的核心便是反复形成 求解修正方程式。牛顿法当初始估计值()0x 和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快，具有平方收敛特性。 1．3潮流计算的修正方程 运用牛顿－拉夫逊法计算潮流分布时，首先要找出描述电力系统的非线性方程。这里仍从节点电压方程入手，设电力系统导纳矩阵已知，则系统中某节点（i 节点）电压方程为 从而得 ∑=* *? ?=n j j ij i i U Y U S 1 进而有 ()01 =-+* =* ? ∑j n j ij i i i U Y U jQ P （1 －6）
潮流计算数学模型与数值方法 1. 什么是潮流计算？潮流计算的主要作用有哪些？ 潮流计算，电力学名词，指在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参量条件下，计算有功功率、无功功率及电压在电力网中的分布。 潮流计算是电力系统非常重要的分析计算，用以研究系统规划和运行中提出的各种问题。对规划中的电力系统，通过潮流计算可以检验所提出的电力系统规划方案能否满足各种运行方式的要求；对运行中的电力系统，通过潮流计算可以预知各种负荷变化和网络结构的改变会不会危及系统的安全，系统中所有母线的电压是否在允许的范围以内，系统中各种元件(线路、变压器等)是否会出现过负荷，以及可能出现过负荷时应事先采取哪些预防措施等。 2. 潮流计算有哪些待求量、已知量？ （已知量：1、电力系统网络结构、参数 2、决定系统运行状态的边界条件 待求量：系统稳态运行状态 例如各母线上的电压（幅值及相角）、网络中的功率分布以及功率损耗等） 3. 潮流计算节点分成哪几类？分类根据是什么？ （分成三类：PQ 节点、PV 节点和平衡节点，分类依据是给定变量的不同） 4. 教材牛顿-拉夫逊法及有功-无功分解法是基于何种电路方程？可否采用其它类型方程？ 答:基于节点电压方程，还可以采用回路电流方程和割集电压方程等。但是后两者不常用。 5. 教材牛顿-拉夫逊法是基于节点阻抗方程、还是基于节点导纳方程进行迭代计算的？试阐述这两种方程的优点与缺点。 1.不能由等值电路直接求出 2.满秩矩阵内存量大 3.对角占优矩阵。。 节点导纳矩阵的特点：1.直观容易形成2.对称阵3.稀疏矩阵（零元素多）：每一行的零元素个数=该节点直接连出的支路数。 6. 说出至少两种建立节点导纳矩阵的方法，阐述其中一种方法的原理与过程。 方法：1.根据自导纳和互导纳的定义直接求取2.运用一节点关联矩阵计算3.阻抗矩阵的逆矩阵 节点导纳矩阵的形成：1.对角线元素ii Y 的求解)1,,0(=≠==i j I i ii U i j U U I Y 【除i 外的其他节点接地，0=j U ，只在i 节点加单位电压值】解析ii Y 等于与i 节点直接相连的的所有支路导纳和2.互导纳),0,1(j k U U U I Y k j j i ij ≠===，ji ij Y Y =（无源网络导纳之间是对称的）解析：ij Y 等于j i ,节点之间直接相连的支路导纳的负值。 7. 潮流计算需要考虑哪些约束条件？ 答: 为了保证系统的正常运行必须满足以下的约束条件：
最大负荷时 %本程序的功能是用牛顿——拉夫逊法进行潮流计算 % B1矩阵：1、支路首端号；2、末端号；3、支路阻抗；4、支路对地电纳 % 5、支路的变比；6、支路首端处于K侧为1，1侧为0 % B2矩阵：1、该节点发电机功率；2、该节点负荷功率；3、节点电压初始值% 4、PV节点电压V的给定值；5、节点所接的无功补偿设备的容量 % 6、节点分类标号 clear; n=12;%input('请输入节点数：n='); nl=14;%input('请输入支路数：nl='); isb=1;%input('请输入平衡母线节点号：isb='); pr=0.00001;%input('请输入误差精度：pr='); B1=[1 2 3.3+11.48i 0 1 0; 1 4 3.87+15.375i 0 1 0; 1 6 5.8+18.8i 0 1 0; 2 3 2.39+34.95i 0 1.02 1; 4 5 1.59+23.3i 0 1.02 1; 2 4 4.67+18.34i 0 1 0; 6 7 2.39+24.35i 0 1.02 1; 8 9 2.39+24.35i 0 1.02 1; 10 11 2.39+24.35i 0 1.02 1; 8 10 1.7+11.2i 0 1 0; 4 12 4.2+13.9i 0 1 0; 6 12 4.2+14.64i 0 1 0; 8 12 2.2+13.9i 0 1 0; 10 12 2.4+15.2i 0 1 0]; %input('请输入由支路参数形成的矩阵： B1='); B2=[0 0 231 231 0 1; 0 0 220 0 0 2; 0 100+75i 220 0 0 2; 0 0 220 0 0 2; 0 100+75i 220 0 0 2; 0 0 220 0 0 2; 0 150+112.5i 220 0 0 2; 0 0 220 0 0 2; 0 150+112.5i 220 0 0 2; 0 0 220 0 0 2; 0 150+112.5i 220 0 0 2; 450 0 231 231 0 3];%input('请输入各节点参数形成的矩阵： B2='); Y=zeros(n);e=zeros(1,n);f=zeros(1,n);V=zeros(1,n);sida=zeros(1,n);S1= zeros(nl); %－－－－－－－修改部分－－－－－－－－－－－－ ym=1;
第一章 简单电力系统的分析和计算 一、 基本要求 掌握电力线路中的电压降落和功率损耗的计算、变压器中的电压降落和功率损耗的计 算；掌握辐射形网络的潮流分布计算；掌握简单环形网络的潮流分布计算；了解电力网络的简化。 二、 重点内容 1、电力线路中的电压降落和功率损耗 图3-1中，设线路末端电压为2U 、末端功率为222~jQ P S +=，则 （1）计算电力线路中的功率损耗 ① 线路末端导纳支路的功率损耗： 222 2* 222~U B j U Y S Y -=?? ? ??=? ……………（3-1） 则阻抗支路末端的功率为： 222~~~Y S S S ?+=' ② 线路阻抗支路中的功率损耗： ()jX R U Q P Z I S Z +'+'==?2 2 22222 ~ ……（3-2） 则阻抗支路始端的功率为： Z S S S ~ ~~21?+'=' ③ 线路始端导纳支路的功率损耗： 2121* 122~U B j U Y S Y -=?? ? ??=? …………（3-3） 则线路始端的功率为： 111~ ~~Y S S S ?+'= ~~~图3-3 变压器的电压和功率 ~2 ? U （2）计算电力线路中的电压降落 选取2U 为参考向量，如图3-2。线路始端电压 U j U U U δ+?+=2 1 其中 2 2 2U X Q R P U '+'= ? ； 222U R Q X P U '-'=δ ……………（3-4） 则线路始端电压的大小： ()()2 221U U U U δ+?+= ………………（3-5） 一般可采用近似计算： 2 2 2221U X Q R P U U U U '+'+ =?+≈ ………………（3-6）