《中子输运理论与数值方法》课程作业
——蒙特卡洛方法
目录
1. 前言 (3)
2. 蒙特卡洛方法概述 (3)
2.1 蒙特卡洛方法的基本思想 (4)
2.2 蒙特卡洛方法的收敛性、误差 (4)
2.2.1 蒙特卡洛方法的收敛性 (4)
2.2.2 蒙特卡洛方法的误差 (5)
2.3 蒙特卡洛方法的特点 (6)
2.4 蒙特卡洛方法的主要应用范围 (7)
3. 随机数 (7)
3.1 线性乘同余方法 (9)
3.2 伪随机数序列的均匀性和独立性 (9)
3.2.1 伪随机数的均匀性 (9)
3.2.2 伪随机数的独立性 (10)
4. 蒙特卡洛方法在粒子输运上的应用 (10)
4.1 屏蔽问题模型 (10)
4.2 直接模拟方法 (11)
4.2.1 状态参数与状态序列 (11)
4.2.2 模拟运动过程 (12)
4.2.3 记录结果 (15)
4.3 蒙特卡洛方法的效率 (16)
5. 蒙特卡洛方法应用程序—MCNP (17)
5.1 MCNP简述 (17)
5.2 MCNP误差的估计 (18)
5.3 MCNP效率因素 (19)
6. 结论 (19)
参考文献 (20)
1.前言
半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡洛(Monte Carlo)方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。蒙特卡洛模拟计算是解决中子在介质中输运较为成熟、有效的方法，对于原子能、辐射防护、剂量学和辐射生物物理学等研究领域实际问题的计算，都可以利用蒙特卡洛方法予以实现。
粒子输运过程可以用玻耳兹曼方程加以描述，然而，以此基础上发展起来的近似数值方法如扩散近似法、离散坐标方法在处理截面与能量相关以及散射各向异性介质、复杂几何条件问题时碰到了较大困难。而蒙特卡洛方法在处理这类问题时得心应手，有很强的解题能力，并且近似较少，接近于真实情况。
粒子辐射问题计算通常有输运方程法、蒙特卡洛法(MC法)、实验测量法以及经验法等几种方法。蒙特卡洛计算法又称随机抽样法或统计试验法，是基于计算机模拟的思想，抓住物理过程的数量和几何特征，进行数字模拟试验，该方法是求解辐射输运问题的一种相当成熟和有效的方法，而且它对于各种复杂问题，具有良好的通用性，实用性相当广泛，几乎涉及核科学的各个领域。本文主要介绍蒙特卡洛的概念、原理和应用及研究现状。
2. 蒙特卡洛方法概述
蒙特卡洛方法又称随机抽样技巧或统计试验方法。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。
蒙特卡洛方法的主要组成部分有：
(1)概率密度函数(pdf)— 必须给出描述一个物理系统的一组概率密度函数；
(2)随机数产生器—能够产生在区间[0,1]上均匀分布的随机数；
(3)抽样规则—如何从在区间[0,1]上均匀分布的随机数出发,随机抽取服从给定的pdf 的随机变量；
(4)模拟结果记录—记录一些感兴趣的量的模拟结果；
(5)误差估计—必须确定统计误差（或方差）随模拟次数以及其它一些量的变化；
(6)减少方差的技术—利用该技术可减少模拟过程中计算的次数；
(7)并行和矢量化—可以在先进的并行计算机上运行的有效算法
2.1 蒙特卡洛方法的基本思想
可以通俗地说，蒙特卡洛方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数f(r)的随机变量ｇ(r)的数学期望
0()()g g r f r dr ∞<>=? (0.1)
通过某种试验，得到N 个观察值r 1，r 2，…，r N （用概率语言来说，从分布密度
函数f(r)中抽取N 个子样r 1，r 2，…，r N ，），将相应的N 个随机变量的值g(r 1)，
g(r 2)，…，g(r N )的算术平均值11()N
N i
i g g r N ==∑，作为积分的估计值（近似值）。 为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡洛方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡洛方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。
2.2 蒙特卡洛方法的收敛性、误差
蒙特卡洛方法作为一种计算方法，其收敛性与误差是普遍关心的一个重要问题。
2.2.1 蒙特卡洛方法的收敛性
由前面介绍可知，蒙特卡洛方法是由随机变量X 的简单子样X 1，X 2，…，X N
的算术平均值11N N i i X X
N ==∑.作为所求解的近似值。由大数定律可知，如X 1，X 2，…，
X N 独立同分布，且具有有限期望值，则()1lim N N P X E X →∞??== ???
。即随机变量X 的简单子样的算术平均值N X ，当子样数N 充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。
2.2.2 蒙特卡洛方法的误差
蒙特卡洛方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案。该定理指出，如果随机变量序列X 1，X 2，…，X N 独立同分布，且具有有限非
零的方差σ2，即220(())()x E X f x dx σ≠=-<∞?。f (X)是X 的分布密度函数。则
2/2()lim x
t N x N P X E X x e dt --→∞?-<=??? (0.2)
当N 充分大时，有如下的近似式
2/20()1t N P X E X e dt α
λα-?-<≈=- ? (0.3)
其中α称为置信度，1－α称为置信水平。这表明，
不等式()N X E X -<近似地以概率1－α成立，且误差收敛速度的阶为1/2()O N -。通常，蒙特卡洛方法的误差ε定义为
ε= (0.4)
上式中αλ与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出αλ。常用的α与αλ的对应关系为：α=0.5，αλ=0.6745；α=0.05，αλ=0.96；α=0.003，αλ=3. 蒙特卡洛方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值
?σ=(0.5)
来代替以求出均方差σ。由式(0.4)可知当给定置信度α后，误差ε由σ和N 决定。要减小ε，或者是增大N ，或者是减小方差σ2。在σ固定的情况下，要把精度提高一个数量级，试验次数N 需增加两个数量级。因此，单纯增大N 不是一个有效的办法。另一方面，如能减小估计的均方差σ，比如降低一半，那误差就减小一半，这相当于N 增大四倍的效果。因此降低方差的各种技巧，引起了人们的普遍注意。
2.3 蒙特卡洛方法的特点
作为一种统计试验方法，蒙特卡洛方法因其优点在诸多领域内有着广泛，但同时存在一些缺点。蒙特卡洛的主要优点有：
(1)能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。蒙特卡洛方法可以部分代替物理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用蒙特卡洛方法解决实际问题，可以直接从实际问题本身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、形象的特点。
(2)受几何条件限制小。在计算s 维空间中的任一区域D s 上的积分1212(,,,)s s s D g g x x x dx dx dx =??时，无论区域D s 的形状多么特殊，只要能给出
描述D s 的几何特征的条件，就可以从D s 中均匀产生N 个点()()()12
(,,,)i i i s x x x ，得到积分的近似值()()()121(,,,)N i i i s
N s i D g g x
x x N ==∑，其中D s 为区域D s 的体积。这是数
值方法难以作到的。
(3)收敛速度与问题的维数无关。由误差定义可知，在给定置信水平情况下，蒙特卡洛方法的收敛速度为1/2()O N -，与问题本身的维数无关。维数的变化，只引起抽样时间及估计量计算时间的变化，不影响误差。也就是说，使用蒙特卡洛方法时，抽取的子样总数N 与维数s 无关。维数的增加，除了增加相应的计算量外，不影响问题的误差。这一特点，决定了蒙特卡洛方法对多维问题的适应性。
(4)具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。对于那些需要计算多个方案的问题，使用蒙特卡洛方法有时不需要像常规方法那样逐个计算，而可以同时
计算所有的方案，其全部计算量几乎与计算一个方案的计算量相当。例如，对于屏蔽层为均匀介质的平板几何，要计算若干种厚度的穿透概率时，只需计算最厚的一种情况，其他厚度的穿透概率在计算最厚一种情况时稍加处理便可同时得到。
(5)误差容易确定。对于一般计算方法，要给出计算结果与真值的误差并不是一件容易的事情，而蒙特卡洛方法则不然。根据蒙特卡洛方法的误差公式，可以在计算所求量的同时计算出误差。对干很复杂的蒙特卡洛方法计算问题，也是容易确定的。
(6)程序结构简单，易于实现。在计算机上进行蒙特卡洛方法计算时，程序结构简单，分块性强，易于实现。
蒙特卡洛的主要缺点有：
(1)收敛速度慢。如前所述，蒙特卡洛方法的收敛速度为1/2()O N ，一般不容易得到精确度较高的近似结果。对于维数少（三维以下）的问题，不如其他方法好。
(2)误差具有概率性。由于蒙特卡洛方法的误差是在一定置信水平下估计的，所以它的误差具有概率性，而不是一般意义下的误差。
(3)在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关。经验表明，只有当系统的大小与粒子的平均自由程可以相比较时（一般在十个平均自由程左右），蒙特卡洛方法计算的结果较为满意。但对于大系统或小概率事件的计算问题，计算结果往往比真值偏低。而对于大系统，数值方法则是适用的。因此，在使用蒙特卡洛方法时，可以考虑把蒙特卡洛方法与解析（或数值）方法相结合，取长补短。
2.4 蒙特卡洛方法的主要应用范围
蒙特卡洛方法所特有的优点，使得它的应用范围越来越广。它的主要应用范围包括：粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面。随着科学技术的发展，其应用范围将更加广泛。
蒙特卡洛方法在粒子输运问题中的应用范围主要包括：实验核物理，反应堆物理，高能物理等方面。蒙特卡洛方法在实验核物理中的应用范围主要包括：通量及反应率，中子探测效率，光子探测效率，光子能量沉积谱及响应函数，气体正比计数管反冲质子谱，多次散射与通量衰减修正等方面。
3. 随机数
随机数是蒙特卡洛方法的主要组成部分之一。随机数是指一个数列，其中的每一个体称为随机数，其值与数列中的其它数无关。在一个均匀分布的随机数中，每一个体出现的概率是均等的。物理中的很多过程需要随机数确定，比如出射粒子的能量、方向等属性，粒子与介质的相互作用等等。所模拟的物理过程要求随机数应具有下列特性：
1. 随机数序列应是独立的、互不相关的(uncorrelated)：即序列中的任一
子序列应与其它的子序列无关；
2. 长的周期(long period)：实际应用中，随机数都是用数学方法计算出来
的，这些算法具有周期性，即当序列达到一定长度后会重复；
3. 均匀分布的随机数应满足均匀性(Uniformity)：随机数序列应是均匀的、
无偏的，即：如果两个子区间的“面积”相等，则落于这两个子区间内
的随机数的个数应相等。
4. 有效性（Efficiency):模拟结果可靠，随机数的产生必须快速、有效，
最好能够进行并行计算。
为了产生随机数，可以使用随机数表。随机数表是由0，1，…，9十个数字组成，每个数字以0.1的等概率出现，数字之间相互独立。这些数字序列叫作随机数字序列。如果要得到n 位有效数字的随机数，只需将表中每n 个相邻的随机数字合并在一起，且在最高位的前边加上小数点即可。例如，某随机数表的第一行数字为7634258910…，要想得到三位有效数字的随机数依次为0.763，0.425，0.891。
可以使用物理方法产生随机数，用来作为随机数发生器的物理源主要有两种：一种是根据放射性物质的放射性，另一种是利用计算机的固有噪声。但在计算机上产生随机数最实用、最常见的方法是数学方法，即用如下递推公式：
11(,,,),1,2,n k n n n k T n ξξξξ+++-== (3.1) 产生随机数序列。对于给定的初始值。ξ1,ξ2…，ξk ，确定ξn +k ，ｎ=1，2…。经常使用的是k =1的情况。
a) 用数学方法产生的随机数有两个特点，即：递推公式和初始值ξ1,ξ2…，
ξk 确定后，整个随机数序列便被唯一确定。不满足随机数相互独立的要
求。
b) 由于随机数序列是由递推公式确定的，而在计算机上所能表示的[0,1]上
的数又是有限的，因此，这种方法产生的随机数序列就不可能不出现无限
重复。一旦出现这样的n ＇，n ″(n ＇< n ″)，使得1,2,,n i n i i k ξξ'''++==成
立随机数序列便出现了周期性的循环现象。对于k=1的情况，只要有一个
随机数重复，其后面的随机数全部重复，这与随机数的要求是不相符的。由于这两个问题的存在，常称用数学方法产生的随机数为伪随机数。
3.1 线性乘同余方法
线性乘同余方法是由Lehmer 在1951年提出来的，是一种最常用的产生伪
随机数的方法。乘同余方法中采用的递推公式为
1()mod n n I aI c m +=+ (3.2)
其中：I 0为初始值，a 为乘法器，c 为增值，m 为模数，mod 为取模运算，()n aI c +除以m 后的余数。a 、c 、m 皆为整数。实型随机序列： [0,1),()
n n n I r I m float m =→< (3.3) [0,1)],1(1)
n n n I r I m float m =→≤-- (3.4) 上式中，独立性和均匀性取决于参数a 和c 的选择。m 应尽可能地大，因为序列的周期不可能大于m 。通常将m 取为计算机所能表示的最大的整型量，在32位机上，3192210m ==?。1961年，M. Greenberger 证明，用线性乘同余方法产生的随机数序列具有周期m 的条件是：(1)c 和m 互为质数；(2)a-1是质数p 的倍数，其中p 是a-1和m 的公约数；(3)如果m 是4的倍数，a-1也是4的倍数。
3.2 伪随机数序列的均匀性和独立性
3.2.1 伪随机数的均匀性
这里只考虑伪随机数序列ξ1,ξ2…，ξn 全体作为子样时的均匀性问题。其中
n 为伪随机数序列的最大容量。对于任意的0≤x≤1，令N n (x)表示伪随机数序列
ξ1,ξ2…，ξn 中适合不等式ξi < x,i=1,2,…n的个数，则
01()()||sup n
x N x n x n
δ≤≤=- (3.5)
将伪随机数序列ξ1,ξ2…，ξn 从小至大重新排列12
n ξξξ'''≤≤≤，令010,1n
ξξ+''==，则由δ(n )的定义，容易证明101
()||,||max i i x i i n n n δξξ+≤≤?
?''=--????，很明显，对于固定的ｎ，δ(n )的值越小越好。它是描述伪随机数序列均匀程度的基本量。对于任意随机数序列，均有不等式1()2n n δ≥
成立。当1()2n n
δ=成立时，所对应的伪随机数序列为最佳分布。
3.2.2 伪随机数的独立性
对于任意0,1x y ≤≤，令(,)n N x y 表示(ξ1,ξ2),(ξ2,ξ3),…,(ξn ,ξn+1)中适合不等式1,i i x y ξξ+<<。的个数，根据随机变量间相互独立的定义和频率近似概率的方法，令
0,1(,)()()()||sup n
n n x y N x y N x N y n n n n
ε≤≤=- (3.6) 则ε(n )标志伪随机数序列ξ1,ξ2…，ξn 的独立程度，简称为独立偏度。对于固定的n,ε(n )的值越接近于零，伪随机数序列的独立性越好。
4. 蒙特卡洛方法在粒子输运上的应用
辐射（光子和中子）屏蔽问题是蒙特卡洛方法最早广泛应用的领域之一。现主要从物理直观出发，说明蒙特卡洛方法解决这类粒子输运问题的基本方法和技巧。解决屏蔽问题时可采取多种方法，如直接模拟方法、简单加权法、统计估计法、指数变换法等，这里只对直接模拟方法做介绍。
4.1 屏蔽问题模型
在反应堆工程和辐射的测量与应用中，常常要用一些吸收材料做成屏蔽物挡住光子或中子。我们所关心的是经过屏蔽后射线的强度及其能量分布，这就是屏蔽问题。当屏蔽物的形状复杂，散射各向异性，材料介质不均匀 , 核反应截面与能量、位置有关时，难以用数值方法求解，用蒙特卡洛方法能够得到满意的结果。粒子的输运问题带有明显的随机性质，粒子的输运过程是一个随机过程。粒子的运动规律是根据大量粒子的运动状况总结出来的，是一种统计规律。蒙特卡洛模拟，实际上就是模拟相当数量的粒子在介质中运动的状况，使粒子运动的统
计规律得以重现。不过，这种模拟不是用实验方法，而是利用数值方法和技巧，即利用随机数来实现的。
为方便起见，选用平板屏蔽模型，在厚度为a ，长、宽无限的平板左侧放置一个强度已知，具有已知能量、方向分布的辐射源S ，见图4.1。求粒子穿透屏蔽概率（穿透率）及其能量、方向分布。穿透率就是由源发出的平均一个粒子穿透屏蔽的数目。同时，假定粒子在两次碰撞之间按直线运动 , 且粒子之间的相互作用可以忽略。
图4.1 屏蔽问题模型
4.2 直接模拟方法
直接模拟方法就是直接从物理问题出发，模拟粒子的真实物理过程。
4.2.1 状态参数与状态序列
粒子在介质中的运动的状态，可用一组参数来描述，称之为状态参数。它通常包括：粒子的空间位置r ，能量E 和运动方向Ω，以S ＝(r , E ,Ω )表示。有时还需要其他的参数，如粒子的时间t 和附带的权重W ，这时状态参数为 S'＝(r , E ,Ω , t ,W )。状态参数通常要根据所求问题的类型和所用的方法来确定。对于无限平板几何，取S ＝(z , E , cosα)，其中z 为粒子的位置坐标，α为粒子的运动方向与Z 轴的夹角。对于球对称几何，取 S ＝(r , E , cosθ)，其中r 表示粒子所在位置到球心的距离，θ为粒子的运动方向与其所在位置的径向夹角。 粒子第m 次碰撞后的状态参数为(,,)m m m m E =S r Ω，或(,,,,)m
m m m m m E t W '=S r Ω，它表示一个由源发出的粒子，在介质中经过 m 次碰撞后的状态，其中
r m ：粒子在第 m 次碰撞点的位置
E m ：粒子第 m 次碰撞后的能量
Ωm ：粒子第 m 次碰撞后的运动方向
t m ：粒子到第 m 次碰撞时所经历的时间
W m ：粒子第 m 次碰撞后的权重
一个由源发出的粒子在介质中运动，经过若干次碰撞后，直到其运动历史结束（如逃出系统或被吸收等）。假定粒子在两次碰撞之间按直线运动，其运动方向与能量均不改变，则粒子在介质中的运动过程可用以下碰撞点的状态序列描述，即S0，S1，…，SM-1，SM 。或
011011011,,,,
,,
,,,,,,M M M M M M E E E E ---?? ? ? ???r r r r ΩΩΩΩ 来描述。这里S 0为粒子由源出发的状态，称为初态，S M 为粒子的终止状态。M 称为粒子运动的链长。
4.2.2 模拟运动过程
这里以中子穿透均匀平板的模型来说明，这时状态参数取S ＝(z,E,cosα)。模拟的步骤如下。
(1)确定初始状态S 0：
确定粒子的初始状态，实际上就是要从中子源的空间位置、能量和方向分布中抽样。设源分布为000102030(,,cos )()()(cos )f z E f z f E f αα=，则分别从各自的分布中抽样确定初始状态。
(2)确定下一个碰撞点：
已知状态S m -1，要确定状态S m ，首先要确定下一个碰撞点的位置z m 。在相邻两次碰撞之间，中子的输运长度l 服从如下分布：
{}
1111110()(,)exp (,)l t m m m t m m m f l l E l E dl ------''=∑+?-∑+??r Ωr Ω (4.1) 对于平板模型，l 服从分布：
{}
1111110()(cos ,)exp (cos ,)l t m m m t m m m f l z l E z l E dl αα------''=∑+?-∑+?? (4.2) 其中，Σt 为介质的中子宏观总截面。积分1110(,)l
t m m m l E dl ---''∑+??r Ω称为粒子输运的自由程数。显然，粒子输运的自由程数服从指数分布，因此从f (l )中抽样确定l ，就是要从积分方程1110(,)ln l
t m m m l E dl ξ---''∑+?=-?r Ω中解出l 。对于单一介
质1ln ()
t m l E ξ-=-∑，则下一个碰撞点的位置为 11111ln cos cos ()
m m m m m t m z z l z E ξαα-----=+?=-∑ (4.3) 如果z m ≥a ，则中子穿透屏蔽，若z m ≤0, 则中子被反射出屏蔽。这两种情况，均视为中子历史终止。
(3)确定被碰撞的原子核：
通常介质由几种原子核组成，中子与核碰撞时，要确定与哪一种核碰撞。设介质由A 、B 、C 三种原子核组成，其核密度分别为N A 、N B 、N C ，则介质的宏观总截面为：
1111()()()()A B C t m t m t m t m E E E E ----∑=∑+∑+∑ (4.4)
其中,,A B C
t t t ∑∑∑分别为核A 、B 、C 的宏观总截面。其定义如下：
()()1()1()()t m t m E N E σ??-?-∑=，()()1()1()()t m t m E N E σ??-?-∑、、分别表示(·)核的宏观总截面、核密度和微观总截面。
由于中子截面表示中子与核碰撞可能性的大小，因此，很自然地，中子与A 、B 、C 核发生碰撞的几率分别为：
111111()()(),,()()()
A B C t m t m t m A B C t m t m t m E E E P P P E E E ------∑∑∑===∑∑∑ (4.5) 若A P ξ≤，则中子与A 核碰撞；若A B P P ξ≤+，则中子与B 核碰撞；若A B P P ξ>+，则与C 核碰撞。
(4)确定碰撞类型： 确定了碰撞的核(比如B 核)后，就要进一步确定碰撞类型。中子与核的反应类型有弹性散射、非弹性散射、(n,2n)反应，裂变和俘获等，它们的微观截面分
别为11(,2)111()()()()()B B B B B el m in m n n m f m c m E E E E E σσσσσ-----、、、和，则有
111(,2)111()()()()()()B B B B B B t m el m in m n n m f m c m E E E E E E σσσσσσ------=++++ (4.6)
各种反应发生的几率分别为
1111(,2)
(,2)111111()()()()()()()()()()
B B el
el m t m B B in
in m t m B B n n n n m t m B B f
f m t m B B c c m t m P E E P E E P E E P E E P E E σσσσσσσ----------===== (4.7) 利用离散型随机变量的抽样方法，确定反应类型。在屏蔽问题中，中子与核反应
常只有弹性散射和吸收两种类型，吸收截面为：111()()()B B B a m f m c m E E E σσσ---=+。
这时，总截面为：
111()()()B B B t m el m a m E E E σσσ---=+ (4.8) 发生弹性散射的几率为：11()()
B el m el B t m E P E σσ--=若el P ξ≤，则为弹性散射；否则为吸收，发生吸收反应意味着中子的历史终止。
(5)确定碰撞后的能量与运动方向：
如果中子被碰撞核吸收，则其输运历史结束。如果发生弹性散射，需要确定散射后中子的能量和运动方向。中子能量E m 为：
()()111cos 2m m C E E r r θ-=++-???
? (4.9) 其中21()1
A r A -=+。A 是碰撞核的质量与中子质量之比，一般就取元素的原子量；θC 为质心系中中子散射前后方向间的夹角，即偏转角。cos C C μθ=可从质心系中弹性散射角分布f C (μC )中抽样产生。实验室系散射角θL 的余弦μL 为
：L μ=。
如果给出实验室系散射角余弦分布f L (μL )，可直接从f L (μL )中抽取μL ，此时
能量E m 与μL
的关系式为：(2
12(1)
m m L E E A μ-=++。确定了实验室系散射角θL 后，再使用球面三角公式确定cos αm ： 11cos cos cos sin sin cos m m L m L ααθαθχ--=?+??。
各角度关系如图4.2所示。
图4.2 角度关系示意图
至此，由S m -1完全可以确定S m 。因此，当中子由源出发后，即S 0确定后，重复步骤
(2)～(5)，直到中子游动历史终止。于是得到了一个中子的随机游动历史S 0，S 1，…，S M -1，S M ，即
011011011,,,,,
,,,cos ,cos ,,cos ,cos M M
M M M M z z z z E E E E αααα---?? ? ? ??? 也就是模拟了一个由源发出的中子的运动过程。
4.2.3 记录结果
在获得中子的随机游动历史后，我们要对所要计算的物理量进行估计。对于屏蔽问题，我们要计算中子的穿透率。考察每个中子的随机游动历史，它可能穿透屏蔽（z M ≥a ），可能被屏蔽发射回来（z M ≤0），或者被吸收。设第n 个中子对穿透的贡献为ηn ，则
1,0,0M n M
z a z η≥?=?≤?当当 如果我们共跟踪了N 个中子，则穿透屏蔽的中子数为：11N
n n N η==∑。则穿透屏蔽
概率的近似值为：
(1)111?N N n n N P N N η
===∑ (4.10)
我们称这种直观地模拟过程和估计方法为直接模拟方法。在置信水平1－α
＝0.95时，(1)?N
P 的误差为：
(1) 1.96?N P P χσσ-<= (4.11) 其中ησ为ηn 的均方差，由于ηn 是一个服从二项分布的随机变量，所以
2(1)P P ησ=- (4.12)
或
2(1)(1)???(1)N N
P P ησ=- (4.13) 为得到中子穿透屏蔽的能量、角分布，将能量、角度范围分成若干个间隔：min 10max I E E E E E =<<<=，0102J αααπ=<<<=。其中E max ，E min 分别表示
能量的上、下限，对于穿透屏蔽的中子按其能量、方向分间隔记录。设一穿透屏蔽的中子能量为E M ，其运动方向与Z 轴夹角为αM ，若能量E M 属于第 i 个能量间隔ΔE i ，角度αM 属于第 j 个角度间隔Δαj ，则分别在第 i 个能量计数器及第 j
个角度计数器中加1。
跟踪N 个中子后，则
1,1,(1)?i
i N i N P N E =?? 1,2,,i I = (4.14) 2,2,(1)?j j N j N P N α=?? 1,2,,j J = (4.15)
分别为穿透中子的能量分布和角分布。其中N 1,i 和N 2,i 分别为第 i 个能量和第 j 个角度间隔的穿透中子数。归一后分别为：
1,1,(1)1,(1)*(1)*1???i i
N i N i N P N P N E P ==?? 1,2,,i I = (4.16) 2,2,(1)2,(1)*(1)*1???j j N j N j N P N P N P α==?? 1,2,,j J = (4.17)
4.3 蒙特卡洛方法的效率
衡量蒙特卡洛技巧的好坏，除了看其方差大小外，还要看其所需费用（计算时间）多少，即从该技巧的效率E f （方差与费用乘积的倒数）全面考虑：
21f E T
σ=? (4.18) 其中σ2为方差，T 为所需费用。E f 大时，所用方法的效率高；否则，效率低。在一般情况下，直接模拟方法、简单加权法、统计估计法、指数变换法等方法中有些方法虽然减小了方差，却增加了费用。例如，加权法、统计估计法虽然较直
接模拟方法减小了方差，却使每个粒子的运动链长增加，或记录贡献的计算时间增加。因此，不能认为方差小的方法一定好，要从方法的效率全面考虑。在有些情况下，直接模拟方法仍然是一个被广泛使用的方法。
5. 蒙特卡洛方法应用程序—MCNP
5.1 MCNP简述
MCNP(A General Monte Carlo Code for Neutron and Particle Transport)是一套通用的、三维空间中连续能量中子、光子和带电粒子（离子）联合输运过程模拟程序，在军事和工业领域有着广泛应用。是基于蒙特卡洛方法的用于计算三维复杂几何结构中的中子、光子、电子或者耦合中子、光子、电子输运问题的通用软件包，也具有计算核临界系统（包括次临界和超临界系统）本征值问题的能力。该软件包通过FORTRAN语言编程实现。
MCNP程序具有超强的几何处理能力，几何系统由几何空间单元(cell)组成，而几何空间单元的界面(surface)由平面、二次曲面及特殊的四次椭圆环曲面组成。几何空间单元中的材料由包括同位素在内的多种核素组成，使用精确的点截面参数，对特定的评价库(ENDF/B-IV,V,V,VI库或ENDL851库)，考虑了该库给出的所有中子反应类型。在截面数据文件中收集了多种评价库的数据。对热中子还配备了相应的截面数据，可按自由气体模型或S模型处理。对光子考虑了相干和非相干散射，并处理了光电吸收后可能的荧光发射或电子对产生。
MCNP3版(1983 年)和3A版(1985年)发行后，这一软件就成为用蒙特卡洛方法模拟核过程最流行的通用程序，程序在计算辐射能量沉积和辐射计量等方面取得成功。88年出版的 MCNP3B程序具有重复构造和结构的能力，能够解决特征γ谱线的问题，可以很好地模拟中子和光子的联合输运问题，使用的主要核数据库是ENDF/B-4。91年MCNP4版问世，这时程序可以模拟中子、光子、带电粒子(离子)的联合输运过程，可以模拟探测器的测量结果。MCNP4版使用了更新的ENDF/B-6评价核数据库，加入了脉冲中子源功能等。MCNP5版（2003年）提高了彩色描点能力（64种颜色），提高了处理中性粒子照相问题能力，为源增加了新选项，并对广泛应用的windows系统有了更好的支持。该程序是目前国际上在核技术领域中应用最广泛、效果较佳、具有通用性的蒙特卡洛模拟计算程序，许多核反应蒙特卡洛专用程序都引用该程序的核心部分。
MCNP 程序涉及面如此之多，关键是通过读入一个经用户创建的称为INP 的输入文件来进行计算。该文件必须遵循按照栅元卡(card)的格式进行组织，指定描述空间问题的信息，具体地有：(1)空间几何体的描述说明；(2)几何体的使用材料描述和交叉区域的选择估计；(3)中子、光子以及电子这3种粒子源的位置和特性说明；(4)必要的回答卡和标记卡的类型；(5)任何必需的冗余量消除技术，以提高计算效率。目前，MCNP 以其灵活、通用的特点以及强大的功能被广泛应用于辐射防护与射线测定、辐射屏蔽设计优化、反应堆设计、（次）临界装置实验、医学以及检测器设计与分析等学科领域，并得到一致认可。
5.2 MCNP 误差的估计
蒙特卡洛方法的结果方法的结果代表被抽样的许多历史过程贡献的平均值，假定P(x)是选择一个随机步的几率密度函数，x 是这个随机步产生的被估计的记录值，其平均值记为：
()()E x xP x dx =? (5.1)
E(x)近似期望值可以通过MC 方法得到：11N i i x x
N ==∑，其中N 是粒子数目，x i 是从
P(x)中第i 个历史的值。
从加强大数定理：()
lim ()1n P x E x →∞==，x 的方差是离散度的度量，定义为：2
222(())()()(())x E x P x dx E x E x σ=-=-?，σ为标准差，MCNP 方法可以估计这个值，记为S ： 2
2222211()1~(),1N i N i i i x x S x x x x
N N ==-=-=-∑∑ (5.2)
S 是实际取样值x 1总体的估计差，x 的估计值由下式给出：2
2
x
S S N =，此公式不受任何x 和x 分布的影响，但要求E(x)、σ存在且有限。由于x S
与1/减小一个数量级x S 必须计算 100 倍原来的粒子数目。也可以固定N 通过S 的减小而减小x S ，即通过方差减小技巧来实现。标准的MCNP 结果以下式来估计相对误
差：
1/2
21/22
122111N i x i N i i x S x R x N x x ==??????????==-=?? ? ????????????? ???????∑∑ (5.3) MCNP 建议R ＜0.05的结果才是可靠的。
5.3 MCNP 效率因素
FOM (figure of merit)是 MCNP 效率的量度，定义为：FOM=1/R 2T ，R 是相对误差，T 是计算时间。由于21/,R n T N ∝∝，所以FOM 在理想情况下为一常数。影响效率的因素有三种：(1)历史记录的影响、(2)非零记录的离散度、(3)每个历史所用的计算时间。其中(1)、(2)影响R ，(3)影响T 。R 可以分成两部分：非零记
录的效率部分2eff R ，本身具有的离散度2int R 。定义f 为产生非零记录的那部分历史，
222int eff R R R =+，其中21eff f R fN -=，21
int 211N
i i N i i x R fN x ===-?? ???∑∑。 所以可以通过一种或多种方差减小技巧来抽样那些产生非零记录的粒子，增
加f 值，减小2eff R 和R 。同时，粒子权重也作相应的调整，使结果保持不变。而较
小的f 值则需模拟大量的粒子来补偿，以取得精确的计算结果。
6. 结论
由于MCNP 程序能很好地解决连续能量的粒子在三维空间中联合输运过程，因而凡是与粒子输运过程相关的数学、物理及工程技术等方面的问题，都可以通过建立适当的模型，从而直接或间接地利用MCNP 对相应的问题进行模拟计算。本次大作业主要包含四个部分：蒙特卡洛方法概述；蒙特卡洛方法的主要组成部分之一—随机数；蒙特卡洛方法在粒子输运上的应用；蒙特卡洛方法应用程序—MCNP 。通过查阅书籍和相关文献，让我对蒙特卡洛方法有了更深刻的理解和认识，达到了教学的目的。
参考文献
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and analysis of radiation detectors.2009
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Transport Code.2010
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the monte Carlo method.1975
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文献综述 信息与计算科学 蒙特卡罗方法的应用 在解决实际问题的时候, 为了模拟某一过程, 产生各种概率分布的随机变量和对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题, 我们应该怎么办? 蒙特·卡罗是一种十分有效的求出数值解的方法. 蒙特卡罗法（ monte-carlo method ）简称M -C 法 通过构造概率模型并对它进行随机试验来解算数学问题的方法. 以计算函数的定积分()()1 0I f x d x =?, ()01f x ≤≤为例, 首先构造一个概率模型: 取一个边长分别为和-的矩形, 并在矩形内随机投点M , 假设随机点均匀地落在整个矩形之内, 当点的掷点数N 充分大时, 则落在图中阴影区内的随机点数与投点总数N 之比M N 就近似等于积分值I . 蒙特卡罗法历史悠久. 1773年法国G.-L.L.von 布丰曾通过随机投针试验来确定圆周率π的近似值, 这就是应用这个方法的最早例子. 蒙特卡罗是摩纳哥著名赌城, 1945年 J.von 诺伊曼等人用它来命名此法, 沿用至今. 数字计算机的发展为大规模的随机试验提供了有效工具, 遂使蒙特卡罗法得到广泛应用. 在连续系统和离散事件系统的仿真中, 通常构造一个和系统特性相近似的概率模型, 并对它进行随机试验, 因此蒙特卡罗法也是系统仿真方法之一. 蒙特卡罗法的步骤是: 构造实际问题的概率模型; ②根据概率模型的特点, 设计和使用降低方差的各类方法, 加速试验的收敛; ③给出概率模型中各种不同分布随机变量的抽样方法; ④统计试验结果, 给出问题的解和精度估计. 概率模型用概率统计的方法对实际问题或系统作出的一种数学描述. 例如对离散事件系统中临时实体的到达时间、永久实体的服务时间的描述（见离散事件系统仿真方法）就是采用概率模型. 虽然由这些模型所确定的到达时间、服务时间可能与具体某一段时间内实际到达时间、服务时间有出入, 但它是通过多次统计获得的结果, 所以从概率分布的规律来说还是相符的. 概率模型不仅可用来描述本身就具有随机特性的问题或系统, 也可用来描述一个确定型问题. 例如参数寻优中的随机搜索法（见动力学系统参数寻优）就是将参数最优化问题构造为一个概率模型, 然后用随机投点、统计分析的方法来进行搜索.
一、蒙特卡洛算法 1、含义的理解 以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，它是将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。 2、算法实例 在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi 。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S 中占的比例K=S1/S 就立即能得到S1，从而得到Pi 的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K 呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m 与所投点的总数n 的比m/n 作为k 的近似值。P 落在扇形内的充要条件是 221x y +≤ 。 已知：K= 1s s ，K ≈m n ，s=1，s1=4P i ，求Pi 。 由1 s m s n ≈，知s1≈*m s n =m n ， 而s1=4P i ，则Pi=*4m n 程序： /* 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率Pi*/ /*程序使用：VC++6.0 */ #include x=rand()*1.0/RAND_MAX;/*RAND_MAX=32767，包含在 第42卷第2期2019年2月 V ol.42，No.2 February2019核技术 NUCLEAR TECHNIQUES 020502-1 蒙特卡罗粒子输运计算中源可视化分析 方法及应用 曹佩1,2龙鹏程1甘佺1吴斌1郝丽娟1 1（中国科学院核能安全技术研究所中子输运理论与辐射安全重点实验室合肥230031） 2（中国科学技术大学合肥230027） 摘要精准合理的源粒子分布是实现核装置高保真粒子输运数值模拟计算的前提。为了更方便地检查和分析 核装置内的源粒子分布特征，本文提出了一种基于自适应分段树的源粒子可视化分析方法，该方法通过预先构 建几何分段库，提取几何以及渲染属性等特征，动态创建分段树结构，实现了百万级以上源粒子信息高效可视 化。最后，本文将该方法应用在VENUS-3反应堆屏蔽分析的中子源建模与中子准直装置的设计之中。结果表 明：本文方法可以辅助用户完成核装置源高保真建模以及相关设计优化等工作，在较大程度上提升了计算程序 参数设置的正确性和便利性。 关键词核装置，输运计算，源粒子可视化，自适应分段树 中图分类号TL329+.2 DOI:10.11889/j.0253-3219.2019.hjs.42.020502 Visual analysis of source particle and its application in Monte Carlo transport simulation CAO Pei1,2LONG Pengcheng1GAN Quan1WU Bin1HAO Lijuan1 1(Key Laboratory of Neutronics and Radiation Safety,Institute of Nuclear Energy Safety Technology, Chinese Academy of Sciences,Hefei230031,China) 2(University of Science and Technology of China,Hefei230027,China) Abstract[Background]The high-fidelity particle transport numerical simulation for nuclear facility requires accurate and efficient source particles distribution.[Purpose]This study focuses on reviewing and analyzing the distribution feature of source particles intuitively in nuclear facility and presents a visual analysis method for source particles.[Methods]Based on self-adaptive segmented tree and pre-build geometry library,the features of geometry and rendering attributes were extracted to dynamically create the segmented trees.Then,over million source particles 国家自然科学基金(No.11605233,No.71671179)、中国科学院信息化专项(No.XXH13506-104)、国家磁约束核聚变能发展研究专项项目 (No.2015GB116000)、中国科学院合肥物质研究院院长基金(No.YZJJ201618)、国家科技部国家科技基础条件平台项目"国家基础科学数据共享服务平台"(No.DKA2017-12-02-17)、中国科学院合肥物质科学研究院项目(No.KP-2017-19)、安徽省重大科技专项项目(No.180********)、中国科学院青年创新促进会专项项目、产业化基金资助 第一作者：曹佩，女，1994年出生，2016年毕业于山东大学，现为硕士研究生，研究领域为建模与可视化方法研究 通信作者：甘佺，E-mail：quan.gan@https://www.doczj.com/doc/7e8047610.html, 收稿日期：2018-11-14，修回日期：2018-12-10 Supported by National Natural Science Foundation of China(No.11605233,No.71671179),Information Project of Chinese Academy of Sciences (No.XXH13506-104),National Magnetic Confinement Fusion Program of China(No.2015GB116000),the President of Chinese Academy of Sciences Foundation for Young Project(No.YZJJ201618),National Fundamental Science Data Sharing Program(No.DKA2017-12-02-17),Project of Hefei Institutes of Physical Science,Chinese Academy of Sciences(No.KP-2017-19),Major Science and Technology Projects of Anhui Province (No.180********),Special Project of Youth Innovation Promotion Association of Chinese Academy of Sciences,Industrialization Fund First author:CAO Pei,female,born in1994,graduated from Shandong University in2016,master student,focusing on modeling and visualization Corresponding author:GAN Quan,E-mail:quan.gan@https://www.doczj.com/doc/7e8047610.html, Received date:2018-11-14,revised date:2018-12-10 万方数据 2.3.2 蒙特卡洛法的基本原理 蒙特卡洛模型的基本原理是模拟单个光子的传输过程，本质上是一系列随机作用和随机过程的计算机模拟，如光子吸收、散射、传输路径、步长等。光子从发射到进入组织再到从组织中逸出要历经许多过程，以单个光子为例，首先是光子发射，即单个光子垂直入射到组织表面，光子质量W 被初始化为1，当组织与周围介质折射率不同时，在入射界面处要考虑镜面反射（界面不光滑时考虑漫折射），其反射比设为RSP ，因此进入介质的能量为1-RSP ，这部分能量就是接下来要进行蒙特卡洛模拟的部分。进入组织后光子继续运动，首先要确定其运动步长s ，根据光子的运动步长和运动方向，可以得到光子与组织发生相互作用的坐标位置，并以此坐标为起点开始下一运动步长的模拟。光子在与组织发生相互作用时有（μ a/μt）W 的能量被吸收，剩余部分能量的光子被散射，并继续重复上述过程，直到光子运动到边界处，此时，它有可能被返回到组织内部或者透过组织进入到周围介质。如果光子被反射，那么它将继续传播，即重复上述运动；如果光子穿透组织，根据其穿透的是前表面还是后表面，则相应被记入透射量和反射量。 由于蒙特卡洛模型的精确性是建立在大量模拟的基础上，因此这一方法耗时长，这与光谱技术的实时特性相矛盾。“查表法”的提出为这一问题提供了一种很好的解决途径，查表法的基本思想在于事先将一系列组织光学特性所对应的模拟结果存储到一个表格中，这样在对每一个光子进行模拟时，能够从这一表格中直接提取最终的模拟结果，从而节省了大量的模拟时间。 对于组织光子传输蒙特卡洛模型的研究已经开展了很多年，目前学术界广为接受和采用的是美国圣路易斯华盛顿大学华人教授Lihong Wang所提出的模型[1]，此模型是前向模型，即在已知组织吸收和散射特性的前提下对光子在组织中的传输分布进行模拟；美国杜克大学助理教授Gregory Palmer等在前向模型的基础上开发出了所谓的后向模型[2]，这一模型是在已知光谱反射特性的基础上，通过多次随机假定光学特性并调用前向模型进行光谱拟合，从而筛选出与实际测量结果最为匹配的一组假定数据作为组织的光学特性参数。后向模型的提出使得蒙特卡洛模型能够从真正意义上对组织的光学参数进行检测，并定量得出组织的各组分参数。目前蒙特卡洛模型已被广泛用于多种肿瘤的离体及临床在体研究，并取得了令人满意的结果，最终应用于临床检测的相关仪器也已得到开发，并预计将在未来的十几年甚至是十年之内推向临床应用。 当然目前关于这一模型仍有一定的发展提升空间，难点主要集中于如何进一步提高其精确性，这主要体现在两个方面：（1）如何进一步优化模型来提高精确性，目前这一模型对于仿体吸收散射特性的提取检测已经能够达到10%以内的误差精度，但最近的研究发现，将这一模型应用于仿体荧光检测时，其精确性仍有较大提升空间[3]。仿体荧光检测主要是为了研究模型提取固有荧光的能力，由于吸收和散射的存在，我们所检测的荧光并不是荧光物质本身的固有荧光，其光谱形状和强度均受到一定程度的改变，模型通过反射信号首先提取仿体的吸收和散射特性，进而用于对荧光信号进行矫正从而得到固有荧光光谱。研究发现，蒙特卡洛模型能够对荧光光谱形状进行良好恢复，但对于荧光光强的恢复其精确度仍有待提高。（2）如何提高用于人体组织检测的精确性，人体组织的情况往往是极为复杂的，这就需要开发精确的光子蒙特卡洛多层介质传输模型。目前关于这方面的研究已经取得一定的成果[1]，但仍需要开展更多的工作。 参考文献： [1] Wang L，Jacques SL，Zheng L. MCMLMonte Carlo Modeling of Light Transport in Multi-layered Tissues[J]. Comput Methods Programs Biomed，1995，47（2）：131-146. [2] Palmer GM，Ramanujam N. Monte Carlobased Inverse Model for Calculating Tissue Optical 浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求 蒙特卡洛方法 1、蒙特卡洛方法的由来 蒙特卡罗分析法（Monte Carlo method），又称为统计模拟法，是一种采用随机抽样（Random Sampling）统计来估算结果的计算方法。由于计算结果的精确度很大程度上取决于抽取样本的数量，一般需要大量的样本数据，因此在没有计算机的时代并没有受到重视。 第二次世界大战时期，美国曼哈顿原子弹计划的主要科学家之一，匈牙利美藉数学家约翰·冯·诺伊曼（现代电子计算机创始人之一）在研究物质裂变时中子扩散的实验中采用了随机抽样统计的手法，因为当时随机数的想法来自掷色子及轮盘等赌博用具，因此他采用摩洛哥著名赌城蒙特卡罗来命名这种计算方法，为这种算法增加了一层神秘色彩。 蒙特卡罗方法提出的初衷是用于物理数值模拟问题, 后来随着计算机的快速发展, 这一方法很快在函数值极小化、计算几何、组合计数等方面得到应用, 于是它作为一种独立的方法被提出来, 并发展成为一门新兴的计算科学, 属于计算数学的一个分支。如今MC方法已是求解科学、工程和科学技术领域大量应用问题的常用数值方法。 2、蒙特卡洛方法的核心—随机数 蒙特卡洛方法的基本理论就是通过对大量的随机数样本进行统计分析，从而得到我们所需要的变量。因此蒙特卡洛方法的核心就是随机数，只有样本中的随机数具有随机性，所得到的变量值才具有可信性和科学性。 在连续型随机变量的分布中, 最基本的分布是[0, 1]区间上的均匀分布, 也称单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样ξ1，ξ2ξ3……称为随机数序列, 其中每一个体称为随机数, 有时称为标准随机数或真随机数, 独立性和均匀性是其必备的两个特点。真随机数是数学上的抽象, 真随机数序列是不可预计的, 因而也不可能重复产生两个相同的真随机数序列。真随机数只能用某些随机物理过程来产生, 如放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等。 实际使用的随机数通常都是采用某些数学公式产生的，称为伪随机数。真随机数只是一种数学的理想化概念，实际中我们所接触到的和使用的都是伪随机数。要把伪随机数当成真随机数来使用, 必须要通过随机数的一系列的统计检验。 无论伪随机数用什么方法产生,它的局限性都在于这些随机数总是一个有限长的循环集合, 而且序列偏差的上确界达到最大值。所以若能产生低偏差的确定性序列是很有用的,产生的序列应该具有这样的性质, 即任意长的子序列都能均匀地填充函数空间。 人们已经产生了若干种满足这个要求的序列,如Halton序列、Faure序列、Sobol序列和Niederreiter序列等。称这些序列为拟随机数序列。伪随机序列是为了模拟随机性, 而拟随机序列更致力于均匀性。 3、蒙特卡洛方法的原理 当问题可以抽象为某个确定的数学问题时，应当首先建立一个恰当的概率模型，即确定某个随机事件A或随机变量X，使得待求的解等 蒙特卡罗方法（MC） 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法： 蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。 传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是我们采用该方法的原因。 蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下： 当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并 用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗解题三个主要步骤： 构造或描述概率过程： 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 实现从已知概率分布抽样： 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 建立各种估计量： 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量： 于是，在N次实验后，正品个数为： 第三章蒙特卡罗方法简介 3.1 Monte Carlo方法简介 Monte Carlo方法是诺斯阿拉莫斯实验室在总结其二战期间工作（曼哈顿计划）的基础上提出来的。Monte Carlo的发明，主要归功于Enrico Fermi、Von Neumann和Stanislaw Ulam等。自二战以来，Monte Carlo方法由于其在解决粒子输运问题上特有的优势而得到了迅速发展，并在核物理、辐射物理、数学、电子学等方面得到了广泛的应用。Monte Carlo的基本思想就是基于随机数选择的统计抽样，这和赌博中掷色子很类似，故取名Monte Carlo。 Monte Carlo方法非常适于解决复杂的三维问题，对于不能用确定性方法解决的问题尤其有用，可以用来模拟核子与物质的相互作用。在粒子输运中，Monte Carlo技术就是跟踪来自源的每个粒子，从粒子产生开始，直到其消亡（吸收或逃逸等）。在跟踪过程中，利用有关传输数据经随机抽样来决定粒子每一步的结果[6]。 3.2 Monte Carlo发展历程 MCNP程序全名为Monte Carlo Neutron and Photon Transport Code (蒙特卡罗中子-光子输运程序)。Monte Carlo模拟程序是在1940年美国实施“发展核武器计划”时，由洛斯阿拉莫斯实验室（LANL）提出的，为其所投入的研究、发展、程序编写及参数制作超过了500人年。1950年Monte Carlo方法的机器语言出现, 1963年通用性的Monte Carlo方法语言推出，在此基础上，20世纪70年代中期由中子程序和光子程序合并,形成了最初的MCNP程序。自那时起，每2—3年MCNP更新一次, 版本不断发展，功能不断增加，适应面也越来越广。已知的MCNP程序研制版本的更新时间表如下：MCNP-3：1983年写成，为标准的FORTRAN-77版本，截面采用ENDF /B2III。 MCNP-3A：1986年写成，加进了多种标准源，截面采用ENDF /B2I V[20]。 蒙特卡罗方法及应用 实验讲义 东华理工大学核工系 2016.8 实验一 蒙特卡罗方法基本思想 一、实验目的 1、了解蒙特卡罗方法方法的基本思想； 2、掌握蒙特卡罗方法计算面积、体积的方法； 3、掌握由已知分布的随机抽样方法。 二、实验原理 Monte Carlo 方法，又称统计模拟方法或计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”进行数值模拟的方法，一种采用统计抽样理论近似求解物理或数学问题的方法。 如待求量可以表述成某些特征量的期望值、某些事件出现的概率或两者的函数形式，那么可采用蒙特卡罗方法求解。在求解某些特征量的期望值或某些事件出现的概率时，必须构建合符实际的数学模型。例如采用蒙特卡罗方法计算某函数所围面积时，构建的数学模型是构造一已知面积的可均匀抽样区域，在该区域投点，由伯努利定理大数定理可知，进入待求区域投点的频率依概率1收敛于该事件出现的概率（面积之比）。 由已知分布的随机抽样方法指的是由已知分布的总体中抽取简单子样。具体方法很多，详见教材第三章。 三、实验内容 1、安装所需计算工具（MATLAB 、fortran 、C++等）； 2、学习使用rand(m,n)、unifrnd(a,b,m,n)函数 3、求解下列问题： 3.0、蒲丰氏投针求圆周率。 3.1、给定曲线y =2 – x 2 和曲线y 3 = x 2，曲线的交点为：P 1( – 1，1 )、P 2( 1，1 )。曲线围成平面有限区域，用蒙特卡罗方法计算区域面积； 3.2 、计算1z z ?≥??≤??所围体积 其中{(,,)|11,11,02}x y z x y z Ω=-≤≤-≤≤≤≤。 4、对以下已知分布进行随机抽样： 图1-1 蒙特卡罗方法学习总结 核工程与核技术2014级3班张振华20144530317 一、蒙特卡罗方法概述 1.1蒙特卡罗方法的基本思想 1.1.1基本思想 蒙特卡罗方的基本思想就是，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 1.1.2计算机模拟打靶游戏 为了能更为深刻地理解蒙特卡罗方法的基本思想，我们学习了蒲丰氏问题和打靶游戏两大经典例子。下面主要对打靶游戏进行剖析、计算机模拟（MATLAB 程序）。 设某射击运动员的弹着点分布如表1-1 所示， 首先用一维数轴刻画出已知该运动员的弹 着点的分布如图1-1所示。研究打靶游戏，我 们不用考察子弹的运动轨迹，只需研究每次“扣动扳机”后的子弹弹着点。每一环数对应唯一确定的概率，且注意到概率分布函数有单调不减和归一化的性质。首先我们产生一个在(0,1)上均匀分布的随机数（模拟扣动扳机），然后将该随机数代表的点投到P 轴上（模拟子弹射向靶上的一个确定点），得到对应的环数（即子弹的弹着点），模拟打靶完成。反复进行N 次试验，统计出试验结果的样本均值。样本均值应当等于数学期望值，但允许存在一定的偏差，即理论计算值应该约等于模拟试验结果。 clear all;clc; N=100000;s=0; for n=1:N %step 4.重复N 次打靶游戏试验 x=rand(); %step 1.产生在(0,1)上均匀分布的随机数if(x<=0.1) %step 2.若随机数落在(0.0,0.1)上，则代表弹着点在7环g=7; s=s+g; %step 3.统计总环数elseif(x<=0.2) %step 2.若随机数落在(0.1,0.2)上，则代表弹着点在8环g=8;s=s+g; elseif(x<=0.5) %step 2.若随机数落在(0.2,0.5)上，则代表弹着点在9环g=9;s=s+g; else %step 2.若随机数落在(0.5,1.0)上，则代表弹着点在10环 g=10;s=s+g; end end gn_th=7*0.1+8*0.1+9*0.3+10*0.5; %step 5.计算、输出理论值fprintf('理论值：%f\n',gn_th); gn=s/N; %step 6.计算、输出试验结果 fprintf('试验结果：%f\n',gn);1.2蒙特卡罗方法的收敛性与误差 1.2.1收敛性 由大数定律可知，应用蒙特卡罗方法求近似解，当随机变量Z 的简单子样数N 趋向于无穷大（N 充分大）时，其均值依概率收敛于它的数学期望。 1.2.2误差 由中心极限定理可知，近似值与真值的误差为N Z E Z N αλ<-)(?。式中的αλ的值可以根据给出的置信水平，查阅标准正态分布表来确定。 1.2.3收敛性与误差的关系 在一般情况下，求具有有限r 阶原点矩()∞ 《中子输运理论与数值方法》课程作业 ——蒙特卡洛方法 目录 1. 前言 (3) 2. 蒙特卡洛方法概述 (3) 2.1 蒙特卡洛方法的基本思想 (3) 2.2 蒙特卡洛方法的收敛性、误差 (3) 2.2.1 蒙特卡洛方法的收敛性 (3) 2.2.2 蒙特卡洛方法的误差 (3) 2.3 蒙特卡洛方法的特点 (3) 2.4 蒙特卡洛方法的主要应用围 (3) 3. 随机数 (3) 3.1 线性乘同余方法 (3) 3.2 伪随机数序列的均匀性和独立性 (3) 3.2.1 伪随机数的均匀性 (3) 3.2.2 伪随机数的独立性 (3) 4. 蒙特卡洛方法在粒子输运上的应用 (3) 4.1 屏蔽问题模型 (3) 4.2 直接模拟方法 (3) 4.2.1 状态参数与状态序列 (3) 4.2.2 模拟运动过程 (3) 4.2.3 记录结果 (3) 4.3 蒙特卡洛方法的效率 (3) 5. 蒙特卡洛方法应用程序—MCNP (3) 5.1 MCNP简述 (3) 5.2 MCNP误差的估计 (3) 5.3 MCNP效率因素 (3) 6. 结论 (3) 参考文献 (3) 1.前言 半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡洛(Monte Carlo)方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡洛方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡洛方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。蒙特卡洛模拟计算是解决中子在介质中输运较为成熟、有效的方法，对于原子能、辐射防护、剂量学和辐射生物物理学等研究领域 蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 （2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 蒙特卡洛法模拟蒲丰（Buffon）投针实验-使用Matlab 2010年03月31日星期三8:47 蒲丰投针实验是一个著名的概率实验，其原理请参见此页： https://www.doczj.com/doc/7e8047610.html,/reese/buffon/buffon.html 现在我们利用Matlab来做模拟，顺便说一下，这种随机模拟方法便是传说中的“蒙特- 蒙特卡罗方法及其在中子输运问题中得应用 目录 蒙特卡罗方法及其在中子输运问题中得应用 (1) 1蒙特卡罗方法简介 (3) 1.1蒙特卡罗方法的基本原理 (3) 1.2 蒙特卡罗方法的误差 (4) 2 随机变量的抽样方法 (4) 2.1 直接抽样方法 (5) 2.1.1 离散型随机变量的抽样 (5) 2.1.2 连续型随机变量的抽样 (5) 2.2 挑选抽样法 (5) 2.3 复合抽样法 (6) 3 蒙特卡罗方法模拟中子输运过程 (6) 3.1 源抽样 (6) 3.2 输运距离的抽样 (7) 3.3 碰撞核素的抽样值 (7) 3.4 反应类型的抽样值 (7) 3.5 反应后中子状态的确定 (7) 3.5.1 弹性散射 (7) 3.5.2 非弹性散射 (8) 3.5.3 裂变反应 (8) 4 蒙特卡罗方法的减方差技巧 (8) 4.1 权 (8) 4.2 统计估计法 (9) 4.3 权窗 (10) 5 蒙特卡罗方法求解通量 (10) 5.1 通量的定义 (10) 5.2 点通量的计算 (11) 5.3 面通量的计算 (11) 5.3.1 统计估计法 (11) 5.3.2 加权法 (12) 5.4 体通量的计算 (12) 5.4.1 统计估计法 (12) 5.4.2 径迹长度法 (13) 5.4.3 碰撞密度法 (13) 5.4.4 几种体通量计算方法的比较 (14) 5.5 最终结果的统计 (14) 6 蒙特卡罗方法求解k eff (15) 6.1 有效增值因子k eff的定义 (15) 6.2 蒙特卡罗方法求解k eff (15) 6.2.1 吸收估计法 (15) 6.2.2 碰撞估计法 (15) 6.2.3 径迹长度估计法 (16) 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介 蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于"随机数"的计算方法。 一起源 这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。Monte Carlo方法创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann（学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和Nicholas Metropolis。 Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；Enrico Fermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损啊，上帝都嫉妒！）；John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和Fermi一样，被上帝嫉妒了；Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式由于他提出的一种什么算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。 蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特?罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。 二解决问题的基本思路 Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。19世纪人们用投针试验的方法来决定圆周率π。本世纪40年代电子计算机的出现，特 蒙特卡洛模型方法 蒙特卡罗方法（Monte Carlo method） 蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。 蒙特卡罗方法的提出 蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S．M．乌拉姆和J．冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国Buffon提出用投针实验的方 样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。 科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”（Curse of Dimensionality），传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo 方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”（Quasi －Monte Carlo方法）—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确 蒙特卡洛方法及其应用 1风险评估及蒙特卡洛方法概述 １.１蒙特卡洛方法。 蒙特卡洛方法，又称随机模拟方法或统计模拟方法，是在20世纪40年代随着电子计算机的发明而提出的。它是以统计抽样理论为基础，利用随机数，经过对随机变量已有数据的统计进行抽样实验或随机模拟，以求得统计量的某个数字特征并将其作为待解决问题的数值解。 蒙特卡洛模拟方法的基本原理是：假定随机变量X1、X2、X3……X n、Y，其中X1、X2、X3……X n 的概率分布已知，且X1、X2、X3……X n、Y有函数关系：Y=F（X1、X2、X3……X n），希望求得随机变量Y的近似分布情况及数字特征。通过抽取符合其概率分布的随机数列X1、X2、X3……X n带入其函数关系式计算获得Y的值。当模拟的次数足够多的时候，我们就可以得到与实际情况相近的函数Y的概率分布和数字特征。 蒙特卡洛法的特点是预测结果给出了预测值的最大值,最小值和最可能值，给出了预测值的区间范围及分布规律。 １.２风险评估概述。 风险表现为损损益的不确定性，说明风险产生的结果可能带来损失、获利或是无损失也无获利，属于广义风险。正是因为未来的不确定性使得每一个项目都存在风险。对于一个公司而言，各种投资项目通常会具有不同程度的风险，这些风险对于一个公司的影响不可小视，小到一个项目投资资本的按时回收，大到公司的总风险、公司正常运营。因此，对于风险的测量以及控制是非常重要的一个环节。 风险评估就是量化测评某一事件或事物带来的影响的可能程度。根据“经济人”假设，收益最大化是投资者的主要追求目标，面对不可避免的风险时，降低风险，防止或减少损失，以实现预期最佳是投资的目标。 当评价风险大小时，常有两种评价方式：定性分析与定量分析法。定性分析一般是根据风险度或风险大小等指标对风险因素进行优先级排序，为进一步分析或处理风险提供参考。这种方法适用于对比不同项目的风险程度，但这种方法最大的缺陷是在于，在多个项目中风险最小者也有可能亏损。而定量分析法则是将一些风险指标量化得到一系列的量化指标。通过这些简单易懂的指标，才能使公司的经营者、投资者对于项目分风险有正确的评估与判断，蒙特卡罗粒子输运计算中源可视化分析 方法及应用
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浅析蒙特卡洛方法原理及应用
蒙特卡洛方法
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蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤
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