积分与定积分概念

积分与定积分概念

积分和定积分是微积分中非常重要的概念，它们在各个领域都有着

广泛的应用。本文将介绍积分和定积分的概念、性质以及在实际问题

中的应用。

一、积分的概念

积分是微积分中的一个基本概念，它是求解曲线下面积的一种方法。对于一个函数f(x)，它的积分可以用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，

f(x)是被积函数。积分的结果可以看作是函数f(x)在某个区间上的“累积”。

二、定积分的概念

定积分是积分的一种特殊形式，它是从a到b的区间上的积分。定

积分可以用∫[a,b]f(x)dx表示，其中[a, b]表示积分的区间。定积分的结

果是一个具体的数值，代表了函数f(x)在[a, b]区间上的累积值。

三、积分与定积分的性质

1. 积分的线性性质：对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个标量k，

有∫(kf(x) + g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。这个性质可以简化积分的计算

过程。

2. 定积分与导数的关系：如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数

（即F'(x) = f(x)），那么∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。这个性质

可以用来求解定积分的值。

3. 定积分的区间可加性：如果函数f(x)在[a, c]和[c, b]上都是可积的，那么∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。这个性质可以将一个区间

上的积分分解成两个子区间上的积分。

四、积分在实际问题中的应用

1. 曲线下面积：积分可以用来计算曲线与x轴之间的面积。例如，

在物理学中，利用定积分可以求解物体的位移、速度等问题。

2. 几何体的体积：积分可以用来计算几何体的体积。例如，在工程

学中，利用定积分可以求解复杂形状的建筑物的体积。

3. 概率密度函数：积分可以用来计算概率密度函数下的概率。在统

计学中，利用定积分可以计算出某个区间内随机变量的概率。

总结：积分和定积分是微积分中的重要概念，它们可以用来求解函

数的累积值、曲线下的面积等实际问题。积分具有线性性质、与导数

有密切的关系，并且具有区间可加性。在实际应用中，积分在计算曲

线下的面积、体积以及概率等方面发挥着重要作用。

定积分的概念和性质公式

1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限

其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点

怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；

在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）

设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立

定积分的概念和基本思想

定积分的概念和基本思想 一、定积分的概念和基本思想 1、定积分的概念 一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0

定积分的基本概念

方法与手段导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯

下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。 事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。 好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。 解决步骤： 大化小：在区间[a,b]中任意插入n −1个分点a =x 0

定积分的概念及性质

一、定积分的概念及性质 定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。 牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。 被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。 定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。 二、定积分的计算 定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。 定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。例如用换元法来计算定积分 ? 2 2cos sin π xdx x ， 如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即 ? 20 2cos sin π xdx x x u sin = 3 13 110 31 2 = =?u du u 。 可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即 =?202 cos sin πxdx x 3 1sin 3 1sin sin 20 3 20 2 = =?ππx x xd 。 在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。

积分与定积分概念

积分与定积分概念 积分和定积分是微积分中非常重要的概念，它们在各个领域都有着 广泛的应用。本文将介绍积分和定积分的概念、性质以及在实际问题 中的应用。 一、积分的概念 积分是微积分中的一个基本概念，它是求解曲线下面积的一种方法。对于一个函数f(x)，它的积分可以用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号， f(x)是被积函数。积分的结果可以看作是函数f(x)在某个区间上的“累积”。 二、定积分的概念 定积分是积分的一种特殊形式，它是从a到b的区间上的积分。定 积分可以用∫[a,b]f(x)dx表示，其中[a, b]表示积分的区间。定积分的结 果是一个具体的数值，代表了函数f(x)在[a, b]区间上的累积值。 三、积分与定积分的性质 1. 积分的线性性质：对于两个函数f(x)和g(x)，以及一个标量k， 有∫(kf(x) + g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。这个性质可以简化积分的计算 过程。 2. 定积分与导数的关系：如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数 （即F'(x) = f(x)），那么∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。这个性质 可以用来求解定积分的值。

3. 定积分的区间可加性：如果函数f(x)在[a, c]和[c, b]上都是可积的，那么∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx。这个性质可以将一个区间 上的积分分解成两个子区间上的积分。 四、积分在实际问题中的应用 1. 曲线下面积：积分可以用来计算曲线与x轴之间的面积。例如， 在物理学中，利用定积分可以求解物体的位移、速度等问题。 2. 几何体的体积：积分可以用来计算几何体的体积。例如，在工程 学中，利用定积分可以求解复杂形状的建筑物的体积。 3. 概率密度函数：积分可以用来计算概率密度函数下的概率。在统 计学中，利用定积分可以计算出某个区间内随机变量的概率。 总结：积分和定积分是微积分中的重要概念，它们可以用来求解函 数的累积值、曲线下的面积等实际问题。积分具有线性性质、与导数 有密切的关系，并且具有区间可加性。在实际应用中，积分在计算曲 线下的面积、体积以及概率等方面发挥着重要作用。

定积分的概念讲义

定积分的概念 【知识要点】 (1)定积分的定义及相关概念 ① 分割 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0

定积分应用与意义

定积分应用与意义 定积分是微积分中的重要概念之一，它在数学和实际应用中都具有广泛的意义和应用。定积分的概念和定义虽然较为复杂，但是通过对定积分的研究和应用，我们可以更深入地理解数学的内涵，并将其应用于实际问题的解决中。 1. 定积分的基本概念 定积分的概念最早由数学家牛顿和莱布尼茨同时独立提出，它是微积分的核心理论之一。定积分的基本概念可以通过对微小变化的累加来得到，即将一个函数在某个区间上的微小变化进行累加，得到整体的变化情况。定积分用于计算曲线与坐标轴所夹的面积，也可以用于计算函数在某个区间上的平均值等。 2. 定积分的数学意义 定积分在数学上的意义非常重要，它在微积分的理论体系中起着重要的作用。定积分可以用于求解函数的原函数，从而得到函数的不定积分。同时，定积分可以通过数值计算的方式求解，从而得到函数在某个区间上的数值结果。这为数学的理论研究和实际计算提供了基础。 3. 定积分在几何中的应用 定积分在几何中有着广泛的应用。例如，可以通过定积分计算曲线与坐标轴所夹的面积，从而解决几何问题。同时，定积分还可以用

于计算曲线的弧长，计算曲线的质心坐标等。这些几何应用使得定积分成为几何分析中不可或缺的工具。 4. 定积分在物理中的应用 定积分在物理学中也有着重要的应用。在物理学中，许多物理量都可以通过定积分进行计算。例如，通过定积分可以计算物体在某一时间段内的位移、速度和加速度等。同时，定积分还可以用于计算物体在力场中所受的力和功等。这些物理应用使得定积分在物理学中具有重要的意义。 5. 定积分在经济学中的应用 定积分在经济学中也有着广泛的应用。经济学中的许多问题需要通过定积分进行计算和求解。例如，通过定积分可以计算收益曲线和成本曲线所围成的利润。同时，定积分还可以用于计算市场需求曲线和供给曲线之间的均衡点。这些经济应用使得定积分成为经济学中必不可少的工具。 综上所述，定积分在数学和实际应用中具有重要的意义和应用。它不仅丰富了数学的理论体系，还在几何学、物理学、经济学等领域中发挥着重要的作用。通过对定积分的研究和应用，我们可以更深入地理解数学的内涵，同时也为实际问题的解决提供了有力的工具和方法。因此，定积分的学习和应用具有重要的意义，值得我们深入研究和探索。

定积分知识点汇总

定积分知识点汇总 在微积分学中，定积分是一个基本概念。它是将一个区间上的 函数的值乘以这个区间的长度进行求和的过程。在这篇文章中， 我们将详细介绍定积分的相关知识点，包括定义、性质、计算方 法以及一些重要的定理。 一、定积分的定义 定积分的定义是将一个连续函数$f(x)$在某个区间$[a, b]$上的 面积或体积表示出来的过程。这里我们主要探讨二维平面内的定 积分。在数学语言中，定积分的定义可以写作： $\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Del ta x$ 其中$n$表示将区间$[a, b]$等分成$n$份，$\Delta x=\frac{b- a}{n}$表示每份长度。$x_i$是第$i$份区间的中间点，即$a+(i- \frac{1}{2})\Delta x$。$\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$表示的是矩形 的面积之和，$\lim_{n\rightarrow\infty}$表示将矩形的数量趋近于 无穷大。最后的定积分即两个端点为$a$和$b$的函数$f(x)$的积分。

二、定积分的性质 1. 线性性 $\int_a^b[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]dx=c_1\int_a^bf_1(x)dx+c_2\int_a^ bf_2(x)dx$ 2. 区间可加性 $\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$ 3. 积分中值定理 如果$f(x)$在$[a, b]$上是连续的，则存在一个$c\in[a, b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。其中$c$称为积分中值。 4. 牛顿-莱布尼茨公式

定积分的概念

定积分与微积分定理 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆〔b a x n -∆= 〕，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2, ,i i n ξ=，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0〔亦即n →+∞〕时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，则称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ⎰ 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：〔1〕定积分 ()b a f x dx ⎰ 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S 〔n →+∞时〕称为 ()b a f x dx ⎰ ，而不是n S ． 〔2〕用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点 []1,i i i x x ξ-∈；③求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 〔3〕曲边图形面积：()b a S f x dx = ⎰ ；变速运动路程21 ()t t S v t dt =⎰； 变力做功()b a W F r dr = ⎰ 2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积 分 ()b a f x dx ⎰ 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各局部面 积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．〔可以先不给学生讲〕． 分析：一般的，设被积函数()y f x =，假设()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+ +∆ 不妨设1(),(), ,()0i i n f x f x f x +<

积分的基本概念及其应用

积分的基本概念及其应用 在数学中，积分是微积分的重要内容之一，它的概念和应用广泛存 在于各个领域。积分可以用于解决面积、曲线长度、体积等问题，具 有重要的数学和实际意义。本文将介绍积分的基本概念，并探讨其在 实际中的应用。 一、积分的基本概念 积分是微积分中常用的概念，它的符号表示为∫。积分可以理解为函数的反操作，即对函数进行积分得到原函数。对于函数f(x)，其积分可以表示为F(x) = ∫ f(x) dx，其中F(x)为f(x)的原函数。积分的结果是一 个不定积分，也就是求得的是一个函数。 在积分运算中，被积函数f(x)称为被积表达式，而x称为积分变量，dx称为微元。积分的本质是将函数在一个给定区间上的取值进行求和，并与x轴之间的面积产生关联。通过积分，我们可以求得曲线下面的 面积、曲线的弧长以及一些与曲线相关的物理量等。 二、积分的应用领域 1. 几何学 在几何学中，积分可以用于计算平面图形的面积和空间图形的体积。例如，当我们需要计算一个曲线所包围的区域的面积时，可以通过对 曲线进行积分得到。 2. 物理学

在物理学中，积分可以用于解决速度、加速度、质量和力等问题。例如，通过对速度函数进行积分可以得到位移函数；通过对力函数进行积分可以得到功函数；通过对质量、速度和时间进行积分可以得到动量。 3. 经济学 在经济学中，积分可以用于计算经济模型中的总收益、总成本以及供需变动等。例如，通过对供给曲线和需求曲线之间的区域进行积分可以计算市场的总收益。 4. 计算机科学 在计算机科学中，积分可以用于图像处理、机器学习、模式识别等领域。例如，图像处理中的边缘检测算法可以利用图像的灰度值梯度进行积分计算。 三、积分的计算方法 1. 基本积分法则 基本积分法则包括线性法则、常数法则、幂函数法则、指数函数法则、三角函数法则、反三角函数法则等，这些法则能够帮助我们对一些常见的函数进行积分计算。 2. 特殊积分法

定积分的定义及几何意义

定 积 分 教学重点:定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）． 教学难点：过程的理解． 1.定积分的概念： 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<< <<<<=将区间 [,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x ∆（b a x n -∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时,上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =⎰ 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限,a 积分下限. 说明： (1）定积分()b a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ⎰，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈; ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限:()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）积分的几何意义:曲边图形面积:()b a S f x dx =⎰； 积分的物理意义： 变速运动路程21()t t S v t dt =⎰; 变力做功 ()b a W F r dr =⎰ 2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=⎰1 性质2 ⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()( (其中k 是不为0的常数） 性质3 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ 性质4 ()()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中

定积分的定义及几何意义

定 积 分 教学重点：定积分的概念、定积分法求简洁的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义． 教学重点：驾驭过程步骤：分割、以不变代变、求和、靠近〔取极限〕． 教学难点：过程的理解． 1.定积分的概念： 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<< <<<<=将区间 [,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆〔b a x n -∆=〕，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=∆=∑∑ 假如x ∆无限接近于0〔亦即n →+∞〕时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =⎰ 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明： 〔1〕定积分()b a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S 〔n →+∞时〕称为()b a f x dx ⎰，而不是n S ． 〔2〕用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 〔3〕积分的几何意义：曲边图形面积：()b a S f x dx =⎰； 积分的物理意义： 变速运动路程21()t t S v t dt =⎰； 变力做功 ()b a W F r dr =⎰ 2．定积分的性质 依据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=⎰1 性质2 ⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()( 〔其中k 是不为0的常数〕 性质3 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ 性质4 ()()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中

高数积分的定义

高数积分的定义 高数积分是微积分的一个分支，是用来研究定积分和不定积分概念及其应用的学科。简单来讲，它就是求解有关函数的积分问题，通过求解这些函数来研究它们的特点、性质以及当中的关系。它是理解空间几何形态的重要基础，也是解决许多复杂的物理问题的有力工具。 从数学历史上来看，高数积分最早诞生于17世纪，当时是人们 对自然界规律的探索。在荷兰数学家笛卡尔（Descartes）的“分析 地理学”理论中，特别是他建立的几何方法，使高数积分被应用于几何学中，而高数积分在几何学中也发挥了非常重要的作用。此后，由于计算机和科学算法的发展，高数积分已广泛应用于工程、物理、数学和经济等领域。 高数积分的定义是：它是一种数学方法，用于研究定积分和不定积分的概念和应用，以及求解空间中物体形状变化的过程，以解决复杂的物理问题。通过这种方法，可以解决如求解质量流量、能量传递量、平面和曲面积等问题。 换句话说，高数积分是在多维空间中分析函数变化的原理，例如变量、极限、极限运算、无穷小、无穷大等。其中，定积分是指将复杂的函数简化为一个定值，以便求解其积分；而不定积分表示的是将函数的一部分加入另一部分以划分空间，以计算求得指定物体的形状。 高数积分中的一些基本概念也是其中的重要内容。这些概念包括曲线和曲面的积分、空间体积的计算、空间中物体形状的变化及其他积分概念。而基本积分公式则可以用来简化上述概念的计算，还可应

用于求解复杂的物理问题。 同时，深入的了解高数积分也可以帮助我们更好地理解许多复杂的物理系统，例如空气动力学、液体力学等等。只有在理解了高数积分的原理和运用，才能实现复杂物体形状变化的精确模拟，并获得更加准确的结果。 总之，高数积分是一门重要而又非常复杂的数学学科，它为几何学、物理学、工程学和经济学等学科提供了重要的数学工具和支持，并可以帮助我们理解复杂的物理系统。它的定义在国际上也有不少的变化，并且不断发展出新的概念和应用，正在不断地作用着社会的发展科学。

人教版高中数学定积分概念及其运算

定 积 分 一、定积分的概念 1、曲边梯形的面积 分割→近似取代→求和→求极限 说明：（1）常用的求和公式 )12)(1(61...3212222++=++++n n n n 223333)1(4 1 ...321+=++++n n n （2）在定积分理论中，这种分割是任意的，只要保证每个区间的长度都向于0.在这里“等分”与“任意分割”等价的。 2、定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a x n -∆= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数 S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ⎰ 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 3、定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[]b a ,上函数 )(x f 连续且恒有0)(≥x f 。那么定积分⎰b a dx x f )(表示由直线 a x = b x =,)(b a <，0=y 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形 的面积。 4.性质1 、 ⎰⎰ =b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质2、 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质） 性质3 、 ()()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）

定积分和微积分

知识点一：定积分的概念 如果函数在区间上连续，用分点将 区间分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式 ，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数， 叫做积分变量，叫做被积式. 说明： （1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零； （2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限. 知识点二：定积分的几何意义 设函数在区间上连续. 在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直 线与轴围成的曲边梯形的面积； 在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示曲边梯形面积的相反数； 在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，

而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号； 在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线 与轴所围成的各部分面积的代数和. 知识点三：定积分的性质 （1）（为常数）， （2）， （3）（其中）， （4）利用函数的奇偶性求积分： 若函数在区间上是奇函数，则； 若函数在区间上是偶函数，则. 知识点四：微积分基本定理 微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）: 如果在上连续，且，则。其中叫做的一个原函数. 注意： ①求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函 数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算. ②由于也是的原函数，其中c为常数. 知识点五：应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线，，轴（即直线）及一条曲 线 ()围成的曲边梯形的面积：