定积分概念

§1.5.3 定积分的概念

编写：齐洪震 审阅：高二数学组

【目标引领】

1.了解定积分的概念,会通过四步曲求连续函数的定积分;

2.了解定积分的几何意义及性质. 【自学探究】

（1）． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，

（2）． 对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 【合作解疑】 1．定积分的概念

如果函数()x f 在区间[]b a ,上 ，用分点01

1

i i n a x x x

x x

b

-=<<<<<<= 将区间[]b a ,等分成n 个小区间，在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()n i i ,3,2,1=ξ，作和式：()x f n

i i ∆∑=1ξ= 当∞→n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常

数叫做函数()x f 在区间[]b a ,上的 ，记做()dx x f b

a

⎰。即

()()i n

i n b

a

f n

a b dx x f ξ-∑

==∞→⎰

1

lim

其中函数()f x 叫做 ，x 叫做 变量，区间[,]a b 为 区间，b 叫积分 ，叫a 积分 。说明：（1） 定积分()b

a f x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞

时）称为()b a

f x dx ⎰

，而不是n S ．定积分()b

a

f x dx ⎰的值只与被积函数()f x 及被积区间

[,]a b 有关，而与积分变量所用的符号无关，即定积分()b a

f x dx ⎰是一个常数，当被积函数()f x 及被积区间[,]a b 给定后，这个数便是确定的，它除了不依赖于定义中的对区间[,]

a b 的分法和i ξ的取法外，也不依赖于()b a

f x dx ⎰中的积分变量，即()b a

f x dx ⎰＝()b

a

f t dt ⎰。

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1

()n

i i b a f n

ξ=-∑

；

④取极限：()

1

()lim n

b

i a

n i b a f x dx f n

ξ→∞

=-=∑⎰

（3）曲边图形面积：()b a

S f x dx =

⎰

；变速运动路程2

1

()t t S v t dt =

⎰

；

变力做功 ()b

a

W F r dr =

⎰

2．定积分的几何意义

（2）用定积分表示下图中阴影的面积

说明：一般情况下，定积分()b

a f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及

直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．

分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。

考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆ 不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<

于是和式即为

()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆

()b

a f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）

3．定积分的性质 性质1 1b a dx =⎰

性质2 ()b a kf x dx =⎰ （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3

12[()()]b a

f x f x dx ±=⎰

（定积分的线性性质）

性质4

()()b

c

a

a

f x dx f x dx =

+⎰

⎰

()a c b <<其中（定积分对积分

区间的可加性）

说明：①推广：1212[()()()]()()()b

b b b m m a a

a

a

f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±±±=

±

±±

⎰⎰

⎰

⎰

②推广:121

()()()()k

b

c c b a

a

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =

+

++

⎰⎰

⎰

⎰

③性质解释：

4.从几何意义角度区分

(),(),()

b b b

a a a

f x dx f x dx f x dx

⎰⎰⎰

【精讲点拨】

例1.利用定积分定义计算下列各式，并用几何意义检验：

（1）2

1

(1)

x dx

+

⎰（2）2

2

(1)

x dx

-

+

⎰（3）1

xdx

⎰（4）13

x dx

⎰

例2．利用定积分几何意义求：

（1）

2

2

-

⎰（2）

⎰

【训练巩固】

AM N B AM PC C PN B

S S S

=+

曲边梯形曲边梯形曲边梯形

1、定积分⎰b

a

cdx （c 为常数）的几何意义是

2、（1）由y=sinx, x=0,x=2

π

,y=0所围成图形的面积写成定积分的形式是

（2

）由0,2y y ==

=所围成图形的面积写成定积分的形式是

（2）由22,y x x y =-=所围成图形的面积写成定积分的形式是 3、定积分⎰b

a dx x f )(的大小 （ ）

A 、与)(x f 和积分区间[]b a ,有关，与i ξ的取法无关

B 、与)(x f 有关，与区间[]b a ,及i ξ的取法无关

C 、与)(x f 和i ξ的取法有关，与积分区间[]b a ,无关

D 、与)(x f 、区间[]b a ,和i ξ的取法都有关 4、下列等式成立的个数是（ ） ①⎰⎰

=

1

01

)()(dx x f dt t f ②dx x dx x xdx ⎰

⎰⎰=

+

π

π

ππ

2

20sin sin

sin

③dx x dx x a a

a

⎰⎰

=-0

2 ④⎰

⎰

<

-2

2

2

24dx dx x

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4 5、计算下列定积分

（1）2

1(1)x dx +⎰； （2）22

x dx -⎰

；

（3

）a a

-⎰（0a >）

； （4）()40

f x dx ⎰

其中(),01

1,134,34x x f x x x x ≤<⎧⎪

=≤≤⎨⎪-<≤⎩

*6、思考题：你能使用定积分计算出椭圆

()222

2

10x y a b a

b

+

=>>的面积吗？

（由

()222

2

10x y a b a

b

+

=>>解出椭圆在x 轴上方部分曲线的函数表达式（此时0y ≥），

然后根据定积分性质1以及上面第5题（3）的结果可求出椭圆在x 轴上方部分的面积）

定积分概念的步骤

定积分概念的步骤 定积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下方某一区间的面积，或求解函数在某一区间上的平均值等问题。下面将详细介绍定积分的概念和求解的步骤。 定积分的概念： 定积分是求解曲线下方某一区间的面积的数学工具，它是定义在闭区间[a,b]上的函数f(某)的一个性质，可以理解为函数f(某)在区间[a,b]上的累积效应。 定积分步骤如下： 1.确定积分区间：首先需要确定定积分的积分区间，即求解的曲线下方的面积的范围。区间一般以[a,b]表示，其中a和b为常数。 2.确定积分函数：根据具体问题，确定要计算的函数f(某)。函数 f(某)可以是一个实际问题中的物理量随时间或空间的变化函数。 3.将积分区间分成若干小区间：将积分区间[a,b]分割成若干个小区间，每个小区间的长度为∆某。通常，分割是均匀的，即每个小区间的长度相等。 4.选择代表性点：在每个小区间中选择一个代表性点某i。可以根据需要选择左端点、右端点、中点等。这些代表性点将被用来求解小区间上曲线下方的面积。 5.计算小区间上的面积：根据代表性点某i，计算每个小区间上曲线下方的面积。这可以通过求解函数f(某)在小区间上的定积分来实现。

6.求和：将每个小区间上的面积求和，得到整个积分区间[a,b]上曲线下方的总面积。这里的求和过程可以看作是将所有小区间的面积进行累加的过程。 7.极限过程：随着小区间的个数无限增大，每个小区间的长度趋近于0，即∆某趋近于0。这时候，计算的总面积就趋近于定积分的值。 8.计算定积分：根据定义，定积分可以通过求解函数f(某)的原函数F(某)，并在积分区间[a,b]上的两个端点处进行求值来实现。定积分的求解可以使用积分公式、牛顿-莱布尼茨公式和数值积分等方法。 总结： 定积分通过将积分区间分割成无限小的小区间，在每个小区间上计算曲线下方的面积，并将其累加，从而求得整个积分区间上的面积。定积分的计算可以通过求解函数的原函数和积分公式来进行。它是微积分中的重要工具，被广泛应用于物理学、经济学、统计学等领域。

定积分的概念和性质公式

1. 曲边梯形的面积 设在区间上，则由直线、、及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积 分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成 n 个小区间 ，小区间的长度 在每个小区间上任取一点作乘积， 求和取极限：则面积取极限

其中，即小区间长度最大者趋于零。 2.变速直线运动的路程 设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。 分割求近似：在内插入若干分点将其分成 n 个小区间，小区间长度，。任取， 做 求和取极限：则路程取极限 定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 将分成 n 个小区间，其长度为，在每个小区间 上任取一点，作乘积，并求和， 记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的点

怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限 为函数在区间上的定积分，记作，即 ，（*） 其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限， 叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。 说明： 1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间 可积，（1）在区间上连续，则在可积。（2）在区间 上有界且只有有限个间断点，则在上可积。 2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以 3.规定 时 , 在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积；

在上时, 表示曲线、两条直线、 与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）； 例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 （1）（三角形面积）（2）（半圆面积）

设可积 性质1 性质2 性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有 性质4 性质5 如果在区间上，，则 推论 性质6 （定积分的估值）设 M 及 m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则 性质7 （定积分中值定理） 如果函数在区间上连续，则在上至少有一点， 使成立

定积分的基本概念

教 学 内 容 方法与手段 定积分的概念 大家好，这节课我们开始学习定积分的概念，主要分 为三个内容： 定积分概念引入 定积分的定义 定积分的几何性质 首先我们来看第一部分 一、定积分概念引入 说起定积分的思想，其萌芽是特别早的，可以追溯至古代，最具有代表人物就是阿基米德（公元前287年—公元前212年），我们比较熟悉的就是他的浮力原理，其实阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，是个非常牛的牛人，有兴趣的可以找找这个人的一些资料，当时他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢我们先看一个例子。 1曲边梯形的面积问题： 我们知道矩形面积：S ah = 梯形的面积：() 2 a b S h += 曲边梯形的面积：设()y f x =在区间[a,b]上非负连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线()y f x =所围成的面积。 导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯

那么这样的问题怎么求呢 首先，我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b 的区间长度代表其宽，b点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。 好，现在我们将[a,b] 区间分为两个，同样我们用这两个区间的长度代表其宽，两个区间的右端点代表其高，然后计算这两个矩形的面积求和，作为曲边梯形的面积，可以发现，通过切分，其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考，是不是切分的越多，其面积越近似我们再将其分为四份，我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。 事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。 好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。 解决步骤： 大化小：在区间中任意插入个分点 ，用直线将一个曲边梯形分成个小的曲边梯形；详讲总结

定积分的概念和基本思想

定积分的概念和基本思想 一、定积分的概念和基本思想 1、定积分的概念 一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0

定积分的概念及性质

一、定积分的概念及性质 定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。 牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。 被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。 定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。 二、定积分的计算 定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。 定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。例如用换元法来计算定积分 ? 2 2cos sin π xdx x ， 如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即 ? 20 2cos sin π xdx x x u sin = 3 13 110 31 2 = =?u du u 。 可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即 =?202 cos sin πxdx x 3 1sin 3 1sin sin 20 3 20 2 = =?ππx x xd 。 在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。

定积分的概念

定积分的概念 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2, ,i i n ξ=，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数 S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为 ()b a f x dx ? ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点 []1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx = ? ；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr =? 2．定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分 ()b a f x dx ?表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所 围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b a f x dx ?的几 何意义。 说明：一般情况下，定积分 ()b a f x dx ? 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线 ,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去 负号。

定积分的定义和计算

定积分的定义和计算 定积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下的面积、质量、体 积等物理量。本文将介绍定积分的定义和计算方法，以帮助读者更好 地理解和应用这一概念。 一、定积分的定义 定积分的定义可以通过分割求和的思想来解释。给定一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上进行分割，将该区间划分为n个子区间，每个子区间 的长度为Δx。选取每个子区间中的一个点xi，然后计算函数在该点的 函数值f(xi)。将这些函数值乘以子区间的长度Δx，并对它们进行求和，得到一个近似值。当我们让n趋近于无穷大时，所得到的近似值逐渐 接近定积分的准确值。 定积分的定义可以表示如下： ∫[a, b]f(x)dx = lim[n→∞]∑(i=1 to n)f(xi)Δx 其中∫表示定积分的符号，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示被积函数，dx表示自变量x的微小变化，lim表示极限操作，∑表示求和。 二、定积分的计算方法 定积分的计算可以通过基本积分公式和定积分的性质来进行。 1. 基本积分公式

定积分的计算可以利用基本积分公式，将被积函数直接进行积分。例如，对于多项式函数、三角函数等常见函数，可以通过查表或运用基本积分公式来计算定积分的值。 2. 定积分的性质 定积分具有一些重要的性质，可以简化计算过程。 （1）线性性质：若f(x)和g(x)是可积函数，a和b是常数，则有以下等式成立： ∫[a, b][f(x) + g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx ∫[a, b]af(x)dx = a∫[a, b]f(x)dx （2）区间可加性：若f(x)在区间[a, b]和[b, c]上是可积函数，则有以下等式成立： ∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx （3）换元积分法：对于积分区间和被积函数都有一定条件的情况下，可以通过换元积分法简化计算过程，将积分转化为更容易处理的形式。 三、实例计算 下面以一个简单的实例来说明定积分的计算过程。 例：计算定积分∫[0, 1]x^2dx。

定积分的概念

定积分的概念 一、利用定义求定积分 ??b a xdx dx x .)2(;)1(.110 3利用定积分的定义计算 .],0[))((.2内的下落距离在时间区间由落体利用定积分的定义求自 t gt t v = )0(321lim )2(;)1(sin 2sin sin 1lim )1(. .31 >++++??? ???-++++∞→∞→p n n n n n n n p p p p p n n πππ分把下列极限表示成定积 . )(. )0,()0,(.4所做的功对质点，求，是质点所在位置的函数如果力轴平行于，并设移动到点轴由点的作用沿受力设质点M F b x a x F F F x F b B a A x F M ≤≤= 二、定积分的几何意义 如图， ()_________________ =?dx x f d a _________ ____________________321=++A A A

;)13()3(; 1)2(; 4)1(.531 23 2 3222 2 ?? ? ---+--dx x dx x dx x 求下列定积分： ;cos )4(20 ?π xdx ;)(sin )5(11 37?-+dx x x ;)())(()7(; 616)6(3 2 2? ?>---+-b a a b dx b x a x dx x x 三、利用性质求定积分 ??? ???? +-===-==10 2 1 2 1 20 2 1 20 1 . )]()([,2)(,1)(,3)()(),()2(. )(,1)(,1)()()1.(6dx x g x f dx x f dx x f dx x g x g x f dx x f dx x f dx x f x f 求均是连续函数，若 求是连续函数，若 设 ??----3 3 2 32 3 2 . )sin 52()2(;)9()1(.7π πdx x dx x x 计算下列定积分：、 .]5,0[)(]5,3[2 25)3,2[4)2,0[)(.8上的定积分在区间，求已知x f x x x x x x x f ???? ???∈-∈-∈=

定积分的基本概念

教 学 内 容 方法与手段 定积分的概念 大家好，这节课我们开始学习定积分的概念，主要分为三个内容： 定积分概念引入 定积分的定义 定积分的几何性质 首先我们来看第一部分 一、定积分概念引入 说起定积分的思想，其萌芽是特别早的，可以追溯至古代，最具有代表人物就是阿基米德（公元前287年—公元前212年），我们比较熟悉的就是他的浮力原理，其实阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，是个非常牛的牛人，有兴趣的可以找找这个人的一些资料，当时他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢我们先看一个例子。 1曲边梯形的面积问题： 我们知道矩形面积：S ah = 梯形的面积：() 2 a b S h += 曲边梯形的面积：设()y f x =在区间[a,b]上非负连 续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线()y f x =所围成的面积。 那么这样的问题怎么求呢 首先，我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b 的区间长度代表其宽，b 点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。 好，现在我们将[a,b] 区间分为两个，同样我们用这两个区间的长度代表其宽，两个区间的右端点代表其高，然后计算这两个矩形的面积求和，作为曲边梯形的面积，可以发现，通过切分，其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考，是不是切分的越多，其面积越近似 我们再将其分为四份，我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程 导入 幻灯 幻灯 幻灯 幻灯 详讲 详讲 详讲 幻灯

进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特 别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。 事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份 数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积 值。 好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法 描述一下。 解决步骤： 大化小：在区间中任意插入个分点 ，用 直线将一个曲边梯形分成个小的曲边梯形； 常带变：在第个窄边梯形上任取 作以为底，为高的小矩形，并以此小矩 形面积近似代替相应窄曲边梯形面积，得 近似和： 取极限：令 这样我们就可以求出曲边梯形的面积，我们再看一个 定积分问题例子。 （2）变速直线运动的路程：设某物体做直线运动， 已知() v v t =在区间[1T,2T]上t的连续函数，且()0 v t≥，求 在这段时间内物体所经过的路程s。 考虑：当()0 y f x C ==≥，()0 v v t C ==≥时（其中C为 常数），上面问题的求解。 在解决这个问题之前我们先分析一下这个问题与上 个问题之间的关系，我们可以发现其实求路程和求面积本 身是同一类问题，变化的无非是函数名，区间名称，本质 上是一样的，我们其实只需做一个按照上面的思路做一个 变量替换就可以了，具体的解决步骤是。 解决步骤： 大化小：在区间中任意插入个分点 ， 将其分成个小段，在每 详讲 总结

1 定积分概念

.1 定积分概念 定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 ， 把区间[a,b]分成n个小区间 ， 设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a,b]的任何分法，不论在中怎样取法，只要，总有 成立，则称I是f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作。 接下来的问题是：函数f(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积？以下给出两个充分条件。 定理1设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理2设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 如果我们对面积赋以正负号，在x轴上方的图形面积赋以正号，在x轴下方的图 形面积赋以负号，则在一般情形下，定积分的几何意义为：它是介于x 轴、函数f(x)的图形及两条直线x = a、x = b之间的各部分面积的代数和。 .2 牛顿－莱步尼兹公式及实例 定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则 。(1)

证已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，又根据前面的定理知道，积分上限的函数 也是f(x)的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数（第四章第一节）， 即。 (2) 在上式中令x = a，得。又由Φ (x)的定义式及上节定积分的补 充规定知Φ (a) = 0，因此，C = F(a)。以F(a)代入(2)式中的C，以代入(2)式中的Φ (x)，可得 ， 在上式中令x = b，就得到所要证明的公式(1) 。 由积分性质知，(1)式对a>b的情形同样成立。 为方便起见，以后把F(b) – F(a)记成。 公式(1)叫做牛顿(Newton)-莱步尼兹(Leibniz)公式，它给定积分提供了一种有效而简便的计算方法，也称为微积分基本公式。 例1 计算定积分。 解。 例2计算。 解。

定积分的概念

定积分与微积分定理 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆〔b a x n -∆= 〕，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2, ,i i n ξ=，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0〔亦即n →+∞〕时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，则称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ⎰ 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：〔1〕定积分 ()b a f x dx ⎰ 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S 〔n →+∞时〕称为 ()b a f x dx ⎰ ，而不是n S ． 〔2〕用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点 []1,i i i x x ξ-∈；③求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 〔3〕曲边图形面积：()b a S f x dx = ⎰ ；变速运动路程21 ()t t S v t dt =⎰； 变力做功()b a W F r dr = ⎰ 2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积 分 ()b a f x dx ⎰ 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各局部面 积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．〔可以先不给学生讲〕． 分析：一般的，设被积函数()y f x =，假设()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+ +∆ 不妨设1(),(), ,()0i i n f x f x f x +<

定积分的概念

定积分的概念 班级： 姓名： 小组： 学习 目的 1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征. 2. 了解定积分及几何意义. 3. 掌握定积分的基本性质及其计算 学习 重点 难点 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算 学法指点 经过先生自主学习得出定积分的概念 课前 预习 1. 定积分的概念：假设函数)(x f 在区间 [] b a ,上延续，用分点 b x x x x x a n i i =<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<<=-110将区间[]b a ,等分红n 个小区间，在每个小区间 []i i x x ,1-上任取一点),...,2,1(n i i =ξ，作和式()=∆∑=x f n i i 1 ξ ，当 ∞→n 时， 上述和式有限接近某个常数，这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上的 ，记作()dx x f b a ⎰， 即 ()=⎰dx x f b a 。其中a 与b 区分叫做 与 ，区间[]b a ,叫做 ，函数)(x f 叫做 ，x 叫做 ，dx x f )(叫做 2.定积分的几何意义： 从几何上看，假设在区间[]b a ,上函数() x f 延续且恒有 ，那么定积分()dx x f b a ⎰表 示由 所围成的曲边梯形的面积，这就是定积分的几何意义。 预习评价 计算定积分 2 1 (1)x dx +⎰ 课堂学习研讨.协作交流 一．定积分的概念 1、用定积分式子表示： 0,1,0===y x x 及2)(x x f = 0,1,0===v t t 及12--=t v 2.你能说说定积分 ⎰ b a dx x f )(的几何意义是什么? 3. 依据定积分的几何意义，你能用定积分表示以下图中阴影局部的面积吗？ 二．依据定积分的几何意义求定积分的值。 例1.dx x ⎰ -2 24 练习：〔1〕 ⎰ -1 1 xdx 〔2〕dx x ⎰--1 1 21 三．定积分的性质，依据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=⎰1 性质2 ⎰⎰=b a b a dx x f k dx x kf )()( 〔其中k 是不为0的常数〕 性质3 1 2 1 2 [()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ 性质4 ()()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中 〔定积分对积分区间的可加性〕 性质5 ⎪⎩⎪ ⎨⎧=⎰⎰ -))(()(2))((0 )(0 为偶函数为奇函数x f dx x f x f dx x f a a a 当 堂 检 测 用几何意义求以下定积分 1． 5 (24)x dx -⎰ 2．1 1 x dx -⎰ 学后反思 A y O x y a b B D C )(2x f =)(1x f y =

定积分概念的步骤

定积分概念的步骤 定积分是微积分中一个重要的概念，用于求函数在一定范围内的面积、体积、质量、平均值等物理量，也常用于解决微分方程和概率统计问题。 为了深入理解定积分的概念，以下将介绍定积分的概念、性质和计算步骤。 一、定积分的概念： 定积分是对函数在一个区间上负值和正值的面积之和的极限。一般来说，我们将区间[a, b]平均分成n个小区间，每个小区间的宽度为Δx， 然后在每个小区间中取任意一点xi，计算函数在这个点的值f(xi)，然后 将所有小区间的面积进行求和，即可得到近似的定积分。 二、定积分的性质： 1. 有限可加性：若函数f在区间[a, b]、[b, c]上都可积，则f在[a, c]上也可积，并且有∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx。 2. 函数的定积分等于其反函数的定积分的相反数：若函数f在区间[a, b]上可积，并且f(x)在[a, b]上连续且单调，设g(x)为f(x)的反函数，则有∫[a, b]f(x)dx = -∫[c, d]g(x)dx，其中c = f(a)，d = f(b)。 3. 加减性：若函数f和g在区间[a, b]上都可积，则f(x)±g(x)在[a, b]上也可积，并且有∫[a, b][f(x)+g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx。 4. 常数倍性：若函数f在区间[a, b]上可积，并且k为常数，则 kf(x)在[a, b]上也可积，并且有∫[a, b]kf(x)dx = k∫[a, b]f(x)dx。

三、定积分的计算步骤： 1.确定被积函数：根据具体问题中需要求解的问题，确定要求解的函数f(x)。 2.确定积分区间：根据具体问题中给出的区间，确定积分的起始点和终止点。 3.确定积分方向：根据具体问题中的要求，确定积分的方向，即从起始点到终止点或者反之。 4.分割积分区间：将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx=(b-a)/n。 5.确定插值节点：在每个小区间中选择一个插值节点，常用等分点或者中点来选择。 6.构建积分近似：利用插值节点和函数f(x)计算积分近似值，将每个小区间的负值和正值进行求和。 7.取极限：当n趋于无穷大时，积分近似值趋于定积分的精确值。 8.计算定积分：根据极限的定义，计算极限值，即可得到定积分的精确值。 四、定积分的几何意义： 定积分的几何意义是函数在一个区间上的面积。当被积函数f(x)为正值时，定积分表示该函数在积分区间上方的面积；当被积函数f(x)为负值时，定积分表示该函数在积分区间下方的面积；而当被积函数f(x)正值和负值并存时，则定积分表示函数在积分区间上方的正值面积减去下方的负值面积。

定积分的概念

定积分与微积分定理 1.定积分得概念 一般地,设函数在区间上连续,用分点 将区间等分成个小区间,每个小区间长度为(),在每个小区间上取一点,作与式: 如果无限接近于(亦即)时,上述与式无限趋近于常数,那么称该常数为函数在区间上得定积分。记为: 其中成为被积函数,叫做积分变量,为积分区间,积分上限,积分下限。 说明:(1)定积分就是一个常数,即无限趋近得常数(时)称为,而不就是. (2)用定义求定积分得一般方法就是:①分割:等分区间;②近似代替:取点;③求与:;④取极限: (３)曲边图形面积:;变速运动路程; 变力做功 ２、定积分得几何意义 说明:一般情况下,定积分得几何意义就是介于轴、函数得图形以及直线之间各部分面积得代数与,在轴上方得面积取正号, 在轴下方得面积去负号.(可以先不给学生讲). 分析:一般得,设被积函数,若在上可取负值。 考察与式 不妨设 于就是与式即为 ()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆+ +∆--∆+ +-∆ 阴影得面积—阴影得面积(即轴上方面积减轴下方得面积) ２、定积分得性质 根据定积分得定义,不难得出定积分得如下性质:

性质１ 性质2 (其中k 就是不为0得常数) (定积分得线性性质) 性质３ (定积分得线性性质)性质4 (定积分对积分区间得可加性) 说明:①推广: 1212[()()()]()()()b b b b m m a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x ±± ±=±± ±⎰ ⎰⎰⎰ ②推广: ③性质解释: 2。微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式 定理:如果函数就是上得连续函数得任意一个原函数,则 该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式、它指出了求连续函数定积分得一般方法,把求定积分得问题,转化成求原函数得问题,就是微分学与积分学之间联系得桥梁。 它不仅揭示了导数与定积分之间得内在联系,同时也提供计算定积分得一种有效方法,微积分基本定理就是微积分学中最重要得定理,它使微积分学蓬勃发展起来,成为一门影响深远得学科,为后面得学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要得地位,起到了承上启下得作用, 说明: ①它指出了求连续函数定积分得一般方法,把求定积分得问题,转化成求原函数得问题、我们可以用得原函数(即满足)得数值差来计算在上得定积分. ②它不仅揭示了导数与定积分之间得内在联系,同时也提供计算定积分得一种有效方法,为后面得学习奠定了基础。 思考并回答下列问题:

定积分的概念

定积分与微积分定理 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a x n -∆= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2, ,i i n ξ=，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=∆=∑∑ 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ⎰ 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ⎰ 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为 ()b a f x dx ⎰ ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取 点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ （3）曲边图形面积：()b a S f x dx = ⎰ ；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =⎰； 变力做功 ()b a W F r dr = ⎰

2．定积分的几何意义 说明：一般情况下，定积分 ()b a f x dx ⎰ 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线 ,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负 号．（可以先不给学生讲）． 分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆+ +∆ 不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +< 于是和式即为 ()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆+ +∆--∆+ +-∆ ()b a f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积） 2．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1 a b dx b a -=⎰1 性质2 ⎰⎰ =b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 1 212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰ ⎰ （定积分的线性性质）性 质4 ()()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中