专业班级学号姓名成绩时间174
第十二章微分方程
§12-1 微分方程的基本概念
一、判断题
1.y=ce 2 x (c 的任意常数 )是y =2x 的特解。( )
2.y=( y ) 3是二阶微分方程。( )
3.微分方程的通解包含了所有特解。( )
4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。（）
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。（）
二、填空题
1. 微分方程 .(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是。
2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线 y=(c 1 +c 2 x)e 2 x 中满足 y x=0=0, y x=0=1的曲线是。
三、选择题
1．下列方程中是常微分方程
（ A ）、 x2+y 2=a2
d
(e arctan x ) 0 (C)、
2 a 2 a
=0 （ D）、y =x 2+y 2 (B) 、 y+ 2 + 2
dx x y
2.下列方程中是二阶微分方程
（ A ）（y）+x 2 y
+x 2=0(B) ( y ) 2+3x 2y=x 3 (C) y +3 y +y=0 (D) y -y2=sinx
d 2 y 2 1. 2
3.微分方程
dx2 +w y=0 的通解是其中 c.c c 均为任意常数
（ A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx
2
4. C 是任意常数，则微分方程y = 3y3 的一个特解是
（ A ）y-=(x+2) 3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c) 3 (D)y=c(x+1) 3
四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．y Cx2 C 2 （其中 C 为任意常数） 2. y C1e2 x C 2e3x （其中 C1 ,C2 为任意常数）
五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与
运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
专业班级学号姓名成绩时间175
12-2可分离变量的微分方程
一、求下列微分方程的通解
1． sec2.tacydx+sec2ytanxdy=0
2． (x+xy 2 )dx-(x 2y+y)dy=0
3． (e x+y -e x)dx+(e x+y -e y)dy=0
4．y =cos(x-y).( 提示令 .x-y=z)
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
1． cosydx+(1+e -x)sinydy=0. y x=0 =
4
专业班级
2. secx2dy xdx.y 3
1 y x
2 学号姓名成绩时间176 1
三、设 f(x)=x+0x f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)
四、求一曲线的方程，曲线通过点（ 0.1） ,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
五、船从初速 v0=6 米 /秒而开始运动， 5 秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。
12-3 齐次方程
一、求下列齐次方程的通解
1 xy -xsin y 0
2 (x+ycos y
) dx-xcos
y
dy=0
x x x 二求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
1． xy dy
2.x2dy+(xy-y 2 )dx=0y x=1=1
=x 2+y2 y x=e=2e
ax
三、求方程：（ x+y+1 ） dx=(x-y+1)dy的通解
四、设有连结点 O(0， 0)和 A （ 1， 1）一段向上凸的曲线孤O A对于 O A上任一点
P（ x，y） ,曲线孤与O P直线段OP 所围图形的面积为x2，求曲线孤O A的方程。
12.4 一阶线性微分方程
一、求下列微分方程的通解
1.x y +y=xe x
2. y +ytanx=sin2x
3. y + 1 y sin x
4. dy y
x x dx x y 3e y 二、求下列微分方程满足初始条件的特解
1．y cosy+siny =xy x 0 4 2.(2x+1)e y y
2e y=4y x 00
三、已知 f( ),曲线积分b a sin x f (x) y
dx f ( x)dy 与路径无关，求函数f(x). x
四、质量为 M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。
五、求下列伯努利方程的通解
1． y′ + 1 y
x 2y5 2. xy′ +y-y 2lnx=0 x
12-4全微分方程
一、求下列方程通解
1． [cos(x+y 2)+3y]dx+[2ycos(x+y 2)+3x]dy=0
2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0
3.e y dx+(xe y-2y)dy=0
二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解
1 ydx-xdy+y 2xdx=0
2 y(2xy+e x)dx-e x dy=0
三、 [xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x 2y]dy=0 为全微分方程，其中函数f(x) 连续可微， f(0)=0, 试求函数 f(x) ，并求该方程的通解。
12-7 可降阶的高阶微分方程
一、求下列各微分方程的通解
1．y=xsinx 2.y - y =x
3.y y +( y )2= y
4.y (1+e x)+ y =0
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
1． 2 y =sin2yy x 0 y x 0 1
2
2. x y- y ln y + y lnx=0 y x 12y x 1e2
三、函数 f(x) 在 x>0 内二阶导函数连续且f(1)=2 ，以及f
f ( x)
(x)-
x
x
f (t2
)
dt 0 ,求 f(x).
1t
四、一物体质量为m,以初速度Vo 从一斜面上滑下，若斜面的倾角为，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。
12-8 高阶线性的微分方程
一、选择题
1．下列方程中
为线性微分方程
（ A ）（ y ） +x y =x
(B)y y 2 y
x
(C) y
2
2
y
e x
(D) y y 3xy
cos y
y x 2
x
x
2
1
x
2
1 1 ) 2
2.已知函数 y 1= e x 2 ， y 1= e
x
2
， y 3=e (x- 则
x
（ A ）仅 y 1 与 y 2 线性相关
（ B ）仅 y 2 与 y 3 线性相关
（ C ）仅 y 与 y
3 线性相关
（D ）它们两两线性相关
1
3．若 y 1 和 y 2 是二阶齐次线性方程， y +p(x) y +4(x)y=0 两个特解， c 1 c 2 为任意常数，则 y=c 1y 1+c 2 y 2
(A) 一定是该方程的通解 （ B ）是该方程的特解 （ C ）是该方程的解
（ D ）不一定是方程的解
4．下列函数中哪组是线性无关的
（ A ） lnx, lnx 2
(B)1 ， lnx
(C)x,
ln2 x
(D)ln x ,
lnx 2
二、证明：下列函数是微分方程的通解
2
2
c 是任意常数 )是方程 x 2 y -
y +4y=0 的通解
1y=c x +c
x lnx(c
1 2
3x
1
2
2y=c 1e -x
+c 2e
x
e x (c 1c 2 是任意常数 )是方程 2 y
y
2e x 的通解
2
三、设 y 1(x)y 2(x) 是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且
y 1(x)y 2(x).y 3(x). 线性无关，
证明：微分方程的通解为：y c 1 y 1 (x) c 2 y 2 ( x)
(1 c 1 c 2 ) y 3 ( x)
四、试求以 y= 1
x 2 -x
)+ e x 1, 2
是任意常数 )为通解的二阶线性微分方程。
x (c 1 e +c e 2 (c c
12-9 二阶常系数齐次线性微分方程
一、选择题
1 以 y1=cosx,y
2 =sinx 为特解的方程是
（ A ）y y 0 (B) y y 0 (C) y y 0 (D) yy 0
2．微分方程 2 y y y 0 的通解是
x x
（ A ）y c1e x c2e 2 x（B） y c1 e x c2 e2（C）y c1e x c2 e 2 (D) y c1e x c2 e2 x
3．常微分方程y ( 1 2 ) y 1 2 y
0 ，（其中 1
,
2 是不等的系数），在初始条件
y1x=0 = y x 0 0 特解是
（ A ）y=0 (B)y= c1e1x c2 e 2x (C) y 1 2 x 2 （ D）y ( 1 2 ) x 2 4．y e2x 是微分方程 y py 6y 0 的一个特解，则此方程的通解是
（ A ）y c1e2 x c2 e 3x （ B）y (c1xc2 )e 2 x
（ C）y c1e2 x c2 e3 x （ D）y e2 x (c1 sin 3x c2 cos3x)
5．y c1e x c2 e x是微分方程的通解
（ A ）yy 0 （B） y y 0 （C） y y 0 （D） y y 0
二、求下列微分方程的通解
1．y5y02．y 4 y 4 y0
3．y4y y 04．y5y 6 y0
5．y 6 y 3 y 10 y 0 5.y (4 )2y y0 三、求下列微分方程满足初始条件的特解
1．y2 y 10 y 0 y x 0 1 y
1x 0
2
d 2 x dx
x t 0 0 x t 0 1
2．3x 0
dt dt
四、一质量为m 的质点由静止（ t=0,v=0 ）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小
成正比（比例系数为 k），求此质点的运动规律。
12-10 二阶常数非齐次线性微分方程
一、选择题
1 微分方程，y 2y x的特解 y *形式为
(A)ax (B)ax+b (C)ax 2 (D) ax2 bx
2.微分方程y y e x 1的特解 y*形式为
（ A ）ae x b （ B ）axe x b （C） ae x bx （D ）axe x bx
3．微分方程y 2u xe 2x的特解y*形式为
（ A ）x( ax b)e2 x （B ）(ax b)e2 x （C）xe2 x （ D）( ax2 bx c)e2 x 4．微分方程y 4 y cos2 x 的特解y*形式为
（ A ）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x
5. 微分方程y y xsin 2 x 的特解形式为y*=
（ A ）（ ax+b） sin2x (B)(ax+b)sin 2x+(cx+d)cos 2x
（ C）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D ） (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f
6. 微分方程y 4y 5y e x sin 5x 的特解形式为
（ A ）ae x b sin 5x (B) ae x b cos5x csin 5x
（ C）axe x b sin 5x （ D）axe x b cos5x c sin 5x
二、求下列各方程的通解
1．y2y y xe x 2．y 7 y 6y sin x
3．y2y 5y e x sin x4．y y x cos x
专业班级学号姓名三、求微分方程 y 9 y cos x 满足 y x y
2
四、已知二阶常系数微分方程y y y( x ,, 的值，并求该方程的通解
五、 k 为常数。试求y 2ky k 2 y e x的通解。
x x
六、设 f (x) sin x f (t) dt x f (t )dt ，其中
00
成绩时间185
x0 的特解
2
2) 有特解 y*e x1x26x ，求f(x) 为连续的数，求f(x) 。
七、一链长 18cm，挂在光滑的圆钉上，一边垂下 8cm，另一边垂下 10cm，问整个链子滑过钉子需要多少时间？
第十二章自测题一
一、填空题
1．已知曲线 y=y(x) 过点（ 0， 1 ）且其上任一点（ x,y）处的切线斜率为 xln(1+x 2)，则 f(x)=
2
2．以x c2 y2 1 为通解的微分方程是（其中为任意常数）
3。微分方程ydx+(c 2-4x)dy=0 的通解为
4．微分方程y y ln x ax 的通解为]
5．已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解e-x,e x,sinx,cosx,则该微分方程为
二、选择题
１．已知函数y=f(x) 在任意点 x 处的增量 y= y x 且当 x o 时，是比x 更高
1 x 2
阶的无穷小量， y(o)= ，则 y(1) 等于
（A ）2 （ B）（ C）e4 （D ）e4
2 y=y(x) 是微分方程y ye sin x 0 的解，且 f (x0 ) 0 ，则f(x)在
（ A ）x 的某个邻域内单调增加（B ） x 的某个邻域内单调减少
００
（ C）x０处的取极小值（ D） x０处取极大值
3．一曲线通过点 m(4.3),且该曲线上任意一点p 处的切线在 y 轴上的截距等于原点到离，则此曲线方程为
（ A ）x2 y 2 25 （B） y 2 x2 （ C）(x 9)2 ( y 9) 2 25 （D） y 4
10 p的距
x2 16
4．下列方程中可利用p y , p y 降为 p 的一阶微分方程的是
（Ａ） ( y )2 xy x 0 （Ｂ） y yy y 2 0 （ C）yy 2 y y 2 x 0 (D) y yy x 0
三、求解下列微分方程
1.求 ydx+(x 2y-x)dy=0 ，满足y x 1 1 的特解，
2.求yy 1 的通解
e x
1
四、求 y y x sin x 的通解。
五、已知 y1 xe x e2 x， y2 xe x e x， y3 xe x e2 x e x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
六、已知函数f(x) 可微，且对任意实数x,y 满足： f(x+y)= e x f ( y) e y f ( x) ,求此函数f(x).
七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为a+bv,其中a,b 为常数， v 为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s(t).
第十二章自测题二
一、单项选择题
１．设 y= f ( x)是方程y 2 y 4 y 0 的解，若 f ( x0 )0, 则 f ( x) 在 x0点
（ A ）取得极大值；（B）取得极小值；（C）某邻域内单调递增；（D）某邻域内单调递减；２．函数y 3e2 x是方程 y 4 y0 的
（ A ）通解；（B ）特解；（ C）解，但既非通解也非特解（ D ）以上都不对
３．微分方程 2 y5y cos2 x 的特解应具有形式（其中，a,b,c 为常数）
（ A ）x(a cos2x bsin 2 x);（B）ax b cos2x c sin 2x
（ C） a+bcos2x;(D)ax2+bcos2x+csin2x
4.微分方程y6y 9y xe3x特解应具有形式
（ A ）（ Ax+Bx ） e3x(B)x(Ax+B)e 3x（C）x2(Ax+B)e3x（D）Ax3e3x
5.设一动点以等加速度 a 作直线运动，且其初速度为v0,初始位移为s0，则此质点规律是
（ A ）s=v0+s 0; (B) s
1 at 2v0t s0(C) s v0 t 2s0;(D) s at 2v0t s0
2
6 函数 f(x) 满足关系式f (x) 2 x 0
t 则f
(x) f ( )dt 1n2,
2
（ A ） 1n2·e x; （ B） 1n2·e2x ; （ C） e x+ln2; （ D） e2x+ln2.
二、填空题
1.微分方程y y 2 y 0 的通解y=
2.以 1 2 2 为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
3.以e x, e x sin x, e x cos x为特征根的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是
4.微分方程y 2 y 3通解 y
三、判断下列方程的类型并求其解
１．求 ydx (3x 2 y5 ) dy 0满足 y x 0 2的特解
２．求 (xe y+1)dx+( 1 x2 e y y )dy=0的通解
2
四、求微分方程的y 5y 6 y xe2 x的通解
五、已知函y f ( x) 的图形经过原点和点M（1，2），且满足微分方程y 2 2 0，
y 求
1 y
f ( x).
六、设二阶常数线性微分方程y ay y e x的一个特解为y e2 x(1x)e x , 试确定常数, ,, 并求该方程的通解
七、设函数 f ( x) 连续可微， f (1) 1, 且对任意闭曲线 C 都有4x3ydx xf (x)dy 0,
C
求 f ( x).
高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =
2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。
第七章 微分方程与差分方程 习题7－1（A ） 1． 说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： 点横坐标的平方。 处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题： 平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。 速度成反比（比例系数同时阻力与， 成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'
第十二章 微分方程 §12-1 微分方程的基本概念 一、判断题 1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( ) 2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( ) 3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( ) 4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ） 5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题 1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。 2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。 3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y ' x=0=1的曲线是 。 三、选择题 1．下列方程中 是常微分方程 （A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x e dx d (C)、22x a ??+22y a ??=0 （D ） 、y ''=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程 （A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx 3.微分方程2 2dx y d +w 2 y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx 4. C 是任意常数，则微分方程y '=3 23y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。 1．2 2 C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数） 五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x
第 八 章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于 轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距 的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 .
第十二章 微分方程 § 1 微分方程的基本概念 1、由方程x 2-xy+y 2=C 所确定的函数是方程（ ）的解。 A. (x-2y)y '=2-xy '=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2、曲线族y=Cx+C 2 (C 为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） 4.微分方程y '=y x 21-写成以 y 为自变量，x 为函数的形式为（ ） A.y x 21dx dy -= B.y x 21dy dx -= '=2x-y D. y '=2x-y §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ） A.可分离变量的微分方程 一阶微分方程的对称形式， C.不是微分方程 D.不能变成 ) y ,x (P ) y ,x (Q dy dx -= 2、方程xy '-ylny=0的通解为（ ） A y=e x B. y=Ce x cx D.y=e x +C 3、方程满足初始条件：y '=e 2x-y , y|x=0=0的特解为（ ） A. e y =e 2x +1 2 1 e ln x 2+= C. y=lne 2x +1-ln2 D. e y =21e 2x +C 4、已知y=y(x)在任一点x 处的增量α+?+=?x x 1y y 2 ，且当?x →0时，α是?x 高阶无穷小，y(0)=π,则y(1)=( ) A. 2π B. π C. 4 e π 4e ππ 5、求特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=4 π 解：分离变量为tanydy=tanxdx ，即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC ，cosy=ccosx 代入初始条件：y|x=0= 4π 得：2 2C =特解为：2cosy=cosx 6、求微分方程()2 y x cos y x 2 1cos dx dy +=-+满足y(0)=π的特解。
第九章常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （ 1）方程形式：dy P x Q y Q y0通解 dy P x dx C dx Q y （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （ 2）方程形式：M1x N1 y dx M 2x N 2y dy0 通解M 1x dx N 2 y dy C M 2 x 0, N 1 y 0 M 2x N 1y 2．变量可分离方程的推广形式 dy f y （ 1）齐次方程 x dx 令y u ，则 dy u x du f u f du dx c ln | x | c x dx dx u u x 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy P x y0 它也是变量可分离方程，通解y Ce P x dx ，（c为任意常数）dx 2．一阶线性非齐次方程 精品文档令 z y1把原方程化为dz1P x z 1Q x 再按照一阶线性 dx 非齐次方程求解。 dy1可化为 dx P y x Q y y x 以为自变量，．方程： P y x dy dx Q y 为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程 方程类型解法及解的表达式 通解 y n C 2 x n 2C n 1 x C n y n f f x dx C1 x n 1 x n次 令 y p ，则 y p ，原方程 y f x, y f x, p ——一阶方程，设其解为p g x, C1 p， 即y g x, C1，则原方程的通解为y g x, C1dx C2。 令 y p ，把p看作y的函数，则 y dp dp dy p dp dx dy dx dy y f 把 y， y 的表达式代入原方程，得 dp1 f y, p—一阶方程， y, y dy p dy dx P x y Q x用常数变易法可求出通解公式设其解为 p g y, C 1 , 即 dy g y, C1，则原方程的通解为 dx 令 y C x e P x dx代入方程求出 C x 则得ye P x dx Q x e P x dx dx C 3．伯努利方程 dy Q x y0,1 P x y dx dy x C2。 g y, C1
(一)微分方程的基本概念 微分方程:含未知函数的导数或微分的方程,称为微分方程、 微分方程的阶:微分方程所含未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数、 1、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 2、不就是一阶微分方程. A、正确 B、不正确 一阶线性微分方程:未知函数及其导数都就是一次的微分方程d ()() d y P x y Q x x +=称为一阶 线性微分方程、 微分方程的解:如果一个函数代入微分方程后,方程两边恒等,则称此函数为微分方程的解、通解:如果微分方程的解中所含独立任意常数C的个数等于微分方程的阶数,则此解称为微分方程的通解、 特解:在通解中根据附加条件确定任意常数C的值而得到的解,称为特解、 1、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 2、就是微分方程的解. A、正确 B、不正确 3、就是微分方程的通解. A、正确 B、不正确 4、微分方程的通解就是( ). A、 B、 C、 D、
(二)变量可分离的微分方程:()()dy f x g y dx = 一阶变量可分离的微分方程的解法就是: (1)分离变量:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =;(2)两边积分:1221()()()()g y f x dy dx g y f x =?? 左边对y 积分,右边对x 积分,即可得微分方程通解、 1、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 2、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 3、微分方程的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 4、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 5、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 6、微分方程的通解( ). A 、 B 、 C 、 D 、 7、微分方程 的通解就是( ). A 、 B 、 C 、 D 、 8、 x y dy e dx -=就是可分离变量的微分方程. A 、正确 B 、不正确
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
第五章 微分方程 试题库一 1.填空题 (1) 微分方程0),,,()4(='y y y x F 是 阶微分方程. (2)通过点)1,1(处，且在任意一点),(y x P 处的切线斜率为x 的曲线方程为 . (3) 微分方程054=-'-''y y y 的特征方程为 . (4) 微分方程03='-''y y 的通解为 . (5) 微分方程09=-''y y 的通解为 . (6) 微分方程y x x y -=e d d 的通解为 . (7) 微分方程054=-'+''y y y 的通解为 . (8) 微分方程20yy x '+=的通解为 . (9)微分方程560y y y '''-+=的特征方程为 . (10) 微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 2．选择题 (1) 微分方程0))(,,,(24='''y y y x F 的通解中含有的相互独立的任意常数的个数是（ ）. A.1； B.2； C.3； D.4. (2) 下列微分方程中是可分离变量的微分方程的是（ ）. A.y xy x y +=d d ； B. y x y xy sin e d d =； C. 2d d y xy x y +=； D. 22d d y x x y +=. (3) 下列微分方程中是一阶线性非齐次微分方程的是（ ）. A. 2d d y xy x y +=； B.x xy y =+''； C.x xy y =+'； D. 02=+'xy y . (4) 微分方程x y e =''的通解为（ ）. A. x y e =； B. C y x +=e ； C. Cx y x +=e ； D. 21e C x C y x ++=.
高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++??∑ds y x )122（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑∞ =+1)1(1n n n 的与为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件就是( ) (A)),(y x f 在),(00y x 处连续; (B)),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时,就是无穷小; (D)0)()(),(),(lim 2200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A)y x +; (B)x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω= zdV I 等于( ) (A)4 ???20201 03cos sin ππ ???θdr r d d ;
第十二章 微分方程答案 一、 选择题 1．下列不是全微分方程的是 C 1 A.2()(2)0x y dx x y dy ++-= B.2 (3)(4)0y x dx y x dy ---= C.3 2 2 2 3(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.2 2 2(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的 齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2 A.1122c y c y +是(2)的通解 B. 113c y y +是(1)的解 C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解 D. 23y y +是(1)的解 3．下列是方程xdx ydy += 的积分因子的是 D 2 A.2 2x y + B. 221x y + 4．方程32 2321x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 5．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2 (A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x = 6．方程32232 1x x d y d y e e dx dx ++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 0 7．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2 (A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1
一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+
10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）
高等数学下册试题及答案解析 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z = ) 0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= . 2、二重积分?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 . 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值 为 . 4、设曲线L 的参数方程表示为), ()()(βαψ?≤≤? ? ?==x t y t x 则弧长元素=ds . 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 = ++?? ∑ ds y x )122 （ . 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 . 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 . 8、级数∑ ∞ =+1)1(1n n n 的和为 . 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在) ,(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在) ,(00y x 处连续； （B ） ) ,(y x f x '， ) ,(y x f y '在 ) ,(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当 0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0)()(),(),(lim 2 200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x . 2、设 ), ()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 . 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分 ???Ω =zdV I 等于（ ） （A ）4 ???20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； （B ） ? ??20 1 2sin π π??θdr r d d ；
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
第八章 常微分方程 一、本章学习要求与内容提要 （一）基本要求 1．了解微分方程和微分方程的阶、解、通解、初始条件与特解等概念. 2．掌握可分离变量的微分方程和一阶线性微分方程的解法. 3．了解二阶线性微分方程解的结构. 4．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 5．会求自由项为x m x P λe )(或x x P x m βαcos e )(，x x P x m βαsin e )(时的二阶常系数非 齐次线性微分方程的解. 6. 知道特殊的高阶微分方程（)()(x f y n =，),(y x f y '=''，),(y y f y '=''）的降阶法. 7．会用微分方程解决一些简单的实际问题. 重点 微分方程的通解与特解等概念，一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法。 难点 一阶微分方程的分离变量法，一阶线性微分方程的常数变易法，二阶常系数非齐次线性微分方程的待定系数法，高阶微分方程的降阶法，用微分方程解决一些简单的实际问题. （二）内容提要 ⒈ 微分方程的基本概念 ⑴ 微分方程的定义 ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. ⑵ 微分方程的阶、解与通解 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方 程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. ⑶ 初始条件与特解 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解. ⑷ 独立的任意常数 ①线性相关与线性无关 设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k
高等数学下册试题库 一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线112z y x =-=平行的直线方程是___________ 2. 过点 )0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设 k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设 1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面 0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0 526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 2 1-=+=-z y m x λ与平面 25363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点 )1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是__________ 9. 曲面 222y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数 1 2 n n n n x ∞ =∑的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 3 222 x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3 023 x y z +-+==的平面方程是 _________________ 12. 设 ),2ln(),(x y x y x f + =则__________)0,1('=y f 13. 设 ),arctan(xy z =则 ____________,__________=??=??y z x z 14. 设 ,),(22y x y x xy f +=+则=),('y x f x ____________________ 15. 设 ,y x z = 则=dz _____________