第三章 矩阵特征值与特征向量的计算
-------学习小结
一、本章学习体会
通过本章的学习，我们学到了四种矩阵特征值和特征向量的计算方法，分别是幂法、反幂法、Jacobi 方法和QR 方法
四种方法各有其特点和适用范围。幂法主要用于计算矩阵按模最大的特征值及其相应的特征向量；反幂法主要用于计算矩阵按模最小的特征值及其相应的特征向量；Jacobi 方法用于求实对称矩阵的全部特征值和特征向量的方法；QR 方法则适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。归结起来，这四种方法亦有其共同点，那就是都是用了迭代的方法来求矩阵的特征值和特征向量。
此外，用MATLAB 自带的解法求解特征值和特征向量也非常快速，而且不用编辑函数建立m 文件。其自带函数Eig 功能强大，即便得到结果是虚数也可以算出，并且结果自动正交化。 二、本章知识梳理 3.1.1幂法
幂法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量。
设n ×n 实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n x x x ,....,,21，其相应的特征值,,...,21n λλλ满足不等式
n λλλλ≥≥> (321)
其中i
ix i Ax λ=)...,3,2,1(n i =。
任取一n 维非零向量u 0，从u 0出发，按照如下的递推公式
...)2,1(1===k Au u k k
可产生一个向量序列，分析这一序列的收敛情况，可从中找出计算特征值和特征向量的方法。
因n 维向量组n x x x ,....,,21线性无关，故对向量u 0必存在唯一的不全为0的数组a 1,a 2,…,a n ,使得n n x a x a x a u +++=...22110 由上式可得：
])(...)(
[ (1)
212
211122211122110221n n n k n k
n n k k n k n k k k k k k x a x a x a x a x a x a x A a x A a x A a u A u A Au u λλλλλλλλ+++=+++=
+++=====--
设a 1≠0,由上式可以看出，当k 充分大时有
111x a u k
k λ≈
得迭代公式：
9u A u k k =
实际中计算时，为了避免迭代向量u k 的模过大，（当11>λ）或过小（当11<λ），通常对u k j 进行归一化，使其范数等于1. 幂法的迭代公式：
（1）用2?范数来归一，并且令k k T k u y 1-=β
任取非零向量n R u ∈0
)1()1(1---=k k T k u u η
111---=k k k u y η 1-=k k Ay u
k k T k u y 1-=β
（k=1,2,..）
(2) 用∞?范数来归一,并且令：1
-=
k T r k T
r k y e u e β
任取非零向量T n h h h u ),...,,()0()0(2)0(19=
)
1(1)
1(max -≤≤-=k j
n
j k r
h h )
1(11---=k r
k k h u y
T k n k k k h h Ay u ),...()
()
(11==-
（k=1,2,…）
上述两种迭代终止控制用εβββ≤--k k k 1，以当前的k β和1-k y 分别作为1λ和相应的特征向量。 3.1.2反幂法
设n ×n 实矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n x x x ,....,,21，其相应的特征值,,...,21n λλλ满足不等式
n λλλλ>≥≥....321，其中i
ix i Ax λ=)...,3,2,1(n i =。
得：
),...,2,1(1
1n i x x A i i
i ==
-λ
此时，
n
λ1
是矩阵1-A 的按模最大的特征值，我们就将问题转化为
了幂法的思想。 反幂法的迭代公式:
)(1)sgn(k r k r k h h -=β
任取非零向量n R u ∈0
)1()1(1---=k k T k u u η 111---=k k k u y η 1-=k k Ay u
k k T k u y 1-=β
（k=1,2,..）
3.2 Jacobi 方法
Jacobi 用平面旋转矩阵对矩阵A 作正交相似变换就把矩阵A 作正交相似变换把A 化为对角矩阵，从而求出A 的特征值和特征向量。 求实对称矩阵A 的特征值与相应的特征向量是一个迭代过程，其迭代步骤为：
（1） 在A 的非对角线元素中，找出按模最大的元素pq a （2）由pq
qq pq a a a 22cot -=
φ计算φ2cot ，比由此计算出φφcos ,sin 以及相
应的平面旋转矩阵。
（3） 计算出矩阵A 1的元素)1(ij a 。
（4） 若ε<<)1(max ij j
i a ，则停止运算，所求特征值为
),...,2,1()1(n i a ii i ==λ，则令A=A 1，重复执行上述过程。
定理3.1 设ij n n A a ???=??是实对称矩阵，由Jacobi 方法的第k 次
迭代得到的矩阵记为()
k k ij n n A a ???=??，又记
()2
(),1
n
k k ij
i j i j
a
η=≠=∑
则有lim 0k k η→∞
=成立。 3.3 QR 方法
3.3.1矩阵的QR 分解
设n v R ∈是单位向量，令2T H I vv =-，则H 是对称正交矩阵，称为Householder 矩阵。 引理3.1
设有非零向量n s R ∈和单位向量n e R ∈，必存在Householder 矩阵
H ，使得H s e α=，其中α是实数，并
且||α=。(可
取)
v =
)
定理3.2
任何n n ?实矩阵A 总可以分解为一个正交矩阵Q 与一个上三角矩阵R 的乘积。
设1(2,3,...,)i a i n =不全为零，令
1111(,...,)T n s a a =
111sgn(c a =-取sgn(0)1=-)
1111u s c e =-
111112/()T T
H I u u u u =- (2)
(2)112121(2)(2)2...0...
............0...n
n nn c a a A H A a a ???
??
?
==???????
?
对第j 列，(1,...,)ij a i j n =+不全为零，令()()(0,...,0,,...,)j j T
j jj nj s a a =，并继续
计算。
最终得到121...n n n A H H H A --=是一个上三角矩阵。则
121...,n n Q H H H R A -==，且A QR =。
3.3.2 矩阵的拟上三角化
对实对称ij n n A a ???=??作相似变换化为拟上三角矩阵(1)
n ij n n A a -???=??，
其中1i j >+时0ij a
= ，称为矩阵A 的拟上三角化，其变换过程如下： 设1(3,4,...,)i a i n =不全为零，令
1211(0,,...,)T n s a a =
12112sgn()||s ||c a =-(取sgn(0)1=-)
1112u s c e =-
111112/()T T
H I u u u u =-
(2)
(2)11
1211
(2)
11(2)(2)2 0
...............0...n n nn a a a c A H AH a a ????
????==??
??????
对第j 列，(2,...,)ij a i j n =+不全为零，令()()1,(0,...,0,,...,)j j T
j j j nj s a a +=，并继
续计算。
最终得到(1)221122......n n n A H H H AH H H ---=为拟上三角矩阵，令
122...n P H H H -=，则(1)n T A P AP -=。
3.3.3 带双步位移的QR 方法
QR 方法适用于计算一般实矩阵的全部特征值，尤其适用于计算中小型实矩阵的全部特征值。基本QR 方法的迭代公式是
11(1,2,...)n n k k k
k k k A A R A Q R A R Q k ?+?=∈?
=??
=??=?
由于
1T k k k k k k A R Q Q A Q +==
所以，由迭代公式产生的矩阵序列{}k A 中的每个矩阵都与原矩阵A 相似，因而任一矩阵k A 都与原矩阵A 有相同的特征值。 三、本章思考题
幂法与Jacobi 方法在矩阵特征值和特征向量的计算中的优缺点？
答：幂法的收敛速度与比值
2
1λλ或11
m λλ+有关，比值越小，收敛速度越快。此外，当矩阵A 没有n 个线性无关的特征向量，幂法仍然可以使用，但收敛速度特别慢。
Jacobi 方法具有较强的数值稳定性，求得的结果精度一般都比较高，特别是求得的特征向量正交性很好，这是其他方法所不如的。但是，Jacobi 方法不能有效地利用矩阵的各种特殊形状以节省工作量，绝对值较小的特征值精度也比较差；另外，由于每迭代一次都要在非主对角线元素中寻找模数最大的元素，因而比较费时间。 四、本章测验题
用幂法求下列矩阵按模最大的特征值和相应的特征向量：
2321034361??
????????
要求近似特征值k β满足41/10k k k βββ---≤。
解：幂法迭代公式为：
01111
11/(1,2,)n k k k k k k T
k k k R y u u Ay y u k ηηβ------?∈?=???=?
=??=??=?
任取非零向量u 令0(1,0,0)T u =，代入上述迭代公式， 得：1811.00028λβ≈=
17(0.8164946,0.4082504,0.4082504)T x y ≈=---
所得1λ与1x 即为所求。
3.1证明：如果求积公式（3.4）对函数f （x ）和g （x ）都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此，求积公式（3.4）具有m 次代数精度的充分必要条件是：它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立，但对某个m+1次多项式不能准确成立. ()()不能成立 对与题设矛盾多项式都能准确成立，次多，即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立，则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立，对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知：对于小次代数精度 机械求积公式具有机械求积公式也成立 对于线性组合同理可得 机械求积公式都成立 对于证明： 1m 1321321320 000 0)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()] ()([)()()]()([) ()() ()() ()() ()()(),(1++++=======∴+? ∴?∴==∴?+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑?∑?∑?∑? ∑?∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af x bg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j n k k k n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k 3.2直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson 公式则具有3次代数精度。
第二章小结 对于n 元线性方程组b A =x (*),其中A 为非奇异矩阵,当0det ≠A 时,方程组有唯一的解向量。求解线性方程组的方法可分为两类：直接法（如克莱姆法则，高斯消去法等）和迭代法（Jacobi 迭代法和GS 迭代法等）。 一 、直接法 1、Gauss 消去法:(1) 顺序Gauss 消去法:将矩阵化为上三角矩阵 (2) 列主元素Gauss 消去法:将增广矩阵],[)()(k k b A 中绝对值最大的元素交换到底k 行的主对角线上。 比较：顺序Gauss 消去法的计算结果数值稳定性没有列主元素Gauss 消去法的好。 2、直接三角分解法： (1)定义 Doolittle 分解法和Crout 分解法:如果方程组b A =x 的系数矩阵A 可以分解为A=LU,其中L 是下三角矩阵U 是上三角矩阵,这样方程组b A =x 就化为两个容易求解的三角方程组:y U b Ly ==x ,。 定理3 Doolittle 分解法的充要条件是矩阵A 的前n-1阶顺序主子式0≠K D (k 取1,2,3,4...,n-1) 推论 矩阵A 有唯一Crout 分解的充要条件是A 的前n-1阶顺序主子式0≠K D (k 取1,2,3,4...,n-1) Doolittle 分解计算公式为: 对于k=1,2,3...,n ),...,1,(1 1n k k j u l a u k t tj kt kj kj +=-=∑-=
);,...,2,1(/)(1 1n k n k k i u u l a l kk k t tk it kj ik <++=-=∑-= 则求解下三角方程组y U b Ly ==x 和上三角方程组的计算方程式: ???? ?????--=-===-==∑∑+=-=1 ,,2,1,/)(u /),,3,2(11111 n n i u x u y x y x n i y l b y b y ii n i t t it i i nn n n t i t it i i Crout 分解计算公式为: 对于k=1,2,3...,n ),...,1,(1 1n k k j u l a l k t tk it ik ik +=-=∑-= );,...,2,1(/)(1 1n k n k k j l u l a u kk k t tj kt kj kj <++=-=∑-= 则求解下三角方程组y b y U L ==x ~ ~和上三角方程组的计算方程式: ?????????--=-===-==∑∑+=-=1 ,,2,1,),,3,2()(/1111111 n n i x u y x y x n i l y l b y l b y n i t t it i i n n ii t i t it i i (2)选主元的Doolittle 分解法 优点:对A 的要求低,只要矩阵A 可逆即可,即只要矩阵A 非奇异便可通过对A 做适当变换就可以了. 二、迭代法 1、思想：通过构造一个无限的向量序列，使它的极限是方程组b A =x 的解向量，通过求迭代矩阵，再通过迭代公式使解向量逐步逼近精确解。所以迭代法的缺点也很明显，凡是迭代法都存在收敛性与
第一章绪论 误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差 是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限） 为的相对误差，当较小时，令 相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即： 绝对误差有量纲，而相对误差无量纲 若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。 例：设x==…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。 科学计数法：记有n位有效数字，精确到。 由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为 由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字 令 1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的 和 2.x-y近似值为 3.xy近似值为 4. 1．避免两相近数相减 2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章非线性方程求根 1.逐步搜索法 设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为(a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)
一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而 f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|
《数值分析》 重点考察内容及各章作业答案 学院： 学号： 姓名：
重点考察内容 基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。 第一章基础 掌握：误差的种类，截断误差，舍入误差的来源，有效数字的判断。 了解：误差限，算法及要注意的问题。 第二章插值 掌握：Hermite插值，牛顿插值，差商计算，插值误差估计。 了解：Lagrange插值 第三章数据拟合 掌握：给出几个点求线性拟合曲线。 了解：最小二乘原理 第四章数值积分微分 掌握：梯形公式，Simpson公式，代数精度，Gauss积分，带权Gauss积分公式推导，复化梯形公式推导及算法。 了解：数值微分，积分余项 第五章直接法 掌握：LU分解求线性方程组，运算量 了解：Gauss消去法，LDL，追赶法 第六章迭代法 掌握：Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造，敛散性分析，向量、矩阵的范数、谱半径 了解：SOR迭代 第七章Nolinear迭代法 掌握：牛顿迭代格式构造，简单迭代法构造、敛散性分析，收敛阶。 了解：二分法，弦截法 第八章ODE解法 掌握：Euler公式构造、收敛阶。 了解：梯形Euler公式、收敛阶，改进Euler公式 题目类型：填空，计算，证明综合题
第一章 误差 1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作 3 4 的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字. 4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1）11,||1121x x x x --++ （2 ||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4）sin sin ,αβαβ-≈ 5. 采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。 （1） （2 ）99-3 ）6 (3-（4 6. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。 上机实验题： 1、利用Taylor 展开公式计算0! k x k x e k ∞ ==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数 值. 分别取x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分1 ,0,1,2,,206 n n x I dx n x ==+? ,有如下的递推关系 111 110 0(6)61666 n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-? ? 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -= -=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n -=-=（取
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的范数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分内容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理
2.1 数值分析的研究对象 方法的构造 研究对象 求解过程的理论分析 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差：
第2章线性方程组的解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章知识的学习我首先了解到求解线性方程组的方法可分为两类：直接法和迭代法。计算机虽然运行速度很快，但面对运算量超级多的问题，计算机还是需要很长的时间进行运算，所以，确定快捷精确的求解线性方程组的方法是非常必要的。 本章分为四个小节，其中前两节Gauss消去法和直接三角分解法因为由之前《线性代数》学习的一定功底，学习起来还较为简单，加之王老师可是的讲解与习题测试，对这一部分有了较好的掌握。第三节矩阵的条件数与病态方程组，我 Ax 的系数矩阵A与左端向量b的元素往往是通首先了解到的是线性方程组b 过观测或计算而得到，因而会带有误差。即使原始数据是精确的，但存放到计算机后由于受字长的限制也会变为近似值。所以当A和b有微小变化时，即使求解过程精确进行，所得的解相对于原方程组也可能会产生很大的相对误差。对于本节的学习掌握的不是很好，虽然在课后习题中对课堂知识有了一定的巩固，但整体感觉没有很好的掌握它。第四节的迭代法，初次接触迭代法，了解到迭代法就是构造一个无线的向量序列，使他的极限是方程组的解向量。迭代法应考虑收敛性与精度控制的问题。三种迭代方法的基本思想我已经掌握了，但是在matlab 的编程中还存在很大的问题。 在本节的学习中我认为我最大的问题还是程序的编写。通过这段时间的练习，虽然掌握了一些编写方法和技巧。相比于第一章是对其的应用熟练了不少，但在程序编写上还存在很多问题。希望在以后的学习中能尽快熟练掌握它，充分发挥它强大的作用。 二、本章知识梳理 2.1、Gauss消去法（次重点） Gauss消去法基本思想：由消元和回代两个过程组成。 a(k=1,2,```,n-1)均不为零的充分必要条件定理顺序Gauss消去法的前n-1个主元素)(k kk 是方程组的系数矩阵A的前n-1个顺序主子式
16. 求运动方程. 解：设运动方程为S = at + b,由给定数据得 616 1 =∑=i ，7.1461 =∑=i i x ， 63.536 1 2=∑=i i x ， 2806 1 =∑=i i y ，10786 1 =∑=i i i y x 得 ?? ?=+=+1078 63.537.14280 7.146a b a b 解得 b=-7.8550478，a=22.25376 运动方程为S=22.25376t-7.8550478 17.已知实验数据如下： 用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，并计算均方误差. 解：由题意{} 2102)(,1)(,,1x x x x span ===??φ， 所以51), (2 5 1 00==∑=i ?? 7277699),(5 1 4 11== ∑=i i x ?? 5327),(5 12 10== ∑=i i x ?? 4.271),(5 1 0== ∑=i i y y ? 5.369321),(5 1 2 1==∑=i i i y x y ? 得
?? ?=+=+5.36932172769953274 .27153275b a b a 解得：a=0.9726046，b=0.0500351 所以经验公式为 y=0.9726046+0.0500351x 2 均方误差为 : [ ] 130.0)01693.0(),(),(||||||||2 12 11022 2==--=y b y a y ??δ 18.在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下： 用最小二乘法求)(t f y = 解：将给定数据点画出草图，可见曲线近似指数函数，故设t b ae y =，两边取对数得 t b Ina Iny + = 记Ina A Iny y ==,，则有 t b A y 1 += 即t x x t span 1 )(,1)(},1,1{10===??φ，计算 ∑=== 11 1 2 00111),(i ??，∑=== 11 1 2 1106232136.01 ),(i i t ?? 6039755.0t 1 ),(),(11 1 i 1010∑ === =i ???? ∑=== 11 1 0639649.13),(i i y y ? ，∑=== 11 115303303.0),(i i i t y y ? 从而解得法方程为 ?? ?=+=+5303303 .0062321366.06039755.0639649 .1360397556.011b A b A
第三章作业 1.设节点x 0=0,x 1=π/8,x2=π/4,x3=3π/8,x4=π/2,试适当选取上述节点，用拉格朗日插值法分别构造cosx 在区间[0，π/2]上的一次、二次、四次差值多项式P 1（x ）,P 2(x)和P 4（x)，并分别计算P 1（π/3）,P 2(π/3)和P 4（π/3). 解： x0 x1 x2 x3 x4 x π/8 π/4 3π/8 π/2 y=cosx 1 0.923879 0.707106 0.382683 （1）选择x0=0,x4=π/2的节点 y0=cosx0=1,y4=cosx4=0,可得 ) () ()()()(0101 1010 1x x x x y x x x x y x P --+--=，即 333333 .0)3/(1636620.0)(11≈+-≈πP x x P （2）选择x0=0,x2=π/4,x4=π/2的节点 y0=cosx0=1,y2=cosx2=0.707106,y4=cosx4=0,可得 ) )(())(())(() )(())(())(()(1202102 2101201 2010210 1x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x P ----+----+----=,即 145968 .1)3/(1511124.5482067.1)(222≈++-≈πP x x x P （3）选择x0=0,,x1=π/8,x2=π/4,x3=3π/8，x4=π/2的节点y0=cosx0=1,y1=cosx1=0.923879,y2=cosx2 =0.707106,y3=cosx3=0.382683,y4=cosx4=0可得 ) ( )(4 ,04 4∏ ∑≠==--=i j j j i j i i x x x x y x P ， 得 P3(x)=1+0.0031x-0.51542x +0.02423 x +0.02 844 x 4(3) 0.5001P π=/ 7.解： 选取0123=0=1=2=3x x x x ，，，为节点 >> T0=[0.0 0.5];x=[1 2 3]';y=[1.25 2.75 3.5]';x0=2.8;T=aitken(x,y,x0,T0) T = 0.0000 0.5000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 1.2500 2.6000 0.0000 0.0000 2.0000 2.7500 3.6500 4.4900 0.0000 3.0000 3.5000 3.3000 3.2300 3.4820 16 1）拉格朗日差值 ．选取 函数 ],[),sin()cos(ππ-∈+=x x x y x0=-pi:0.5*pi:pi; y0=cos(x0); x=-pi:0.05*pi:pi; if length(x0)~=length(y0) error('The length of x0 must be equal to it of y0'); end w=length(x0); n=w-1; L=zeros(w,w); for k=1:n+1 V=1; for j=1:n+1 if k~=j if abs(x0(k)-x0(j)) 数值分析计算实习题第三章 第二次作业： 题一： x=-1:0.2:1;y=1./(1+25.*x.^2); f1=polyfit(x,y,3) f=poly2sym(f1) y1=polyval(f1,x) x2=linspace(-1,1,10) y2=interp1(x,y,x2) plot(x,y,'r*-',x,y1,'b-') hold on plot(x2,y2,'k') legend('数据点','3次拟合曲线','3次多项式插值') xlabel('X'),ylabel('Y') 输出：f1 = 0.0000 -0.5752 0.0000 0.4841 f = (4591875547102675*x^3)/81129638414606681695789005144064 - (3305*x^2)/5746 + (1469057404776431*x)/20282409603651670423947251286016 + 4360609662300613/9007199254740992 y1 = -0.0911 0.1160 0.2771 0.3921 0.4611 0.4841 0.4611 0.3921 0.2771 0.1160 -0.0911 x2 = -1.0000 -0.7778 -0.5556 -0.3333 -0.1111 0.1111 0.3333 0.5556 0.7778 1.0000 y2 = 0.0385 0.0634 0.1222 0.3000 0.7222 0.7222 0.3000 0.1222 0.0634 0.0385 题二： X=[0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0]; Y=[1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46]; p1=polyfit(X,Y,3) p2=polyfit(X,Y,4) Y1=polyval(p1,X) Y2=polyval(p2,X) 第三章 函数逼近与曲线拟合 1． ()sin 2 f x x π =，给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。 解： ()sin ,2 f x π = [0,1]x ∈ 伯恩斯坦多项式为 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 其中()(1)k n k k n P x x x k -??=- ??? 当1n =时， 01()(1)0P x x ?? =- ??? 1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin 022P x x B f x f P x f P x x x x ππ=∴=+??=-?+ ??? = 当3n =时， 3 022 122233 31()(1)01()(1)3(1) 03()(1)3(1) 13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ?? =- ?????=-=- ????? =-=- ????? == ??? 3 3022322 33223 (,)()() 03(1)sin 3(1)sin sin 6 3 2 3(1)(1)25632221.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x π π π =∴==+-+-+= --+-=++≈--∑ 2． 当()f x x =时，求证(,)n B f x x = 证明： 若()f x x =，则 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 001 11(1)(1) 11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1) 11(1)1[(1)]n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n n k x x k n k n n n k x x n k n n k x x k n x x k n x x x k x x x x -=-=-=-=----=-?? =- ???--+=-----+=---??=- ?-??-??=- ?-?? =+-=∑∑∑∑∑ 3．证明函数1,,,n x x 线性无关 证明： 若20120,n n a a x a x a x x R ++++=?∈ 分别取(0,1,2,,)k x k n = ，对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积，得 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1 234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相 对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误 差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 第四章 习题 1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： （1）()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 1010； （2）()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 221010； （3）()()()()[]3/3211 121?-++-≈x f x f f dx x f ； （4）()()()[]()()[]h f f ah h f f h dx x f h '0'2/020 +++≈? 解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即101A A A ，，-，将()21x x x f ，，=分别代入求积公式，并令其左右相等，得 ()()??? ???? =+=+-=++---3 1121 110132 02h A A h A A h h A A A 解得h A h A A 34 31011===-，。 所求公式至少具有2次代数精度。又由于 ()() ()() 4 4 4 3 33 3 3 33h h h h dx x h h h h dx x h h h h ? ?--+ -≠ +-≈ 故()()()()? --++-≈h h h f A f A h f A dx x f 1010具有三次代数精度。 （2）求积公式中含有三个待定系数：101A A A ，，-，故令公式对()2 1x x x f ，，=准确成立，得()()??? ???? =+=+-=++---3 1121110131604h A A h A A h h A A A ，解得h h h A h A h A A 34 316424381011-=- =-===-， 故()()()[]()03 43 822hf h f h f h dx x f h h - +-≈ ? - 因()?-=h h dx x f 220 而 ()() []03 83 3 =+-h h h 又[ ]4 45 5 6224 3 83 165 2h h h h h dx x h h += ≠= ? - 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A》和《数值方法B》） 长沙理工大学 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试 指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的 绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数 字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 20000112111 2 1 ()(,,,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. 证明：如果求积公式（）对函数f （x ）和g （x ）都准确成立，则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此，求积公式（）具有m 次代数精度的充分必要条件是：它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立，但对某个m+1次多项式不能准确成立. ()()不能成立 对与题设矛盾多项式都能准确成立，次多，即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立，则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立，对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知：对于小次代数精度 机械求积公式具有机械求积公式也成立 对于线性组合同理可得 机械求积公式都成立 对于证明： 1m 1321321320 000 0)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()] ()([)()()]()([) ()() ()() ()() ()()(),(1++++=======∴+? ∴?∴==∴?+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑?∑?∑?∑? ∑?∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af x bg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j n k k k n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k 直接验证中矩形公式具有一次代数精度，而Simpson 公式则具有3次代数精度。 第一章 误差与算法 1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____，___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 . 2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。 3. 0.2499作为1/4的近似值，有几位有效数字？ 00.24990.249910,0m =?=即， 031 |0.2499|0.00010.5100.510,34 m n n ---= 1 1()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==- 111n n I I n n -=-， 10110I = 5. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_. 6. 时间复杂度是指：.算法需耗费时间的度量， 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 3n , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂 度为3()O n . 二 代数插值 1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式，并写出误差估计式，以及验证插值多项式的唯一性。 x 0 1 4 f(x) 1 9 3 Lagrange: 设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，， 对应i x 的标准基函数)(x l i 为： 1200102 ()()(1)(x 4)1 ()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x = 2()...l x = 因此，所求插值多项式为： 2 20 ()()()....i i i P x f x l x ===∑ 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设 028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?数值分析(第五版)计算实习题第三章
数值分析第三章函数逼近与曲线拟合习题答案
数值分析第三版课本知识题及答案解析
数值分析习题第四章
数值分析习题集及答案
数值分析第四版习题及答案
数值计算第三章答案
数值分析作业题(1)
(完整版)数值分析第四版习题和答案解析
相关主题
文本预览