多元函数微分法讲义
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多元函数微分法讲义
第十章 多元函数微分学
§10.1 多元函数：
一、平面点集
1、定义：把全体有序实数对(,)x y 组成的集合，{(,)|,}x y x R y R ?∈?∈称为二维空间，记为2R （或R R ?），（实际上这里的二维空间的概念就是解析几何中的二维空间概念）。下面我们看一看这里的二维空间有一个什么样的几何意义，显然2),(R b a ∈?都唯一对应着直角坐标平面的一个点，反之然，∴2R 中的有序数对与直角平面上的点是一一对应的，它们的本质是一样的，可以不加区别，所以：可以把2R 看成直角坐标平面，坐标平面也可以看成是二维空间2R ，以后把),(b a 叫点P 的坐标，而把2R 看成是平面全体点的集合.
2、平面上两点的距离（由解析几何知：）：设2R 中的两点111(,)P x y 222(,)P x y ，
则称12||d P P =-=P 1与P 2两点间的距离. 2
123,,P P P R ?∈有121323PP PP P P ≤+叫三角不等式.
请同学们回忆：数轴上邻域的概念（一维空间的领域）： 3、定义
2：设2(,)P a b R ∈，以点(,)P a b 为中心，0r ?>为半径的全体点),(y x 组
成的集合：{}
(,)x y r <叫以点(,)P a b 为中心，r 为半径的圆形领域记为(,)U P r ：即(,)U P r
={}
(,)x y r < 从几何上看：圆形领域就是平面上的一个开圆：
讨论：集合{}(,)|||,||x y x a r y b r -<-<表示一 个什么图形？
以(,)P a b 为中心，2r 为边长的开矩形的全体点组成的集合
{}(,)|||,||x y x a r y b r -<-<叫以(,)P a b 为中心的r 半径的方形邻域.
∵圆中有方，方中有圆，∴方形领域与圆形领域是等价的.∴以后在证明题目时，
a r - a r + a · · ·
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可以取圆形领域，也可以取方形领域，都一样.
把圆形领域和方形领域统称为(,)P a b 为心，r 为半径的领域，记为(,)U P r . 去掉邻域中心P 后的集合叫去心领域，记为(,)o
U P r . 讨论：去心领域怎样表示：
圆形去心领域，{}
(,)|0x y r < 方形去心领域：{}(,)|0||,0||x y x a r y b r <-<<-< 当不需指出半径时，领域可简写为()()o U P U P 或
有了领域的概念后，就可以定义两个特殊的概念：开区域和闭区域。
3、定义3：设G 是平面点集，P 是平面上一点。 1）若0r ?>，有(,)U P r G ?，则称P 是G 的内点。
2）若0r ?>，(,)U P r 内既含有G 中的点，同时又含有不属于G 的点，则称P 是G 的界点，并把全体界点组成的集合叫点集的边界.
1）讨论：G 的内点和界点的区别在哪里？
内点是，存在一个正数r ，使以P 为中心r 为半径的领域(,)U P r 完全包含在G 中，若(,)U P r 有G 中的点同时也有不属于G 的点P 就是界点
讨论：下面P 点是内点还是界点，为什么？
2）G 的界点有多少个？都属于G 吗？G 的边界是否属于G ？ （1）
3）若0r ?>，领域(,)U P r 内含有G 的无限多个点，则称点P 叫G 的聚点，（讨论如上图，内点是不是聚点？界点呢？（不一定！）聚点是否一定属于G ？）
4）若0l ?>，使(,)G U O l ?，则称G 是有界点集，否则叫无界点集。 讨论：下面点集是有界点集还不是无界点集？ 1）G ＝{}22(,)|1x y x y +<
·
{}
G
P （3
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2）第一象限：G ＝{}(,)|0,0x y x y >>
3）G ＝{}{}(,)|||1((,)|11x y x y G x y x y -
1）若G 的任意点P 都是G 的内点，且G 的任意两点都能用属于G 的折线连接起来（称G 的连通性）则称G 是开区域。（如上图）
2）由开区域和它的边界构成的区域G 的闭区域。
讨论：下列点集G 是不是开或闭区域。并指出它的有界性和内点、聚点和界点。 1）G ＝{}22(,)|12x y x y <+<（开区域，有界…） 2）G ＝{}21|),(22≤+≤y x y x 3）G ＝{}22(,)|2x y x y +<
4）G ＝{}0,0|),(≥≥?y y x （闭区域，无界）
5）G ＝{}0,,1|),(22≥=+y x y x y x 且（不是区域（—？没有内点；只有界点集） 6）G ＝{}2(,):x y y x <（∵2x y =是区域的边是，∵2x y =表示抛物线下方全体点组成的点集，不含边界）
5、有界区域的直径：设G 是有界区域，把
{1212||:P ,P G}sup P P -∈叫有界区域的直径，记为：()d G ：
()d G ={1212||:P ,P G}sup P P -∈.
讨论：下列点集G 的直径d （G ）＝？
1）G ＝{}22(,)|1x y x y +< 2）长方形：G ＝{}d y c b x a y x ≤≤≤≤;|),( 3） 是无界区域（没有直径） 4）2G R =,
.注：上面的定义及定理（概念）可以推扩到n 维空间上去.
例：描绘下列点集，并指出开、闭性，有界性，聚点、界点及边界。
2）G ＝222
222(,,)|1x y z x y z a b c ??++
3）G ＝{}(,,)|0,0,01x y z x y z x y z ≤≤≤++≤且 1）G ＝{}1||),(≤xy y x
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解：1）G 是二维空间2R 的点集，∵||111xy xy ≤?-≤<，∴点集G 的边界是
11-==xy xy 与（是无界闭区域）
2）G 是二维空间3R 的点集，边界是曲面1///222222=++c z b y a x ，∴G 是椭球内部的点，不含托球面上的点，是有界开区域.
3）是3R 的点集，边界是0,0,0===z y x 三个坐标面及平面1=++z y x ，∴G 是这四个面围成的四面体的全体点，是有界闭区域。
作业Ｐ152 1、5
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二 多元函数
1. 二元函数定义：设D 是二维空间2R 的非空子集，若D y x P ∈?),(，按某一对应法则f ，都唯一的对应着一个实数z ，:(,)f x y z →，则称对应法则f 是定义在D 上的一个二元函数记为，:(,)(())f D R z f x y z f P →=或＝或。
把D 叫f 的定义域，全体函数值组成立集合：{}D y x y x f z z D f ∈==),(),,(|)(:叫函数的值域。
例如：221y x z --=是定义在闭圆122≤+y x 的一个二元函数。 2. 二元函数的图像
设二元函数),(y x f z =的定义域为D ，显然是D 是xoy 平面上的一个点集。
(,)P x y D ?∈，都对应着一个函数值()z f P =，于是就确定了3R 中的一个点3),,(R z y x Q ∈，当P 在D 中变化时，就得到了3R 中的若干个点，把这些点组成的集合{
}),(,),(|),,(2y x f z R y x z y x Q =∈叫函数),(y x f Z =
一般地二元函数),(y x f Z =的图象是3R 中的一块曲面。
例：判别下列函数的图象是什么图形
1）221y x z --=（∵）闭圆122≤+y x 上的上半球。 2）(,)31,((,)31)f x y x y z f x y x y =++==++，
11113
x y z ?
++=-- ，∴是在三个轴上截距为1,1,31
=-==c b a 的一个平面。 当自变量是三个时，叫三元函数，…是n 个时叫n 元函数（见P144定义），
1212(),()n n n y f x x x p x x x R =??∈. 把二元和二元以上的函数叫多元函数。
为什么要把函数分为一元和多元呢？因为一元函数过渡到二元函数时，有些性质要发生变化，但从二元过渡到三、…多元函数时，性质就完全一样了.
我们知道二元函数的定义域是2R 中的一个点集，其图象是3R 的一块曲面（一般情况下）三元函数的(,,),(,,)u f x y z x y z V =∈的定义域是3R 的一个一个立体，而函数
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的图象是4R 的一个点集，没有同和何模型.
例：求下列多元函数的定义域，并指出定义域所表示的图形， 1）ln()z x y =+ 2
）(,)f x y = 3
）(,,)f x y z =
解：1）定义域{}(,)|0D x y x y =+>
是2R 上以2x y -=为边界（不包含边界）的半平面
2）∵?????≥--≥-+0
4012
222y x y x ∴412
2≤+≤y x ∴{}41|),(22≤+≤=y x y x D 是2R 上以(0,0)O 为中心1与2为半径的闭圆环。 3）∵0122z ＞y x ---
D ＝{}222(,,)|1x y z x y z ++<是3R 上以球面1222=++z y x 为边界的开球体。
例：已知2222
2220(,0)(,)00(00)
xy
x y x y x y
f x y x y x y ?+≠??+=??+?=?
当至少有一个不为当＝＝且
求)0,0(),2,0(),1,3(f f f
作业：Ｐ143 9, 10, 11, 12
3. 二元函数的极限
在一元函数中，lim o
x x →b x f =)(是指当x 在X 轴上，
从o x 的两侧以任意方式趋于o x 时，)(x f 都超于b x f b →)(:，用“”语言来描述，
0lim ()0,0,:0||()o
x x f x b x x x f x b εδδε→=??>?>?<-<-<有｜｜。
那么二元函数).(y x f z =的极限又怎样呢？
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设Ｐ),(b a 是),(y x f 的定义域D 的一个聚点。A 是一个常数。∵二元函数的自变量),(y x P 的变化范围不再只是x 轴上的一个区间，而是xoy 平面的一个平面区域D .所以二元函数),(y x f z =的极限应该是：当动点),(y x P 以任意路径和任何方式→
),(b a P (其趋于的路线可以是直线，抛物线或任意曲线)都有：A y x f →),(，这时把A
叫二元函数),(y x f 当),(),(0b a P y x P →时的极限记为lim ()o
P P f P A →=，又∵
b y a x P P →→?→,0，∴上面的极限又可改写成：lim (,)x a y b
f x y A →→=
上面根据只是一种形象的描述，下面定出严格中的“δε-”定义。
（1）二重极限定义：设函数)(P f 在区域D 的有定义，o P 是D 的聚点，A 是常数.
若000,0,:0||(P P ,)())P D P P U
f P A εδδδε?>?>?∈<-<∈-<或（）有｜｜，则称函数）（P f 在点0P 二重极限是A .lim ()o
P P f P A →=
因为：0:0||P(,)D:0<||<0<|y-b|
定义：设),(y x f 定义在点集D 上，),(0b a P 是D 的聚点，A 是常数.
若0,0,(,):0||0|||(,)|P x y D x a y b f x y A εδδδε?>?>?∈<-<<-<-<与有则称函数),(y x f 在),(0b a P 存在极限A ，记为lim (,)x a
y b
f x y A →→=.
1）解释定义的义意：0,0εδ?>?>，当点),(y x P 一旦入进了以0P 为心的δ的去心邻域，函数在P 点的函数值与A 的着的绝对值就小于ε.
2）上面定义可写为：
lim (,)00(,):0||,0|||(,)|x a y b
f x y A P x y D x a y b f x y A εδδδε
→→=??>?>?∈<-<<-<-<，，有例：用“δε-”定义证明：1）2
1
lim(35)11x y x y →→--=； 1）12
lim x y →→；5)(22=+y x
分析：用定义证明二元函数的极限的方法与一元函数完全一定：首先
0,0,(,)0<|,0
|(,)|f x y A ε-<解出一个含||x a -与||b y -的不等式，通过观察可找出δ.
证明：1）0ε?>
∵|(,)||(35)11|3(2)5((1))f x y A x y x y -=--=----3251x y ≤-++
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（∵本题领域是δ＜x |2|-，δ＜y y |1||)1(|+=--，∴要想办法在绝对值中找出
|1||,2|+-y x 与）
∴0,P ,:0|2|,0|1|,|(1)|1|10
x y x y y y ε
εδδδδ?>=
?<-<<+<-=+<，取则（），∴
就有2|(35)11|3|2|5|1|5.#10
x y x y ε
ε--≤-++≤?
=。 2）分析：∵22|(,)5||()5||(1)(1)(2)(2)|f x y x y x x y y -=+-=+-++-
|2||2||1||1|-?++-?+≤y y x x （∵要通过不等式向右方放大，消去1,|2|x y ++，
这须把点),(y x P 限制在)2,1(0P 的某一个邻域里找出它们的界即可. （把),(y x P 限制在以点)2,1(0P 的“1=δ”领域中），
证明：取11δ=，(,)P x y D ?∈限制：110|1|1,0|2|,x y δδ<-<=<-<则：
|1||11||1|23,|2||2|45x x x y y +=-+≤-+≤+≤-+≤
0ε?>，要使22|(,)5||()5||(1)(1)(2)(2)|f x y x y x x y y -=+-=+-++-
112231525(12)x x y y x y x y ≤+?-++?-≤-+-≤-+-ε<成立，只要取
2min{1,
}10
ε
δ=即可. 讨论1：限制),(y x P 的目的是什么？半径1δ不取，可不可？
例：证明：函数11sin sin 0(,)00,(,)(0,0)x y xy y x f x y xy x y ?+≠?
=??=≠?且，在原点（0,0）的极限是0. 讨论：函数),(y x f 在原点（0,0）有没有定义。（没有！）
证明：＞ε?0,（分两种情况讨论。—？∵当),(y x P 进入以（0,0）为心的领域时，函数值有两种情况）；
1）当)0,0(),(0:),(≠=y x xy y x P 且时，显然0,(,):0,0P x y x y δδδ?>?-<-<都|(,)0||00|0f x y ε-=-=<有
2）当0,0,(,):2
xy P x y ε
δ≠?=
11
|(,)0||sin
sin |||||2f x y x y x y y x
δε-=+≤+<=， 综上所述：
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10,0,():00,00|(,)0|#.P x y x y f x y εδδδε?
从本题看到),(y x f 在（0,0）无定义，但存在极限，∴函数在点P 0的极限与在点P 是否有定义无关。
讨论2：当P 沿一条固定的路径l ，趋于o P ：0,(,)p p f x y A →→时，能不能说),(y x f 在o P 存在极限？（不能）
。 例：证明2
42),(y
x y
x y x f +=在原点（0,0）不存在极限 分析：∵极限定义的意思是：不管点),(y x P 以什么方式和什么路径超时于(,)o P a b 时，都有A y x f →),(，因此要证),(y x f 在),(b a P 不存在极限，只须证明，当),(y x P 沿两条不同的路径超于),(0y x P 时，),(y x f 超于不同的两个数；或沿某一条路径
0,(,)P P f x y →不存在极限不存在即可。（∴可通过观察取两条特殊路径证之）.
证明：当动点),(y x P 沿直线(0)y kx k =≠趋于点)0,0(0=P 时有：
224242000
lim lim x x y x y x y x y x y →→→=++ 0)00(=→?→=y x kx y 时，在 。 当动点),(y x P 沿抛物线2
x y =趋于（0,0）时。244244000
1
lim lim 2x x y x y x x y x x →→→==++
∴),(y x f 在点（0,0）不存在极限。
课堂作业：证明：2
222
2)(),(y x y x y x y x f -+=在（0,0）不存极限。
取路径：1）x y =；2）:0x y =轴
作业：P155 1, 3, 4
前面我们讲了0P P →时的极限概念，下面对这个概念加以扩展，在一元函数有：
lim ()0,0,:()|()|x f x b B x x B x B f x b εε→±∞
=??>?>?><--<或有，类似的定义： 1）：lim (,)0,0,0(,):0||o
o x y y f x y A B P x y x B y y εδδ→+∞
→=??>?>?>?><-<，与
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|(,)|f x y A ε-<有
2）：1212lim (,)0,0,0(,):x y f x y A B B P x y x B y B ε→∞
→+∞
=??>?>?>?>>，与
|(,)|f x y A ε-<有
3）：121lim (,)0,0,0(,):x y f x y A B B P x y x B B ε→-∞
→+∞
=??>?>?>?<->，与y
|(,)|f x y A ε-<有
上面我们讲的二元函数的二重极限在本质上是：,x y 是两个互不相关的，互相独立的变量，当它们以独立的，任意方式同时x a →，y b →时，都有A y x f →),(，就称A 是),(y x f 在),(0b a P 点的二元函数的二重极限（即：极限）. 二重极限的性质和有关定理与一元函数的极限相似，略： 下面讲一种新的极限：二次累次极限
（2） 二次累次极限：
（1）若当x a →时（y 看作常数），函数),(y x f 存在极限，设lim (,)()x a
f x y y ?→=，
且当b y →时，()y ?存在极限B ：lim ()y b
y B ?→=，则称B 叫),(y x f 在点),(b a P 先x 后y
的二次累次极限：limlim (,)y b x a
f x y B →→=，
（1）若当y a →时（x 看作常数），函数),(y x f 存在极限，设lim (,)()y b
f x y x ψ→=，
且当x a →时，()x ψ存在极限C ：lim ()x a
x C ψ→=，则称C 叫),(y x f 在点),(b a P 先y 后x
的二次累次极限：limlim (,)x a y b
f x y C →→=，
注：一般情况下B 不一定等于C.
实际上二次累次极限就是两次求一次元函数的极限，∴只须用求一元函数的极限方面的知识就能求二次累次极限。
例：求22
12limlim
x y x y
x xy y →→+-+
因为二重极限和二次累次极限是两个完全不同的概念，∴它们没有必然的联系。 注：1. 因为两个累次极限：limlim (,)limlim (,)y b x a
x a y b
f x y f x y →→→→与实上是对y x ,的一元函数不
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同顺序的极限，所以两个累次极限可能不同，甚至一个存在另一个不存在；
例如：11()sin
sin f xy xy y y x
=+ 00
00
0001111
lim lim (,)lim lim(sin
sin )lim 00,lim lim(sin sin )x y x y x y x f x y xy y xy y y x y x
→→→→→→→=+==+而
不存在（1sin
00xy y =→存在，0x →时1
sin y x
不存在）；而累次极限可以不存在.注2. 二重极限存在，但累次极限可能不存在；或两个累次极限存在相等，但二重极限可能不存在：
例如：2
42),(y
x y
x y x f +=，在原点（0,0）两个累次极限存在且相等，但二重极限不存在；
例. 证明：函数11
()sin sin f xy xy y y x
=+在（0,0）二重极限存在，但累次极限不存在.
证明：∵11
|(,)0||lim
lim |||||.0,f x y x y x y y x
ε-=+≤+?> ,(,):0|0|,0|0||(,)0|#2
P x y x y f x y ε
δδδε?=
?<-<<-<-<则有
显然，累次极限的计算要比二垂极限简单得多，所以我们希望通过累次极限来计算二重极限，那么在什么条件下它们相等吗？
4. 定理：若二元函数),(P ),(b a y x f 在点的二重极限和累次极限（limlim (,)x a y b
f x y →→
limlim (,))y b x a
f x y →→或都存在，则：lim (,)limlim (,)(limlim (,))x a
x a y b y b x a
y b
f x y f x y f x y →→→→→→==或
推论：（充分条件）：若下面三个极限都存在：
lim (,)x a y b
f x y →→,lim (,)(),lim (,)()x a
y b
A f x y y f x y x ?ψ→→===，则两个累次极限存在且相
等；等于其二垂极限：lim (,)limlim (,)(limlim (,))x a x a y b
y b x a
y b
f x y f x y f x y →→→→→→==或
例：已知：222),(y x y
x y x f +=存在点（0,0）存在二重极限，求00
lim (,)x y f x y →→； 作业：P156 7
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4. 二元函数的连续性
我们曾经定义了一元函数一元函数()f x 在一点：x a =连续：若)()(lim a f x f a
x =→，
则称()f x 在点a 连续.
这个定义我们可以推广到二元函数和n 元函数上去：
（1）定义：设二元函数(,)z f x y =在区域D 有定义，点P (a,b)D ∈，若：
lim (,)(,)x a y b
f x y f a b →→=，则称),(y x f 在P (a ,b )连续.
讨论：上面定义用“点表示法”怎样书写：
设函数)(p f z =在区域D 有定义，点(,)o P a b D ∈，若0lim ()()o
P P f p f p →=，则称二元函
数连续在点0)(P p f z =。
即：设0P 是区域D 的点，)(p f 在)()(lim 000
P f P f P P P =?→连续，
例：已知0
220(,)(1,2)lim ()P P f x y x y P f P →=+在点连续,求.
定义：若二元函数),(y x f 在区域D 的每一点都连续，则称),(y x f 在区域D 连续。 2、连续函数的性质（P 150）
1）若)()(P g P f 与在点o P 都连续，则)()(P g P f ±；)()(P g P f ，)
()
(P g P f （0)(0≠P g ）在点0P 也连续，称为连续函数的四则运算。
2）连续函数的复合函数也连。（P 150） 3）Th4（保号性）
4）若二元函数),(y x f z =关于x 或y 的一元是初等函数，则称),(y x f z =是二元初等函数。二元初等了函数在有定义的点(,)P a b 都连续，（一般地，用一个解析式表达的二元函数都是初等函数）。
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请同学们自学152147P P - Th3—Th8 下面介绍一个间断点的概念：
请大家想一想),(y x f 在点(,)P a b 连续应满足几个条件：
1）),(y x f 在(,)P a b 有定义；2）),(),(b a P y x f 的存在极限；3）),(y x f 在(,)P a b 的极限值等于其函数值。
上面三条任破坏一条，函数),(y x f 在点),(b a P 都不连续。
定义：若),(y x f 在),(0b a P 不连续，则称),(b a P 是),(y x f 的间断点（或不连续点）。 二元函数的间断点集常常是xoy 平面上的一条曲线。（裂缝）
例：求下列函数的间断点，并指出其图形 1）22(,)xy
f x y x y =
+ 2）)
ln(),(2
2y x xy y x f += 解：1）由022=+y x 得0,0==y x 。∴间断点集{(0,0)}，且122≠+y x 。 例：求下列极限：1
）0
1
y x y →→ 2）22
00
lim ||||x y x y x y →→++ （令cos ,cos x r y r θθ==，则0,0→→y x
0|sin ||cos |0r θθ?→+≠且） 3
）00
x y →→
4）0000
sin sin lim
(lim 100)x x y y xy xy
y x xy →→→→=?=?=
上面二元函数的定义和性质可以推广到n 元函数上去.
作业：（参考）5；6.10 作业评讲：
1、下面做法是否正确，为什么？
20
220
0220
0ln lim )ln()(lim lim )ln()(lim y y y x y x y x y x y x y y x →→→→→=++=++
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0ln lim 2ln 2lim 0
===→→y y y y y y （是否正确关键是判别y y y ln lim 0
→是否存在）
上面做法不正确。∵由定理知：必须是二重极限和累次极限存在时，才能象上面这样做。 正确做法：令cos ,sin x r y r θθ==，则原式=0
lim(cos sin )ln r r r θθ→+=2（θθsin cos +）
0ln lim ln 2(cos sin )lim
1r P r r r r
θθ→→=+)(∞
∞
=2（θθsin cos +）lim()0P r θ→-=
2
、2222
000x x y y →→→→=
=22222200(46)24lim (23)x y x y x y x y →→+++22222222220000
2231212lim 1lim 122323x x y y x y x y x y x y x y →→→→++=?=+=++ 注：令cos ,sin x y ρθρθ==，则22
2
200
12lim 23x y x y x y →→+422222012sin cos lim 0(2cos 3sin )ρρθθρθθ→=+.
3、若将函数2
22
232),(y x y x y x f +-=限制在区域D ={(x,y)||y| 分析：这里动点P(x,y)的变化范围是D ，∴P 只能取D 内的点：|y| δ<-<|0|0x 的ε<-|1)(|p f ，δ的找法与前面的一样。 证明：)||(),(,02 x y ：D y x P <←?>?即εε；要使22 22 2222|1||1),(|y x y y x y x y x f +=-+-=- ε<=<==||| |||||||222 2x x x x y xy y 只须取εδ=（注：不等式中不含||y ，表示对任意δ，δδ<<||,||x y 时，都能保证ε<-|1)(|p f ） 证明：0>?ε，取δεδ<<∈?>=||0:),(,0x D y x p 都有ε<<-+-|||1|2 22 2x y x y x .#. 56 讨论：能源能说),(y x f 在（0，0）的二重极限是1),(lim :10 0=→→y x f y x ？（不能，∵二重 极限的动点),(y x P 必须是邻域：δ<-<|0|0x ，δ<-<|0|0y 的全体点，但上题中的P 不能取M 域的全体点，而只能取(0,)D δ）。∴不是二重极限，而只是限制在D 中的极限，实际上),(y x f 在（0,0）不存在二重极限。当动点),(y x P 沿轴x=c 趋于（0,0）时，1),(-→y x f ，当),(y x P 沿x 轴y=0趋于（0,0）时，1),(→y x f 。 作业： 165P : 1 (1),(2); 6; 7;10; 11. §10.3 多元函数的微分法 在讲多元函数的导数前，首先来回忆一下导数的概念：设)(x f 在)(0x 有定义：若 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 把一元函数导数的概念推广到多元函数上去，就是下面要讲的偏导数的概念： 偏改变量：设二元函数(,)z f x y =定义在区域D ，(,)o o o P x y 是D 的内点，将 o y y =看作常数，给0x 一个改变量x x x ?+?0:，于是就得到D 的另一个内点（00,x x y +?）∈D ，把这两点的函数值之差： ),(),(0000y x f y x x f Z x -?+=?叫),(y x f 在点(,)o o o P x y 关于x 的偏改变量。 同样：把0000(,)(,)y z f x y y f x y ?=+?-叫),(y x f 在(,)o o o P x y 点关于y 的偏导改变量。 1.偏导数定义：若函数),(y x f Z =在点(,)o o o P x y 的关于x 的偏改变量x Z ?与x ? 56 之比的极限：000000(,)(,) lim lim x x x Z f x x y f x y x x ?→?→?+?-=??存在，则称此极限叫),(y x f 在)(000z x P 关于x 的偏导数，记为0000() (,)x x y z f x y x ?'?或 （=000000(,)() lim lim x x x Z f x x y f x y x x ?→?→?+?-=??）. 同理称： 00000 (,)() lim lim y y y Z f x y y f x y y y ?→?→?+?-=??，叫),(y x f 在000(,)P x z 关于y 的偏导数，记为 0000() (,)y x y z f x y y ?'?或 例：已知：2222 220(,)00 xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ， 求(0,0)x f '(0,0)y f '与 解：∵(0,0)x f '0 00(0,0)(0,0)(,0)000 lim lim lim 0x x x f x f f x x x x ?→?→?→+?-?--===??? 当00(,)P x y 为区域D 的任意点),(y x P 时： 二元函数),(y x f 在任意点(,)p x y 的偏导数为： 0(,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x →+?-'=?（叫),(y x f 在P 关于x 的偏导数） y xy f y y x f y x f x y ?-?+=' →)(),(lim ),(0（叫),(y x f 在P 关于y 的偏导数） 它们仍然是关于x 、y 的二元函数，∴又简称偏导函数。 由于偏导数在本质上就是导数的概念，所求关于偏导数时，只须把y 看成常数，对x 求导即可.…… 例：已知22lim 4),(y y x y x y x f +-=，求)0,2(' x f ，),3(π'y f 例：已知：2222 220(,)00 xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，求(,)f x y 关于x 与y 的偏导函数 ),(y x f x ' ，),(y x f y '. 56 分析：∵(,)f x y 是分段函数，∴对于不同的表达式，要分成不同的情况来计算。 解：当)0,0(),(≠y x ，2 2),(y x xy y x f += （是一个连续可导的函数，可以直接求偏导）222222222222)() ()()()()(22y x x y y y x y x xy y x xy x f x x +-=+' +-+'= 222222222 222) () ()()()()(22y x y x x y x y y x xy y x xy y f y +-=+'+-+'= 当（x ,y ）=（0，0）时（是求节点的导数，只能根据定义求） 00(0,0)(0,0)(0,0)0 lim lim 00x x f f x f x x ?→?→?+?-===?? 00(0,0)(0,0)(0,0)0 lim lim 00y x f f y f y y ?→?→?+?-===?? ∴222222222()0()(,)00x y y x x y x y f x y x y ?-+≠?'+=??+=?，2222 22222()0()(,)00y x x y x y x y f x y x y ?-+≠?'+=??+=? 例：设,,y u u u x x y ??=??求 . 分析：在求u x ??时，y 看成常数，对x 求导. 解： 1y u yx x -?=? ln y u x x y ?=? 例：设r u 1 = ，222)()()(c z b y a x r -+-+-=，求, ,u u u x y z ?????? 分析：函数是r u 1 = 与r = 的复合函数，∴由复合了函数的求导法则：（也可以两边先取对数再求导）。 解：由复合函数的求导法则 2211())]2x u u r x a x r x r ???'=?=-?-??? 56 3 21)(1r a x r a x r -- =?-- = 下面两个请同学们自己计算。 课堂作业，计算)ln(2y x z += 求导 u x ??，u y ?? 解：令y x r +=2，则r z ln =，由复合函数的求导法则 u x ??2 212()x u r x x y r x r x y ??'==?+=??+ 在一元函数中，()y f x =在点x a =的导数)(a f '的几何意义是曲线)(x f y =在 ))(,(a f a 的切线的斜率。 那么偏导数的几何意义是什么？00(,)x f x y '的几何意义：曲面),(y x f y =与过y 轴点0y 且垂于y 轴的平面0y y =交线1C 的方程为：???==0 ) ,(y y y x f z 偏导数的几何意义： 00(,)x f x y '表示过交线1C 上的点0000(,,(,))Q x y f x y 的切线的斜率； 00(,)y f x y '表示过曲线2C 0(,)z f x y x x =?? =?上点Q 00000(,,(,))x y z f x y =的切线斜率。 在一元函数)(x f z =中，若)(x f 在0x 可导，则)(x f 在0x 连续，即)(x f 在0x 连续是()f x 在0x 可微的必要条件。 那么这一条性质在二元函数中是否成立呢？实际上： 注：在二元函数中，仅管),(y x f 在点00(,)o P x y 两个偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '都存在，也推不出),(y x f 00(,)o P x y 连续，这是多元函数与一元函数的一个不同之点。 例：证明22 (,)10 x y xy f x y xy ?+==? ≠?，在(0,0)O 存在两个偏导数，但),(y x f 在原点(0,0)O 不连续. 证明：200(0,0)(0,0)()(0,0)lim lim 0x x x f x f x f x x ?→?→+?-?'==?? 同理0)0,0(=' y f 56 （要证),(y x f 在(0,0)O 不连续，只须证明：(,)(0,0)f x y 在不存在极限） 当),(y x P 以0=y 趋于(0,0)O 时，0lim )0,(lim ),(lim 20 0===→→→→x x f y x f x x y x 当),(y x P 以y x =趋于(0,0)O 时，00 lim (,)lim (,)lim11x x x y f x y f x x →→→→===，∴ 不存在二重极限在)0,0(),(y x f ，所以(,)(0,0)f x y 在不连续. 作业：P176 1、2、2 全微分定义：在一元函数时我们曾经定义了函数在一点0x 的微分的概念：若函数 ()y f x =在点0x 的改变量)()(00x f x x f y -?+=?能表成：()y A x o x ?=?+?（即表成 x ?的一个线性函数与x ?高阶无穷小的和）就称()f x 在0x 可微，并把0|dy x A x =? 就0()f x x 叫在的微分，后面我们进一步推出：00|()x dy f x dx '=。 这一概念可以推广到多元函数上，就是下面的全微分的概念： 2. 全微分的定义：若二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 的全改变量： 0000(,)(,)z f x x y y f x y ?=+?+?-可表成： ()z A x B y o ρ?=?+?+ ，其中ρ=，,A B 是与x ?、y ?的无关的常数。 则称二元函数),(y x f z =在点),(00y x P 可微，且把线性主部y B x A ?+?叫函数 ),(y x f 在点),(00y x 的全微分，记为y B x A dz ?+?= 注：全微分的定义必须满足两条：1）y x dz ??,是的线性（一次）函数（即A 、B 与y x ??,无关的常数）。2）()()z dz z A x B y o ρ?-=?-?+?=是 ρ=穷小（o ρρ→），即0 lim 0z dz ρρ →?-= 在上面定义中，我们自然要问系数A 、B 是什么呢？ 3. 定理：（可微的必要条件）：若二元函数),(y x z =在点),(00y x P 可微，则函数 第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理 §5.3 多元函数微分法 一、复合函数微分法――链式法则 模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。 【例1】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由 下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++ 由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -） 由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。 答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。 【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（ ） （A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性 例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。 【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=?? §8.5多元复合函数微分法 复习：一元复合函数的求导法则 设)]([x f y ?=是由)(u f y =和)(x u ?=复合而成，则)()(x u f dx du du dy dx dy ?'?'=?=。 8.5.1全导数 定理1 若函数)(x u ?=及)(x v ψ=都在点x 可导，函数)v ,u (f z =在对应点)v ,u ( 处可微，则复合函数)](),([x x f z ψ?=在点x 可导，且 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=（全导数公式）。 ① 证明：给x 以增量x ?，则u 、v 得相应的增量u ?、v ?， 从而)v ,u (f z =有全增量) ,() ,(v u f v v u u f z -?+?+=?， ∵)v ,u (f z =在)v ,u (处可微， ∴)(ρ+???+???= ?o v v z u u z z ，其中22)()(v u ?+?=ρ。 ∵)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 可导， ∴)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 必连续， 即当0→?x 时，0→?u ，0→?v ，从而0lim 0 =ρ→?x 。 ∵ x o x v v z x u u z x z ?ρ+????+????=??)(， 而x o o x x ?ρ?ρρ=ρρ→?→?)(lim )(lim 00])()([lim )(lim 220 0x v x u o x x ??+??±?ρρ=→?→? 0])()([022=+±?=dx dv dx du ， ∴ x o x v v z x u u z x z x x x x ?ρ+????+????=??→?→?→?→?) (lim )(lim )(lim lim 0000， 即 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=。 第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种： （一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)， 的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000 第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。 第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社 多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） `第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。 第九章多元函数微分法及其应用 一、基本要求及重点、难点 1. 基本要求 (1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。 (2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。 (3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件 和充分条件。 (4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 (5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 (6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。 (7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。 (8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉 格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 2. 重点及难点 （1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。 （2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。 二、内容概述 多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。 1.多元函数的极限和连续 (1)基本概念 1)点集和区域。 2)多元函数的定义、定义域。 3)二元函数的极限、连续。 (2)基本定理 1)多元初等函数在其定义域内是连续的。 2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值 M和最小值m之间的任何值。 2.多元函数微分法 (1)基本概念 偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。 (2) 计算方法 1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数 x x x z =??，就是一元函数 ),(0y x f z = 在0x x =处的导数；对y 的偏导数 x x x z =??（同理）。 2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy y z dx x z dz ??+??= 3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同 条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。 A. 设),(v u f z =，)(),(t v t u ψ?==，则全导数dt dv v z dt du u z dt dz ??+ ??=。 B. 设),(v u f z =，),(),,(y x v y x u ψ?== 则： x v v z x u u z x z ????+ ????=??，y v v z y u u z y z ????+????=??。 4) 隐函数求导法则： A. 设函数)(x f y =由隐函数0),(=y x F 确定，则 y x F F dx dy -=。 B. 设函数),(y x f z =由隐函数0),,(=z y x F 确定，则 z x F F dx dz -=，z y F F dy dz - =。 C. 设函数)(),(x g z x f y ==由隐函数方程组?? ?==0 ),,(0 ),,(z y x G z y x F 确定，从 ???? ?='+'+='+'+0)()(0 )()(x g G x f G G x g F x f F F z y x z y x ，求出导数)(),(x g x f ''。 (3) 多元函数连续、可导、可微的关系 (4) 基本定理 第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法 第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。） 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12 ； (D)存在且不等于0或 12 （提示：令2 2 y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在2 2 0x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 200 0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 +； (B) - +y x y 22 ； (C) y x y 22 + ； (D) -+x x y 22 多元复合函数的微分法习题 1. 书上习题8 24（6），（8）； 2. 设)(22y x f y z -=，求f 为可微函数，证明： 211y z y z y x z x =??+??。 3. 设),(v u f 是二元可微函数，),(y x x y f z = ，求 y z y x z x ??+??。 4. 设)(),(x y g y x xy f z +=，f ,g 均为可微函数，求x z ??。 5. 设),()sin(y x x xy z ?+=，其中?有二阶连续偏导数，求y x z ???2。 6. 设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=??+??v f u f ，又))(21,(),(22y x xy f y x g -=，求 2222y g x g ??+??。 解答 1. 24（6） ),(22xy e y x f z -=，求x z ??，y z ??。 xy ye f x f x z ?'+?'=??212， xy xe f y f x z ?'+-?'=??21)2(。 24（8） ),(xy y x f z -=，求y x z ???2。 21f y f x z '+'=??， 2221212112f xy f y f f x f y x z ''+''+'+''+''=???。 2. 设)(22y x f y z -=，求f 为可微函数，证明： 211y z y z y x z x =??+??。 令 2 2y x u -=，)(u f y z =， )() (2)()(22u f u f xy x u u f u f y x z '-=??'?-=??， ) ()(2)()()()(1222u f u f y u f y u u f u f y u f y z '+=??'?-=??， ∴ 211y z y z y x z x =??+?? 第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 d z z d u z d v d t u d t v d t ?? = + ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f z u v u v u v εε???= ?+ ?+?+??? 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 1 2z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→ →??， 所以 0l i m t d z z f d u f d v d t t u d t v d t ?→??? ==+???，即 d z f d u f d v z d u z d v d t u d t v d t u d t v d t ?? ? ?= + =+????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??= + ??两端除以d t 得到 的，常将 d z d t 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 d z z d u z d v z d w d t u d t v d t w d t ?? ? = + +?? ? 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dt du ． 6．4 多元函数微分法的应用 6．4．1 微分在几何上的应用 1．空间曲线的切线和法平面 设空间曲线的参数方程为：)(),(),(t w z t y t x ===ψ?这里假定)(),(),(t w t t ψ?都在],[βα上可导。 在曲线上取对应于t =t 0的一点M 0(x 0 y 0 z 0)及对应于t =t 0+t 的邻近一点M (x 0+x y 0+y z 0+z ). 作曲线的割线MM 0 其方程为 z z z y y y x x x ?-=?-=?-000 当点M 沿着趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线. 考虑 t z z z t y y y t x x x ??-=??-=??-000 当M M 0 即t 0时 得曲线在点M 0处的切线方程为 ) ()()(000000t z z t y y t x x ωψ?'-='-='-. 曲线的切向量: 切线的方向向量称为曲线的切向量. 向量 T =(j (t 0) y (t 0) w (t 0)) 就是曲线在点M 0处的一个切向量. 法平面: 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线 在点M 0 处的法平面 其法平面方程为 j (t 0)(x -x 0)+y (t 0)(y -y 0)+w (t 0)(z -z 0)=0. 例1：求曲线2342 1,31,41t z t y t x ===的平行于平面023=++z y x 的切线方程。 解：曲线上任一点处的切向量{}t t t T ,,23=，平面的法向量{}2,3,1=→ n ，由题设条件有：→⊥n T ，即0=?→ n T ，故{}{ }2,3,1,,23?t t t =02323=++t t t ， 解得2,1,0--=t 。 对应01=t 的点)0,0,0(1M 有切向量{}0,0,01=T ，由于切向量须为非零向量，故无意义舍去； § 2 复合函数微分法 简单介绍多元复合函数及复合线路图 “外二内二”型：),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===. “外三内二” 型： , ),,(z y x f u =),( , ),( t s y t s x ψφ==, ),(t s z η=; “外二内三” 型（2个中间变量，3个自变量的情形）： ) ,,(),,() ,(u t s y y u t s x x y x f z === 内。 的某个开集定义在内， 的值域在内，并且的某个开集定义在其中D R z D y x E R y x 2 3,, 复杂型： , ),,(z y x f u = ),,( , ),,( z t s y z t s x ψφ==，z 既是中间变量，又是自变量. 一、复合函数的求导法则 定理17.5（链导法则、链式法则P118）以“外二内二”型复合函数为例. 设函数),( , ),( t s y t s x ψφ==在点∈),(t s D 可微 , 函数),(y x f z =在点=),(y x ()),( , ),(t s t s ψφ可微 , 则复合函数f z =()),( , ),(t s t s ψφ在点),(t s 可微, 且 ) ,() ,() ,() ,() ,(t s y x t s y x t s s y y z s x x z s z ????+ ????= ??, ) ,() ,() ,() ,() ,(t s y x t s y x t s t y y z t x x z t z ????+ ????= ??（4） 证明P 119 注1：如果只是求复合函数的偏导数，链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱. 反例如 P 119的例：如果f 的可微性条件不满足链式法则不一定成立. 例：P119 ?? ?==≠?? ? ??=+==不可微。 在)0,0(),(0 )0,0()0,0()) 0,0(,(,)) 0,0(,(, 0),(2 22y x f f f y x y x y x y x y x f z y x 1010.2 12),(,0 ) 0,0(0 )0,0(0=?+?=????+?????=??=?= ======t t t t y y z t x x z x z dt dz t t t f z t y x 但若用链式法则：则：若令 称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加 ，沿线乘”（ 或“并联加 ，串联乘” ）来概括 . 在不引起混淆的情况下，简写为： 第九章 多元函数微分法及其应用总结 多元函数的概念 对应规则、定义域、 值域、图形 二重极限()()()00,,lim ,x y x y f x y →的定义、与()0lim x x f x →的区别 极限的计算(P61、 P62、P63(6)) 二元函数的连续性 ()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →= 二元函数 (),f x y 在区域D 连续 在有界闭区域上的连续函 数 (),f x y 的性质 有界性、有最值、 介值性 多元初等函数 多元初等函数在其定 义域内就是连续函数 多元函数的偏导数 (),z f x y =在点()00,x y 处对x ,y 的偏导数()00,x f x y ,()00,y f x y 的定义 例如,计算 ()()00000,,lim x f x x y f x x y x ?→+?--?? (),z f x y =在点()00,x y 处对x ,y 的偏导数()00,x f x y ,()00,y f x y 的几何解释 (),z f x y =对x ,y 的偏导数(),x f x y ,(),y f x y 的定义 算法练习(P69、1,4) 多元函数的高阶偏导数(P69、6(1),7,8) 多元函数的全微分 (),z f x y =, ()(),,x y dz f x y dx f x y dy =+推广到更多元的函数 算法练习(P75、 1(1),2,3) 多元复合函数的求导法则 树形法则(P82、 1,3,8,10) 隐函数求导法则 若(),0F x y =,则x y F dy dx F =- 若(),,0F x y z =, 第八章 多元函数微分法及其应用 Chapter8 Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application 8.1多元函数的基本概念（The Basic Concepts of Functions of Several Variables ） 定义1 设D 是2R 的一个非空子集，称映射:f D R →为定义在D 上的二元函数，通常记为()(),,,z f x y x y D =∈或(),z f P P D =∈。其中点集D 称为该函数的定义域，x 、y 称为自变量，z 称为因变量。 Definition 1 Let D be a nonempty subset of 2R ,we call the mapping :f D R → the function of two variables defined on ,usually denoted by ()(),,,z f x y x y D =∈,or (),z f P P D =∈.The set D is called the domain of the function .We call x and y the independent variables and z the dependent variable. 定义2 设二元函数()(),f P f x y =的定义域为D ，()000,P x y 是D 的聚点。如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点()()0 0,,P x y D U P δ∈?，都有 ()(),f P A f x y A ε-=-<成立，那么就称常数A 为函数(),f x y 当()()00,,x y x y →时的极限，记作 ()() ()00,,lim ,x y x y f x y A →=或()()()()00,,,f x y A x y x y →→， 也记作()0lim P P f P A →=或()()0f P A P P →→。 Definition 2 Let D be the domain of the function ()(),f P f x y = of two variables, ()000,P x y be a point of accumulation of D.If there exists a constant A, such that, for each 0ε> there is a corresponding 0δ> such that ()(),f P A f x y A ε-=-<,provided that ()()0 0,,P x y D U P δ∈?, then we call the constant A the limit of (),f x y as ()()00,,x y x y →. 定义3 设二元函数()(),f P f x y =的定义域为D ，()000,P x y 是D 的聚点，且0P D ∈。如果()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →=，则称函数(),f x y 在点()000,P x y 连续。 Definition 3 Let D be the domain of the function ()(),f P f x y =of two variables, ()000,P x y be a point of accumulation of D and 0P D ∈. If ()()()()0000,,lim ,,x y x y f x y f x y →=, then we say that (),f x y is continuous at the point ()000,P x y .(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
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