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高中数学抽象函数常见题型与解法教(学)案

抽象函数常见题型及解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见函数为背景，对函数性质通过代数表述给出．抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函数的要考查函数的概念和知识的涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜能．为了扩大读者的视野，特就抽象函数常见题型及解法评析如下．

一、函数的基本概念问题 1．抽象函数的定义域问题

例1 已知函数)(2x f 的定义域是[1，2]，求)(x f 的定义域．解：由)(2x f 的定义域是[1，2]，是指1≤x≤2，所以1≤x 2≤4，即函数)(x f 的定义域是[1，4]．

评析：一般地，已知函数[()]f x ?的定义域是A ，求)(x f 的定义域问题，相当于已知[()]f x ?中x 的取值围为A ，据此求)(x ?的值域问题．

例2 已知函数)(x f 的定义域是[－1，2]，求函数)]3([log 2

1x f -的定义域．

解：由)(x f 的定义域是[－1，2]，意思是凡被f 作用的对象都在[－1，2]中，由此易得

－1≤log 2

1(3－x)≤2 ? (

21)2≤3－x≤(21

)1-?1≤x≤4

11．

∴函数)]3([log 2

1x f -的定义域是[1，

]．评析：这类问题的一般形式是：已知函数)(x f 的定义域是A ，求函数))((x f ?的定义域．正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键．一般地，若函数)(x f 的定义域是A ，则x 必须是A 中的元素，而不能是A 以外的元素，否则，)(x f 无意义．因此，如果)(0x f 有意义，则必有x 0∈A ．所以，这类问题实

质上相当于已知)(x ?的值域是A ，据此求x 的取值围，即由)(x ?∈A 建立不等式，解出x 的围．例2和例1形式上正相反．

2．抽象函数的值域问题

例4 设函数f (x) 定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f (x + y) =f (x)f (y)总成立，且存在x 1≠x 2，使得f (x 1)≠f ( x 2)，求函数f (x)的值域．

解：令x = y = 0，得f (0) =f

(0)，即有f (0) = 0或f (0) = 1．

若f (0) = 0，则f (x) =f (x + 0) =f (x)f (0) = 0，对任意x∈R 均成立，这与存在实数x 1≠x 2，使得f (x 1)≠f ( x 2)成立矛盾．故f (0)≠0，即

f (0) = 1．

由于f (x + y) =f (x)f (y) 对任意x 、y∈R 均成立，因此，对任意x∈R，有

f (x) =f (

2x +2x ) =f (2x )f (2x ) = [f (2

)]2≥0．下面只需证明，对任意x∈R，f (0)≠0即可．

设存在x 0∈R，使得f ( x 0) = 0，则f (0) =f ( x 0－x 0) =f ( x 0)f (－x 0) = 0，

这与f (0)≠0矛盾，因此，对任意x∈R，f (x)≠0．所以f (x)＞0．

评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段．

3．抽象函数的解析式问题

例5 设对满足 x≠0，x≠1的所有实数 x ，函数f (x) 满足f (x) +f (

x 1

-) = 1 + x ，求f (x) 的解析式．解：在f (x) +f (x x 1-) = 1 + x ， (1) 中以x

x 1

-代换其中 x ，得：

(x x 1-) +f (－11-x ) =x

x －1

2 ， ⑵

再在(1)中以－

11-x 代换x ，得：f (－1

1-x ) +f (x) =12--x x ， ⑶

(1)－(2) + ⑶ 化简得：f (x) =)

1(21

23x －x x x --．

评析：如果把x 和

x 1

-分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键．通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略．

二、寻觅特殊函数模型问题 1．指数函数模型

例6 设)(x f 定义于实数集R 上，当x ＞0时，)(x f ＞1 ，且对于任意实数x 、y ，有f (x + y) =)(x f ·)(y f ，同时f (1) = 2，解不等式f (3x －x 2)＞4．

联想：因为a y x += a x ·a y (a ＞0，a≠1)，因而猜测它的模型函数为)(x f = a x (a ＞0，a≠1)(由f (1) = 2，还可以猜想)(x f = 2x )．

思路分析：由)2(f =)11(+f =)1(f ·)1(f = 4，需解不等式化为f (3x －x 2)＞)2(f ．这样，证明函数)(x f 的(由)(x f = 2x ，只证明单调递增)成了解题的突破口．

解：由 f (x + y) =f (x) ·f (y) 中取x = y = 0 ，得f (0) =f

(0)，

若f (0) = 0，令x ＞0 ，y = 0 ，则 f (x) = 0，与f (x)＞1 矛盾．∴ f (0)≠ 0，即有f (0) = 1 ．

当x ＞0 时，f (x)＞1＞0 ，当x ＜0 时，－x ＞0，f (－x)＞1＞0 ，而f (x) ·f (－x) =f (0) = 1， ∴ f (x) =

)

x f -＞0 ．

又当x = 0 时，f (0) = 1＞0 ，∴x∈R ，f (x)＞0 ．

设－∞＜x 1＜x 2＜+∞ ，则x 2－x 1＞0 ，f ( x 2－x 1)＞1 ． ∴ f ( x 2) =f [ x 1+ ( x 2－x 1)] =f (x 1)f ( x 2－x 1)＞f ( x 1) ． ∴ y =f (x) 在R 上为增函数

又∵f (1) = 2，∴f (3x －x 2)＞f (1) ·f (1) =f (1 + 1) =f (2)，由f (x)的单调递增性质可得：

3x －x 2＞2，解得1＜x ＜2． 2．对数函数模型

例7 已知函数)(x f 满足：⑴f (

) = 1；⑵函数的值域是[－1，1]；⑶在其定义域上单调递减；⑷()f x ＋()f y =f (x·y) 对于任意正实数x 、y 都成立．解不等式)(1

x f

-·)11(

x f

--≤2

1．联想：因为log a (x·y) = log a x ＋log a y ，而log 2

= 1，y = log 2

1x 在其定义域[－1，1]为减函数，所以猜测它的模型函数为)(x f = log 2

1x 且)(1

x f

-的

模型函数为)(1

x f

-= (

1)x

．思路分析：由条件⑵、⑶知，)(x f 的反函数存在且在定义域[－1，1]上递减，由⑴知)1(1

-f

．剩下的只需由)(1

x f -的模型函数性质和运算法则去证明

)(11

x f

-·)(21

x f

-=112()f x x -+，问题就能解决了．

解：由已知条件⑵、⑶知，f (x)的反函数存在，且f 1

-(1) =

，又在定义域[－1，1]上单调递减．

设y 1=f

-(x 1)，y 2=f

-(x 2)，则有x 1=f (y 1)，x 2=f ( y 2) ，

∴x 1+ x 2=f (y 1) +f ( y 2) =f (y 1y 2)，即有y 1y 2=f 1

-(x 1+ x 2)．

∴)(11

x f

-·)(21

x f

-=112()f x x -+，

于是，原不等式等价于：

??????????

?≤-≤-≤≤-≤-+≤-≤-+--.1111,11,1111,)1()11(1

1x x x x f x x f ? ???

???≤-≤-≤≤-≤-+≤-≥-+.1111,11,1111,111x x x x x x ? x = 0．故原不等式的解集为{0}．

解这类问题可以通过化抽象为具体的方法，即通过联想、分析，然后进行类比猜测，经过带有非逻辑思维成份的推理，即可寻觅出它的函数模型，由这些函数模型的性质、法则来探索此类问题的解题思路．

3．幂函数模型

例8 已知函数)(x f 对任意实数x 、y 都有)(xy f =)(x f ·)(y f ，且)1(-f =1，

)27(f =9，当0≤x＜1时，0≤)(x f ＜1时．

⑴判断)(x f 的奇偶性；

⑵判断)(x f 在[0，＋∞)上的单调性，并给出证明； ⑶若a≥0且)1(+a f ≤39，求a 的取值围．

联想：因为n x ·n y = (x·y)n ，因而猜测它的模型函数为)(x f =n x (由

)27(f =9，还可以猜想)(x f = x 3

)．

思路分析：由题设可知)(x f 是幂函数y = x 3

2的抽象函数，从而可猜想)(x f 是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．

解：⑴令y =－1，则)(x f -=)(x f ·)1(-f ， ∵)1(-f =1，∴)(x f -= )(x f ，即)(x f 为偶函数．

⑵若x≥0，则()f x

·f

=[f ]2≥0．设0≤x 1＜x 2，则0≤

x x ＜1，

∴)(1x f =)(

221x x x f ?=)(2

1x x

f ·)(2x f ， ∵当x≥0时()f x ≥0，且当0≤x＜1时，0≤)(x f ＜1． ∴0≤)(

x x f ＜1，∴)(1x f ＜)(2x f ，故函数)(x f 在[0，＋∞)上是增函数． ⑶∵)27(f =9，又)93(?f =)3(f ·)9(f =)3(f ·)3(f ·)3(f = [)3(f ]3， ∴9 = [)3(f ]3，∴)3(f =39， ∵)1(+a f ≤39，∴)1(+a f ≤)3(f ，

∵a≥0，(a ＋1)，3∈[0，＋∞)，函数在[0，＋∞)上是增函数． ∴a＋1≤3，即a≤2，又a≥0，故0≤a≤2．三、研究函数的性质问题 1．抽象函数的单调性问题

例9 设f (x) 定义于实数集上，当x ＞0时，f (x)＞1 ，且对于任意实数x 、y ，有f (x + y) =f (x) ·f (y)，求证：f (x) 在R 上为增函数．

证明：由 f (x + y) =f (x)f (y) 中取x = y = 0，得f (0) =)0(2f ，若f (0) = 0，令x ＞0，y = 0，则 f (x) = 0，与f (x)＞1 矛盾．∴ f (0)≠0，即有f (0) = 1．

当x ＞0时，f (x)＞1＞0，当x ＜0时，－x ＞0，f (－x)＞1＞0，而f (x) ·f (－x) =f (0) = 1，∴ f (x) =

)

x f -＞0 ．又当x = 0 时，f (0) = 1＞0 ，∴x∈R，f (x)＞0．设－∞＜x 1＜x 2＜+∞，则x 2－x 1＞0，f ( x 2－x 1)＞1．

∴ f ( x 2) =f [ x 1+ ( x 2－x 1)] =f (x 1)f ( x 2－x 1)＞f ( x 1)． ∴ y =f (x) 在R 上为增函数．

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联．

2．抽象函数的奇偶性问题

例10 已知函数f (x) (x∈R，x≠0）对任意不等于零实数x 1、x 2 都有

f (x 1·x 2) =f (x 1) +f (x 2)，试判断函数f (x) 的奇偶性．

解：取x 1=－1，x 2= 1得：f (－1) =f (－1) +f (1)，∴f (1) = 0．又取x 1= x 2=－1得：f (1) =f (－1) +f (－1)，∴f (－1) = 0．再取x 1= x ，x 2=－1则有f (－x) =f (－1) +f (x)，即f (－x) =f (x)， ∵f (x)为非零函数，∴f (x)为偶函数． 3．抽象函数的周期性问题

例11 函数)(x f 定义域为全体实数，对任意实数 a 、b ，有f (a ＋b)＋f (a

－b) =2f (a) ·f (b)，且存在C ＞0 ，使得)2(C

f = 0 ，求证f (x) 是周期函

数．

联想：因为cos(a ＋b)＋cos(a －b) = 2cosacosb ，且cos

= 0，因而得出它的模型函数为y = cosx ，由y = cosx 的周期为π2，可猜想2C 为)(x f 的一个周期．

思路分析：要在证明2C 为)(x f 的一个周期，则只需证)2(C x f +=)(x f ，而

由已知条件)2

f = 0和f (a ＋b)＋f (a －b) =2f (a) ·f (b)知，必须选择好a 、

b 的值，是得条件等式出现)2

f 和)(x f ．

证明：令a = x ＋2C ，b =2C

，代入f (a ＋b)＋f (a －b) = 2f (a) ·f (b)

可得

f (x ＋C ) =－f (x)．

∴f (x ＋2C ) =f [(x ＋C)＋C ] =－f (x ＋C ) =f (x) ，即)(x f 是以 2C 为

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D

7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小；（2）.若f （k )293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足:

()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任

高中数学,函数图形考点及题型全归纳

第五节函数的图象 ? 基础知识 1．利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线．首先：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线． 2．函数图象的变换 (1)平移变换 ①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位 a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象； ②y ＝f (x )的图象――――――――→ b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位 y ＝f (x )＋b 的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f (x )整体上加减. (2)对称变换 ①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y ＝－f (x )的图象； ②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； ③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； ④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称 y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象． (3)伸缩变换 ①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1 a 纵坐标不变 01，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变 0