第3章 弹性力学经典变分原理
3.1 弹性力学基础
3.1.1 变形分析
要研究物体变形首先要研究其位移如何来描述。在数学上，我们引进物质坐标和空间坐标的概念分别来描述物体上某一点的位置变动，具体说来，先取一Descartes 坐标系做参照系，变形前物体的构形为B ，其每个质点的位置可用一组我们称之为物质坐标的坐标值来表示；变形后物体的构形变成B ’，取另一个Descartes 坐标系做参照系，我们称之为空间坐标系。如下图，变形前任一点Ｐ在物质坐标系中的坐标为),,(321X X X ，变形后P 变化到Q 点在空间坐标系中的坐标为),,(321x x x 。
图3.1物质坐标系和空间坐标系
矢量PQ 表示了质点P 的位移，记为u 。为简单和方便起见，一般取两个参照系相重合，这时位移矢量u 的分量i u 可以用下式来表示
,(1,2,3)i i i u x X i =-= (3.1.1)
其中变形后质点的坐标)3,2,1(=i x i 与变形前的坐标)3,2,1(=i X i 存在着确定的关系。我们可以把变形后质点的坐标看成是变形前质点物质坐标的函数，即
123(,,),
(1,2,3)i i x x X X X i == (3.1.2)
也可以用其逆变换 (数学上要求Jacobi 行列式不为零) 来表述，也就是从变形后空间坐标描述的质点，来追涉变形前这一质点的坐标
123(,,),(1,2,3)i i X X x x x i == (3.1.3) 如果把位移u 看作是变形前坐标、即物质坐标的函数
123(,,),
(1,2,3)i i u u X X X i == (3.1.4)
称之为Lagrange 描述。如果把位移u 看作是变形后坐标、即空间坐标的函数
123(,,),(1,2,3)i i u u x x x i == (3.1.5)
称之为Euler 描述。
我们取变形前P 点),,(321X X X 及相邻P’112233(d ,d ,d )X X X X X X +++，它们之间的长度平方为
3
2
01
d d d i i i s X X ==∑ (3.1.6)
它们变形后相应于Q 点),,(321x x x 及相邻Q ’112233(d ,d ,d )x x x x x x +++，其长度平方为
3
2
1
d d d i i i s x x ==∑ (3.1.7)
根据变形前后的坐标关系有
3
3
11d d ,
d d i i
i j j j j j
j
x
X x X X x i X x ==??==??∑∑
从而有
3
3
22
0,1
1d d ()d d ij i j i j i j
x x s s X X X X αα
αδ==??-=
-??∑∑
(3.1.8)
或者
3
3
22
0,1
1d d ()d d ij i j i j i j
X X s s x x x x αα
αδ==??-=
-??∑∑
(3.1.9)
如果定义
31
2
1ij ij i j x x E X X αααδ=????=- ? ?
????
∑ (3.1.10)
及
31
2
1ij ij i j X X x x αααεδ=??
??=- ? ????
?∑ (3.1.11) 则有 22
0d d 2d d ij i j s s E X X -= (3.1.12)
220d d 2d d ij i j s s x x ε-= (3.1.13)
上述表达式中，有重复下标的,i j ，已省略了相应的求和记号
33
1
1
,i j ==∑∑
，称为Einstein 约定。
我们称ij E =E 为Lagrange-Green 应变张量(用Lagrange 坐标系来描述)，把ij ε=ε称作为Euler-Almansi 应变张量(用Euler 坐标系来描述)。
如果我们在Lagrange 坐标系中,沿着某一个特定的坐标方向取一个微分单元
1d R 123(d 0,d d 0)X X X ≠==, 其变形前长度为
01d d s X =
而变形后的长度为
0d s s =
因此，该微段变形前后的相对伸长量为
10
d d 1d s s E s -=
= (3.1.14) 可见11E 与线元的相对伸长有关。当111< 如果在Lagrange 坐标系中沿坐标轴方向取两个相互垂直的微元，分别为 11d (d ,0,0)X =R 和22d (0,d ,0)X =R ，它们的长度分别为 011d d s X = 022d d s X = 那么在变形后它们长度1d s 和2d s 分别为 11d s X = (3.1.15) 22d s X = (3.1.16) 变形后两个微段对应向量的内积为 3 12121212112 cos d d d d 2d d k k k x x s s X X E X X X X θ=??==??∑ 1122 12 k k x x E X X ??= ?? (3.1.17) 其中θ为变形后两个微段之间的夹角。所以 1212122d d cos d d E X X s s θ= = (3.1.18) 如果记变形前后两个微元之间夹角的变化（减少）为γ，也就是说 θπ γ-= 2 (3.1.19) 那么 sin cos γθ== (3.1.20) 当111< 12122,/2E E γγ≈= (3.1.21) 所以说，12E 是与剪切变形有关的量。 如果用空间坐标系来描述变形，也就是说，位移矢量u 的分量i u 用变形后的坐标来描述 1,23(,),(1,2,3)i i i i i u x X x X x x x i =-=-= 1,23(,),(1,2,3)i i i i i X x u x u x x x i =-=-= 那么 31 2 131 21312 1ij ij i j ij i j i j j i j i i j X X x x u u x x u u u u x x x x αααα α ααααααεδδδδ===?? ??=- ? ???? ??? ??????=---?? ? ? ??????????? ?? ????=+-?? ???????? ∑∑∑ (3.1.22) 在小变形情况下，如果忽略高阶小量后，那么有 12 j i ij j i u u u u ε?? ??=+???????? (3.1.23) 我们称之为Cauchy 微小应变。在工程上描述的应变为 x u x ??=ε，y v y ??=ε，z w z ??=ε y w z v yz ??+??= γ，x v y u xy ??+??=γ，zx u w z x γ??=+ ?? 把他们写成矩阵的形式为 00000000 0T x y z yz zx xy x z y u v y z x w z y x εεεγγγ????????????????????????? ???? ?? =????????????????? ??????????????? ? ???? (3.1.24) 也就是 ()T =εE u ? (3.1.25) 其中 []T u v w =u []T x y z yz zx xy εεεγγγ=ε 000()(,,)0 0000 0x z y x y z y z x z y x ????????????????? ???=????????? ???????????? ? E =E ? 式中?代表梯度算子 x y z ???=++???i j k ? i,j,k 代表z y x ,,方向的单位向量。 3.1.2 应力分析 图3.2物体受力 如图所示, 通常作用于物体的外力可以分为两种：一种是分布在物体表面的作用力，例如一个物体对另一物体作用的压力，象水压力等，我们称之为面力(surface traction)；另一种是分布在物体体积内部的力，象重力、磁力或运动物体的惯性力等，我们称之为体力(body force)。 图3.3内力和应力 当一个物体处于平衡状态时， 假如我们设想从中分离出一部分B ，其表面用S 表示。S 上任意一点Ｑ，其邻域S ?面上作用的合力为?F ， 压力 0lim S S ?→?=?F p 正应力 σ 剪应力 τ 截面上应力,()σ,τp 与截面法向有关. 当取定坐标系统xoy 后, 可以用每个坐标面上的 沿坐标轴的三个应力分量来表示应力状态。根据剪应力互等定律, 其中独立的分量有6个, 我们记为应力张量(满足坐标变换规律) x xy xz ij yx y yz zx zy z στττστττσ???? =?????? σ, zy yz zx xz yx xy ττττττ===,, (3.1.26) 应力的符号规则: 外法线方向与坐标轴方向一致的截面上, 沿坐标轴正方向的应力为正, 沿坐标轴负方向的应力为负；反之, 外法线方向与坐标轴方向相反的截面上, 沿坐标轴正方向的应力为负, 沿坐标轴负方向的应力为正. y 图3.4应力张量与截面上应力 3.1.3 截面上应力 在某一个方向(,,)T x y z n n n =n 的截面上，根据力的平衡关系，截面上应力p 沿三个坐标轴上的应力分量为 3 1 , 1,2,3i ij j j p n i σ===∑ 也就是说 x x x xy y xz z p n n n σττ=++ y yx x y y yz z p n n n τστ=++ z zx x zy y z z p n n n ττσ=++ 写成矩阵形式为 00000000 0x y x x z y z y y z x yz z z y x zx xy p n n n p n n n p n n n σσστττ?????? ??????????? ?=??????????????? ????????? (3.1.27) 也就是说 ()=p E n σ (3.1.28) 式中 T x y z p p p ??=??p []T x y z yz zx xy σσστττ=σ ()E n 就是将()E ?中的梯度矢量替换成截面的法向单位矢量n ，即 000()0 0000 0x z y y z x z y x n n n n n n n n n ??? ? =????? ? E n (3.1.29) 3.1.4 平衡方程 应力分量在物体内部的平衡方程为 3 ,1 0, 1,2,3ij j i j f i σ =+==∑ (3.1.30) 写成分量的形式为 0=+??+??+??x zx xy x f z y x ττσ 0=+??+ ??+ ??y yz y xy f z y x τστ 0=+??+??+??z z yz zx f z y x σττ 其中z y x f f f ,,分别是体积力在z y x ,,轴上的分量。如果把平衡方程表示成矩阵的形式为 000000000 0x y x z y yz z zx xy x z y f f y z x f z y x σσστττ???????????????????? ????????? ??+=????????????? ??????????????????? ????? 也就是 ()0+=E f ?σ (3.1.31) 式中 T x y z f f f ??=??f 3.1.5 应变能、余应变能及应力与应变关系 物体发生弹性变形时，外力所做的功等于物体中所储存的应变能。而这种应变能与物体的变形过程无关，只同物体的最终变形状态有关，也就是说只与最终的应变有关。 我们在物体中隔离出一个微元d d d x y z 。该微元上的应变分量为xy zx yz z y x γγγεεε,,,,,，作用微元表面上的应力分量为xy zx yz z y x τττσσσ,,,,,。记物体的应变能密度为U (也就是单位体积的应变能)，那么储存在该微元上的应变能为d d d U x y z 。根据前面的说明，应变能密度U 应该是应变分量xy zx yz z y x γγγεεε,,,,,的函数。如果此时微元的应变有一个微小变化 xy zx yz z y x δγδγδγδεδεδε,,,,,，相应的应变能密度也有了一个微小的变化U δ，根据能量守 衡，有 xy xy zx zx yz yz z z y y x x U δγ τδγ τδγ τδεσδεσδεσδ+++++= 从中我们可以得到 x x U εσ??=，y y U εσ??=，z z U εσ??= yz yz U γτ??= ，zx zx U γτ??=，xy xy U γτ??= 写成矩阵的形式为 T U δδ=σε (3.1.32) T U ?= ?σε 用积分形式表示为 d {d d d d d d }T x x y y z z yz yz zx zx xy xy U σεσεσετγτγτγ==+++++??εσ 通过下式定义的是余应变能密度V U V xy xy zx zx yz yz z z y y x x -+++++=γτγτγτεσεσεσ (3.1.33) 也就是说 xy xy zx zx yz yz z z y y x x V U γτγτγτεσεσεσ+++++=+ (3.1.34) 写成矩阵的形式有 T V U =-σε (3.1.35) 用积分形式表示为 d d d d d d d T x x y y z z yz yz zx zx xy xy V εσεσεσγτγτγτ==+++++??εσ 利用应力与应变之间的关系，可以把上式右边表示成应力的形式，也就是说把V 表示成应力分量xy zx yz z y x τττσσσ,,,,,的函数。对上式取变分，有 T T T T V U δδδδδδ=+-==σεσεσεεσ (3.1.36) 因此有 T V ?= ?εσ (3.1.37) 图3.5应变能和余应变能密度 上面这些关系对于线弹性变形和非线性弹性变形都是适用的。对于非线性的弹性变形， U 和V 不仅在数学形式上不一样，而且在数值也不相等。对于线弹性变形，应力和应变之间关系是线性的，应变能密度U 和应变余能密度V 数值上相等 12T U V ==σε (3.1.38) 如果应力和应变之间的关系表示为 =A σε =a εσ 那么U 和V 可以表示成 12T U =A εε (3.1.39) 12 T V =a σσ (3.1.40) 由于能量的正定性, A 和a 都必须是对称正定的六阶矩阵, 而且它们之间互为逆矩阵，也就是说 =Aa I 这里I 是六阶单位矩阵。 3. 1.6边界条件 在弹性力学的定解问题中，除了必要的微分方程外，还需要给定合适的条件。这种边界条件是多种多样的，我们这里只讨论两种典型的情况，即给定位移的位移边界和给定面力的应力边界。记B 为物体的总边界，我们可以把总边界分成两部分12B =B +B 。其中1B 上有位移边界条件 u =u (3.1.41) 2B 上有应力边界条件 ()E n =p σ (3.1.42) 其中 []T u v w =u T x y z p p p ??=??p 分别是边界1B 上给定的位移向量和2B 上给定的单位面积上外力向量。 图3.6边界条件 3.1.7 几何可能位移和静力可能应力 几何可能位移: 在位移边界1B 上满足位移边界条件u =u ，且在整个区域内满足连续条件(可以得到相应的应变)的位移称为几何可能位移，一般用k u 来表示。 静力可能应力: 在应力边界2B 上满足应力边界条件()E n =p σ，且在整个区域内满足应力平衡条件 ()0E +f =σ?的一组应力称为静力可能应力，一般用s σ来表示。 3.1.8 弹性力学精确解 弹性力学的精确解u,ε,σ应满足下列微分方程和边界条件 (1) 几何关系 ()T =E u ε?， Ω内 (2) 平衡方程 ()0+=E f σ?， Ω内 (3) 本构关系 T U ?= ?σε或者T V ?=?εσ ， Ω内 (4) 边界条件 ()E n =p σ， 2B 上 u =u ， 1B 上 3.2 一个重要的恒等式 对于三维空间上任意一个连通区域Ω，始终成立下面的恒等关系 ()d [()]d [()]d T T T T B B Ω Ω Ω=-Ω????????E u E n u E u ??σσσ (3.2.1) 其中B 是区域Ω的边界，(,,)T x y z n n n =n 是边界B 上的外法线方向，3 ∈u R 和6 ∈R σ是 两组任意独立的函数，式中 000()0 0000 0x z y y z x z y x ??? ?????????? ????=?????????????????? ? E ? 000()0 0000 0x z y y z x z y x n n n n n n n n n ??? ?=????? ? E n 写成分量的形式为 3 3 3 ,,,1 ,1 ,1 d d d ij i j ij j i ij j i i j i j i j B u n u B u σ σσ===ΩΩ Ω=+-Ω∑∑∑???????? 证明: 1 23()x y z ??? =++???E E E E ? 123()x y z n n n =++E n E E E 其中123,,E E E 是三个常数矩阵。 123100000000001000010000001,010000,000100000010000100001000?????? ??????===?????????????????? E E E 那么 1 23123123123123{()}[()][]()()()[()()()] T T T T T T T T T T T T T T T T T T T x y z x y z x y z x y z x y z ??? =++??????=++??????=++??????=++??????-++???E u E E E u E E E u E u E u E u E u E u E u E u E u E u ?σσσσσσσσσσσσ 也就是说 ()()()123[()]()T T T T T T T T T x y z ???+= ++???E u E u E u E u E u ??σσσσσ 那么根据高斯公式 ()()()123123123{()[()]}d { }d {()()()}d ()d [()]d T T T T T T T T T T T T T T T x y z B T T T T x y z B T B x y z n n n B n n n B B Ω Ω +Ω???=++Ω???=++=++=????????????E u E u E u E u E u E u E u E u E E E u E n u ??σσσσσσσσσσ 也就是说 ()d [()]d [()]d T T T T B B Ω Ω Ω=-Ω????????E u E n u E u ??σσσ 几点说明: (1) 虚功原理 如果取δ=u u 、即虚位移，s =σσ为静力可能应力，()T E u ?为虚位移对应的虚应变, 上式就是虚功原理 ()d d d s T T T B B δδδΩ Ω Ω=+Ω????????p u f u σε (3.2.2) 其中δε为虚位移所对应的虚应变。 (2) 功的互等定理 如果有两组载荷作用在线弹性体上。取第一组载荷1 1 (,)f p 作用下的位移精确解为1 u ，对应的应变为1 ε，应力为1 σ；取第二组载荷2 2 (,)f p 作用下的位移精确解为2 u ，对应的应变为2ε，应力为2σ，那么根据上述恒等式有 121212212121 ()d [()]d [[()]d ()d [()]d [[()]d T T T B T T T B B B Ω Ω Ω Ω Ω=+-Ω Ω=+-Ω ????????????????E n u E u E n u E u ??σ εσσσ εσσ 由于 121221()d ()d ()d T T T A Ω Ω Ω Ω=Ω=Ω?????????σ εεεσε 所以有 12122121[]d []d []d []d T T T T B B B B Ω Ω +Ω=+Ω??????????p u f u p u f u (3.2.3) 这就是功的互等定理。 (3) 能量守恒 若取u 为位移精确解，σ为应力精确解，那么()T =E u ?ε是真实应变, ()=-f E ?σ是真实体力, ()=p E n σ是真实的表面力。下列恒等式表示能量守恒 d d d T T T B B Ω Ω Ω=+Ω????????p u f u σε (3.2.4) 即外力在位移上所做的功等于应力在应变上所做的功。 3.3 最小势能原理 对于线弹性体，那么我们可以定义下面总势能表达式 21∏+∏=∏ (3.3.1) 1d U Ω ∏=Ω???, 2 2(d d )T T B B Ω ∏=-Ω+?????f u p u 其中1∏为弹性应变能，而2∏为外力势能。1()2 T U =A εεε是单位体积的弹性应变能（也就是应变能密度），其他各个表达式的含义见前面。 最小势能原理: 在所有的几何可能位移中，弹性力学的精确解应使上述的总势能最小。 证明: 假设,,u εσ是精确解，那么它们满足所有微分方程和所有边界条件， (1) 几何关系 ()T =E u ?ε， Ω内 (2) 平衡方程 ()0+=E f ?σ， Ω内 (3) 本构关系 =A σε或者=a εσ， Ω内 (4) 边界条件 ()=E n p σ， 2B 上 u =u ， 1B 上 再令,k k u ε是几何可能位移和对应的可能应变，他们应该满足几何方程和位移的边界条件， (1) 几何关系 ()k T k =E u ?ε， Ω内 (2) 边界条件 k =u u ， 1B 上 记精确解和几何可能位移之差为 k ?=-u u u 那么对应于几何可能位移的总势能表达式为 2 ()()d d d k k T k T k B U B Ω Ω ∏= Ω-Ω-????????u u f u p u (3.3.2) 由于 k =+?u u u 那么 k =+?εεε，()T ?=?E u ?ε (3.3.3) 因为 11 22(),()(),T k k T k U U ==u A u A εεεε 从而有 1122()()()()k T T T U =+?+??u A A A εεεεεε (3.3.4) 那么 2 2 121 2()()d ()d ()d ()d ()()d [()]d ()d k T T T T B T T T T B B B Ω Ω Ω Ω Ω ∏=∏+?Ω+??Ω-?Ω-?=∏+??Ω+?-?Ω-????????????????????u u A A f u p u u A f u p u εεεεεεσε 如果在恒等式(3.2.1)中取=?u u ，σ取为真实应力σ,那么 ()d [()]d [[()]d T T T T B B Ω Ω ?Ω=?+-?Ω????????E u E n u E u ??σσσ 由于 ()0+=E f ?σ，在Ω内 0?=u ，在1B 上 ()=E n p σ，在2B 上 所以 2 d d d T T T B B Ω Ω ?Ω=?+?Ω????????p u f u σε (3.3.5) 即 12()()()d k T Ω ∏=∏+??Ω???u u A εε 因为A 是对称正定矩阵，因此 ()()k ∏≥∏u u (3.3.6) 也就是说, 弹性力学的精确解使得总势能泛函为最小值。 对于非线性弹性体来说，最小势能原理也成立∶ 2 2 2 2 d d d ()d d d (())d d (())d (())d (())d 0 T T B T T T T B T T T B B T T B U B B B B B δδδδδδδδδδδδΩ ΩΩ Ω Ω Ω ?∏=Ω-Ω-?=Ω-Ω-=--+Ω=--+Ω =??? ?????????????????????????f u p u E u f u p u E n u p u E f u E n p u E f u ???εεσσσσσ (3.3.7) 可得 ()0+=E f ?σ，在Ω内 ()=E n p σ，在2B 上 此外 22 2d T U δδδΩ ?∏=Ω????εεε （3.3.8） 这里 222 22 22 266 x x xy xy x xy U U U U U εεγγεγ???????????????=?????????????? ε 由热力学第一定律可得 22 0U ?>?ε （3.3.9） 从而2 0δ∏≥，即最小势能原理成立。 现在讨论何时2 0δ∏=。由（3.3.8）和（3.3.9）可知，其充分必要条件为 0δ≡ε， 在Ω内 （3.3.10） 这意味着在整个Ω内是零应变状态，而这个状态是当且仅当物体的位移函数为刚体位移才能出现。由于我们考虑的是静力学问题，所以，所有刚体位移已消除，从而 200δδ∏=?≡u （3.3.11） 这意味着 最小势能原理: 在所有的几何可能位移中，弹性力学的精确解应使上述的总势能取严格最小。 例3.1: 如图所示, 变截面杆的长度为L , 横截面面积为()A x , 材料的杨氏模量为E ；沿轴向作用有分布载荷()q x , 其中一边固定,一边受轴向集中力F 作用。用最小势能原理推导其方程和边界条件。 图3.7变截面杆 如图所示的坐标系, 假设轴向的位移为()u x , ()u x 的固定边界条件为 (0)0u = 那么轴向的应变为 d () ()d u x x x ε= 对应的总应变能为 2 120 ()d L U EA x x ε=? 总的势能为 2 1 2 00 2 12 0()d ()()d () d ()()d ()()d ()d L L L L EA x x q x u x x Fu L u x E A x x q x u x x Fu L x ε∏= --?? = -- ??? ? ?? ? 根据最小势能原理 0000 d ()d ()()d ()()d ()d d d ()d d ()()()()()d d d d ()()d () d ()d d ()()()()d d d L L L L L x L u x u x E A x x q x u x x F u L x x u x u x E u x A x EA x u x x x x x q x u x x F u L u x u x E A x F u x EA x x x x δδδδδδδδδ=???? ∏=-- ? ????? ????=- ? ????? --?? ???? =--+ ? ?????????????0()()d 0 L q x u x x δ??? ??? =? 由变分引理得到 d d ()()()0,(0,)d d u x EA x q x x L x x ?? +=∈ ??? d ()()0,d u x E A x F x L x ??-== ??? 这就是用位移表示的杆的控制方程和自由边界条件(边界上力的平衡条件) 。 3.4 最小余能原理 对于线弹性体，我们可以定义余能为 21Γ+Γ=Γ (3.4.1) 1d V Ω Γ=Ω??? 1 1 2d [()]d T T B B B B Γ=-=-????p u E n u σ 其中12 T V =a σσ是单位体积的弹性应变余能，其他各个表达式的含义见前面。 最小余能原理: 在所有静力许可应力中，弹性力学的精确解使上述的余能最小。 证明: 假设,,u εσ是精确解，那么它们满足所有微分方程和所有边界条件，再令s σ是静力许可应力，他们满足平衡方程和力边界条件。记精确解和静力许可应力之差为 s ?=-σσσ (3.4.2) 那么对应静力许可应力的余能为 1 ()()d ()d s s s T B V B Ω Γ=Ω-?????p u σσ (3.4.3) 其中 ()s s =p E n σ 由于 s =+?σσσ 其中应力增量?σ满足 ()0,?=ΩE 在上?σ (3.4.4) 2()0, B ?=E n 在上σ 1 1 1 11212()()()()d ()d d ()()()d (())d d d ()()()d (())d ()d s T T T B T T T T B B T T T B B B B B Ω Ω Ω Ω Ω Ω Γ=Γ+??Ω+?Ω-?=Γ+??Ω-?Ω +?-?=Γ+??Ω-?Ω +?-??????????????????????????a p u a E u p u p u a E u p u u ??σσσσσεσσσσσσσσ(3.4.5) 这里已用到()T =E u ?ε。根据前面的恒等式和1:B =u u ， 12()()()()d s T Ω Γ=Γ+??Ω???a σσσσ (3.4.6) 因为a 是对称正定矩阵，因此 ()()s Γ≥Γσσ (3.4.7) 反过来讲, 使得总余能取到最小值的静力许可应力就是弹性力学的精确解。或者换个角度讲, 从最小余能原理中可以得到位移边界条件，当然前提条件是最小余能中的自变函数事 先必须满足力的边界条件和区域内的平衡方程, 这使得最小余能的应用相对于最小势能原理来说要困难一点。 对于弹性力学的精确解，根据前面的恒等式 0=Γ+∏ (3.4.8) 也就是说 Γ-=∏ ()()()()k s -∏≤-∏=Γ≤Γu u σσ (3.4.9) 式（3.4.9）有重要的力学意义∶ 当根据最小势能原理求近似解时，实质上是在一个可能位移的子集合上求最小值，这个子集合意味着给了可能位移额外的约束，也就是使得结构变刚了；反之，根据最小余能原理求近似解时，使得结构变柔了。准确解（位移或应力）总体上介于分别用最小势能原理和最小余能原理所求出的两个近似解之间。 例3.2 如例3.1。用最小余能原理推导其控制方程和边界条件。 如图3.7所示的坐标系, 假设轴向的应力为()x σ, ()x σ的固定边界条件为 ()(),A x x F x L σ== （a ） ()x σ应该满足平衡方程 d ()() ()0,(0,)d A x x q x x L x σ+=∈ (b) 那么总应变余能为 2 120 1()d L V A x x E σ=? (c) 位移的边界为 , 0u u x == (d) 总的余能为 2 10 2 021020 1()d ()1()d ()L x x L x A x x p A x u E A x x A x u E σσσ==Γ= -=+?? (e) 由式(a) 、(b) 可得 ()()0,A x x x L δσ== d [()()]0,(0,)d A x x x L x δσ=∈ 根据最小余能原理 000 00 00 1 ()d ()d ()d ()d d [()]d ()()d (0)((0))0 L x L x L L x x A x x A x u E u A x x A x u x u A x x A x u A x u x A u u δσδσδσδσδσδσδσ δσ δσ====Γ=+=+=-++=--=? ?? 由于0 x δσ==的任意性, 所以有 (0)0 u u == 这就是位移的边界条件。 1、五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 答：连续性假定：引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可以看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 完全弹性假定：引用这一完全弹性的假定还包含形变与形变引起的正应力成正比的含义，亦即二者成线性的关系，符合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。 均匀性假定：在该假定下，所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的。因此，反映这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化 各向同性假定：所谓“各向同性”是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的。进一步地说，就是物体的弹性常数也不随方向而变化。 小变形假定：我们研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。同时，在研究物体的变形和位移时，可以将他们的二次幂或乘积略去不计，使得弹性力学中的微分方程都简化为线性微分方程。 在上述假定下，弹性力学问题都化为线性问题，从而可以应用叠加原理。 2、试分析简支梁受均布荷载时，平面截面假设是否成立？ 解：弹性力学解答和材料力学解答的差别，是由于各自解法不同。简言之，弹性力学的解法，是严格考虑区域内的平衡微分方程，几何方程和物理方程，以及边界上的边界条件而求解的，因而得出的解答是比较精确的。而在材料力学中没有严格考虑上述条件，因而得出的是近似解答。例如，材料力学中引用了平面假设而简化了几何关系，但这个假设对一般的梁是近似的。所以，严格来说，不成立。 3、为什么在主要边界（占边界绝大部分）上必须满足精确的应力边界条件，教材中式（2-15），而在次要边界（占边界很小部分）上可以应用圣维南原理，用三个积分的应力边界条件（即主矢量、主矩的条件）来代替？如果在主要边界上用三个积分的应力边界条件代替教材中式（2-15），将会发生什么问题？ 解：弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题，而要边界条件完全得到满足，往往遇到很大的困难。这时，圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便。将物体一小部分边界上的面力换成分布不同，但静力等效的面力（主矢、主矩均相同），只影响近处的应力分布，对远处的应力影响可以忽略不计。如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件。教材中式（2-15），就会影响大部分区域的应力分布，会使问题的解答具有的近似性。 4、在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假定？这些方程的适用条件是什么？ 答：1、在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。在两种平面问题中，平衡微分方程和几何方程都适用。2、在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。在两种平面问题中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的E换为换为，就得到平面应变问题的物理方程。 5、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。 在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。另一份答案：弹力研究方法：在区域V内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；在边界s上考虑受力或约束条件，并在边界条件下求解上述方程，得出较精确的解答。 在研究内容方面：材料力学研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题；结构力学在 2．Elasticity of Solids References J.H.Weiner ，Statistical mechanics of elasticity, Wiley, 1981 Green & Zerna ，Theoretical elasticity, 1968 Ashby & Jones ，Engineering materials 2.1 Definition of Elasticity Elasticity σ F Figure 2.1 An elastic response. An elastic response of the material can be abstracted mathematically as ()X F ,T σ= (2.1) where σ denotes the stress tensor, T the response function that depends only on the current values of the deformation gradient X x F ??=, with X denoting the material coordinates of a point while x the spatial coordinates. If the material is homogeneous within the domain under consideration, the explicit dependence on X in (2.1) can be eliminated. Several remarks can be made to the definition in (2.1): (1) In the claim of ()()X t X, F ,T σ=, one pins down an elastic response as the one prtrayed by the current status of deformation, and henceforth irrelevant to the 课程编号：05z8514 弹性力学Theory of Elasticity 学分学时：3/48 先修课程: 高等数学；线性代数；理论力学；材料力学 一、课程教学目标 《弹性力学》是航空、航天结构强度和力学专业的重要专业基础课程，是固体力学的一个分支。主要研究弹性体受外力作用或温度改变等原因而产生的应力、位移和变形。弹性力学的任务是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。本课程的主要研究对象为非杆状结构，如板、壳以及其它实体结构。通过本课程的学习可为进一步学习力学类和相关工程类的后续课程打下坚实的力学基础。 二、教学内容及基本要求 1. 绪论（2学时） 弹性力学的发展史；研究内容；基本假设；矢量、张量基本知识。 2. 应力理论（4学时） 内力和应力；斜面应力公式；应力分量转换公式；主应力、应力不变量；最大剪应力；应力偏量；平衡微分方程。 3. 应变理论（4学时） 位移和变形；几何方程；转动张量；主应变和应变不变量；变形协调方程；位移场的单值条件；由应变求位移。 4. 本构关系（2学时） 热力学定律与应变能；本构关系；具有弹性对称面的弹性材料的本构关系；各向同性弹性材料的弹性常数；各向同性弹性材料的应变能密度 5. 弹性理论的建立与一般原理（4学时） 弹性力学基本方程和边界条件；位移解法和拉梅方程；应力解法与变形协调方程；叠加原理；解的唯一性原理；圣维南原理。 6.柱形杆问题（4学时） 圣维南问题；柱形扭转问题的基本解法；反逆法与半逆法，扭转问题解例；薄膜比拟；*柱形杆的一般弯曲。 7.平面问题（12学时） 平面问题及其分类；平面问题的基本解法；应力函数的性质；直角坐标解例（矩形梁的纯弯曲、简支梁受均布载荷和任意分布载荷）；极坐标中的平面问题基本方程；轴对称问题（均匀圆筒或圆环、纯弯的曲梁、压力隧洞）；非轴对称问题（小圆孔应力集中、楔体问题）；关于解和解法的讨论。 8. 空间问题（2学时） 基本方程及求解方法；空间轴对称和球对称问题的基本方程；半空间体受重力及均布压力；半空间体在边界上受法向集中力；空心球受内压作用问题。 9．能量原理与变分法（6学时） 弹性体的变形比能与形变势能；变分法；位移变分方程；位移变分法；位移变分法应用于平面问题；应力变分方程与极小余能原理；应力变分法；应力变分法应用于平面问题；应力变分法应用于扭转问题。 10．复变函数解法或薄板弯曲（4学时） 第四章 应力与应变的关系（二） 物体由于受力而变形，如果将力去掉以后能立即恢复到原来的形状，这个变形就叫做弹性变形。如果将力去掉以后，不能恢复原形状，其中有一部份变形被保留下来，称为塑性变形，涉及塑性变形的力学，就叫塑性力学。 4.6 塑性的基础知识 金属材料塑性破坏一般认为是晶体滑移或位错所致。因此塑性变形与剪切变形有关。 （1）塑性变形不引起体积的变化； （2）拉伸与压缩的塑性特征性状几乎一致。 其他材料如混凝土、石材、土等与金属材料的微观现象有很大的区别。① 其破坏主要归于微裂纹的发展；② 塑性性状包含体积的改变；③ 拉压特性存在很大的区别。 简单拉压时的塑性现象 ① εσE =； ② 变形可恢复，但不成线性比例关系； ③ 屈服； ④ 强化；软化； ⑤ 卸载，再加载，后继屈服，s s σσ>' 初始屈服条件 s σσ=； 后继屈服条件 s σσ'=。 s σ' 与塑性变形的历史有关，)H(p s εσ=' 当 s σσ'<， 弹性阶段； s σσ'=， ?? ?<>卸载 加载0 d 0d σσσσ ⑥ Bauschinger 效应 4.7 应力张量的分解（对第三章的补充） ????? ? ?---+?? ??? ??=???? ? ??m z yz xz zy m y xy zx yx m x m m m z yz xz zy y xy zx yx x 000000 σστττσστττσσσσσστττστττσ 记 ij m m m m 000000 δσσσσ=??? ?? ? ? 可得： ij ij m ij s +=δσσ ????? ??=z yz xz zy y xy zx yx x ij s s s s ττττττ m x x s σσ-= m y y s σσ-= m z z s σσ-= 应力球张量只引起体积的变化，而没有形状的改变。应力偏张量只引起形状变化，而没有体积改变。 0s s s )s (I z y x ij 1=++= ) ()s s s s s s ()s (I 2zx 2yz 2xy x z z y y x ij 2τττ+++++-= 弹性力学学习心得 孙敬龙S4 大学时期就学过弹性力学，当时的课本是徐芝纶教授的简明版教程，书的内容很丰富但是只学了前四章，学的也是比较糊涂。研究生一年级又学了一次弹性力学（弹性理论），所有课本是秦飞教授编着的，可能是学过一次的原因吧，第二次学习感觉稍微轻松点了，但是能量原理那一章还是理解不深入。弹性力学是一门较为基础的力学学科，值得我们花大量的时间去深入解读。 弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17 世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从 1822～1828年间，在?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1858年间法国的圣维南发表 … 第三章 平面问题的直角坐标解答 【3-4】试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计) 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件 & 上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上； 当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ () 0y xy x f τ=== 右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ=== 应力分布如图所示，当l h 时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为 主矢，主矩 y x f x f ￥ 主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e ： 因为在A 点的应力为零。设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ： 2()0/6/6 x A p pe e h bh bh σ= -=?= 同理可知，当a <0时，可以解决偏心压缩问题。 / 【3-6】试考察应力函数22 3(34)2F xy h y h Φ= -，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画 出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。 【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25） 444422420?Φ?Φ?Φ ++=????x x y y ，显然满足 < （2）将Φ代入式（2-24），得应力分量表达式 3 12,0,x y Fxy h σσ=-=2234(1)2==--xy yx F y h h ττ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，2h y =±，应精确满足应力边界条件式 （2-15），应力()()/2/2 0,0y yx y h y h στ=±=±== 因此，在主要边界2h y =±上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ??? ?=±==±= ? ???? ? ②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为： 22340:0,1-2x y F y x f f h h ?? === ??? 3 221234:,12x y Fly F y x l f f h h h ?? ==- =-- ??? " 因此，各边界上的面力分布如图所示： y 第十一章弹性力学的变分原理 一.内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。 二.重点 1. 几何可能的位移和静力可能的应力； 2. 弹性体的虚功原理； 3. 最小势能原理及其应用； 4. 最小余能原理及其应用； 5. 有限元原理的基本概念。 知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法 扭转问题最小余能近似解 有限元原理与变分原理 有限元原理的基本概念 有限元整体分析 几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz）法 伽辽金(Гапёркин）法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法 基于最小余能原理的近似计算方法 有限元单元分析 附录3 变分原理 泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值。 弹性力学学习心得 孙敬龙S201201024 大学时期就学过弹性力学，当时的课本是徐芝纶教授的简明版教程，书的内容很丰富但是只学了前四章，学的也是比较糊涂。研究生一年级又学了一次弹性力学（弹性理论），所有课本是秦飞教授编著的，可能是学过一次的原因吧，第二次学习感觉稍微轻松点了，但是能量原理那一章还是理解不深入。弹性力学是一门较为基础的力学学科，值得我们花大量的时间去深入解读。 弹性力学主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 弹性力学的发展大体分为四个时期。人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。第二个时期是理论基础的建立时期。这个时期的主要成就是，从1822～1828年间，在A.L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究梁的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力学的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利——里兹法，为直接求 第三章 平面问题的直角坐标解答 【3-4】试考察应力函数3ay Φ=在图3-8所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题(体力不计)? 【解答】⑴相容条件: 不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量 当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得 6,0,0x y xy yx ay σσττ==== ⑶考察边界条件 上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上； 当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ () 0y xy x f τ=== 右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ=== 应力分布如图所示，当l h ?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩 x f x f 主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e ： 因为在A 点的应力为零。设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ： 2()0/6/6 x A p pe e h bh bh σ=-=?= 同理可知，当 a <0时，可以解决偏心压缩问题。 【3-6】试考察应力函数223(34)2F xy h y h Φ= -，能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在小边界上画 出面力的主矢量和主矩），指出该应力函数能解决的问题。 【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25） 4444 22420?Φ?Φ?Φ ++=????x x y y ，显然满足 （2）将Φ代入式（2-24），得应力分量表达式 3 12,0,x y Fxy h σσ=-=2234(1)2==--xy yx F y h h ττ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，2h y =±，应精确满足应力边界条件式 （2-15），应力() () /2 /2 0,0y yx y h y h στ=±=±== 因此，在主要边界2h y =±上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ??? ?=±==±= ? ???? ? ②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为： 22340:0,1-2x y F y x f f h h ?? === ??? 3 221234:,12x y Fly F y x l f f h h h ?? ==- =-- ??? 因此，各边界上的面力分布如图所示： ③在x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式： x y l /2h /2 h (l h ? 弹性力学 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。 弹性力学的发展初期主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于1680年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于1687年确立了力学三定律。 弹性力学的发展简史 同时，数学的发展，使得建立弹性力学数学理论的条件已大体具备，从而推动弹性力学进入第二个时期。在这个阶段除实验外，人们还用最粗糙的、不完备的理论来处理一些简单构件的力学问题。这些理论在后来都被指出有或多或少的缺点，有些甚至是完全错误的。 在17世纪末第二个时期开始时，人们主要研究粱的理论。到19世纪20年代法国的纳维和柯西才基本上建立了弹性力学的数学理论。柯西在1822～1828年间发表的一系列论文中，明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量的概念，建立了弹性力学的几何方程、运动(平衡)方程、各向同性以及各向异性材料的广义胡克定律，从而奠定了弹性力学的理论基础，打开了弹性力学向纵深发展的突破口。 第三个时期是线性各向同性弹性力学大发展的时期。这一时期的主要标志是弹性力学广泛应用于解决工程问题。同时在理论方面建立了许多重要的定理或原理，并提出了许多有效的计算方法。 1855～1858年间法国的圣维南发表了关于柱体扭转和弯曲的论文，可以说是第三个时期的开始。在他的论文中，理论结果和实验结果密切吻合，为弹性力 学的正确性提供了有力的证据；1881年德国的赫兹解出了两弹性体局部接触时弹性体内的应力分布；1898年德国的基尔施在计算圆孔附近的应力分布时，发现了应力集中。这些成就解释了过去无法解释的实验现象，在提高机械、结构等零件的设计水平方面起了重要作用，使弹性力学得到工程界的重视。 在这个时期，弹性力学的一般理论也有很大的发展。一方面建立了各种关于能量的定理(原理)。另一方面发展了许多有效的近似计算、数值计算和其他计算方法，如著名的瑞利──里兹法，为直接求解泛函极值问题开辟了道路，推动了力学、物理、工程中近似计算的蓬勃发展。 从20世纪20年代起，弹性力学在发展经典理论的同时，广泛地探讨了许多复杂的问题，出现了许多边缘分支：各向异性和非均匀体的理论，非线性板壳理论和非线性弹性力学，考虑温度影响的热弹性力学，研究固体同气体和液体相互作用的气动弹性力学和水弹性理论以及粘弹性理论等。磁弹性和微结构弹性理论也开始建立起来。此外，还建立了弹性力学广义变分原理。这些新领域的发展，丰富了弹性力学的内容，促进了有关工程技术的发展。 弹性力学的基本内容 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 一．填空题 1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.一组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。二．简答题 1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。 如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力（主矢和主矩相同），则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。 作用;(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。 （2）将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。 2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？ (1).平衡微分方程:决定应力分量的问题是超静定的。 (2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。 (3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。 3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？ 应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。 4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？ 由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。 5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如 6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。 （1）完全弹性假定。 （2）均匀性假定。 （3）连续性假定。 （4）各向同性假定。 （5）小变形假定。 满足完全弹性假定，均匀性假定，连续性假定和各向同性假定的是理想弹性体。一般混凝土构件和一般土质地基可以看做为理想弹性体。 7.什么是差分法？写出基本差分公式？ 差分法是把基本方程和边界条件近似地看改用差分方程（代 第十一章弹性力学的变分原理知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法 伽辽金(Гапёркин）法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹 性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。 二、重点 1、几何可能的位移和静力可能的应力； 2、弹性体的虚功原理； 3、 最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理 的基本概念。 §11.1 弹性变形体的功能原理 学习思路: 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力 和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ 。如图所示 一、名词解释 应力：截面单位面积的内力称为应力。 应变：物体在受到外力作用下会产生一定的变形，变形的程度称应变。 剪应力：截面单位面积上所承受的剪力，且力的方向与受力面的法线方向正交。 剪应变：在直角坐标中所取单元体为正六面体时，单元体的两条相互垂直的棱边，在变形后的直角改变量。 主应力：某一个斜面上的切应力等于零，则该斜面上的正应力为主应力。 主应力平面：某一个面上的切应力等于零，该平面为主应力平面。 一点应力状态：指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位上应力的集合。 平面应力问题：只有平面应力分量),,xy y x τσσ（存在，且仅为x,y 的函数的弹性力学问题。 平面应变问题：只有平面应变分量） （xy y x γεε,,存在，且仅为x,y 的函数的问题。 体力：体力是作用于物体体积内的外力。 面力：面力是作用于物体表面上的外力。 边界条件：表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。 二、问答题 1.弹性力学基本问题的假定? 答：(1)连续性—假定在物体体积内都被连续介质所充满，没有空隙。 （2）完全弹性—假定物体是完全弹性的。 （3）均匀性—物体是由同种材料组成的，物体内任何部分的材料性质均匀相同。 （4）各向同性—物体内任何一点各方向的材料性质都相同。 （5）小变形假定—假定物体的位移和应变都是微小的。 2.弹性力学问题求解与材料力学的区别？ 答：弹性力学严格地要求在边界条件下，求解平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力、应变、和位移等未知函数，从而得到比较精确的解答。 材料力学，为了简化问题的解答，常引用近似的计算假设，并近似地处理平衡条件和边界条件，研究方法是近似的，得到的是近似解答。 3.弹性力学应力正负规定与材料力学的异同？ 答：在弹性力学中，正坐标面上的应力分量以沿坐标轴正向为正，负坐标面上的应力分量以沿坐标轴负向为负。 在材料力学中，正应力以拉为正，实际上与弹性力学中的正应力符号规定相同；切应力以使单元或其局部产生顺时针方向转动趋势的为正，这与弹性力学的切应力符号规定不一致。 4.圣维南原理内容及适应条件？ 答：圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 适应条件：圣维南原理只能应用于一部分边界上（局部边界，小边界，次要边界）。 5.相容方程的物理意义？ 答：（1）相容方程是连续体中位移连续性的必然结果。 （2）相容方程是形变对应的位移存在且连续的必要条件。 6.平面问题求解基本方程及边界条件。 答：平衡微分方程0x =+??+??x yx f y x τσ ，0y =+??+??y xy f x y τσ 几何方程y v x u ??=??=y x ,εε ，y u x v ??+??=xy γ 物理方程)(1y x x E μσσε-= ，)(1y x y E μσσε-= ，xy xy G τγ1= 边界条件：应力边界条件-=+x s xy x f m l )τσ（ ，- =+y s xy y f l m )τσ（ “弹性力学”课程是北京大学力学与工程科学系的主干基础课，三年级开设，一学期的课程，力学班周学时为5，工程班为3。 所谓弹性是指外力消失后，物体恢复原状的特性。弹性力学是研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。弹性力学是众多工程学科的基础，此课程十分重要，力学系本科的许多后续课程都建立在弹性力学的基础之上。 授课教案详见王敏中等编著的《弹性力学教程》。 目前网上给出如下一些教案示例： 1.“第一章矢量与张量” 2.“第二章应变分析” 3.“第三章应力分析 4.“第六章 Saint-venant 问题” (§1-§5) 5.“第七章弹性力学平面问题的直角坐标解法” (§1-§4) 弹性――外力消失后，物体恢复原状的特性。 弹性体――仅仅有弹性性质的一种理想物体。 弹性力学――研究弹性体在外界因素影响下，其内部所生成的位移和应力分布的学科。 人类利用物体的弹性可以追溯到无穷久远的年代，但是弹性力学作为一门科学却是伴随着工业革命而诞生的，并被广泛应用于土木、航空、船舶、机械等工程领域。 弹性力学迄今已有三百余年的发展历史，1678年Hooke提出变形与外力成正比的定律，1821年Navier和1823年Cauchy建立了关于应力的平衡方程，形成了弹性力学的初步理论；Saint-Venant(1855)关于扭转与弯曲的解答，Мусхелишвили(1933)的复变解法是弹性理论发展中的经典之作；二十世纪下半叶，弹性理论进一步深化和扩展，许多基本概念和基本问题被深入和细致的研究，并与其它物理因素相互耦合出现了许多交叉领域，诸如热弹性力学、粘弹性力学、磁弹性力学、压电介质弹性力学、微孔介质弹性力学、微极弹性力学、非局部弹性力学、准晶弹性力学等，极大地丰富了弹性力学的研究范围。 本书主要介绍弹性力学的基本理论、典型方法、著名问题、重要结果，希望能反映出这门既古老又年青、既理论又实用的学科的面貌，作为进一步研究弹性力学和固体力学其它分支的起点。 弹性力学及有限单元法复习提纲 采矿09级 1.材料力学和弹性力学在所研究的A容上有哪些共同点和哪些不同点？求解问题的方法上有何主要区别？ 共同点：都是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的方法。 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用、边界的约朿或温度改变等原因而发生的应力、形变的位移。 材料力学：研宂构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。 求解方法：材料力学是除了从静力学、儿何学、物理学三方而进行分析外，大都还引用关于构件的形变状态和应力分布的假定。而弹性力学一般都不必引用那些假定，因而得出的结果比较精确，还可以校核材料力学得出的近似结果。 2.什么是弹性，什么是塑性？弹性力学有哪几条基本假设？ 弹性：在一定的应力范围内，物体受到外力作用产生全部变形，而去除外力后能够立即恢复其原有的形状和尺寸大小的性质。 塑性：物体受力后产生变形，在外力去除后不能完全恢复原状的性质。 弹性力学的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、位移和形变微小。 3.弹性力学的平衡微分方程是根据什么条件推导出来的？其物理意义是什么？ 在弹性体内任一点取出一个微分体，根据平衡条件来导出应力分量与体力分量之间的关系式。 意义：平衡微分方程表示了区域内任一点的微分体的平衡条件，从而必然保证任一有限部分和整个区域是满足平衡条件的。 4.为什么要引入弹性力学的几何方程？几何方程是如何推导出来的？其物理意义是什么？ 因为平衡微分方程两个方程三个未知函数，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑几何方程冰可以求解。根据微分线段上的形变分量与位移分量之间的关系式导出的。 意义：当物体的位移分量完企确定时，形变分量即完企确定。反之，当形变分量完企确定时，位移分量却不能完企确定。 5.什么是物理方程？其表达式如何？物理意义是什么？ 考虑平面问题物理方面导出形变分量与应力分量之间的关系式的方程。表达形式满足胡克定律。 6.什么是平面应力？平囬应变？平面应力和平面应变的差别在哪些地方？所耑要求解的M题，差別又在何处？如何推导出相应 的物理方程？ 平面应力：在等厚度薄板中，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。 平面应变：在很的柱形体屮，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力或约束，同吋，体力也平行于横截Ifif而且不沿长度变化。 可根据切应力互等性、胡克定律等求解相应的方程。 7.弹性力学问题的基本方程有哪几组？ 平衡微分方程、儿何方程、物理方程，再加上边界条件。 8.什么是应力边界条件？位移边界条件？混合边界条件？ 应力边界条件：若So部分边界给定了面力分量fx(s)和fy⑻，则可以由边界上任一点微分的平衡条件，导出应力与面力之间的关系。 位移边界条件：若在SU部分边界上给定了约束位移分量U(S)和V(S),则对于此边界上的每一点，唯一函数1!和7应满足(U)S=U(S), (V)S=V(S) 0 混合边界条件：物体的一部分边界具有位移边界条件，另一部分边界则具有应力边界条件。 9.什么是按照应力求解和按照位移求解？求解方法和过程有哪些区别？ 按位移求解：是以位移分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去应力分量和形变分量，导出只含有位移分量的方程和相应的边界条件，并且由此解出位移分量，然后再求出形变分量和应力分量。 按应力求解：是以应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件屮消去位移分量和形变分量，导出只含有应力分量的方程和边界条件，并由此解出应力分量，然后再求出形变分量和位移分量。 区别：按位移求解能适应各种边界条件问题的求解，按应力求解通常只求解全部为应力边界条件的问题。 10.什么是相容方程？相容方程的物理意义是什么？ 相容方程：几何方程中把e x对y的二阶导数和e y对x的二阶导数相加得到的方程。 意义：连续体的形变分量ex, ey, yxy不是互相独立的，而是相关的，它们之间必须满足相容方程，才能保证对应的位移分量u 和v的存在。 11.什么是应力函数？双谐方程？如何推导出双谐方程？试写出双谐方程的数学表达式。 O称为平面的应力函数。 弹性力学的广义变分原理 摘要：研究了在弹性力学的三类变量广义变分原理中，变量三个变量是否独立，是否包含了应力应变关系。指出了在应用广义变分原理时应满足下列条件：泛函 中的应变能用应变表示、应变余能用应力表示：在用广义变分原理求实际问题的 近似解时。三类变量的试探函数可以独立选择，但各类变量之间应不违背力学基 本关系。为了解除应力应变关系的变分约束，我们提出了一个高阶拉格朗日乘子法。用这个高阶拉氏乘子法，我们从胡鹭原理和海赖原理分别导出了前所未知的 更普遍的广义变分原理。我们也证明了在这两类变分原理之间，有等价定理和相 关的等价关系存在。 关键词：弹性力学；广义变分原理 前言：弹性力学广义变分原理是弹性力学最小势能原理和弹性力学最小余能 原理的推广，其特点是，变分式中各量都可有独立的变分，并且事前不受任何限制。 1.广义变分原理Ⅰ 1.1广义函数及其构造。 弹性力学最小势能原理和弹性力学最小余能原理的推广，其特点是，变分式 中各量都可有独立的变分，并且事前不受任何限制。在弹性力学空间问题中，最 一般的广义变分原理可叙述为：弹性力学空间问题的解必须满足弹性体的广义势 能变分为零的条件，该条件又称为驻值条件，即 方程，包括应变-位移关系，应力-应变关系、平衡方程和边界条件。上述变分原理的独立变量有位移、应变、应力三类，因此称为三类变量广义变分原理。它 是中国力学家胡海昌于1954年首先提出的，日本的鹫津久一郎于1955年也独立 地得到这一原理，所以又称胡-鹫津原理。 弹性力学广义变分原理有一种稍弱的形式，即二类变量广义变分原理，又称 为赫林格-瑞斯纳原理。它由E．赫林格于1914年和E．瑞斯纳于1950年分别独 立提出，其数学表达式为： 在有限元法和工程弹性理论中，广义变分原理有广泛的应用。例如，在板壳 弯曲的有限元计算中，用它处理变形的不协调性，可得到较好的结果。对于解决 几何非线性问题，胡-鹫津原理是一个有力的工具。在工程弹性理论中，广义变分原理可用于推导各种近似理论；在弹性振动和稳定理论中，可用于求固有频率和 临界载荷，并能获得较好的结果。 用拉氏乘子法建立广义变分原理的广义泛雨的方法，这样就使构造广义泛雨 的方法建立在严格的数学方法的基础上，使深入分析广义变分原理及促使它们进 一步发展建立了理论基础。利用变分问题描述弹性力学问题，各类广义变分原理 实质上是旅于势能密度与余能密度的数学形式的展础上，在各种变分约束条件， 变分条件和一般约束条件下的匹配问题。由于已知的广义变分原理中的广义泛雨，都是基于势能声度和余能密度基础上构造的，这样应力应变的关系式对广义泛雨 万而言是一般约束条件，因此无法利用（线性）拉氏乘子法解除一般约束条件， 所以实质上为二类内变雨数的广义变分原理。 1.2广义函数的规一化。 考虑到历史的原因，我们称势能极值原理与余能极值原理为标准型变分原理. 对各类广义变分原理而言，当把变分条件还原为变分约束条件时，通过自变雨数弹性力学概念汇总
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