有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是数值方法中最经典的方法，也是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。
构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
下面我们从有限差分方法的基本思想、技术要点、应用步骤三个方面来深入了解一下有限差分方法。
1.基本思想
有限差分算法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，再将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。
2.技术要点
如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分
方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行性和计算结果的正确性，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n+1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。
3.基本步骤
有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
①区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个
格点组成的网格；
②近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
③逼近求解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式
及其微分来代替偏微分方程的解的过程。
换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。在第一步中，我们通过所谓的网络分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。通常采用的是规则的分割方式。这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。网络线划分的交点称为节点。若与某个节点 P相邻的节点都是定义在场域内的节点，则 P点称为正则节点；反之，若节点 P有处在定义域外的相邻节点，则 P点称为非正则节点。在第三步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上
的离散近似值。
差分方程，又叫做差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、
二阶格式和高阶格式；从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式；考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。
向前差分(forword difference ）：
i
i i i x x x --≈??++11φφφ 向后差分(backword difference)：
1
1----≈??i i i i x x x φφφ 中心差分(cential difference)：
1
111-+-+--≈??i i i i x x x φφφ 下面以一个例子解释其他差分格式：
设求解区域内一个节点A ，坐标()n j t x ,。根据微商定义和中值定理，
把偏微分方程写成差分格式。
对流方程：
0=??+??x
u a t u (2-1) 或
0=?+x t u a u
可以将其化为三种不同的差分方程：
1）时间前差、空间中心差
021
11=?-+?--++x u u a t u u n j n j n j
n j
或
()
x t a r u u r u u n j n j n
j n j ??=--=-++K K ，111
21 2）时间前差、空间前差
011=?-+?-++x u u a t
u u n j n j n j
n j
或 ()n j n j n j n j u u r u u --=++11
3）时间前差、空间后差
011=?-+?--+x u u a t
u u n j n j n j
n j
或 ()n j n j n j n j u u r u u 11-+--=
差分方程的时间微商采用前差，称为显式差分格式；时间微商采用后差，称为隐式差分格式。显式差分方程可以直接求解，隐式差分方程需要迭代求解。除此之外，它还可以构造其他形式的差分格式。不同的差分格式具有不同的计算精度。
用差分方程代替偏微分方程时必然有误差，称为截断误差，用n
j
R 表示。差分方程的截断误差等于各项差商逼近微商时所产生误差的总和。用差分方程的定解条件来代替偏微分方程的定解条件也会产生误差，称为定解条件的截断误差，用n j r 来表示。
差分方程的截断误差可以用Taylor 展开法得到。如上述例子中时间前差、空间中心差分格式，通过Taylor 展开可得：
????????+????? ????+??? ????++????? ????+??? ????=?-+?--++ΛΛ2332211131212x x u x u a t t u t u x u u a t
u u n j n
j n j n j n j n
j
n j ！
()
2,x t O x u a t u n j ??+??? ????+??= 它的截断误差为：()2,x t O R n
j ??= ，即时间上是一节精度，空间
上是二阶精度。构造差分的方法有多种形式，直接差分逼近法、Taylor 级数展开法、控制体积元法和积分方法等。目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。
首先讨论Taylor 级数展开法：给定任意连续方程()x u ，对于()x x u ?+，令步长h x =?，可写出Taylor 级数展开式：
()()∑∞=??=??++??+??+??+=+0333222!!!3!2n n n n n n n x
u n h x u n h x u h x u h x u h x u h x u K
给出有限差分表达式是反过来：对有限的h x =?给出x u ??的近似表达式：
记()x x u u j ?+=+1，由Taylor 级数表达式可得x
u ??表达式 ()()K +??-??--+=??33222!3!2x
u h x u h h x u h x u x u 对于上述提到的对流方程2-1，Taylor 展开法是将1+n j u 在n j u 点上进行展开，再利用方程把??? ????t u 、???? ????22t u 、???? ????33t u 变换为??? ????x u 、???
? ????22x u 、???
? ????33x u ，并把??? ????x u 、???? ????22x u 、???? ????33x u 用差商表示，就可以得到各种不同的差分方程。
对式2-1首先将1+n
j u 在n j u 点上进行Taylor 展开，可得：
()3222121t O t t u t t u u u n
j n j n j n j ?+????? ????+???? ????+=+ （2-2） 利用原方程关系：
x u a t u ??-=?? ， 22222x u a t u ??=??
将上式代入式2-2，得到：
()()n j n j n j n j n j n j n j u u u r u u r u u 11211122121-+-+++-+--= 其中，x
t a r ??=，这就是著名的Lax-Wendroff 差分方程。 直接差分逼近法
由微商定义：
x u u x u t
u u t u n j n j x n j n j t ?-=???-=??+→?+→?1010lim lim
和中值定理得到：
n x j n j n j n j n j n x
j n j n j n
j t
n j n j n j
n j x u x x u x u u u x u x x u x u u t u t t u t
u u ?+-+?++?++???? ?????+???? ????=?+-???? ?????+??? ????=?-???? ?????+??? ????=?-θθθ442222
1122122112122121 其中，θ为10≤≤θ之间的常数。
把这些表达式代入到对流方程式2-1中，取一阶近似，并略去n
j
R 的小量得到相应的差分方程。如上式可得：
K K +???? ?????+??? ????++???? ?????+??? ????=?-+?-?+?+++n
x j n j t n j n j n j
n
j n
j
n j x u x a x u a t u t t u x u u a t u u θθ22221122略去等式右边n
j R 项后，得到差分方程：
时间前差、空间前差： ()n j n j n
j n j u u r u u --=++11 其中，x
t a r ??=。采用相同的差分逼近法，也可以得到其它差分方程。
例如：
时间前差、空间后差： ()n j n j n j n j u u r u u 11-+--=
时间前差、空间中心差： ()n j n
j n j n j u u r u u 1112
1-++--= 积分方法
计分方法是把偏微分方程在一定的控制体内进行积分，得到相应的差分方程。以对流方程2-1为例，在矩形网格的控制体单元Ωd 内，对时间和空间取前差，并从n t 到t t n ?+，从j x 到x x j ?+进行积分：
()0=+??dxdt au u
x t
通过积分运算： 0=+?
???
?+?+?+?+dxdt u a dtdx u x x x x t t t t t t t x x x j j n n n n j j 则得到; ()()011=-+-???++?++dt u u a dx u u t t t j j x
x x n n n n j j
把上式用数值积分近似表示，整理后可得：
()n j n j n j n j u u r u u --=++11
其中，x t a r ??=。 差分方程的有效性分析
一个偏微分方程可以得到不同的差分方程。但不同的差分方程和原微分方程有完全不同的对应关系，它们有不同的数学性质，数值结果也不完全相同。因此，有些差分方程是有效的可靠的，有些则在一定条件下是有效的可靠的，有些则完全是无效的。如何判断和分析差分方程的有效性和可靠性就称为有限差分算法十分重要的问题。 1 相容性（Consistency)
导数与其差分近似式之间存在截断误差。因此，差分方程的解并不是严格的，而是近似地满足原来的偏微分方程。但是，当时间步长
t ?和空间步长x ?都趋近于零时，
差分方程的截差(截断误差)也趋近于零，差分方程的极限形式就是原偏微分方程。这时，认为差分方程与偏微分方程是相容的，这种相容性表示差分方程“收敛”于原偏微分方程。
差分方程相容性是讨论当t ?、x ?0→时，差分方程逼近于偏微分方程的程度。
相容性定义：对于足够光滑的函数u,若时间步长t ?，空间步长x
?趋近于0时，差分方程的截断误差n
j R 对于每一点()n j t x ,都趋近于零，
则该差分方程()0=?n
j u L 逼近偏微分方程0=?u L ，差分方程与偏微分方
程是相容的。
2 收敛性(Convergence ）
差分方程收敛性是讨论当0→??t x 、时，差分方程数值解逼近于偏微分方程精确解的程度。
定义：差分方程()0=?n
j u L 数值解为n
j u ，偏微分方程0=?u L 的精
确解为u ，它们之间的误差用n
j e 表示，则n j n j u u e -=称为离散化误差。
收敛性定义：节点()p p t x ,为偏微分方程求解区域Ω内任意一点，
当p p t t x x →→,时，差分方程数值解n
j u 逼近于偏微分方程的精确解u ，
即0=-=n j n
j u u e ，则差分方程收敛于该偏微分方程。
3 稳定性（Stability)
由于差分方程的求解是以步进方式进行的，在逐步推进的过程中，误差也逐步积累。若这种误差积累保持有界，则差分方程是稳定的，若这种误差积累无界则差分方程是不稳定的。
稳定性是讨论在计算过程中，某一时刻某一点产生计算误差，随着计算时间增加，误差是否能被抑制的问题。
当数值求解差分方程时，计算误差总是不可避免的。计算误差包括舍入误差、离散误差和初值误差。设偏微分方程精确解为u ，数值解为n
j u ，则计算误差定义为：
n r
n j n j n j n j n j n j e u u u u u u εε+=-+-=-=)()(
式中n j n j u u e -=是离散误差，n j n j n r u u -=ε是舍入误差。 定义：在某一时刻n t ，差分方程的计算误差为n j ε，若在1+n t 时刻满足：
n
j n j k εε≤+1或0j n n j k εε≤
条件，则该差分方程是稳定的。
上述可知，稳定性反映出差分方程在时间进程中的特性，收敛性反应差分方程在空间位置上的特性，它们体现了差分方程的内在特性。Lax 定理给出了收敛性和稳定性的关系。
Lax 定理：对于适定和线性的偏微分方程的初值问题，若逼近它的差分方程与它是相容的，则差分方程的稳定性是保证差分方程收敛性的充分和必要条件。
在第二步中，求解差分方程组一般采用Gauss 消去法、追赶法、迭代法、交替方向隐式差分法（ADI 法）、隐式近似因式分解法（AF 法）等，上述消去法和追赶法对求解离散后的代数方程组没有特别的优势，采用迭代法来求解方程组在收敛速度上有一定的优势。迭代法基本思路为：首先对求解的未知量给一个预测值，代入代数方程组，它一定不满足方程组。利用一些特性对预测值进行修正，并把修正后的预测值再代入方程组，它仍不满足方程组。再修正预测值，再代入方程组，通过不断迭代过程，直到收敛于数值解。
迭代法还分为Gauss-Seidel 迭代法，简称为G-S 迭代法，具有形式简单，收敛速度较快的特点。假设求解过程是按x 和y 增长方向进行，于是在求点),(j i 的值时，在),1(j i -和)1,(-j i 点上的值实际上已经求出。G-S 迭代法基本思路是把已经求的的值，立即代入迭代式中去。它的迭代差分格式为：
)(2)()(,1,11,,11,1,1
B A f u u B u u A u j i p j i p j i p j i p j i j i p +-+++=++-++-+
松弛迭代法是对G-S 迭代法的一种改进。其差分格式为：
p j
i j
i p j i p j i p j i p j i p j i u w B A f u u B u u A w u ,,1,11,,11,11,)1()(2)()(-++-+++=++-++-+
式中w 被称为松弛因子。当w=1时，松弛迭代法就是Gauss-Seidel 迭代法；当w>1时被称为超松弛迭代法，简称SOR 法。它可以加速迭代收敛速度。SOR 法的松弛因子一般需要通过调试得到。最优松弛因子可通过理论分析得到，它会随着计算区域内网格点增多而增大。计算实践发现，当所选择的松弛因子小于最优松弛因子时，在迭
代过程中变量迭代值的变化是单调的；当所选的松弛因子大于最优松弛因子时，迭代过程中变量迭代值的变化会随迭代次数发生摆动，由此也可以确定最优松弛因子。
交替方向隐式差分法也成为ADI法。它是为求解隐式差分格式所设计的一种简化算法。众所周知，在求解全隐的差分格式时，迭代法既复杂又费时，而且不易收敛。ADI法是对迭代法的一种改进，它既方便又能较快收敛。它的基本思路为：把一个全隐式差分格式分解成几个简单的部分隐式或部分显式的差分格式，每部分的差分计算比较简单，收敛速度也较快。
隐式近似因式分解法（AF法）是对全隐式差分格式采用近似因式分解后，再在不同方向上采用ADI法，再在不同方向上采用ADI 法交替进行求解，因此（AF法）也是ADI法中的一种。
计算流体力学中还有许多数值算法，如有限体积算法、有限单元算法、有限解析法、特征线法、谱方法、蒙特卡罗法、摄动法等。目前，在大量工程问题中应用最普遍的还是有限差分算法。
有限差分法（ Finite Difference Method，简称FDM）是数值方法中最经典的方法，也是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较 早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分 为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上 述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后 差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 下面我们从有限差分方法的基本思想、技术要点、应用步骤三个方面来深入了解一下有限差分方法。 1.基本思想 有限差分算法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点 构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，再将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即 所谓的有限差分法。 2.技术要点 如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分
假设当前股票价格为50美元，股票价格波动率sigma=0.3；以该股票为标的资产的欧式看跌期权的执行价格为50美元，期权有效期为5个月；市场上的无风险利率为10%。利用显示差分格式为该期权进行定价。 %%% 显示法求解欧式看跌期权%%% s0=50; %股价 k=50; %执行价 r=0.1; %无风险利率 T=5/12; %存续期 sigma=0.3; %股票波动率 Smax=100; %确定股票价格最大价格 ds=2; %确定股价离散步长 dt=5/1200; %确定时间离散步长 M=round(Smax/ds); %计算股价离散步数，对Smax／ds取整运算 ds=Smax/M; %计算股价离散实际步长 N=round(T/dt); %计算时间离散步数 dt=T/N; %计算时间离散实际步长 matval=zeros(M+1,N+1); vets=linspace(0,Smax,M+1); %将区间[0,Smax]分成M段 veti=0:N; vetj=0:M; %建立偏微分方程边界条件 matval(:,N+1)=max(k-vets,0); matval(1,:)=k*exp(-r*dt*(N-veti)); matval(M+1,:)=0; %确定叠代矩阵系数 a=0.5*dt*(sigma^2*vetj-r).*vetj; b=1-dt*(sigma^2*vetj.^2+r); c=0.5*dt*(sigma^2*vetj+r).*vetj; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%% L=zeros(M-1,M+1); for i=2:M %％建立递推关系 L(i-1,i-1)=a(i); L(i-1,i)=b(i); L(i-1,i+1)=c(i); end for i=N:-1:1 matval(2:M,i)=L*matval(:,i+1); end matval %寻找期权价格进行插值。 Jdown=floor(s0/ds);
创新项目论文 一种基于三阶Adams 格式的求解声波方程的多步算法 China University of Mining & Technology-Beijing
摘要 一个准确、高效、低数值频散的正演算法能够提高反演精度、加快反演收敛速度，因此研究地震波场正演模拟技术具有重要意义。区别于传统的空间离散方法，利用空间插值, 用网格点处的函数值及其梯度共同逼近空间高阶偏导数的方法称为近似解析离散化方法。声波方程通过变换，并采用近似解析离散化方法进行空间离散，从而转变成为一个半离散化的常微分方程组，再利用三阶显式Adams格式进行时间推进，求解半离散化的常微分方程组，从而得到了一个新的求解声波方程的有限差分方法（AD-STEM）。对AD-STEM进行了理论误差和数值误差分析、计算效率比较和数值波场模拟。研究表明，与传统方法AD-LWC比较，AD-STEM方法数值精度更高，数值频散更低，更高效，且与解析解匹配更好。AD-STEM方法能够通过压制数值频散而提高计算效率。在无可见数值频散的条件下，AD-STEM的计算速度是AD-LWC的1.88倍，而存储量只有其72%，更适合在粗网格下进行大规模地震波场数值模拟。 关键词：近似解析离散化方法；三阶Adams格式；数值频散；有限差分
目录 1 绪论 (1) 1.1选题背景和研究意义 1.2粘弹性介质国内外研究现状 1.3有限差分国内外研究现状 1.4本文主要研究内容 2 粘弹性介质的基本模型 (6) 3方法介绍....................................................................................................................... 错误！未定义书签。 3.1 Stereo-modeling方法简介 (10) 3.2 Lax-Wendroff correction方法简介 ...................................................................... 错误！未定义书签。 4 粘弹性介质中的波场数值模拟..................................................................................... 错误！未定义书签。 4.1 波场快照 (11) 4.2 波形图.................................................................................................................. 错误！未定义书签。 4.3 SEG模型的地表地震记录 (14) 5 结论 (18) 6 参考文献 (20)
题目：使用Ricker 子波，刚性边界条件，并且初值为零，在均匀各向同性介质条件下，利用交错网格法求解一阶二维声波方程数值解。 解： 一阶二维声波方程： 22222221z P x P t P c ??+??=?? (1) 将其分解为： 21P c t P x P z x z x z V V x z V t V t ????=+????????=???????=???? (2) 对分解后的声波方程进行离散，可得到： 1 12211,-1,,,122[]N n n n n m i m j i m j xi j xi j m t V V c P P h + -+---=?=+-∑ 1 1 221 1,1,,,122 []N n n n n m i j m i j m zi j zi j m t V V c P P h +-++---=?=+-∑ 111121 2222,,m 1,,,,11 []N n n n n n n i j i j m xi j xi m j zi j m zi j m m tc P P c V V V V h +++++++-+--=?=+-+-∑ h z x =?=? 针对公式(1)，使用二阶中心差商公式： 2P(,,1)2(,,)(,,1)i j n P i j n P i j n t +-+-?222(1,,)2(,,)(1,,)(,1,)2(,,)(,1,)P i j n P i j n P i j n x c P i j n P i j n P i j n z +-+-??+?????=??+-+-??????? (3) 变形： P(,,1)=2(,,)(,,1)i j n P i j n P i j n +--
一、差分方法 1．1 导数的差分公式 在x 附近对()f x 展开，由泰勒展开公式 ()()()f x h f x f x h '+≈+ 得到前差公式为 ()() ()f x h f x f x h +-'= 同理也可以得到后差公式 ()() ()f x f x h f x h --'= 由后差分公式可以得到二阶导数的差分公式为 2 ()()()2()() ()f x h f x f x h f x f x h f x h h ''+-+-+-''= = 叫中心差分公式。 利用这些公式可以将微分方程写成差分方程。 1．2 热传导方程的差分公式 热传导方程是 2t xx u a u = 可以写成差分形式 2 2 (,)(,)(,)2(,)(,) ()u x t t u x t u x x t u x t u x x t a t x +?-+?-+-?≈?? 即 []2 2 (,)(,)(,)2(,)(,)()t u x t t u x t a u x x t u x t u x x t x ?+?≈+ +?-+-?? 令 ,,0,1,2,...,1x i x t i t i n =?=?=- 上式可以写为（显示格式） []2 2 (,1)(,)(1,)2(,)(1,)()t u i j u i j a u i j u i j u i j x ?+=+ +-+-? 可以证明，上式的稳定条件为 2 2 ()2x t a ??≤，即 221()2t a x ?≤? 稳定且非振荡的条件为
22 1 ()4 t a x ?≤? 截断误差为 2((),)O x t ?? 另一种格式为 2 2 (,)(,)(,)2(,)(,) ()u x t t u x t u x x t t u x t t u x x t t a t x +?-+?+?-+?+-?+?≈?? 即 22 22()()(,1,1)2(,1)(1,1)(,)x x u i j u i j u i j u i j a t a t ????-++--++++=-????? ? 该式称为隐式格式。对任何步长都是恒稳定的。在t ?上取值的唯一限制是，要将截断误差 保持在合理的程度上从而节约计算时间。 截断误差为 2((),)O x t ??。 二、一维热传导方问题 2．1 无限长细杆的热传导 无限长细杆的热传导的定解问题是 2(,0)()t xx u a u u x x ??=? =? 利用Fourier 变换求得问题的解是 2 2()4(,)()x a t u x t d ξ?ξξ--+∞ -∞?? =???? 其中取初始温度分布如下： 1,01()0,0,1x x x x ?≤≤?=? <>? 这是在区间0—1之间高度为1的一个矩形脉冲，于是得到 2 (,)u x t ξ=? 可以用图1所示的瀑布图来表示稳定随时间与空间的变化。 从图中可以看到，在开始时，温度分布是原点附近的一个脉冲状得分布，随着时间的增加，热量向两边传播，形成一个平缓的波包，不难想象如果时间足够长，最终杆上的温度会全
Open Journal of Natural Science 自然科学, 2020, 8(4), 258-263 Published Online July 2020 in Hans. https://www.doczj.com/doc/9c7740450.html,/journal/ojns https://https://www.doczj.com/doc/9c7740450.html,/10.12677/ojns.2020.84034 2D Acoustic Wave Equation Forward Modeling in the Frequency Domain Kun Han, Xiangchun Wang* School of Geophysics and Information Technology, China University of Geosciences (Beijing), Beijing Received: Jun. 23rd, 2020; accepted: Jul. 6th, 2020; published: Jul. 13th, 2020 Abstract Forward modeling in frequency domain plays an important role in the numerical simulation of seismic waves. Compared with time domain forward modeling, frequency domain forward mod-eling has many advantages, such as suitable multi shot parallel operation, no time dispersion, flexible frequency band selection and small error. The coefficient matrix of different frequencies is relatively independent in the frequency domain forward modeling, which is suitable for the acce-leration of parallel computing and greatly improves the computing efficiency. In this paper, for the optimal 9-point difference scheme of frequency domain acoustic equation, the implicit expression and sparse matrix solution are studied, and the seismic wave field is simulated forward. The ac-curacy and validity of the method are verified by model calculation. Keywords Frequency Domain, Forward Modeling, Acoustic Equation, Parallel Computing 二维频率域声波方程正演模拟 韩坤，王祥春* 中国地质大学(北京)，地球物理与信息技术学院，北京 收稿日期：2020年6月23日；录用日期：2020年7月6日；发布日期：2020年7月13日 摘要 频率域正演在地震波数值模拟中占有十分重要的地位。相比于时间域正演，频率域正演具有适合多炮并*通讯作者。
FDMOD –声波方程有限差分正演模拟（二维） 格式： fdmod
有限差分法有限差分法 finite difference method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。 有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。 有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛
西北农林科技大学实习报告 学院：理学院 专业年级：信计061 姓名：袁金龙 学号：15206012 课程：微分方程数值解 报告日期：2008-12-3 实习二、二维问题的有限差分方法 一） 实习问题： 二维经典初边值问题： 2 22 2,01(,0),01(0,)(1,)0,01x u u te t t t u x x x u t u t t ???=+<≤?????=<
数学物理方程--有限 差分法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
数学物理方法课程报告题目：声波有限差分法数值模拟 学生姓名：xxx 学号：xxx 学院：地球科学与技术学院 专业班级：xxxx 教师：xxx 2016年 4月12日
声波有限差分法数值模拟 Xxx （地球科学与技术学院研15级 学号：xxx ） 摘要：数值模拟是最常用的正演模拟的方法。它通过给出的结构模型和物理参数， 模拟地震波的传播轨迹，了解其规律以及过程，然后通过计算来推断观测点的地震记录。根据求解方法，地震波方程数值解法可分为有限元法、伪谱法、有限差分法。根据本门课程的要求，并且有限差分法具有内存占用较小，精度较高等优点，本文 主要采用这种方法进行模拟。 关键词：数值模拟，声波，有限差分 正文 1、 引言 在勘探过程中，数值模拟的作用很大。例如：1、采集上，可用于设计或者优化野外观测系统；2、处理上，可以通过数值模拟来检验是否采用了正确的反演方法。将正演反演不断的逼近，从而使结果更加准确；3、解释上，还可以检测一下解释的资料是否正确。 而有限差分法是数值模拟最常用的方法，本文利用有限差分法，通过对声波进行正演模拟，来了解其在地下的传播规律及特点。 2、 二维各向同性介质声波方程数值模拟 使用规则网格差分对二阶方程进行求解。 具体过程： 在x 方向上，关于0x 对称分布的2N 个网格节点的坐标分别为x q x N ?-0，
x q x N ?--10，……，x q x ?-10，x q x ?+10，……x q x N ?+-10，x q x N ?+0。其 中，x ?表示节点间的最小间距；i q 表示任意正整数。2N 个网格节点所对应的函 数值已知，分别为()x q x f N ?-0，()x q x f N ?--10，……，()x q x f ?-10， ()x q x f ?+10……，()x q x f N ?+-10，()x q x f N ?+0。利用Taylor 级数展开求解 ()x f 在点0x 处的一阶导数近似值。 ()()()()()()()()()()()()()[]120220220100! 21 ! 21 +?+?+ +?+ ?+=?+N i N N i i i i x q O x f x q N x f x q x f x q x f x q x f ()()()()()()()()()()()()()[ ] 120220220100! 21 ! 21 +?+?+ +?+ ?-=?-N i N N i i i i x q O x f x q N x f x q x f x q x f x q x f 其中，i=1,2，…，N 将上述两式相加，省略式中的误差项，得到 ()()()[]()()()()()()()()()()022*********! 21 !41!21221 x f x q N x f x q x f x q x q x f x f x q x f N N i i i i i ?+ +?+?=?-+-?+ (1) 将相减后得到的式子整理成矩阵形式，有 ()()()()()()()()()()()()()()()()()()()???? ? ????????-+-?+?-+-?+?-+-?+?=?? ?????? ???????????????????????????-x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x x f x N x f x x f q q q q q q q q q N N N N N N N N N N 000200201001020222042 0224 2224 2 2221412 1 22221!21!41! 21 (2) 为了简化矩阵，可以记作 ??? ??? ? ???????=N N N N N N q q q q q q q q q A 242224222 214 1 21 ，()()()()()()()()()()???? ? ? ???????-+-?+?-+-?+?-+-?+?=x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x q x f x f x q x f x D N N 00020020100102 22221 同时，构造两个简单矩阵，辅助计算
2015 年秋季学期研究生课程考核 （读书报告、研究报告） 考核科目:偏微分方程数值解法 学生所在院（系）:理学院数学系 学生所在学科:数学 学生姓名:H i t e r 学号:1X S012000 学生类别: 考核结果阅卷人
研究有限差分格式稳定性的其他方法 摘要 偏微分方程的求解一直是大家比较关心的一个问题，而有限差分格式则是求解偏微分方程时常用并且有效的一个方法。因此，研究有限差分格式的性质就显得尤为重要。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt启示型方法、直接方法（或称矩阵方法）和能量不等式方法。 关键字：偏微分方程；有限差分格式；稳定性 Abstract The solution of partial differential equations has been more concerned with a problem, and the finite difference scheme is a common and effective method for solving partial differential equations. Therefore, it is very important to study the character of the finite difference scheme. We have followed the teacher to learn the use of Fourier method of finite difference scheme stability, but in a lot of research on the stability of finite difference scheme is only used Fourier method is not enough, so in this paper, will introduce the other three kinds of commonly used in the study of finite difference scheme stability method, respectively is: Hirt enlightenment method, direct method (or matrix method) and energy inequality method. Key words: partial differential equation; finite difference scheme; stability 1 前言 微分方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。在课上我们已经跟着老师学习了运用Fourier方法研究有限差分格式的稳定性，但是在很多研究有限差分格式稳定性的问题中仅仅会用Fourier方法是不够的，所以在本篇论文中，将会介绍其他三种常用的研究有限差分格式稳定性的方法，分别是：Hirt 启示型方法、直接方法和能量不等式方法。 2 Hirt启示性方法 2.1 方法概述 Hirt启示性方法是一种近似分析方法。主要是把差分格式在某确定点上作泰勒级数近似
多期双重差分法,政策实施时间不同的处理方法 今天，计量经济圈主要给圈友引荐一些平时在咱们社群问得比较多的问题——多期双重差分法和一些要点。我们想检验修建地铁对城市环境污染的影响，那么我们想到的是使用DID方法来得到因果关系。但是，我们有疑惑的地方是，各个城市修地铁的时间有先有后，而标准的双重差分方法一般要求t为同一时间点，比如20xx年。 对于这个问题，我们可以采用多期DID方法，将所有还没有修建地铁的城市作为控制组，把已经修建地铁的城市作为处理组，即使最终所有城市都修建了地铁，我们也可以把还没有修建地铁之时的城市作为控制组。 简单点讲，就是每个修建地铁的城市的DID交互项在数据中显示的不一样，因为DID交互项是两个虚拟变量的乘积：treated（是不是修建了地铁）和time（修建地铁的时间）。 这个DID的交互项等于1的情况是，这个城市在具体某年修建了地铁，而对于在修建地铁之前的年份，这个城市的DID 交互项等于０。这就表明，我们在多期DID使用中不再有统一的政策实施年份，而是允许每个城市都有自己的政策实施年份。 这样是不是有助于解决我们遇到的大部分问题。对于那些压根到目前为止都没有地铁的城市，那他的DID（自然不用说）
就是等于0，因为他的treated始终是为0，属于我们的控制组样本。注意，现在就是一个普通的xtreg回归，但是这里有些地方需要注意。第一，我们平时经常看到的 treated+time+treated*time+协变量的标准DID组合已经不见了，现在只剩下了treated*time这个DID交互项和协变量了。第二，我们尽量控制一下城市的个体效应和时间效应，来消除那些会影响DID交互项估计的不可观测因素和时间效应。下面这个多期DID模型就是如此的，αt是时间效应，βi 是城市效应，Xit是随着时间变动的协变量，BC*After就属于咱们感兴趣的DID估计量。 第三，这里面的treated(就是BC)虚拟变量当然可以灵活地替换为其他连续变量，比如，我们不仅对是否修建地铁对环境影响感兴趣，更是对修建地铁的里程对环境影响感兴趣。我们可以把BC替换成地铁的里程(length)，然后我们的准DID 交互项就是length*After。这种DID设置的灵活性让这种方法有很大的适用性。 如果有时候我们不知道处理组具体怎么选择，那该如何设计方法呢？比如我们想要研究一下，美国政府对那些破产的按揭房（金融危机之后的事情）兴起了一个维护修理的政策举动，那这些房子就不至于破败不堪而影响了周围房子的价格。此时，我们就想看看这个政策举动对周围房子的价格的影响，但我们并不知道到底多远的距离才叫“周围”。
地球探测科学与技术学院 总结报告 学校：吉林大学 学院：地球探测科学与技术学院 专业：勘查技术与工程（应用地球物理）科目：科学计算方法--有限差分解声波方程姓名： 学号：
目录 一．相关理论基础 (3) 1. 地震波场模拟 (3) 2. 波动方程类型及其局限性 (3) 3. 数值算法类型及其优缺点 (4) 二．有限差分解声波方程基础理论知识 (6) 1.需要的已知条件包括： (6) 2．弹性波方程 (6) 3.声波方程的有限差分法数值模拟 (6) 4. 稳定性条件 (7) 5. 频散关系式 (8) 6. 有限差分参数 (8) 三．程序及结果成图 (8) 四．通过实验所发现的问题和认识 (12) 五．他人所做的有限差分解波动方程程序及结果成图 (12) 参考文献及资料 (19)
有限差分解声波方程总结报告 一．相关理论基础 1.地震波场模拟 地震波场模拟即地震正演，是指已知模型结构，通过物理或数值计算的方法模拟该地质结构下的地震波的传播，最终合成地震记录，也可以认为其是野外数据采集过程的室内再现。物理模拟花费昂贵，人们一般采用比较经济的数值模拟技术。地震波场数值模拟是在给定数学模型（如弹性波方程，声波方程等）、震源和地下几何界面、物性参数（岩层密度、速度等）情况下，研究弹性波或声波的传播规律。 2.波动方程类型及其局限性 （1）声波方程： 二阶标量声波方程： 一阶压力-速度方程组： 波动方程能够描述且只能描述纵波的传播规律，包括直达波、反射波、透射波、折射波等，但不能描述转换波传播规律。 需要的已知条件包括：震源函数、地层速度、密度边界条件 S(t) z p x p v t p +??+??=??)(22222 2 2)(2z v y v x v C t P z y x ??+??+??-=??ρ)(1x P t v x ??-=??ρ)(1y P t v y ??-=??ρ)(1z P t v z ??-=??ρ
时域有限差分法(FDTD算法)的基本原理及仿真
时域有限差分法（FDTD 算法） 时域有限差分法是1966年K.S.Yee 发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Yee 网格空间离散方式。这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。 FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。 1.FDTD 的基本原理 FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。 Maxwell 方程的旋度方程组为： E E H σε +??=??t H H E m t σμ-??-=?? （1） 在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程： ???????????+??=??-??+??=??-??+??=??-??z z x y y y z x x x y z E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，????? ??? ??? -??-=??-??-??-=??-??-??-=??-??z m z x y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2） 上面的六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。 Yee 首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻t n ?时刻，F(x,y,z)可以写成 ),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =????= （3） 用中心差分取二阶精度： 对空间离散： ()[] 2 ),,21(),,21() ,,,(x O x k j i F k j i F x t z y x F n n x i x ?+?--+≈???= ()[] 2 ),21,(),21,() ,,,(y O y k j i F k j i F y t z y x F n n y j y ?+?--+≈???= ()[] 2 )21,,()21,,() ,,,(z O z k j i F k j i F z t z y x F n n z k z ?+?--+≈???=
有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）是数值方法中最经典的方法，也是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。 下面我们从有限差分方法的基本思想、技术要点、应用步骤三个方面来深入了解一下有限差分方法。 1.基本思想 有限差分算法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，再将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。 2.技术要点 如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分
有限差分，有限元，有限体积等等离散方法的区别介绍 一、区域离散化 所谓区域离散化，实质上就是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间。实施过程是；把所计算的区域划分成许多互不重迭的子区域，确定每个子区域的节点位置及该节点所代表的控制容积。节点：需要求解的未知物理量的几何位置；控制容积：应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。一般把节点看成是控制容积的代表。控制容积和子区域并不总是重合的。在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域称为子区域。网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。 大家都知道，常用的离散化方法有：有限差分法，有限元法，有限体积法。 1. 有限差分法是数值解法中最经典的方法。它是将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。这种方法发展比较早，比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。用它求解边界条件复杂、尤其是椭圆型问题不如有限元法或有限体积法方便。 2. 有限元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。对椭圆型问题有更好的适应性。有限元法求解的速度较有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。目前的商用CFD软件中，FIDAP采用的是有限元法。 3. 有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。其中的未知数十网格节点上的因变量。子域法加离散，就是有限体积法的基本方法。就离散方法而言，有限体积法可视作有限元法和有限差分法的中间产物。 4. 有限分析法：同有限差分法一样，用一系列网格线将区域离散，所不同的是每个节点与相邻8个邻点组成。在计算单元中把控制方程中的非线形项局部线形化，并对该单元上未知函数的变化型线作出假设，把所选定型线表达式中的系数和常数项用单元边界节点上未知的变量值来表示，这样该单元内的被求问题就转化为第一类边界条件下的一个定解问题，可以找出分析解；然后利用这一分析解，得出该单元中点及边界上8个邻点上未知值间的代数方程，此即为单元中点的离散方程。两种离散方法外节点法：节点在子域的四角，先定节点位置而计算相应的界面内节点法：节点在子域中心，子域与控制容积重合。计算时先定界面后算出节点位置。 5. 边界元法(Boundary Element Method，BEM)上面四种方法都必须对整个区域作离散化处理，用分布在整个区域上的有限个节点上函数的近似值来代替连续问题的解。在边界元方法中应用格林函数公式，并通过选择适当的权函数把空间求解域的偏微分方程转换成为其边界上的积分方程，它把求解区中任一点的求解变量(如温度)与边界条件联系了起来。通过离散化处理，由积分方程导出边界节点上未知值的代数方程。解出边界上的未知值后就可以利用边界积分方程来获得内部任一点的被求函数之值。边界元法的最大优点是，可以使求解问题的空间维数降低一阶，从而使计算工作量及所需计算机容量大大减小。边界元法推广应用的一个最大限制是，需要已知所求解偏微分方程的格林函数基本解。虽然对不少偏微分方程这种基本解业已找出，但对Navier-Stoles方程这样的非线性偏微分方程，至今尚未找到其基本解。目前的一种处理方式是，把Navier-Stokes方程中的非线性项看作是扩散方程的源项并通过迭代的方式来求解，但一般只能获得Re较低情形的解。最近文献中采用高阶涡量—流函数方程的边界元方法，已使获得顶盖驱动流稳定解的Re高达10000。 格子—Boltzmann方法(Lattice-Boltzmann method，LBM)格子—Boltzmann方法是基于分子运动论的一种模拟流体流动的数值方法。在上述各种数值方法中，把本质上是离散的介质先假定是连续的，在此基础上建立起了N-S方程，然后又再把它离散化。在LBM中不再基于连续介质的假设，而是把流体看成是许多只有质量没有体积的微粒所组成，这些微粒可以向空间若干个方向任意运动。通过其质量、动量守恒的