函数的极值和最值
【考纲要求】
1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.
3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值
4.会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】
【考点梳理】
要点一、函数的极值
函数的极值的定义
一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义，
（1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作
)(0x f y =极大值；
（2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记
作)(0x f y =极小值.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
要点诠释：
求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数)(x f '；
③求方程0)(='x f 的根；
④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点二、函数的最值
1.函数的最大值与最小值定理
若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1
()(0)f x x x
=
>. 要点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：
若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在
],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '；
（2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；
（3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，
)(b f ；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.
【典型例题】
类型一：利用导数解决函数的极值等问题
例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程；
【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈
因为1)(-=x x f 在处取得极值
所以'(1)3630f m -=--=
所以3m =。
又(1)3,'(1)12f f ==
所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=-
即1290x y --=.
举一反三：
【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；
(2)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+．
【解析】（1）由()22,x f x e x a x =-+∈R 知()2,x f x e x '=-∈R ．
令()0f x '=，得ln 2x =．于是当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
故()f x 的单调递减区间是(,ln 2)-∞，单调递增区间是(ln 2,)+∞，
()ln 2f x x =在处取得极小值，极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f e a a =-+=-+
(2)证明：设2()21x g x e x ax =-+-，x ∈R
于是()22x g x e x a '=-+，x ∈R
由(1)知当ln 21a >-时，()g x '最小值为(ln 2)2(1ln 2)0.g a '=-+>
于是对任意x ∈R ，都有()0g x '>，所以()g x 在R 内单调递增．
于是当ln 21a >-时，对任意(0,)x ∈+∞，都有()(0)g x g >．
而(0)0g =，从而对任意(0,),()0x g x ∈+∞>．
即2210x e x ax -+->，故221x e x ax >-+．
【变式2】函数()f x 的定义域为区间（a ，b ），导函数'()f x 在（a ，b ）内的图如图所示，则函数()f x 在（a ，b ）内的极小值有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】由极小值的定义，只有点B 是函数()f x 的极小值点，故选A 。
类型二：利用导数解决函数的最值问题
【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题三】
例2.已知函数2()(),x f x x mx m e =-+其中m R ∈。
（1）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；
（2）当0m <时，求函数()f x 的单调区间；并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。
【解析】（1）因为函数()f x 存在零点，则20x mx m -+=有实根，
240m m ?=-≥，即04m m ≤≥或
（2）当0m <时，函数定义域为R
由()0f x '=，则02x x m ==-或
由()0f x '>，则02x x m ><-或
由()0f x '<，则20m x -<<
列表如下：
+
0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以()f x 在(,2)m -∞-，(0,)+∞上单调增，在(2,0)m -上单调减。
又知当2x m <-→-∞且时，()0f x >；0x >→+∞且时，()0f x >；
而(0)0f m =<，所以()f x 存在最小值(0)f m =.
举一反三：
【变式】已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.
(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;
(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.
【解析】(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,
则()2f x ax '=,12k a =,
3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,
∴23a b =+①
又(1)1f a =+,(1)1g b =+,
∴11a b +=+,即a b =,
代入①式可得:3
3a b =??
=?
. (2)24a b =,
∴设3221
()()()14
h x f x g x x ax a x =+=+++
则221()324
h x x ax a '=++,令()0h x '=,
解得:12
a x =-,26
a x =-;
0a >,∴26
a a
-<-,
∴原函数在2a ??-∞- ??
?
，单调递增,在2
6a a ??-- ???
，单调递减,在6
a ??
-+∞ ???
，上单调递增
①若12a --≤,即02a <≤时,最大值为2
(1)4a
h a -=-;
②若12
6
a a -<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ??
-= ???
③若16
a --≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ??-= ???
.
综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ??-= ???
.
例3.设3211
()232
f x x x ax =-++．
（Ⅰ）若()f x 在(,2
+∞3
）上存在单调递增区间，求a 的取值范围；
（Ⅱ）当02a <<时，()f x 在[1，4]上的最小值为16
3
-
，求()f x 在该区间上的最大值． 【解析】（Ⅰ）由2
2
11()2224f x x x a x a ?
?'=-++=--++ ??
?．
当2,3x ??∈+∞????时，()f x '的最大值为22
239
f a ??'=+ ???；
令2209a +>，得1
9
a >-，
所以，当19a >-时，()f x 在2,3??
+∞ ???
上存在单调递增区间．
（Ⅱ）令()0f x '=，得两根112x =
212
x =． 所以()f x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增．
当02a <<时，有1214x x <<<，
所以()f x 在[1，4]上的最大值为2()f x ．
又27
(4)(1)602
f f a -=-
+<，即(4)(1)f f <， 所以()f x 在[1，4]上的最小值为4016(4)833
f a =-
=-， 得1a =，22x =，从而()f x 在[1，4]上的最大值为10
(2)3
f =
． 举一反三：
【变式1】设函数22()log (1)log (1)(01),f x x x x x x =+--<<求)(x f 的最小值;
【解析】函数f （x ）的定义域为（0，1）
令1'()02
f x x ==
得 当102x <<
时，'()0f x <, ∴()f x 在区间1
(0,)2
是减函数； 当
112x <<时，'()0f x >, ∴()f x 在区间1
(,1)2
是增函数. ∴()f x 在12x =
时取得最小值且最小值为1
()12
f =-. 【变式2】已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－
2
3
与x ＝1时都取得极值 （1）求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间
（2）若对x?〔－1，2〕，不等式f （x ）?c 2恒成立，求c 的取值范围。
【解析】（1）f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f?（x ）＝3x 2＋2ax ＋b
由f?（
2
3
－）＝
124
a b0
93
－＋＝，f?（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝
1
2
－，b＝－2
f?（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
所以函数f（x）的递增区间是（－?，－2
3
）与（1，＋?），递减区间是（－
2
3
，1）
（2）f（x）＝x3－1
2
x2－2x＋c，x?〔－1，2〕，
当x＝－2
3
时，f（x）＝
22
27
＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大
值。
要使f（x）?c2（x?〔－1，2〕）恒成立，只需c2?f（2）＝2＋c，
解得c?－1或c?2。
类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用
例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆
柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为
803
π
立方米，且2l r ≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c >千元．设该容器的建造费用为y 千元．
(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r ．
【解析】(1)设容器的容积为V ，
由题意知2343
V r l r ππ=+，又803V π
=，
故3
22
24
804420333
3V r l r r r r r ππ-??
==-=- ???
． 由于2l r ≥，因此02r <≤．
所以建造费用2224202342343y rl r c r r r c r ππππ??
=?+=?-?+ ???
，
因此21604(2)y c r r
π
π=-+
，02r <≤． (2)由(1)得322
1608(2)208(2)2c y c r r r r c πππ-??
'=--
=- ?-?
?，02r <<． 由于3c >，所以20c ->，
当32002r c -
=-
时，r =
m =，则m ＞0， 所以22
2
8(2)()()c y r m r rm m r
π-'=
-++． ①当02m <<即9
2
c >
时， 当r m =时，0y '=；
当(0,)r m ∈时，0y '<；
当(,2)r m ∈时，0y '>，
所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点．
②当2m ≥即9
32
c <≤
时，当(0,2)r ∈时，0y '<函数单调递减， 所以r=2是函数y 的最小值点，
综上所述，当9
32
c <≤
时，建造费用最小时2r =，
当92c >
时，建造费用最小时r =
函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么．
二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论：
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试卷难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值. 例1 已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ） A ．11或18 B ．11 C ．18 D ．17或18 【答案】C 【解读】
试卷分析：b ax x x f ++='23)(2,???=+++=++∴1010232 a b a b a ???-==????=----=?114012232b a a a a b 或???=-=33 b a ．当???=-=3 3 b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值． 当???-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以???-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （ ） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解读】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解读】 试卷分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为
导数的应用二------函数的极值与最值 【学习目标】 1. 理解极值的概念和极值点的意义。 2. 会用导数求函数的极大值、极小值。 3. 会求闭区间上函数的最大值、最小值。 4. 掌握函数极值与最值的简单应用。 【要点梳理】 要点一、函数的极值 （一）函数的极值的定义： 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 由函数的极值定义可知： （1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x 0及其附近有定义，否则无从比较. （2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值. （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. （二）用导数求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；
函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值
续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值；
第3章 导数的应用 函数的极值与最值 【教学目的】： 1. 理解函数的极值的概念； 2. 掌握求函数的极值的方法； 3. 了解最大值和最小值的定义； 4. 掌握求函数的最值的方法； 5. 会求简单实际问题中的最值。 【教学重点】： 1. 函数极值的第一充分条件，第二充分条件； 2. 导数不存在情况下极值的判定； 3. 函数最值的求解方法； 4. 函数的最值的应用。 【教学难点】： 1. 导数不存在情况下极值的判定； 2. 区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点； 3. 区分极值点与极值，最值点与最值； 4. 函数的最值的应用。 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 3.3.1函数的极值 从图3-7可以看出，函数)(x f y =在点2x 、5x 处的函数值2y 、5y 比它们近旁各点的函数值都大；在点1x 、4x 、6x 处的函数值1y 、4y 、6y 比它们近旁各点的函数值都小，因此，给出函数极值的如下定义： 一般地， 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若对 于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有)()(0x f x f <，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大值，0x 称为极大值点；若对于0x 邻域内不同于0x 的所有x ，均有 )()(0x f x f >，则称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极小值，0x 称为极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 注意 可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点. 极值的第一充分条件 设函数)(x f y =在点0x 的邻域内可导且0)(0='x f ，则 （1）如果当x 取0x 左侧邻近的值时，0)(0>'x f ；当x 取0x 右侧邻近的值时， 图3-7 y O x a 1 x 2 x 3x 4x 5 x b
【巩固练习】 一、选择题 1．（2015 天津校级模拟）设函数2 ()ln f x x x =+，则（ ） A.1 2x = 为()f x 的极小值点 B. 2x =为()f x 的极大值点 C. 1 2 x =为()f x 的极大值点 D.2x =为()f x 的极小值点 2．函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和 1 3 ，则( ) A ．a －2b ＝0 B ．2a －b ＝0 C ．2a ＋b ＝0 D ．a ＋2b ＝0 3．函数y ＝2 3 x ＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．173- B ．10 3 - C ．－4 D ．643- 4．连续函数f (x )的导函数为f ′(x )，若(x ＋1)·f ′(x )>0，则下列结论中正确的是( ) A ．x ＝－1一定是函数f (x )的极大值点 B ．x ＝－1一定是函数f (x )的极小值点 C ．x ＝－1不是函数f (x )的极值点 D ．x ＝－1不一定是函数f (x )的极值点 5．（2015 金家庄区校级模拟）若函数32()132x a f x x x = -++ 在区间1,43?? ??? 上有极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A.102, 3?? ??? B. 102,3?????? C. 1017,34?? ??? D. 172,4?? ??? 6．已知函数y=―x 2―2x+3在区间[a ，2]上的最大值为 15 4 ，则a 等于（ ） A ．32- B ．12 C ．12- D ．12或32 - 7．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是( ) A ．－13 B ．－15 C ．10 D ．15 二、填空题 8．函数y=x+2cosx 在区间1 [ ,1]2 上的最大值是________ 。 9. 若f(x)=x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是__ _。 10．f （x ）= 1+3sin x + 4cos x 取得最大值时，tan x = 11．设函数3 ()31(R)f x ax x x =-+∈，若对于任意x ∈[－1，1]，都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为________。
第2课时 导数与函数的极值、最值 一、选择题 1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝ln(－x ) C ．y ＝x e －x D ．y ＝x ＋2 x 解析 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，D 选项中的函数既为奇函数又存在极值． 答案 D 2．(2017·石家庄质检)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，若t ＝ab ，则t 的最大值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 解析 f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，则a ＋b ＝6， 又a >0，b >0，则t ＝ab ≤? ????a ＋b 22 ＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 答案 D 3．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ? ???? a >12，当x ∈(－2,0)时， f (x )的最小值为1，则a 的值等于 ( ) A.14 B.13 C.1 2 D ．1 解析 由题意知，当x ∈(0,2)时，f (x )的最大值为－1. 令f ′(x )＝1x －a ＝0，得x ＝1 a ， 当0
∴f (x )max ＝f ? ???? 1a ＝－ln a －1＝－1，解得a ＝1. 答案 D 4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－1,2) B ．(－∞，－3)∪(6，＋∞) C ．(－3,6) D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 由已知可得f ′(x )＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0， ∴a >6或a <－3. 答案 B 5．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图像不可能为y ＝f (x )图像的是 ( ) 解析 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 答案 D 二、填空题 6．(2017·咸阳模拟)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝________.
利用导数研究函数的极值和最值问题 １．利用导数研究函数的极值的一般步骤： （１）确定函数的定义域． （２）求)(x f '． （３）①若求极值，则先求方程 0)(='x f 的全部实根，再检验)(x f '在方程根的左右两侧值的符号，求出极值．（当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内） ②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 0)(='x f 的根的大小或存在情况，从而求解． ２．求连续函数)(x f y =在[]b a , 上的最大值与最小值的步骤： （１）求函数 )(x f y =在()b a ,内的极值； （２）将函数 )(x f y =的各极值与端点处的函数值 )(a f ， )(b f 比较，其中最大的一个 是最大值，最小的一个是最小值. 例1.(2018北京,18,13分)设函数()[] x e a x a ax x f 3414)(2+++-=. (1)若曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行,求a ; (2)若)(x f 在2=x 处取得极小值,求a 的取值范围. 解析 (1)因为()[] x e a x a ax x f 3414)(2+++-=, 所以()[] x e x a ax x f 212)(2++-='，()e a f -='1)1(. 由题设知f '(1)=0,即()01=-e a ,解得1=a . 此时03)1(≠=e f .所以a 的值为1.
(2)由(1)得()[] ()()x x e x ax e x a ax x f 21212)(2--=++-='. 若21>a ,则当?? ? ??∈2,1a x 时0)(<'x f ; 当()+∞∈,2x 时,0)(>'x f .所以)(x f 在2=x 处取得极小值. 若21'x f , 所以2不是)(x f 的极小值点. 综上可知,a 的取值范围是?? ? ??∞+，21 。 方法总结：函数极值问题的常见类型及解题策略 (1)已知导函数图象判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧导数的符号. (2)已知函数求极值.求f '(x)→求方程f '(x)=0的根→列表检验f '(x)在f '(x)=0的根的附近两侧的符号→下结论. (3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f '(x0)=0,且在该点左、右两侧导数值的符号相反. 例2.(2017北京,19,13分)已知函数x x e x f x -=cos )(. (1)求曲线)(x f y =在点())0(,0f 处的切线方程; (2)求函数)(x f 在区间?? ????2,0π上的最大值和最小值. 解析 本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值. (1)因为x x e x f x -=cos )(, 所以()1sin cos )(--='x x e x f x ,0)0(='f .
函数的极值和最值 考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数f (x) 在点x= x0及其附近有定义， (1)若对于x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，则f(x0)是函数f (x)的一个极大值，记作y极大值= f (x0) ； (2 )若对x0附近的所有点，都有f (x) f(x0)，则f(x0)是函数f(x) 的一个极小值，记作y极小值= f (x0). 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f(x) ； ③求方程f(x)=0的根； ④检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则 f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数y= f(x)在闭区间［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］上必有最大值和最小值；在开区间(a,b)内连续的函数f (x)不一定有最大值与最小值.如f(x)=1(x0). x 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数y= f (x)在闭区间［a,b］有定义，在开区间(a,b)内有导数，则求函数y = f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的步骤如下： (1)求函数f (x)在(a,b)内的导数f(x)； (2)求方程f(x)=0在(a,b) 内的根； (3)求在(a,b)内使f(x) = 0的所有点的函数值和f (x)在闭区间端点处的函数值f(a)，f(b)； (4)比较上面所求的值，其中最大者为函数y = f (x)在闭区间［a,b］上的最大值，最小者为函数y = f (x)在闭区间［a,b］上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例 1.已知函数f(x)=mx3+3x2-3x,m R.若函数f (x)在x = -1处取得极值，试求m的值，并求f (x)在点M(1, f (1))处的切线方程； 【解析】f '(x) = 3mx2+6x -3,m R. 因为f (x)在x = -1处取得极值 所以f'(-1)=3m-6-3=0 所以m=3。 又f (1)= 3, f '(1)= 12 所以f (x)在点M (1, f (1))处的切线方程y -3 =12(x -1) 即12x-y-9=0. 举一反三： 【变式1】设a为实数，函数f (x)=e x -2x+2a,x R． (1)求f( x) 的单调区间与极值； (2)求证：当a ln2-1且x0时，e x x2-2ax+1． 解析】(1)由f(x)=e x-2x+2a,x R知f(x)=e x -2,x R． 令f(x) = 0 ，得x = ln 2 ．于是当x变化时，f(x), f (x)的变化情况如下表：
二元函数的极值与最值解读
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二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点,现对二元函数的极值与最值的求法总结如下: １．二元函数的无条件极值 (1） 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点;对于驻点可用极值的充分条件判定。 （2）二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ,0),('00=y x f y ,即),(00y x 是驻点。 (3） 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ,令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00， C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值; 当02<-AC B 且A>0,f ),(00y x 为极小值； 02>-AC B 时,),(00y x 不是极值点。 注意: 当B 2－AC = ０时，函数z = f （ｘ, ｙ)在点),(00y x 可能有极值,也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数ｚ = x 3 + y ２ -２ｘy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点,先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数: y x x z 232 -=??,x y y z 22-=??.x x z 622=??， 22-=???y x z , 22 2=??y z . 再求函数的驻点.令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-.022,0232x y y x 求得驻点(0，０)、），（3 2 32. 利用定理2对驻点进行讨论：
第6讲 函数的极值与最值 一．基础知识回顾 1．极大值点与极大值：如图，在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于或等于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值． 2．极小值点与极小值：如图，在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于或等于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值． 3．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是增加的，在区间(x 0，b )上是减少的，则x 0是极大值点，f (x 0)是极大值；如果函数y ＝f (x )在区间(a ，x 0)上是减少的，在区间(x 0，b )上是增加的，则x 0是极小值点，f (x 0)是极小值. 4．函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值如图，函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值，函数 的最值必在端点处或极值点处取得． 5．求函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值，(2)将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二．问题探究 探究点一：函数的极值与导数的关系 例1：求函数f (x )＝x 3－3x 2 －9x ＋5的极值与极值点． 解：f ′(x )＝3x 2－6x －9. 解方程3x 2－6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3. 当x 变化时，f ′(x )， 有极小值f (3)＝－22，x ＝3是极小值点． 跟踪训练1：求函数f (x )＝3 x ＋3ln x 的极值与极值点． 解：函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋≦)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝ 3x －1x 2 .令f ′(x ) 因此当＝1时，()有极小值(1)＝3.＝1是极小值点． 探究点二：利用函数极值确定参数的值 例2：已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2 在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值．
高考数学导数与函数的极值、最值 最新考纲了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 知识梳理 1.函数的极值与导数 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续且f′(x0)＝0， ①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)≤0，右侧f′(x)≥0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 2.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)设函数f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的.() (2)函数的极大值不一定比极小值大.()
(3)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0点为极值点的充要条件.( ) (4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)函数在某区间上或定义域内的极大值不唯一.(3)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导数符号异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.函数f (x )＝－x 3＋3x ＋1有( ) A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2 D.极小值－1，极大值3 解析 因为f (x )＝－x 3＋3x ＋1，故有y ′＝－3x 2＋3，令y ′＝－3x 2＋3＝0，解得x ＝±1， 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： 答案 D 3.(选修2－2P32A4改编)如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案 A 4.函数y ＝2x 3－2x 2在区间[－1，2]上的最大值是________. 解析 y ′＝6x 2－4x ，令y ′＝0，得x ＝0或x ＝23. ∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ? ???? 23＝－827，f (2)＝8, 所以最大值为8. 答案 8 5.函数f (x )＝ln x －ax 在x ＝1处有极值，则常数a ＝________.
第四节函数的极值与最值 复习目标 学法指导 了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间;理解极大值、极小值的概念,能利用单调性探究极值与导数间的关系.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次);掌握求函数在闭区间上的最大值、最小值的一般方法(其中多项式函数不超过三次). 1.熟练掌握极值、最值的概念是求极值、最值的基础. 2.求函数极值时,尽可能列出自变量x变化时,导数f′(x)与函数f(x)的变化情况表,这样求解直观、不易出错. 一、函数的极值与导数 1.函数极小值的概念 (1)函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小; (2)f′(a)=0; (3)在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0;则点x=a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
2.函数极大值的概念 (1)函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大; (2)f′(b)=0; (3)在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0;则点x=b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值;极小值点与极大值点统称为极值点,极小值与极大值统称为极值. 二、函数的最值与导数 求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤: (1)求y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 1.概念理解 (1)极值是一个局部性概念,反映的是函数在某个点附近的大小情况,并不意味它在函数的整个定义域内最大或最小; 最值是一个整体性的概念,函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得出的. (2)函数的极值点一定出现在区间内部,区间的端点不能成为极值点;连续函数在某一个闭区间上的最值必在极值点或区间端点处取得. (3)函数的极值个数不确定,而函数在某一闭区间上,最大值和最小值是唯一的.
第6讲函数的极值与最值 一．基础知识回顾 1．极大值点与极大值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值 x 0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的， 其函数值f(x0)为函数的． 2．极小值点与极小值：如图，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y ＝f(x)在任何一点的函数 x0点的函数值，称点x0为函数y＝ f(x)的，其函数值f(x0)为函数的． 3．如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是，f(x0)是；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0， b)上是增加的，则x0是，f(x0)是 . 4．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值如图，函数f(x)在闭区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数 的最值必在处或处取得． 5．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝ f(x)在(a，b)内的，(2)将函数y＝f(x)的各极值与的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是，最小的一个是． 二．问题探究 探究点一：函数的极值与导数的关系 例1：求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值与极值点． 跟踪训练1：求函数f(x)＝3 x ＋3ln x的极值与极值点． 探究点二：利用函数极值确定参数的值 例2：已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．跟踪训练2：设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极 值点． (1)试确定常数a和b的值； (2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．