. .
一、数列
1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.
⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规
律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列．
⑵在数列中同一个数可以重复出现．
⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念．
⑷数列可以看作一个定义域为正整数集( 或它的有限子集) 的函数当自变量从小到大依
次取值
时对
应的一列函数值，但函数不一定是数列
2. 通项公式：如果数列a n 的第n项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫
做这
个数列的通项
公式，即 a f (n)
n .
3.递推公式：如果已知数列a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项
a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f (a n 1 ) 或a n f (a n 1,a n 2) ，
n 1
那么这
个式子叫做数列a的递推公式. 如数列a n 中，a1 1, a n 2 a n 1 ，其中
n
a n 2a n 1是数列a n 的递推公式.
4. 数列的前n项和与通项的公式
①S n a1 a2 a ；②
n
S (n 1)
1
a n .
S S (n 2)
n n 1
5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.
6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.
①递增数列:对于任何n N , 均有a n 1 a n .
②递减数列:对于任何n N , 均有a n 1 a n .
③摆动数列: 例如: 1,1 ,1, 1, 1, .
④常数数列: 例如:6,6,6,6, ⋯⋯.
⑤有界数列: 存在正数M 使a n M ,n N .
⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项a使得a n M .
n
1、已知
n
*
a 2 (n N )
n
n 156
，则
在数列{ }
a 的最大项为__（答：
n
1
25
）；
an
2、数列{ } a n ，其中a,b 均为正数，则a n 与a n 1 的大小关系为___（答：
a 的通项为
n
bn 1
a a n 1）；
n
2
3、已知数列{ a } 中， a 是递增数列，求实数的取值范围（答：3）；
a n n ，且{ }
n n n
4、一给定函数y f (x)的图象在下列图中，并且对任意 a ( 0,1) ，由关系式a n 1 f (a n )
1
*
得到的数列{ }
a满足a n 1 a n (n N ) ，则该函数的图象是（）（答：A）
n
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. .
二、等差数列
1、等差数列的定义：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，
那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即
a n n 且.( 或a n 1 a n d(n N*) ).
1 d(n N*,n
2)
a
2、（1）等差数列的判断方法：
①定义法：a n 1 a n d(常数) a n 为等差数列。
②中项法：2a n 1 a n a n 2 a n 为等差数列。
③通项公式法：a n an b （a,b 为常数）a n 为等差数列。
2 （A,B 为常数）a n 为等差数列。
④前n项和公式法：
s n An Bn
如设{ a } 是等差数列，求证：以b
n= n a1 a2 a n
n
n N * 为通项公式的数列{ b } 为
n
等差数列。
（2）等差数列的通项：a a n d 或a n a m (n m)d 。公式变形为: a n an
b .
n
1 ( 1)
其中a=d, b= a1
－d.
如1、等差数列{a } 中，a10 30 ，a20 50，则通项a n （答：2n 10）；
n
2、首项为-24 的等差数列，从第10 项起开始为正数，则公差的取值范围是______
（答：
8
3
d 3）
n(a a ) n(n 1)
（3）等差数列的前n 和： 1
n
S ，S na1 d 。公式变形为：
n n
2 2
s n 2
An Bn
d
，其中A= 2
d
1 , a n , s
a . 注意：已知n,d, a
，B=
n 中的三者可以求
1
2
另两者，即所谓的“知三求二”。
如数列{ a } 中，
n
1
*
a a (n 2,n N ) ，
n n 1
3
a ，前n 项和
n
15
S ，则
n
2 2 2
a ＝＿，n ＝＿（答：a1 3，n 10）；（2）已知数列{ }
a 的前n 项和
1 n
2
S 12n n ，n
求数列{| a |} 的前n 项和T n （答：
n T
n
2 *
12n n (n 6,n N )
2 *
n 12n 72( n6,n N )
）.
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. .
（4）等差中项： 若 a, A,b 成等差数列，则A 叫做 a 与 b 的等差中项，且 a b A 。
2
提醒 ：（1）等差数列的通项公式及前
n 和公式中， 涉及到 5 个元素：
a 、 d 、n 、 a n 及
1
S ，其中 a 1、 d 称作为基本元素。 只要已知这
5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个， n
即知 3 求 2。（ 2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为⋯ ，
a 2d,a d ,a,a d , a 2d ⋯
（ 公 差为
d ）； 偶 数 个 数 成 等 差 ， 可设为⋯ ，
a 3d, a d ,a d ,a 3d , ⋯ （公差为2d ）
3. 等差数列的性质：
（1）当公差 d
0时，等差数列的通项公式
a a
n d dn a d 是关于 n 的一
n
1
(
1)
1
次函数， 且斜率为公差
d ；前 n 和
n(n 1) d
d
2
S
na
d n
(a
)n 是关于 n 的二次 n
1
1
2
2
2
函数且常数项为0. 等差数列 {a n } 中，
S n
n
S n n
是 n 的一次函数， 且点（n ，
）均在直线y =
d 2
x
d + (a 1 －
2
) 上
（2）若公差
d 0，则为递增等差数列，若公差 d 0 ，则为递减等差数列，若公差
d 0，则为常数列。
（3）对称性：若 a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之
和 . 当 m
n p q 时
,则有 a m
a
a
a ， 特别地 ， 当 m n 2p 时，则有
n
p
q
a
a
2a .
m
n
p
如 1、 等差数列 { a } 中， S n
18, a n a n 1 a n
2
3, S 3 1，则n ＝ ____（答： 27）；
n
2、 在等差数列 a 中， a 10
0, a 11
0 ，且 a 11 | a 10 | ， S n 是其前 n 项和，则A 、
n
S 1,S 2
S 10 都小于 0， S 11,S 12
都大于 0
B 、 S 1 ,S 2
S 19 都小于 0， S 20 ,S 21
都大于
C 、 S 1, S 2 S 5 都小于 0， S 6, S 7
都大于 0
D 、 S 1, S 2 S 20 都小于 0， S 21, S 22
都大于 0 （答： B ）
(4)项数成等差 ,则相应的项也成等差数列
. 即 a k , k m , k
m ,...(
, *) 成等差 . 若 a
a
2
k m N
*
{ a n } 、{b n } 是等差数列，则{ ka n } 、{ ka n
pb n } ( k 、p 是非零常数 ) 、{a p nq }( p,q N )、
2 ）．，⋯也成等差数列，而{ a }
S ,S S , S S （公差为n d a 成等比数列；若{ a n} 是
n
n 2n n 3n2n
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. .
等比数列，且0
a ，则{lg a n} 是等差数列.
n
如等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为。（答：225）
（5）在等差数列{ a } 中，当项数为偶数2n 时，s ( ) ；s s nd
n
奇
n n
1
s 1
偶
a
n
s 奇a
n
.
项数为奇数2n 1时，s2 n 1 (2n 1) a n ；s s a1
偶；
奇s 1 偶
n
s
奇
n
。
如1、在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）；
2、项数为奇数的等差数列{ a } 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的
n
中间项与项数（答：5；31）.
（6）单调性：设 d 为等差数列a n 的公差，则
d>0 a n 是递增数列；d<0 a n 是递减数列；d=0 a n 是常数数列
A
(7) 若等差数列{ a } 、{b n} 的前n 和分别为A n 、B n ，且( )
n
f n
n
B
n
，则
a (2n 1)a A
n n 2n 1
b (2n 1)b B
n n 2n 1
f (2n 1) .
如设{ a } 与{ b n } 是两个等差数列，它们的前n 项和分别为S n 和T n ，若n
S 3n 1
n ，那么T 4n 3
n a
n
b
n
___________（答： 6 2
n
8n 7
）
（8）设a l ，a m ，a n 为等差数列中的三项，且a l 与a m ，a m 与a n 的项距差之比l
m
m
n
=
（≠－1），则a m = a l a
n
1
．
（9）在等差数列{ a n } 中，S n = a ，S m = b (n ＞m)，则S m n = n
n
m
m
(a －b) ．
8、已知a n 成等差数列，求s n 的最值问题：
①
若a 0 ,d<0 且满足
1 a
a
0,
n , 则
s n 最大；
n 1
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. .
②若a 0 ,d>0 且满足
1 a
a
n , 则
s n 最小.
0,
n 1
“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等
差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组a
n
a
n
0 a
n
或
0 a
1 n
1
确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前n 项是关于n 的二次函数，故可转
化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性*
n N 。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？
如1、等差数列{a } 中，
n a1 25，S S ，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
9 17
（答：前13 项和最大，最大值为169）；
2、若{a } 是等差数列，首项
n
a1 0, a2003 a2004 0 ，
a2003 a2004 0，则使前n 项和S n 0 成立的最大正整数n 是（答：4006）
(10) 如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，
且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究a b .
n m
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. .
三、等比数列
1、等比数列的有关概念：如果数列a n 从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常
a
n （或数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即( * , 2)
q N
n n
a
n 1
a n a
n 1
q n )
( *
N
a
为常数），其中q 0, a n 0 或
2、等比数列的判断方法：定义法n 1 (
q q
a
n a a n 1 n a a
n n
1
(n 2) 。
如1、一个等比数列{ a}共有2n 1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n
1
n
为____（答：5
6 ）；
2、数列{ }
a 中，S n =4 a n 1 +1 ( n 2) 且a1 =1，若
b n a n 1 2a n ，求证：数列｛b n ｝
n
是等比数列。
3、等比数列的通项： 1
n
a a q 或
n 1
n m
a a q 。n m
如设等比数列{ }
a 中，a1 a n 66 ，a2a n 1 128，前n 项和S n ＝126，求n 和公比
n
q. （答：n 6，
1
q 或2）
2
4、等比数列的前n 和：当q 1时，S na ；当q 1时，
n 1 S
n
n
a q
1(1 )
1 q
a a q
1 n
1 q
。
如等比数列中，q＝2，S
99=77，求a3 a a （答：44）
6 99
提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为 1 时，要对
q分q 1和q 1两种情形讨论求解。
5、等比中项：如果a、G、b 三个数成等比数列，那么G叫做 a 与b 的等比中项，即G= ab .
提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab 。如已知两个正数a, b(a b)的等差中项为A，等比中项为B，则 A 与 B 的大小关系为______（答：A＞B）
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. .
提醒：（1）等比数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到 5 个元素： a 、q、n 、a n
1
及S，其中a1 、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 n
个，即知 3 求2；（2）为
减少运算量，要注意设
元的技巧，如奇数个数成等比，可设
为
⋯，
a a
2 2 , ,a,aq ,aq q q ⋯（公比为q）；但偶数个数成等比时，不能设为⋯
a a
3 , , aq,aq
q q
3 ，
⋯，
因公比不一定为
正数，只有公比为正时
才可如此设
，且公比为 2
q 。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为
12，求此四个数。（答：15，,9 ，3,1 或0,4 ，8,16 ）
6、等比数列的性质：
（1）对
称性：若a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.
即当m n p q时，则有a m .a n a p.a q ，特别地，当m n 2 p时，则有
2 a m .a n a p .
如1 、在等比数列{ }
a 中，a3 a8 124, a4a7 512 ，公比q 是整数，则a10 =___（答：
n
512）；
2、各项均为正数的等比数列{a } 中，若
n a5 a6 9 ，则l og a log a log a
3 1 3 2 3 10
（答：10）。
(2) 若{ a n } 是公比为q的等比数列，则{| a n |} 、{a 2
n } 、{ka n } 、{ 1
a
n
} 也是等比数
列，其公比分别
为| q |} 、{q 2} 、{q} 、{
1
q
a
n } 。若{ } { }
a 、
b 成等比数列，则{ a n b n} 、{ }
n n
b
n
成等比数列；若{ }
a 是等比数列，且公比q 1，则数列S n, S2n S n ,S3n S2n ，⋯也
n
是等比数列。当q 1，且n为偶数时，数列S , S S , S S ，⋯是常数数列
0，
n 2n n 3n2n
它不是等比数列. 若a n 是等比数列，且各项均为正数，则l og a a n 成等差数列。若项数
为3n 的等比数列(q ≠－1) 前n项
和与前n项
积
分
别
为S1与T1 ，次n项和与次n项积分别
为S
2 与T 2 ，最后n项和与n项积分别为S
3 与T3 ，则S1 ，S2 ，S3 成等比数列，T1 ，T2 ，
T 3 亦成等比数列
如 1 、已知a 0 且a 1 ，设数列{x }满足
n l og a x n 1 l o a x g n(n N * )，且
1
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. .
x1 x2 x100 100 ，则x x x . （答：
101 102 200
100 100a ）；
2、在等比数列{ }
a 中，S n 为其前n 项和，若S30 1 3S10 , S10 S30 140 ，则S20
n
的值为______（答：40）
(3) 单调性：若a1 0,q 1，或a1 0,0 q 1 则{ a n} 为递增数列；若a1 0,q 1 , 或a1 0,0 q 1 则{ a n} 为递减数列；若q 0 ，则{ a n} 为摆动数列；若q 1，则{ a n} 为常数列.
a a
1 n 1 n ，这里a b 0，但a 0,b 0 ，
(4) 当q 1时，aq b
S q
n 1 1
q q
这是等比数列前n项和公式的一个特征，据此很容易根据S ，判断数列{ a n} 是否为等比数
n
n
列。如若{a } 是等比数列，且S 3 r ，则r ＝（答：－1）
n n
(5) m n
S S q S S q S . 如设等比数列{a n } 的公比为q ，前n 项和为S n ，m n m n n m
若S S S 成等差数列，则q的值为_____（答：－
2）
1, , 2S S S 成等差数列，则q的值为
_____（答：－2）
n n n
(6) 在等比数列{ a } 中，当项数为偶数2n时，S偶qS奇；项数为奇数2n 1时，
n
S奇 a qS偶.
1
(7) 如果数列{ }
a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{a n} 是非零常数数列，故常数
n
数列{a } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。
n
如设数列a n 的前n 项和为S n （n N），关于数列a n 有下列三个命题：①若
2 ，
a n ( ，则a n 既是等差数列又是等比数列；②若S n a n
b n a、b R
a 1 n N
)
n
则a n 是等差数列；③若n
S 1 1 ，则a n 是等比数列。这些命题中，真命题的序号
n
是（答：②③）
⑧等差数列中，S m+n=S m+S n+mnd；等比数列中，S m+n=S n+q m=S m+q
n S m S
n；
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. .
点突破
四、难
1．并不是所有的数列都有通项公式，一个数列有通项公式在形式上也不一定唯一．已
公式更不是唯一的．
个数列的通项
知一个数列的前几项，这
2．等差( 比) 数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项
都确实存
的差( 比) 等于同一个常数”．这
了使每一项与它前面一项
起”是为
里的“从第2项
．所以，一个数列是等差( 比) 数列的必要非充
至少含有3项
在，而“同一个常数”则
是保证
．
个数列至少含有3项
分条件是这
3．数列的表示方法应注意的两个问题：⑴{ a n } 与a n 是不同的，前者表示数列a1 ，
a 2 ，⋯，a n ，⋯，而后者仅表示这个数列的第n项；⑵数列a1，a 2 ，⋯，a n ，⋯，与集
合{ a 1 ，a 2 ，⋯，a n ，⋯，} 不同，差别有两点：数列是一列有序排布的数，而集合是一
序性．
序性，而集合的元素间没有顺
的整体；数列的项有明确的顺
个有确定范围
4．注意设元的技巧时，等比数列的奇数个项与偶数个项有区别，即：
⑴对连续奇数个项的等比数列，若已知其积为S，则通常设⋯，aq 2 ，aq 1 ，a ，aq，
2
aq
，⋯；
3 1 3
⑵对连续偶数个项同号．．的等比数列，若已知其积为S，则通常设⋯，aq
，aq ，aq ，aq
，
⋯．5．一个数列为等比数列的必要条件是该数列各项均不为0，因此，在研究等比数列时，
要注意 a n≠0，因为当 a n = 0时，虽有 a 2
n = a n 1 · a n 1 成立，但{a n } 不是等比数列，即“b 2 = a ·c”是a、b、c 成等比数列的必要非充分条件；对比等差数列{a n } ，“2b = a + c”是a、b、c 成等差数列的充要条件，这一点同学们要分清．
6．由等比数列定义知，等比数列各项均不为0，因此，判断一数列是否成等比数列，
思想，需分分q = 1
含着分类
讨论
和公式蕴
首先要注意特殊情况“0”．等比数列的前n项
，常常因考虑
不周而出错．
，在具体运用公式时
和q≠1进
讨论
行分类
利的主人。、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛几倍的人依然比你努力。
欢迎您的光临，Word 文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语；1 、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！、现在你不玩命的学，以后命玩你。、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做金钱、权
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一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156 n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为（答：n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）
数列 一、数列的概念 1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数称为该数列的项，记作a n 。排在第一位的项叫第一项（或首项），排在第二位的项叫第二项......，排在第n 位的项叫第n 项。 数列的一般形式：a 1，a 2，a 3，.....，a n ，....简记为{}n a 。 注意：⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”。因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列。 ⑵在数列中同一个数可以重复出现。 ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念。 ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a ，-3，-1, 1，b ，5,7,9 （2）2010年各省参加高考的考生人数。 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 例：（1）1,2,3,4,5，... （2）1，21，31，41，5 1,... 注意：（1）｛a n ｝表示数列，a n 表示数列中的第n 项，)(n f a n =表示数列的通项公式。 （2）同一个数列的通项公式的形式不一定唯一，例如： （3）不是每一个数列都有通项公式。例如：1, 1.4, 1.41, 1.414,..... 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或
高一数学复习考点知识讲解课件 等差数列前n 项和性质的综合问题 考点知识 1.掌握总项数为奇数项或偶数项时前n 项和的特点. 2.掌握含绝对值的等差数列的前n 项和的求法． 一、等差数列中奇、偶项的和 问题1我们知道等差数列前n 项和公式中的n 表示等差数列的项数，你能利用公式表示S 2n ，S 2n －1吗？ 提示S 2n ＝2n (a 1＋a 2n )2＝n (a 1＋a 2n )，S 2n －1 ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2，由等差数列的性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 可知，a 1＋a 2n ＝a n ＋a n ＋1，a 1＋a 2n －1＝2a n ，即S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 2n －1＝(2n －1)a n ，发现总项数为偶数项时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数项时，其和可用中间一项表示． 问题2当总项数为2n 项时，其奇数项和S 奇与偶数项和S 偶有何特点？ 提示S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝n (a 1＋a 2n －1) 2＝na n ， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n ) 2＝na n ＋1， 则有S 偶－S 奇＝na n ＋1－na n ＝n (a n ＋1－a n )＝nd ， S 偶S 奇＝na n ＋1na n ＝a n ＋1a n . 问题3当总项数为2n －1项时，其奇数项和S 奇与偶数项和S 偶有何特点？
提示S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝n (a 1＋a 2n －1) 2＝na n ， S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n －2＝ (n －1)(a 2＋a 2n －2) 2 ＝(n －1)a n ， 则有S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. 知识梳理 1．若等差数列{a n }的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 偶－S 奇＝nd ， S 偶S 奇＝a n ＋1a n . 2．若等差数列{a n }的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)·a n ＋1，S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝n n ＋1. 3．设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1 T 2n －1 . 注意点：(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半． 例1(1)在等差数列{a n }中，S 10＝120，且在这10项中，S 奇S 偶＝11 13 ，则公差d ＝________. 答案2 解析由⎩⎪⎨⎪ ⎧ S 奇＋S 偶＝120，S 奇S 偶＝11 13， 得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＝55，S 偶＝65， 所以S 偶－S 奇＝5d ＝10，所以d ＝2.
. . 一、数列 1. 数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规 律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集( 或它的有限子集) 的函数当自变量从小到大依 次取值 时对 应的一列函数值，但函数不一定是数列 2. 通项公式：如果数列a n 的第n项与序号之间可以用一个式子表示, 那么这个公式叫 做这 个数列的通项 公式，即 a f (n) n . 3.递推公式：如果已知数列a n 的第一项（或前几项），且任何一项a n 与它的前一项 a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即a n f (a n 1 ) 或a n f (a n 1,a n 2) ， n 1 那么这 个式子叫做数列a的递推公式. 如数列a n 中，a1 1, a n 2 a n 1 ，其中 n a n 2a n 1是数列a n 的递推公式. 4. 数列的前n项和与通项的公式 ①S n a1 a2 a ；② n S (n 1) 1 a n . S S (n 2) n n 1 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何n N , 均有a n 1 a n . ②递减数列:对于任何n N , 均有a n 1 a n . ③摆动数列: 例如: 1,1 ,1, 1, 1, . ④常数数列: 例如:6,6,6,6, ⋯⋯. ⑤有界数列: 存在正数M 使a n M ,n N . ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项a使得a n M . n 1、已知 n * a 2 (n N ) n n 156 ，则 在数列{ } a 的最大项为__（答： n 1 25 ）； an 2、数列{ } a n ，其中a,b 均为正数，则a n 与a n 1 的大小关系为___（答： a 的通项为 n bn 1 a a n 1）； n 2 3、已知数列{ a } 中， a 是递增数列，求实数的取值范围（答：3）； a n n ，且{ } n n n 4、一给定函数y f (x)的图象在下列图中，并且对任意 a ( 0,1) ，由关系式a n 1 f (a n ) 1 * 得到的数列{ } a满足a n 1 a n (n N ) ，则该函数的图象是（）（答：A） n
高中数学数列与数学归纳法课件数列是数学中重要的概念之一，它在高中数学课程中占据着重要的地位。而数学归纳法是数学中常用的证明方法之一，它为解决数列及其他数学问题提供了有力的工具。本课件将详细介绍高中数学中的数列概念及数学归纳法，并提供相关例题和习题，帮助学生更好地掌握这两个知识点。 第一部分：数列 1. 什么是数列 数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有限或无限项的集合。数列中的每一项称为数列的项，用a₁, a₂, a₃, … 表示。 2. 等差数列 等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的数列。设首项为a₁，公差为d，那么等差数列的通项公式为an = a₁ + (n-1)d。 例题：求等差数列1, 3, 5, 7, … 的第n项和。 3. 等比数列 等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的数列。设首项为a₁，公比为q，那么等比数列的通项公式为an = a₁ * q^(n-1)。 例题：求等比数列2, 4, 8, 16, … 的第n项和。 4. 通项公式及常见性质
对于数列来说，若知道其通项公式，则可求任意项的值。此外，数 列还有递推公式、求和公式、前n项和等重要概念。 第二部分：数学归纳法 1. 数学归纳法的基本原理 数学归纳法是一种证明方法，常用于证明一个关于自然数的命题。 其基本思想是首先证明当n = 1时命题成立，然后假设当n = k时命题 成立，通过推理证明当n = k+1时命题也成立，从而得出结论命题对于 所有自然数成立。 2. 数学归纳法的三个步骤 数学归纳法的证明通常分为三个步骤：基础步骤（证明n = 1时命 题成立）、归纳假设（假设当n = k时命题成立）、归纳步骤（通过推 理证明当n = k+1时命题也成立）。 3. 数学归纳法的应用 数学归纳法在数列、等式、不等式等问题的证明中具有广泛的应用。通过利用数学归纳法，可以简化问题的证明过程，提高证明的严谨性 和效率。 第三部分：例题与练习 1. 数列例题 1) 已知等差数列的前两项分别为4和9，求它的第n项。 2) 已知等比数列的前两项为2和6，求它的第n项。
数列知识点总结 数列的概念与简单表示法 知识点一、数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第一项（通常称为首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项，所以数列的一般形式可以写成： ,,,,,,321 n a a a a 简记为{}n a 。项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。 1.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 2.从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 3.各项相等的数列叫做常数列； 4.从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它前一项的数列叫做摆动数列； 知识点二、通项公式 如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。 知识点三、数列的前n 项和 1.数列的前n 项和的定义：我们把数列{}n a 从第一项起到第n 项止的各项之和，称为数列{}n a 的前n 项和，记作n S ，即n n a a a S +++= 21。 2.数列前n 项和n S 与通项公式n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-.2,,1,1 1n S S n S a n n n
等差数列 知识点一、等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 知识点二、等差中项 有三个数b A a ,,组成的等差数列可以看成简单的等差数列，这时A 叫做b a 与的等差中项。 1.根据等差中项的定义：b A a ,,是等差数列，则2b a A +=；反之，若2 b a A +=，则 b A a ,,是等差数列。 2.在等差数列{}n a 中，任取相邻的三项() * +-∈≥N n n a a a n n n ,2,,11，则n a 是1-n a 与1+n a 的 等差中项；反之，n a 是1-n a 与1+n a 的等差中项对一切* ∈≥N n n ,2均成立，则数列{}n a 是 等差数列。 因此，数列{}n a 是等差数列⇔),2(211* +-∈≥+=N n n a a a n n n 。 3.若数列{}n a 是等差数列，且p+q=s+t,则t s q p a a a a +=+。（p,q,s,t ∈N * ） 知识点三、等差数列的通项公式 1.等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=，其中1a 为首项，d 为公差。 等差数列的通项公式的推导方法： 累加法：因为{}n a 是等差数列，所以 d a a d a a d a a d a a n n =-=-=-=--1342312, ,,, 等号两边分别相加，得d n a a n )1(1-=-，所以d n a a n )1(1-+=。 2.等差数列的应用：已知等差数列中任意两项),(,* ∈N m n a a m n ， ⎪⎩⎪ ⎨⎧-+=--=⇒-=-⇒⎩⎨ ⎧-+=-+=d m n a a m n a a d d m n a a d m a a d n a a m n m n m n m n )()()1()1(11
1数列中a n 与S n 之间的关系: a n S ‘（n 1） 注意通项能否合并。 S n & i ,（n 2）. 2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 即a n - a n 1 =d ， (n >2, n € N ), 那么这个数列就叫做等差数列。 ⑵等差中项：若三数 a 、A b 成等差数列 或a n pn q （p 、q 是常数） ⑷前n 项和公式： n n 1 S n n^ d 2 ⑸常用性质： ① 若 m n p q m,n, p,q N ，贝U a m a n a p a q ； ② 下标为等差数列的项 a k ,a k m ,a k 2m ,，仍组成等差数列； ③ 数列 a n b （ ,b 为常数）仍为等差数列； ④ 若｛a n ｝、｛0｝是等差数列，则｛ka n ｝、｛ka n pb n ｝ （k 、p 是非零常数）、 ｛a p nq ｝（ p,q N ）、，…也成等差数列。 ⑤单调性： a n 的公差为d ，则： i) d 0 a n 为递增数列； ii) d 0 a n 为递减数列； iii) d 0 a n 为常数列； ⑥数列｛a n ｝为等差数列 a n pn q （ p,q 是常数） ⑦若等差数列 a n 的前n 项和S n ,则S k 、S 2k S k 、S 3k S 2k … 是等差数列。 3、等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数 列就叫做等比数列。 ⑵等比中项：若三数a 、Gb 成等比数列 G 2 ab, （ ab 同号）。反之不一定成立。 数列 ⑶通项公式：a n a 1 (n 1)d a m (n m)d n a-i a n 2
高中数列知识点总结 漫长的学习生涯中，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点也可以理解为考试时会涉及到的知识，也就是大纲的分支。为了帮助大家掌握重要知识点，以下是小编精心整理的高中数列知识点总结，欢迎大家分享。 高中数列知识点总结 1 1、高二数学数列的定义 按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项。 (1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列。 (2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，…。 (4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n。 (5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别。如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合。 2、高二数学数列的分类 (1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列。在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列。 (2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：
高中数学数列知识点总结(精华版) 等比数列公式性质知识点 1.等比数列的有关概念 (1)定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么 这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表 达式为an+1/an=q(n∈n_，q为非零常数). (2)等比中项： 如果a、g、b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项.即：g是a与b的等比中项a，g，b成等比数列g2=ab. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式：an=a1qn-1. 3.等比数列{an}的常用性质 (1)在等比数列{an}中，若m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈n_)，则am·an=ap·aq=a. 特别地，a1an=a2an-1=a3an-2=…. (2)在公比为q的等比数列{an}中，数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列，公比为qk;数列sm，s2m-sm，s3m-s2m，…仍是等比数列(此时q≠-1);an=amqn- 4.等比数列的特征 (1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数. (2)由an+1=qan，q≠0并无法立即断言{an}为等比数列，还要检验a1≠0. 5.等比数列的前n项和sn (1)等比数列的前n项和sn就是用错位二者加法求出的，特别注意这种思想方法在数 列议和中的运用. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽 略q=1这一特殊情形导致解题失误. 1.等比中项
如果在a与b中间插入一个数g，使a，g，b成等比数列，那么g叫做a与b的等比中项。 存有关系： 注：两个非零同号的实数的'等比中项有两个，它们互为相反数，所以g2=ab是a,g,b 三数成等比数列的必要不充分条件。 2.等比数列通项公式 an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q) an=sn-s(n-1)(n≥2) 前n项和 当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为 sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1) 当q=1时，等比数列的前n项和的公式为 sn=na1 3.等比数列前n项和与通项的关系 an=a1=s1(n=1) an=sn-s(n-1)(n≥2) 4.等比数列性质 (1)若m、n、p、q∈n_，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq; (2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。 (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以面世：a1·an=a2·an- 1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n} (4)等比中项：q、r、p成等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。 记πn=a1·a2…an，则存有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数c为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
数列专题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式 由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧ S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2. 当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可 并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通 项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形 3.数列函数性质的应用 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．