有限带宽信号采样和混叠的数学分析
摘要：本文针对如何不失真地采样和重建信号提供了一种理论分析方法，同时介绍了信号混叠效应。以MAX19541模数转换器为例，对过采样和欠采样输入频率时的情况进行了比较。
引言
现代应用中经常要求对模拟信号采样，将其转换为数字信号，然后对其进行计算处理，最后再重建为模拟信号。本文所探讨研究的主要问题是如何采样和重建模拟信号，同时又保持原始信号的全部信息。
有限带宽信号
首先从有限带宽信号开始讨论。这样做取决于数学和物理两个方面的因素，下文将进行阐述。如果某个信号在某个频点(截止频率)以外的频谱幅度均为零，那么这一信号称为有限带宽信号。图1中的g(f)即是这样的信号，大于频点a的频率频谱幅度为零。在这种情况下，a也是这个基带信号的带宽(BW)。(由于频率为负没有物理意义，因此基带信号的带宽仅被定义为正频率。)
图1. 信号g(f)的频谱
接下来对g(f)进行采样。我们可以利用数学形式表示该操作，即g(f)乘以一个时间间隔为T的冲激函数序列。通过将g(f)与冲激函数相乘，我们得到对应于冲激函数发生时刻的g(f)值，其它任何时间的乘积都为零。这类似于以f SAMPLING = 1/T的频率对g(f)采样。该操作可用公式1表示，采样后的新信号称为s(t)：
下一步是找出已采样信号s(t)的频谱。通过对公式1进行傅立叶变换可得到：
计算上面的积分比较复杂。为了简化计算，注意到s(t)是g(f)与冲激脉冲序列的乘积。同时我们还知道时域的乘法对应频域的卷积。(关于这一结论的证明可参考任何有关傅立叶变换的资料。) 因此，S(f)可以表示为：
注意公式3中的星号表示卷积，而不是相乘。我们已经知道原始信号的频谱g(f)，因此只需要算出冲激函数序列的傅立叶变换。我们知道冲激函数序列是一个周期函数，因而可以用傅立叶级数表示。如下式：
其中傅立叶系数为：
公式5中积分的上下限只指定为一个周期。当处理冲激函数时，这没有问题。然而，为了使上面的表达式具有更好的通用性，可以进行如下代换处理：用一个从负无穷到正无穷的傅立叶积分代替该积分，并用单个冲激函数―t周期信号的基本信号替代周期性的冲激函数序列。因而，公式5可以改写为：
这样一来冲激函数序列可采用以下易于进行傅立叶变换的简化表达式：
考虑到一个信号可以从其傅立叶变换积分得到，如下式：
并且：
最终表达式如下：
根据以上结果，再重新考虑已采样的基带信号。其傅立叶变换表达式如下：
两个信号A(f)和B(f)的卷积定义为：
则S(f)可表示为：
计算的结果为公式13，通常称为采样定理。它表明在时域里按周期T (秒)采样得到的信号会以1/T的频率重复原始信号的频谱，如图2所示。这一结果反过来可以清楚且直观地回答先前的问题：如何采样模拟信号才能够保持原始信号的全部信息？
图2. 采样信号s(t)的频谱
混叠效应
为保留原始基带信号的所有信息，必须确保每一个重复频谱“轮廓”之间不发生交叠。如果相互交叠(这种现象称为混叠)，就不可能再从采样信号中恢复出原始信号。这会使高频成分混叠到低频频段，如图3所示。
图3. 混叠对信号的影响
为了避免混叠，必须满足以下条件：1/T > 2，或1/T > 2BW。该结论也可用采样频率表示为：
因此，不会产生混叠的最小采样频率为2BW。这就是众所周知的奈奎斯特定律。
图3给出了产生混叠的采样信号。注意高频信号分量f H呈现为低频分量。您可以用一个低通滤波器来恢复原始频谱，并将其它频谱分量滤掉(衰减)。当使用截止频率为的低通滤波器恢复信号时，它无法将混叠的高频信号滤掉，从而造成有用信号的劣化。
考虑到混叠会恶化有用信号，再来考虑带通信号这类特定的有限带宽信号。带通信号的低频边界不是零。如图4所示，带通信号的信号能量分布在L与>U之间，其带宽定义为U - L。因此，带通信号和基带信号的主要区别在于它们的带宽定义：基带信号的带宽等于它的最高频率，而带通信号的带宽为最高频率和最低频率之差。
图4. 带通信号
从前面的讨论可知，采样信号以1/T的周期重复原始信号的频谱。因为这个频谱实际上包括从0Hz到原始带通信号低频截止频率之间的零幅值频带，所以实际的信号带宽要比U低。因此可以在频域内做一定的频率偏移，从而允许采样频率低于当信号频谱占据整个零至U范围时要求的采样频率。例如，假定信号带宽为U/2，采样频率取为U即可满足奈奎斯特定律，采样信号的频谱如图5所示。
图5. 带通采样信号的频谱
该采样过程没有产生混叠，因此如果有理想的带通滤波器，可完全从采样信号中恢复出原始信号。在本例中，注意到基带和带通信号的差别是非常重要的。对于基带信号，带宽和相应的采样频率只由最高频率决定。而带通信号的带宽通常都要比最高频率小。
以上特性决定了从采样信号中恢复原始信号的方法。对于最高频率相同的基带信号和带通信号，只要采用合适的带通滤波器来隔离原始信号频谱(图5中的白色矩形部分)，带通信号就可以采用较低的采样频率。由于信号频谱中包括阴影部分，用于基带信号恢复的低通滤波器在这种情况下无法恢复出原始带通信号，如图5所示。所以如果要用低通滤波器恢复图5中的带通信号，采样频率必须在2U以上以避免混叠。
有限带宽信号必须在满足奈奎斯特定律的情况下才能被完全恢复。对于带通信号，只有用带通滤波器时奈奎斯特采样频率才可以避免混叠。否则就必须使用更高的采样频率。在实际应用中选择转换器采样频率时，这一点很重要。
还要注意的是对有限带宽信号的假设。从数学上分析，一个信号不可能是真正有限带宽的。傅立叶变换定律告诉我们，如果一个信号的持续时间是有限的，则它的频谱就会延展到无限频率范围，如果它的带宽是有限的，则它的持续时间是无限的。很显然，我们找不到一个持续无限时间的时域信号，所以也不可能有真正的有限带宽信号。不过绝大部分实际信号的频谱能量都集中在有限带宽内，因此前面的分析对这些信号仍然有效。
采样正弦信号
采样正弦信号可以非常简单和方便地展示发生混叠时高频成分呈现为低频成分这一固有现象。纯粹正弦信号的频谱仅包括相应频点上的尖峰信号(冲激函数)，出现混叠时，尖峰会从一个频点移到另一个频点。
以下结果是用125Msps、12位ADC MAX19541测试得出的。图6所示为输入信号频率f IN = 11.5284MHz时变换器输出信号的频谱。数据显示主尖峰正好出现在该频点上。频谱中还有一些其它的尖峰，它们是由转换器的非线性引起的谐波，和本文的讨论主题无关。由于采样频率f SAMPLING = 125MHz，远大于奈奎斯特定律要求的两倍输入频率，所以不会出现混叠。
图6. MAX19541 ADC采样后的信号频谱。f SAMPLING = 125MHz, f IN = 11.5284MHz.
接下来考虑如果把输入频率提高到f IN = 183.4856MHz，主尖峰的位置会发生什么变化。该输入频率大于f SAMPLING/2，可以想象会有混叠出现。图7给出了得到的频谱，主尖峰落在58.48MHz频点，这就是混叠信号。换言之，在58.48MHz频点出现了一个原始信号中不包含的频率信号。注意图6和图7中都只给出了奈奎斯特频率以下的频谱，因为频谱是周期性的，图中的显示部分已经包含了所有必要信息。
图7. MAX19541 ADC采样后的信号频谱。f SAMPLING = 125MHz, f IN = 183.4856MHz.
通信原理大作业 班级： 学号： 姓名：
2PSK信号的调制与解调 分析： 调制： 随机产生一段码元，设：码元个数为60，载波频率采用8KHz，每个周期8个采样点，信号波特率为1000，所以每个码元内有64数据，对这60*64个数据，得出2PSK信号。对原始信号和2PSK信号画图比较。 解调： 采用相干解调，通过混频器后可以得到带有载波的信号，通过滤波器后就可以得到基带信号。对原始信号和解调后的基带信号画图比较。 程序： clc close all clear all codn=60; % 仿真的码元个数 fc=8e+3; % 载波频率 fs=fc*8; %数据采样率 bode=1000; %信号波特率 code=round(rand(1,codn)); %产生随机信码 code_len=round(1/bode/(1/fs)); %得到一个码元周期的数据长度 for i=1:codn %产生双极性数字基带信号 x0((i-1)*code_len+1:code_len*i)=code(i); end x=2*x0-1; %x中有code_len(一个码元中的数据个数)*codn(码元个数) car=cos(2*pi*fc/fs*(0:length(x0)-1)); %产生载波 y=x.*car; %2PSK信号等于双极性数字基带信号乘以载波figure subplot(2,1,1) plot(x) axis([0 length(x0) -1.5 1.5]) grid on zoom on title('原始基带信号') subplot(2,1,2) plot(y)
勾股定理的证明 【证法1】（课本的证明） a 、 b ，斜边长为 c ，再做三 个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 21 4214222?+=?++，整理得222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积 等于ab 21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、 C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE = ∠BEF . ∵∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c 2. ∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE, ∴∠HGD = ∠EHA . ∵∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵∠GHE = 90o, ∴∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2 b a +. ∴ ()2 22 14c ab b a +?=+. ∴2 2 2 c b a =+.
以a 、b 为直角边（b>a ）， 以c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. ∵Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴∠HDA = ∠EAB . ∵∠HAD + ∠HAD = 90o， ∴∠EAB + ∠HAD = 90o， ∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o. ∴EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2 a b -. ∴()22 214c a b ab =-+?. ∴2 2 2 c b a =+. 【证法4】（1876年美国总统Garfiel d 证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面 积等于ab 21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上. ∵Rt ΔEAD ≌Rt ΔCBE, ∴∠ADE = ∠BEC . ∵∠AED + ∠ADE = 90o, ∴∠AED + ∠BEC = 90o. ∴∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴ΔDEC 是一个等腰直角三角形， 它的面积等于221c . 又∵∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o, ∴ AD ∥BC . ∴ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()2 21 b a +. ∴()2 2212122 1 c ab b a +?=+. ∴2 22c b a =+.
第二章 词法分析 2.1 完成下列选择题： (1) 词法分析器的输出结果是 。 a. 单词的种别编码 b. 单词在符号表中的位置 c. 单词的种别编码和自身值 d. 单词自身值 (2) 正规式M1和M2等价是指 。 a. M1和M2的状态数相等 b. M1和M2的有向边条数相等 c. M1和M2所识别的语言集相等 d. M1和M2状态数和有向边条数相等 (3) DFA M(见图2-1)接受的字集为 。 a. 以0开头的二进制数组成的集合 b. 以0结尾的二进制数组成的集合 c. 含奇数个0的二进制数组成的集合 d. 含偶数个0的二进制数组成的集合 【解答】 (1) c (2) c (3) d 图2-1 习题2.1的DFA M 2.2 什么是扫描器？扫描器的功能是什么？ 【解答】 扫描器就是词法分析器，它接受输入的源程序，对源程序进行词法分析并识别出一个个单词符号，其输出结果是单词符号，供语法分析器使用。通常是把词法分析器作为一个子程序，每当词法分析器需要一个单词符号时就调用这个子程序。每次调用时，词法分析器就从输入串中识别出一个单词符号交给语法分析器。 2.3 设M=({x,y}, {a,b}, f, x, {y})为一非确定的有限自动机，其中f 定义如下： f(x,a)={x,y} f{x,b}={y} f(y,a)=Φ f{y,b}={x,y} 试构造相应的确定有限自动机M ′。 【解答】 对照自动机的定义M=(S,Σ,f,So,Z)，由f 的定义可知f(x,a)、f(y,b)均为多值函数，因此M 是一非确定有限自动机。 先画出NFA M 相应的状态图，如图2-2所示。 图2-2 习题2.3的NFA M 用子集法构造状态转换矩阵，如表 表2-1 状态转换矩阵 1b a
香农采样定理 采样定理，又称香农采样定理，奈奎斯特采样定理，是信息论，特别是通讯与信号处理学科中的一个重要基本结论.E. T. Whittaker(1915年发表的统计理论),克劳德·香农与Harry Nyquist都对它作出了重要贡献。另外,V. A. Kotelnikov 也对这个定理做了重要贡献。 采样是将一个信号（即时间或空间上的连续函数）转换成一个数值序列（即时间或空间上的离散函数）。采样定理指出， 如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。 带限信号变换的快慢受到它的最高频率分量的限制，也就是说它的离散时刻采样表现信号细节的能力是有限的。采样定理是指，如果信号带宽小于奈奎斯特频率（即采样频率的二分之一），那么此时这些离散的采样点能够完全表示原信号。高于或处于奈奎斯特频率的频率分量会导致混叠现象。大多数应用都要求避免混叠，混叠问题的严重程度与这些混叠频率分量的相对强度有关。 采样简介 从信号处理的角度来看，此采样定理描述了两个过程：其一是采样，这一过程将连续时间信号转换为离散时间信号；其二是信号的重建，这一过程离散信号还原成连续信号。 连续信号在时间（或空间）上以某种方式变化着，而采样过程则是在时间（或空间）上，以T为单位间隔来测量连续信号的值。T称为采样间隔。在实际中，如果信号是时间的函数，通常他们的采样间隔都很小，一般在毫秒、微秒的量级。采样过程产生一系列的数字，称为样本。样本代表了原来地信号。每一个样本都对应着测量这一样本的特定时间点，而采样间隔的倒数，1/T即为采样频率，fs，其单位为样本/秒，即赫兹(hertz)。 信号的重建是对样本进行插值的过程，即，从离散的样本x[n]中，用数学的方法确定连续信号x(t)。 从采样定理中，我们可以得出以下结论： 如果已知信号的最高频率f H，采样定理给出了保证完全重建信号的最低采样频率。这一最低采样频率称为临界频率或奈奎斯特频率，通常表
余弦定理的证明方法大全 (共十种方法) 一、余弦定理 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍,即在ABC ?中,已知AB c =,BC a =,CA b =,则有 2222cos a b c bc A =+-, 2222cos b c a ca B =+-, 2222cos c a b ab C =+-. 二、定理证明 为了叙述的方便与统一,我们证明以下问题即可: 在ABC ?中,已知AB c =,AC b =,及角A ,求证:2222cos a b c bc A =+-. 证法一:如图1,在ABC ?中,由CB AB AC =-可 得: ()()CB CB AB AC AB AC ?=-?- 22 2AB AC AB AC =+-? 222cos b c bc A =+- 即,2222cos a b c bc A =+-. 证法二:本方法要注意对A ∠进行讨论. (1)当A ∠是直角时,由22222222cos 2cos90b c bc A b c bc b c a +-=+-?=+=知结论成立. (2)当A ∠是锐角时,如图2-1,过点C 作CD AB ⊥,交AB 于点D ,则 在Rt ACD ?中,cos AD b A =,sin CD b A =. 图1
从而,cos BD AB AD c b A =-=-. 在Rt BCD ?中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+ 22(cos )(sin )c b A b A =-+ 222cos c cb A b =-+ 即,2222cos a b c bc A =+-. 说明:图2-1中只对B ∠是锐角时符合,而B ∠还可以是直角或钝角.若B ∠是直角,图中的点D 就与点B 重合；若B ∠是钝角,图中的点D 就在AB 的延长线上. (3)当A ∠是钝角时,如图2-2,过点C 作CD AB ⊥,交BA 延长线于点D ,则 在Rt ACD ?中,cos()cos AD b A b A π=-=-,sin()sin CD b A b A π=-=. 从而,cos BD AB AD c b A =+=-. 在Rt BCD ?中,由勾股定理可得: 222BC BD CD =+ 22(cos )(sin )c b A b A =-+ 222cos c cb A b =-+ 即,2222cos a b c bc A =+-. 综上(1),(2),(3)可知,均有2222cos a b c bc A =+-成立. 证法三:过点A 作AD BC ⊥,交BC 于点D ,则 在Rt ABD ?中,sin BD c α= ,cos AD c α=. 在Rt ACD ?中,sin CD b β=,cos AD b β=. 由cos cos()cos cos sin sin A αβαβαβ=+=-可得: 2cos AD AD BD CD AD BD CD A c b c b bc -?=?-?= 图2-1 图2-2 图3
《信号与系统A（2）》课程自学报告 实施报告 题目：带通采样定理与软件无线电
带通抽样定理 实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通信号的上截止频率为H f ，下截止频率为L f ，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率H f ，可按照带通抽样定理确定抽样频率。 [定理] 带通抽样定理：一个频带限制在),(H L f f 内的时间连续信号)(t x ，信号带宽L H f f B -=，令N B f M H -=/，这里N 为不大于B f H /的最大正整数。如果抽样频率f ，10-≤≤N m （3.1-9） )(t x 。 对信号)(t x 以频率s f 抽样后，得到的采样信号)(s nT x 的频谱是)(t x 的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为s f ，如图3-3所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号)(t x ，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于),(H L f f 和),(L H f f --的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。 由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑),(H L f f 的频带分量不会出现混叠的条件。 在抽样信号的频谱中，在),(H L f f 频带的两边，有着两个延拓频谱分量：),(s L s H mf f mf f +-+-和))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-。为了避免混叠，延 ） 3.1-11） 综合式（ 3.1-12） 这里m m 取零，则上述条件化为 H s f f 2≥（3.1-13） 这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。 m 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。但是m 有一个上限，因为m f f L s 2≤ ，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即B f s 2≥。 因此
西安电子科技大学 考试时间 120 分钟 试题（A） 班级学号姓名任课教师 一、选择（请将答案填写到下面表格中）（每题2分，共2×10=20分） 1、多路信号复用方式中不含以下哪一种？（） A. 频分复用 B. 时分复用 C. 码分复用 D. 相分复用 2、以下属于全双工通信的是：（） A. 广播 B. 对讲机 C. 电话 D.无线寻呼 3、根据香农公式可知为了使信道容量趋于无穷大，不可以采取下列措施：（ ) A、噪声功率为零 B、噪声功率谱密度始终为零 C、信号发射功率为无穷大 D、系统带宽为无穷大 4、设某随参信道的最大多径时延差等于2ms，为了防止出现频率选择性衰落，该信道的相关带宽为：（） A、500Hz B、>500Hz C、<500Hz D、2KHz 5、即使在“0”、“1”不等概率出现情况下，以下哪种码仍然不包含直流成分：( ) 第1页共6页
第2页 共6页 A 、AMI 码 B 、双极性归零码 C 、单极性归零码 D 、差分码 6、二进制数字基带传输系统的误码率计算公式为：( ） A 、()()0/11/0P P P e += B 、()()()()1/010/10P P P P P e += C 、()()10P P P e += D 、()()()()0/111/00P P P P P e += 7、功率利用率最低调制方式是：（ ） A 、2ASK B 、2FSK C 、2PSK D 、2DPSK 8、对二进制频带传输系统而言，下列说法错误的是：（ ） A 、FSK 、PSK 、DPSK 的抗衰落性能均优于ASK ； B 、ASK 、PSK 、DPSK 的最佳判决门限比FSK 容易设置； C 、接收机的输入信噪比增加，解调的误码率一定下降； D 、ASK 、PSK 、DPSK 的频带利用率均高于FSK 。 9、为了防止ΔM 编码过程的过载现象出现，不可以采取以下哪种措施：（ ） A 、减小量化台阶 B 、增大量化台阶 C 、增大采样速率 D 、减小采样周期 10、按照A 律13折线编码实现PCM 编码时,第7段落的段落码为：（ ） A 、011 B 、110 C 、101 D 、 111 二、填空（每空2分，共2×10=20分） 1、 频谱从零频附近开始的信号是 基带信号 。 2、16进制码元速率若为1300B ，则信息速率为 5200b/s 。 3、信道中的干扰和噪声可以简化为乘性干扰和加性噪声，若乘性干扰随时 间快速变化，则对应的信道称为 随参信道 。 4、在地面微波无线中继传输系统中，若A 站和B 站相距50公里，不考虑大 气折射率的影响，则收发天线的架设高度需要大于 50米 。
信号与线性系统分析综合练习题目：抽样定理的理论证明与实际应用
一、抽样和抽样定理 数字信号处理技术的优势和快速发展使得数字设备和数字媒体广泛应用，如手机、MP3、CD 和DVD 等。抽样定理是通信理论中的一个重要定理，是模拟信号数字化的理论依据，包括时域抽样定理和频域抽样定理两部分，又称取样定理、采样定理，是由奈奎斯特(Nyquist)和香农(Shannon)分别于1928年和1949年提出的，故又称为奈奎斯特抽样定理或香农抽样定理。 “抽样”就是利用周期抽样脉冲p(t)从连续信号f(t)中抽取离散样值的过程，得到的离散信号为抽样信号，也称为抽样信号，以?s (t )表示。抽样过程的数学模型就是连续信号与抽样脉冲序列相乘。 抽样过程所应遵循的规律，称抽样定理。抽样定理说明抽样频率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。在进行模A/D 转换过程中，当抽样频率f s.max 大于信号中最高频率f max 的2倍时(f s.max >2f max )，抽样之后的数字信号完整地保留了原始信号中的信息，一般实际应用中保证抽样频率为信号最高频率的5～10倍。 抽样定理描述了在一定条件下，一个连续的信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时样本值表示，这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原来的连续信号。也就是说，抽样定理将连续信号与离散信号之间紧密的联系起来，为连续信号与离散信号的相互转换提供了依据。通过观察抽样信号的频谱，发现它只是原信号频谱的线性重复搬移，只要给它乘以一个门函数，就可以在频域恢复原信号的频谱，然后再利用频域时域的对称关系，就能在时域上恢复原信号。 二、时域抽样定理的理论证明 时域抽样定理的完整描述是这样：一个频谱在区间（-ωm ，ωm ）以外为零的频带有限信号?(t),可唯一地由其在均匀间隔T s （T s<1/2?m ）上的样点值?s (t )=?（nT s ）确定。以下为理论证明过程： 根据傅里叶变换和离散傅里叶变换定义，有 ΩΩ=Ω∞∞-?d e j X t x t j a a )(21)(π (1) ωπωππ ωd e e X n x n j j ?-=)(21)( (2) 将抽样过程的时域关系x （n ）=x a （nT ）带入（1）式，有 ΩΩ=Ω∞∞ -?d e j X n x nt j a )(21)(π (3) 比较（2）（3）式，可以得到 ωωπ πωd e e X d e j X n j j nT j a ??-Ω∞ ∞-=ΩΩ)()( 将模拟角频率Ω和数字角频率ω的关系ω=ΩT 带入上式，得
取样定理及其应用 测控五班穆可汗 学号：3013-202-136 引言： 取样定理论述了在一定条件下，一个连续信号完全可以用离散样本值表示、这些样本值包含了该连续信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号、可以说，取样定理在连续信号与离散信号之间架起了一座桥梁、为其互为转换提供了理论依据。 所谓“取样”就是利用取样脉冲序列s(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程、这样得到的离散信号称为取样信号fs(t) 、它是对信号进行数字处理的第一个环节。 一、定理证明： 设的频谱为离散信号x(n)的频谱为，由连续信号傅立叶变换和序列傅立叶变换可知： 在(1)式中令t=nT (T为时域取样周期,取样频率fs=1/T),可得： 对(3)式作变量代换，令，可得：
令对(4)整理可得， 对比(2)式和(5)式可得 上式给出了连续信号频谱与离散信号频谱的关系式从中可以看出，由连续信号的频谱可以通过以下两步得到离散信号的频谱：第一步，对连续信号的频谱进行换元、水平轴上的尺度展缩，信号的最高角频率由变化到；第二步，对频谱图以2π的整数倍为间隔进行平移，然后进行叠加，其幅值变为原来的1/T。由以上过程可知，只要，即原连续信号的最高频率，则频谱平移叠加后不会发生频谱的混叠，可以无失真地换原出原连续信号，取样定理得证。 二、取样定理的应用：基于带通取样定理的高速数据采集系统的硬件电路设计 数据采集是获得信息的一种基本手段。随着信息科学技术的迅速发展，它已经成为信息领域中不可缺少的部分。随着科技的不断进步，人们对数据采集系统的要求也越来越高，不仅要求取样的精度高，数据转换速度快，还要求具有抗干扰能力。
Cayley 定理的证明方法 摘要：本文对Cayley 定理：n K 的生成树共有2n n -棵，即2()n n K n τ-=。的几种证明方法简单归纳。 关键词：Cayley 公式 标号树枝 生成树 第一种证明方法 通过确定标号树枝的个数来求生成树的个数，设生成树的数目为x 个，因为每个生成树的每一个点都能作为一个根，所以标号树枝的个数为nx 个，现在就是确定标号树枝的个数1n n -，这样一来就能确定2n x n -=。下面我们就来证明标号树枝的个数为1n n -。 通过一步一步建立标号树枝，先拿出n 个点的无边土，此时这个图有n 个树枝森林，，现在往上加边，加第一条边后，树枝森林数减少一个，，当树枝数目为k 时，加下一条边新边(,)u v 的选择为(1)n k -，任意一个点都能当作u ，而v 必须连接不含u 的树枝的根，用这种方法构造标号树枝的数目应该为111()(1)!n n i n n i n n --=-=-∏，因为每个标号树枝含有1n -条边，有(1)!n -种顺序，也 就是说每个标号树枝被构造了(1)!n -次，所以标号树枝的个数为1n n -。 证毕。 第二种证明方法 设2n ≥，12,,,n d d d 是正整数，并且1222n d d d n ++ +=-，则在顶点集{1,2,,}n 上具有顶点度序列 为12,,,n d d d 的树的个数是 多项式展开如下： 11211 11,,,11(1)(1)2211n n n d d n d d d n d d n n a a d d --≥-++-=--??= ?--??∑特别地，令每一个1i a =，得到 为了计算顶点集{1,2,,}n 上的树的数目，必须将12,,,n d d d 是正 整数并且其和等于2n -的具有顶点度序列12,, ,n d d d 的所有树的数目全 部加在一起. 从前面的事实有
3.1.3 带通抽样定理 实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通信号的上截止频率为，下截止频率为，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率，可按照带通抽样定理确定抽样频率。 [定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在内的时间连续信号，信号带宽，令，这里为不大于的最大正整数。如果抽样频率满足条件 ， （3.1-9） 则可以由抽样序列无失真的重建原始信号。 对信号以频率抽样后，得到的采样信号的频谱是的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为，如图3-3所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于和的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。 由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑的频带分量不会出现混叠的条件。 在抽样信号的频谱中，在频带的两边，有着两个延拓频谱分量：和。为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足 （3.1-10） （3.1-11） 综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到 （3.1-12） 这里是大于等于零的一个正数。如果取零，则上述条件化为 （3.1-13） 这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。 取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。但是有一个上限，因为，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即。 因此 （3.1-14） 由于为不大于的最大正整数，因此不大于的最大正整数为，故有 综上所述，要无失真的恢复原始信号，采样频率应满足 ， （3.1-15）H f L f H f ),(H L f f )(t x L H f f B -=N B f M H -=/N B f H /s f m f f m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m )(t x )(t x s f )(s nT x )(t x s f )(t x ),(H L f f ),(L H f f --),(H L f f ),(H L f f ),(s L s H mf f mf f +-+-))1(,)1((s L s H f m f f m f ++-++-L s L f mf f ≤+-H s H f f m f ≥++-)1(m f f m f L s H 212≤≤+m m H s f f 2≥m m m f f L s 2≤B f s 2≥B f B f f f m L L s L =≤≤222N B f H /B f L /1-N 10-≤≤N m )(t x s f m f f m f L s H 212≤≤+10-≤≤N m
通信原理大作业 1、说明 在通信原理课程中，介绍了通信系统的基本理论，主要包括信道、基带传输、调制 / 解调方法等。为了进一步提高和改善学生对课程基本内容的掌握，进行课程作业方法的改革的试点，设立计算机仿真大作业。成绩将计入平时成绩。 2、要求 参加的同学3~5人一组，选择1?2个题目，协作和共同完成计算机编程和仿真，写出计算机仿真报告。推荐的计算机仿真环境为MATLAB也可以 选择其它环境。 3、大作业选题 (1) 信道噪声特性仿真产生信道高斯白噪声，设计信道带通滤波器对高斯白噪 声进行滤波， 得到窄带高斯噪声。对信道带通滤波器的输入输出的噪声的时域、频域特性进行统计和分析，画出其时域和频域的图形。 (2) 基带传输特性仿真利用理想低通滤波器作为信道，产生基带信号，仿真验证奈氏第一准则的给出的关系。改变低通滤波器的特性，再次进行仿真，验证存在码间干扰时的基带系统输出，画出眼图进行观察。加入信道噪声后再观 察眼图。 (3) 2ASK言号传输仿真 按照2ASK产生模型和解调模型分别产生2ASK言号和高斯白噪声，经过信道传
输后进行解调。对调制解调过程中的波形进行时域和频域观察，并且对解调结果进行误码率测量。2ASK信号的解调可以选用包络解调或者相干解调法。(4) 2FSK信号传输仿真 按照2FSK产生模型和解调模型分别产生2FSK信号和高斯白噪声，经过信道传输后进行解调。对调制解调过程中的波形进行时域和频域观察，并且对解调结果进行误码率测量。2FSK信号的解调可以选用包络解调或者相干解调法。(5) 2PSK信号传输仿真 按照2PSK产生模型和解调模型分别产生2PSK言号和高斯白噪声，经过信道传输后进行解调。对调制解调过程中的波形进行时域和频域观察，并且对解调结果进行误码率测量。2PSK信号的解调选用相干解调法。 ⑹2DPSK言号传输仿真 按照2DPSK产生模型和解调模型分别产生2DPSK言号和高斯白噪声，经过信道传输后进行解调。对调制解调过程中的波形进行时域和频域观察，并且对解调结果进行误码率测量。2DPSK信号的解调可以选用非相干解调或者相干解调法。 (7) 模拟信号的数字传输 产生模拟语音信号，进行PCM编码过程的计算机仿真。仿真发送端采样、 量化编码的过程、仿真接收端恢复语音信号的过程。按照有或者无信道噪 声两种情况分别进行仿真。
勾股定理逆定理八种证 明方法 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
证法1 作四个的直角三角形，把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条上（设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c.）。过点C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD， ∴ ∠EGF = ∠BED， ∵ ∠EGF + ∠GEF =90°， ∴ ∠BED + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形。 ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD， ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形。 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 证法2 作两个的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），做一个边长为c的正方形。斜边长为c. 再把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C 三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90°， ∵ BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90°， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC =90°。 ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°， ∴ ∠， 又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c， ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即 证法3 作两个全等的直角三角形，同证法2，再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， ∵EF=DF-DE=b-a，EI=b， ∴FI=a， ∴G,I,J在同一直线上， ∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，
勾股定理五种证明方法 【证法1】 做 8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【 证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点 在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF = 180o―90o= 90o. ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o. 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o. ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为
带通信号的采样与重建 一、带通采样定理的理论基础 基带采样定理只讨论了其频谱分布在（0，H f ）的基带信号的采样问题。作为接收机的模数转换来说：接收信号大多为已调制的射频信号。射频信号相应的频率上限远高于基带信号的频率上限。这时如果想采用基带采样就需要非常高的采样速率！这是现实中的A/D 难以实现的。这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求。 带通采样定理是适用于这样的带通信号的采样理论基础，下面给出定理。 带通采样定理：设一个频率带限信号()x t 其频带限制在(,)L H f f 内，如果其采样速率s f 满足式： s f = 2()21L H f f n ++ （2-1） 式中, n 取能满足2()s H L f f f ≥-的最大整数（0，1，2…），则用s f 进行等间隔采样所得到的信号采样值()s x nT 能准确的确定原信号()x t 。 带通采样定理使用的前提条件是：只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠[1]。如图所示，为满足这一条件的一种方案，采用跟踪滤波器的办法来解决，即在采样前先进行滤波[1] ，也就是当需要对位于某一个中心频率的带通信号进行采样时，就先把跟踪滤波器调到与之对应的中心频率0n f 上，滤出所感兴趣的带通信号()n x t ，然后再进行采样，以防止信号混叠。这样的跟踪滤波器称之为抗混叠滤波器。 图 带通信号采样
式（2-1）用带通信号的中心频率0f 和频带宽度B 也可用式（2-2）表示： 0214s n f f += （2-2） 式中，()0L H f f f =+，n 取能满足2s f B ≥（B 为频带宽度）的最大正 整数。 当频带宽带B 一定时，为了能用最低采样速率即两倍频带宽度的采样速率（2s f B =）,带通信号的中心频率必须满足0212 n f B +=。也即信号的最高或最低频率是信号的整数倍。 带通采样理论的应用大大降低了所需的射频采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。但是从软件无线电的要求来看，带通采样的带宽应是越宽越好，这样对不同基带带宽的信号会有更好的适应性，在相同的工作频率范围内所需要的“盲区”采样频率数量减少，有利于简化系统设计。另外，当对于一个频率很高的射频信号采样时，如果采样频率设的太低，对提高采样量化的信噪比是不利的。所以在可能的情况下，带通采样频率应该尽可能选的高一些，使瞬时采样带宽尽可能宽。但是随着采样速率的提高带来的一个问题是采样后的数据流速率很高。因此一个实际的无线电通信带宽一般为几千赫兹到几百赫兹。实际对单信号采样时采样率是不高的。所以对这种窄带信号的采样数据流降速是完全可能的。多速率信号处理技术为这种降速处理实现提供了理论依据。 二、带通采样过程 待采样信号为中频是100MHz ，带宽为2MHz 的带通信号： fc0=100e6; //中频频率 fc1=99e6; //信号一的频率
学科、专业考试科目书名作者出版单位281 二外日语《标准日本语》（初级上下、中 级上） 中日合编人民教育出版社 282 二外俄语《新编大学俄语基础教程》应云天高等教育出版社 《大学俄语练习题汇编》张玉丽西电科大出版社 283 二外德语《德语速成》（上下册）肖佩玲外语教学与研究出版社284 二外法语《简明法语教程》（上下册）孙辉商务出版社 811 信号与系统、通信原理《信号与线性系统分析》（三版）吴大正高等教育出版社 《现代通信原理与技术》张辉西电科大出版社 821 信号、电路与系统《信号与线性系统分析》（四版）吴大正高等教育出版社 《电路》（四版）邱关源高等教育出版社 822 电磁场与微波技术《电磁场与电磁波基础》路宏敏科学出版社 《微波技术基础》廖承恩西电科大出版社 《天线原理》魏文元国防工业出版社 823 自动控制理论基础《自动控制理论》邹伯敏机械工业出版社 841 机械原理《机械原理》（六版）孙桓等编著高等教育出版社 842 理论力学《理论力学》（六版）哈工大编高等教育出版社 843 自动控制原理《自动控制原理》吴麒编等清华大学出版社 844 信号与系统《信号与线性系统分析》（三版）管致中等编著高等教育出版社 《信号与线性系统分析》（四版）吴大正高等教育出版社 851 物理光学与应用光学《物理光学与应用光学》石顺祥等西电科大出版社 852 量子力学《量子力学教程》周世勋高等教育出版社 861 经济学《西方经济学》（三版、微观和 宏观部分）高鸿业主编中国人民大学出版社 2004 862 运筹学与管理学原理《运筹学》（二版、前六章）清华编写组清华大学出版社 《管理学》（二版）周三多高等教育出版社 2005 863 管理综合《管理经济学》（四版）吴德庆等中国人民大学出版社 《管理学》（二版）周三多主编高等教育出版社2005 864 管理信息系统与数据库《管理信息系统》黄梯云高等教育出版社 《数据库系统概论》萨师煊高等教育出版社 871 高等代数《高等代数》（二版）北京大学高等教育出版社 872 普通物理《大学物理学》张三慧清华大学出版社 《普通物理》程守洙高等教育出版社 873 物理化学《物理化学》（四版、不含结构 化学）天大物化教研 室 高等教育出版社 881 艺术学概论《艺术学概论》彭吉象北京大学出版社 883 科学社会主义原理《科学社会主义理论与实践》高放中国人民大学出版社
西安电子科技大学 通信原理大作业蜂窝通信网 姓名： 班级： 学号：
蜂窝移动通信网 通信网是在多点之间传递信息的通信系统。通信网的基本组成部分是终端 设备、通信链路和交换设备，有些通信网中还包含转发设备。随着时代的发展，通信网也有着多种不同的应用和技术的进步。其中移动通信网在我们的生活中 起到无可取代的作用，蜂窝网是当前最主要的一种移动通信网，主要由基站、 移动台、移动交换中心组成，并与固定电话网相连。第一代蜂窝网采用模拟调 制体制，现已淘汰。第二段蜂窝网采用数字调制体制，以电话通信为主，目前 正在广泛使用中。我国采用的第二代蜂窝网体制主要是GSM。第三代蜂窝网正 在发展中，它应能满足数据传输和多媒体通信的需求，以及全球漫游。本文主 要介绍蜂窝移动通信网及其相关问题 1.蜂窝移动通信系统基本概述 蜂窝系统也叫“小区制”系统。是将所有要覆盖的地区划分为若干个小区，每个小区的半径可视用户的分布密度在1~10km左右。在每个小区设立一个基站 为本小区范围内的用户服务。并可通过小区分裂进一步提高系统容量。 这种系统由移动业务交换中心（MSC）、基站（BS）设备及移动台（MS）（用户设备）以及交换中心至基站的传输线组成。目前在我国运行的900MHz 第一代移动通信系统（TACS）模拟系统和第二代移动通信系统（GSM）数字系统 都属于这一类。 就是说移动台的移动交换中心与公共的电话交换网（就是我们平时所说的 电话网PSTN）之间相连，移动交换中心负责连接基站之间的通信，通话过程中，移动台（比如手机）与所属基站建立联系，由基站再与移动交换中心连接，最 后接入到公共电话网。 通过把地理区域分成一个个称为小区的部分，蜂窝系统就可以在这个区域 内提供无线覆盖。蜂窝无线系统指的是在地理上的服务区域内，移动用户和基 站的全体，而不是将一个用户连到一个基站的单个链路。 1
勾股定理五种证明方法 【证法1】 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 做8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 ab c ab b a 214214222?+=?++， 整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明） 以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角 形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点 在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上. ∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF . ∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o . ∴ ∠HEF = 180o ―90o= 90o . ∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形. 它的面积等于c2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA . ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o . 又∵ ∠GHE = 90o, ∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o . ∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +. ∴ ()2 2214c ab b a +?=+. ∴ 222c b a =+. 【证法3】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为
带通信号取样定理 一个连续带通信号受限于[]H L f f ,，其信号带宽为L H f f B -=，且有 kB mB f H += （1） 其中，()[]k f f f m L H H --=，k 为不超过()L H H f f f -的最大正整数，由此可 知，必有10<≤m 。 则最低不失真取样频率min s f 为 ()??? ? ?+=+==k m B k kB mB k f f H s 1222min （2） 证明： 取样不失真的基本要求是样值序列的频谱各个谱块不重叠。这样就可以采用带通滤波器恢复原来的带通信号。可见从频域分析，证明直观、清晰。 以下，分两步来证明。 （1）先证明当0=m 时的情况。由公式（1）和（2），有 kB f H = B f s 2min = （3） 分析一个带通信号()t x ，其频谱为()f X ，如图1所示。
s f -s f 2-s f 5.2-s f 3-s f 4-s f s f 2s f 5.2s f 3s f 4() f X f L f H f L f -H f -I II s s s s s s s s f s f -s f 2-s f 3-s f 4-s f s f 2s f 3s f 4f () f X s s f 2-s f 20 f s f 5.2-s f 5.2() f H s f 2-s f 5.2-s f 2s f 5.2() f X 0 f I II （a ） （b ） （c ） （d ） （e ） 图1 带通信号kB f H =时的频谱图 其中图（a ）表示()t x 的带通信号频谱，其特点是最高频率H f 为带宽的整数倍k ，这里5=k ，图（b ）表示采用()t s T δ对带通信号()t x 取样，而取样频率 ()L H s f f B f -==22，其中()t s T δ的频谱为()f s f δ。图（c ）表示
高数中的重要定理与公式及其证明（二） 在第一期的资料内我们总结了高数前半部分需要掌握证明过程的定理，由于最近比较忙，所以一直没来得及写。现将后半部分补上。希望对大家有所帮助。 1）泰勒公式（皮亚诺余项） 设函数()f x 在点0x 处存在n 阶导数，则在0x 的某一邻域内成立 () ()()()2 00' '' ()000 00()()()()...()2! ! n n n x x x x f x f x x x f x f x f x o x x n --??=+-+ ++ +-?? 【点评】：泰勒公式在计算极限、高阶导数及证明题中有很重要的应用。对于它们，我们首要的任务是记住常见函数（sin ,cos ,ln(1),,(1)x a x x x e x ++）在0x =处的泰勒公式，并能利用它们计算其它一些简单函数的泰勒公式，然后在解题过程中加以应用。在复习的前期， 如果基础不是很好的话，两种不同形式的泰勒公式的证明可以先不看。但由于证明过程中所用到的方法还是很常用的。因此把它写在这里。 证明： 令()()()200'''() 00000()()()()()...()2!!n n x x x x R x f x f x x x f x f x f x n ??--=-+-+ ++?????? 则我们要证明()0()n R x o x x ??=-?? 。 由高阶无穷小量的定义可知，需要证明() 0() lim 0n x x R x x x →=-。 这个极限式的分子分母都趋于零，并且都是可导的， 因此用洛必达法则得 () ()()()() 1 ''''()0 0000100()()()...()1!() lim lim n n n n x x x x x x f x f x x x f x f x n R x x x n x x --→→??--+-++?? -????=-- 再次注意到该极限式的分子分母仍趋于零，并且也都是可导的，因此可以再次运用洛必达法则。 不难验证该过程可以一直进行下去， 运用过1n -次洛必达法则后我们可以得到 () ()() ()0 00 (1)(1)()00000(1) (1) () 000()()()() lim lim !()()() lim !! n n n n x x x x n n n x x f x f x x x f x R x n x x x x f x f x f x n x x n --→→--→---=---=- - 由于()f x 在点0x 处存在n 阶导数，由导数的定义可知() (1)(1)()000()() lim ()n n n x x f x f x f x x x --→-=-